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文本内容:
2019-2020年七年级数学上册3代数式教学案(新版)冀教版
1.让学生经历用字母表示以前学过的运算律和计算公式并体会用字母表示数的意义形成初步的符号感.
2.理解代数式的意义能解释一些简单代数式的实际背景并能体会代数式是反映数量之间关系的数学模型.
3.会求代数式的值能够根据特定的问题查阅资料找到所需要的公式并会代入字母的具体值进行计算.
1.用代数式表示实际问题中的数量关系要求学生逐步掌握一些分析数量关系的一般方法.
2.学会“观察—归纳”的思维方法.
3.将文字语言描述的数量或数量关系用符号语言表示使学生感悟其中“分析—综合”方法的应用.
1.培养学生准确运算的能力并适当地渗透特殊与一般的辩证关系的思想.
2.培养学生养成认真做题的良好习惯体会数学与现实的联系.
3.在解决问题的过程中能对问题提出自己的猜想树立学好数学的信心.本章内容包括用字母表示数、代数式、代数式的值.数的运算伴随着数的扩充与发展不断丰富用字母表示数后再用加、减、乘、除、乘方和开方等运算符号连接数和字母形成代数式从而可以用方程刻画现实问题中的等量关系用不等式表示数量间的不等关系用函数研究数量间的变化以及对应关系.所以代数式是学习方程、不等式、函数的基础它对整个第三学段代数知识的学习具有奠基作用.教材采用“大家谈谈”“一起研究”“做一做”等模块以生动鲜活的例子引入课题加强讨论与交流实验与探究以及动手操作活动的开展进一步培养学生运用符号解决问题的能力和进行判断和推理的能力以及培养学生的探索精神.【重点】
1.列代数式求代数式的值.
2.培养学生对知识的抽象和概括能力.【难点】 由实际问题列代数式及规律探究题的解法.
1.教学中重点渗透具体数字到字母的抽象概括思维方式并注意归纳、类比、转化等思想方法的应用.
2.让学生经历观察、探究、思考交流分析问题中的数量关系来发展数学思维.
3.用代数式表示实际问题的数量关系要求学生逐步掌握一些分析数量关系的一般方法对有些实际问题可以借助表格或图形分析数量关系使得思路更加清晰.
4.在代数式求值的教学过程中让学生体会到从运算的角度看代数式是一个计算过程.可以借助图框教学来显示计算过程.对含一个字母的代数式有意识地取字母的不同值代入并进行计算来感受代数式的值是随着字母取值的变化而变化的渗透函数思想.在解决实际问题的过程中采用“由特殊到一般再到特殊”的教学过程.
5.代数式中字母的取值要根据具体问题确定其范围必须要保证代数式和其在实际问题中有意义.
3.1 用字母表示数1课时
3.2 代数式4课时
3.3 代数式的值2课时回顾与反思1课时
3.1 用字母表示数
1.在观察、思考的过程中形成用字母表示数的一般概念.
2.体会用字母表示数的特点和意义.
3.通过用字母表示一些具体的数学量初步培养抽象思维的能力和符号逻辑.在实践的过程中体会到用一个一般的量来表示具体数值的必要性.通过自主式学习和研究式学习在教师的帮助下形成代数的思维方式.
1.通过实践、观察、思考、归纳等环节总结规律培养自主学习的能力.
2.体会简单的数学思想是如何运用到具体情况中的.
3.在与其他同学的交流和讨论中培养既合作又竞争的意识.【重点】
1.通过实践总结规律并使用字母表示规律.
2.能够自觉地使用字母表示简单的数学关系.【难点】
1.认识用字母表示数具有不唯一性.
2.能根据实际情况列出合理的代数式.【教师准备】 多媒体课件.【学生准备】 预习教材P96~
97.导入一:出示教材章前图情境问题:【课件】 代数式在现实生活中的应用非常广泛.如存款问题:爷爷在银行按1年定期存了a元钱存款时的1年定期存款年利率是
3.50%.到期后爷爷取出本息共为p元.怎样写出用a表示p的式子[设计意图] 教材中的章前图和内容具有生活情境性可以帮助学生初步感知用字母表示数的必要.导入二:周末小明帮妈妈打扫卫生做完后心里美滋滋的想着自己喜欢的玩具忽然他计上心来……妈妈下班后看到桌上有一纸条内容是拖地3元叠被1元抹窗5元丢垃圾袋1元共计10元.妈妈看了之后一言不发提笔在纸上加上了吃饭x元穿衣y元带去看病z元关心a元…共计b元.写完后就去厨房做饭了小明看后心里很不是滋味心生惭愧赶忙收起纸条.小明懂得了x与y等字母的含义同学们你们懂吗[设计意图] 用伟大的母爱引出本节课的内容让学生学会感恩. 活动1 运算律中的字母 [过渡语] 在我们身边有许多用字母来表示数的例子今天我们就一起来探索下这个问题.师:科学家爱因斯坦上小学时在一次数学课中发现了下列等式:1+2=2+
13.5+
5.6=
5.6+
3.
5.大家能用示例再验证下这个规律吗生随意举例.师:如果仅靠具体的示例还不能把这个规律完整地表达出来.你能把这个规律用简明的方法表示出来吗活动方式:师生对话、交流.[设计意图] 利用教材情境让学生明白字母能简明表示一些规律与此同时培养学生善于观察和勤于积累的能力.[处理方式] 展示学生的成果:爱因斯坦发现的这个规律就是加法交换律用字母表示为a+b=b+aab表示任意数.过渡语师:还有没有其他的已学过的运算律预设 生1:加法结合律:a+b+c=a+b+c=a+b+c.生2:乘法交换律:ab=ba.生3:乘法结合律:abc=abc=abc.abc分别为任意数……过渡语师:同学们回答得太好了那么除了用字母表示运算律之外用字母还可以表示公式.【课件展示】
1.长方形的面积计算公式S=abS表示面积ab分别表示长方形的长与宽.
2.圆的面积计算公式S=πr2S表示面积r表示圆的半径.
3.长方体的体积计算公式V=abcV表示体积abc分别表示长方体的长、宽、高.
4.圆柱的体积计算公式V=πr2hV表示体积r表示底面半径h表示圆柱的高.[设计意图] 过渡到用字母表示以前学过的运算律、公式、法则不仅复习了旧知识而且巩固了新知识把已学知识重新规划让学生有一个重新认识的过程.运算律的展示使学生进一步体会用字母表示数可以使数量关系简明和一般化初步体验和确认了用字母可以表示任意数这一点.活动2 用字母表示数量关系 [过渡语] 字母不仅能表示运算关系也能表示数量关系.下面我们就来看一看在100米短跑测试中小帆、大林和小明谁跑得快.姓名小帆大林小明成绩/s
1614.
515.2速度/m/s1请你算出他们每人100米短跑的速度并将计算结果填入表中.2写出计算速度时所用的公式.3这个公式能用来计算汽车、轮船、飞机在某段匀速行驶过程中的速度吗若用s表示路程t表示所用时间v表示速度则这个公式就是v=.思路一[处理方式] 独立思考写出结果小组内交流.体会用字母表示数的优越性.展示交流结果:1100米表示路程16秒表示时间小帆的速度=100÷16=m/s同理大林的速度=100÷
14.5=m/s小明的速度=100÷
15.2=m/s.算错的同学要订正错误2v=.其中v表示速度s表示路程t表示时间3由于v表示速度s表示路程t表示时间所以v=可以用来求汽车、轮船、飞机在某段匀速行驶过程中的速度.[设计意图] 此过程可以使学生经历运用数学符号描述数量关系的过程发展符号感和抽象思维.通过与同伴交流学生将体验获得解决问题策略的方法学会合理清晰地阐述自己的观点.学生必将获得良好的数学活动经验.思路二1速度、路程和时间三个量的关系是什么请动手写一写: .并利用这个关系分别求出小帆、大林和小明的速度.2如果用v表示速度s表示路程t表示时间那么它们的关系可以用字母写成什么表示为: .3能否利用上面的公式求汽车、轮船、飞机在某段匀速行驶过程中的速度[处理方式] 独立思考写在练习本上同桌交流展示成果.1路程=速度×时间速度=路程÷时间时间=路程÷速度.2s=vtv=t=.其中v表示速度s表示路程t表示时间3可以利用上面的公式求汽车、轮船、飞机在某段匀速行驶过程中的速度.师总结:用字母表示数、数量关系以及数学事实不仅形式简单而且具有一般性还便于交流.活动3 按照要求和条件表示数 [过渡语] 字母在表示数的时候神通广大我们再接着看下面的内容.出示教材第97页的内容:观察自然数0123456789101112….1请用字母表示偶数和奇数.2两个偶数之和是什么数提出猜想并用字母表示数的方法说明这个猜想是正确的.[处理方式] 同桌互相提问复习已有知识交流体会方法.提出引导问题:偶数、奇数的概念是什么它们有什么特征1能被2整除的数是偶数不能被2整除的数是奇数.偶数用字母表示为2mm为自然数奇数用字母表示为2m+1m为自然数.2提出猜想:两个偶数的和是偶数.验证1:2+4=6102+134=236……验证2:相邻两个偶数一个偶数为2mm为自然数另一个为2m+2其和为2m+2m+2=22m+
1.验证3:一个偶数为2mm为自然数另一个为2nn为自然数两个偶数的和为2m+n.活动4 做一做——能力提升用字母表示数说明:1任意两个奇数之和是偶数.2如果m为自然数那么与m相邻的两个自然数之和是偶数.问题引导:1一个奇数怎么表示2两个相邻的奇数怎么表示3任意两个奇数怎么表示4与m相邻的两个自然数怎么表示问题提示:12m+
1.22m+1和2m-
1.32m+1和2n+
1.4m+1和m-
1.mn为自然数问题说明:1任意两个奇数之和是偶数:2m+1+2n+1=2m+n+
1.2如果m为自然数那么与m相邻的两个自然数之和是偶数:m+1+m-1=2m.[知识拓展] 用字母表示数同一问题中同一字母只能表示同一数量不同的数量要用不同的字母表示.用字母表示实际问题中的某一数量时字母的取值需使这个问题有意义并且符合实际.用字母表示数可简明表达问题中的数量关系、公式、法则、规律等.用字母表示数、数量关系以及数学事实不仅形式简单而且具有一般性还便于交流.
1.填空.1-6℃下降2℃后是 ℃;温度由t℃下降2℃后是 ℃;2今年李华m岁去年李华 岁五年后李华 岁;3三个连续偶数中间一个为2n则其余两个为 ;4某商店上月收入a元本月收入比上月的2倍多10元本月收入 元;5城市市区人口a万人市区绿化面积m万m2则平均每个人拥有绿地 m2;6某城市5年前人均年收入为n元预计今年人均年收入是5年前的2倍多500元那么今年人均年收入将达 元.答案:1-8 t-2 2m-1 m+5 32n-2 2n+2 42a+10 5 62n+
5002.选择.1用字母表示乘法对加法的分配律是 A.ab+cB.ab+acC.ab+c=ab+acD.ab=ba2昨天的最高气温是27℃今天的最高气温比昨天的下降t℃今天的最高气温是 A.27+t B.27-tC.27+t℃D.27-t℃3xx·吉林中考购买1个单价为a元的面包和3瓶单价为b元的饮料所需钱数为 A.a+b元B.3a+b元C.3a+b元D.a+3b元解析:1乘法分配律是一个数乘两个数的和等于这个数分别乘这两个加数然后把乘得的积相加据此写成字母表达式为ab+c=ab+ac;2用昨天的最高气温减去下降的气温即为今天的最高气温.今天的最高气温是27-t℃;3购买1个单价为a元的面包所需费用为a元3瓶单价为b元的饮料所需费用为3b元则共需费用为a+3b元.答案:1C 2D 3D
3.填空.1长方形窗户上的装饰物如图所示它是由半径均为b的两个四分之一圆组成的则能射进阳光部分的面积是 ;2xx·安顺中考如图所示的是一组有规律的图案第1个图案由4个基础图形组成第2个图案由7个基础图形组成…第nn是正整数个图案中的基础图形的个数为 用含n的式子表示.解析:1能射进阳光部分的面积=长方形的面积-半径为b的半圆的面积.即能射进阳光部分的面积=2ab-πb2;2认真观察图形确定图形变化规律:第1个图案由4个基础图形组成第2个图案由7个基础图形组成以后每个图案都比前一个图案多3个基础图形所以第nn是正整数个图案中的基础图形的个数为3n+
1.答案:12ab-πb2 23n+
13.1 用字母表示数活动1 运算律中的字母活动2 用字母表示数量关系活动3 按照要求和条件表示数活动4 做一做——能力提升
一、教材作业【必做题】教材第98页习题A组第12题.【选做题】教材第98页习题B组第12题.
