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2019-2020年高三数学一轮总复习第二章函数与基本初等函数Ⅰ课时跟踪检测理1．函数与映射的概念函数映射两集合A，B设A，B是两个非空的数集设A，B是两个非空集合对应法则f A→B如果按照某种确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数fx和它对应如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称称f A→B为从集合A到集合B的一个函数称对应f A→B为从集合A到集合B的一个映射记法y＝fx，x∈A对应f A→B是一个映射2．函数的有关概念1函数的定义域、值域在函数y＝fx，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{fx|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．2函数的三要素定义域、值域和对应法则．3相同函数如果两个函数的定义域和对应法则完全一致，则这两个函数相同，这是判断两函数相同的依据．4函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法、列表法．3．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．[小题体验]1．教材习题改编下列五个对应f，不是从集合A到集合B的函数的是________填序号．
①A＝，B＝{－6，－31}，f＝－6，f1＝－3，f＝1；
②A＝{123}，B＝{789}，f1＝f2＝7，f3＝8；
③A＝B＝{123}，fx＝2x－1；
④A＝B＝{x|x≥－1}，fx＝2x＋1；
⑤A＝Z，B＝{－11}，n为奇数时，fn＝－1，n为偶数时，fn＝
1.解析根据函数定义，即看是否是从非空数集A到非空数集B的映射．
③中集合A中的元素3在集合B中无元素与之对应，故不是A到B的函数．其他均满足．答案
③2．教材习题改编若fx＝x－x2，则f＝________.解析f＝－2＝.答案3．教材习题改编用长为30cm的铁丝围成矩形，若将矩形面积Scm2表示为矩形一边长xcm的函数，则函数解析式为________，其函数定义域为________．解析矩形的另一条边长为15－x，且x015－x
0.故S＝x15－x，定义域为015．答案S＝x15－x 0154．函数fx＝的定义域是________________．答案[45∪5，＋∞1．解决函数的一些问题时，易忽视“定义域优先”的原则．2．易混“函数”与“映射”的概念函数是特殊的映射，映射不一定是函数，从A到B的一个映射，若A，B不是数集，则这个映射便不是函数．3．误把分段函数理解为几个函数组成．[小题纠偏]1．函数y＝与函数y＝________填“是”或“不是”同一函数．解析函数y＝的定义域为[0，＋∞，y＝的定义域为0，＋∞．因为两个函数的定义域不同，所以不表示同一函数．答案不是2．函数fx＝·的定义域为________．解析由题意，得所以x≥1，所以函数fx的定义域是[1，＋∞．答案[1，＋∞3．一个面积为100的等腰梯形，上底长为x，下底长为上底长的3倍，则把它的高y表示成x的函数为______________________________________________________________．解析由·y＝100，得2xy＝100，所以y＝x0．答案y＝x04．已知f＝x2＋5x，则fx＝________.解析令t＝，∴x＝.∴ft＝＋.∴fx＝x≠0．答案x≠0[命题分析]函数的定义域是使函数有意义的自变量取值的集合，它是函数不可缺少的组成部分，研究函数问题必须树立“定义域优先”的观念．求给定函数的定义域往往转化为解不等式组的问题，在解不等式组取交集时可借助于数轴．常见的命题角度有1求给定函数解析式的定义域；2求抽象函数的定义域；3已知定义域确定参数问题．[题点全练]角度一求给定函数解析式的定义域1．xx·南师附中月考y＝－log24－x2的定义域是________．解析要使函数有意义，必须∴x∈－20∪[12．答案－20∪[122．函数fx＝a＞0且a≠1的定义域为____________________．解析由⇒⇒0＜x≤2，故所求函数的定义域为02]．答案02]角度二求抽象函数的定义域3．若函数y＝fx的定义域是
[12016]，则函数gx＝的定义域是________．解析令t＝x＋1，则由已知函数的定义域为
[12016]，可知1≤t≤
2016.要使函数fx＋1有意义，则有1≤x＋1≤2016，解得0≤x≤2015，故函数fx＋1的定义域为[0，2015]．所以使函数gx有意义的条件是解得0≤x1或1＜x≤
2015.故函数gx的定义域为[01∪1，2015]答案[01∪12015]4．若函数fx2＋1的定义域为[－11]，则flgx的定义域为________．解析因为fx2＋1的定义域为[－11]，则－1≤x≤1，故0≤x2≤1，所以1≤x2＋1≤
2.因为fx2＋1与flgx是同一个对应法则，所以1≤lgx≤2，即10≤x≤100，所以函数flgx的定义域为
[10100]．答案
[10100]角度三已知定义域确定参数问题5．xx·苏北四市调研若函数fx＝的定义域为R，则a的取值范围为______________________．解析因为函数fx的定义域为R，所以2－1≥0对x∈R恒成立，即2≥20，x2＋2ax－a≥0恒成立，因此有Δ＝2a2＋4a≤0，解得－1≤a≤
0.答案[－10][方法归纳]函数定义域的2种求法方法解读适合题型直接法构造使解析式有意义的不等式组求解.已知函数的具体表达式，求fx的定义域转移法若y＝fx的定义域为a，b，则解不等式agxb即可求出y＝fgx的定义域已知fx的定义域，求fgx的定义域若y＝fgx的定义域为a，b，则求出gx在a，b上的值域即得fx的定义域已知fgx的定义域，求fx的定义域[典例引领]1已知f＝x2＋，求fx的解析式；2已知f＝lgx，求fx的解析式；3已知fx是二次函数，且f0＝0，fx＋1＝fx＋x＋1，求fx；4已知函数fx的定义域为0，＋∞，且fx＝2f·－1，求fx．解1由于f＝x2＋＝2－2，所以fx＝x2－2，x≥2或x≤－2，故fx的解析式是fx＝x2－2，x≥2或x≤－
2.2令＋1＝t得x＝，代入得ft＝lg，又x0，所以t1，故fx的解析式是fx＝lg，x
1.3设fx＝ax2＋bx＋ca≠0，由f0＝0，知c＝0，fx＝ax2＋bx，又由fx＋1＝fx＋x＋1，得ax＋12＋bx＋1＝ax2＋bx＋x＋1，即ax2＋2a＋bx＋a＋b＝ax2＋b＋1x＋1，所以解得a＝b＝.所以fx＝x2＋x，x∈R.4在fx＝2f－1中，用代替x，得f＝2fx－1，将f＝－1代入fx＝2f－1中，可求得fx＝＋.[由题悟法]求函数解析式的4个方法[即时应用]1．设y＝fx是二次函数，方程fx＝0有两个相等实根，且f′x＝2x＋2，求fx的解析式．解设fx＝ax2＋bx＋ca≠0，则f′x＝2ax＋b＝2x＋2，∴a＝1，b＝2，fx＝x2＋2x＋c.又∵方程fx＝0有两个相等实根，∴Δ＝4－4c＝0，解得c＝
1.故fx＝x2＋2x＋
1.2．根据下列条件求各函数的表达式1已知fx是一次函数，且满足3fx＋1－2fx－1＝2x＋17，求fx；2已知f＝x3＋，求fx．解1设fx＝ax＋ba≠0，则3fx＋1－2fx－1＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b＝ax＋b＋5a＝2x＋17，所以a＝2，b＝7，所以fx＝2x＋
7.2因为f＝x3＋＝3－3，所以fx＝x3－3xx≥2或x≤－2．[典例引领]1．已知fx＝且f0＝2，f－1＝3，则ff－3＝________.解析由题意得f0＝a0＋b＝1＋b＝2，解得b＝
1.f－1＝a－1＋b＝a－1＋1＝3，解得a＝.故f－3＝－3＋1＝9，从而ff－3＝f9＝log39＝
2.答案22．xx·山东高考改编设函数fx＝则满足ffa＝2fa的a的取值范围是________．解析由ffa＝2fa得，fa≥
1.当a＜1时，有3a－1≥1，∴a≥，∴≤a＜
1.当a≥1时，有2a≥1，∴a≥0，∴a≥
1.综上，a≥.答案[由题悟法]分段函数2种题型的求解策略1根据分段函数解析式求函数值首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解．2已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．[提醒] 当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论．[即时应用]1．已知函数fx＝且fx0＝3，则实数x0的值为________．解析由条件可知，当x0≥0时，fx0＝2x0＋1＝3，所以x0＝1；当x00时，fx0＝3x＝3，所以x0＝－1，所以实数x0的值为－1或
1.答案－1或12．已知fx＝使fx≥－1成立的x的取值范围是________．解析由题意知或解得－4≤x≤0或0＜x≤2，故x的取值范围是[－42]．答案[－42]一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．函数fx＝＋log26－x的定义域是________．解析要使函数有意义应满足解得－3≤x
6.答案[－362．已知f＝2x－5，且fa＝6，则a等于________．解析令t＝x－1，则x＝2t＋2，ft＝22t＋2－5＝4t－1，则4a－1＝6，解得a＝.答案3．若二次函数gx满足g1＝1，g－1＝5，且图象过原点，则gx的解析式为________________________．解析设gx＝ax2＋bx＋ca≠0，∵g1＝1，g－1＝5，且图象过原点，∴解得∴gx＝3x2－2x.答案gx＝3x2－2x4．已知函数fx＝若f1＝，则f3＝________.解析由f1＝，可得a＝，所以f3＝2＝.答案5．已知函数fx＝若ff13a2，则a的取值范围是________．解析由题意知f1＝2＋1＝3，ff1＝f3＝32＋6a，若ff13a2，则9＋6a3a2，即a2－2a－30，解得－1a
3.答案－13二保高考，全练题型做到高考达标1．函数fx＝的定义域为________．解析要使函数fx有意义，则x须满足即解
①得，－1≤x≤
10.所以函数fx的定义域为12∪210]．答案12∪210]2．已知函数fx＝则ff－2＝________.解析因为f－2＝－22＝4，而f4＝4＋1＝5，所以ff－2＝
5.答案53．xx·福建四地六校联考若fx对于任意实数x恒有2fx－f－x＝3x＋1，则f1＝________.解析令x＝1，得2f1－f－1＝4，
① 令x＝－1，得2f－1－f1＝－2，
② 联立
①②得f1＝
2.答案24．已知函数fx，gx分别由下表给出x123fx131x123gx321则满足fgxgfx的x的值是________．解析当x＝1时，fg1＝1，gf1＝3，不满足fgxgfx；当x＝2时，fg2＝3，gf2＝1，满足fgxgfx；当x＝3时，fg3＝1，gf3＝3，不满足fgxgfx．答案2 5．已知函数fx＝当t∈
[01]时，fft∈
[01]，则实数t的取值范围是________．解析当t∈
[01]时，ft＝3t∈
[13]；当3t＝1，即t＝0时，f1＝3∉
[01]，不符合题意，舍去；当3t∈13]时，f3t＝－×3t∈
[01]，由f3t＝－×3t≥0，得3t≤3，所以t≤1；由f3t＝－×3t≤1，得3t≥，所以t≥log
3.综上所述，实数t的取值范围是.答案6．xx·南京一中检测已知fx＝若fa＝，则a＝________.解析若a≥0，由fa＝得，a＝，解得a＝；若a0，则|sina|＝，a∈，解得a＝－.综上可知，a＝或－.答案或－7．已知函数y＝fx2－1的定义域为[－，]，则函数y＝fx的定义域为________．解析∵y＝fx2－1的定义域为[－，]，∴x∈[－，]，x2－1∈[－12]，∴y＝fx的定义域为[－12]．答案[－12]8．已知函数fx＝2x＋1与函数y＝gx的图象关于直线x＝2成轴对称图形，则函数y＝gx的解析式为________．解析设点Mx，y为函数y＝gx图象上的任意一点，点M′x′，y′是点M关于直线x＝2的对称点，则又y′＝2x′＋1，∴y＝24－x＋1＝9－2x，即gx＝9－2x.答案gx＝9－2x9．规定[t]为不超过t的最大整数，例如[
12.6]＝12，[－
3.5]＝－4，对任意实数x，令f1x＝[4x]，gx＝4x－[4x]，进一步令f2x＝f1[gx]．1若x＝，分别求f1x和f2x；2若f1x＝1，f2x＝3同时满足，求x的取值范围．解1∵x＝时，4x＝，∴f1x＝＝
1.∵gx＝－＝.∴f2x＝f1[gx]＝f1＝
[3]＝
3.2∵f1x＝[4x]＝1，gx＝4x－1，∴f2x＝f14x－1＝[16x－4]＝
3.∴∴≤x.故x的取值范围为.10．1定义在－11内的函数fx满足2fx－f－x＝lgx＋1，求函数fx的解析式；2若函数fx＝a≠0，f2＝1，且方程fx＝x有唯一解，求fx的解析式．解1当x∈－11时，有2fx－f－x＝lgx＋1．
①以－x代x，得2f－x－fx＝lg－x＋1．
②由
①②消去f－x，得fx＝lgx＋1＋lg1－x，x∈－11．2由f2＝1，得＝1，即2a＋b＝
2.由fx＝x，得＝x，变形得x＝0，解此方程得x＝0或x＝，又因为方程有唯一解，故＝0，解得b＝1，代入2a＋b＝2，得a＝，所以fx＝.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．xx·金陵中学月考已知fx＝的值域为R，那么a的取值范围是________．解析要使函数fx的值域为R，需使∴∴－1≤a.即a的取值范围是.答案2．已知f是有序数对集合M＝{x，y|x∈N*，y∈N*}上的一个映射，正整数数对x，y在映射f下的象为实数z，记作fx，y＝z.对于任意的正整数m，nmn，映射f由下表给出x，yn，nm，nn，mfx，ynm－nm＋n则使不等式f2x，x≤4成立的x的集合是________．解析∵∀x∈N*，都有2xx，∴f2x，x＝2x－x，则f2x，x≤4⇔2x－x≤4x∈N*⇔2x≤x＋4x∈N*，当x＝1时，2x＝2，x＋4＝52x≤x＋4成立；当x＝2时，2x＝4，x＋4＝62x≤x＋4成立；当x≥3x∈N*时，2xx＋
4.故满足条件的x的集合是{12}．答案{12}
3.行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y米与汽车的车速x千米/时满足下列关系y＝＋mx＋nm，n是常数．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y米与汽车的车速x千米/时的关系图．1求出y关于x的函数表达式；2如果要求刹车距离不超过
