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文本内容:
2019-2020年七年级数学下册9不等式与不等式组教案(新版)新人教版
1.了解不等式的概念会从实际问题中建立不等式的数学模型.
2.经历探究的过程掌握不等式的性质会运用它进行简单的不等式变形.
3.经历问题的建模过程感受不等式是刻画现实世界的有效模型.
4.理解不等式组的解及解集的含义会解简单的一元一次不等式组能在数轴上表示一元一次不等式组的解集并能求一元一次不等式组的特殊解初步体会数形结合思想.
5.能根据具体问题中的数量关系列出一元一次不等式组解决简单的实际问题.
1.通过学生自己动手、动脑去体验、发现、归纳、概括不等式的性质.
2.通过类比一元一次方程组学习一元一次不等式组充分利用知识的类比进行学习、探索.
3.把不等式组的解集在数轴上直观地表示出来加深学生对不等式组解集的理解使学生形象地认识不等式解集的几何意义和它的无限性.通过对不等式、不等式的解与解集的探究培养学生的实践能力、概括能力、类比推理能力也培养学生的合作交流意识和探索精神.单元开始从一个实际问题引入体现了现实生活中的不等关系从认识不等式开始入手在一元一次方程的基础上依次介绍了不等式及其解的意义不等式的性质一元一次不等式组的解法和一元一次不等式组在实际问题中的应用与探索等问题体现了类比、化归思想在数学中的应用.【重点】 一元一次不等式的解法、不等式的性质和不等式组的应用.【难点】
1.不等式的解和不等式组的解.
2.应用不等式组解决实际问题.
1.在单元学习的过程中注意贯彻类比思想借助于等式、一元一次方程帮助、指导学生学习一元一次不等式组的相关知识.
2.在数轴上表示不等式的解集是数形结合的具体体现要结合教学对学生进行数形结合思想、方法的指导.
3.在利用不等式组解决实际问题时注意对一些关键词语的理解同时要注意挖掘题目中所隐含的不等关系利用建模思想将不等关系与实际问题结合起来并注意不等式组解的特殊性.
9.1 不等式
9.
1.1 不等式及其解集1课时
9.
1.2 不等式的性质2课时3课时
9.2 一元一次不等式2课时
9.3 一元一次不等式组2课时单元概括整合1课时
9.1 不等式
1.了解不等式、不等式的解、不等式解集的概念.
2.理解不等式的性质.
3.运用不等式的性质解简单的不等式.
4.能在数轴上表示不等式的解集.通过类比思想借助于等式的概念和性质学习和掌握不等式的性质及其解法.培养学生积极寻求研究问题方法的意识培养学生细心探索和善于合作的精神.【重点】 利用不等式的性质解简单的不等式.【难点】
1.利用数轴表示不等式的解集.
2.根据实际意义确定不等式的解集.
9.
1.1 不等式及其解集感受生活中不等关系的存在了解不等式的意义能把不等式的解集正确地表示在数轴上.经历探究不等式的解与解集的不同意义的过程体会数形结合思想.培养学生的合作交流意识和探索精神.【重点】 理解不等式、不等式的解与解集的意义能把不等式的解集正确地表示在数轴上.【难点】 把不等式的解集正确地表示在数轴上.【教师准备】 课堂教学讨论问题的投影.【学生准备】 复习方程的有关定义.导入一:如图所示小明与小丽比身高小丽身高为qcm小明身高为pcm小丽站在20cm高的箱子上还没有小明高则q+20与p哪个大[设计意图] 通过生活情境引导学生从不等的角度思考问题初步感受不等的数量关系.导入二:天平是物理课上常用的一种仪器如图1所示的天平两边托盘上的物体一样重此时天平平衡若天平两边托盘上的物体不一样重就会出现如图23所示的情形此时两天平不平衡.【问题思考】 我们应如何表示物体A的质量呢[设计意图] 通过“天平”暗示方程与不等式的关系暗示等式和不等式之间的联系.导入三:如图所示小明和爸爸、妈妈三人在操场上玩跷跷板爸爸的体重为72千克坐在跷跷板的一端;体重只有妈妈一半的小明和妈妈一同坐在跷跷板的另一端.这时爸爸坐的一端仍然着地后来小明借来一个质量为6千克的哑铃加在他和妈妈坐的一端结果爸爸被翘起.在上面的例子中如果设小明的体重为x千克那么妈妈的体重为2x千克当爸爸所坐的一端着地时x+2x千克小于72千克;当爸爸被翘起时x+2x+6千克大于72千克.怎样用数学式子表示上述不等关系呢[设计意图] 借助于生活情境帮助学生体会未知数的数量关系为引入不等式解决问题作认知的准备.
一、不等式 [过渡语] 生活中不仅有等量关系还有不等量关系从本课时开始我们学习新的数量关系:不等量关系.一辆匀速行驶的汽车在11:20距离A地50km要在12:00之前驶过A地车速应满足什么条件问题1如果把原题变为:要在12:00正好到达A地车速应该是多少[设计意图] 通过时间和路程的关系学生很容易算出车速.以这个车速为依据帮助学生进行下一步的思考.问题2如果设车速为xkm/h从时间上看h和h是什么关系板书总结:.
①问题3如果设车速为xkm/h从路程上看汽车要在12:00之前驶过A地那么以这个速度行驶h的路程和50km是什么关系板书总结:x
50.
②问题4根据上面的式子你能总结什么是不等式吗总结:像
①和
②这样用符号“”或“”表示大小关系的式子叫做不等式.像a+2≠a-2这样用符号“≠”表示不等关系的式子也是不等式.有些不等式中不含未知数例如34-1-
2.有些不等式中含有未知数例如
①和
②式中字母x表示未知数. 补充下列各式:
①-30;
②4x+3y0;
③x=3;
④x2+2x+y2;
⑤x≠2;
⑥x+22x+
3.其中属于不等式的有 A.1个B.2个C.3个D.4个〔解析〕 本题直接考查不等式的定义.
③是等式;
④是一个代数式.
③④均不是不等式.只有用不等号连接表示不等关系的式子才是不等式.故选D.[设计意图] 在鉴别不等式的过程中加深对不等式意义的理解.培养学生主动参与、合作交流的意识同时体会在现实生活中不等关系要比相等关系多得多.[知识拓展]
1.不等式的定义也可以叙述成“用不等号表示不等关系的式子叫做不等式”.
2.常见的不等号有:
①“”读作“大于”;
②“”读作“小于”;
③“≠”读作“不等于”它没有明确大小关系.
二、不等式的解 [过渡语] 虽然不等式
①和
②表示了车速应满足的条件但是我们希望更明确地得出x可以取哪些值.上面的不等式中有哪些数值能够满足或者不满足不等式的条件呢思路一问题1以不等式
②为例你能说出几个使不等式成立的数值吗例如:当x=80时x50;当x=78时x
50.这就是说当x取某些值如8078时不等式x50成立.问题2以不等式
②为例你能说出几个使不等式不成立的数值吗例如:当x=72时x50;当x=75时x=
50.这就是说当x取某些值如7275时不等式x50不成立.问题3你能借助方程的解总结什么是不等式的解吗总结:与方程的解类似我们把使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.思路二问题1要使汽车在12:00之前驶过A地你认为车速应该为多少呢问题2车速可以是每小时85千米吗每小时82千米呢每小时
75.1千米呢每小时74千米呢问题3以下各数中哪些能够使不等式x50成立
7673798074.
975.
19060.问题4“使方程两边相等的未知数的值就是方程的解”那么什么是不等式的解呢讨论后得出:当x为
76798075.190时也就是当x75时不等式x50成立;同理可得当x75或x=75时不等式x50不成立.总结:我们把使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.
三、不等式的解集 [过渡语] 除了80和78不等式x50还有其他解吗如果有这些解应满足什么条件〔解析〕 当x75时不等式x50总成立;而当x75或x=75时不等式x50不成立.这就是说任何一个大于75的数都是不等式x50的解这样的解有无数个;任何一个小于或等于75的数都不是不等式x50的解.因此x75表示能使不等式x50成立的x的取值范围它可以在数轴上表示如下图所示. 由上可知在前面问题中汽车要在12:00之前驶过A地车速必须大于75km/h.问题1怎样表示不等式的所有解呢问题2什么叫解方程呢问题3什么叫解不等式呢总结:一般地一个含有未知数的不等式的所有的解组成这个不等式的解集.求方程解的过程叫做解方程.求不等式的解集的过程叫做解不等式.[设计意图] 在数轴上表示不等式的解集是让学生感受数形结合的思想.让学生充分发表意见并通过计算、动手验证、动脑思考初步体会不等式的解集的意义以及不等式的解集与方程的解的不同之处.有意识、有计划、有条理地设计一些引人入胜的问题可让学生始终处在积极的思考状态不知不觉中接受了新知识. 补充如果对于不等式x5当x=1234时都成立那么就说不等式x5的解是x=1234这种说法正确吗解:这种说法不正确因为不等式的解是一个范围内的数不是在这个范围内的几个数正确说法是“如果对于不等式x5当x=1234时都成立那么就说x=1234都是不等式x5的解”.[知识拓展] 不等式的解与不等式的解集是两个不同的概念:
①不等式的解是指某一范围内的数用它代替不等式中的未知数不等式成立;
②不等式的解集是一个含有未知数的不等式的所有解组成的集合简称不等式的解集不等式的解集是一个范围在这个范围内的每一个数值都是不等式的一个解;
③不等式的解是指满足这个不等式的未知数的某个值而不等式的解集是指满足这个不等式的未知数的所有值.不等式的解和解集的区别和联系如下表:区别举例:x-12概念个数表示方法不等式的解x=45……是一些具体的值无数个用等号表示不等式的解集x3是一个范围一个用不等号表示联系在不等式解集范围内的每一个数值都是此不等式的一个解或者说不等式的每一个解都在它的解集的范围内
1.下面各式是不等式的个数为
①-21;
②x=1;
③a+b;
④2a+b0;
⑤a≠3;
⑥x+1y+
4.A.1B.2C.3D.4解析:用不等号表示不等关系的式子叫不等式
①④⑤⑥是不等式.故选D.
2.下列说法中正确的是 A.x=3是不等式2x1的解B.x=3是不等式2x1的唯一解C.x=3不是不等式2x1的解D.x=3是不等式2x1的解集解析:x=3能使2x1成立则x=3是不等式2x1的所有解中的一个解.故选A.
3.在数轴上表示不等式x2的解集.解析:在表示2的点上画空心圆圈表示不包含这一点.解:如下图所示.
4.用不等式表示:1a与b的和的3倍是负数;2x的与3的和比5大;3代数式3x+2的值大于
1.解:13a+b
0. 2x+
35. 33x+
21.
9.
1.1 不等式及其解集
1.不等式例
12.不等式的解
3.不等式的解集例2
一、教材作业【必做题】教材第115页练习第1题.【选做题】教材第116页练习第2题.
二、课后作业【基础巩固】
1.在下列式子中不是不等式的是 A.2x1B.x≠-2C.4x+50D.a=
32.下列说法中错误的是 A.不等式x5的整数解有无数多个B.不等式x-5的负整数解有有限个C.不等式2x-8的解集是x-4D.-40是不等式2x-8的一个解
3.在--10-3中能使不等式x+21成立的有 A.1个B.2个C.3个D.4个
4.“x的4倍与2的和是负数”用不等式表示为 .
5.在课后的探究性学习活动中小明、小丽和小颖三位同学对某个不等式的解集有着不同的说法:小明说x=
2.5是不等式的一个解;小丽说-2-10都是不等式的解;小颖说不等式的正整数解只有
12.请你能根据他们三位同学的描述写出符合这样条件的一个不等式.只写出其中一个即可不必考虑所有情况【能力提升】
6.下列说法正确的是 A.x=3是不等式x+12的解集B.不等式4x-8的解是x-2C.不等式-6x18的解集为x-3D.x是不等式2x-10的解集
7.下列不等式一定成立的是 A.2x6B.-x0C.|x|+10D.x
208.如图所示天平右盘中每个砝码的质量都是1g则图中显示出来的某药品A的质量的范围是 A.大于2gB.小于3gC.大于2g且小于3gD.大于2g或小于3g
9.规定一种新运算:aΔb=a·b-a-b+1如:3Δ4=3×4-3-4+
1.请比较大小:-3Δ4 4Δ-3填“”“=”或“”.
10.先阅读下面的材料然后解答问题:要比较ab的大小可以先求出a与b的差再看这个差是正数、负数或零.若差是正数则a大于b;若差是0则a等于b;若差是负数则a小于b.例如:5-20则52;-6--40则-6-4;8-8=0则8=
8.试比较2x2-2x+3与x2-2x-1的大小.【拓展探究】
11.某班26名同学到人民公园举行活动.人民公园的门票是:每人5元一次购票满30张可以享受优惠:每张少收1元.当领队小明同学准备好了零钱到售票处买26张票时爱动脑筋的小丽却喊住了小明提议要买30张票.1如果当时你在现场你会支持谁为什么2如果是23名同学呢
12.某学校要刻录一批电脑光盘若到电脑公司刻录每张需8元包括空白光盘费若自刻则每张需4元此外还需120元空白光盘费.设刻录x张电脑光盘请用不等式或等式表示:1刻录这批电脑光盘到电脑公司刻录省钱.2刻录这批电脑光盘自刻省钱.3刻录这批电脑光盘到电脑公司和自刻费用一样.【答案与解析】
1.D解析:根据不等式的概念:用“”或“”号表示大小关系的式子叫做不等式用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式可得答案.ABC是不等式D是等式.故选D.
2.C解析:正确求出不等式的解集就可以进行判断.A.正确;B.不等式x-5的负整数解有-4-3-2-1正确;C.不等式2x-8的解集是x-4错误;D.不等式2x-8的解集是x-4包括-40正确.故选C.
3.C解析:把已知的5个数代入不等式中-0和能使不等式x+21成立所以能使不等式x+21成立的有3个.故选C.
4.4x+20解析:x的4倍为4x负数0据此列不等式为4x+
20.
5.解:本题答案不唯一例如:x-
30.
6.D解析:因为x=3是不等式x+12的一个解而不是不等式的解集所以A错;因为x-2是不等式4x-8的解集而不是解所以B错;取一个小于-3的数代入不等式例如当x=-5时不等式的左边是-6×-5=3018所以C错;选项D正确.
7.C解析:根据不等式的定义对各选项进行逐一分析即可.A.当x为3或大于3时不成立故本选项错误;B.当x为0或比0小时不成立故本选项错误;C.不论x为何值不等式均成立故本选项正确;D.当x=0时不成立故本选项错误.故选C.
8.C解析:观察第一幅图易发现A的质量2g再观察第二幅可以发现A的质量3g.故A的质量大于2g且小于3g.故选C.
9.=解析:因为aΔb=a·b-a-b+1所以-3Δ4=-3×4--3-4+1=-124Δ-3=4×-3-4--3+1=-12所以-3Δ4=4Δ-
3.
10.解:因为2x2-2x+3-x2-2x-1=2x2-2x+3-x2+2x+1=x2+40所以2x2-2x+3x2-2x-
1.
11.解:1支持小丽.因为30×5-1=120元26×5=130元130120所以小丽的说法更有道理. 2如果是23名同学应该选择购买23张票理由是30×5-1=120元23×5=115元
120115.