二、课后作业【基础巩固】
1.如果甲数是x甲数是乙数的2倍那么乙数是 A.x B.2x C.x+2 D.x+
2.n为整数则2n-1一定是 A.偶数B.奇数C.2的倍数D.正整数
3.一个长方形的周长为28其中长为x则此长方形的面积为 A.14xB.xx-14C.x14+xD.x14-x
4.若一个正方形的边长为a则这个正方形的周长是 .
5.若每箱有36个苹果则n箱共有 个苹果.
6.为了帮助玉树地区重建家园某班全体师生积极捐款捐款金额共3200元其中5名教师人均捐款a元则该班学生共捐款 元.用含有a的式子表示
7.某商品的进价为x元售价为120元则该商品的利润率可表示为 .
8.一棵树刚栽时高2m以后每年长高
0.2mn年后的树高为多少米
9.一桶油连桶重xkg桶本身重1kg用去油的后桶内还有多少油【能力提升】
10.x是两位数y是一位数如果把x置于y的左边那么所成的三位数应表示为 A.xyB.x+yC.100x+yD.10x+y
11.xx·海南中考某企业今年1月份产值为x万元2月份比1月份减少了10%3月份比2月份增加了15%则3月份的产值是 A.1-10%1+15%x万元B.1-10%+15%x万元C.x-10%x+15%万元D.1+10%-15%x万元
12.有一块长为xm宽为ym的长方形草坪在草坪中间有一条宽为zm的人行道形状如图所示请你计算这块草坪的实际绿化面积.【拓展探究】
13.怎样的两个数它们的和等于它们的积呢观察下面几个式子:2+2=2×2;3+=3×;4+=4×;5+=5×……1你还能发现一些这样的两个数吗2你能从中发现什么规律吗把这个规律用字母n表示出来.【答案与解析】
1.A解析:甲数是乙数的2倍那么乙数就是甲数的.
2.B解析:因为n为整数所以代数式2n-1一定是奇数.故选B.
3.D解析:长方形的宽为×28-x=14-x面积为x14-x.
4.4a解析:正方形的边长为a正方形的周长为4×正方形的边长所以正方形的周长为4a.
5.36n解析:每箱苹果数与箱数的积即为所求.
6.3200-5a解析:学生捐款数=捐款总数-教师捐款总数.所以学生捐款数为3200-5a元.
7.解析:利润为120-x元所以该商品的利润率可表示为.
8.解:原来树高为2mn年增长
0.2nm所以n年后的树高为2+
0.2nm.
9.解:桶中有油x-1kg用去油的后还剩油的1-所以桶内还有油x-1kg.
10.D解析:根据题意可知把x置于y的左边相当于把x扩大为原来的10倍y不变.即所得的数是10x+y.故选D.
11.A解析:1月份的产值是x万元则2月份的产值是1-10%x万元3月份的产值是1+15%1-10%x万元.
12.解:草坪的实际绿化面积应是长方形面积与平行四边形面积之差长方形的面积为xym2平行四边形的面积为yzm
2.所以实际绿化面积为xy-yzm
2.
13.解:1答案不唯一如6+=6×等. 2n+1+=n+1×.本节课运用贴近学生生活实际的材料再次引导学生经历由具体的数到“抽象的数”由具体的算式到含有字母的式子的学习过程让学生经历从具体的情境中抽象出数量关系和变化规律的过程从而体会用字母表示数的意义形成初步的符号感初步体会“特殊—一般—特殊”“数形结合”等数学思想方法.对课堂节奏的把握不够紧凑最后学生完成练习的时间不够充分.在用字母表示数的过程中对学生的探究发现没有进行方法指导.课堂创设要丰富多彩供学生观察、猜想、讨论和验证要充分调动学生的积极性让每个学生都有发言的机会教学面向全体学生.在猜想和说明问题时提醒学生采取提出问题、特例验证、一般推理的方式进行思考.练习教材第97页115a 24a+2 a 3a+b习题教材第98页A组
1.1-6+t 28a 310a+b 425-a 529+a 26+a
2.解:ab-cd.
3.解:ab+ac或ab+c.B组
1.解:设原来四位数的后三位数为a则原来四位数为7000+a新四位数为10a+
7.
2.解:设连续两个奇数为2n+1和2n-1n为整数则2n+1+2n-1=4n所以任意两个连续奇数之和都是4的倍数. 清朝末年文学家俞曲园写了一首咏杭州风景点“九溪十八涧”的诗:重重叠叠山曲曲环环路丁丁东东泉高高下下树.当代数学家淡祥柏把每句诗都表示成算式:以上共有4个算式每个汉字表示一个数字在每一个算式中重叠的汉字代表相同的数字不同的汉字代表不同的数字你能写出这4个算式的数字形式吗解:
3.2 代数式
1.进一步理解用字母表示数的意义.
2.掌握书写代数式的注意事项并会正确书写代数式.
1.会把代数式反映的数量关系用文字语言表述出来会把文字语言表述的数量关系用代数式表示出来.
2.能分析简单问题中的数量关系并用代数式表示出来.通过将实际问题中的数量关系用代数式表示提高数学应用意识.【重点】 列代数式;用代数式表示实际问题中的数量关系;代数式表示的实际意义.【难点】 代数式的意义;用代数式表示实际问题中的数量关系;规律探索.第课时
1.在具体情境中进一步理解用字母表示数的意义.
2.能解释一些简单代数式的几何意义.
3.在具体情境中能列出代数式并解释其实际意义.
1.经历应用数学符号的过程进一步提高学生的符号感.
2.初步学会从数学的角度提出问题和理解问题充分体会解决问题的策略的多样性.培养学生热爱数学会用数学思想解决生活中的问题的能力.【重点】 列代数式.【难点】 用数学语言表达代数式的意义.【教师准备】 多媒体课件.【学生准备】 搜集以前学过的数学公式.导入一:填空.
1.m的3倍与5的和可以表示为 .
2.小华用a元买了b本练习本每本练习本 元.
3.边长为xcm的正方形的周长是 cm;面积是 cm
2.教师活动:1组织学生交流;2引导学生观察所列代数式给出代数式的概念;3交流所列代数式的意义.学生活动:1独立思考完成填空;2交流结果;3说说代数式在此问题中所代表的实际意义.[设计意图] 用填空的方式来列简单的代数式学生能够独立完成.为下面代数式概念的引出作铺垫.导入二: [过渡语] 请同学们举出已经学过的用含字母的式子来表示数量之间的关系的例子来.师板书:三角形的面积公式S=ah路程问题中的s=vt5b等等. [过渡语] 同学们说得特别棒.用等号表示的式子是等式用不等号表示的式子就是不等式.那么它们都是代数式吗教师活动:1板书;2讲解.学生活动:1回答问题;2讨论交流.[设计意图] 引导学生找出代数式与等式、不等式的不同. [过渡语] 用字母表示数后现实世界中的数量和数量之间的关系可以用含字母的式子来表示于是产生了代数式.活动1 代数式的概念
1.代数式的概念.思路一教师活动:1组织学生阅读教材第99页;2引导学生举出代数式的例子.学生活动:1阅读课文;2举例交流畅所欲言.[设计意图] 让学生先直观感受什么叫代数式只要学生知道什么是代数式即可要求学生能举出一些实际例子.追问:单独的一个字母或一个数是代数式吗是.[设计意图] 这个问题的价值在于强调单独的一个数或一个字母也是代数式强化易错点使学生知道字母可以表示具体的数也可以表示具体的数量关系同一字母或表达式在不同的场合有不同的意义强化学生的符号感;其次通过交流拓宽学生的思维发展学生的联想、类比等思维能力.思路二请同学们观察并思考:a+bm-n25m6a2a3……这些式子有哪些共同点预设 生:都含有数字或字母.师:除了数字和字母外还有什么预设 生:还有运算符号+、-、×、÷、乘方.师:运算符号在数字和字母之间起到了什么样的作用预设 生:把数或字母连接起来了.师:回答得很好!同学们这就是代数式!现在你能用自己的语言叙述一下什么是代数式吗学生交流2分钟后找不同学生语言叙述互相补充教师加以引导.然后用多媒体课件展示代数式的定义.概括:用运算符号连接数和字母组成的式子都叫做代数式.单独的一个数或字母也是代数式.
2.例题讲解. 指出下列各代数式的意义:12a+5; 22a+5;3a2+b2;4a+b
2.〔解析〕 根据代数式的意义必须把代数式作为一个整体去看待.运算符号和字母、数字的组合是代数式的重要特点.解:12a+5表示是a的2倍与5的和.22a+5表示a与5的和的2倍.3a2+b2表示a的平方与b的平方的和.4a+b2表示a与b的和的平方.活动2 用代数式表示数量关系 [过渡语] 给你一段文字语言能不能写出表示它的代数式用代数式表示“a8两数之和与bc两数之差的积”.可按下面的步骤列代数式:[处理方式] 四人为一小组把“做一做”试着做下来.做完之后小组长把自己组做的答案呈现出来.[设计意图] 让学生仿照图示的方法列代数式体会数量之间的和、差、倍、分的关系与加、减、乘、除的运算的对应. 用代数式表示:1a与b的差与c的平方的和.2百位数字是a十位数字是b个位数字是c的三位数.3三个连续的整数用同一个字母表示以及它们的和.〔解析〕 1a与b的差也就是a-b所求即为a-b与c的平方的和.列代数式的关键是一定要注意运算顺序;2用不同的字母表示一个整数各数位上的数字记为abc=100a+10b+c;3中间的这个数是m则连续的三个整数就是m-1mm+
1.解:1a-b+c
2.2100a+10b+c其中abc是0到9之间的整数且a≠
0.3设m是整数三个连续整数可表示为m-1mm+
1.它们的和为m-1+m+m+
1.强调:在代数式中字母与数或字母与字母相乘时通常把乘号写作“·”或省略不写如2×a写作2·a或2aa×b写作a·b或ab.除法运算一般以分数的形式表示.如s÷t写作t≠
0.[设计意图] 本部分内容是学生学习了代数式之后紧跟的练习目的是强化学生对代数式概念的理解与掌握会根据具体要求列代数式训练学生思维的严密性.[知识拓展] 1对于一个代数式它的意义没有统一的规定以简明而不致引起误解为出发点同一个代数式可用不同形式的文字语言表述它的意义.2如果式子中含有“=”“”“”“≤”“≥”等符号它们不是运算符号那么这样的式子不是代数式.3数与字母、字母与字母相乘乘号可以省略也可写成“·”;数字与数字相乘乘号不能省略;数字要写在字母前面.4在含有字母的除法中一般不用“÷”号而写成分数的形式;式子后面有单位时和差形式的代数式要在单位前把代数式括起来.5带分数一定要写成假分数.
1.用运算符号把数和字母连接起来的式子叫做代数式.
2.单独的一个数或字母也是代数式.
1.下列式子是代数式的是 .
①②a2b
③x=1
④a2+ab-1
⑤32
⑥o
⑦y=x-
1.解析:等式与不等式都不是代数式排除
③⑤⑦.故填
①②④⑥.
2.写出代数式a2-b2表示的意义.解:a的平方与b的平方的差.
3.用代数式表示.1x的2倍与y的差;2m与5的差的3倍;3a的11倍再加上2;4xy两个数和的平方;5甲数为a比甲数的平方大3的数.解:12x-y. 23m-
5. 311a+
2. 4x+y
2. 5a2+
3.第1课时活动1 代数式的概念用运算符号连接数和字母组成的式子都叫做代数式.注意:单独的一个数或字母也是代数式.活动2 用代数式表示数量关系正确表达代数式的实际意义.