25.2米，求行驶的最大速度．解1由题意及函数图象，得解得m＝，n＝0，所以y＝＋x≥0．2令＋≤
25.2，得－72≤x≤
70.∵x≥0，∴0≤x≤
70.故行驶的最大速度是70千米/时．第二节函数的单调性与最值1．函数的单调性1单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数fx的定义域为I如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1x2时，都有fx1fx2，那么就说函数fx在区间D上是增函数当x1x2时，都有fx1fx2，那么就说函数fx在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的2单调区间的定义如果函数y＝fx在区间D上是单调增函数或单调减函数，那么就说函数y＝fx在这一区间具有严格的单调性，单调增区间和单调减区间统称为函数y＝fx的单调区间．2．函数的最值前提设函数y＝fx的定义域为I，如果存在实数M满足条件1对于任意的x∈I，都有fx≤M；2存在x0∈I，使得fx0＝M.3对于任意的x∈I，都有fx≥M；4存在x0∈I，使得fx0＝M.结论M为最大值M为最小值[小题体验]1．教材习题改编下列函数中，在区间02上是单调增函数的是________．填序号
①y＝1－3x；
②y＝－；
③y＝x2＋1；
④y＝|x＋1|.解析y＝1－3x在区间02上是减函数，故
①错误，其余均正确．故填
②③④.答案
②③④2．教材习题改编若函数y＝ax2＋2a＋1x在－∞，2]上是增函数，则实数a的取值范围是________．解析应分函数为一次函数还是二次函数两种情况
①若a＝0，则y＝x在－∞，2]上是增函数，所以a＝0符合题意；
②若a≠0，则解得－≤a
0.综合
①②得实数a的取值范围是.答案3．已知函数fx＝x∈
[26]，则函数的最大值为______．答案21．易混淆两个概念“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集．2．若函数在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，不能写成并集．例如，函数fx在区间－10上是减函数，在01上是减函数，但在－10∪01上却不一定是减函数，如函数fx＝.3．两函数fx，gx在x∈a，b上都是增减函数，则fx＋gx也为增减函数，但fx·gx，等的单调性与其正负有关，切不可盲目类比．[小题纠偏]1．函数y＝的单调增区间是________．解析由题意画出函数y＝的图象如图所示，所以函数的单调增区间是－∞，0和[0，＋∞．答案－∞，0和[0，＋∞2．设函数fx是－33上的增函数，若fm－1f2m－1，则实数m的取值范围是________．解析由题意，得所以－1m
0.答案－
103.设定义在[－17]上的函数y＝fx的图象如图所示，则函数y＝fx的增区间为________．答案[－11]，
[57][题组练透]1．函数y＝－x－3|x|的递增区间是________．解析y＝－x－3|x|＝作出该函数的图象，观察图象知递增区间为.答案2．讨论函数fx＝a0在x∈－11上的单调性．解法一定义法设－1x1x21，则fx1－fx2＝－＝＝.∵－1x1x21，a0，∴x2－x10，x1x2＋10，x－1x－
10.∴fx1－fx20，即fx1fx2，故函数fx在－11上为减函数．法二导数法f′x＝＝.又a0，所以f′x0，所以函数fx在－11上为减函数．[谨记通法]判断或证明函数的单调性的2种重要方法及其步骤1定义法，其基本步骤2导数法，其基本步骤[典例引领]求下列函数的单调区间1y＝－x2＋2|x|＋1；2y＝logx2－3x＋2．解1由于y＝即y＝画出函数图象如图所示，单调增区间为－∞，－1]和
[01]，单调减区间为[－10]和[1，＋∞．2令u＝x2－3x＋2，则原函数可以看作y＝logu与u＝x2－3x＋2的复合函数．令u＝x2－3x＋2＞0，则x＜1或x＞
2.∴函数y＝logx2－3x＋2的定义域为－∞，1∪2，＋∞．又u＝x2－3x＋2的对称轴x＝，且开口向上．∴u＝x2－3x＋2在－∞，1上是单调减函数，在2，＋∞上是单调增函数．而y＝logu在0，＋∞上是单调减函数，∴y＝logx2－3x＋2的单调减区间为2，＋∞，单调增区间为－∞，1．[由题悟法]确定函数的单调区间的3种方法[提醒] 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．[即时应用]1．若将[典例引领]1中的函数变为“y＝|－x2＋2x＋1|”，则结论如何？解函数y＝|－x2＋2x＋1|的图象如图所示．由图象可知，函数y＝|－x2＋2x＋1|的单调增区间为1－，1和1＋，＋∞；单调减区间为－∞，1－和11＋．2．函数y＝的单调递增区间为________．解析令u＝2x2－3x＋1＝22－.因为u＝22－在上单调递减，函数y＝u在R上单调递减．所以y＝在上单调递增．答案[命题分析]高考对函数单调性的考查多以填空题的形式出现，有时也应用于解答题中的某一问中．常见的命题角度有1求函数的值域或最值；2比较两个函数值或两个自变量的大小；3解函数不等式；4利用单调性求参数的取值范围或值．[题点全练]角度一求函数的值域或最值1．函数fx＝的最大值为________．解析当x≥1时，函数fx＝为减函数，所以fx在x＝1处取得最大值，为f1＝1；当x1时，易知函数fx＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f0＝
2.故函数fx的最大值为
2.答案2角度二比较两个函数值或两个自变量的大小2．xx·苏州调研已知函数fx的图象关于直线x＝1对称，当x2x11时，[fx2－fx1]x2－x10恒成立，设a＝f，b＝f2，c＝fe，则a，b，c的大小关系为_____．解析因为fx的图象关于直线x＝1对称．由此可得f＝f.由x2x11时，[fx2－fx1]x2－x10恒成立，知fx在1，＋∞上单调递减．∵12e，∴f2ffe，∴bac.答案bac角度三解函数不等式3．fx是定义在0，＋∞上的单调增函数，满足fxy＝fx＋fy，f3＝1，当fx＋fx－8≤2时，x的取值范围是________．解析2＝1＋1＝f3＋f3＝f9，由fx＋fx－8≤2，可得f[xx－8]≤f9，因为fx是定义在0，＋∞上的增函数，所以有解得8＜x≤
9.答案89]角度四利用单调性求参数的取值范围或值4．如果函数fx＝ax2＋2x－3在区间－∞，4上是单调递增的，则实数a的取值范围是________．解析当a＝0时，fx＝2x－3，在定义域R上是单调递增的，故在－∞，4上单调递增；当a≠0时，二次函数fx的对称轴为x＝－，因为fx在－∞，4上单调递增，所以a0且－≥4，解得－≤a
0.综上所述，实数a的取值范围是.答案5．已知函数fx＝若fx在－∞，＋∞上单调递增，则实数a的取值范围为________．解析要使函数fx在R上单调递增，则有即解得2a≤3，即实数a的取值范围是23]．答案23][方法归纳]函数单调性应用问题的常见类型及解题策略1求函数值域或最值．常用方法有单调性法、图象法、基本不等式法、导数法、换元法．2比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．3解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．4利用单调性求参数．视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．[提醒]
①若函数在区间[a，b]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；
②分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．已知函数y＝fx的图象如图所示，那么该函数的单调减区间是________．解析由函数的图象易知，函数fx的单调减区间是[－3，－1]和
[12]．答案[－3，－1]和
[12]2．函数fx＝|x－2|x的单调减区间是________．解析由于fx＝|x－2|x＝结合图象可知函数的单调减区间是
[12]．答案
[12]3．xx·学军中学检测已知函数fx＝|x＋a|在－∞，－1上是单调函数，则a的取值范围是________．解析因为函数fx在－∞，－a上是单调函数，所以－a≥－1，解得a≤
1.答案－∞，1]4．函数fx＝在区间[a，b]上的最大值是1，最小值是，则a＋b＝________.解析易知fx在[a，b]上为减函数，∴即∴∴a＋b＝
6.答案65．已知函数fx＝x2－2ax－3在区间
[12]上具有单调性，则实数a的取值范围为________________．解析函数fx＝x2－2ax－3的图象开口向上，对称轴为直线x＝a，画出草图如图所示．由图象可知，函数在－∞，a]和[a，＋∞上都具有单调性，因此要使函数fx在区间
[12]上具有单调性，只需a≤1或a≥2，从而a∈－∞，1]∪[2，＋∞．答案－∞，1]∪[2，＋∞二保高考，全练题型做到高考达标1．函数fx＝x－a在
[14]上单调递增，则实数a的最大值为________．解析令＝t，所以t∈
[12]，即ft＝t2－at，由fx在
[14]上递增，知ft在
[12]上递增，所以≤1，即a≤2，所以a的最大值为
2.答案22．已知函数fx＝，则该函数的单调增区间为________．解析设t＝x2－2x－3，由t≥0，即x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥
3.所以函数的定义域为－∞，－1]∪[3，＋∞．因为函数t＝x2－2x－3的图象的对称轴为x＝1，所以函数t在－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞上单调递增．所以函数fx的单调增区间为[3，＋∞．答案[3，＋∞3．已知函数fx＝a0且a≠1是R上的减函数，则a的取值范围是________．解析由fx在R上是减函数，得0a1，且－0＋3a≥a0，由此得a∈.答案4．定义新运算⊕当a≥b时，a⊕b＝a；当ab时，a⊕b＝b2，则函数fx＝1⊕xx－2⊕x，x∈[－22]的最大值等于________．解析由已知得当－2≤x≤1时，fx＝x－2，当1x≤2时，fx＝x3－
2.∵fx＝x－2，fx＝x3－2在定义域内都为增函数．∴fx的最大值为f2＝23－2＝
6.答案65．xx·南通调研已知fx＝是－∞，＋∞上的减函数，那么a的取值范围是________．解析当x＝1时，loga1＝0，若fx为R上的减函数，则3a－1x＋4a0在x1时恒成立，令gx＝3a－1x＋4a，则必有即⇒≤a＜.此时，logax是减函数，符合题意．答案6．函数y＝－xx≥0的最大值为________．解析令t＝，则t≥0，所以y＝t－t2＝－2＋，结合图象知，当t＝，即x＝时，ymax＝.答案7．已知函数fx为0，＋∞上的增函数，若fa2－afa＋3，则实数a的取值范围为________．解析由已知可得解得－3a－1或a
3.所以实数a的取值范围为－3，－1∪3，＋∞．答案－3，－1∪3，＋∞8．设函数fx＝gx＝x2fx－1，则函数gx的递减区间是________．解析由题意知gx＝函数图象如图所示，其递减区间是[01．答案[019．xx·苏州调研已知函数fx＝－a0，x0，1求证fx在0，＋∞上是增函数；2若fx在上的值域是，求a的值．解1证明任取x1x20，则fx1－fx2＝－－＋＝，∵x1x20，∴x1－x20，x1x20，∴fx1－fx20，即fx1fx2，∴fx在0，＋∞上是增函数．2由1可知fx在上为增函数，∴f＝－2＝，f2＝－＝2，解得a＝.10．已知fx＝x≠a．1若a＝－2，试证明fx在－∞，－2内单调递增；2若a0且fx在1，＋∞上单调递减，求a的取值范围．解1证明任设x1x2－2，则fx1－fx2＝－＝.∵x1＋2x2＋20，x1－x20，∴fx1fx2，∴fx在－∞，－2上单调递增．2任设1x1x2，则fx1－fx2＝－＝.∵a0，x2－x10，∴要使fx1－fx20，只需x1－ax2－a0在1，＋∞上恒成立，∴a≤
1.综上所述，a的取值范围是01]．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知函数fx＝是R上的增函数，则实数k的取值范围是________．解析由题意得解得≤k
1.答案2．xx·泰州中学期中已知函数y＝logx2－ax＋a在区间－∞，]上是增函数，则实数a的取值范围是________．解析设y＝logt，t＝x2－ax＋a.因为y＝logt在0，＋∞上是单调减函数，要想满足题意，则t＝x2－ax＋a在－∞，]上为单调减函数，且tmin0，故需解得2≤a2＋
2.答案[2，2＋23．已知定义在区间0，＋∞上的函数fx满足f＝fx1－fx2，且当x1时，fx
0.1求f1的值；2证明fx为单调递减函数；3若f3＝－1，求fx在
[29]上的最小值．解1令x1＝x20，代入得f1＝fx1－fx1＝0，故f1＝
0.2证明任取x1，x2∈0，＋∞，且x1x2，则1，由于当x1时，fx0，所以f0，即fx1－fx20，因此fx1fx2，所以函数fx在区间0，＋∞上是单调递减函数．3∵fx在0，＋∞上是单调递减函数．∴fx在
[29]上的最小值为f9．由f＝fx1－fx2得，f＝f9－f3，而f3＝－1，所以f9＝－
2.∴fx在
[29]上的最小值为－
2.第三节函数的奇偶性及周期性1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数fx的定义域内任意一个x，都有f－x＝fx，那么函数fx就叫做偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数fx的定义域内任意一个x，都有f－x＝－fx，那么函数fx就叫做奇函数关于原点对称
2.函数的周期性1周期函数对于函数fx，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有fx＋T＝fx，那么就称函数fx为周期函数，称T为这个函数的周期．2最小正周期如果在周期函数fx的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做fx的最小正周期．[小题体验]1．教材习题改编函数fx＝mx2＋2m－1x＋1是偶函数，则实数m＝________.解析由f－x＝fx，得2m－1＝0，即m＝.答案2．教材习题改编已知函数fx是定义在R上的奇函数，当x0时，fx＝x3＋x＋1，则当x0时，fx＝________.解析若x0，则－x0，f－x＝－x3－x＋1，由于fx是奇函数，所以f－x＝－fx，所以fx＝x3＋x－