12.解:因为要刻录x张电脑光盘所以到电脑公司刻录需8x元自刻需120+4x元.18x120+4x. 28x120+4x. 38x=120+4x.本课时在教学设计时遵从学生的生活经验从生活情境中抽象出不等量关系的数学问题帮助学生进一步感受数学与生活的联系让学生在生活情境体验中进行学习.借助于一元一次方程知识的学习通过类比思想引导学生学习了不等式、不等式的解及解集等相关定义使学生在正确理念和恰当方法的指导下进行学习.在用数轴表示不等式解集的时候忽略了对空心圆圈表示的含义的强调.补设的例题可以让学生独立去完成老师没必要详细讲解和示范.从学生的生活经验看对教材中情境材料的不等量关系不存在理解困难因此在教学的过程中可以淡化不等量关系的计算过程把重点放在不等式定义的总结、不等式的解和不等式解集的含义上.练习教材第115页
1.解:1a
0. 2a
0. 3a+
57. 4a-2-
1. 54a
8.
63.
2.解:
3.
24.8812是不等式x+36的解-4-
2.
5012.53不是不等式x+36的解.
3.解:1x
3. 2x
4. 3x
2. 下列各数中哪些是不等式x+13的解哪些不是哪些是方程x+1=3的解-
2.
50123.解:当x=-
2.5时x+1=-
2.5+1=-
1.53不等式x+13成立所以x=-
2.5是不等式x+13的解.当x=0时x+1=0+1=13不等式x+13成立所以x=0是不等式x+13的解.当x=1时x+1=1+1=23不等式x+13成立所以x=1是不等式x+13的解.当x=2时x+1=2+1=3左边=右边方程x+1=3成立所以x=2是方程x+1=3的解不是不等式x+13的解.当x=3时x+1=3+1=43不等式x+13不成立方程x+1=3也不成立所以x=3既不是不等式x+13的解也不是方程x+1=3的解.[解题策略] 本题主要考查不等式的解的概念.不等式的解是指能使不等式成立的未知数的值.把题中给出的值逐一代入x+13若符合此不等式表示的不等关系则该值为此不等式的解反之不是.
9.
1.2 不等式的性质
1.理解不等式的性质.
2.依据不等式的性质会解简单的一元一次不等式.
3.能在数轴上表示不等式的解集.
4.能解简单的一元一次不等式的应用题.
1.借助于等式、一元一次方程的知识学习不等式的性质和解不等式.
2.通过生活情境理解不等式解的特殊含义.培养学生主动探索的精神和合作交流的意识.【重点】
1.不等式的性质和不等式的解法.
2.不等式在生活中的简单应用.【难点】
1.用数轴表示不等式的解集.
2.理解不等式解集的实际意义.第课时理解不等式的性质.经历通过类比、猜测、验证发现不等式性质的探索过程初步体会不等式与等式的异同.体会在解决问题的过程中与他人交流合作的重要性.【重点】 理解并掌握不等式的性质.【难点】 比较等式性质和不等式性质的区别.【教师准备】 不等式性质的板书投影.【学生准备】 复习等式的有关知识.导入一:设“▲”“●”“■”分别表示三种不同的物体现用天平称两次情况如图所示把▲●■这三种物体按质量从大到小排列.解:设▲●■的质量分别为abc根据图形可得a+c2a2a=3b故可得cab.即■▲●.[设计意图] 通过这个思维难度不大的情境需要学生借助于等式的知识进行思考.同时这里也暗含了不等式的性质.导入二:对于某些简单的不等式我们可以直接得出它们的解集例如不等式x+36的解集是x3不等式2x8的解集是x4但是对于比较复杂的不等式例如-2直接得出解集就比较困难.因此还要讨论怎样解不等式.与解方程需要依据等式的性质一样解不等式需要依据不等式的性质.为此我们先来看看不等式有什么性质.[设计意图] 借助于教材中的这段引言直接提出了两个问题:求不等式的解集不能完全靠观察还需要靠计算去求得.另一个问题是依据什么去解不等式.这两个问题的提出为本节课的两个课时的学习指明了方向. [过渡语] 我们知道等式两边加或减同一个数或式子乘或除以同一个数除数不为0结果仍相等.不等式是否也有类似的性质呢
一、探究不等式的性质问题1等式有哪些性质问题2用“”或“”填空并总结其中的规律:1535+2 3+25-2 3-2; 2-13-1+2 3+2-1-3 3-3; 3626×5 2×56×-5 2×-5; 4-23-2×6 3×6-2×-6 3×-
6. 根据发现的规律填空:当不等式两边加或减同一个数正数或负数时不等号的方向 .当不等式两边乘同一个正数时不等号的方向 ;而乘同一个负数时不等号的方向 . 问题3除以一个数怎样用乘法去理解[设计意图] 除以一个数等于乘这个数的倒数.这问是针对不等式的性质23中同时除以一个数的情况设置的.[处理方式] 学生集中讨论形成共同的结论和看法.
二、不等式的性质思路一问题1根据前面问题当中的1和2你总结的不等式的性质是什么怎样用数学语言去表示解:不等式两边加或减同一个数或式子不等号的方向不变.符号表示:如果ab那么a±cb±c.问题2根据前面问题当中的3和4你总结的不等式的性质是什么怎样用数学语言去表示解:不等式两边乘或除以同一个正数不等号的方向不变.符号表示:如果abc0那么acbc.不等式两边乘或除以同一个负数不等号的方向改变.符号表示:如果abc0那么acbc.思路二
1.等式的性质.教师首先与学生一起回忆等式的性质学生回答等式的性质:等式的性质1:等式两边加或减同一个数或式子结果仍相等.等式的性质2:等式两边乘同一个数或除以同一个不为0的数结果仍相等.[处理方式] 老师帮助学生回忆总结关注学生术语表达的准确性.[设计意图] 帮助学生回顾等式的性质的得出过程类比本节课将要学习的知识为探索不等式的性质做好准备并且从学生的已有经验出发培养学生梳理知识体系的习惯.通过类比等式的性质探究不等式的性质体会不等式的性质与等式性质的异同.体会类比的学习方法积累数学活动经验.
2.不等式性质的推导.师:让学生自己先确定一个不等式仿照等式的性质1在不等式的两边加或减同一个整式看结果有何特点在小组内讨论并总结出来.生:先任意确定一个不等式然后按老师的要求变形观察思考后在组内交流并总结出不等式的性质1:不等式的两边加或减同一个整式不等号的方向不变.符号表示:如果ab那么a±cb±c.师:让学生再仿照等式的性质2在不等式的两边乘同一个数看结果有何特点交流一下并总结出来.生:先自己任意确定一个不等式然后按要求变形观察特点交流并总结.说明:这里教师设计了一个不容易发现的陷阱很可能会引起学生的争论这正是教师所期望的思维快但考虑不周的学生可能会做出类似下面的推导:因为353×25×23×5×所以在不等式的两边乘同一个数不等号的方向不变.而思维缜密的学生会做出类似的反驳:35但3×-25×-2所以上面的总结是错的.师:引导学生做出正确的总结.生:细致观察发现在不等式的两边乘同一个正数与乘同一个负数结果不同从而总结出:不等式两边乘同一个正数不等号的方向不变;不等式两边乘同一个负数不等号的方向改变.[设计意图] 让学生在争论中发现等式和不等式的性质的不同之处从而更好地理解不等式的性质
3.总结:不等式性质2:不等式两边乘或除以同一个正数不等号的方向不变.符号表示:如果abc0那么acbc.不等式性质3:不等式两边乘或除以同一个负数不等号的方向改变.符号表示:如果abc0那么acbc.
三、例题讲解 利用不等式的性质填“”或“”.1若ab则2a+1 2b+1; 2若-y10则y -8 3若ab且c0则ac+c bc+c.; 4若a0b0c0则a-bc
0. 〔解析〕 1因为ab将不等式两边都乘2由不等式的性质2得2a2b再由不等式的性质1得2a+12b+1;2因为-y10将不等式两边都除以-由不等式的性质3得y-8;3因为abc0将不等式两边都乘c由不等式性质2得acbc再由不等式的性质1得ac+cbc+c;4因为a0b0所以a-b0两边都乘c而c0由不等式性质3得a-bc
0.〔答案〕 1 2 3 4 已知abc在数轴上的对应点的位置如下图所示下列式子中正确的有
①b-c0;
②a+ba+c;
③bcac;
④abac.A.1个B.2个C.3个D.4个〔解析〕 由数轴上abc对应点的位置可知a0b0c0且abc.
①因为bc所以不等式两边都减去c不等号方向不变所以b-c0正确;
②因为bc所以不等式两边都加a不等号方向不变所以a+ba+c正确;
③因为bac0不等式两边同乘c不等号方向改变所以bcac正确;
④因为bca0不等式两边同乘a不等号方向不变所以abac正确.故选D.[知识拓展] 不等式的概念和性质与等式的概念和性质的相同点和不同点.相同点:不论是等式还是不等式都可以在它的两边加或减同一个数或代数式乘或除以同一个正数而保持符号不变.不同点:1对于等式在它的两边乘或除以同一个正数或同一个负数情况是一样的等式仍然成立;但对于不等式在它的两边乘或除以同一个正数或同一个负数却大不一样:当两边乘或除以的是正数时不等号的方向不变而当两边乘或除以的是负数时不等号的方向要改变.这是等式没有的性质它是不等式特有的在运用不等式的性质时要特别注意这一点.2由于不等号“”或“”具有方向性所以叙述不等式的性质时不能像等式那样笼统地说“……仍是不等式”而应明确表明变形后的不等式中的不等号的方向是改变还是不变.3不等式两边乘或除以同一个不为0的数时首先要判断该数的正、负性再决定变号与否.不等式的性质1:不等式两边加或减同一个数或式子不等号的方向不变.不等式的性质2:不等式两边乘或除以同一个正数不等号的方向不变.不等式的性质3:不等式两边乘或除以同一个负数不等号的方向改变.
1.若ab则a-b0其根据是 A.不等式的性质1B.不等式的性质2C.不等式的性质3D.以上选项均不对解析:根据不等式的性质1不等式两边都减去b得a-b
0.故选A.
2.若xy则下列式子错误的是 A.x-3y-3B.-3x-3yC.x+3y+3D.解析:由不等式的性质12可知把不等式xy两边分别减3加3除以3不等号的方向均不变所以选项ACD正确而由不等式的性质3可知把不等式xy两边同时乘-3不等号方向应改变所以选项B错误.故选B.
3.若ax5a的两边同时除以a后变为x5则a的取值范围是 A.a0B.a0C.a0或a=0D.a0或a=0解析:两边同时除以a不等号方向发生了改变说明a是负数即a0注意a不能等于0若a=0则原不等式不成立.故选A.
4.利用不等式的性质填“”或“”.1若ab则2a 2b; 2若-2y10则y -5; 3若abc0则ac-1 bc-1; 3若abc0则ac+1 bc+
1. 〔解析〕 根据不等式的两边发生的变化和不等式的性质解题.答案: 1 2 3 4第1课时
1.探究不等式的性质
2.不等式的性质性质1性质2性质
33.例题讲解例1例2
一、教材作业【必做题】教材第117页练习.【选做题】教材第120页习题
9.1第4题.
二、课后作业【基础巩固】
1.下列命题正确的是 A.若abbc则acB.若ab则acbcC.若ab则ac2bc2D.若ac2bc2则ab
2.已知实数ab若ab则下列结论正确的是 A.a-5b-5B.2+a2+bC.D.-3a-3b
3.由xy得axay的条件是 A.a0B.a0C.a=0D.无法确定
4.由不等式a-23得a5变形的根据是 .
5.用不等号填空并说明是根据不等式的哪一条性质.1若x+25则x 3根据 ; 2若-x-1则x 根据 . 【能力提升】
6.已知ab有下列不等式:
①-1+a-1+b;
②-3a-3-3b-3;
③-a+2-b+2;
④-2a+2-2b+
2.其中成立的有 A.1个B.2个C.3个D.4个
7.若a是实数且xy则下列不等式中正确的是 A.axayB.a2xa2y或a2x=a2yC.a2xa2yD.a2xa2y或a2x=a2y
8.实数abc在数轴上对应的点的位置如图所示则下列式子中正确的是 A.a-cb-cB.a+cb+cC.acbcD.
9.若a2则-3a+6 0填“”“=”或“”.
10.已知ab比较每组数的大小并说明理由.1a-2b-2; 2-a-b;3m2am2bm≠
0.【拓展探究】
11.当x= 时不等式5x+62x-12成立.在横线上填上你认为恰当的一个数即可
12.习题课上老师在黑板上出了一道有关7a与6a的大小比较问题小文不假思索地回答:“7a6a.”小明反驳道:“不对应是7a6a.”小芳说:“你们两人回答得都不完全把你们两人的答案合在一起就对了.”你认为他们三人谁的观点正确谈谈你的看法.【答案与解析】
1.D解析:选项A.由abbc不能根据不等式的性质确定ac;选项B.当c=0时ac=bc即也不能根据不等式的性质确定acbc;选项C.当c=0时ac2=bc2即同样也不能根据不等式的性质确定ac2bc2;选项D.ac2bc2中隐含c≠0则可以根据不等式的性质在不等式的两边除以不等于0的c2从而确定ab.故选D.
2.D解析:对ABCD四个选项中的不等式逐一验证首先看不等式两边进行了什么运算然后再判断这个运算是否符合不等式的性质从而得出正确的结论.不等式的性质有三条分别是:1不等式两边加或减同一个数或式子不等号的方向不变由此确定选项AB都是错误的;2不等式两边乘或除以同一个正数不等号的方向不变由此确定选项C是错误的;3不等式两边乘或除以同一个负数不等号的方向改变由此确定选项D是正确的.故选D.
3.B解析:根据不等式的性质3:不等式的两边乘或除以同一个负数不等号的方向改变解答.因为不等式的两边乘a不等号的方向改变所以a
0.故选B.
4.不等式的性质1解析:根据不等式的性质1不等式两边加2得a
5.
5.1 性质1 2 性质
36.A解析:因为ab所以由不等式的性质2得ab再由不等式的性质1得-1+a-1+b.已知条件中的不等式中只有
①正确.故选A.
7.D解析:当a=0时ax=aya2x=a2y;当a≠0时a20因为xy所以a2xa2y.综上得a2xa2y或a2x=a2y.故选D.
8.B解析:本题考查了不等式的性质掌握不等式的三个性质以及读懂数轴上的数是解题的关键.从图上可知ab0c所以a±cb±c选项A是错的选项B是对的;选项C应该是acbc错用不等式的性质2;选项D应该是错用不等式的性质
3.故选B.
9.解析:由a2根据不等式的性质3两边乘-3得-3a-6;再根据不等式的性质1两边加6得-3a+
60.
10.解:1a-2b-
2.因为ab运用不等式的性质1:两边减2得a-2b-
2. 2-a-b.因为ab运用不等式的性质3:两边乘-得-a-b. 3m2am2b.因为m≠0所以m20所以运用不等式的性质2:两边乘m2得m2am2b.
11.2解析:先根据不等式的性质将5x+62x-12变形得到x-6只要在x-6这一范围内任取一个数即可.答案不唯一.
12.解:他们三人的观点都不正确因为没有全面考虑a的性质小文、小明分别是把a看作正数、负数来考虑的显然都不全面.小芳虽然考虑了a的正、负性但忽略了a为0的情形.正确的观点是:1当a0时根据不等式的性质2知7a6a;2当a0时根据不等式的性质3知7a6a;3当a=0时7a=6a.本课时在较为细致复习等式性质的基础上借助于对等式性质的类比学习使学生水到渠成地领会了不等式的性质并且能用文字和符号两种语言表述不等式的性质.对于不等式性质的总结老师应该首先鼓励学生以自己的方式进行描述最后再规范地进行总结把结论直接交代给学生压抑了学生对问题的探索热情.在复习等式性质的时候让学生以数学符号方式总结等式的性质这样有利于不等式性质的总结;增加例题补充教材例题的不足.练习教材第117页
1.1 2 3 4 下列变形正确的有 .