一、教材作业【必做题】教材第100页练习第12题.【选做题】教材第101页习题A组第1234题.
二、课后作业【基础巩固】
1.下列属于代数式的是 A.4+6=10 B.2a-6b0C.0D.v=
2.买一个足球需要a元买一个篮球需要b元则买4个足球、7个篮球共需要 A.4a+7b元B.4a元C.7b元D.11元
3.2a+b的几何意义是 .
4.设乙数为x甲数比乙数的2倍大1则甲数为 .【能力提升】
5.某厂一月份产值为a万元从二月份起每月增产15%三月份的产值可以表示为 A.1+15%2×a万元B.1+15%3×a万元C.1+a2×15%万元D.2+15%2×a万元
6.一个两位数十位上是a个位上是b用代数式表示这个两位数为 A.abB.baC.10a+bD.10b+a
7.用代数式表示“m的3倍与n的差的平方”正确的是 A.3m-n2B.3m-n2C.3m-n2D.m-3n
28.甲、乙二人按5∶2的比例投资开办了一家公司约定除去各项支出外所得利润按投资比例分成若第一年盈利14000元那么甲、乙二人分别应分得 A.xx元和5000元B.4000元和10000元C.5000元和xx元D.10000元和4000元【拓展探究】
9.通讯市场竞争日益激烈某通讯公司的手机本地话费标准按原标准每分钟降低a元后再次下调了20%现在收费标准是每分钟b元则原收费标准是每分钟多少元【答案与解析】
1.C解析:一个字母或一个数字也是代数式.
2.A解析:4个足球需要4a元7个篮球需要7b元共需要4a+7b元.故选A.
3.a与b的和的2倍
4.2x+
15.A解析:一月份产值是a万元二月份产值是a1+15%万元三月份产值是1+15%2×a万元.故选A.
6.C解析:十位数字是a表示为10a个位数字是b则这两位数是10a+b.
7.A解析:m的3倍是3m与n的差就是3m-n它的平方就是3m-n
2.
8.D
9.解:首先表示出下调20%前的价格然后加上a元即可得到原收费标准是每分钟b÷1-20%+a=a+b元.在实际情境中说明代数式的意义让学生通过交流创设生活中最感兴趣的情境学生从中能体会代数式在社会生活中的实际意义.学习中发挥小组合作的积极作用每个同学都参与课堂培养了学生善于观察生活、乐于探索研究的学习品质及与他人合作交流的意识.让学生小组合作解决疑惑时仍有部分学生参与不到发现问题、探讨问题、解决问题的状态中对于这部分学生教师关注度还不是很高.开展学生之间的互动一个同学说条件另一个同学根据条件列代数式.练习教材第100页
1.解:1a的平方与2的和. 2b与1的和的a倍与1的差.
2.解:1a-bc. 2x+y2-x-y
2. 33a+b.习题教材第101页A组
1.解:1a的3倍与b的2倍的和. 2a与b的2倍的和的3倍. 3a与b的差与c的商. 4a与b除以c的商的差.
2.解:13a+
4. 2x2+x. 3a-3b. 4aba+b. 5a+b+
18. 62a-b-
6.
3.1 2 349%x
44.解:1a·a即a
2. 2元/辆. 3表面积为2ab+2bc+2ac体积为abc.4a+a+a+2×即2a+a.B组
1.解:
7.5x千克;千克.
2.解:600a-1700kg500a+300kg. 在下列表述中不能表示代数式“4a”的意义的是 A.4的a倍 B.a的4倍C.4个a相加D.4个a相乘〔解析〕 A.4的a倍用代数式表示为4a故本选项正确;B.a的4倍用代数式表示为4a故本选项正确;C.4个a相加用代数式表示为a+a+a+a=4a故本选项正确;D.4个a相乘用代数式表示为a·a·a·a=a4故本选项错误.故选D. 学校购买了一批图书共a箱每箱b册将这批图书的一半捐给社区则捐给社区的图书为册.用含ab的代数式表示〔解析〕 首先根据题意可得这批图书共有ab册它的一半就是册.故填.表述数量及数量关系有两种语言一种是文字语言一种是符号语言——代数式.代数式是文字语言的数学抽象.本课时围绕两种语言之间的互相转化展开让学生充分体会用代数式表示数量关系的简明性和一般性.借助于图示把文字语言表述的数量关系转化为若干层次的“两个数的运算”.对初学者来说这是有条理地分析数量关系并正确列出代数式的行之有效的方法.第课时
1.用代数式表示比较复杂的数量关系.
2.能够用不同的代数式表示同一数量关系.借助于具体的生活情境体会代数式的一般性.增强在探索问题过程中的合作交流意识.【重点】 用不同的代数式表达同一个量.【难点】 理解代数式是刻画实际问题中数量关系的重要数学模型.【教师准备】 预设学生解决问题的多种方法.【学生准备】 复习上一个课时所学的代数式知识.导入一:填空:已知一批小麦的出粉率是85%.akg小麦可磨出面粉 kg要磨出面粉bkg.需要小麦 kg.85%a;[设计意图] 通过生活情境帮助学生深刻领会代数式的含义体会从生活情境到抽象代数式的含义.导入二:甲、乙两个口袋分别装有akg和bkgab的大豆.要想使两个口袋装的大豆一样多应从甲袋向乙袋倒入多少千克大豆kg.[设计意图] 通过抽象生活情境帮助学生思考抽象的数量关系了解数学中代数式的一般性. 活动1 从实际问题中抽象出代数式如教材图所示已知装满油时桶和油的质量一共是akg;当油用去一半时桶和油的质量一共是bkg.当桶里装满油时设油的质量为ckg. 1当桶里装满油时写出表示桶的质量的代数式.2当油用去一半时写出表示桶的质量的代数式.解:1设油的质量为ckg则桶的质量为a-ckg.2半桶油的质量为kg桶的质量为kg.问题思考:本题的基本数量关系是什么油桶总质量=油的质量+桶的质量.[设计意图] 帮助学生抽象总结生活中的数量关系为帮助学生建立代数式数学模型做准备.活动2 不同的代数式表示同一个数量已知参加甲、乙两地植树的同学分别为52人和23人现从甲、乙两地共抽调12人到丙地植树.如果从甲地抽调x人那么抽调后甲、乙两地各剩下多少人将表示甲、乙两地剩下人数的代数式填入下表.原来人数/人抽调人数/人剩下人数/人甲地52x乙地2312-x师:用不同的代数式表示同一个量这是解决实际问题的一种常用方法对于一些实际问题可以借助表格或图形分析数量关系使得思路更清晰.方法一:甲地剩余52-x人乙地剩余[23-12-x]人.方法二:两地共有75人调走12人剩余63人已知甲地剩余52-x人所以乙地剩余[63-52-x]人.思考:
1.列表法表示数量关系有什么优点
2.你能借助于下列图示表示甲、乙两地的剩下人数吗活动3 做一做填空:1如果汽车以85km/h的速度在高速公路上匀速行驶那么xh行驶的路程为 km.2如果某工程队平均每天修路
0.8km那么x天可以修路 km.3如果一套学生桌椅的价钱是380元那么买x套这种学生桌椅需要 元.4如果某期5年期国债的年利率是
5.6%小颖的爷爷买了这期国债x元那么到期后可得利息 元本息共为 元.5如果一项工程要求30天完成那么x天后完成了工程量的 .〔答案〕 185x
20.8x 3380x 45×
5.6%x x+5×
5.6%x 5x思考:
1.请用文字的形式概括上述数量关系.提示:主要数量关系如下:行程问题:路程=速度×时间.工程问题:工作量=工效×时间.商品价格问题:总价=单价×数量.利息问题:利息=本金×利率×期数本息=本金+利息.
2.上面列出的这些代数式都有什么特点提示:都有kx的形式.[设计意图] 发现数量关系的特点是从数量关系中抽象出代数式的重要前提为此在这里侧重引导学生总结一些带有规律性的数量关系.用不同的代数式表示同一个量是解决实际问题的一种常用方法.
1.以下各式不是代数式的是 A.5 B.3x2-2x+5C.a+b=b+aD.解析:判断是不是代数式关键是了解代数式的概念注意代数式与等式、不等式的区别等式含有等号不等式含有不等号而代数式不含等号也不含不等号.所以C选项不是代数式.故选C.
2.代数式4a可以表示的实际意义是 .解析:根据代数式表示的意义和实际的联系编写场景即可.答案不唯一.如:每支钢笔4元买了a支钢笔所需的钱数或正方形的边长为a它的周长是4a.
3.用代数式表示.1x的与的差;2一种小麦磨成面粉后质量要减少15%m千克小麦磨成面粉后面粉的质量.解:1x-. 21-15%m千克.第2课时活动1 从实际问题中抽象出代数式活动2 不同的代数式表示同一个数量活动3 做一做
一、教材作业【必做题】教材第103页练习第12题.【选做题】教材第103页习题A组第4题.
二、课后作业【基础巩固】
1.下列各式中不是代数式的是 A.-3 B. C.5x-1=9 D.x2-4x
2.用代数式表示x的2倍与y的差的平方是 A.2x-y2B.2x-y2C.2x2-y2D.2x-y
23.如图所示四边形ABCD的四个顶点都在半径为1cm的圆O上且四边形ABCD为正方形则图形中阴影部分的面积是 A.2π-2cm2B.2π-1cm2C.π-2cm2D.π-1cm
24.用代数式表示“x的2倍与3的差”为 .
5.用代数式表示.1x的2倍与y的3倍的差;2x的.【能力提升】
6.下列代数式中符合代数式书写要求的有
①1x2y;
②ab÷c2;
③;
④;
⑤2m+n;
⑥mb·
4.A.1个B.2个C.3个D.4个
7.用代数式表示“x的4倍与y的差的平方”正确的是 A.4x-y2B.4x-y2C.44x-y2D.x-4y
28.代数式2x-的意义是 .
9.甲数为x用代数式表示乙数.1乙数是甲数的1倍;2乙数比甲数小7%;3乙数比甲数的一半大2;4甲数的倒数比乙数小
5.【拓展探究】
10.下列各说法中错误的是 A.代数式x2+y2的意义是x与y的平方和B.代数式5x+y的意义是5与x+y的积C.x的5倍与y的和的一半用代数式表示为5x+D.比x的2倍多3的数用代数式表示为2x+
311.如图所示一根5m长的绳子一端拴在围墙墙角的柱子上另一端拴着一只小羊A羊只能在草地上活动那么小羊A在草地上的活动区域面积是 A.πm2B.πm2C.πm2D.πm
212.说出下列代数式的意义.12a+3; 2a2+b2;
3.【答案与解析】
1.C解析:代数式是用运算符号把数和字母连接而成的式子C中用“=”连接的式子不是代数式.
2.A解析:先差再平方即列式为2x-y
2.
3.C解析:阴影部分的面积=圆的面积-正方形的面积.阴影部分的面积为π·12-4××1×1=π-2cm
2.
4.2x-3解析:x的2倍表示为2x然后再减去3即可.由题意得x的2倍与3的差表示为2x-
3.
5.解:1x的2倍与y的3倍的差用代数式表示为2x-3y. 2x的用代数式表示为x.
6.C解析:符合要求的有
③④⑤共3个.
7.A解析:要明确给出文字语言中的运算关系先表示出x的4倍再表示出其与y的差最后表示出差的平方即可.x的4倍是4xx的4倍与y的差是4x-yx的4倍与y的差的平方是4x-y
2.故选A.
8.x的2倍与y的的差解析:注意运算顺序最后计算的是差.
9.解:1x. 21-7%x. 3x+
2. 4+
5.
10.C解析:选项C中运算顺序表达错误应写成5x+y.
11.D解析:由于墙角是直角所以小羊A活动的区域是以5m为半径的圆的面积的加上以1m为半径的圆的面积的故其活动区域面积为m2即为πm
2.