1.答案x3＋x－13．若函数fx是周期为5的奇函数，且满足f1＝1，f2＝2，则f8－f14＝________.答案－11．判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．2．判断函数fx的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x，均有f－x＝－fx或f－x＝fx，而不能说存在x使f－x＝－fx或f－x＝fx．3．分段函数奇偶性判定时，误用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数去否定函数在整个定义域上的奇偶性．[小题纠偏]1．已知fx＝ax2＋bx是定义在[a－12a]上的偶函数，那么a＋b＝________.解析∵fx＝ax2＋bx是定义在[a－12a]上的偶函数，∴a－1＋2a＝0，∴a＝.又f－x＝fx，∴b＝0，∴a＋b＝.答案2．设fx是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－11时，fx＝则f＝________.解析由题意得，f＝f＝－4×2＋2＝
1.答案13．函数fx＝2x＋2的奇偶性为________．解析由≥0，得函数fx＝2x＋2的定义域为[－22，不关于原点对称，所以函数fx为非奇非偶函数．答案非奇非偶[题组练透]判断下列函数的奇偶性1fx＝＋；2fx＝＋；3fx＝3x－3－x；4fx＝；5易错题fx＝解1∵由得x＝±1，∴fx的定义域为{－11}．又f1＋f－1＝0，f1－f－1＝0，即fx＝±f－x．∴fx既是奇函数又是偶函数．2∵函数fx＝＋的定义域为，不关于坐标原点对称，∴函数fx既不是奇函数，也不是偶函数．3∵fx的定义域为R，∴f－x＝3－x－3x＝－3x－3－x＝－fx，所以fx为奇函数．4∵由得－2≤x≤2且x≠
0.∴fx的定义域为[－20∪02]，∴fx＝＝＝，∴f－x＝－fx，∴fx是奇函数．5易知函数的定义域为－∞，0∪0，＋∞，关于原点对称，又当x0时，fx＝x2＋x，则当x0时，－x0，故f－x＝x2－x＝fx；当x0时，fx＝x2－x，则当x0时，－x0，故f－x＝x2＋x＝fx，故原函数是偶函数．[谨记通法]判定函数奇偶性的3种常用方法1定义法2图象法3性质法
①设fx，gx的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
②复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇，一偶则偶”．[提醒] 1“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的．2判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f－x与fx的关系，只有对各段上的x都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性．如“题组练透”第5题．[典型母题] 设fx是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有fx＋2＝－fx．当x∈
[02]时，fx＝2x－x
2.1求函数的最小正周期；2计算f0＋f1＋f2＋…＋f2015．[解] 1∵fx＋2＝－fx，∴fx＋4＝－fx＋2＝fx．∴fx的最小正周期为
4.2f0＝0，f1＝1，f2＝0，f3＝f－1＝－f1＝－
1.又∵fx是周期为4的周期函数，∴f0＋f1＋f2＋f3＝f4＋f5＋f6＋f7＝…＝f2012＋f2013＋f2014＋f2015＝0，∴f0＋f1＋f2＋…＋f2015＝
0.[类题通法]1．判断函数周期性的2个方法1定义法．2图象法．2．周期性3个常用结论对fx定义域内任一自变量的值x1若fx＋a＝－fx，则T＝2a；2若fx＋a＝，则T＝2a；3若fx＋a＝－，则T＝2a.a0[越变越明][变式1] 若母题中条件变为“fx＋2＝－”，求函数fx的最小正周期．解∵对任意x∈R，都有fx＋2＝－，∴fx＋4＝fx＋2＋2＝－＝－＝fx，∴fx的最小正周期为
4.[变式2] 若母题条件改为定义在R上的函数fx满足fx＋6＝fx，当－3≤x－1时，fx＝－x＋22；当－1≤x3时，fx＝x.求f1＋f2＋f3＋…＋f2015的值．解∵fx＋6＝fx，∴T＝
6.∵当－3≤x－1时，fx＝－x＋22；当－1≤x3时，fx＝x，∴f1＝1，f2＝2，f3＝f－3＝－1，f4＝f－2＝0，f5＝f－1＝－1，f6＝f0＝0，∴f1＋f2＋…＋f6＝1，∴f1＋f2＋…＋f6＝f7＋f8＋…＋f12＝…＝f2005＋f2006＋…＋f2010＝1，∴f1＋f2＋…＋f2010＝1×＝
335.而f2011＋f2012＋f2013＋f2014＋f2015＝f1＋f2＋f3＋f4＋f5＝1＋2－1＋0－1＝
1.∴f1＋f2＋…＋f2015＝335＋1＝
336.[变式3] 在母题条件下，求fxx∈
[24]的解析式．解当x∈[－20]时，－x∈
[02]，由已知得f－x＝2－x－－x2＝－2x－x2，又fx是奇函数，∴f－x＝－fx＝－2x－x
2.∴fx＝x2＋2x.又当x∈
[24]时，x－4∈[－20]，∴fx－4＝x－42＋2x－4．又fx是周期为4的周期函数，∴fx＝fx－4＝x－42＋2x－4＝x2－6x＋
8.故x∈
[24]时，fx＝x2－6x＋
8. [破译玄机]利用函数的周期性，求函数的解析式，应把问题转化为已知区间上的相应问题，即把区间
[24]转化为[－20]上． [命题分析]函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命制试题，其中奇偶性多与单调性相结合，而周期性常与抽象函数相结合，并以结合奇偶性求函数值为主．多以填空题形式出现．常见的命题角度有1奇偶性的应用；2单调性与奇偶性结合；3周期性与奇偶性结合；4单调性、奇偶性与周期性结合．[题点全练]角度一奇偶性的应用1．已知fx是R上的偶函数，且当x0时，fx＝x2－x－1，则当x0时，fx＝________.解析∵fx是定义在R上的偶函数，∴当x0时，－x
0.由已知f－x＝－x2－－x－1＝x2＋x－1＝fx，∴fx＝x2＋x－
1.答案x2＋x－12．设函数fx＝为奇函数，则a＝________.解析∵fx＝为奇函数，∴f1＋f－1＝0，即＋＝0，∴a＝－
1.答案－1角度二单调性与奇偶性结合3．xx·刑台摸底考试已知定义在－11上的奇函数fx，其导函数为f′x＝1＋cosx，如果f1－a＋f1－a20，则实数a的取值范围为________．解析依题意得，f′x0，则fx是定义在－11上的奇函数、增函数．不等式f1－a＋f1－a20等价于f1－a2－f1－a＝fa－1，则－11－a2a－11，由此解得1a.答案1，角度三周期性与奇偶性结合4．已知fx是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f1＜1，f5＝，则实数a的取值范围为________．解析∵fx是定义在R上的周期为3的偶函数，∴f5＝f5－6＝f－1＝f1，∵f1＜1，f5＝，∴＜1，即＜0，解得－1＜a＜
4.答案－14角度四单调性、奇偶性与周期性结合5．已知函数fx是定义在R上以5为周期的奇函数，若f－11，f2016＝，则a的取值范围是________．解析因为fx的周期为5，所以f2016＝f1，又因为fx是奇函数，所以f－1＝－f1，即f2016＝－f－1－1，所以－1，解得0a
3.答案03[方法归纳]函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略1函数单调性与奇偶性结合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．2周期性与奇偶性结合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．3周期性、奇偶性与单调性结合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．函数fx＝－x的图象关于________对称．解析因为函数fx的定义域为－∞，0∪0，＋∞，且对定义域内每一个x，都有f－x＝－＋x＝－fx，所以函数fx是奇函数，其图象关于原点对称．答案原点2．下面四个结论
①偶函数的图象一定与y轴相交；
②奇函数的图象一定过原点；
③偶函数的图象关于y轴对称；
④没有一个函数既是奇函数又是偶函数．其中正确的结论是________填序号．解析函数y＝是偶函数，但不与y轴相交，故
①错；函数y＝是奇函数，但不过原点，故
②错；由偶函数的性质，知
③正确；函数fx＝0既是奇函数又是偶函数，故
④错．答案
③3．xx·南通调研设函数fx为偶函数，当x∈0，＋∞时，fx＝log2x，则f－＝________.解析因为函数fx是偶函数，所以f－＝f＝log2＝.答案4．设奇函数fx的定义域为[－66]．若当x∈
[06]时，fx的图象如图所示，则不等式fx0的解集是________．解析奇函数的图象关于原点对称，作出函数fx在[－60]上的图象图略，由图象，可知不等式fx0的解集是[－6，－2∪02．答案[－6，－2∪025．函数fx在R上为奇函数，且x0时，fx＝＋1，则当x0时，fx＝________________.解析∵fx为奇函数，x0时，fx＝＋1，∴当x0时，－x0，fx＝－f－x＝－＋1，即x0时，fx＝－＋1＝－－
1.答案－－1二保高考，全练题型做到高考达标1．已知奇函数fx的定义域为－50∪05，当0x5时，函数fx是减函数，且f2＝0，则不等式fx0的解集是________________．解析由题意，可作出函数fx的大致图象，如图所示，由图象可得不等式fx0的解集是－5，－2∪02．答案－5，－2∪022．已知fx，gx是定义在R上的函数，hx＝fx·gx，则“fx，gx均为偶函数”是“hx为偶函数”的________条件填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”．解析一方面，若fx，gx均为偶函数，则f－x＝fx，g－x＝gx，因此，h－x＝f－xg－x＝fxgx＝hx，∴hx是偶函数；另一方面，若hx是偶函数，但fx，gx不一定均为偶函数，事实上，若fx，gx均为奇函数，hx也是偶函数，因此，“fx，gx均为偶函数”是“hx为偶函数”的充分不必要条件．答案充分不必要3．已知函数fx是定义在－∞，＋∞上的奇函数，若对于任意的实数x≥0，都有fx＋2＝fx，且当x∈[02时fx＝log2x＋1，则f－2015＋f2016的值为________________．解析因为fx是奇函数，且周期为2，所以f－2015＋f2016＝－f2015＋f2016＝－f1＋f0．又当x∈[02时，fx＝log2x＋1，所以f－2015＋f2016＝－1＋0＝－
1.答案－14．已知函数y＝fx是定义在R上的奇函数，当x0时，fx＝x＋2，那么不等式2fx－10的解集是________．解析由题意知，函数y＝fx的定义域是R，当x0时，fx＝x＋2，则当x0时，－x0，所以f－x＝－x＋2，又函数y＝fx为定义在R上的奇函数，所以fx＝－f－x＝x－2，即fx＝因此不等式2fx－10等价于或或解得x－或x＝0或0x，故不等式2fx－10的解集为xx－或0≤x.答案xx－或0≤x5．已知fx是定义在R上的奇函数，当x≥0时，fx＝x2＋2x，若f2－a2＞fa，则实数a的取值范围是________．解析∵fx是奇函数，∴当x＜0时，fx＝－x2＋2x.作出函数fx的大致图象如图中实线所示，结合图象可知fx是R上的增函数，由f2－a2＞fa，得2－a2＞a，解得－2＜a＜
1.答案－216．定义在R上的奇函数y＝fx在0，＋∞上递增，且f＝0，则满足fx0的x的集合为________________________________________________________________________．解析由奇函数y＝fx在0，＋∞上递增，且f＝0，得函数y＝fx在－∞，0上递增，且f＝0，∴fx0时，x或－x
0.即满足fx0的x的集合为.答案7．已知fx，gx分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且fx－gx＝x，则f1，g0，g－1之间的大小关系是______________．解析在fx－gx＝x中，用－x替换x，得f－x－g－x＝2x，由于fx，gx分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以f－x＝－fx，g－x＝gx，因此得－fx－gx＝2x.联立方程组解得fx＝，gx＝－，于是f1＝－，g0＝－1，g－1＝－，故f1g0g－1．答案f1g0g－18．xx·启东中学检测设定义在R上的函数fx同时满足以下条件
①fx＋f－x＝0；
②fx＝fx＋2；
③当0≤x≤1时，fx＝2x－1，则f＋f1＋f＋f2＋f＝________.解析依题意知函数fx为奇函数且周期为2，∴f＋f1＋f＋f2＋f＝f＋f1＋f＋f0＋f＝f＋f1－f＋f0＋f＝f＋f1＋f0＝2－1＋21－1＋20－1＝.答案9．已知函数fx是－∞，＋∞上的奇函数，且fx的图象关于x＝1对称，当x∈
[01]时，fx＝2x－
1.1求证fx是周期函数；2当x∈
[12]时，求fx的解析式；3计算f0＋f1＋f2＋…＋f2016的值．解1证明函数fx为奇函数，则f－x＝－fx，函数fx的图象关于x＝1对称，则f2＋x＝f－x＝－fx，所以f4＋x＝f[2＋x＋2]＝－f2＋x＝fx，所以fx是以4为周期的周期函数．2当x∈
[12]时，2－x∈
[01]，又fx的图象关于x＝1对称，则fx＝f2－x＝22－x－1，x∈
[12]．3因为f0＝0，f1＝1，f2＝0，f3＝f－1＝－f1＝－
1.又fx是以4为周期的周期函数．所以f0＋f1＋f2＋…＋f2016＝f0＝
0.10．xx·南京一中检测已知fx是偶函数，定义x≥0时，fx＝1求f－2；2当x－3时，求fx的解析式；3设函数fx在区间[－55]上的最大值为ga，试求ga的表达式．解1由题意，得f－2＝f2＝2×3－2＝
2.2当x－3时，－x3，所以fx＝f－x＝－x－3a＋x＝－x＋3a＋x，所以当x－3时，fx的解析式为fx＝－x＋3a＋x．3因为fx是偶函数，所以它在区间[－55]上的最大值即为它在区间
[05]上的最大值．当x≥0时，fx＝
①当a≤3时，fx在上单调递增，在上单调递减，所以ga＝f＝.
②当3a7时，fx在，上单调递增，在，上单调递减，所以此时只需比较f＝与f＝的大小．ⅰ当3a≤6时，≥，所以ga＝f＝；ⅱ当6a7时，，所以ga＝f＝.