①由a-bc-b得ac;
②由mn得m-3n-2;
③由ab得到ambm;
④由ma2na2得到mn.〔解析〕 第
①题根据性质1可判断其正确;第
②题根据性质1可知m-3n-3因为n-2n-3所以不能判断m-3与n-2的大小所以不正确;第
③题因为m的取值可能是非正数所以是错的;第
④题a2不可能等于零且为正数所以是正确的.故填
①④.[解题策略] 利用性质1要注意:
①加或减的数必须为同一个数.利用性质2要注意:乘或除的数必须为同一个正数.利用性质3要注意:
①乘或除的数必须为同一个负数;
②不等号方向要改变. 甲从一个鱼摊上买了3条鱼平均每条a元又从另一个鱼摊上买了2条鱼平均每条b元后来他又以平均每条元的价格把鱼全部卖给乙结果他赔了钱原因是 A.abB.abC.a=bD.与a和b的大小无关〔解析〕 把买卖的钱数作差从而找出a与b的关系.根据题意得5-3a+2b0即
0.根据不等式的性质3两边乘-2得a-b
0.根据不等式的性质1两边加b得ab.故选A.[规律方法] 生活中我们常对一些同类量比较大小.解决这类问题往往是利用不等式的性质但需注意两个量的单位必须统一.第课时
1.熟练掌握简单不等式的解法.
2.初步认识不等式的应用价值.对比简单不等式的解法与方程的解法让学生感知不等式和方程的不同作用与内在联系体会类比思想.体会数学在生活中的广泛应用增强对事物内在联系的认识.【重点】
1.熟练并准确地解简单不等式
2.初步体验不等式在生活中的应用.【难点】 根据实际意义理解不等式解的含义.导入一:解下列方程:1x-7=26; 23x=2x+1;3x=50;4-4x=
3.[设计意图] 以上四个方程是教材例1的四个不等式的变形意在引导学生借助于等式的性质是解方程的基础利用不等式的性质解不等式.导入二:解下列不等式并把解集表示在数轴上.1x+21;22x-
30.〔解析〕 解决本题的关键是掌握不等式的性质在1的两边减2不等号的方向不变;在2的两边加3然后两边除以2不等号的方向不变.解:1根据不等式的性质1在不等式的两边减2不等号的方向不变得x+2-21-2即x-1这个不等式的解集在数轴上表示如下图所示.2根据不等式的性质1在不等式的两边加3得2x-3+33即2x3再根据不等式的性质2不等式的两边除以2不等号的方向不变得x.这个不等式的解集在数轴上表示如下图所示.[设计意图] 上述习题的处理意图主要有三个:一是引导学生思考解不等式的依据;二是体会数形结合思想;三是加深对不等式解集的认识. [过渡语] 学习了不等式的性质我们就可以利用不等式的性质求一个不等式的解集.
一、解不等式 利用不等式的性质解下列不等式:1x-726;23x2x+1;3x50;4-4x
3.〔解析〕 解不等式就是要借助于不等式的性质使不等式逐步化为xa或xaa为常数的形式.解:1根据不等式的性质1不等式两边加7不等号的方向不变所以x-7+726+7x
33.2根据不等式的性质1不等式两边减2x不等号的方向不变所以3x-2x2x+1-2xx
1.3根据不等式的性质2不等式两边乘不等号的方向不变所以×x×50x
75.4根据不等式的性质3不等式两边除以-4不等号的方向改变所以x-.
二、用数轴表示不等式的解集 解下列不等式并把解集表示在数轴上.1x+21;22x+1≥
0.〔解析〕 解决本题的关键是掌握不等式的性质.在1的两边减2不等号的方向不变;在2的两边减1然后两边除以2不等号的方向不变.解:1根据不等式的性质1不等式的两边减2不等号的方向不变得x+2-21-2即x-1这个不等式的解集在数轴上表示如下图所示.2根据不等式的性质1不等式的两边减1得2x+1-1≥0-1即2x≥-1再根据不等式的性质2不等式的两边除以2不等号的方向不变得x≥-.这个不等式的解集在数轴上表示如下图所示.强调:在数轴上表示不等式的解集时对“≥”与“”、“≤”与“”的含义要把握准确要注意空心圆圈与实心圆点的规范使用.
三、不等式的简单应用 教材P119例2某长方体形状的容器长5cm宽3cm高10cm.容器内原有水的高度为3cm现准备向它继续注水.用V单位:cm3表示新注入水的体积写出V的取值范围.〔解析〕 本题有两个关键点:一是“不超过”的含义;二是不等式的解集要和实际意义相符合.解:新注入水的体积V与原有水的体积的和不能超过容器的容积即:V+3×5×3≤3×5×10V≤
105.又由于新注入水的体积V不能是负数因此V的取值范围是V≥0并且V≤
105.在数轴上表示V的取值范围如图所示.[知识拓展] 常见的不等式有:1x0则x是正数;2x0则x是负数;3x≥0则x是非负数;4x≤0则x是非正数;5x-y0则x大于y;6x-y0则x小于y;7x≥y则x不小于y;8x≤y则x不大于y;9xy0或0则xy同号;10xy0或0则xy异号;11x≠0则x为非0实数.
1.解不等式的依据是不等式的性质.
2.不等式的解集可以用数轴表示.
3.实际问题中的不等式的解集要符合实际意义.
1.在数轴上表示不等式x-10的解集正确的是 解析:x-10所以x1在数轴上表示不等式的解集为:.故选B.
2.一种三轮车外胎上面标有“限载280kg”的字样由此可知该三轮车装载货物质量x的取值范围是 A.x280kgB.x=280kgC.x≤280kgD.x≥280kg解析:限载280kg表示不大于280kg用不等式表示为x≤280kg.故选C.
3.不等式-2x4的解集是 . 解析:不等式两边除以-2得x-
2.故填x-
2.
4.根据不等式的性质解下列不等式并说出每一步的依据.1x-91; 2-x
12.解:1x-91根据不等式的性质1两边加9得x
10. 2-x12根据不等式的性质3两边乘-得x-
16.第2课时
1.解不等式
2.用数轴表示不等式的解集
3.不等式的简单应用
一、教材作业【必做题】教材第119页练习第1题.【选做题】教材第120页习题
9.1第9题.
二、课后作业【基础巩固】
1.不等式1+x0的解集在数轴上表示正确的是
2.如果关于x的不等式a+1xa+1的解集为x1那么a的取值范围是 A.a0B.a0C.a-1D.a-
13.某城市某天的最高气温为16℃最低气温为4℃已知这一天某一时刻的气温为t℃则此时表示气温t的不等式是 .
4.已知ab试比较下列各对式子的大小:1a-3与b-3;23-a与3-b;3a-3与b-
4.
5.根据不等式的性质把下列不等式化成xa或xa的形式:1x-23;26x5x-1;3-4x
4.【能力提升】
6.不等式2x-50的最小整数解是 A.0B.1C.2D.
37.已知关于x的不等式x≥a-1的解集如图所示则a的值为 .
8.苹果的进价为每千克
3.8元销售中估计有5%的苹果正常损耗为避免亏本商家至少应该把售价定为每千克 元.
9.当a取什么值时解方程3x-2=a得到的x值:1是正数 2是0 3是负数
10.根据不等式的性质解下列不等式.12x-57;22x3x+1;3-x-
14.【拓展探究】
11.甲、乙两超市为了促销一种定价相同的商品甲超市连续两次降价10%乙超市一次性降价20%购买此种商品更合算的超市是 A.甲B.乙C.同样D.与商品的价格有关
12.小王自主创业他上午先进了90件衬衫价格为每件m元;下午他又进了70件衬衫价格为每件n元nm.后来由于市场变化他只好以每件元的价格卖光这批衬衫小王赢利还是亏本【答案与解析】
1.A解析:先求出不等式的解集然后将解集在数轴上表示出来即可.1+x0的解集为x-1在数轴上表示-1处应是空心圆圈且方向向左.故选A.
2.D解析:由不等式a+1xa+1变形为x1则需要根据不等式的性质3在原不等式的两边除以负数a+1即a+10故可得a-
1.
3.4≤t≤16解析:某城市某天的最高气温为16℃最低气温为4℃说明这天的气温不高于16℃不低于4℃也就是4≤t≤
16.
4.解:1ab根据不等式的性质1知a-3b-
3.2ab根据不等式的性质3知-a-b再根据不等式的性质1知3-a3-b. 3ab根据不等式的性质1知a-3b-3而b-3b-4所以a-3b-
4.
5.解:1由不等式的性质1可知不等式的两边加2不等号的方向不变所以x-2+23+2即x
5. 2由不等式的性质1可知不等式的两边减5x不等号的方向不变所以6x-5x5x-1-5x即x-
1. 3由不等式的性质3可知不等式的两边除以-4不等号的方向改变所以即x-
1.
6.D解析:不等式2x-50的解集是x
2.5故不等式2x-50的最小整数解为
3.故选D.
7.0解析:由图可得x≥-1所以a-1=-1所以a=
0.
8.4解析:设商家把售价定为每千克x元根据题意得x1-5%≥
3.8解得x≥4所以为避免亏本商家至少应该把售价定为每千克4元.
9.解:解方程3x-2=a得x=.1根据题意解不等式0得a-
2.所以当a取大于-2的值时x的值是正数. 2根据题意解方程=0得a=-
2.所以当a的值为-2时x的值是
0. 3根据题意解不等式0得a-
2.所以当a取小于-2的值时x的值是负数.
10.解:1根据不等式的性质1不等式两边加5不等号的方向不改变得2x12再根据不等式的性质2不等式两边除以2不等号的方向不改变得x
6. 2根据不等式的性质1不等式的两边减3x不等号不改变方向得-x1再根据不等式的性质3不等式两边乘除以-1不等号改变方向得x-
1. 3根据不等式的性质3不等式两边除以-或乘以-不等号改变方向所以x-1-再根据不等式的性质1不等式两边加1得x-.
11.B解析:设商品原价为x元则甲超市的售价为x×1-10%×1-10%=
0.81x元乙超市的售价为x×1-20%=
0.8x元因为
0.
810.8x0所以
0.81x
0.8x所以在乙超市购买合算.故选B.
12.解:90+70·-90m-70n=80m+n-90m-70n=10n-m.因为nm所以由不等式的性质1知n-m0再由不等式的性质2知10n-m0所以小王赢利.本课时是不等式应用的初探.复习根据不等式的性质解简单不等式之后扩大了不等关系中的相等情形的认识在此基础上通过实例介绍不等式在生活中的运用.本课时采取逐步深入、以知识串联实例、以实例强化知识的设计思路做到了知识的讲解和问题的解决的有机统一.教材例2之前的复习教学内容可以在老师的指导下由学生独立去完成.不等式中的相等关系是不等式的一种特殊情形无论是借助于等式的学习还是生活的常识学生对此理解不存在较大障碍因此这部分知识也可以交给学生独立去完成.在教材例2的教学过程中要从细节方面重点研讨为什么要使用等号V的取值范围为什么在0到105之间且包括0和
105.注重引导学生从实际意义的角度理解不等式解集的含义.练习教材第119页
1.解:1x-6这个不等式的解集在数轴上表示如图所示. 2x-5这个不等式的解集在数轴上表示如图所示. 3x6这个不等式的解集在数轴上表示如图所示. 4x-这个不等式的解集在数轴上表示如图所示.
2.解:13x≥1其解集为x≥解集在数轴上表示如图所示. 2x+3≥6其解集为x≥3解集在数轴上表示如图所示. 3y-1≤0其解集为y≤1解集在数轴上表示如图所示. 4y≤-2其解集为y≤-8解集在数轴上表示如图所示.习题
9.1教材第119页
1.解:是不等式2x+39的解的有:
3.
0146100.不是不等式2x+39的解的有:-4-
203.
2.解:1a+
50. 2a-
20. 3b+
1527. 4b-12-
5. 54c≥
8. 6c≤
3. 7d+e≥
0. 8d-e≤-
2.
3.解:1x
4. 2x
5. 3x
2.
1. 4x-.
4.1 2 3
45.解:1x+3-1x+3-3-1-3x-
4.这个不等式的解集在数轴上表示如图所示.26x≤5x-76x-5x≤5x-5x-7x≤-
7.这个不等式的解集在数轴上表示如图所示.3-xx-
2.这个不等式的解集在数轴上表示如图所示. 44x≥-12≥x≥-
3.这个不等式的解集在数轴上表示如图所示.
6.1
27.解:
39.98≤L≤
40.
02.
8.解:设其中蛋白质的含量为xg根据题意得x≥300×
0.6%所以x≥
1.
8.答:这罐饮料中蛋白质的含量不少于
1.8g.
9.解:
①10a+b10b+a9a-9b0a-b0即ab.
②10a+b10b+a9a-9b0a-b0即ab.
③10a+b=10b+a9a-9b=0a-b=0即a=b.答:当ab时得到的两位数比原来的两位数大;当ab时得到的两位数比原来的两位数小;当a=b时得到的两位数等于原来的两位数.表示不等关系的符号称为不等号一般包括“”“”“≥”“≤”“≠”五种其意义、读法如下表所示:名称符号读法意义例子大于号大于左边的量大于右边的量32小于号小于左边的量小于右边的量12大于或等于号≥
1.大于或等于
2.不小于左边的量不小于右边的量3≥2小于或等于号≤
1.小于或等于
2.不大于左边的量不大于右边的量-5≤-1不等号≠不等于左、右两边的量不相等1≠0 小明准备用22元钱买笔和笔记本已知每支笔3元每个笔记本2元他买了3个笔记本后其余的钱用来买笔那么他最多可以买几支笔〔解析〕 本题中的不等关系为:买笔记本的钱数+买笔的钱数≤
22.结合实际意义笔的数量为正整数要求最多买几支笔也就是求不等式的最大正整数解.解:设他可以买x支笔根据题意得3x+2×3≤22即3x+6≤
22.根据不等式的性质1两边减6得3x≤
16.根据不等式的性质2两边除以3得x≤5所以x的最大正整数解为
5.答:最多可以买5支笔.[解题策略] 结合实际意义本题实际要求正整数解而且是最大解. 某学校在“五一”期间组织学生外出旅游已知该校共有学生462人如果单独租用60座的客车至少需要租多少辆〔解析〕 本题中的不等式关系为:需要租的60座的客车的总座位数≥
462.解不等式后根据x的实际意义确定x的取值.解:设租用60座客车x辆根据题意得60x≥
462.根据不等式的性质2两边除以60得x≥
7.
7.根据x的实际意义知x应取正整数所以x的最小正整数解为
8.答:至少需要租8辆60座的客车.[解题策略] 根据实际意义可知本题实际上是求最小正整数解.
9.2 一元一次不等式
1.理解一元一次不等式的定义.
2.掌握一元一次不等式的基本解法.
3.能在数轴上表示不等式的解集.
4.能通过不等式解决实际问题.
1.类比一元一次方程学习一元一次不等式的定义和解法.
2.通过生活中的不等量关系解决实际问题.通过知识的类比学习体会知识之间的内在联系.通过不等式解决实际问题增强数学的应用意识.【重点】
1.一元一次不等式的解法.