12.解:12a+3的意义是2与a+3的积. 2a2+b2的意义是a与b的平方的和. 3的意义是n+1除以n-1的商.本课时在前面学习了代数式知识的基础上进一步深入学习通过生活情境帮助学生从抽象角度概括总结数量关系是本课时的教学核心.在教学的过程中采取了列不同代数式表示同一数量关系、总结一般数量关系的规律最后上升到总结对代数式这一数学模型的刻画策略取得了较好的课堂活动效果.用不同的代数式表示同一个数量关系没有充分让学生进行对比交流.在总结生活中一些常见的数量关系时让学生列举相关的情境问题进行深化理解.练习教材第103页
1.185%a 2
①10a+9-a
②109-b+b
2.解:千克.习题教材第103页A组
1.y+9
2.
3.解:
2.4%x万元.
4.解:甲库:xt;乙库:50-xt.B组
1.10x+10-x 10x+10-x+36或1010-x+x
2.解:1375×80%元1+10%x元. x1-5%可以解释为 .〔解析〕 答案不唯一例如:如果某件商品的原价为x元按照降价5%进行促销那么降价后这件商品的售价为x1-5%元.[解题策略] 将代数式放入具体的问题情境去理解赋予它具体的实际意义解题的关键是想出不同的实际背景或几何背景.第课时能用代数式表示比较复杂的数量关系.通过生活情境体现符号意识.培养学生的抽象思维和创新精神.【重点】 能够对复杂数量关系列出代数式.【难点】 通过列复杂数量关系的代数式形成数学符号感.【教师准备】 多媒体课件.【学生准备】 搜集生活中用代数式表示规律的实际例子.导入一:已知甲、乙、丙三个数的比为1∶2∶
3.如果设甲数为x请表示出甲、乙两数的和减去丙数后的差;如果设丙数为z请表示出甲、丙两数的和减去乙数后的差.[设计意图] 通过列比较复杂数量关系的代数式体会抽象思维在列代数式中的作用.导入二:为了预防流感某校积极进行校园环境消毒购买了甲、乙两种消毒液共100瓶其中甲种6元/瓶乙种9元/瓶.如果设甲种消毒液购买了x瓶那么购买这两种消毒液共花了多少元[6x+9100-x]元.[设计意图] 通过列比较复杂数量关系的代数式帮助学生形成数学符号意识. [过渡语] 对于电脑打字速度每一个同学都有所不同.现在我们就来研究一个和打字有关的问题.活动1 列复杂数量关系的代数式经过练习小亮和大华的打字速度都有了提高小亮的打字速度达到80个/分大华比小亮每分钟多打10个字.1小亮和大华amin分别能打多少个字2bmin大华比小亮多打多少个字3将同为c个字的两篇文章分别交给小亮和大华打如果要求他们同时完成任务那么小亮比大华要提前多少分钟开始打字4根据以上问题情境请你自己提出一个问题并解决.问题思考:1问题中涉及三个基本的量是什么打字速度、时间、打字的个数.2这三个量之间具有怎样的关系打字的个数=打字速度×时间.思考和解答:1小亮amin打的字数就等于80与a的积即80a个字;大华amin打的字数就等于80+10与a的积即90a个字.2bmin大华比小亮多打的字数就等于b与10的积即10b个字.3求小亮要比大华提前多少分钟开始打字就是求小亮打c个字比大华打c个字多用的时间也就是求“c除以80的商与c除以80+10的商的差”即min.活动2 例题讲解 教材例3从A地乘火车到北京普通票价格为40元/人学生票价格为20元/人.星期日A地育才学校组织部分师生到天安门广场观看升旗仪式.1如果有教师14人学生180人那么买单程火车票共需多少元2如果有教师x人学生y人那么买单程火车票共需多少元3如果教师人数恰好是学生人数的将教师的人数或学生的人数用字母表示那么买单程火车票共需要多少元〔解析〕 列表分析1:人数票单价/元票价/元教师1440560学生180203600单程总票价/元4160列表分析2:人数票单价/元票价/元教师x4040x学生y2020y单程总票价/元40x+20y列表分析3
①:人数票单价/元票价/元教师x4040x学生12x2020×12x单程总票价/元40x+20×12x列表分析3
②:人数票单价/元票价/元教师4040×学生y2020y单程总票价/元y+20y解:140×14+20×180=4160元.240x+20y元.3如果设教师有x人那么学生有12x人买单程车票共需40x+20×12x元;如果设学生有y人那么教师有人买单程车票共需40×+20y元即元.从复杂的数量关系中抽象出代数式模型是运用代数式解决问题的基本方法.
1.体育委员带了500元钱去买体育用品已知一个足球a元一个篮球b元.则代数式500-3a-2b表示的是 .解析:因为买一个足球a元一个篮球b元所以3a表示体育委员买了3个足球2b表示买了2个篮球所以代数式500-3a-2b表示体育委员买了3个足球2个篮球后剩余的钱数.故填体育委员买了3个足球、2个篮球后剩余的钱数.
2.农民张大伯因病住院手术费为a元其他费用为b元.由于参加农村合作医疗手术费报销85%其他费用报销60%则张大伯此次住院应缴纳 元.解析:根据手术费用为a元其他费用为b元手术费用报销85%其他费用报销60%列出代数式即可求出答案.因为手术费用为a元其他费用为b元手术费用报销85%其他费用报销60%所以张大伯此次住院应缴纳a·15%+b·40%=15%a+40%b元.故填15%a+40%b.
3.某公司在甲、乙两个仓库分别有农用车12辆和6辆现需要调往A县10辆调往B县8辆.已知从甲仓库调运一辆农用车到A县和B县的运费分别为40元和80元从乙仓库调运一辆农用车到A县和B县的运费分别为30元和50元.设从甲仓库调往A县的农用车为x辆.1从甲仓库调往B县的农用车为 辆从乙仓库调往A县的农用车为 辆;用含x的代数式表示2写出公司从甲、乙两个仓库调往农用车到AB两县分别所需要的总运费.用含x的代数式表示解:1设从甲仓库调往A县的农用车为x辆则调往B县的农用车为12-x辆从乙仓库调往A县的农用车为10-x辆. 2到A县的总费用为[40x+3010-x]元;到B县的总费用为[8012-x+50x-4]元.第3课时活动1 列复杂数量关系的代数式活动2 例题讲解
一、教材作业【必做题】教材第105页练习题.【选做题】教材第106页习题A组第3题.
二、课后作业【基础巩固】
1.某农村贫困家庭的孩子读书今年享受“两免一补”即免学杂费免课本费补助寄宿生活费加上免收农业税该家庭现在平均每月可减少40%的费用支出.若该家庭原来平均每月支出m元则现在每月的支出为 A.元 B.元 C.60%m元 D.40%m
2.某商品先按批发价a元提高10%零售后又按零售价降低10%出售则它最后的单价是 A.a元B.
0.99a元C.
1.21a元D.
0.81a元
3.张老师带领x名学生到某动物园参观已知成人票每张10元学生票每张5元设门票的总费用为y元则y= .
4.一筐苹果总重x千克筐本身重2千克若将苹果平均分成5份则每份重 千克.
5.某校艺术班同学每人都会弹钢琴或古筝其中会弹钢琴的人数比会弹古筝的人数多10人两种都会的有7人.设会弹古筝的有m人则该班同学共有多少人用含m的代数式表示【能力提升】
6.甲种糖果每千克a元乙种糖果每千克b元若买甲种糖果m千克乙种糖果n千克混合后的糖果每千克 A.元B.元C.元D.元
7.某种手机卡的市话费上次已按原收费标准降低了m元/分钟现在再次下调10%使收费标准为n元/分钟那么原收费标准为 A.元/分钟B.元/分钟C.元/分钟D.元/分钟
8.某商品的进价为60元售价为x元则该商品的利润率可表示为 .
9.如果从一卷粗细均匀的电线上截取1米长的电线称得它的质量为a克再称得剩余电线的质量为b克那么原来这卷电线的总长度是 米.
10.一台电视机成本价为a元销售价比成本价增长25%因库存积压所以就按销售价的70%出售则每台电视机的实际售价是多少元【拓展探究】
11.张老板以每颗a元的价格买进水蜜桃100颗现以每颗比进价多20%的价格卖出70颗后再以每颗比进价低b元的价格将剩下的30颗卖出则全部水蜜桃共卖 A.[70a+30a-b]元B.[70×1+20%a+30b]元C.[100×1+20%a-30a-b]元D.[70×1+20%a+30a-b]元
12.惠民新村分给小慧家一套价格为12万元的住房.按要求需首期第一年付房款3万元从第二年起每年应付房款
0.5万元与上一年剩余房款的利息的和.假设剩余房款年利率为
0.4%小慧列表推算如下:第一年第二年第三年…应还款/万元
30.5+9×
0.4%
0.5+
8.5×
0.4%…剩余房款/万元
98.58…若第n年小慧家仍需还款则第n年应还款 万元.n
113.用a米长的篱笆在空地围成一块场地有两种方案:一种是围成正方形场地另一种是围成圆形场地设S1S2分别表示围成正方形场地和圆形场地的面积试比较S1与S2的大小并说明理由.【答案与解析】
1.C解析:若该家庭原来平均每月支出m元则现在每月的支出为60%m元.
2.B解析:由题意得a1+10%1-10%=
0.99a元.
3.5x+10解析:总费用=成人票用钱数+学生票用钱数根据此关系式列式即可.根据题意可知y=5x+
10.
4.解析:苹果的总重量为x-2千克平均分成5份所以每份为千克.
5.解:该班同学共有m+m+10-7=2m+3人.
6.C解析:因为甲种糖果m千克的总价钱为am元乙种糖果n千克的总价钱为bn元所以两种糖果的总价钱为am+bn元所以混合后的糖果每千克的单价为元.
7.B解析:通过审题弄清话费的变化方式准确找出变化前后量之间的关系是解此题的关键.再次下调10%后收费标准为n元/分钟则再次下调10%前的收费标准为n元/分钟这比原收费标准降低了m元/分钟说明原收费标准为元/分钟.
8.解析:由利润率=利润÷进价可以列出式子.利润为x-60元所以该商品的利润率可表示为.
9.解析:根据1米长的电线称得它的质量为a克只需根据剩余电线的质量除以a即可知道剩余电线的长度.故总长度是米.
10.解:70%1+25%a元.
11.D解析:以比进价多20%的价格卖出70颗水蜜桃的售价为70×1+20%a元以比进价低b元的价格卖出30颗水蜜桃的售价为30a-b元所以总售价为[70×1+20%a+30a-b]元.故选D.
12.{
0.5+[9-
0.5n-2]×
0.4%}解析:根据题意可知第n-1年需还的剩余房款为[9-
0.5n-2]万元则第n年应还款为{
0.5+[9-
0.5n-2]×
0.4%}万元.
13.解:S1=平方米S2=π平方米因为164π所以即S1S
2.利用学生现有的知识大胆让学生进行探索尝试是本课时教学设计的重要理念.在学生进行探索的过程中给予学生必要的方法指导和提示为本课时教学活动的顺利完成奠定了基础.在课堂教学的过程中忽略了对做一做这个内容的处理.在对教材例3的教学活动中鼓励学生自己用列表、画图等多种方式列代数式帮助学生从更深层次理解数学中解决问题的抽象性.练习教材第105页11+5%a 2 35%a习题教材第106页A组
1.解:辆.
2.解:100x+y.
3.解:[1+30%×90%a-a]元.B组
1.解:[90%x+1+5%100-x]元.