③当a≥7时，fx在，
[35]上单调递增，在上单调递减，且f＝f5＝2a－5，所以ga＝f5＝2a－5．综上所述，ga＝三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知函数gx是R上的奇函数，且当x0时，gx＝－ln1－x，函数fx＝若f2－x2fx，则实数x的取值范围是________．解析设x0，则－x
0.∵x0时，gx＝－ln1－x，∴g－x＝－ln1＋x．又∵gx是奇函数，∴gx＝ln1＋xx0，∴fx＝其图象如图所示．由图象知，函数fx在R上是增函数．∵f2－x2fx，∴2－x2x，即－2x
1.所以实数x的取值范围是－21．答案－212．xx·海安中学月考已知函数fx是定义在R上的不恒为0的函数，且对于任意的a，b∈R都满足fab＝afb＋bfa，则fx是________填“奇”或“偶”函数．解析由题意，得f－x＝f[－1·x]＝－fx＋xf－1．令a＝b＝1，得f1＝f1＋f1，所以f1＝
0.令a＝b＝－1，得f[－1×－1]＝－f－1－f－1，所以f1＝－2f－1，所以f－1＝
0.所以f－x＝－fx＋0＝－fx，即fx为奇函数．答案奇3．函数fx的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对任意x1，x2∈D，有fx1·x2＝fx1＋fx2．1求f1的值；2判断fx的奇偶性并证明你的结论；3如果f4＝1，fx－12且fx在0，＋∞上是增函数，求x的取值范围．解1∵对于任意x1，x2∈D，有fx1·x2＝fx1＋fx2，∴令x1＝x2＝1，得f1＝2f1，∴f1＝
0.2fx为偶函数．证明令x1＝x2＝－1，有f1＝f－1＋f－1，∴f－1＝f1＝
0.令x1＝－1，x2＝x，有f－x＝f－1＋fx，∴f－x＝fx，∴fx为偶函数．3依题设有f4×4＝f4＋f4＝2，由2知，fx是偶函数，∴fx－12⇔f|x－1|f16．又fx在0，＋∞上是增函数．∴0|x－1|16，解之得－15x17且x≠
1.∴x的取值范围是－151∪117．第四节函数的图象1．描点法作图其基本步骤是列表、描点、连线，具体为1
①确定函数的定义域；
②化简函数的解析式；
③讨论函数的性质奇偶性、单调性、周期性．2列表注意特殊点、零点、最大值点、最小值点以及坐标轴的交点．3描点，连线．2．图象变换1平移变换
①y＝fx的图象y＝fx－a的图象；
②y＝fx的图象y＝fx＋b的图象．2对称变换
①y＝fx的图象y＝－fx的图象；
②y＝fx的图象y＝f－x的图象；
③y＝fx的图象y＝－f－x的图象；
④y＝axa0且a≠1的图象y＝logaxa0且a≠1的图象．3伸缩变换
①y＝fx的图象y＝fax的图象；
②y＝fx的图象y＝afx的图象．4翻转变换
①y＝fx的图象―→y＝|fx|的图象；
②y＝fx的图象y＝f|x|的图象．[小题体验]1．教材习题改编函数y＝－fx与y＝f－x的图象关于________对称．答案原点2．教材习题改编函数y＝fx的图象如图所示，则1f0＝________，f－1＝________，f4＝________.2若－1x1≤x22，则fx1与fx2的大小关系是________．答案14 5 6 2fx1≥fx23．直线x＝a与函数y＝fx的图象的公共点的可能个数有________．解析记函数y＝fx的定义域为D，若x∈D，则有1个公共点；若x∉D，则有0个公共点．答案0或14．xx·全国卷Ⅱ已知函数fx＝ax3－2x的图象过点－14，则a＝________.解析∵fx＝ax3－2x的图象过点－14，∴4＝a×－13－2×－1，解得a＝－
2.答案－21．函数图象的每次变换都针对自变量“x”而言，如从f－2x的图象到f－2x＋1的图象是向右平移个单位，其中是把x变成x－.2．明确一个函数的图象关于y轴对称与两个函数的图象关于y轴对称的不同，前者是自身对称，且为偶函数，后者是两个不同函数的对称关系．[小题纠偏]1．将函数y＝f－x的图象向右平移1个单位得到函数________的图象．答案y＝f－x＋12．把函数y＝f2x的图象向右平移________个单位得到函数y＝f2x－3的图象．答案
3.已知二次函数y＝fx的图象如图所示，则函数y＝fx＋1的解析式为________．解析由函数图象的平移规律，可得函数y＝fx＋1的解析式为y＝－x2＋
4.答案y＝－x2＋4[题组练透] 分别画出下列函数的图象1y＝|lgx|；2y＝2x＋2；3y＝x2－2|x|－
1.解1y＝图象如图
1.2将y＝2x的图象向左平移2个单位．图象如图
2.3y＝图象如图
3.[谨记通法]画函数图象的2种常用方法1直接法当函数表达式或变形后的表达式是熟悉的基本初等函数时，就可根据这些函数的特征直接作出．2图象变换法若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序．[典例引领]1．函数y＝1－的图象是________．（填序号）解析先将y＝－的图象向右平移1个单位长度得到函数y＝－的图象，再将函数y＝－的图象向上平移1个单位长度就可得到函数y＝1－的图象，所以
②正确．答案
②
2.已知函数fx的图象如图所示，则函数fx的解析式为________．解析由题意得fx＝所以函数fx的解析式为fx＝－x2＋2|x|＋
3.答案fx＝－x2＋2|x|＋3[由题悟法]识图3种常用的方法[即时应用]
1.如图，函数fx的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为00，12，31，则f的值等于________．解析∵由图象知f3＝1，∴＝
1.∴f＝f1＝
2.答案22．已知函数fx＝|2x－3|，若02ab＋1，且f2a＝fb＋3，则T＝3a2＋b的取值范围为________．解析画出函数fx＝|2x－3|的图象，如图所示．由条件得化简得所以T＝3a2＋b＝3a2－2a＝32－，在上是减函数．所以T＝3a2＋b的取值范围是.答案[命题分析]函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．常见的命题角度有1研究函数的性质；2确定方程根的个数；3求参数的值或取值范围；4求不等式的解集．[题点全练]角度一研究函数的性质1．已知函数fx＝|x2－4x＋3|.1求函数fx的单调区间，并指出其增减性；2求集合M＝{m|使方程fx＝m有四个不相等的实根}．解fx＝作出图象如图所示．1函数fx的递增区间为
[12]和[3，＋∞，递减区间为－∞，1]和
[23]．2由图象可知，y＝fx与y＝m图象有四个不同的交点，则0m1，∴集合M＝{m|0m1}．角度二确定方程根的个数2．已知fx＝则函数y＝2f2x－3fx＋1的零点个数是________．解析方程2f2x－3fx＋1＝0的解为fx＝或
1.作出y＝fx的图象，由图象知零点的个数为
5.答案5角度三求参数的值或取值范围3．xx·安徽高考在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，则a的值为________．解析函数y＝|x－a|－1的图象如图所示，因为直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，故2a＝－1，解得a＝－.答案－角度四求不等式的解集
4.如图，函数fx的图象为折线ACB，则不等式fx≥log2x＋1的解集是________．解析令gx＝y＝log2x＋1，作出函数gx图象如图．由得∴结合图象知不等式fx≥log2x＋1的解集为{x|－1x≤1}．答案{x|－1x≤1}[方法归纳]函数图象应用的常见题型与求解策略1研究函数性质
①根据已知或作出的函数图象，从最高点、最低点，分析函数的最值、极值．
②从图象的对称性，分析函数的奇偶性．
③从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．
④从图象与x轴的交点情况，分析函数的零点等．2研究方程根的个数或由方程根的个数确定参数的值范围构造函数，转化为两函数图象的交点个数问题，在同一坐标系中分别作出两函数的图象，数形结合求解．3研究不等式的解当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．xx·阜宁中学月考若函数y＝fx的图象经过点13，则函数y＝f－x＋1的图象必经过的点的坐标是________．解析因为y＝fx的图象经过点13，所以函数y＝f－x＋1的图象必经过点－14．答案－
142.xx·苏州中学月考如图，函数fx的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为00，12，31，那么ff3的值等于________．解析由题意，得f3＝1，f1＝2，所以ff3＝f1＝
2.答案23．函数fx＝x＋1与gx＝的图象________填“相同”或“不相同”．解析因为函数fx＝x＋1与gx＝的定义域不同，所以它们不是相同函数，图象不相同．答案不相同
4.已知函数fx的图象如图所示，则函数gx＝logfx的定义域是________．解析当fx0时，函数gx＝logfx有意义，由函数fx的图象知满足fx0时，x∈28]．答案28]5．若关于x的方程|x|＝a－x只有一个解，则实数a的取值范围是________．解析由题意a＝|x|＋x令y＝|x|＋x＝图象如图所示，故要使a＝|x|＋x只有一解，则a
0.答案0，＋∞二保高考，全练题型做到高考达标1．函数y＝的图象过点Pp4，则实数p＝________.解析由题意，得＝4，解得p＝.答案2．已知二次函数fx＝ax2＋bx＋ca0满足f－1＝f3，则f－2，f－1，f2的大小关系是________用“”连结．解析由f－1＝f3，得二次函数fx的图象的对称轴是直线x＝1，且开口向下．结合二次函数fx的图象，知f－2f－1f2．答案f－2f－1f23．xx·南京调研若函数y＝f2x＋1是偶函数，则函数y＝f2x的图象的对称轴方程是________．解析∵f2x＋1是偶函数，其图象关于y轴，即关于x＝0对称，而f2x＋1＝f，∴f2x的图象可由f2x＋1的图象向右平移个单位得到，即f2x的图象的对称轴方程是x＝.答案x＝4．若函数y＝fx＋3的图象经过点P14，则函数y＝fx的图象必经过点________．解析函数y＝fx的图象是由y＝fx＋3的图象向右平移3个单位长度而得到的．故y＝fx的图象经过点44．答案445．函数fx＝的图象的对称中心为________．解析因为fx＝＝1＋，故fx的对称中心为01．答案016．已知函数fx的定义域为R，且fx＝若方程fx＝x＋a有两个不同实根，则a的取值范围为________．解析x≤0时，fx＝2－x－1，0x≤1时，－1x－1≤0，fx＝fx－1＝2－x－1－
1.故x0时，fx是周期函数，如图所示．若方程fx＝x＋a有两个不同的实数根，则函数fx的图象与直线y＝x＋a有两个不同交点，故a1，即a的取值范围是－∞，1．答案－∞，17．设奇函数fx在0，＋∞上为增函数，且f1＝0，则不等式0的解集为________．解析因为fx为奇函数，所以不等式0可化为0，即xfx0，fx的大致图象如图所示．所以xfx0的解集为－10∪01．答案－10∪018．设函数fx＝|x＋a|，gx＝x－1，对于任意的x∈R，不等式fx≥gx恒成立，则实数a的取值范围是________．解析如图作出函数fx＝|x＋a|与gx＝x－1的图象，观察图象可知当且仅当－a≤1，即a≥－1时，不等式fx≥gx恒成立，因此a的取值范围是[－1，＋∞．答案[－1，＋∞
9.已知函数fx＝1在如图所示给定的直角坐标系内画出fx的图象；2写出fx的单调递增区间；3由图象指出当x取什么值时fx有最值．解1函数fx的图象如图所示．2由图象可知，函数fx的单调递增区间为[－10]，
[25]．3由图象知当x＝2时，fxmin＝f2＝－1，当x＝0时，fxmax＝f0＝
3.
10.xx·盐城调研已知函数y＝fx的图象如图所示．1求函数y＝fx的定义域；2求函数y＝fx的值域；3若函数y＝a的图象与函数y＝fx的图象有三个交点，求实数a的取值范围．解1由图可知函数y＝fx的定义域为[－30]∪14]．2由图可知函数y＝fx的值域为[－22]．3因为函数y＝a的图象与函数y＝fx的图象有三个交点，所以实数a的取值范围为－20．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．一水池有两个进水口，一个出水口，进、出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．给出以下三个论断
①0点到3点只进水不出水；
②3点到4点不进水只出水；
③4点到6点不进水不出水．则一定正确的论断序号是________．解析设进水量为y1，出水量为y2，时间为t，由图象知y1＝t，y2＝2t.由图丙知，0点到3点蓄水量由0变为6，说明0点到3点两个进水口均打开进水但不出水，故
①正确；3点到4点蓄水量随时间的增加而减少，且每小时减少一个单位，若3点到4点不进水只出水，应每小时减少两个单位，故
②不正确；4点到6点蓄水量不发生变化，可能是所有水口都打开，进出均衡，也可能不进水也不出水，故
③不正确．答案
①2．xx·苏州中学月考反比例函数fx的图象过点－12，若x1x20，则fx1与fx2的大小关系是________．解析设反比例函数fx＝k≠0，点－12在fx的图象上，所以2＝，解得k＝－2，作出函数fx＝－在0，＋∞上的图象图略，由图象可得fx1fx2．答案fx1fx23．已知函数fx的图象与函数hx＝x＋＋2的图象关于点A01对称．1求fx的解析式；2若gx＝fx＋，且gx在区间02]上为减函数，求实数a的取值范围．解1设fx图象上任一点Px，y，则点P关于01点的对称点P′－x2－y在hx的图象上，即2－y＝－x－＋2，∴y＝fx＝x＋x≠0．2gx＝fx＋＝x＋，g′x＝1－.∵gx在02]上为减函数，∴1－≤0在02]上恒成立，即a＋1≥x2在02]上恒成立，∴a＋1≥4，即a≥3，故实数a的取值范围是[3，＋∞．1．xx·陕西高考改编设fx＝则ff－2＝________.解析因为－2＜0，所以f－2＝2－2＝＞0，所以f＝1－＝1－＝.答案2．xx·浙江高考已知函数fx＝则ff－3＝________，fx的最小值是________．解析∵f－3＝lg[－32＋1]＝lg10＝1，∴ff－3＝f1＝1＋2－3＝
0.当x≥1时，x＋－3≥2－3＝2－3，当且仅当x＝，即x＝时等号成立，此时fxmin＝2－3＜0；当x＜1时，lgx2＋1≥lg02＋1＝0，此时fxmin＝
0.所以fx的最小值为2－
3.答案0 2－33．xx·山东高考改编函数fx＝的定义域为________．解析log2x2－10，即log2x1或log2x－1，解得x2或0x，故所求的定义域是∪2，＋∞．答案∪2，＋∞4．xx·浙江高考设函数fx＝若ffa≤2，则实数a的取值范围是________．解析fx的图象如图，由图象知．满足ffa≤2时，得fa≥－2，而满足fa≥－2时，a≤.答案－∞，]1．xx·天津高考改编已知定义在R上的函数fx＝2|x－m|－1m为实数为偶函数，记a＝flog
0.53，b＝flog25，c＝f2m，则a，b，c的大小关系为________．解析由fx＝2|x－m|－1是偶函数可知m＝0，所以fx＝2|x|－
1.所以a＝flog
0.53＝2|log
0.53|－1＝2log23－1＝2，b＝flog25＝2|log25|－1＝2log25－1＝4，c＝f0＝2|0|－1＝0，所以cab.答案cab2．xx·湖南高考改编已知fx，gx分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且fx－gx＝x3＋x2＋1，则f1＋g1＝________.解析用“－x”代替“x”，得f－x－g－x＝－x3＋－x2＋1，化简得fx＋gx＝－x3＋x2＋1，令x＝1，得f1＋g1＝
1.答案13．xx·全国卷Ⅱ改编设函数fx＝ln1＋|x|－，则使得fxf2x－1成立的x的取值范围是________．解析∵f－x＝ln1＋|－x|－＝fx，∴函数fx为偶函数．∵当x≥0时，fx＝ln1＋x－，在0，＋∞上y＝ln1＋x递增，y＝－也递增，根据单调性的性质知，fx在0，＋∞上单调递增．综上可知fxf2x－1⇔f|x|f|2x－1|⇔|x||2x－1|⇔x22x－12⇔3x2－4x＋10⇔x
1.答案4．xx·全国卷Ⅰ若函数fx＝xlnx＋为偶函数，则a＝________.解析∵fx为偶函数，∴f－x－fx＝0恒成立，∴－xln－x＋－xlnx＋＝0恒成立，∴xlna＝0恒成立，∴lna＝0，即a＝
1.答案15．xx·四川高考设fx是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－11时，fx＝则f＝________.解析f＝f＝f＝－4×2＋2＝
1.答案
11.xx·江苏高考已知函数fx＝|lnx|，gx＝则方程|fx＋gx|＝1实根的个数为________．解析