2.列一元一次不等式解决实际问题.【难点】
1.解不等式过程中不等号方向的改变.
2.列不等式解决实际问题的解的意义.第课时
1.了解一元一次不等式的概念.
2.会解一元一次不等式并能将其解集在数轴上表示出来.通过解一元一次方程和解一元一次不等式两种过程的比较体会类比思想发展学生的思维水平.通过一元一次不等式的学习培养学生认真、坚持等良好学习习惯.【重点】
1.一元一次不等式的概念.
2.解一元一次不等式.【难点】 一元一次不等式的解法.【教师准备】 例题讲解的演示板书.【学生准备】 复习一元一次方程的知识.导入一:解决下列问题:1什么叫做不等式的解说出不等式2x-4的一个解.2什么叫做不等式的解集不等式2x-4的解集是什么3什么叫解不等式请解不等式-2x
7.4将不等式的解集在数轴上表示时向左画表示什么向右画表示什么实心圆点表示什么空心圆圈表示什么请将x
4.5x≤-2在数轴上表示出来.5什么叫做一元一次方程2x-y=2是一元一次方程吗a=1呢[设计意图] 通过复习、小结先前的课时知识为本节课新的知识学习做准备.其中最后一题为类比一元一次方程知识进行学习.导入二:出示解一元一次方程的步骤并思考每一步的根据.1去分母根据等式基本性质;2去括号根据整式运算法则;3移项根据等式的基本性质;4合并同类项根据整式的运算法则;5系数化为1根据等式基本性质.[设计意图] 通过复习解一元一次方程的知识为解一元一次不等式做知识类比准备. [过渡语] 我们已经知道了什么是不等式以及不等式的性质.本节我们将学习一元一次不等式及其解法并用它解决一些实际问题.
一、一元一次不等式观察下面的不等式:x-7263x2x+150-4x
3.它们有哪些共同特征[处理方式] 学生交流思考老师提示学生从三个方面思考:一元一次方程的定义是什么在上面的不等式中含有几个未知数未知数的次数是几次总结:可以发现上述每个不等式都只含有一个未知数并且未知数的次数是1类似于一元一次方程含有一个未知数未知数的次数是1的不等式叫做一元一次不等式.
二、解一元一次不等式 [过渡语] 通过类比解一元一次方程的方法能不能解一元一次不等式呢例如x-726的解集是x
33.这个解集是通过“不等式两边都加7不等号的方向不变”而得到的事实上这相当于由x-726得x26+
7.这就是说解不等式时也可以“移项”即把不等式一边的某项变号后移到另一边而不改变不等号的方向.思路一 解下列不等式并在数轴上表示解集:121+x3; 2≥.解:1去括号得2+2x
3.移项得2x3-
2.合并同类项得2x
1.系数化为1得x.这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示.2去分母得32+x≥22x-
1.去括号得6+3x≥4x-
2.移项得3x-4x≥-2-
6.合并同类项得-x≥-
8.系数化为1得x≤
8.这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示.思路二 先解方程再解不等式.解方程组:121+x=3;2=.解下列不等式并在数轴上表示解集:121+x3;2≥.[设计意图] 通过类比解一元一次方程的方法解一元一次不等式.[知识拓展] 一元一次不等式和一元一次方程的解法比较:一元一次方程一元一次不等式解法步骤1去分母;2去括号;3移项;4合并同类项;5系数化为11去分母;2去括号;3移项;4合并同类项;5系数化为
1.在上面的步骤1和5中如果乘或除以一个负数要改变不等号的方向标准形式ax+b=0a≠01ax+b0;2ax+b0a≠0解或解集x=-当a0时1x-2x-;当a0时1x-2x-
1.解一元一次方程要根据等式的性质将方程逐步化为x=a的形式;而解一元一次不等式则要根据不等式的性质将不等式逐步化为xa或xa的形式.
2.解一元一次不等式的一般步骤:1去分母根据不等式的性质2或性质3;2去括号根据整式的运算法则;3移项根据不等式的性质1;4合并同类项根据整式的运算法则;5系数化为1根据不等式的性质2或性质
3.
1.下列不等式中是一元一次不等式的是 A.2x-10B.-12C.3x-2y-1D.y2+35解析:用不等号连接的含有一个未知数并且未知数的次数是1的式子叫做一元一次不等式.B不含未知数不符合C含有两个未知数不符合D中未知数的次数为2不符合.故选A.
2.不等式2x-1≥3x-5的正整数解的个数为 A.1B.2C.3D.4解析:首先确定不等式的解集然后再找出不等式的特殊解.移项得2x-3x≥-5+
1.合并同类项得-x≥-
4.系数化为1得x≤
4.不等式2x-1≥3x-5的正整数解为
1234.故选D.
3.不等式3x-24的解集是 . 解析:移项得3x4+
2.合并同类项得3x
6.把x的系数化为1得x
2.故填x
2.
4.已知3m-2x3+2m1是关于x的一元一次不等式.1求m的值;2求出不等式的解集并把解集表示在数轴上.解:1因为3m-2x3+2m1是关于x的一元一次不等式所以3+2m=1解得m=-
1. 2由1可知题目中的不等式是-3-2x1解这个不等式得x-
2.解集在数轴上表示如下图所示.第1课时
1.一元一次不等式
2.解一元一次不等式例1例2
一、教材作业【必做题】教材第124页练习第1题.【选做题】教材第124页练习第2题.
二、课后作业【基础巩固】
1.不等式5x-12x+5的解集在数轴上表示正确的是
2.若|a-3|-3+a=0则a的取值范围是 A.a≤3B.a3C.a≥3D.a
33.不等式-5x≥-13的最大整数解是 A.1B.2C.3D.
44.若关于x的不等式x-5a和x-20的解集相同则a的值为 .
5.解不等式4x-1+3≥3x并把解集在数轴上表示出来.【能力提升】
6.如果两个不等式的解集相同那么这两个不等式叫做同解不等式.下列两个不等式是同解不等式的是 A.4x48与x12B.3x-9≤0与x≥3C.2x-76x与4x-7D.x3与x-
27.若关于x的方程2x-1=x-2a+1的解为负数则a的取值范围是 .
8.不等式2x+9≥3x+2的正整数解是 .
9.已知x=3是关于x的不等式3x-的解求a的取值范围.
10.已知代数式+1的值不小于-1的值求x的取值范围.【拓展探究】
11.若不等式3x+1≥5x-5的最大非负整数解是a求不等式a-7x12的解集.
12.已知关于x的方程3x-2a+2=x-a+1的解适合不等式2x-58a求a的取值范围.【答案与解析】
1.A解析:移项得5x-2x5+1合并同类项得3x6系数化为1得x
2.故选A.
2.A解析:若|a-3|-3+a=0则a-3≤0解得a≤
3.故选A.
3.B解析:解不等式-5x≥-13得x≤最大整数解是
2.故选B.
4.-3解析:解不等式x-20得x
2.而x-5a的解集为xa+5所以a+5=2a=-
3.
5.解:去括号得4x-4+3≥3x移项得4x-3x≥4-
3.合并同类项得x≥
1.故不等式的解集为x≥
1.在数轴上表示解集如图所示.
6.C解析:A.因为4x48的解集为x12与x12解集不相同所以这两个不等式不是同解不等式故本选项不符合题意;B.因为3x-9≤0的解集为x≤3与x≥3解集不同所以这两个不等式不是同解不等式故本选项不符合题意;C.因为不等式2x-76x即4x-7所以这两个不等式是同解不等式故本选项符合题意;D.x3的解集是x6x-2的解集是x-6因为x6与x-6的解集不同所以这两个不等式不是同解不等式故本选项不符合题意.故选C.
7.a解析:解方程得x=3-2a由题意知x0所以3-2a0解得a.
8.123解析:先解不等式求出其解集再根据解集判断其正整数解.2x+9≥3x+2去括号得2x+9≥3x+6移项得2x-3x≥6-9合并同类项得-x≥-3系数化为1得x≤
3.所以其正整数解为
123.
9.解:因为x=3是关于x的不等式3x-的解所以9-2解得a
4.故a的取值范围是a
4.
10.解:依题意得+1≥-1去分母得2x-5+6≥3x+1-6去括号得2x-10+6≥3x+3-6移项、合并同类项得-x≥1系数化为1得x≤-
1.
11.解:3x+1≥5x-5去括号得3x+3≥5x-
5.解得x≤
4.所以a=
4.所以不等式a-7x12为-3x
12.解得x-
4.
12.解:方程3x-2a+2=x-a+1去括号得3x-6a+2=x-a+1移项得3x-x=6a-a+1-2所以x=.解不等式2x-58a得x5+4a由题意得5+4a解得a-.本课时通过类比一元一次方程的知识学生比较顺利地掌握了不等式的定义和解法.通过在数轴上表示不等式的解集深化学生对不等式解集的认知及对数形结合思想的体验.学生有了解一元一次方程的经验在例题的讲解过程中老师侧重指导解题思路即可不需要详细地呈现整个例题的解题过程.在导入的环节中以复习一元一次方程的相关知识为重点这不但有利于本课时知识的学习也有利于以后相关知识的学习;强调用数轴表示不等式解集的注意事项.练习教材第124页
1.解:1x-16这个不等式的解集在数轴上表示如图1所示. 2x≥25这个不等式的解集在数轴上表示如图2所示. 3x-这个不等式的解集在数轴上表示如图3所示. 4x≤这个不等式的解集在数轴上表示如图4所示.
2.解:1x≥. 2x≥-. 3y≥
2. 4y-
5.系数化为1的技巧
1.axbx;axbx.系数大于0不等号方向不变.
2.axbx;axbx.系数小于0不等号方向改变.第课时会从实际问题中抽象出数学模型会用一元一次不等式解决实际问题.通过观察、实践、讨论等活动经历从实际问题中抽象出数学模型的过程积累利用一元一次不等式解决实际问题的经验渗透分类讨论思想感知方程与不等式的内在联系.初步体会一元一次不等式的应用价值形成严谨的学习态度和独立思考的习惯.【重点】 在实际问题中建立不等关系并根据不等关系列出不等式.【难点】 在实际问题中建立不等关系并根据不等关系列出不等式.【教师准备】 例题讲解的演示板书.【学生准备】 复习一元一次不等式的解法.导入一:解下列不等式:
①5x+54x-1;
②x+53x-5-6;
③2-3+x3x+2;
④21-3x3x+
20.[处理方式] 先让学生板演、练习然后师生共同点评、订正指出解题中应注意的地方复习一元一次不等式的解法.[设计意图] 让学生在解题过程中有目的地思考既可巩固已学内容又为下面的新课学习做好铺垫.导入二:小明上午8时20分出发去郊游10时20分时小亮乘车从同一地点出发已知小明每小时走4千米那么小亮要在11时或11时前追上小明速度至少应是多少〔解析〕 这是一个追赶问题读懂题意后从路程下手找不等关系.小亮40分钟行进路程要比小明从8时20分到11时行进的路程远或二者相等才可以.这样可以得到不等式进而解决问题.通过上述分析你能够通过列不等式解决这个问题吗[设计意图] 明确解决这个问题需通过列不等式让学生迅速集中精力进入本课时的学习. [过渡语] 有些实际问题中存在不等关系用不等式来表示这样的关系就能把实际问题转化为数学问题从而通过解不等式得到实际问题的答案.利用一元一次不等式解决实际问题 教材P124例2去年某市空气质量良好二级以上的天数与全年天数365之比达到60%如果明年365天这样的比值要超过70%那么明年空气质量良好的天数比去年至少要增加多少思路一〔解析〕 “明年这样的比值要超过70%”指出了这个问题中蕴含的不等关系转化为不等式即70%.如果设明年比去年空气质量良好的天数增加了x从空气质量良好的天数比例看可以列出不等式70%.解:设明年比去年空气质量良好的天数增加了x.去年有365×60%天空气质量良好明年有x+365×60%天空气质量良好并且70%.去分母得x+
219255.
5.移项合并同类项得x
36.
5.由x应为正整数得x≥
37.答:明年空气质量良好的天数比去年至少要增加37才能使这一年空气质量良好的天数超过全年天数的70%.追问:不等式的解集为x
36.5为什么本题却取x≥37这种取值说明了什么思路二
1.去年该市空气质量良好的天数是多少
2.用x表示明年比去年增加的空气质量良好的天数则明年空气质量良好的天数是多少
3.与x有关的哪个式子的值应超过70%这个式子表示什么
4.怎样解不等式70%
5.比较解4中的不等式与解方程=70%的步骤两者有什么不同吗[处理方式] 在学生通过讨论达成共识后师生共同归纳得出:解一元一次不等式与解一元一次方程类似只是不等式两边同乘或除以一个非零数时要注意不等号的方向.解一元一次方程要根据等式的性质将方程逐步化为x=a的形式;而解一元一次不等式则要根据不等式的性质将不等式逐步化为xa或xa的形式.[设计意图] 通过问题组的形式提出问题有利于学生发现解一元一次不等式与解一元一次方程的关系初步感知实际问题对不等式解集的影响. [过渡语] 不等式不但能够帮助我们解决一些简单的实际问题也能够帮助我们解决一些比较复杂的实际问题. 教材P125例3甲、乙两商场以同样价格出售同样的商品并且又各自推出不同的优惠方案:在甲商场累计购物超过100元后超出100元的部分按90%收费;在乙商场累计购物超过50元后超出50元的部分按95%收费.顾客到哪家商场购物花费少〔解析〕 顾客到哪家商场购物花费少这里有两个相关的因素:一是顾客的购物钱数二是在哪家购物.两个商场的优惠方式是不同的在甲商场购物超过100元后享受优惠在乙商场购物超过50元后享受优惠.因此我们需要分三种情况讨论:1累计购物不超过50元;2累计购物超过50元而不超过100元;3累计购物超过100元.解:1当累计购物不超过50元时在甲、乙两商场购物都不享受优惠且两商场以同样价格出售同样的商品因此到两商场购物花费一样.2当累计购物超过50元而不超过100元时享受乙商场的购物优惠不享受甲商场的购物优惠因此到乙商场购物花费少.3当累计购物超过100元时设累计购物xx100元.
①若到甲商场购物花费少则:50+
0.95x-50100+
0.9x-
100.解得x
150.这就是说累计购物超过150元时到甲商场购物花费少.
②若到乙商场购物花费少则:50+
0.95x-50100+
0.9x-
100.解得x
150.这就是说累计购物超过100元而不到150元时到乙商场购物花费少.
③若50+
0.95x-50=100+
0.9x-100解得x=
150.这就是说累计购物为150元时到甲、乙两商场购物花费一样.[知识拓展] 列一元一次不等式解实际问题与列一元一次方程解实际问题有相似之处一般方法步骤是“审、设、列、解、验、答”六步.“审”即审清题意是不需要写在纸面上的但一定要通过审题找出已知量和未知量其他五步都要写在纸面上.“设”是指由题意恰当地设未知数有直接设法和间接设法两种因题而异;“列”是指找出不等关系列出不等式;“解”是指求出这个不等式的解集;“验”是指在不等式的解集内找到适合条件的解;“答”指针对题目的问题写出答案.其中“列”是关键.通过设立未知数利用不等的数量关系建立不等式是利用不等式解决实际问题的核心.同时要注意不等式解集的实际意义.