2.解:2m+
3. 1一条河的水流速度是
2.5km/h船在静水中的速度是vkm/h用式子表示船在这条河中顺水行驶和逆水行驶时的速度;2买一个篮球需要x元买一个排球需要y元买一个足球需要z元用式子表示买3个篮球、5个排球、2个足球共需要的钱数;3如图1所示图中长度单位:cm用式子表示三角尺的面积;4图2是一所住宅的建筑平面图图中长度单位:m用式子表示这所住宅的建筑面积.〔解析〕 船在河流中行驶时船的速度需要分两种情况讨论:顺水行驶时船的速度=船在静水中的速度+水流速度;逆水行驶时船的速度=船在静水中的速度-水流速度.解:1船在这条河中顺水行驶的速度是v+
2.5km/h逆水行驶的速度是v-
2.5km/h.2买3个篮球、5个排球、2个足球共需要3x+5y+2z元.3三角尺的面积等于三角形的面积减去圆的面积.根据图中的数据得三角形的面积是abcm2圆的面积是πr2cm
2.因此三角尺的面积为cm
2.4住宅的建筑面积等于四个长方形面积的和.根据图中标出的尺寸可得这所住宅的建筑面积单位:m2是x2+2x+
18.第课时通过观察探索发现和总结图形和代数式中所蕴含的规律.通过对具体对象的观察发现一些代数式的一般规律.培养学生善于合作、勇于探索的创新精神.【重点】 发现和总结一些数量之间的特殊规律.【难点】 抽象理解代数式的数学模型尝试解决问题的多种策略.【教师准备】 多媒体课件.【学生准备】 自我总结列代数式的一般方法和规律摆出三角形所用的火柴或小木棍等.导入一:观察:1×3=22-12×4=32-13×5=42-1……请你试用一个公式表示出这些等式所反映的规律.观察每个等式的共同特征这些等式可以改写为:2-12+1=22-1;3-13+1=32-1;4-14+1=42-1;……一般地有n-1n+1=n2-
1.[设计意图] 借助于教材中的练习问题帮助学生体验代数式中蕴含着某种规律激发学生对代数式探索的热情.导入二:出示教材习题中摆火柴的图形让学生按照教材的方式摆出相应的图形.问题提出:三角形的个数和所用的火柴数量之间有什么关系[设计意图] 通过游戏活动调动学生参与课堂活动的积极性为本课时的教学活动营造轻松的氛围.活动1 一起探究如图所示这是一个由1~120的连续整数排成的“数阵”.如果用方框围住9个数那么这9个数的和随方框位置的变化而变化.1如果设方框左上角的数为a用含a的代数式表示这9个数的和.思考:
①方框内每行的三个数之和和中间的数有什么关系提示:三个数的和是中间数的三倍.
②怎样表示这九个数的和比较简单提示:三行数的和依次为3a+13a+73a+13故九个数的和为9a+
7.2如果设方框正中间的数为m用含m的代数式表示这9个数的和.思考:
①方框内9个数的和和中间的数15有什么关系提示:九个数的和为135为15的九倍.
②如果方框下移一行中间的数变为21此时9个数的和是多少提示:21的九倍.
③根据上述规律你能直接写出中间数为m的这9个数的和吗提示:这九个数的和为9m.3如果将方框由左向右平行移动一列那么9个数的和会有怎样的变化如果方框由上向下平行移动一行那么9个数的和又有怎样的变化思考:
①在移动后变化后的数字和原来的数字之间有什么关系
②如果将方框由右向左平行移动一列那么9个数的和会有怎样的变化如果方框由下向上平行移动一行那么9个数的和又有怎样的变化提示:无论向哪个方向移动9个数字之和都是有规律地变化.向左右平移一列和减少增加
9.向上下平移一行和减少增加6×9=
54.活动2 大家谈谈图1是由点组成的n行n列的方阵图2是由每条边上n个点围成的空心方阵.问题探究:1如图1所示的方阵的总点数为多少n22如图2所示的方阵的总点数为什么是n2-n-22方法1:如图所示每边n个点4个边共4n个点减去重复计算的4个点方阵的总点数为4n-
4.方法2:如图所示将点阵分成不重叠的4组每组有n-1个点方阵的总点数为4n-
1.方法3:如图所示将点阵分成不重叠的4组其中两组各有n个点另两组各有n-2个点方阵的总点数为2n+2n-
2.列代数式的过程是一个分析和综合的过程列代数式解决问题的策略往往是多种的.
1.在下列2×2的方格中找出规律你认为x应为 解析:每个方格中的四个数对角上的两数和相等所以3+7=12+x所以x=-
2.故选B.
2.xx·德州中考一组数112x5y…满足“从第三个数起每个数都等于它前面的两个数之和”那么这组数中y表示的数为 A.8B.9C.13D.15解析:因为这组数据中“从第三个数起每个数都等于它前面的两个数之和”所以1+2=xx+5=y.所以x=3y=
8.故选A.
3.某大学阶梯教室第一排有m个座位后面每排比前一排多一个座位第二排有几个座位你知道第n排有多少个座位吗解:第二排有m+1个座位第n排有m+n-1个座位.第4课时活动1 一起探究活动2 大家谈谈
一、教材作业【必做题】教材第108页习题A组第23题.【选做题】教材第108页习题B组第1题.
二、课后作业【基础巩固】
1.寻找规律计算1-2+3-4+5-6+…+xx-xx等于 A.0 B.-1 C.-1008 D.
10082.如图所示的是某年5月的日历表任意圈出一竖列上相邻的三个数发现这三个数的和不可能是 日一二三四五六12345678910111213141516171819202122232425262728293031A.27B.36C.40D.
543.观察下列图形则第n个图形中三角形的个数是 A.2n+2B.4n+4C.4n–4D.4n
4.数字解密:第一个数是3=2+1第二个数是5=3+2第三个数是9=5+4第四个数是17=9+8…观察并猜想第六个数是 .
5.按如图所示的方式用火柴棒拼成三角形.1当三角形的个数是5个时用了多少根火柴棒2要拼成n个三角形需要多少根火柴棒【能力提升】
6.如图所示按这种规律堆放圆木第10堆应有 A.50根B.60根C.65根D.55根
7.某百货大楼进了一批花布出售时要在进价的基础上加上一定的利润其数量x米与售价y元如下表:数量x/米1234…售价y/元8+
0.316+
0.624+
0.932+
1.2…下列公式中正确的是 A.y=
0.8x+
0.3B.y=8+
0.3xC.y=8+
0.3xD.y=8+
0.3+x
8.观察下列图形根据变化规律推测第100个与第 个图形的位置相同.填“1”“2”或“3”
9.已知:2+=22×3+=32×4+=42×5+=52×……若10+=102×符合前面的式子的规律则a+b= .
10.观察下面的点阵图形和与之相对应的等式探究其中的规律.1请你在
④和
⑤后面的横线上分别写出相对应的等式;
①4×0+1=4×1-3;
②4×1+1=4×2-3;
③4×2+1=4×3-3;
④ ;
⑤ .2通过猜想写出与第n个图形相对应的等式.【拓展探究】
11.如图所示自行车每节链条的长度为
2.5cm交叉重叠部分的圆的直径为
0.8cm.14节链条长 cm;2n节链条长 cm;3如果一辆22型自行车的链条由50节这样的链条组成那么这辆自行车上链条的总长度是多少【答案与解析】
1.C解析:原式=1-2+3-4+5-6+…+xx-xx=-1+-1+-1+…+-1=-
1008.
2.C解析:一竖列上相邻的三个数的和是3的倍数.
3.D解析:根据给出的3个图形可以知道:第1个图形中三角形的个数是4第2个图形中三角形的个数是8第3个图形中三角形的个数是12从而得出一般的规律第n个图形中三角形的个数是4n.故选D.
4.65解析:本题是数字规律探索题观察前四个数字的特点不难发现第五个数是17+16=33第六个数是33+32=
65.
5.解:111根. 22n+1根.
6.D解析:找出规律每堆的根数如下:第1堆:1第2堆:3=1+2第3堆:6=1+2+3…第n堆:1+2+3+…+n=.
7.C解析:数量x=1时售价y=8+
0.3接下来16是8的2倍
0.6是
0.3的2倍依次观察可发现y是x的8+
0.3倍.
8.1解析:图形的变化规律是三个一循环100÷3商33余1所以第100个与第1个图形的位置相同.故填
1.
9.109解析:由题意知b=10a=102-1=99则a+b=99+10=
109.
10.解:1
④4×3+1=4×4-3;
⑤4×4+1=4×5-
3. 24n-1+1=4n-
3.
11.解:1根据图形可得出:2节链条的长度为
2.5×2-
0.8cm3节链条的长度为
2.5×3-
0.8×2cm4节链条的长度为
2.5×4-
0.8×3=
7.6cm.故填
7.
6. 2由1可得n节链条长为
2.5n-
0.8n-1=
1.7n+
0.8cm.故填
1.7n+
0.
8. 3因为自行车上的链条为环形所以要比展直时缩短
0.8cm故这辆自行车链条的总长度是
1.7×50=85cm.规律探索问题既需要充分调动学生的思维也需要给予学生必要的指导.在引导学生进行探究的过程中提出了相关具有引导性的问题不但可以帮助学生摸索解决探索规律问题的方法而且可以使学生体验到探索尝试的快乐.对教材习题的处理花费的时间比较少课后作业的部分习题难度较大.在探索空心方阵的总点数等于n2-n-22的过程中可以让学生分组进行最后总结全班同学一共列出了多少种算法.练习教材第107页解:nn+2=n+12-
1.习题教材第108页A组
1.解:13 5 7 9 11 22n+1根. 3分别需要37根81根火柴.
2.解:2n+1粒.
3.164 8 15 2n-12+1 n2 2n-1B组
1.解:142分;56分. 2nn-1分.
2.解:130个;42个. 262n-1个. 山西中考如图所示的是由形状相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的一组有规律的图案则第n个图案中阴影小三角形的个数是 . 〔解析〕 由图可知第一个图案有阴影小三角形2个第二个图案有阴影小三角形2+4=6个第三个图案有阴影小三角形2+8=10个第四个图案有阴影小三角形2+12=14个…所以第n个图案有阴影小三角形2+4n-1=4n-2个.故填4n-2或2+4n-
1.[解题策略] 解决此种类型题的关键是分别数清每一个图案中的三角形个数再由此发现规律从而写出最终结果.
3.3 代数式的值
1.了解代数式的值的概念会求代数式的值并能体会代数式实际上是由计算程序反映的一种数量关系.
2.通过简单实例中两个数量之间的对应关系进一步发展符号感.
3.根据代数式求值推断代数式所反映的规律.经历观察、实验、猜想等数学活动的过程发展合理的推理能力能综合运用所学知识解决问题.初步认识数学与人类活动的密切联系体验数学活动充满着探索与创造感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.【重点】 会求代数式的值;规范求值步骤.【难点】 根据代数式求值推断代数式所反映的规律.第课时了解代数式的值的概念会求代数式的值.通过课堂活动理解代数式是一种计算程序.初步认识数学与人类活动的密切联系.【重点】 会求代数式的值;规范求值步骤.【难点】 理解代数式是一种运算程序.【教师准备】 多媒体课件.【学生准备】 复习代数式的相关定义.导入一:如图所示由三种图示方法得到空心方阵的总点数分别为4n-44n-12n+2n-
2.请你谈谈:当字母n是一个具体数值的时候能算出这个空心方阵的总点数吗[设计意图] 借助于上节课学习的问题情境帮助学生认识到代数式可以通过确定字母的具体值解决实际问题.导入二:问题:1遗传是影响一个人身高的因素之一.国外有学者总结出由父母身高预测子女身高的公式:儿子成年后的身高=女儿成年后的身高=其中a是父亲的身高b是母亲的身高单位:m.现在你可以预测一下自己的身高了.2你们用同一个公式计算的结果相同吗为什么[设计意图] 学生通过计算自己的身高发现这实际就是代入求值问题为学习本节课代数式的求值做准备.导入三:同学们一定记得圆的周长和面积公式吧利用这个公式我们可以求具体的一个圆的周长和面积这个计算的过程实际就是一个求代数式的值的过程.[设计意图] 借助于学生的学习经验并迁移到新的学习内容中便于学生接受知识.把具体的数代入代数式就可以得到代数式的值了.活动1 代数式是一种运算程序在上节课研究的由点组成的空心方阵这一问题中当空心方阵每边上的点数为n时方阵总点数的一种表示形式是4n-
4.这是一个含字母n的代数式.问题:此时我们能知道这个代数式的值是多少吗
1.一起探究.1当n取4101325等值时分别代入上面的代数式计算出代数式4n-4相应的值.思考:对于n的同一个值同学们得到的结果都相同吗相同.2以n=4和n=13为例说明你是如何算出4n-4的值的.n=4时4n-4=4×4-4=
12.n=13时4n-4=4×13-4=
48.3总结:从上面我们可以看到对代数式中的字母代入不同的值都可以求出代数式相应的值.一个代数式可以看作一个计算程序.例如:5x2-8x+2→输入x=-2→5×-22-8×-2+2→输出
38.