①当0x≤1时，由|fx＋gx|＝1，得|lnx|＝1，解得x＝或e舍去；
②当x1时，由|fx＋gx|＝1，得|lnx|＝3－|x2－4|或|lnx|＝1－|x2－4|，分别在同一个坐标系中作出函数y＝|lnx|与y＝3－|x2－4|如图1或y＝|lnx|与y＝1－|x2－4|的图象如图2．当x1时，它们分别有1个、2个交点，故x1时，方程有3个实根．综上，方程|fx＋gx|＝1共有4个不同的实根．答案42．xx·湖南高考改编函数fx＝2lnx的图象与函数gx＝x2－4x＋5的图象的交点个数为________．解析由已知gx＝x－22＋1，所以其顶点为21，又f2＝2ln2∈12，可知点21位于函数fx＝2lnx图象的下方，故函数fx＝2lnx的图象与函数gx＝x2－4x＋5的图象有2个交点．答案23．xx·天津高考已知函数y＝的图象与函数y＝kx－2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是________________．解析因为函数y＝＝又函数y＝kx－2的图象恒过点0，－2，根据图象易知，两个函数图象有两个交点时，0k1或1k
4.答案01∪14第五节二次函数与幂函数1．五种常见幂函数的图象与性质函数特征性质y＝xy＝x2y＝x3y＝xy＝x－1图象定义域RRR{x|x≥0}{x|x≠0}值域R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增－∞，0减，0，＋∞增增增－∞，0和0，＋∞减公共点112．二次函数解析式的三种形式1一般式fx＝ax2＋bx＋ca≠0；2顶点式fx＝ax－m2＋na≠0；3零点式fx＝ax－x1x－x2a≠0．3．二次函数的图象和性质fx＝ax2＋bx＋ca0a0图象定义域x∈R值域单调性在上递减，在上递增在上递增，在上递减奇偶性b＝0时为偶函数，b≠0时既不是奇函数也不是偶函数图象特点
①对称轴x＝－；
②顶点[小题体验]1．已知幂函数y＝fx的图象过点2，，则函数的解析式为________________．答案fx＝xx≥02．函数y＝2x2－6x＋3，x∈[－11]，则y的最小值是________．解析函数y＝2x2－6x＋3的图象的对称轴为x＝1，∴函数y＝2x2－6x＋3在x∈[－11]上为单调递减函数，∴ymin＝2－6＋3＝－
1.答案－13．教材习题改编函数fx＝x2＋2x－3，x∈
[02]的值域为________．解析由fx＝x＋12－4，知fx在
[02]上单调递增，所以fx的值域是[－35]．答案[－35]4．教材习题改编函数fx＝的单调增区间是________．答案R1．对于函数y＝ax2＋bx＋c，要认为它是二次函数，就必须满足a≠0，当题目条件中未说明a≠0时，就要讨论a＝0和a≠0两种情况．2．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第
二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．[小题纠偏]1．若m＋13－2m，则实数m的取值范围为________．解析∵y＝x在定义域[0，＋∞上是单调增函数，∴解得－1≤m，即m的取值范围是.答案2．若y＝fx是幂函数，且满足＝，则f3＝________.解析由已知设fx＝xα，则＝可化为＝，所以α＝－，∴f3＝.答案3．已知函数fx＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是________．解析由题意知即解得a.答案4．给出下列命题
①函数y＝2x是幂函数；
②如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点；
③当n0时，幂函数y＝xn是定义域上的减函数；
④二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[m，n]的最值一定是.其中正确的是________．答案
②[题组练透]1．已知幂函数fx＝n2＋2n－2xn∈Z的图象关于y轴对称，且在0，＋∞上是减函数，则n的值为________．解析由于fx为幂函数，所以n2＋2n－2＝1，解得n＝1或n＝－3，经检验只有n＝1适合题意．答案12．设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是________．解析∵y＝xx0为增函数，∴ac.∵y＝x∈R为减函数，∴cb.∴acb.答案acb3．易错题若a＋13－2a，则实数a的取值范围是________________．解析不等式a＋13－2a等价于a＋13－2a0或3－2aa＋10或a＋103－2a.解得a－1或a.答案－∞，－1∪[谨记通法]幂函数的指数与图象特征的关系1幂函数的形式是y＝xαα∈R，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．2若幂函数y＝xαα∈R是偶函数，则α必为偶数．当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断．3若幂函数y＝xα在0，＋∞上单调递增，则α0，若在0，＋∞上单调递减，则α
0.如“题组练透”第3题易错．[典例引领]已知二次函数fx满足f2＝－1，f－1＝－1，且fx的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．解法一利用一般式设fx＝ax2＋bx＋ca≠0．由题意得解得∴所求二次函数的解析式为fx＝－4x2＋4x＋
7.法二利用顶点式设fx＝ax－m2＋n.∵f2＝f－1，∴抛物线的对称轴为x＝＝.∴m＝.又根据题意函数有最大值8，∴n＝
8.∴y＝fx＝a2＋
8.∵f2＝－1，∴a2＋8＝－1，解得a＝－4，∴fx＝－42＋8＝－4x2＋4x＋
7.法三利用零点式由已知fx＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设fx＋1＝ax－2x＋1，即fx＝ax2－ax－2a－
1.又函数有最大值ymax＝8，即＝
8.解得a＝－4或a＝0舍．∴所求函数的解析式为fx＝－4x2＋4x＋
7.[由题悟法]求二次函数解析式的方法[即时应用]已知二次函数fx的图象经过点43，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f2－x＝f2＋x，求fx的解析式．解∵f2－x＝f2＋x对x∈R恒成立，∴fx的对称轴为x＝
2.又∵fx的图象被x轴截得的线段长为2，∴fx＝0的两根为1和
3.设fx的解析式为fx＝ax－1x－3a≠0．又∵fx的图象过点43，∴3a＝3，a＝
1.∴所求fx的解析式为fx＝x－1x－3，即fx＝x2－4x＋
3.[命题分析]高考对二次函数图象与性质的考查．常与一元二次方程、一元二次不等式等知识交汇命题是高考的热点，考查二次函数的图象与性质的应用．常见的命题角度有1二次函数的单调性问题；2二次函数的最值问题；3二次函数中恒成立问题．[题点全练]角度一二次函数的单调性问题1．已知函数fx＝x2＋2ax＋3，x∈[－46]．1求实数a的取值范围，使y＝fx在区间[－46]上是单调函数；2当a＝1时，求f|x|的单调区间．解1由于函数fx的图象开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使fx在[－46]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥
4.所以实数a的取值范围是－∞，－6]∪[4，＋∞．2当a＝1时，fx＝x2＋2x＋3，∴f|x|＝x2＋2|x|＋3，此时定义域为x∈[－66]，且fx＝∴f|x|的单调递增区间是06]，单调递减区间是[－60]．角度二二次函数的最值问题2．已知函数fx＝－x2＋2ax＋1－a在x∈
[01]时有最大值2，求a的值．解函数fx＝－x2＋2ax＋1－a＝－x－a2＋a2－a＋1，对称轴方程为x＝a.当a0时，fxmax＝f0＝1－a，∴1－a＝2，∴a＝－
1.当0≤a≤1时，fxmax＝fa＝a2－a＋1，∴a2－a＋1＝2，即a2－a－1＝0，∴a＝舍去．当a1时，fxmax＝f1＝a，∴a＝
2.综上可知，a＝－1或a＝
2.3．设函数y＝x2－2x，x∈[－2，a]，若函数的最小值为gx，求gx．解∵函数y＝x2－2x＝x－12－1，∴对称轴为直线x＝1，当－2a≤1时，函数在[－2，a]上单调递减，则当x＝a时，y取得最小值，即ymin＝a2－2a；当a1时，函数在[－21]上单调递减，在[1，a]上单调递增，则当x＝1时，y取得最小值，即ymin＝－
1.综上，gx＝角度三二次函数中恒成立问题4．已知a是实数，函数fx＝2ax2＋2x－3在x∈[－11]上恒小于零，求实数a的取值范围．解由题意知2ax2＋2x－3＜0在[－11]上恒成立．当x＝0时，－30，适合；当x≠0时，a＜2－，因为∈－∞，－1]∪[1，＋∞，当x＝1时，右边取最小值，所以a＜.综上，实数a的取值范围是.[方法归纳]1．二次函数最值问题的3种类型及解题思路1类型
①对称轴、区间都是给定的；
②对称轴动、区间固定；
③对称轴定、区间变动．2思路抓“三点一轴”，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴．2．由不等式恒成立求参数取值范围的2大思路及1个关键12大思路一是分离参数；二是不分离参数．21个关键两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是a≥fx⇔a≥fxmax，a≤fx⇔a≤fxmin.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．二次函数的图象过点01，对称轴为x＝2，最小值为－1，则它的解析式为________________．解析依题意可设fx＝ax－22－1，∵图象过点01，∴4a－1＝1，∴a＝.∴fx＝x－22－
1.答案fx＝x－22－12．已知幂函数fx＝k·xα的图象过点，则k＋α＝________.解析由幂函数的定义知k＝
1.又f＝，所以α＝，解得α＝，从而k＋α＝.答案3．函数fx＝2x2－mx＋3，当x∈[－2，＋∞时，fx是增函数，当x∈－∞，－2]时，fx是减函数，则f1的值为________．解析函数fx＝2x2－mx＋3图象的对称轴为直线x＝，由函数fx的增减区间可知＝－2，∴m＝－8，即fx＝2x2＋8x＋3，∴f1＝2＋8＋3＝
13.答案134．函数fx＝m2－m－1xm是幂函数，且在x∈0，＋∞上为增函数，则实数m的值是________．解析fx＝m2－m－1xm是幂函数⇒m2－m－1＝1⇒m＝－1或m＝
2.又x∈0，＋∞上是增函数，所以m＝
2.答案25．若幂函数y＝fx的图象过点，则y＝fx2－2x的单调减区间为________．解析设fx＝xα，则由2α＝＝2－，得α＝－，所以fx＝x－＝，该函数是定义在0，＋∞上的单调减函数．而u＝x2－2x在－∞，1上为单调减函数，在1，＋∞上为单调增函数，且u＝x2－2x0，得x2或x0，故所求函数y＝fx2－2x的单调减区间为2，＋∞．答案2，＋∞二保高考，全练题型做到高考达标1．若幂函数y＝mxnm，n∈R的图象经过点，则mn＝________.解析根据幂函数的概念得m＝1，且＝8n，即2－2＝23n，所以n＝－，所以mn＝－.答案－2．若函数fx＝1－x2x2＋ax－5的图象关于直线x＝0对称，则fx的最大值是________．解析依题意，函数fx是偶函数，则y＝x2＋ax－5是偶函数，故a＝0，fx＝1－x2x2－5＝－x4＋6x2－5＝－x2－32＋4，当x2＝3时，fx取最大值为
4.答案43．xx·无锡调研若幂函数y＝m2－3m＋3·xm2－m－2的图象不过原点，则m＝________.解析由幂函数性质可知m2－3m＋3＝1，∴m＝2或m＝
1.又幂函数图象不过原点，∴m2－m－2≤0，即－1≤m≤2，∴m＝2或m＝
1.答案2或14．设函数fx＝x2－23x＋60，gx＝fx＋|fx|，则g1＋g2＋…＋g20＝________.解析由二次函数图象的性质得，当3≤x≤20时，fx＋|fx|＝0，∴g1＋g2＋…＋g20＝g1＋g2＝
112.答案1125．xx·南京调研若函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为，则m的取值范围是________．解析二次函数图象的对称轴为x＝，且f＝－，f3＝f0＝－4，由图得m∈.答案6．若函数y＝x2＋a＋2x＋3，x∈[a，b]的图象关于直线x＝1对称，则b＝________.解析由已知得－＝1，解得a＝－
4.又因为＝1，所以b＝2－a＝
6.答案67．设二次函数fx＝ax2＋2ax＋1在[－32]上有最大值4，则实数a的值为________．解析此函数图象的对称轴为直线x＝－
1.当a0时，图象开口向上，所以x＝2时取得最大值，f2＝4a＋4a＋1＝4，解得a＝；当a0时，图象开口向下，所以x＝－1时取得最大值，f－1＝a－2a＋1＝4，解得a＝－
3.答案－3或8．已知幂函数fx＝x－，若fa＋1＜f10－2a，则a的取值范围是________．解析∵fx＝x－＝x＞0，易知x∈0，＋∞时为减函数，又fa＋1＜f10－2a，∴解得∴3＜a＜
5.答案359．xx·金陵中学检测已知函数fx＝x－2m2＋m＋3m∈Z是偶函数，且fx在0，＋∞上单调递增．1求m的值，并确定fx的解析式；2gx＝log2[3－2x－fx]，求gx的定义域和值域．解1因为fx在0，＋∞单调递增，由幂函数的性质得－2m2＋m＋30，解得－1m.因为m∈Z，所以m＝0或m＝
1.当m＝0时，fx＝x3不是偶函数；当m＝1时，fx＝x2是偶函数，所以m＝1，fx＝x
2.2由1知gx＝log2，由－x2－2x＋30，得－3x1，所以gx的定义域为－31．设t＝－x2－2x＋3，x∈－31，则t∈04]，此时gx的值域就是函数y＝log2t，t∈04]的值域．又y＝log2t在区间04]上是增函数，所以y∈－∞，2]，所以函数gx的值域为－∞，2]．10．xx·南师附中月考已知函数fx＝ax2＋bx＋1a，b为实数，a≠0，x∈R．1若函数fx的图象过点－21，且方程fx＝0有且只有一个根，求fx的表达式；2在1的条件下，当x∈[－12]时，gx＝fx－kx是单调函数，求实数k的取值范围．解1因为f－2＝1，即4a－2b＋1＝1，所以b＝2a.因为方程fx＝0有且只有一个根，所以Δ＝b2－4a＝
0.所以4a2－4a＝0，所以a＝1，b＝
2.所以fx＝x＋
12.2gx＝fx－kx＝x2＋2x＋1－kx＝x2－k－2x＋1＝2＋1－.由gx的图象知，要满足题意，则≥2或≤－1，即k≥6或k≤0，∴所求实数k的取值范围为－∞，0]∪[6，＋∞．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．设fx与gx是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y＝fx－gx在x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称fx和gx在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若fx＝x2－3x＋4与gx＝2x＋m在
[03]上是“关联函数”，则m的取值范围为________．解析由题意知，y＝fx－gx＝x2－5x＋4－m在
[03]上有两个不同的零点．在同一直角坐标系下作出函数y＝m与y＝x2－5x＋4x∈
[03]的图象如图所示，结合图象可知，当x∈
[23]时，y＝x2－5x＋4∈，故当m∈时，函数y＝m与y＝x2－5x＋4x∈
[03]的图象有两个交点．答案2．已知二次函数fx＝x2－x＋k，k∈Z，若函数gx＝fx－2在上有两个不同的零点，则的最小值为________．解析若函数gx＝x2－x＋k－2在上有两个不同的零点，k∈Z，则解得k＝
2.所以二次函数fx＝x2－x＋2，其值域为，＝fx＋，其中fx≥，此时fx＋单调递增，所以当fx＝时，取得最小值.答案3．xx·镇江四校联考已知函数fx＝x2－1，gx＝a|x－1|.1若当x∈R时，不等式fx≥gx恒成立，求实数a的取值范围；2求函数hx＝|fx|＋gx在区间
[02]上的最大值．解1不等式fx≥gx对x∈R恒成立，即x2－1≥a|x－1|*对x∈R恒成立．
①当x＝1时，*显然成立，此时a∈R；
②当x≠1时，*可变形为a≤，令φx＝＝因为当x1时，φx2，当x1时，φx－2，所以φx－2，故此时a≤－
2.综合
①②，得所求实数a的取值范围是－∞，－2]．2hx＝
①当－≤0时，即a≥0，－x2－ax＋a＋1max＝h0＝a＋1，x2＋ax－a－1max＝h2＝a＋
3.此时，hxmax＝a＋
3.