1.某射箭运动员在一次比赛中前6次射击共击中52环如果他要打破89环10次射击每次射击最高中10环的记录则他第7次射击不能少于 A.6环 B.7环 C.8环 D.9环解析:设第7次射击为x环由题意得52+x+3089解得x7所以第7次射击至少要8环.故选C.
2.如图所示小明和爸爸、妈妈三人玩跷跷板.三人的体重一共为150千克爸爸坐在跷跷板的一端体重只有妈妈一半的小明和妈妈一同坐在跷跷板的另一端这时爸爸那端仍然着地.那么小明的体重应小于 A.49千克B.50千克C.24千克D.25千克解析:设小明的体重为x千克则妈妈的体重为2x千克爸爸的体重为150-x+2x千克由图可知爸爸一端仍然偏重所以得不等式150-x+2xx+2x解得x
25.故选D.
3.某城市的出租车的起价是10元即行驶路程在5千米以内都需要付10元达到或超过5千米后每增加1千米加价
1.2元不足1千米按1千米算现在某人乘这种出租车从甲地到乙地支付车费
17.2元从甲地到乙地的路程最多是多少千米解:设从甲地到乙地的路程是x千米.由题意得10+
1.2x-5≤
17.2解得x≤
11.因此从甲地到乙地的路程最多是11千米.
4.xx·株洲中考为了举行班级晚会孔明准备去商店购买20个乒乓球做道具并买一些乒乓球拍做奖品.已知乒乓球每个
1.5元球拍每个22元.如果购买金额不超过200元且买的球拍尽可能多那么孔明应该买多少个球拍解:设孔明购买x个乒乓球拍则购买球拍需要22x元买20个乒乓球做道具需要
1.5×20元.因为购买金额不超过200元所以22x+
1.5×20≤
200.解得x≤=
7.因为x为正整数且x取最大值所以x=
7.答:要买的球拍尽可能多那么孔明应该买7个球拍.第2课时例1例2
一、教材作业【必做题】教材第125页练习的12题.【选做题】教材第126页习题
9.2的9题.
二、课后作业【基础巩固】
1.三个连续正整数的和不大于12符合条件的正整数有 A.3组B.12组C.2组D.4组
2.在篮球联赛中每场比赛都要分出胜负每队胜1场得2分负1场得1分某队预计在xx~xx赛季的32场比赛中最少得到48分才有希望进入季后赛假设这个队在将要举行的比赛中胜x场要达到目标则x应满足的不等式是 A.2x+32-x≥48B.2x-32-x≥48C.2x+32-x≤48D.2x≥
483.某公司打算最多用1200元印制广告单.已知制版费50元每印一张广告单还需支付
0.3元的印刷费则该公司可印制的广告单数量x张满足的不等式为 .
4.xx·南京中考铁路部门规定旅客免费携带行李箱的长、宽、高之和不超过160cm某厂家生产符合该规定的行李箱已知行李箱的高为30cm长与宽的比为3∶2则该行李箱的长的最大值为 cm. 【能力提升】
5.初三的几位同学拍了一张合影作留念已知冲一张底片需要
0.80元洗一张相片需要
0.35元.在每位同学得到一张相片、共用一张底片的前提下平均每人分摊的钱不超过
0.5元那么参加合影的同学人数 A.至多6人B.至少6人C.至多5人D.至少5人
6.某大型超市从生产基地购进一批水果运输过程中质量损失10%假设不计超市的其他费用如果超市要想至少获得20%的利润那么这种水果的售价在进价的基础上应至少提高 A.40%B.
33.4%C.
33.3%D.30%
7.小宏准备用50元钱买甲、乙两种饮料共10瓶已知甲饮料每瓶7元乙饮料每瓶4元则小宏最多能买 瓶甲饮料.
8.某种商品的进价为800元出售时标价为1200元后来由于该商品积压商店准备打折出售但要保证利润率不低于5%则至多可打折.
9.小武新家装修在装修客厅时购进彩色地砖和单色地砖共100块共花费5600元.已知彩色地砖的单价是80元/块单色地砖的单价是40元/块.1两种地砖各采购了多少块2如果厨房也要铺设这两种地砖共60块不包括已购买的且采购地砖的费用不超过3200元那么彩色地砖最多能采购多少块【拓展探究】
10.为了防控甲型H1N1流感某校积极进行校园环境消毒购买了甲、乙两种消毒液共100瓶其中甲种消毒液6元/瓶乙种消毒液9元/瓶.1如果购买这两种消毒液共用780元求甲、乙两种消毒液各购买多少瓶;2该校准备再次购买这两种消毒液不包括已购买的100瓶使乙种瓶数是甲种瓶数的2倍且所需费用不多于1200元求甲种消毒液最多能再购买多少瓶.【答案与解析】
1.A解析:设中间正整数为x则其他两个正整数分别为x-1x+1于是得不等式x-1+x+x+1≤12解得x≤4三个连续正整数分别为345;234;
123.共3组.故选A.
2.A解析:比赛中胜x场则负32-x场于是列出不等式2x+32-x≥
48.故选A.
3.50+
0.3x≤1200解析:最多的意思是少于或等于.本题满足的不等关系为:制版费+单张印刷费×数量≤
1200.根据题意得50+
0.3x≤
1200.
4.78解析:设长为3xcm则宽为2xcm由题意得5x+30≤160解得x≤26故行李箱的长的最大值为78cm.故填
78.
5.B解析:设参加合影的同学有x人.在每位同学得到一张相片、共用一张底片的前提下需要付款
0.80+
0.35x元假如每人分摊
0.5元则共需要
0.5x元由此得到不等式
0.80+
0.35x≤
0.5x解得x≥
5.所以参加合影的同学至少6人.故选B.
6.B解析:设购进这种水果a千克进价为y元/千克这种水果的售价在进价的基础上应提高x则售价为1+xy元/千克由题意得×100%≥20%解得x≥经检验x≥是原不等式的解集.∵超市要想至少获得20%的利润∴这种水果的售价在进价的基础上应至少提高
33.4%.故选B.
7.3解析:设小宏能买x瓶甲饮料则可以买10-x瓶乙饮料由题意得7x+410-x≤50解得x≤∵x为非负整数∴x可为0123则小宏最多能买3瓶甲饮料.故填
3.
8.7解析:设该商品打x折根据题意可得×100%≥5%解得x≥
7.
9.解:1设彩色地砖采购x块单色地砖采购y块由题意得解得答:彩色地砖采购40块单色地砖采购60块. 2设采购彩色地砖a块则单色地砖采购60-a块由题意得80a+4060-a≤3200解得a≤
20.∴彩色地砖最多能采购20块.
10.解:1设甲种消毒液购买x瓶则乙种消毒液购买100-x瓶.依题意得6x+9100-x=
780.解得x=
40.∴100-x=100-40=
60.答:甲种消毒液购买40瓶乙种消毒液购买60瓶. 2设再次购买甲种消毒液y瓶则购买乙种消毒液2y瓶.依题意得6y+9×2y≤
1200.解得y≤
50.答:甲种消毒液最多能再购买50瓶.本课时是对前面几课时不等式知识学习的深化列不等式解决生活实际问题是本课时的难点在教学的过程中依旧借助于类比一元一次方程知识的学习化解了对不等式知识理解的难度使学生较好地掌握了知识和强化了技能.对本课时的两个例题教学活动给学生自由活动的时间较少解这两个例题的时候应该充分调动学生探索的积极性.列不等式解决实际问题是学生能力形成的重要载体因此在课堂上应多给学生时间让其自由练习相关的利用不等式解决的实际问题.练习教材第125页
1.解:设以后几天内平均每天修路xkm.根据题意得10-2-2x≥6-
1.2即6x≥6-
1.2解得x≥
0.
8.答:以后几天内平均每天至少要修路
0.8km.
2.解:设他答对x道题根据题意得10x-520-x90解得x12因为x为整数所以最小为13即他至少要答对13道题.习题
9.2教材第126页
1.解:132x+524x+36x+158x+6-2x-9x.这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示. 210-4x-4≤2x-110-4x+16≤2x-2-6x≤-28x≥.这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示. 33x-94x-10-x-1x
1.这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示.4≤4x-2≤3x-4x≤-
2.这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示.5-210x+2-243x-157x7x
1.这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示.6≥12y+2-6y+15≥12-4y≥-5y≤.这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示.
2.解:1根据题意得04a+10所以a-. 2根据题意得-24a+1-12所以a-. 3根据题意得=04a+1=0所以a=-.
3.解:1x+26所以x
4.所以正整数解为
123. 22x+5102x5所以x.所以正整数解为
12. 3≥去分母得3x-9≥4x-10移项、合并同类项得x≤
1.所以正整数解为
1. 4≥-26+3x≥4x-2-12移项、合并同类项得-x≥-20所以x≤
20.所以正整数解为12…
1920.
4.提示:解一元一次不等式的一般步骤与解一元一次方程类似去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为
1.注意当去分母或系数化为1时在不等式两边都乘或除以同一个负数时不等号的方向要改变.
5.解:设这时已售出x辆自行车根据题意得275x250×200解得x
181.∵x为整数∴x的最小值取
182.答:这时至少已售出182辆自行车.
6.解:设李明需以xm/s的速度同时开始冲刺才能够在张华之前到达终点根据题意得x100+10解得x.即李明需以大于m/s的速度同时开始冲刺才能够在张华之前到达终点.
7.解:设前年全厂年利润是x万元根据题意得≥
0.6所以x≥
308.答:前年全厂年利润至少是308万元.
8.解:设进苹果a千克每千克售价定为b元根据题意得
1.5a≤1-5%a·b所以b≥
1.答:售价至少定为1元才能避免亏本.
9.解:设这批计算机以5000元/台售出的有x台根据题意得5500×60+5000x550000所以x44所以60+44=104台.答:这批计算机最少有105台.
10.解:5x-13x+15x-13x+32x4x
2.x-17-x2x8x
4.所以2x
4. 为了保护环境某企业决定购买10台污水处理设备现有AB两种型号的设备其中每台的价格、月处理污水量及年消耗费用如下表:A型B型价格万元/台1210处理污水量吨/月240200年消耗费用万元/台11 经预算该企业购买设备的资金不高于105万元.1请你设计该企业有几种购买方案;2若该企业每月产生的污水量为2040吨为了节约资金应选择哪种购买方案〔解析〕 1设购买A型设备x台则购买B型设备10-x台根据题意得12x+1010-x≤105解得x≤
2.5因为x为非负整数所以x可取012对应的有三种方案;2同样设购买A型设备x台由题意可以得到240x+20010-x≥2040解得x的值然后分情况进行比较可得节省资金的方案. 解:1设购买A型设备x台则购买B型设备10-x台由题意得12x+1010-x≤105解得x≤
2.5因为x为非负整数所以x可取012当x=0时10-x=10;当x=1时10-x=9;当x=2时10-x=
8.所以共有三种购买方案:购买A型设备0台B型设备10台;购买A型设备1台B型设备9台;购买A型设备2台B型设备8台.2设购买A型设备x台则由题意得240x+20010-x≥2040解这个不等式得x≥1因为x为非负整数所以结合1可知x可为
12.当x=1时购买资金为12×1+10×9=102万元;当x=2时购买资金为12×2+10×8=104万元.所以为了节省资金应购买A型设备1台B型设备9台.
9.3 一元一次不等式组
1.了解一元一次不等式组的定义和解法.
2.能够在数轴上表示不等式组的解集.
3.利用不等式组解决生活中的简单实际问题.
1.类比一元一次方程和二元一次方程组的相关知识探索不等式组的解集体会类比迁移思想.
2.通过生活情境感受不等式组在生活中的应用增强用数学思想分析和解决问题的能力.培养学生善于观察、勇于探索的精神.【重点】 一元一次不等式组的解法;一元一次不等式组在实际问题中的应用.【难点】 在数轴上表示不等式组的解集;列不等式组解决生活中的实际问题.第课时了解一元一次不等式组的概念理解一元一次不等式组的解集的意义掌握求一元一次不等式组的解集的常规方法.经历知识的拓展过程感受学习一元一次不等式组的必要性.逐步熟悉数形结合的思想方法感受类比与化归的思想.通过思考活动激发学生的学习热情培养学生的学习兴趣.【重点】 一元一次不等式组的解集和解法.【难点】 对一元一次不等式组解集的理解.【教师准备】 问题和例题的板书演示.【学生准备】 复习一元一次不等式的解法和不等式解集的含义.导入一:小强和爸爸、妈妈三人在操场上玩跷跷板爸爸的体重为72千克体重只有妈妈一半的小强和妈妈一同坐在跷跷板的另一端这时爸爸所在的一端仍然着地.后来小强借来一副质量为6千克的哑铃加在他和妈妈坐的一端结果爸爸被跷起离地.则小强的体重约是多少在这个问题中如果设小强的体重为x千克可以列出下列两个不等式:2x+x722x+x+
672.通过这两个不等式我们怎样求得小强的体重大约是多少呢[设计意图] 通过问题的提出暗示学生用类似建立方程组的办法来解决问题为引入一元一次不等式组做准备.导入二:小莉带5元钱去超市买作业本她拿了5本付款时钱不够于是小莉退掉一本收银员找给她一些零钱.请你估计一下作业本单价约是多少元在这个问题中如果设作业本的单价是x元可以得到以下两个不等式:5x54x
5.我们能不能利用建立方程组的方法建立一个不等式组通过解这个不等式组来求得x的值呢[设计意图] 用学生身边有趣的实例引入一方面引起学生的参与欲另一方面也是知识拓展的需要.帮助学生明确x应该同时符合两个不等式的要求为引出一元一次不等式组的解集做铺垫.
一、一元一次不等式组 教材P127问题用每分可抽30t水的抽水机来抽污水管道里积存的污水估计积存的污水超过1200t而不足1500t那么将污水抽完所用时间的范围是什么思考:1如果设xmin将污水抽完可以列哪两个不等式2通过一个不等式能确定x的取值范围吗3用什么办法能够确定x的取值范围4确定的x的取值范围怎样在数轴上表示解:设用xmin将污水抽完则x同时满足不等式:30x1200
① 30x
1500.
②类似于方程组把这两个不等式合起来组成一个一元一次不等式组:记作怎样确定不等式组中x的可取值的范围呢类比方程组的解不等式组中的各不等式解集的公共部分就是不等式组中x可以取值的范围.由不等式
①解得x
40.由不等式
②解得x
50.把不等式
①和
②的解集在数轴上表示出来.如图所示从图容易看出x取值的范围为:40x
50.这就是说将污水抽完所用时间多于40min而少于50min.
二、解一元一次不等式组思考:问题1什么是不等式组的解集问题2解不等式组的实质是什么[处理方式] 通过问题思考帮助学生进一步明确解不等式组就是求几个不等式解集的公共部分.[设计意图] 对一元一次不等式组解集的理解是本课时的一个知识重点.学生领会了一元一次不等式组解集的含义基本上就掌握了解一元一次不等式组的基本要领. 教材P128例1解下列不等式组:12解:1解不等式
①得x
2.解不等式
②得x
3.把不等式
①和
②的解集在数轴上表示出来如下图所示.从上图可以找出两个不等式解集的公共部分得不等式组的解集x
3.2解不等式
①得x≥
8.解不等式
②得x.把不等式
①和
②的解集在数轴上表示出来如下图所示.从上图可以看到这两个不等式的解集没有公共部分不等式组无解.[知识拓展] 不等式组解集的表示及记忆规律不等式组ab解集用数轴表示口诀xb大大取大xa小小取小axb大小小大取中间无解大大小小找不到解一元一次不等式组时一般先求出其各不等式的解集再找出这些解集的公共部分.利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.