2.代数式的值.像这样用数值代替代数式中的字母按照代数式中给出的运算计算出的结果叫做代数式的值.这个过程叫做求代数式的值.活动2 例题讲解 根据下面ab的值求代数式a-的值:1a=2b=-6; 2a=-10b=
4.解:1当a=2b=-6时a-=2-=2+3=
5.2当a=-10b=4时a-=-10-=-10+=-. 如图所示已知长方体的高为h底面是边长为a的正方形.当h=3a=2时分别求其体积V和表面积S.解:因为V=a2hS=2a2+4ah所以当a=2h=3时V=a2h=22×3=12S=2a2+4ah=2×22+4×2×3=
32.[知识拓展] 1代数式的值是按代数式的运算关系得到的具体数值随字母取值的不同而不同字母的值确定了代数式的值也就确定了但字母的取值必须确保代数式有意义.2代数式中原来省略乘号时代入具体数值后出现数与数相乘时必须恢复乘号.3若做乘方运算字母给出的数值是负数或分数代入时要加括号.4一个代数式的值由它所含字母的值决定具有不唯一性.
1.一个代数式可以看作一个计算程序.
2.用数值代替代数式中的字母按照代数式中给出的运算计算出的结果叫做代数式的值.这个过程叫做求代数式的值.
1.xx·湖州中考当x=1时代数式4-3x的值是 A.1 B.2 C.3 D.4解析:当x=1时4-3x=4-3×1=
1.故选A.
2.若+2y+12=0则x2+y3的值为 A.1B.-1C.D.2解析:由题意知x=-y=-x2+y3=.故选C.
3.xx·龙岩中考若4a-2b=2π则2a-b+π= .解析:由4a-2b=2π两边同时除以2得2a-b=π代入所求代数式得2a-b+π=π+π=2π.故填2π.
4.1分别求出代数式a2-2ab+b2和a-b2的值其中:
①a=b=3
②a=5b=3;2观察1中的
①②你发现了什么解:1
①;
②
44. 2a2-2ab+b2=a-b
2.第1课时活动1 代数式是一种运算程序活动2 例题讲解
一、教材作业【必做题】教材第112页习题A组第15题.【选做题】教材第112页习题B组第1题.
二、课后作业【基础巩固】
1.xx·海南中考已知x=1y=2则代数式x-y的值为 A.1B.-1C.2D.-
32.xx·娄底中考已知a2+2a=1则代数式2a2+4a-1的值为 A.0B.1C.-1D.-
23.下列代数式中的x能取0的是 A.B.C.D.
4.若x=2则x3= .
5.求下列条件下代数式的值.1当a=8b=2时;2当a=b=时.【能力提升】
6.若x=4则|x-5|的值是 A.1B.-1C.9D.-
97.当x分别等于3和-3时代数式x6-2x2+1的值 A.互为相反数B.互为倒数C.相等D.异号
8.若|a|=3b=2则a+b= .
9.请写出一个含有xy的代数式并且给定一组xy的值使得代数式的值为
6.
10.设A=x2-3xy-y2B=-2x2+xy-y2当x=-y=-4时试比较A与B的大小.【拓展探究】
11.已知x=-1则代数式x+x2+x3+x4+…+xxx等于 .
12.当代数式3-x-12取最大值时代数式4x-[-x2+22x-1]的值等于 .
13.已知ab互为相反数cd互为倒数|m|=1求a+b-1+3cd-2m的值.【答案与解析】
1.B解析:把x=1y=2代入代数式x-y中得x-y=1-2=-
1.
2.B解析:原式=2a2+2a-1=2×1-1=
1.
3.A解析:0不能作分母BCD错误.
4.1解析:x3=×23=
1.
5.解:1当a=8b=2时. 2当a=b=时.
6.A解析:把x=4代入|x-5|得|x-5|=|4-5|=|-1|=
1.
7.C解析:互为相反数的两个数的偶次方相等.
8.5或-1解析:由|a|=3得a=±3因此a+b=3+2=5或a+b=-3+2=-
1.
9.解:本题答案不唯一可以任意给定一个含xy的代数式也可有无数组xy的值使代数式的值为
6.如:代数式x2+2y当x=2y=1时x2+2y=22+2×1=
6.
10.解:当x=-y=-4时A=x2-3xy-y2=-3××-4--42=-B=-2x2+xy-y2=-2××-4--42=-因为--所以AB.
11.0解析:把x+x2x3+x4x5+x6…xxx+xxx分别看成一个整体易知这些数都为0故原式为
0.
12.3解析:当x=1时3-x-12取最大值所以原式=4×1-[-12+22×1-1]=
3.
13.解:由题意得a+b=0cd=1m=±1当m=1时原式=a+b-1+3cd-2m=0-1+3-2=-+3-2=;当m=-1时原式=a+b-1+3cd-2m=0-1+3+2=-+3+2=.根据课程标准把握教材.新的课程标准要求注重知识的形成过程及学生对概念的感知和理解如通过学生的实际计算让学生熟练掌握代数式的值的概念.演示例题的过程中忽略了强调计算过程中应该注意的问题.在教学过程中让学生重点体会如何根据实际问题求代数式的值.帮助学生进一步建立起数学和生活联系的观念.练习教材第111页
1.解:1当a=b=时a2+b2=a+b2==
1. 2当a=4b=-3时a2+b2=42+a+b2=.
2.解:1当x=2y=1z=-3时z-yz-x=-3-1×-3-2=
2. 2当x=2y=1z=-3时=-
1.习题教材第112页A组
1.提示:
1.
24.
32.
2.提示:a+ba-b=a2-b
2.
3.解:1a20-acm
2. 2从左到右依次填:
36648496100968464. 3当a=10时长方形的面积最大这时长方形变为正方形.
4.解:1第一行从左到右依次填:-4-1258第二行从左到右依次填:852-1-
4. 2当a取的值越来越大时代数式3a+2的值也随之增大代数式-3a+2的值却随之减小.
5.提示:
11.
2.B组
1.提示:当a=-2a=2a=时a-的值都为
1.
2.解:1当x=2y=3时x+y2=25x2+2xy+y2=
25. 2当x=-2y=4时x+y2=4x2+2xy+y2=
4. 3略. 4x+y2=x2+2xy+y
2. 下面是一组数值转换机写出图1的输出结果写在横线上找出图2的转换步骤填写在框内.〔解析〕 1先乘2再减去3列代数式得2x-3;2由可知先加上3再除以
2.〔答案〕 12x-3 2+3 ÷2 大庆中考按照如图所示的程序计算若输入x=
8.6则m= .〔解析〕 根据图表可知m表示
8.6的整数部分即m=
8.故填
8.[解题策略] 本题考查了代数式的求值正确读图理解x与m的关系是解题关键.第课时
1.通过列表格等方法建立代数式数学模型.
2.通过代数式的计算理解具体的生活情境.通过生活情境进一步理解代数式的意义.提升学生的数学应用意识发展数学符号感.【重点】 建立代数式数学模型解决生活中的实际问题.【难点】 通过代数式的计算理解具体的生活情境.【教师准备】 多媒体课件.【学生准备】 交流总结自己发现的生活中存在的代数式.导入一:出示问题:在某一时刻小惠测得一棵
2.4m高的树在阳光下的影子的长为
1.8m.1写出此时高度为hm的物体与它在阳光下的影子的长pm之间的关系式.2多高的物体此时它在阳光下的影子的长为
1.5m3多高的物体此时它在阳光下的影子的长超过2m[设计意图] 通过第1问帮助学生复习列代数式的基本方法;通过第23问帮助学生体会代数式的值的应用.导入二:物体自由下落的高度h米和下落的时间t秒的关系在地球上大约是h=
4.9t2在月球上大约是h=
0.8t
2.1填写下表:t0246810h=
4.9t2h=
0.8t2 2物体在哪儿下落得快3当h=20时比较物体在地球上和月球上自由下落所需的时间.[设计意图] 通过生活中的科学计算问题帮助学生体会数学的应用价值. [过渡语] 我们不但要学会列代数式同时也要通过代数式理解其应用价值. 活动1 做一做小亮家离学校1280m.他每天步行上学速度约是80m/min.我们用tmin表示小亮从离开家开始的步行时间s1m表示离开家的路程s2m表示距学校的路程.1写出用t分别表示s1和s2的代数式:s1= s2= .提示:s1=80ts2=1280-80t.2对具体的t值计算s1和s2的值并填写下表:t/min
045.
51012.516s1/ms2/m提示:t/mins1/ms2/m
00128043209605.
54408401080048012.5100028016128003当t=7时请你比较小亮离开家的路程与离学校的路程哪个远.提示:t=7时s1=560s2=
720.此时小亮离学校的路程远.追问:
1.表格中的s1/m和s2/m在同时间对应的数量关系有什么特点两个数量之和等于小亮从学校到家的距离.
2.通过这个表格是否可以计算出任何一个时间中小亮的位置情况可以.活动2 一起探究某农场购买了一台新型拖拉机用来耕地.为了测试耕地时的耗油量用它试耕了三块地其面积分别为
0.4公顷
0.6公顷和1公顷.油量表的指针变化情况如图所示油表中的一个大格表示10升油.1根据油量表指针的变化估算耕地
0.4公顷
0.6公顷1公顷的耗油量升与同学交流并将结果填入表中.耕地面积/公顷
0.
40.61耗油量/升 2如果设耕地a公顷耗油量为b升列代数式表示a和b之间的关系.3根据所列的关系式求解下列问题:
①耕地面积为
0.5公顷2公顷时耗油量分别是多少
②如果两次耕地耗油量分别是12升和40升那么所耕地的面积分别是多少公顷提示:1根据油量表指针的变化得:耕地面积/公顷
0.
40.61耗油量/升1015252每耕1公顷地耗油量为25升.因此b=25a.3
①
12.5升50升.
②公顷公顷.追问:
1.本探究问题的核心代数式是什么b=25a.
2.列出这个代数式的主要依据是什么依据是本题图所给出的数据.
3.根据所列出的代数式可以解决哪些相关问题如耕多少地耗油多少根据耗油的数量判断耕地的数量等.通过生活中的数量关系可以列出代数式通过列出的代数式可以解决生活中的数量关系问题.
1.树的高度与树生长的年数有关测得某棵树的有关数据如下表:树苗原高100厘米年数n高度an/厘米1100+52100+103100+154100+20…… 1用含有字母n的代数式表示生长了n年的树苗的高度an;2生长了11年的树的高度是多少解:1an=100+5n. 2当n=11时an=100+5n=100+5×11=155厘米.
2.某人到泉州市移动通讯营业厅办理手机通话业务营业员给他提供了两种办理方式甲方案:月租9元每分钟通话费
0.2元;乙方案:月租0元每分钟通话费
0.3元.1若此人每月平均通话x分钟则两种方式的收费各是多少元用含x的代数式表示2此人每月平均通话10小时选择哪种方式比较合算试说明理由.解:1甲方案:9+
0.2x乙方案:
0.3x. 210小时=600分钟甲方案收费:9+
0.2×600=129元乙方案收费:
0.3×600=180元因为129180所以选择甲方案合算.第2课时活动1 做一做活动2 一起探究
一、教材作业【必做题】教材第114页练习.【选做题】教材第114页习题A组第2题.
二、课后作业【基础巩固】
1.有一摞纸每20张的厚度为1mm设x张纸的厚度为ymm则10张纸的厚度为 mm.
2.某电视机厂接到一批订货每天生产m台计划需a天完成任务现在为了适应市场需求要提前3天交货用代数式表示实际每天应多生产多少台电视机并求当m=1000a=28时每天多生产的台数.
3.治理沙漠的植树活动中某县今年派出的青年志愿者为100人每人完成植树任务50棵计划明年派出的人数增加p%每人植树的任务增加q%.1写出明年计划的植树总数的代数式;2求出当p=10q=20时的植树总数.【能力提升】
4.张叔叔在某房地产公司买了一套经济适用房他准备将地面铺上地砖这套住宅的建筑平面图由四个长方形组成如图所示图中长度单位:米解答下列问题.1用式子表示这所住宅的总面积;2若铺1平方米地砖平均费用为120元求当x=6时这套住宅铺地砖的总费用为多少元.