②当0－≤1时，即－2≤a0，－x2－ax＋a＋1max＝h＝＋a＋1，x2＋ax－a－1max＝h2＝a＋
3.此时hxmax＝a＋
3.
③当1－≤2时，即－4≤a－2，－x2－ax＋a＋1max＝h1＝0，x2＋ax－a－1max＝max{h1，h2}＝max{03＋a}＝此时hxmax＝
④当－2时，即a－4，－x2－ax＋a＋1max＝h1＝0，x2＋ax－a－1max＝h1＝
0.此时hxmax＝
0.综上hxmax＝第六节指数与指数函数1．有理数指数幂1幂的有关概念
①正分数指数幂a＝a0，m，n∈N*，且n1．
②负分数指数幂a＝＝a0，m，n∈N*，且n1．
③0的正分数指数幂等于00的负分数指数幂没有意义．2有理数指数幂的性质
①aras＝ar＋sa0，r，s∈Q；
②ars＝arsa0，r，s∈Q；
③abr＝arbra0，b0，r∈Q．2．指数函数的图象与性质y＝axa10a1图象定义域R值域0，＋∞性质过定点01当x0时，y1；x0时，0y1当x0时，0y1；x0时，y1在区间－∞，＋∞上是增函数在区间－∞，＋∞上是减函数 [小题体验]1．教材习题改编函数fx＝ax－3＋3恒过定点________．解析当x＝3时，f3＝a3－3＋3＝4，所以fx恒过定点34．答案342．教材习题改编函数fx＝a2－1x是R上的减函数，则实数a的取值范围是________．解析由0a2－11，得1a22，所以1|a|，即－a－1或1a.答案－，－1∪1，3．已知
0.2m
0.2n，则m______n填“”或“”．答案4．12××＝________.2÷＝________.答案16 24a1．在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示，并且结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数．2．指数函数y＝axa0，a≠1的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意区分a1或0a
1.[小题纠偏]1．指数函数y＝2－ax在定义域内是减函数，则a的取值范围是__________．答案122．化简＋ab0，n1，n∈N＝______________.解析当n为奇数时，原式＝a－b＋a＋b＝2a.当n为偶数时，∵ab0，∴a－b0，a＋b0，∴原式＝－a－b－a＋b＝－2a.∴＋＝答案3．有下列命题
①当a0时，a2＝a3；
②若a∈R，则a2－a＋10＝1；
③＝x＋y；
④若2x＝163y＝，则x＋y＝
7.其中正确命题的序号是________．解析
①∵a0时，a20，a30，故
①是错误的；
②∵a2－a＋10恒成立，∴a2－a＋10＝1，故
②是正确的；
③＝x4＋y3，故
③是错误的；
④∵2x＝16，∴x＝4，∵3y＝＝3－3，∴y＝－3，∴x＋y＝4＋－3＝1，故
④是错误的．故填
②.答案
②4．如果函数fx＝a2x＋2ax－1a0，a≠1在[－11]上的最大值为14，则a＝________.解析令t＝ax，若a1，则t∈；若0a1，则t∈，所以y＝t＋12－2，其关于t的函数图象在[－1，＋∞上单调递增．当a1时，fx在t＝a处取得最大值a2＋2a－1＝14，得a＝
3.当0a1时，fx在t＝处取得最大值2＋－1＝14，得a＝.综上所述，a＝3或.答案3或[题组练透]求值与化简10＋2－2·－
0.
010.5；2易错题a·b－2·÷；
3.解1原式＝1＋×－＝1＋×－＝1＋－＝.2原式＝－ab－3÷4a·b－3＝－ab－3÷ab＝－a·b＝－·＝－.3原式＝＝a·b＝.[谨记通法]指数幂运算的一般原则1有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算．2先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．3底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数．4若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．[提醒] 运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．如“题组练透”第2题易错．[典例引领]1．若函数y＝ax＋m－1的图象经过第
一、
三、四象限，则实数a，m的取值范围分别为________．解析当x＝0时，y＝m
0.又y＝ax＋m－1不经过第二象限，所以a
1.答案1，＋∞，－∞，02．若曲线y＝|2x－1|与直线y＝b有两个公共点，求b的取值范围．解曲线y＝|2x－1|与直线y＝b的图象如图所示，由图象可得，如果曲线y＝|2x－1|与直线y＝b有两个公共点，则b的取值范围是01．[由题悟法]指数函数图象的画法及应用1画指数函数y＝axa0，a≠1的图象，应抓住三个关键点1，a，01，.2与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．3一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解．[即时应用]1．已知a0且a≠1，函数y＝|ax－1|与y＝2a的图象有两个交点，则a的取值范围是________．解析
①当0a1时，y＝|ax－1|的图象如图1所示，由已知得02a1，所以0a.
②当a1时，y＝|ax－1|的图象如图2所示，由已知可得02a1，所以0a，故a∈∅.综上可知，0a.答案2．若函数y＝|3x－1|在－∞，k]上单调递减，求k的取值范围．解函数y＝|3x－1|的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示．由图象知，其在－∞，0]上单调递减，所以k的取值范围是－∞，0]．[命题分析]高考常以填空题的形式考查指数函数的性质及应用，难度偏小，属中低档题．常见的命题角度有1比较指数式的大小；2简单指数不等式的应用；3探究指数型函数的性质．[题点全练]角度一比较指数式的大小1．xx·河南信阳二调已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是________．解析因为－－0，所以0＝1，即ab1，且0＝1，所以c1，综上，cba.答案cba角度二简单指数不等式的应用2．设函数fx＝2|x＋1|－|x－1|，求使fx≥2的x的取值范围．解y＝2x是增函数，fx≥2等价于|x＋1|－|x－1|≥.
①1当x≥1时，|x＋1|－|x－1|＝2，∴
①式恒成立．2当－1x1时，|x＋1|－|x－1|＝2x，
①式化为2x≥，即≤x
1.3当x≤－1时，|x＋1|－|x－1|＝－2，
①式无解．综上，x的取值范围是.角度三探究指数型函数的性质3．已知函数fx＝.1若a＝－1，求fx的单调区间；2若fx有最大值3，求a的值；3若fx的值域是0，＋∞，求a的值．解1当a＝－1时，fx＝，令gx＝－x2－4x＋3，由于gx在－∞，－2上单调递增，在－2，＋∞上单调递减，而y＝t在R上单调递减，所以fx在－∞，－2上单调递减，在－2，＋∞上单调递增，即函数fx的单调增区间是－2，＋∞，单调减区间是－∞，－2．2令gx＝ax2－4x＋3，fx＝gx，由于fx有最大值3，所以gx应有最小值－1，因此必有解得a＝1，即当fx有最大值3时，a的值等于
1.3由指数函数的性质知，要使y＝gx的值域为0，＋∞．应使gx＝ax2－4x＋3的值域为R，因此只能a＝
0.因为若a≠0，则gx为二次函数，其值域不可能为R．故fx的值域为0，＋∞时，a的值为
0.[方法归纳]应用指数函数性质的常见3大题型及求解策略题型求解策略比较幂值的大小1能化成同底数的先化成同底数幂再利用单调性比较大小；2不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小解简单指数不等式先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用单调性转化为一般不等式求解探究指数型函数的性质与研究一般函数的定义域、单调性区间、奇偶性、最值值域等性质的方法一致[提醒] 在研究指数型函数的单调性时，当底数与“1”的大小关系不明确时，要分类讨论．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．设a＝
22.5，b＝
2.50，c＝
2.5，则a，b，c的大小关系是________．解析a1，b＝10c1，所以abc.答案abc2．xx·常州中学模拟已知定义域为R的函数fx＝是奇函数，则a＝________.解析因为f－x＝－fx，所以＝－.整理得a2x＋2－x－2＝2x＋1＋2－x＋1－4＝22x＋2－x－2．所以a＝
2.答案23．已知fx＝3x－b2≤x≤4，b为常数的图象经过点21，则fx的值域为________．解析由fx过定点21可知b＝2，因为fx＝3x－2在
[24]上是增函数，所以fxmin＝f2＝1，fxmax＝f4＝
9.故fx的值域为
[19]．答案
[19]4．xx·苏北四市调研函数fx＝的值域为________．解析由1－ex≥0，ex≤1，故函数fx的定义域为{x|x≤0}．所以0ex≤1，－1≤－ex00≤1－ex1，函数fx的值域为[01．答案[015．若函数fx＝ax－1a0，a≠1的定义域和值域都是
[02]，则实数a＝________.解析当a1时，fx＝ax－1在
[02]上为增函数，则a2－1＝2，∴a＝±.又∵a1，∴a＝.当0a1时，fx＝ax－1在
[02]上为减函数，又∵f0＝0≠2，∴0a1不成立．综上可知，a＝.答案二保高考，全练题型做到高考达标1．函数y＝的定义域是________．解析由8－16x≥0，得24x≤23，即4x≤3，所以定义域是.答案2．已知函数fx＝a＋是奇函数，则常数a＝________.解析由f－x＋fx＝0，得a＋＋a＋＝0，化简得2a＋1＝0，即a＝－.答案－3．已知函数fx＝，若fa＝－，则f－a＝________.解析∵fx＝，fa＝－，∴＝－.∴f－a＝＝－＝－＝.答案4．设函数fx＝若fa＜1，则实数a的取值范围是________．解析当a＜0时，不等式fa＜1可化为a－7＜1，即a＜8，即a＜－3，因为0＜＜1，所以a＞－3，此时－3＜a＜0；当a≥0时，不等式fa＜1可化为＜1，所以0≤a＜
1.故a的取值范围是－31．答案－315．当x∈－∞，－1]时，不等式m2－m·4x－2x＜0恒成立，则实数m的取值范围是________．解析原不等式变形为m2－m＜x，∵函数y＝x在－∞，－1]上是减函数，∴x≥－1＝2，当x∈－∞，－1]时，m2－m＜x恒成立等价于m2－m＜2，解得－1＜m＜
2.答案－126．已知函数fx＝ln的定义域是1，＋∞，则实数a的值为________．解析由题意得，不等式1－0的解集是1，＋∞，由1－0，可得2xa，故xlog2a，由log2a＝1得a＝
2.答案27．已知函数fx＝a|x＋1|a0，a≠1的值域为[1，＋∞，则f－4与f1的大小关系是________．解析∵|x＋1|≥0，函数fx＝a|x＋1|a0，a≠1的值域为[1，＋∞，∴a
1.由于函数fx＝a|x＋1|在－1，＋∞上是增函数，且它的图象关于直线x＝－1对称，则函数在－∞，－1上是减函数，故f1＝f－3，f－4f1．答案f－4f18．xx·福建四地六校联考y＝2·a|x－1|－1a0，a≠1过定点________．解析由题根据指数函数性质令|x－1|＝0，可得x＝1，此时y＝1，所以函数恒过定点11．答案119．化简下列各式
10.5＋
0.1－2＋－3π0＋；2÷.解1原式＝＋＋－3＋＝＋100＋－3＋＝
100.2原式＝÷＝÷＝a÷a－＝a＝a.10．已知函数fx＝a|x＋b|a0，b∈R．1若fx为偶函数，求b的值；2若fx在区间[2，＋∞上是增函数，试求a，b应满足的条件．解1∵fx为偶函数，∴对任意的x∈R，都有f－x＝fx．即a|x＋b|＝a|－x＋b|，|x＋b|＝|－x＋b|，解得b＝
0.2记hx＝|x＋b|＝
①当a1时，fx在区间[2，＋∞上是增函数，即hx在区间[2，＋∞上是增函数，∴－b≤2，b≥－
2.