1.xx·威海中考已知点P3-mm-1在第二象限则m的取值范围在数轴上表示正确的是如图所示 解析:已知点P3-mm-1在第二象限所以3-m0且m-10分别解得m3m
1.故选A.
2.xx·莆田中考不等式组的解集在数轴上可表示为如图所示 解析:不等式组的解集是-1x≤
2.故选A.
3.xx·海南中考解不等式组解:不等式
①的解集为x≤2不等式
②的解集为x-1所以不等式组的解集为-1x≤
2.
4.解不等式组 并把解集在数轴上表示出来.解:由
①得x≤
1.由
②得x-
2.所以原不等式组的解集为-2x≤
1.解集在数轴上的表示如图所示.第1课时
1.一元一次不等式组
2.解一元一次不等式组
一、教材作业【必做题】教材第129页练习的1题.【选做题】教材第130页习题
9.3的2题.
二、课后作业【基础巩固】
1.不等式组的整数解的个数是 A.1B.2C.3D.
42.在x=-4-103中满足不等式组的x的值是 A.-4和0B.-4和-1C.0和3D.-1和
03.不等式组的解集是0x2那么a+b的值等于 .
4.已知不等式组无解则a的取值范围是 .
5.解不等式组并判断-1这两个数是否为该不等式组的解.【能力提升】
6.已知不等式:
①x1
②x4
③x2
④2-x-1从这四个不等式中取两个组成不等式组构成正整数解是2的不等式组是 A.
①与
②B.
②与
③C.
③与
④D.
①与
④
7.若关于x的不等式组有解则实数a的取值范围是 .
8.已知关于x的不等式组只有四个整数解则实数a的取值范围是 .
9.若关于x的不等式组无解求m的取值范围.
10.解不等式组并求出它的所有整数解的和.【拓展探究】
11.已知2a-3x+1=03b-2x-16=0且a≤4b求x的取值范围.
12.试确定a的取值范围使关于x的不等式组只有一个整数解.【答案与解析】
1.C解析: 由
①得x≥0由
②得x3其解集为0≤x3所以不等式组的整数解为012共3个.故选C.
2.D解析:因为2x+1-2的解集为x-2所以的解集为-2x2在x=-4-103中满足不等式组的x的值是0和-
1.故选D.
3.1解析:由
①得x4-2a;由
②得2xb+5即x
0.5b+
2.
5.因为不等式组的解集是0x2所以4-2a=0即a=
20.5b+
2.5=2即b=-
1.则a+b=2-1=
1.
4.a≤-1解析:由
①得x≥-1;由
②得xa.根据“大大小小找不到”可得a-1当a=-1时也没有解.所以a≤-
1.
5.解:解不等式x+30得x-3;解不等式2x-1+3≥3x得x≤
1.所以-3x≤
1.-1是该不等式组的解不是该不等式组的解.
6.D解析:将四个选项分别组成不等式组进行求解求出各个不等式组的解集再选出正整数解是2的不等式组.将
①与
④组成不等式组:解得1x3其正整数解为
2.故选D.
7.a4解析:由
①得x2由
②得x因为不等式组有解所以解集应是2x则2即a4所以实数a的取值范围是a
4.故填a
4.
8.-3a≤-2解析:解得不等式组的解集为a≤x2因为不等式组只有四个整数解所以这四个整数解为-2-101因此实数a的取值范围是-3a≤-
2.
9.解:因为原不等式组无解所以可得到m+1≤2m-1解这个关于m的不等式得m≥
2.所以m的取值范围是m≥
2.
10.解: 解不等式
①得x
3.解不等式
②得x≥-
4.在同一数轴上表示不等式
①和
②的解集如图所示.所以这个不等式组的解集是-4≤x
3.所以这个不等式组的所有整数解的和是-4-3-2-1+0+1+2=-
7.
11.解:由2a-3x+1=03b-2x-16=0可得a=b=因为a≤4b所以 由
①得x≤
3.由
②得x-
2.所以x的取值范围是-2x≤
3.
12.解:解不等式
①得x解不等式
②得xa因为不等式组有解所以不等式组的解集为xa.又因为不等式组只有一个整数解即为1所以1a≤
2.仅从知识的角度看解不等式不是新知识根据各个不等式的解集确定不等式组的解集才是新的知识内容.本课时在教学设计的时候仅仅围绕学习新知识这个核心展开充分利用了课堂教学中的有效时间达到了满时高效的课堂要求.在课时教学过程中对于用数轴表示不等式组的解集投入的时间较少这在一定程度上忽略了数形结合思想的渗透也不便于学生深刻领会不等式组解集的含义.在处理教材问题时给出一元一次不等式组定义后给一定时间范围的活动让学生独立去完成.通过用数轴表示不等式组的解集借此向学生强调不等式组中未知数的取值范围就是不等式组中几个不等式解集的公共部分. 解下列不等式组.1 2〔解析〕 解不等式组时要先分别求出不等式组中每个不等式的解集然后画数轴找它们的解集的公共部分这个公共部分就是不等式组的解集注意实心点和空心圆圈的区别.解:1解不等式
①得x≥1解不等式
②得x
3.
①和
②的解集在数轴上的表示如图所示.所以不等式组的解集为1≤x
3.2解不等式
①得x≤-1解不等式
②得x
3.
①和
②的解集在数轴上的表示如图所示.所以不等式组的解集为x≤-
1.第课时
1.通过建立不等式组解决简单的问题.
2.根据要求能够求出不等式组的特殊解.熟练掌握一元一次不等式组的解法并会按要求求一元一次不等式组的特殊解.经历求一元一次不等式组的特殊解的过程进一步熟悉数形结合的思想方法.【重点】 求一元一次不等式组的特殊解.【难点】 确定不等式组的特殊解的方法.导入一:问题 1什么是不等式的解集2什么是不等式组的解集[设计意图] 通过复习旧知识深化对不等式组解集的理解为本课时的继续探索活动做知识准备.导入二:解下列不等式组在这个不等式组的解集内正整数解有多少个解:原不等式组整理得所以原不等式组的解集为-x≤.所以符合条件的正整数有123共3个.[设计意图] 选取教材中的习题进行改编使这个习题和本课时的例题除了列不等式组这个环节有差别外其他的思路基本一样这样设计可以为例题的学习进行引路. [过渡语] 一元一次不等式组求出解集后我们就可以根据一定的条件和要求进一步研究这个不等式组解的情况. 例题讲解 教材P129例2x取哪些整数值时不等式5x+23x-1与x-1≤7-x都成立思路一〔解析〕 求出这两个不等式组成的不等式组的解集解集中的整数就是x可取的整数值.解:解不等式组:得-x≤
4.所以x可取的整数值是-2-
101234.[解题策略] 解一元一次不等式组时一般先求出其中各不等式的解集;再求出这些解集的公共部分.利用数轴可以直观地表示出不等式组的解集.思路二问题15x+23x-1的解集是什么问题2x-1≤7-x的解集是什么问题3怎样才能使得x适合两个不等式问题4适合两个不等式的整数x有哪些〔解析〕 解决问题1和问题2就是解不等式求解集.通过建立不等式组可以求得两个不等式解集的公共部分.求出这两个不等式组成的不等式组的解集解集中的整数就是x可取的整数值.解:解不等式组:得-x≤
4.所以x可取的整数值是-2-
101234.[知识拓展] 确定不等式组解集的常用方法有两种:1数轴法:即将不等式组中每个不等式的解集在数轴上表示出来公共部分就是这个不等式组的解集无公共部分就说明这个不等式组无解.这种方法体现了数形结合的思想既直观又容易掌握.2口诀法:若ab由解集观察、总结出规律则:
①的解集为xa大大取大;
②的解集为xb小小取小;
③的解集为bxa大小小大取中间;
④的解集为空集大大小小无解集即无解.通过建立不等式组解决实际问题可以确定一个未知数的准确取值范围在特定条件下可以确定解集范围内的准确数值.
1.幼儿园把新购进的一批玩具分给小朋友们如果每人分3件那么还剩余59件;如果每人分5件那么最后一个小朋友能分到玩具但不足4件.这批玩具共有 A.146件 B.149件 C.152件 D.155件解析:设共有x个小朋友则玩具有3x+59件.因为每人分5件最后一个小朋友不足4件所以3x+595x-1+4又最后一个小朋友最少分到1件所以3x+59≥5x-1+1解得30x≤
31.
5.x取正整数31则玩具数为3x+59=152件.故选C.
2.某班级从文化用品市场购买了签字笔和圆珠笔共15支所付金额大于26元但小于27元.已知签字笔每支2元圆珠笔每支
1.5元则其中签字笔购买了 支. 解析:设签字笔购买了x支则圆珠笔购买了15-x支根据题意得解不等式组得7x9因为x是正整数所以x=
8.故填
8.
3.某次知识竞赛共有20道题每一题答对得5分答错或不答都扣3分.1小明考了68分那么小明答对了多少道题2小亮获得二等奖70~90分则小亮答对了几道题解:1设小明答对了x道题依题意得5x-320-x=68解得x=
16.答:小明答对了16道题.2设小亮答对了y道题依题意得此不等式组的解集为16≤y≤18因为y表示的是题数所以y是正整数.所以y=17或
18.答:小亮答对了17道题或18道题.
4.某中学为提升学生的课外阅读能力拓展学生的知识面决心打造“书香校园”计划用不超过1900本科技类书籍和1620本人文类书籍组建中、小型两类图书角共30个.已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本人文类书籍50本;组建一个小型图书角需科技类书籍30本人文类书籍60本.1符合题意的组建方案有几种请你帮助学校设计出来;2若组建一个中型图书角的费用是860元组建一个小型图书角的费用是570元试说明1中哪种方案费用最低最低费用是多少元解:1设组建中型图书角x个则组建小型图书角30-x个根据题意得解得18≤x≤20因为x是正整数所以x可取
181920.所以一共有三种组建方案:方案一:中型图书角建18个小型图书角建12个;方案二:中型图书角建19个小型图书角建11个;方案三:中型图书角建20个小型图书角建10个.2由1知:方案一的费用:18×860+12×570=22320元;方案二的费用:19×860+11×570=22610元;方案三的费用:20×860+10×570=22900元.所以方案一的费用最低最低费用是22320元.第2课时例题知识拓展
一、教材作业【必做题】教材第129页练习的2题.【选做题】教材第130页习题
9.3的4题.
二、课后作业【基础巩固】
1.甲种蔬菜保鲜适宜的温度是1℃~5℃乙种蔬菜保鲜适宜的温度是3℃~8℃将这两种蔬菜放在一起同时保鲜适宜的温度是 A.1℃~3℃B.3℃~5℃C.5℃~8℃D.1℃~8℃
2.有一个两位数它的十位上的数字比个位上的数字大2并且这个两位数大于40且小于52则这个两位数是 A.41B.42C.43D.
443.小明和小亮共下了10盘围棋小明胜一盘计1分小亮胜一盘计3分.当他俩下完第9盘后小明的得分高于小亮的;等下完第10盘后小亮的得分高于小明的.他们各胜几盘已知比赛中没有出现平局
4.已知一件文化衫价格为18元一个书包的价格比一件文化衫的2倍还少6元.1求一个书包的价格是多少元;2某公司出资1800元拿出不少于350元但不超过400元的经费奖励山区小学的优秀学生剩余经费还能为多少名山区小学的学生每人购买一个书包和一件文化衫
5.筹建中的城南中学需720套单人课桌椅光明厂承担了这项生产任务.该厂生产桌子的必须5人一组每组每天可生产12张;生产椅子的必须4人一组每组每天可生产24把.已知学校筹建组要求光明厂6天完成这项生产任务.1光明厂平均每天要生产多少套单人课桌椅2现学校筹建组要求至少提前1天完成这项生产任务.光明厂生产课桌椅的员工增加到84名试给出一种分配生产桌子、椅子的员工数的方案.【能力提升】
6.一宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供游客租住某旅行团20人准备同时租用这三种客房共7间如果每个房间都住满那么租房方案有 A.4种B.3种C.2种D.1种
7.为了加强学生的交通安全意识某中学和交警大队联合举行了“我当一日小交警”活动星期天选派部分学生到交通路口值勤协助交通警察维护交通秩序.若每一个路口安排4人那么还剩下78人;若每个路口安排8人那么最后一个路口不足8人但不少于4人.则这个中学共选派值勤学生 人共有 个交通路口安排值勤.
8.师徒二人分别组装28辆摩托车徒弟单独工作一周7天不能完成而师傅单独工作不到一周就已完成已知师傅平均每天比徒弟多组装2辆.1徒弟平均每天组装多少辆摩托车答案取正整数2若徒弟先工作2天师傅才开始工作师傅工作几天师徒两人组装的摩托车辆数相同
9.开学初小芳和小亮去学校商店购买学习用品小芳用18元钱买了1支钢笔和3本笔记本;小亮用31元钱买了同样的钢笔2支和笔记本5本.1求每支钢笔和每本笔记本的价格;2校运动会后班主任把200元学校奖励基金交给班长购买上述价格的钢笔和笔记本共48件作为奖品奖给校运动会中表现突出的同学要求笔记本数不少于钢笔数共有多少种购买方案请你一一写出.【拓展探究】
10.陈老师为学校购买运动会的奖品后回学校向后勤处王老师交账说:“我买了两种书共105本单价分别为8元和12元买书前我领了1500元现在还余418元.”王老师算了一下说:“你肯定搞错了.”1王老师为什么说陈老师搞错了试用方程的知识给予解释;2陈老师连忙拿出购物发票发现的确弄错了因为他还买了一个笔记本.但笔记本的单价已模糊不清只能辨认出应为小于10元的整数笔记本的单价可能为多少元
11.xx·凉山中考预计在某段“空列”轨道的建设中每天至少需要运送沙石1600m3施工方准备租用大、小两种运输车共10辆已知每辆大车每天运送沙石200m3每辆小车每天运送沙石120m3大、小车每天每辆租车费用分别为1000元、700元且要求每天租车的总费用不超过9300元.则施工方有几种租车方案哪种租车方案费用最低最低费用是多少【答案与解析】
1.B解析:设温度为x℃根据题意可知解得3≤x≤
5.故选B.
2.B解析:设这个两位数的个位上的数字为x则十位上的数字为x+
2.则40x+10x+252解得x所以x只能为
2.所以这个两位数为
42.故选B.
3.解:设下完10盘棋后小亮胜了x盘.根据题意得解得所以所列不等式组的整数解为x=
3.所以10-3=
7.答:小明胜了7盘小亮胜了3盘.
4.解:118×2-6=30元所以一个书包的价格是30元. 2设还能为x名学生每人购买一个书包和一件文化衫根据题意得:解得所以不等式组的解集为29≤x≤
30.因为x为正整数所以x=
30.答:剩余经费还能为30名学生每人购买一个书包和一件文化衫.
5.解:1因为720÷6=120套所以光明厂平均每天要生产120套单人课桌椅. 2设x人生产桌子则84-x人生产椅子根据题意得解得60≤x≤60所以x=6084-x=24所以60人生产桌子24人生产椅子.
6.C解析:设租二人间x间租三人间y间则租四人间客房7-x-y间.依题意得解得x
1.因为2x+y=8y07-x-y0所以当x=2时y=47-x-y=1;x=3时y=27-x-y=
2.故有2种租房方案.故选C.