5.某地区夏季高山上的温度从山脚处开始每升高100米降低
0.6℃.1如果山脚温度是30℃那么山上x米处的温度为多少2如果山脚温度不变那么山上300米、1000米、5000米处的温度各是多少
6.某公园的成人票价为25元儿童票价为15元甲旅行团有x名成人和y名儿童.1求甲旅行团所需的门票总费用;2若乙旅行团的成人数是甲旅行团成人数的儿童数是甲旅行团儿童数的3倍则乙旅行团所需的门票总费用是多少3当x=10y=4时两个旅行团所需的门票总费用是多少元【拓展探究】
7.xx·漳州中考在数学活动课上同学们利用如图所示的程序进行计算发现无论x取任何正整数结果都会进入循环下面选项一定不是该循环的是 A.421 B.214 C.142 D.
2418.某学校准备组织部分教师到杭州旅游现联系了甲、乙两家旅行社两家旅行社报价均为400元/人同时两旅行社都对10人以上的团体推出了优惠举措:甲旅行社对每位游客七五折优惠;而乙旅行社则免去一位带队教师的费用其余游客八折优惠.1如果设参加旅游的教师共有xx10人那么甲旅行社的费用为 元乙旅行社的费用为 元;用含x的代数式表示2假如某校组织17名教师到杭州旅游该校选择哪一家旅行社比较优惠请说明理由.【答案与解析】
1.
0.5解析:总厚度=每张纸的厚度×张数.y=x.当x=10时y=x=×10=
0.
5.故填
0.
5.
2.解:实际每天应多生产台电视机.当m=1000a=28时-m=-1000=1120-1000=120即每天多生产120台.
3.解:1501+q%×1001+p%. 2当p=10q=20时501+q%×1001+p%=50×
1.1×100×
1.2=6600即植树总数为6600棵.
4.解:1总面积=3x+x2+4×3+2×3=x2+3x+
18. 2当x=6时总面积=62+3×6+18=36+18+18=72平方米所以这套住宅铺地砖的总费用为72×120=8640元.
5.解:1山上x米处的温度是℃. 2把x=30010005000分别代入30-得30-=
28.2℃30-=24℃30-=0℃因此当山脚温度为30℃时山上300米、1000米、5000米处的温度分别为
28.2℃24℃0℃.
6.解:125x+15y元. 210x+45y元. 3当x=10y=4时25x+15y=25×10+15×4=310元.10x+45y=10×10+45×4=280元.所以当x=10y=4时两个旅行团所需的门票总费用是310+280=590元.
7.D解析:若最初输入的数是4由x=4是偶数得对应的值是=2;而x=2是偶数则对应的值是=1;而x=1是奇数则对应的数是3x+1=
4.由此可得以421为一个循环节进入循环.类似地用上述方法可得:当最初输入的数是2时其将以214为一个循环节进入循环;当最初输入的数是1时其将以142为一个循环节进入循环.故选D.
8.解:1甲旅行社:400×
0.75x=300x乙旅行社:400×
0.8x-1=320x-
1.故分别填:300x320x-
1. 2当x=17时300x=300×17=5100元320x-1=320×16=5120元51005120所以该校选择甲旅行社比较优惠.本题的教学设计围绕通过列出的代数式去拓展解决具体问题展开抓住了课时教学的重点.通过对问题的追问加深了学生对代数式数学模型重要作用和意义的理解.在填写表格数据的时候没有让学生进行交流和比较忽略了交流合作在这个环节中的重要作用.在处理活动1的时候可以让学生自主选择不同时间的数据进行分析这样可以更好地增强学生学习的自主性.练习教材第114页提示:1h=p. 22m. 3高度超过m的物体.习题教材第114页A组
1.解:1p=1+
3.50%a. 2当a=1000时p=1035元当a=xx时p=2070元当a=4500时p=
4657.5元. 3列表如下:a/元1000xx4500p/元
103520704657.
52.解:1y=2x+1z=3x-
1. 2第一行从左到右依次填:
357911131517.第二行从左到右依次填:
2581114172023. 3略.
3.解:1[7+
0.8n-1]cm. 2当n=6时高度为11cm.B组
1.解:1乙车出发xh后甲车离A地路程为千米乙车离A地路程为80x千米. 260×+60x=80x.
2.解:14×6-52=24-25=-1 2nn+2-n+12=-
1.复习题教材第116页A组
1.1-a≠0 2 3 45a 5bb+3 6
2.解:
1. 22a+b
2. 3a2+b2-4ab. 4+
3.
3.解:1
①3n.
②5n+
2.
③2n-
1. 2×100% 32 4100m+1+10m+m-1即111m+
99.
4.解:a+a+7+a+14+a+21即4a+
42.
5.解:4a+5岁.
6.解:12x+50m
2. 2m
2.
7.解:.
8.解:km.
10.解:x人人.
11.解:1当x=5时y=
20.5元当x=10时y=41元. 2y=
4.1x.
12.解:n2+n=nn+
1.
13.解:第1行从左到右依次填:-18-4-6-22818第2行从左到右依次填:1832327第3行从左到右依次填:
0.
14.提示:当x=时x2+2x+1和x+12的值均为.B组
1.解:[a+2a+3]·即a+
12.
2.解:1+
3.5%x+1+
3.5%x·
4.4%×2=
1.12608x元.
3.解:甲:.乙:.丙:.总共完成的工作量:.
4.解:[4+nn+1]个.
5.解:1从左到右依次填:
3610152128. 2w=aa+
1.C组
1.解:1个位数字依次是1375依次循环. 2略.
35.
2.1略. 2略. 3解:设高为h.圆柱形容器的容积为π·h=长方体形容器的容积为h=.因为4π16所以所以圆柱形容器的容积大.
3.解:
10.25厘米.
12.25厘米. 212+
0.25n厘米. 3同意因为当n=72时12+
0.25n=12+
0.25×72=30厘米. 一根长80厘米的弹簧一端固定如果另一端挂上物体那么在正常情况下物体的质量每增加1千克弹簧增长2厘米.1填写下表:所挂物体的质量/千克1234…弹簧的总长度/厘米828486 …2如何表示所挂物体的质量是m千克时弹簧的总长度L厘米是多少用m的代数式来表示.3如果弹簧的长度为92厘米此时挂上多少千克的物体解:1由题意知表中括号内应填
88.2L=80+2m.3当L=92时92=80+2m解得m=6即此时挂上6千克的物体.
1.理解用字母表示数的意义能结合具体情境给字母赋予实际意义.
2.理解代数式和代数式的值的意义能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义在具体情境中能求出代数式的值.
3.建立数感、符号意识初步形成运算能力发展抽象思维.
1.经历观察、体验、验算、猜想、归纳等数学过程体会数学与现实世界的联系增强符号感发展运用符号解决问题和数学探究意识.
2.会求代数式的值能解释代数式的值的实际意义能根据代数式的值推断代数式反映的规律.在解决问题的过程中体验类比、联想等思维体验数学美增强学习的自信心.【重点】 列代数式;求代数式的值.【难点】 正确列出代数式表示现实问题中的数量关系;从不同的角度给代数式赋予实际意义.代数式专题一 用字母表示数【专题分析】用字母表示数量关系是学好本章的基础也是今后学习方程、函数、不等式等内容的必备知识应用广泛涉及面广且是中考常考的内容.用字母表示数解决了特殊与一般的关系体现了“由特殊到一般”再由“一般到特殊”的认识规律的思想方法.用字母表示数转化为用数字、字母和运算符号构成的符号语言.用字母表示数的特点:任意性抽象性. 用字母表示下列各数.1每包书有20册n包书有 册;2温度由t℃下降3℃后是 ℃;3产量由m千克增长20%就达到 千克.〔解析〕 第2小题中下降3℃就是用t加上-3且后面有单位所以t-3要加括号写成t-3就不对了;第3小题中增长20%即1+20%m.〔答案〕 120n 2t-3 31+20%m【针对训练1】 用字母表示下列各数.1比a与b的和小3的数;2比a与b的积的2倍大5的数;3比a与b的差的一半小1的数;4比a除以b的商的3倍大8的数.〔解析〕 从关键性的词语判断运算顺序列式即可.解:1a+b-
3. 22ab+
5. 3a-b-
1. 4+
8.[规律方法] 根据实际问题中的数量关系列出所要求的式子在列式时要抓住关键性词语掌握好它们和运算之间的对应关系.专题二 代数式【专题分析】用字母表示数有一定的限制字母所取的数应保证它所在的式子有意义单独一个数或一个字母也是代数式. 某风景区的门票价格是:成人票每张10元学生票每张5元.一个旅游团有成人x人、学生y人.1请你根据题意确定该旅游团应付多少门票费;2如果该旅游团有37个成人15个学生那么门票费是多少呢〔解析〕 x和y分别表示人数取值时应符合实际意义.解:1该旅游团应付的门票费是10x+5y元.2把x=37y=15代入代数式10x+5y得10x+5y=10×37+5×15=
445.因此他们应付445元门票费.[解题策略] 10x+5y表示的是x个成人、y个学生进公园的门票费.【针对训练2】 如果用xm/s表示小明跑步的速度用ym/s表示小明走路的速度那么10x+5y表示什么解:表示他跑步10s和走路5s所经过的路程.专题三 列代数式【专题分析】列代数式是研究数量关系的重要基础在整个中学数学中占有极其重要的地位.列代数式的几个注意事项:1数与字母相乘或字母与字母相乘通常使用“·”乘或省略不写;2数与数相乘仍应使用“×”乘不用“·”乘也不能省略乘号;3数与字母相乘时一般在结果中把数写在字母前面如a×5应写成5a;4带分数与字母相乘时要把带分数改写成假分数的形式如a×1应写成a;5在代数式中出现除法运算时一般用分数线将被除式和除式联系起来如3÷a写成的形式;6a与b的差写作a-b要注意字母顺序;若只说两数的差当设两数分别为ab时应分类写作a-b和b-a. 有一段长为skm的坡路某人上坡时速度为akm/h下坡时速度为bkm/h则此人上、下坡的平均速度为 A.km/h B.km/hC.km/hD.以上均不对〔解析〕 上坡所用时间为h下坡所用时间为h共用时间为h总路程为2skm则所求速度为km/h.故选C.[解题策略] 列代数式的关键是正确理解文字语言中的关键词找到其中的数量关系.【针对训练3】 如图所示正方形的边长为a分别以对角顶点为圆心以边长为半径画弧则图中阴影部分的面积为 A.-a2+πa2B.2C.-a2+πa2D.a2-πa2〔解析〕 阴影部分的面积等于正方形面积-正方形面积-扇形面积×2即S阴影部分=a2-2=a2-2a2+πa2=-a2+πa
2.故选C.[解题策略] 利用转化思想求出阴影部分的面积是解题的关键.专题四 求代数式的值【专题分析】代数式求值是数学计算的基本方式之一也是利用数学模型解决实际问题的基础. 当a=99时代数式的值是 .〔解析〕 可直接代入求值.原式==
100.故填
100.【针对训练4】 当x=5y=4时式子x-的值是 A.3 B. C.-3 D.-〔解析〕 把x=5y=4代入得原式=5-2=
3.故选A.[解题策略] 此题考查了代数式求值熟练掌握运算法则是解本题的关键. xx·盐城中考若2m-n2=4则代数式10+4m-2n2的值为 .〔解析〕 由2m-n2=4得4m-2n2=22m-n2=2×4=8然后再代入求值.10+4m-2n2=10+22m-n2=10+2×4=
18.故填
18.[规律方法] 本题考查的内容是求代数式的值方法是把条件变形后直接代入化简也可以把所求式子适当变形后用整体代入求解考查代入法并体现整体思想.【针对训练5】 如图所示边长为ab的长方形的周长为14面积为10则aba+b的值为 A.140 B.70C.55D.24〔解析〕 由周长为14知2a+b=14即a+b=7由面积为10知ab=10则aba+b=10×7=