②当0a1时，fx在区间[2，＋∞上是增函数，即hx在区间[2，＋∞上是减函数，但hx在区间[－b，＋∞上是增函数，故不存在a，b的值，使fx在区间[2，＋∞上是增函数．∴fx在区间[2，＋∞上是增函数时，a，b应满足的条件为a1且b≥－
2.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知fx，gx都是定义在R上的函数，且满足以下条件
①fx＝ax·gxa0且a≠1，
②gx≠
0.若＋＝，则a＝________.解析由fx＝ax·gx得＝ax，因为＋＝，所以a＋a－1＝，解得a＝2或.答案2或2．xx·苏州调研当x∈
[12]时，函数y＝x2与y＝axa0且a≠1的图象有交点，则a的取值范围是________．解析当a1时，如图1所示，使得两个函数图象有交点，需满足·22≥a2，即1a≤； 当0a1时，如图2所示，需满足·12≤a1，即≤a
1.综上可知，a∈∪1，]．答案∪1，]3．已知定义在R上的函数fx＝2x－.1若fx＝，求x的值；2若2tf2t＋mft≥0对于t∈
[12]恒成立，求实数m的取值范围．解1当x＜0时，fx＝0，无解；当x≥0时，fx＝2x－，由2x－＝，得2·22x－3·2x－2＝0，将上式看成关于2x的一元二次方程，解得2x＝2或2x＝－，∵2x＞0，∴x＝
1.2当t∈
[12]时，2t＋m≥0，即m22t－1≥－24t－1，∵22t－1＞0，∴m≥－22t＋1，∵t∈
[12]，∴－22t＋1∈[－17，－5]，故实数m的取值范围是[－5，＋∞．第七节对数与对数函数1．对数概念如果ax＝Na0，且a≠1，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，logaN叫做对数式性质对数式与指数式的互化ax＝N⇔x＝logaNloga1＝0，logaa＝1，alogaN＝N运算法则logaM·N＝logaM＋logaNa0，且a≠1，M0，N0loga＝logaM－logaNlogaMn＝nlogaMn∈R换底公式换底公式logab＝a0，且a≠1，c0，且c≠1，b
02.对数函数的图象与性质y＝logaxa10a1图象性质定义域为0，＋∞值域为R过定点10，即x＝1时，y＝0当x1时，y0；当0x1时，y0当x1时，y0；当0x1时，y0在区间0，＋∞上是增函数在区间0，＋∞上是减函数[小题体验]1．教材习题改编计算lg52＋lg2×lg50＝________.解析原式＝lg52＋lg2×1＋lg5＝lg5lg2＋lg5＋lg2＝lg5＋lg2＝
1.答案12．教材习题改编已知函数fx＝logaxa0，a≠1，若f2f3，则实数a的取值范围是________．解析因为f2f3，所以fx＝logax单调递减，则a∈01．答案013．教材习题改编函数fx＝ln是________填“奇”或“偶”函数．解析因为函数fx的定义域为－11，关于原点对称，且f－x＝ln＝ln－1＝－ln＝－fx，所以fx是奇函数．答案奇1．在运算性质logaMα＝αlogaM中，要特别注意条件，在无M0的条件下应为logaMα＝αloga|M|α∈N*，且α为偶数．2．解决与对数函数有关的问题时需注意两点1务必先研究函数的定义域；2注意对数底数的取值范围．[小题纠偏]1．若lgx－y＋lgx＋2y＝lg2＋lgx＋lgy，则＝________.解析原式可化为lg[x－yx＋2y]＝lg2xy，∴x2＋xy－2y2＝2xy，即x2－xy－2y2＝0xy0，两边同除以y2得2－－2＝0，解得＝2或＝－1舍去．答案22．已知y＝loga2－ax在
[01]上是x的减函数，则a的取值范围是________．解析∵y＝loga2－ax是由y＝logau，u＝2－ax复合而成，又a0，∴u＝2－ax在
[01]上是x的减函数，由复合函数关系知y＝logau应为增函数，∴a
1.又由于x在
[01]上时y＝loga2－ax有意义，u＝2－ax又是减函数，∴x＝1时，u＝2－ax取最小值2－a0即可，∴a
2.综上可知，a的取值范围是12．答案123．若实数a满足loga1，则a的取值范围是________．解析∵logaa＝1，∴logalogaa.当a1时，得a，∴a1；当0a1时，得0a.综上，得a的取值范围是∪1，＋∞．答案∪1，＋∞[题组练透]1．已知lg6＝a，lg12＝b，则用a，b表示lg24＝________.解析lg24＝lg＝2lg12－lg6＝2b－a.答案2b－a2．xx·浙江高考计算log2＝________，2＝________.解析log2＝log2－log22＝－1＝－；2＝2·2＝3×2＝3×2＝
3.答案－ 33．计算÷100＝______.解析原式＝lg2－2－lg52×100＝lg×10＝lg10－2×10＝－2×10＝－
20.答案－204．xx·无锡五校联考lg－lg＋lg＝________.解析lg－lg＋lg＝5lg2－2lg7－··3lg2＋lg5＋2lg7＝lg2＋lg5＝.答案[谨记通法]对数运算的一般思路1将真数化为底数的指数幂的形式进行化简；2将同底对数的和、差、倍合并；3利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．[典型母题] 作函数y＝|log2x－1|的图象．[解] 先作出y＝log2x的图象，再将其图象向右平移1个单位，保留x轴上方的部分，将x轴下方的图象翻折到x轴上方，即得y＝|log2x－1|的图象，如图．[类题通法]应用对数型函数的图象可求解的问题1对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性单调区间、值域最值、零点时，常利用数形结合思想．2一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．[越变越明][变式1] 试写出函数y＝|log2x－1|的减区间________．解析由母题图象知，函数的减区间为12．答案12[变式2] 已知函数fx＝axa0，a≠1是定义在R上的单调减函数，则函数gx＝logax＋1的图象大致是________．解析由函数fx＝axa0，a≠1是定义在R上的单调减函数，得0a1，将y＝logax的图象向左平移1个单位得到gx＝logax＋1的图象．故填
④.答案
④[变式3] 已知函数fx＝若a，b，c互不相等，fa＝fb＝fc，则abc的取值范围是________．解析因为a，b，c互不相等，不妨设abc，作出函数图象如图所示，由fa＝fb，得－lga＝lgb，即ab＝1，所以abc＝c，由图显然10c12，因此填1012．答案1012 [破译玄机]对数与其它函数综合有关的方程根的问题，求解时常数形结合，作出图象可得结论． [命题分析]高考对于对数函数的性质及其应用考查，多以填空题的形式考查，难度低、中、高档都有．常见的命题角度有1求函数的定义域；2比较对数值的大小；3简单对数不等式的解法；4对数函数的综合问题．[题点全练]角度一求函数的定义域1．xx·湖北高考改编函数fx＝＋lg的定义域为________．解析由得故函数定义域为23∪34]．答案23∪34]角度二比较对数值的大小2．已知a＝3，b＝log，c＝log2，则a，b，c大小关系为________．解析∵a＝310b＝log＝log321，c＝log2＝－log230，∴abc.答案abc角度三简单对数不等式的解法3．若fx＝lgx，gx＝f|x|，则glgxg1时，x的取值范围是__________．解析当glgxg1时，f|lgx|f1，由fx为增函数得|lgx|1，从而lgx1或lgx－1，解得0x或x
10.答案∪10，＋∞角度四对数函数的综合问题4．若fx＝lgx2－2ax＋1＋a在区间－∞，1]上递减，则a的取值范围为________．解析令函数gx＝x2－2ax＋1＋a＝x－a2＋1＋a－a2，对称轴为x＝a，要使函数在－∞，1]上递减，则有即解得1≤a2，即a∈[12．答案[125．xx·福建高考若函数fx＝a＞0，且a≠1的值域是[4，＋∞，则实数a的取值范围是________．解析当x≤2时，y＝－x＋6≥
4.∵fx的值域为[4，＋∞，∴当a＞1时，3＋logax＞3＋loga2≥4，∴loga2≥1，∴1＜a≤2；当0＜a＜1时，3＋logax＜3＋loga2，不合题意．故a∈12]．答案12][方法归纳]解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．xx·徐州调研函数y＝的定义域是________．解析由log2x－1≥0⇒02x－1≤1⇒x≤
1.答案2．函数fx＝logx2－4的单调递增区间为________．解析函数y＝fx的定义域为－∞，－2∪2，＋∞，因为函数y＝fx是由y＝logt与t＝gx＝x2－4复合而成，又y＝logt在0，＋∞上单调递减，gx在－∞，－2上单调递减，所以函数y＝fx在－∞，－2上单调递增．答案－∞，－23．xx·南通模拟已知a＝log23＋log2，b＝log29－log2，c＝log32，则a，b，c的大小关系是________．解析因为a＝log23＋log2＝log23＝log231，b＝log29－log2＝log23＝a，c＝log32log33＝
1.答案a＝bc4．xx·安徽高考lg＋2lg2－－1＝________.解析lg＋2lg2－－1＝lg5－lg2＋2lg2－2＝lg5＋lg2－2＝1－2＝－
1.答案－15．函数y＝log2|x＋1|的单调递减区间为______，单调递增区间为______．解析作出函数y＝log2x的图象，将其关于y轴对称得到函数y＝log2|x|的图象，再将图象向左平移1个单位长度就得到函数y＝log2|x＋1|的图象如图所示．由图知，函数y＝log2|x＋1|的单调递减区间为－∞，－1，单调递增区间为－1，＋∞．答案－∞，－1 －1，＋∞二保高考，全练题型做到高考达标1．函数fx＝|x－2|－lnx在定义域内零点的个数为________．解析在同一坐标系中分别作函数y＝|x－2|与y＝lnx的图象如图所示．由图可知y＝|x－2|与y＝lnx有2个交点，所以函数fx零点的个数为
2.答案22．xx·无锡五校联考已知函数fx＝则ff1＋f的值是________．解析由题意可知f1＝log21＝0，ff1＝f0＝30＋1＝2，f＝3＋1＝3＋1＝2＋1＝3，所以ff1＋f＝
5.答案53．设a＝log3，b＝log5，c＝log7，则a，b，c的大小关系为________．解析因为log3＝log32－1，log5＝log52－1，log7＝log72－1，log32log52log72，故abc.答案abc4．计算log
2.
56.25＋lg
0.001＋ln＋2－1＋log23＝______.解析原式＝log
2.
52.52＋lg10－3＋lne＋2log2＝2－3＋＋＝
1.答案15．若函数fx＝logaa0，a≠1在区间内恒有fx0，则fx的单调递增区间为________．解析令M＝x2＋x，当x∈时，M∈1，＋∞，fx0，所以a
1.所以函数y＝logaM为增函数，又M＝2－，因此M的单调递增区间为.又x2＋x0，所以x0或x－.所以函数fx的单调递增区间为0，＋∞．答案0，＋∞6．如图，矩形ABCD的三个顶点A，B，C分别在函数y＝logx，y＝x，y＝x的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴．若点A的纵坐标为2，则点D的坐标为________．解析由条件得，点A在函数y＝logx的图象上，从而由2＝logx，得xA＝.而点B在函数y＝x上，从而2＝x，解得xB＝
4.于是点C的横坐标为
4.又点C在函数y＝x上，从而yC＝，所以点D的坐标为.答案7．已知函数fx＝关于x的方程fx＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是______．解析问题等价于函数y＝fx与y＝－x＋a的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知a
1.答案1，＋∞8．xx·苏州四市调研函数fx＝log2·log2x的最小值为______．解析依题意得fx＝log2x·2＋2log2x＝log2x2＋log2x＝2－≥－，当且仅当log2x＝－，即x＝时等号成立，因此函数fx的最小值为－.答案－9．已知函数fx是定义在R上的偶函数，f0＝0，当x0时，fx＝logx.1求函数fx的解析式；2解不等式fx2－1－
2.解1当x0时，－x0，则f－x＝log－x．因为函数fx是偶函数，所以f－x＝fx．所以函数fx的解析式为fx＝2因为f4＝log4＝－2，fx是偶函数，所以不等式fx2－1－2可化为f|x2－1|f4．又因为函数fx在0，＋∞上是减函数，所以|x2－1|4，解得－x，即不等式的解集为－，．10．已知函数fx＝logax＋1－loga1－x，a0且a≠1．1求fx的定义域；2判断fx的奇偶性并予以证明；3当a1时，求使fx0的x的解集．解1要使函数fx有意义．则解得－1x
1.故所求函数fx的定义域为－11．2证明由1知fx的定义域为－11，且f－x＝loga－x＋1－loga1＋x＝－[logax＋1－loga1－x]＝－fx，故fx为奇函数．3因为当a1时，fx在定义域－11内是增函数，所以fx0⇔1，解得0x
1.所以使fx0的x的解集是
01.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知函数fx＝loga2x－a在区间上恒有fx0，则实数a的取值范围是________．解析当0a1时，函数fx在区间上是减函数，所以loga0，即0－a1，解得a，故a1；当a1时，函数fx在区间上是增函数，所以loga1－a0，即1－a1，解得a0，此时无解．综上所述，实数a的取值范围是.答案2．xx·盐城中学月考已知函数fx＝loga0a1为奇函数，当x∈－1，a]时，函数fx的值域是－∞，1]，则a＋b的值为________．解析由0，解得－bx1b0．又奇函数定义域关于原点对称，故b＝
1.所以fx＝loga0a1．又gx＝＝－1＋在－1，a]上单调递减，0a1，所以fx在－1，a]上单调递增．又因为函数fx的值域是－∞，1]，故fa＝1，此时ga＝a，即＝a，解得a＝－1负根舍去，所以a＋b＝.答案3．已知函数fx＝3－2log2x，gx＝log2x.1当x∈
[14]时，求函数hx＝[fx＋1]·gx的值域；2如果对任意的x∈
[14]，不等式fx2·fk·gx恒成立，求实数k的取值范围．解1hx＝4－2log2x·log2x＝－2log2x－12＋2，因为x∈
[14]，所以log2x∈
[02]，故函数hx的值域为
[02]．2由fx2·fk·gx，得3－4log2x3－log2xk·log2x，令t＝log2x，因为x∈
[14]，所以t＝log2x∈
[02]，所以3－4t3－tk·t对一切t∈
[02]恒成立，
①当t＝0时，k∈R；
②当t∈02]时，k恒成立，即k4t＋－15，因为4t＋≥12，当且仅当4t＝，即t＝时取等号，所以4t＋－15的最小值为－
3.综上，实数k的取值范围为－∞，－3．第八节函数与方程1．函数的零点1函数零点的定义对于函数y＝fx，我们把使fx＝0的实数x叫做函数y＝fx的零点．2几个等价关系方程fx＝0有实数根⇔函数y＝fx的图象与x轴有交点⇔函数y＝fx有零点．3函数零点的判定零点存在性定理如果函数y＝fx在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有fa·fb0，那么，函数y＝fx在区间a，b内有零点，即存在c∈a，b，使得fc＝0，这个c也就是方程fx＝0的根．2．二次函数y＝ax2＋bx＋ca0的图象与零点的关系Δ0Δ＝0Δ0图象与x轴的交点x10，x20x10无交点零点个数210[小题体验]1．教材习题改编函数fx＝lnx＋2x－6的零点个数是________．答案12．教材习题改编若一次函数fx＝ax＋b有一个零点2，那么函数gx＝bx2－ax的零点是________．解析由题意可得，b＝－2a且a≠0，则由gx＝－2ax2－ax＝0，得x＝0或x＝－.答案0，－3．若关于x的方程7x2－m＋13x－m－2＝0的一个根在区间01上，另一个在区间12上，则实数m的取值范围为________．解析设fx＝7x2－m＋13x－m－2，则解得－4m－
2.答案－4，－21．函数fx的零点是一个实数，是方程fx＝0的根，也是函数y＝fx的图象与x轴交点的横坐标．2．函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象．[小题纠偏]1．函数fx＝x2－2x2－3x＋2的零点为______．答案－，，122．若函数fx唯一的零点在区间13或14或15内
①函数fx的零点在12或23内；
②函数fx在35内无零点；
③函数fx在25内有零点；
④函数fx在24内不一定有零点；
⑤函数fx的零点必在15内．以上说法错误的是______填序号．答案
①②③[题组练透]1．方程lgx＝2－x在区间n，n＋1n∈Z有解，则n的值为________．解析令fx＝lgx＋x－2，由f1＝－10，f2＝lg20，知fx＝0的根介于1和2之间，即n＝
1.答案12．已知函数fx＝logax＋x－ba0，且a≠1．当2a3b4时，函数fx的零点x0∈n，n＋1，n∈N*，则n＝________.解析根据f2＝loga2＋2－blogaa＋2－3＝0，f3＝loga3＋3－blogaa＋3－4＝0，而函数fx在0，＋∞上连续且单调递增，故函数fx的零点在区间23内，故n＝
2.答案23．函数fx＝x2－3x－18在区间
[18]上______填“存在”或“不存在”零点．解析法一∵f1＝12－3×1－18＝－200，f8＝82－3×8－18＝220，∴f1·f80，又fx＝x2－3x－18在区间