7.158 20解析:设这个学校选派值勤学生x人共到y个交通路口值勤.根据题意得: 将方程
①代入不等式
②得4≤78+4y-8y-18整理得
19.5y≤
20.5根据题意y取20这时x为
158.
8.解:1设徒弟平均每天组装x辆摩托车则师傅每天组装x+2辆.依题意得解得2x
4.因为x取正整数所以x=
3.答:徒弟平均每天组装3辆摩托车. 2设师傅工作m天师徒两人组装的摩托车辆数相同.依题意得3m+2=5m解得m=
3.答:徒弟先工作2天师傅才开始工作师傅工作3天师徒两人组装的摩托车辆数相同.
9.解:1设每支钢笔x元每本笔记本y元依题意得解得答:每支钢笔3元每本笔记本5元. 2设买a支钢笔则买笔记本48-a本依题意得解得20≤a≤24所以一共有5种购买方案.即购买钢笔、笔记本的数量分别为:2028;2127;2226;2325;
2424.
10.解:1设单价为8元的书买了x本根据题意得8x+12105-x=1500-418解得x=
44.5不符合题意.因为在此题中x不能是小数所以王老师说陈老师肯定搞错了. 2设单价为8元的书为y本笔记本的单价为b元依题意得01500-[8y+12105-y+418]10整理得04y-17810即
44.5y47所以y可为
4546.当y=45时b=1500-[8×45+12105-45+418]=2当y=46时b=1500-[8×46+12105-46+418]=6所以笔记本的单价可能为2元或6元.
11.解:设施工方准备租用小车a辆则租用大车10-a辆根据题意得∴≤a≤5∵a为正整数∴a可取
345.∴租车方案如下:车型方案小车大车一3辆7辆二4辆6辆三5辆5辆∴方案一的费用为:3×700+7×1000=9100元;方案二的费用为:4×700+6×1000=8800元;方案三的费用为:5×700+5×1000=8500元.∴应选方案三即租用小车5辆大车5辆时费用最低最低费用为8500元.本课时的知识重点是确定不等式组解集中的特殊值.不等式组解集的特殊性决定了在一定范围内根据特定的要求或实际意义不等式组解集内一些对象是可以具体确定的.建立不等式组、正确解不等式组正确确定不等式组的解集是确定具体数值的关键因此本课时的教学过程中仍然做了细致的分析和讲解达到了巩固旧知识和掌握新知识的目的.本课时的教学内容较少课堂上学生的交流活动较少存在课堂教学环节不突出、不紧凑的现象.结合本课时内容较少的情况抽出一定时间对前面的学习内容进行一个简要的活动总结处理完教材的例题后酌情增补一定量的例题或即时练习题.练习教材第129页
1.解:1原不等式组整理得所以原不等式组的解集为x
1. 2原不等式组整理得所以原不等式组无解. 3原不等式组整理得所以原不等式组的解集为-x≤.
2.解:解不等式x+36得x3;解不等式2x-110得x
5.
5.所以两个不等式都成立的x满足3x
5.
5.因为x为正整数所以x可取
45.习题
9.3教材第130页
1.解:1 由
①得x
4.由
②得x
2.它们的解集在数轴上的表示如图所示.所以原不等式组的解集为x
2.2 由
①得x4由
②得x
2.它们的解集在数轴上的表示如图所示.所以原不等式组的解集为x
4. 3 由
①得x
4.由
②得x
2.它们的解集在数轴上表示如图所示.所以原不等式组的解集为2x
4. 4 由
①得x
4.由
②得x
2.它们的解集在数轴上表示如图所示.所以原不等式组无解.
2.解:1 由
①得x由
②得x≤
2.它们的解集在数轴上表示如图所示.所以原不等式组的解集为x≤
2. 2 由
①得x-.由
②得x
1.它们的解集在数轴上表示如图所示.所以原不等式组无解. 3 由
①得x
5.由
②得x-.它们的解集在数轴上表示如图所示所以原不等式组的解集为x-.4 由
①得x≤1由
②得x
4.它们的解集在数轴上表示如图所示.所以原不等式组的解集为x≤
1. 5 由
①得x≤1由
②得x-
7.它们的解集在数轴上表示如图所示.所以原不等式组的解集为x-
7.6 由
①得x0由
②得x
0.它们的解集在数轴上表示如图所示.所以原不等式组无解.
3.解:解不等式4x-
0.
30.5x+
5.8得x
2.解不等式3+xx+1得x-
4.所以两不等式同时成立时x应满足的条件为-4x
2.因为x为整数所以x可取-3-2-
101.
4.解:由2≤3x-78得9≤3x15即3≤x5又因为x为整数所以x可取
34.
5.解:解不等式5x-13x+1得x
2.解不等式x-13-x得x
2.解不等式x-13x+1得x-
1.它们的解集在同一数轴上表示如图所示.所以三个不等式的解集的公共部分为x
2.
6.解:设有学生x人根据题意得03x+8-5x-13所以5x
6.
5.因为x为整数所以x取
6.所以3x+8=3×6+8=26本.答:有6名学生26本书.复习题9教材第133页
1.解:132x+7236x+21236x2x.解集在数轴上表示如图所示.212-43x-1≤22x-1612-12x+4≤4x-32-16x≤-32-12-4-16x≤-48x≥
3.解集在数轴上表示如图所示. 3-13x+910x-25-15-7x-49x
7.解集在数轴上表示如图所示. 4≥8x-4-18x+6≥5-10x≥3x≤-.解集在数轴上表示如图所示.
2.提示:1a
2. 2a
2. 3a=
2.
3.解:1 由
①得x-1由
②得x
1.它们的解集在数轴上表示如图所示.所以原不等式组的解集为-1x
1. 2 由
①得x-2由
②得x-
3.它们的解集在数轴上表示如图所示.所以原不等式组的解集为-3x-
2. 3 由
①得x0由
②得x-.它们的解集在数轴上表示如图所示.所以原不等式组的解集为x-.4 由
①得x≤1由
②得x
4.它们的解集在数轴上表示如图所示.所以原不等式组的解集为x≤
1.
4.解:不能.理由如下:由题意得2x+3
①所以x-.因为1-x
②所以x.因为
①与
②的解集没有公共部分所以代数式的值不能同时大于2x+3和1-x的值.
5.解:不对.因为如果a是正数时赵军的说法正确如果a是负数时那么他的说法不符合不等式的基本性质3所以此时赵军的说法不对.
6.提示:解一元一次不等式组时一般先求出其中各不等式的解集再求出这些解集的公共部分.解一元一次不等式和解一元一次不等式组主要依据的都是不等式的基本性质.
7.解:由题意得10v+312v-3解得v
33.答:v要大于33km/h.
8.解:设一年前老张买了x只种兔根据题意得x+2≤2x-1所以x≥8所以一年前老张至少买了8只种兔.
9.解:设中间的正整数为x则最小的为x-1最大的为x+1且x不小于2根据题意得x+x-1+x+13333x333x111又x-1≥1所以2≤x111所以共存在109组.其中最大的一组为
109110111. 某学校为离家远的同学安排住宿现有房间若干间若每间住5人则还有14人安排不下;若每间住7人则剩一间房间里还余一些床位.则学校可能有几间房间可以安排同学住宿住宿的学生可能有多少人解法1:设有房间x间则住宿的学生为5x+14人根据题意得07x-5x+147解得7x
10.
5.因为x取正整数所以x取89或
10.当x=8时住宿的学生为54人;当x=9时住宿的学生为59人;当x=10时住宿的学生为64人.解法2:设有房间x间则住宿的学生为5x+14人根据题意得7x-15x+147x解得7x
10.
5.因为x取正整数所以x取89或
10.以下同解法
1.解法3:设有房间x间住宿的学生为y人根据题意得将
①代入
②得07x-5x+147
③解
③得7x
10.
5.因为x取正整数所以x取89或
10.以下同解法
1.解法4:设住宿学生为x人则房间有间根据题意得xx+7解得49x
66.
5.因为x取正整数所以x可取50515253…
646566.又因为为整数因此x=5459或64则房间可能有89或10间.答:住宿学生为5459或64人房间有89或10间.
1.明确不等式、不等式组的相关概念.
2.会解不等式、不等式组并能够在数轴上表示其解集.
3.能够通过列不等式、不等式组解决一些实际问题.
1.通过知识整合构建单元知识体系.
2.通过列不等式组、解不等式组等活动进一步体验数学与生活的密切联系.培养学生良好的学习习惯和与他人交流、合作、分享的意识.【重点】 解不等式和不等式组;列不等式组解决实际问题.【难点】 列不等式组解决实际问题.专题一 一元一次不等式的定义与性质【专题分析】本专题的知识是不等式的基础内容在中考中单独考查时以选择题或填空题为主常以综合性题目为载体综合考查. 下列式子中一元一次不等式有
①3x-1≥4;
②2+x6;
③3-6;
④0;
⑤3;
⑥x+xy≥y2;
⑦x
0.A.5个B.4个C.6个D.3个〔解析〕 此题考查的是本章最基础的知识所以一定要掌握好一元一次不等式的定义和性质.一元一次不等式首先含未知数的项的次数为一次且只含有一个未知数再次必须是不等号连接的代数式最后未知数不能做分母.故
①②④⑤⑦为一元一次不等式.故选A.[归纳总结] 一元一次不等式的概念含几个要点:1用不等号连接;2含有一个未知数3关于未知数的式子是整式;4含有未知数的项的最高次数为
1.【针对训练1】 已知ab0ab20a+b0则下列正确的是 A.-1B.-1C.1D.1〔解析〕 应先从已知条件入手由ab0可知ab异号又ab20显然b20故可知a0从而b0再从a+b0可得b的绝对值大于a的绝对值.故选B.专题二 解一元一次不等式【专题分析】本专题知识是中考命题的重点之一主要考查一元一次不等式的解法和在数轴上表示一元一次不等式的解集.一般以选择题和填空题的形式出现有时也与方程知识综合起来考查命题以中等难度的解答题为主题型在设计的时候会不断追求创新. 解下列不等式并把它们的解集在数轴上表示出来.13[x-2x-2]x-3x-2;22y+1+y-
1.〔解析〕 解不等式首先利用不等式的性质对不等式进行化简在化简过程中需注意:移项变号;去括号时括号前为负号各项要变号;把不等式整理成axb或axba≠0的形式后不等号两边同除以a时注意按性质看不等号的方向是否改变.解:1去括号得3x-6x+12x-3x+6移项、合并同类项得-x-6系数化为1得x
6.不等式的解集在数轴上表示如图所示.22y+1+y-
1.y-1+-2-y-y
2.不等式的解集在数轴上表示如图所示.[归纳总结] 解不等式一定要把握好基础:不等式的性质;移项变号;去括号、添括号法则.熟练掌握并利用这些基础解题保证准确率.【针对训练2】 解不等式≤并把解集在数轴上表示出来.〔解析〕 解一元一次不等式时要注意:去分母时不要漏乘其中某一项尤其是没有分母的项;移项时不要忘了改变所移那一项的符号;运用不等式的性质时不要忘了是否需要改变不等号的方向.在数轴上表示不等式的解集时要记住“大于向右画小于向左画有等号用实心点无等号用空圈”.解:≤去分母得22x-5≤33x+1-8去括号得4x-10≤9x+3-8移项得4x-9x≤3-8+10合并同类项得-5x≤5系数化为1得x≥-
1.所以这个不等式的解集为x≥-
1.解集在数轴上的表示如图所示.专题三 一元一次不等式的实际应用【专题分析】用一元一次不等式解决实际问题是中考的热点之一中考中经常将其与函数、方程等知识结合在一起综合考查考题的难度差异较大. 某城市平均每天产生垃圾700t由甲、乙两个垃圾处理厂处理已知甲厂每小时可处理垃圾55t需要费用550元;乙厂每小时可处理垃圾45t需要费用495元.如果规定该城市每天用于垃圾处理的费用不得超过7370元那么甲厂每天处理垃圾至少需要多少小时〔解析〕 “不超过”即为“小于或等于”因此解决此题所用的不等关系为“每天处理垃圾的费用≤7370元”.解:设甲厂每天处理垃圾xt由已知可得甲、乙两厂处理每吨垃圾的费用分别为10元11元根据题意得10x+11700-x≤7370解得x≥
330.所以甲厂每天处理垃圾至少需要330÷55=6h.答:甲厂每天处理垃圾至少需要6h.[归纳总结] 不等式的应用情况很多但解所有的题目关键在于:在理解题意的基础之上找准表示不等关系的语句并能够列出不等式再利用不等式的性质解不等式这样问题就得以解决.【针对训练3】 某公司为了扩大经营决定购进6台机器用于生产某种活塞现有甲、乙两种机器供选择其中每种机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示经过预算本次购买机器所耗资金不能超过34万元则按该公司的要求可以有几种购买方案甲乙价格万元/台75每台日产量个10060 〔解析〕 本题主要考查对不等式知识的应用能力.解决本题的关键是理解题中的条件和要求并给出符合题意的解答.解:设购买甲种机器x台0≤x≤6则购买乙种机器6-x台.根据题意得7x+56-x≤34解得x≤
2.由题意知x是整数且x≥0所以x可取
012.故该公司按要求可以有三种购买方案即:方案一:不购买甲种机器购买乙种机器6台;方案二:购买甲种机器1台购买乙种机器5台;方案三:购买甲种机器2台购买乙种机器4台.专题四 一元一次不等式组的定义和解法【专题分析】本专题是一元一次不等式解法的延伸解题的关键的正确找到相关不等式解集的公共部分中考中单独考查其解法主要集中在选择题题型上更多是结合不定式的应用综合考查. 下列式子中一元一次不等式组的个数为
①②③④⑤A.1个B.2个C.3个D.4个〔解析〕 利用一元一次不等式组的定义解决问题.一般地关于同一个未知数的几个一元一次不等式组合在一起就组成了一元一次不等式组.故
①②是一元一次不等式组.故选B.【针对训练4】 填空.1不等式组的解集是 ; 2不等式组的解集是 . 〔解析〕 上述填空题均是简单的一元一次不等式组的求解注意先将不等式组中的每个不等式的解集求出来然后在数轴上找出它们解集的公共部分.〔答案〕 10x 2-4x≤1[解题策略] 先求每个不等式的解集再借助口诀或数轴直观地找到公共部分. 解不等式组〔解析〕 先解不等式组中的每一个不等式在解不等式时一定要注意解不等式的那几点注意事项然后再利用不等式组解集的口诀得到最后结果.解:解不等式
①得x≥解不等式
②得x≤
2.由此可得不等式组的解集为≤x≤
2.【针对训练5】 若关于x的一元一次不等式组有解则m的取值范围为 A.m-B.m≤C.mD.m≤-〔解析〕 本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法. 解不等式
①得x2m解不等式
②得x2-m因为不等式组有解所以2m2-m所以m.故选C.专题五 一元一次不等式组的实际应用【专题分析】用一元一次不等式组解决生活中的实际问题是中考历年的必考点之一尤其是利用不等式组确定最佳方案、获得最大收益、确定最优途径等已经成为中考的热点本专题的知识也与方程、函数等知识综合命题成为中考的压轴题. 为节约用电某学校于本学期初制订了详细的用电计划.如果实际每天比计划多用电2kW·h那么本学期的用电量将会超过2530kW·h;如果实际每天比计划节约用电2kW·h那么本学期的用电量将不会超过2200kW·h.若本学期学生在校时间按110天计算则学校每天用电量应控制在什么范围内〔解析〕 在能构建不等式组的题目中往往有表示不等关系的词语如大于、小于、不大于、不小于、超过、不超过等.我们只有先找到这些关键信息才能列出正确的不等式组.本题不等关系不算复杂根据题意可直接列出两个不等式构成不等式组.解:设学校每天用电量为xkW·h.依题意得解得21x≤
22.答:学校每天用电量应控制在大于21kW·h且不超过22kW·h的范围内.【针对训练6】 光明农场有某种植物10000千克打算全部用于生产高科技药品和保健食品.若生产高科技药品1千克该植物可提炼出
0.01千克的高科技药品将产生污染物
0.1千克每1千克高科技药品可获利润5000元;每生产1千克保健食品可获利润100元1千克该植物可生产
0.2千克保健食品将产生污染物
0.04千克.要使总利润不低于410000元所产生的污染物总量不超过880千克求用于生产高科技药品的该植物质量的范围.〔解析〕 由题意很容易发现体现本题不等关系的两个关键词即“不低于”和“不超过”因此我们就根据这两个关键词列出不等式组把问题解决.解:设用于生产高科技药品的该植物质量为x千克则用于生产保健食品的该植物质量为10000-x千克根据题意得:解得7000≤x≤
8000.所以用于生产高科技药品的该植物质量不低于7000千克且不高于8000千克. 双蓉服装店老板到厂家选购AB两种型号的服装若销售一件A型服装可获利18元销售一件B型服装可获利30元根据市场需求服装店老板决定购进A型服装的数量要比购进B型服装数量的2倍还多4件且A型服装最多可购进28件这样服装全部售出后可使总获利不少于699元则有几种进货方案〔解析〕 由题意本题不等关系非常明显由两个表示不等关系的关键词即可看出即“最多”和“不少于”因此要解决本题我们可以直接根据这两个关键词列出不等式组.解:设B型服装购进x件则A型服装购进2x+4件根据题意得:解得9≤x≤
12.因为x为正整数所以x=
101112.所以2x+4=
242628.所以有三种进货方案:1B型服装购进10件A型服装购进24件;2B型服装购进11件A型服装购进26件;3B型服装购进12件A型服装购进28件.【针对训练7】 某园林部门决定利用现有的349盆甲种花卉和295盆乙种花卉搭配AB两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道两侧.已知搭配一个A种造型需甲种花卉8盆乙种花卉4盆;搭配一个B种造型需甲种花卉5盆乙种花卉9盆.1某校九年级某班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计则符合题意的搭配方案有几种请你帮助设计出来;2若搭配一个A种造型的成本是200元搭配一个B种造型的成本是360元试说明1中哪种方案成本最低最低成本是多少元〔解析〕 本题考查一元一次不等式组的实际应用比较基础.解:1设搭建A种园艺造型x个则搭建B种园艺造型50-x个.根据题意得解得31≤x≤33所以共有三种方案:
①A:31B:19;
②A:32B:18;
③A:33B:
17.2由于搭配一个A种造型的成本是200元搭配一个B种造型的成本是360元所以搭配同样多的A种园艺造型比B种成本低所以应该搭配A种33个B种17个.最低成本:33×200+17×360=12720元.说明:也可列出成本和搭配A种造型数量x之间的函数关系用函数的性质求解;或直接算出三种方案的成本进行比较.[归纳总结]
1.利用一元一次不等式组解应用题关键是找出所有的不等关系依据相应的不等关系列出相应的不等式组成不等式组后求出不等式组的解集然后结合问题的实际背景从解集中找到符合题意的答案比如人数或物品的个数、产品的件数等只能取正整数.