70.故选B.专题五 与代数式有关的规律探索【专题分析】观察数量变化探索由特殊到一般的关系联系生活实际通过计算揭示其中的变化规律并对某些数值作出估测.一般有表格中数据的变化图形的拼接等规律探索问题. 用同样大小的小正方形纸片按以下方式拼大正方形.第1个图形中有1个小正方形;第2个图形比第1个图形多 个小正方形;第3个图形比第2个图形多 个小正方形;第4个图形比第3个图形多 个小正方形.1第10个图形比第9个图形多多少个小正方形2第100个图形比第99个图形多多少个小正方形3第n个图形比第n-1个图形多多少个小正方形4你还有什么发现〔解析〕 根据已知图形得出第2个图形比第1个图形多4-1=3个正方形;第3个图形比第2个图形多9-4=5个正方形;第4个图形比第3个图形多16-9=7个正方形.进而得出公式:第n个图形比第n-1个图形多2n-1个小正方形.由此利用规律得出答案即可.解:依次填
357.1第10个图形比第9个图形多2×10-1=19个小正方形.2第100个图形比第99个图形多2×100-1=199个小正方形.3第n个图形比第n-1个图形多2n-1个小正方形.4还可以看出后一个图形比前一个图形多的正方形数正好是前一个正方形一条边上的正方形个数的2倍加上
1.【针对训练6】 xx·张家界中考任意大于1的正整数m的三次幂均可“分裂”成m个连续奇数的和如:23=3+533=7+9+1143=13+15+17+19…按此规律若m3分裂后其中有一个奇数是xx则m的值是 A.46 B.45 C.44 D.43〔解析〕 本题是一道规律探索型试题解题的关键是发现底数与等式右边的奇数个数之间的关系.观察所给式子可以发现其中的规律为:底数是m则这个数可分裂为m个奇数先确定xx在哪一组里即可确定m的值.从23=3+5可以看出1×2+1=32×3-1=5;从33=7+9+11可以看出2×3+1=73×4-1=11;从43=13+15+17+19可以看出3×4+1=134×5-1=19;….而44×45+1=198145×46-1=2069数字xx位于1981~2069之间所以m=
45.故选B. xx·重庆中考下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的其中第
①个图形中一共有6个小圆圈第
②个图形中一共有9个小圆圈第
③个图形中一共有12个小圆圈…按此规律排列则第
⑦个图形中小圆圈的个数为 A.21 B.24 C.27 D.30〔解析〕 第
①个图形中共有6个小圆圈第
②个图形中共有9个小圆圈第
③个图形中共有12个小圆圈…按此规律可知第n个图形中共有3n+3个小圆圈所以第
⑦个图形中小圆圈的个数为3×7+3=
24.故选B.[规律方法] 解决图形规律探索问题首先从简单的图形入手观察图形、数字随着“序号”或“编号”增加时后一个图形与前一个图形相比在数量上的变化情况或图形的变化情况找出变化规律从而推出一般性结论.【针对训练7】 用正三角形和正六边形按如图所示的规律拼图案即从第二个图案开始每个图案都比上一个图案多一个正六边形和两个正三角形则第n个图案中正三角形的个数为 .用含n的代数式表示〔解析〕 本题是一道找规律的题目注意由特殊到一般的分析方法此题的规律为:第n个图案就有正三角形2n+2个.这类题型在中考中经常出现.由图可知:第一个图案有正三角形4个即为2×1+
2.第二个图案比第一个图案多2个即为2×2+2=
6.第三个图案比第二个图案多2个即为2×3+2=
8.那么第n个图案就有正三角形2n+2个.故填2n+
2.本章质量评估时间:90分钟 满分:120分
一、选择题第1~6小题各2分第7~16小题各3分共42分
1.-a表示的数是 A.正数 B.负数C.正数或负数D.任意有理数
2.下列各说法中错误的是 A.代数式a2+b2的意义是a与b的平方和B.代数式3x+y的意义是3与x+y的积C.x的4倍与y的和的一半用代数式表示为4x+D.比x的2倍少3的数用代数式表示为2x-
33.下列各式符合代数式书写习惯的是 A.B.a×3C.3x-1个D.2n
4.当a=3b=1时代数式的值是 A.2 B.0 C.3 D.
5.下列式子中代数式的个数有 -2a-5-32a+1=43x3+2x2y4-b.A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
6.代数式的值一定不能是 A.6B.0C.8D.
24147.若a-2b=3则2a-4b-5等于 A.2B.3C.1D.-
38.已知代数式x+2y的值是5则代数式2x+4y+1的值是 A.6B.7C.11D.
129.有三个连续偶数最大的一个数是2n+2则最小的一个数可表示为 A.2nB.2n-2C.2n+1D.2n-
110.已知a是两位数b是一位数把a接写在b的后面就成为一个三位数.这个三位数可表示成 A.10b+aB.baC.100b+aD.b+10a
11.一个代数式的2倍与-2a+b的和是a+2b这个代数式是 A.3a+bB.-a+bC.a+bD.a+b
12.若x+y=4ab互为倒数则x+y+5ab的值是 A.4B.7C.10D.-
413.已知ab两数在数轴上的位置如图所示则化简代数式|a+b|-|a-1|+|b+2|的结果是 A.1B.2b+3C.2a-3D.-
114.在排成每行七天的日历表中取下一个3×3的方块如图所示.若所有日期数之和为189则n的值为 nA.21B.11C.15D.
915.某商品进价为a元商店将其进价提高30%作为零售价销售在销售旺季过后商店又以8折即售价的80%的价格开展促销活动这时一件商品的售价为 A.a元B.
0.8a元C.
0.92a元D.
1.04a元
16.已知整数a1a2a3a4满足条件:a1=0a2=-|a1+1|a3=-|a2+2|a4=-|a3+3|依次类推则axx的值为 A.-1005B.-1006C.-1007D.-xx
二、填空题每小题3分共12分
17.如图所示的是一个数值转换机的示意图若输入x的值为3y的值为-2时则输出的结果为 .
18.一个学生由于粗心在计算35-a的值时误将“-”看成“+”结果得63则35-a的值应为 .
19.如果x=1时代数式2ax3+3bx+4的值是5那么x=-1时代数式2ax3+3bx+4的值是 .
20.已知甲、乙两种糖果的单价分别是x元/千克和12元/千克.为了使甲、乙两种糖果分别销售与把它们混合成什锦糖后再销售收入保持不变则由20千克甲种糖果和y千克乙种糖果混合而成的什锦糖的单价应是 元/千克.
三、解答题共66分
21.10分如图所示.1阴影部分的周长是 ;2阴影部分的面积是 ;3当x=
5.5y=4时阴影部分的周长是多少面积是多少
22.10分一张正方形的桌子可坐4人按照如图所示的方式将桌子拼在一起回答下列问题.1两张桌子拼在一起可以坐几人三张桌子拼在一起可以坐几人n张桌子拼在一起可以坐几人2一家酒楼有60张这样的正方形桌子按如图所示的方式每4张拼成一张大桌子则60张桌子可以拼成15张大桌子共可坐多少人3在2中若每4张桌子拼成一张大的正方形桌子共可坐多少人4对于这家酒楼23中哪种拼桌子的方式能使坐的人更多
23.10分一个两位数把它十位上的数字与个位上的数字对调得到一个新的两位数.试说明原来的两位数与新两位数的差一定能被9整除.
24.12分观察下面的变形规律:=1-;;;….解答下面的问题.1若n为正整数请你猜想= ;2说明你猜想的结论;3求和:+…+.
25.12分一种蔬菜x千克不加工直接出售每千克可卖y元;如果经过加工质量减少了20%价格增加了40%.1x千克这种蔬菜加工后可卖多少钱2如果这种蔬菜1000千克不加工直接出售每千克可卖
1.5元那么加工后原1000千克这种蔬菜可卖多少钱比加工前多卖多少钱
26.12分任意写出一个各个数位上都不含零的三位数任取三个数字中的两个组合成所有可能的两位数有6个.求出所有这些两位数的和然后将它除以原三位数的各个数位上的数字之和.例如对三位数223取其两个数字组成所有可能的两位数:
222322233232.它们的和是
154.三位数223各数位上的数的和是7154÷7=
22.再换几个数试一试你发现了什么请写出你按上面方法的探索过程和所发现的结果并运用代数式的知识说明所发现的结果的正确性.【答案与解析】
1.D解析:a可以表示任意有理数.
2.C解析:选项C中运算顺序表达错误应写成4x+y.故选C.
3.A
4.D解析:将a=3b=1代入代数式得.故选D.
5.C解析:由分析可知是代数式的有-2a-5-33x3+2x2y4-b而2a+1=4中有等号是一个方程.代数式有4个.故选C.
6.B
7.C解析:因为a-2b=3所以2a-4b-5=2×3-5=
1.故选C.
8.C
9.B
10.C解析:两位数的表示方法:十位数字×10+个位数字;三位数的表示方法:百位数字×100+十位数字×10+个位数字.a是两位数b是一位数依据题意可得b扩大为原来的100倍所以这个三位数可表示成100b+a.故选C.
11.D解析:这个代数式的2倍为a+2b--2a+b=3a+b所以这个代数式为a+b.故选D.
12.B解析:x+y+5ab=×4+5×1=2+5=
7.故选B.
13.B解析:由数轴可知-2b-11a2且|a||b|所以a+b0故|a+b|-|a-1|+|b+2|=a+b-a-1+b+2=a+b-a+1+b+2=2b+
3.故选B.
14.A解析:日历的排列是有一定规律的在日历表中取下一个3×3的方块若中间的数是n则它上面的数是n-7下面的数是n+7左边的数是n-1右边的数是n+1左边最上面的数是n-1-7最下面的数是n-1+7右边最上面的数是n+1-7最下面的数是n+1+
7.若所有日期数之和为189则n+1+7+n+1-7+n-1+7+n-1-7+n+1+n-1+n+7+n-7+n=189即9n=189解得n=
21.故选A.
15.D解析:依题意可得a1+30%×
0.8=
1.04a元.故选D.
16.B解析:依次计算并找到规律可以得到最后结果.
17.5解析:把x=3y=-2输入此程序得[3×2+-22]÷2=10÷2=
5.
18.
719.3解析:本题考查了代数式的求值技巧——整体代入法.把x=1代入代数式2ax3+3bx+4得2a+3b+4=5即2a+3b=
1.把x=-1代入代数式2ax3+3bx+4得-2a-3b+
4.因为2a+3b=1所以-2a-3b=-1所以-2a-3b+4=-1+4=
3.
20.解析:此题要根据题意列出代数式.先求出20千克甲种糖果和y千克乙种糖果的总价钱即20x+12y元混合糖果的质量是20+y千克由此我们可以求出20千克甲种糖果和y千克乙种糖果混合而成的什锦糖的单价应为元/千克.
21.解:14x+6y
23.5xy 3当x=
5.5y=4时阴影部分的周长为4x+6y=4×
5.5+6×4=46阴影部分的面积为
3.5xy=
3.5×
5.5×4=
77.
22.解:1两张桌子拼在一起可以坐6人三张桌子拼在一起可以坐8人.每加一张桌子可以多坐2人则n张桌子拼在一起可以坐4+2n-1=2n+2人. 24张桌子拼在一起可以坐2×4+2=10人则60张桌子拼成15张大桌子后可以坐10×15=150人. 3每4张桌子拼成一张大的正方形桌子则可以坐8人则60张桌子拼成15张大桌子后总共可以坐8×15=120人. 4对于这家酒楼2中拼桌子的方式能使坐的人更多.
23.解:设原来的两位数是10a+b则调换位置后的新数是10b+a.由题意知10a+b-10b+a=9a-9b=9a-b.则它们的差一定能被9整除.
24.解:1 2右边==左边所以猜想成立. 3原式=1-+…+=1-.
25.解:1x千克这种蔬菜加工后质量为x1-20%千克价格为y1+40%元.故x千克这种蔬菜加工后可卖x1-20%·y1+40%=
1.12xy元. 2加工后可卖
1.12×1000×
1.5=1680元比加工前多卖
1.12×1000×
1.5-1000×
1.5=180元.
26.解:举例1:三位数578:=22;举例2:三位数123:=
22.猜想:一个各个数位上都不含零的三位数任取三个数字中的两个组合成所有可能的两位数的和除以这个三位数的各个数位上的数字之和恒等于
22.说明如下:设三位数为100a+10b+cabc≠0则所有的两位数是10a+b10a+c10b+a10b+c10c+a10c+b.故:=
22.。