2.列一元一次不等式组解应用题的一般步骤:1审:分析题目中的已知条件和未知条件之间的关系;2设:设未知数;3列:找出能够包含未知数的所有不等关系组成不等式组;4解:解不等式组求出解集;5答:先检验解集是否符合题意再写出答语.专题六 数形结合思想【专题分析】数形结合是一种将代数和几何结合在一起研究并解决问题的重要的思想方法.在本章的学习中充分体现了这种思想如在数轴上表示不等式组的解集利用数轴求不等式组的解集等. 若关于x的不等式3x-2a≤-2的解集在数轴上的表示如图所示则a的值是 . 〔解析〕 解不等式3x-2a≤-2得x≤而由图可知不等式的解集为x≤-1故=-1解得a=-.故填-.[解题策略] 本题先把字母a看成常数求出不等式的解集再结合数轴给出的不等式的解集构造出关于a的一元一次方程求得a的值.【针对训练8】 不等式组的解集在数轴上表示正确的是如图所示 〔解析〕 解原不等式组得-3x≤
1.A表示的恰好是-3x≤
1.故选A.[解题策略] 用数轴表示不等式组的解集体现了数形结合思想的应用.专题七 求一元一次不等式组的特殊值【专题分析】在此类问题中一般给出一个一元一次不等式组然后在解集的范围内限定取值解决的方法通常是先求出不等式组的解集再由题意求出符合条件的数值. 求不等式组的整数解.〔解析〕 遇到此类问题先解不等式组再根据不等式组的解集讨论并得到整数结果.其中需要注意的是看题目中要的是整数解还是正整数解等.解:解不等式组得x的取值范围为-x.∵x为整数∴x可取-
10123.【针对训练9】 当m为何值时关于x的不等式组的解集是x-1〔解析〕 由于m的值未知所以2m+1与m+2的大小关系未知因此应对2m+1与m+2的大小关系进行分类讨论.解:
①若2m+1=m+2则得方程组解这个方程组无解;
②若2m+1m+2则2m+1=-
1.解这个不等式和方程无解;
③若2m+1m+2则m+2=-
1.解这个不等式和方程得m=-
3.综合以上三种情况可知m=-
3.本章质量评估时间:90分钟 满分:120分
一、选择题每小题3分共30分
1.下列说法正确的是 A.x=4是2x7的一个解B.x=4不是2x7的解C.2x7的解集是x=4D.x4是2x7的解集
2.下列不等式变形正确的是 A.由ab得a-2b-2B.由ab得-2a-2bC.由ab得D.由ab得a2b
23.下列不等式中解集不同的是 A.5x10与3x6B.6x-93x+6与x5C.x-2与-14x28D.x-72x+8与x
154.xx·德州中考不等式组的解集在数轴上可表示为如图所示
5.如果一元一次不等式组的解集为x3那么a的取值范围是 A.a3B.a≥3C.a≤3D.a
36.已知关于x的不等式2x-a-3的解集在数轴上的表示如图所示则a的值等于 A.0B.1C.-1D.
27.小明准备用22元钱买笔和笔记本已知每支笔3元每本笔记本2元他买了3本笔记本后其余的钱用来买笔那么他最多可以买 A.3支笔B.4支笔C.5支笔D.6支笔
8.若关于x的不等式组的整数解共有4个则m的取值范围是 A.6m7B.6≤m7C.6≤m≤7D.6m≤
79.某商贩去菜摊买黄瓜他上午买了30斤价格为每斤x元;下午他又买了20斤价格为每斤y元.后来他以每斤元的价格将50斤黄瓜卖完后结果发现自己赔了钱其原因是 A.xyB.xyC.x≤yD.x≥y
10.如图所示的是测量一颗玻璃球体积的过程:1将300mL的水倒进一个容量为500mL的杯子中;2将四颗相同的玻璃球放入水中结果水没有满;3再把一颗同样的玻璃球放入水中结果水满溢出.根据以上过程推测这样一颗玻璃球的体积在 A.20cm3以上30cm3以下B.30cm3以上40cm3以下C.40cm3以上50cm3以下D.50cm3以上60cm3以下
二、填空题每小题4分共32分
11.当实数a0时6+a 6-a填“”或“”.
12.不等式2x+9≥3x+2的正整数解是 .
13.一罐饮料净重500克罐上注有“蛋白质含量≥
0.4%”则这罐饮料中蛋白质的含量至少为 克.
14.编写一个解集为x≥2的一元一次不等式组: .
15.小明在解一个一元一次不等式时发现不等式的右边的数被墨迹污染了所以看到的不等式是1-3x■他查看练习题的答案后才知道这个不等式的解集是x5那么■表示的数是 .
16.小刚想给小军打电话但忘了电话中的一位数字只记得号码是284□9456□表示忘记的数字.若□位置的数字是不等式组的整数解则□可能表示的数字是 .
17.如图所示要使输出值y大于100则输入的最小正整数x是 .
18.某商品的售价是528元商家出售一件这样的商品可获利润是进价的10%~20%设进价为x元则x的取值范围是 .
三、解答题共58分
19.8分1解不等式≤1-并把它的解集在数轴上表示出来;2解不等式组 并写出此不等式组的所有整数解.
20.8分1已知不等式
①x-30
②13-x
③-10从这3个不等式中任取两个构成不等式组其中是否存在一个解集中只有一个整数解的不等式组若存在写出不等式组并求出这个整数解若不存在请说明理由;2对于数abcd符号表示运算ad-bc已知≥3求出x的取值范围.
21.8分在课外数学兴趣小组的活动课上小组长李晓要求以刚学习的“一元一次不等式组”为题进行游戏游戏的规则是:四个人一组由其中的三个人各自说出一个不等式组中不等式所满足的条件不重复然后由第四个同学回答出一个符合要求的一元一次不等式组若这个同学回答不正确则有五分钟的时间向别的同学求援超过规定的时间就要表演一个文艺节目.下面是甲、乙、丙三名同学的叙述:要求丁同学回答甲:它的所有解为非负数;乙:其中一个不等式的解集为x≤8;丙:其中一个不等式在解的过程中需改变不等号的方向.丁同学听完他们的叙述后感觉有一定的难度所以他要求援助假设他让你帮忙的话你能帮他得出正确的结论吗
22.10分为支援四川雅安地震灾区某市民政局组织募捐了240吨救灾物资现准备租用甲、乙两种货车将这批救灾物资一次性全部运往灾区它们的载货量和租金如下表:甲种货车乙种货车载货量吨/辆4530租金元/辆400300如果计划租用6辆货车且租车的总费用不超过2300元求最省钱的租车方案.
23.12分儿童节那天小强去商店买东西看见每盒饼干的标价都是整数于是小强拿出10元钱递给商店的阿姨下面是他俩的对话:如果每盒饼干和每袋牛奶的标价分别设为x元y元请你根据以上信息:1找出x与y之间的关系式;2请利用不等关系求出每盒饼干和每袋牛奶的标价.
24.12分某体育用品商场采购员要到厂家批发购进篮球和排球共100个付款总额不得超过11815元.已知两种球厂家的批发价和市场的零售价如下表试解答下列问题:品名厂家批发价元/个市场零售价元/个篮球130160排球1001201该采购员最多可购进篮球多少个2若该商场把这100个球全部以市场零售价售出为使商场获得的利润不低于2580元则采购员至少要购篮球多少个该商场最多可盈利多少元【答案与解析】
1.A解析:根据不等式解的概念可知x=4是2x7的一个解是正确的.故选A.
2.B解析:本题利用不等式的性质进行不等式变形.B选项不等式两边同时乘-2不等号的方向改变所以正确.故选B.
3.D
4.D
5.C解析:因为不等式组的解集为x3所以有a≤
3.故选C.
6.B解析:先求出不等式2x-a-3的解集为x又由图可知不等式的解集为x-1因此=-1解得a=
1.
7.C解析:设他可买x支笔则3×2+3x≤22解得x≤5所以最多可以买5支笔.故选C.
8.D解析:解不等式
①得xm解不等式
②得x≥3由题意知不等式组的解集是3≤xm又不等式组的整数解有4个即3456所以6m≤
7.
9.B解析:根据题意得他买的黄瓜每斤的平均价是元以每斤元的价格卖完后结果发现自己赔了钱则解得xy.所以赔钱的原因是xy.
10.C解析:设一个玻璃球的体积为xcm3由题意得不等式组解得40x
50.
11.解析:只有符号不同的两个数互为相反数先根据相反数的性质比较出a和-a的大小然后利用不等式的性质在不等式的两边同时加上
6.因为a0所以-a0所以a-a所以a+6-a+6即6+a6-a.
12.123解析:先求出不等式的解集然后再取正整数解.2x+9≥3x+2去括号得2x+9≥3x+6移项得2x-3x≥6-9合并同类项得-x≥-3两边同时除以-1得x≤
3.所以正整数解是
123.故填
123.
13.2解析:设蛋白质的含量为x克依题意得≥
0.4%解得x≥
2.
14. 解析:答案不唯一本题为开放性题按照口诀大大取大列不等式组即可.当解集为x≥2时构造的不等式组可以为
15.-14解析:不等式1-3x■的解集为x1-■则有1-■=5■=-
14.
16.678解析:不等式组的解集为
5.5x≤8故□可能表示的数字是
678.
17.21解析:若x为偶数根据题意得x×4+13100解得x所以此时x的最小整数值为22;若x为奇数根据题意得x×5100解得x20所以此时x的最小整数值为
21.综上输入的最小正整数x是
21.
18.440≤x≤480[提示:设这种商品的进价为x元则得到≤x≤解得440≤x≤480则x的取值范围是440≤x≤
480.]
19.解:1去分母得22x-1≤6-32x+1去括号得4x-2≤6-6x-3移项得4x+6x≤6-3+2合并同类项得10x≤5系数化为1得x≤.解集在数轴上表示如图所示.2不等式
①的解集是x≤4不等式
②的解集是x所以不等式组的解集为x≤4所以此不等式组的整数解为
1234.
20.解:1存在.解各个不等式得
①x3
②x2
③x
1.所以由此观察可知
①与
③组成的不等式组满足条件解集为1x
3.这个不等式组的整数解为x=
2. 2由≥3得x-≥3去分母得2x-5x-2≥30去括号得2x-5x+10≥30移项得2x-5x≥30-10合并同类项得-3x≥20两边都除以-3得x≤-.
21.提示:本题应从甲、乙、丙三名同学的叙述开始甲:它的所有解为非负数故x≥0所以不等式两边同时乘2得2x≥0两边同时加3得2x+3≥3;由乙:其中一个不等式的解集为x≤8丙:其中一个不等式在解的过程中需改变不等号的方向可知在x≤8两边同时乘-2得-2x≥-16两边同时加3得-2x+3≥-
13.解:答案不唯一如等.
22.解:设租用甲种货车x辆则租用乙种货车6-x辆根据题意得出45x+306-x≥240解得x≥4则租车方案为:甲4辆乙2辆;甲5辆乙1辆;甲6辆乙0辆.租车的总费用分别为:4×400+2×300=2200元5×400+1×300=2300元6×400=2400元故符合条件且最省钱的租车方案是租用甲货车4辆乙货车2辆.
23.解:1由题意得
0.9x+y=10-
0.8y=
9.2-
0.9x. 2根据题意得不等式组 将y=
9.2-
0.9x代入
②式得解这个不等式组得8x10因为x为正整数所以x=9所以y=
9.2-
0.9×9=
1.
1.答:每盒饼干的标价为9元每袋牛奶的标价为
1.1元.
24.解:1设采购员可购进篮球x个则排球是100-x个依题意得130x+100100-x≤11815解得x≤
60.5因为x是正整数所以x最大取
60.所以该采购员最多可购进篮球60个.2设购进篮球x个则排球是100-x个则 由
①得x≤
60.5由
②得x≥58∴不等式组的解集为58≤x≤
60.
5.∴采购员至少要购篮球58个.∵篮球的利润大于排球的利润∴这100个球中当篮球最多时商场可盈利最多故购进篮球60个此时排球40个时商场最多可盈利160-130×60+120-100×40=1800+800=2600元.。