[18]的图象是连续的，故fx＝x2－3x－18在区间
[18]上存在零点．法二令fx＝0，得x2－3x－18＝0，∴x－6x＋3＝
0.∵x＝6∈
[18]，x＝－3∉
[18]，∴fx＝x2－3x－18在区间
[18]上存在零点．答案存在[谨记通法]确定函数fx的零点所在区间的2种常用方法1定义法使用零点存在性定理，函数y＝fx必须在区间[a，b]上是连续的，当fa·fb0时，函数在区间a，b内至少有一个零点．2图象法若一个函数或方程由两个初等函数的和或差构成，则可考虑用图象法求解，如fx＝gx－hx，作出y＝gx和y＝hx的图象，其交点的横坐标即为函数fx的零点．[典例引领]1．xx·南京学情调研已知函数fx＝若f0＝－2，f－1＝1，则函数gx＝fx＋x的零点个数为______．解析依题意得由此解得b＝－4，c＝－
2.由gx＝0得fx＋x＝0，该方程等价于
①或
②解
①得x＝2，解
②得x＝－1或x＝－
2.因此，函数gx＝fx＋x的零点个数为
3.答案32．xx·天津高考改编已知函数fx＝函数gx＝3－f2－x，则函数y＝fx－gx的零点个数为________．解析由已知条件可得gx＝3－f2－x＝函数y＝fx－gx的零点个数即为函数y＝fx与y＝gx图象的交点个数，在平面直角坐标系内作出函数y＝fx与y＝gx的图象如图所示．由图可知函数y＝fx与y＝gx的图象有2个交点，所以函数y＝fx－gx的零点个数为
2.答案2[由题悟法]判断函数零点个数的3种方法1解方程法若对应方程fx＝0可解时，通过解方程，则有几个解就有几个零点．2零点存在性定理法利用定理不仅要判断函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且fa·fb0，还必须结合函数的图象与性质如单调性、奇偶性、周期性、对称性才能确定函数有多少个零点．3数形结合法转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数．[即时应用]1．方程xlnx＋2＝1有________个不同的实数根．解析由题意知x≠0，原式等价于lnx＋2＝，在同一直角坐标系中画出y＝lnx＋2，y＝x－2且x≠0，如图所示，所以有2个不同的实数根．答案22．函数fx＝ex＋x－2的零点有______个．解析∵f′x＝ex＋0，∴fx在R上单调递增，又f0＝1－20，f1＝e－0，∴函数在区间01上有零点且只有一个．答案1[典例引领]已知函数fx＝若函数gx＝fx－m有3个零点，则实数m的取值范围是______．解析函数gx＝fx－m有3个零点，转化为fx－m＝0的根有3个，进而转化为y＝fx，y＝m的交点有3个．画出函数y＝fx的图象，则直线y＝m与其有3个公共点．又抛物线顶点为－11，由图可知实数m的取值范围是01．答案01[由题悟法]已知函数有零点方程有根求参数取值范围常用的3种方法1直接法直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．2分离参数法先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．3数形结合法先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．[即时应用] 已知函数fx＝则使函数gx＝fx＋x－m有零点的实数m的取值范围是________．解析函数gx＝fx＋x－m的零点就是方程fx＋x＝m的根，作出hx＝的图象，如图所示，观察它与直线y＝m的交点，得知当m≤0或m1时有交点，即函数gx＝fx＋x－m有零点的实数m的取值范围是－∞，0]∪1，＋∞．答案－∞，0]∪1，＋∞一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．若函数fx＝ax＋1在区间－11上存在一个零点，则实数a的取值范围是________．解析由题意知，f－1·f10，即1－a1＋a0，解得a－1或a
1.答案－∞，－1∪1，＋∞2．函数fx＝2alog2x＋a·4x＋3在区间上有零点，则实数a的取值范围是________．解析函数fx在上是单调函数，又f＝30，则根据零点存在性定理，应满足f1＝4a＋30，解得a－.答案3．xx·镇江调研设函数fx＝则方程xfx－1＝0根的个数为________．解析问题转化为求方程fx＝解的个数，作出函数y＝fx与y＝的图象，如图所示．当x7时，由图象可知解的个数为
6.当x≥7时，fx恒成立，即fx＝无解，所以根的个数为
6.答案64．已知函数fx＝＋a的零点为1，则实数a的值为______．解析由已知得f1＝0，即＋a＝0，解得a＝－.答案－5．若fx＝则函数gx＝fx－x的零点为________．解析要求函数gx＝fx－x的零点，即求fx＝x的根，∴或解得x＝1＋或x＝
1.∴gx的零点为1＋，
1.答案1＋，1二保高考，全练题型做到高考达标1．xx·苏州调研已知函数fx＝若函数gx＝fx－2x恰有三个不同的零点，则实数m的取值范围是________．解析问题转化为gx＝0，即方程fx＝2x有三个不同的解，即或解得或或因为方程fx＝2x有三个不同的解，所以解得1m≤
2.答案12]2．函数fx＝的零点个数为________．解析法一由fx＝0得或解得x＝－2或x＝e.因此函数fx共有2个零点．法二函数fx的图象如图所示，由图象知函数fx共有2个零点．答案23．xx·苏锡常镇调研设m∈N，若函数fx＝2x－m－m＋10存在整数零点，则m的取值集合为________．解析令fx＝0，得m＝.因为m∈N，则2x＋10＝0或2x＋100，∈Z且2x＋10能被＋1整除并且商为自然数，所以有如下几种情况当2x＋10＝0，即x＝－5时，m＝0；当x＝1时，m＝3；当x＝9时，m＝14；当x＝10时，m＝
30.综上所述，m的取值集合为{031430}．答案{031430}4．设函数y＝fx满足fx＋2＝fx，且当x∈[－11]时，fx＝|x|，则函数gx＝fx－sinx在区间[－π，π]上的零点个数为________．解析要求函数gx＝fx－sinx的零点，即求方程fx－sinx＝0的根，将其转化为fx＝sinx的根，进一步转化为函数y＝fx与函数y＝sinx的图象交点的问题．在同一坐标系下，作出两个函数的图象如图所示，可知在区间[－π，π]上有3个交点．答案35．xx·南京三模已知a，t为正实数，函数fx＝x2－2x＋a，且对任意的x∈[0，t]，都有fx∈[－a，a]．若对每一个正实数a，记t的最大值为ga，则函数ga的值域为________．解析因为fx＝x－12＋a－1，且f0＝f2＝a；当a－1≥－a，即a≥时，此时，恒有[a－1，a]⊆[－a，a]，故t∈02]，从而ga＝2；当a－1－a，即0a时，此时t∈01且t2－2t＋a≥－a在0a上恒成立，即t≥1＋不成立，舍去或t≤1－，则ga＝1－，由于0a，故ga∈01．综上，ga的值域为01∪{2}．答案01∪{2}6．已知fx＝gx＝fx－x－b有且仅有一个零点时，b的取值范围是________．解析要使函数gx＝fx－－b有且仅有一个零点，只需要函数fx的图象与函数y＝＋b的图象有且仅有一个交点，通过在同一坐标系中同时画出两个函数的图象图略并观察得，要符合题意，须满足b≥1或b＝或b≤
0.答案－∞，0]∪[1，＋∞∪7．已知0a1，k≠0，函数fx＝若函数gx＝fx－k有两个零点，则实数k的取值范围是______．解析函数gx＝fx－k有两个零点，即fx－k＝0有两个解，即y＝fx与y＝k的图象有两个交点．分k0和k0作出函数fx的图象．当0k1时，函数y＝fx与y＝k的图象有两个交点；当k＝1时，有一个交点；当k1或k0时，没有交点，故当0k1时满足题意．答案018．xx·南通调研已知函数fx是定义在[1，＋∞上的函数，且fx＝则函数y＝2xfx－3在区间12015上的零点个数为________．解析由题意得，当1≤x2时，fx＝设x∈[2n－12n]n∈N*，则∈[12，又fx＝f，
①当∈时，则x∈[2n－13·2n－2]，所以fx＝f＝，所以2xfx－3＝2x·－3＝0，整理得x2－2·2n－2x－3·22n－4＝
0.解得x＝3·2n－2或x＝－2n－
2.由于x∈[2n－13·2n－2]，所以x＝3·2n－2；
②当∈时，则x∈3·2n－22n，所以fx＝f＝，所以2xfx－3＝2x·－3＝0，整理得x2－4·2n－2x＋3·22n－4＝
0.解得x＝3·2n－2或x＝2n－
2.由于x∈3·2n－22n，所以无解．综上所述，x＝3·2n－
2.由x＝3·2n－2∈12015，得n≤11，所以函数y＝2xfx－3在区间12015上零点的个数是
11.答案119．已知函数fx＝x3－x2＋＋.证明存在x0∈，使fx0＝x
0.证明令gx＝fx－x.∵g0＝，g＝f－＝－，∴g0·g
0.又函数gx在上是连续曲线，∴存在x0∈，使gx0＝0，即fx0＝x
0.10．已知二次函数fx＝x2＋2a－1x＋1－2a.1判断命题“对于任意的a∈R，方程fx＝1必有实数根”的真假，并写出判断过程；2若y＝fx在区间－10及内各有一个零点，求实数a的取值范围．解1“对于任意的a∈R，方程fx＝1必有实数根”是真命题；依题意fx＝1有实根，即x2＋2a－1x－2a＝0有实根，因为Δ＝2a－12＋8a＝2a＋12≥0对于任意的a∈R恒成立，即x2＋2a－1x－2a＝0必有实根，从而fx＝1必有实根．2依题意知，要使y＝fx在区间－10及内各有一个零点，只需即解得a.故实数a的取值范围为.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知x∈R，符号[x]表示不超过x的最大整数，若函数fx＝－ax≠0有且仅有3个零点，则实数a的取值范围是________．解析当0x1时，fx＝－a＝－a；1≤x2时，fx＝－a＝－a；2≤x3时，fx＝－a＝－a；….fx＝－a的图象是把y＝的图象进行纵向平移而得到的，画出y＝的图象，如图所示，通过数形结合可知a∈∪.答案∪2．xx·无锡调研已知函数y＝fx是定义域为R的偶函数，当x≥0时，fx＝若关于x的方程[fx]2＋afx＋＝0，a∈R有且仅有8个不同的实数根，则实数a的取值范围是________．解析作出函数fx的图象如图．令t＝fx，则关于x的方程[fx]2＋afx＋＝0a∈R有且仅有8个不同的实数根可转化为关于x的方程t＝fx在R上有4个不同的实数根，由函数图象可知，t∈时关于x的方程t＝fx在R上有4个不同的实数根，故可转化为求关于实数t的方程t2＋at＋＝0在t∈内有两个不等实根，令gt＝t2＋at＋，则即解得a.答案3．已知二次函数fx的最小值为－4，且关于x的不等式fx≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}．1求函数fx的解析式；2求函数gx＝－4lnx的零点个数．解1∵fx是二次函数，且关于x的不等式fx≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}，∴fx＝ax＋1x－3＝ax2－2ax－3a，且a
0.∴fxmin＝f1＝－4a＝－4，a＝
1.故函数fx的解析式为fx＝x2－2x－
3.2∵gx＝－4lnx＝x－－4lnx－2x0，∴g′x＝1＋－＝.令g′x＝0，得x1＝1，x2＝
3.当x变化时，g′x，gx的取值变化情况如下x0111333，＋∞g′x＋0－0＋gx极大值极小值当0x≤3时，gx≤g1＝－
40.又因为gx在3，＋∞上单调递增，因而gx在3，＋∞上只有1个零点．故gx在0，＋∞上仅有1个零点．第九节函数模型及其应用1．几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型fx＝ax＋ba，b为常数，a≠0反比例函数模型fx＝＋bk，b为常数且k≠0二次函数模型fx＝ax2＋bx＋ca，b，c为常数，a≠0指数函数模型fx＝bax＋ca，b，c为常数，b≠0，a0且a≠1对数函数模型fx＝blogax＋ca，b，c为常数，b≠0，a0且a≠1幂函数模型fx＝axn＋ba，b为常数，a≠
02.三种函数模型的性质 函数性质 y＝axa1y＝logaxa1y＝xnn0在0，＋∞上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x的增大逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当xx0时，有logaxxnax
3.解函数应用问题的四步骤1审题弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择函数模型；2建模将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的函数模型；3解模求解函数模型，得出数学结论；4还原将数学结论还原为实际意义的问题．以上过程用框图表示如下[小题体验]1．教材习题改编某地高山上温度从山脚起每升高100m降低
0.6℃.已知山顶的温度是
14.6℃，山脚的温度是26℃，则此山的高为________m.答案19002．教材习题改编已知等腰三角形的周长为20，底边长y是关于腰长x的函数，则该函数的定义域为________．解析由题知y＝20－2x，y0且2xy，所以x∈510．答案5103．某商品在近30天内每件的销售价格P元与时间t天的函数关系为P＝且该商品的日销售量Q与时间t天的函数关系为Q＝－t＋400t≤30，t∈N，则这种商品日销量金额最大的一天是30天中的第________天．解析设日销量金额为W元，则W＝P·Q＝当0t25，t∈N时，Wt≤W10＝900；当25≤t≤30，t∈N时，Wt≤W25＝1125，所以第25天时的日销量金额最大．答案251．函数模型应用不当，是常见的解题错误．所以要正确理解题意，选择适当的函数模型．2．要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．3．注意问题反馈．在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性．[小题纠偏]1．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为4000辆次，其中变速车存车费是每辆一次
0.3元，普通车存车费是每辆一次
0.2元．若普通车存车量为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是________________________________________________．答案y＝－
0.1x＋12000≤x≤40002．将进价为8元的商品，按每件10元售出，每天可销售200件，若每件售价涨价
0.5元，其销售量就减少10件，为能使每天所赚利润最大，则应将售价定为________元，最大利润为________元．解析设每件售价提高x元，利润为y元，则y＝2＋x200－20x＝－20x－42＋720，故当x＝4，即定价为14元时，每天可获得最大利润为720元．答案14 720[典例引领]经市场调查，某商品在过去100天内的销售量和价格均为时间t天的函数，且日销售量近似地满足gt＝－t＋1≤t≤100，t∈N．前40天价格为ft＝t＋221≤t≤40，t∈N，后60天价格为ft＝－t＋5241≤t≤100，t∈N，试求该商品的日销售额St的最大值和最小值．解当1≤t≤40，t∈N时，St＝gtft＝＝－t2＋2t＋＝－t－122＋，所以768＝S40≤St≤S12＝.当41≤t≤100，t∈N时，St＝gtft＝＝t2－36t＋＝t－1082－，所以8＝S100≤St≤S41＝.所以，St的最大值为，最小值为
8.[由题悟法]二次函数模型问题的3个注意点1二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错；2确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法；3解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题．[即时应用]A，B两城相距100km，在两城之间距A城xkm处建一核电站给A，B两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10km.已知供电费用等于供电距离km的平方与供电量亿度之积的
0.25倍，若A城供电量为每月20亿度，B城供电量为每月10亿度．1求x的取值范围；2把月供电总费用y表示成x的函数；3核电站建在距A城多远，才能使供电总费用y最少？解1由题意知x的取值范围为
[1090]．2y＝5x2＋100－x210≤x≤90．3因为y＝5x2＋100－x2＝x2－500x＋25000＝2＋，所以当x＝时，ymin＝.故核电站建在距A城km处，能使供电总费用y最少．[典例引领]为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C单位万元与隔热层厚度x单位cm满足关系Cx＝0≤x≤10，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设fx为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．1求k的值及fx的表达式；2隔热层修建多厚时，总费用fx达到最小，并求最小值．解1由已知条件得C0＝8，则k＝40，因此fx＝6x＋20Cx＝6x＋0≤x≤10．2fx＝6x＋10＋－10≥2－10＝70万元，当且仅当6x＋10＝，即x＝5时等号成立．所以当隔热层厚度为5cm时，总费用fx达到最小值，最小值为70万元．[由题悟法]应用函数y＝x＋模型的关键点1明确对勾函数是正比例函数fx＝ax与反比例函数fx＝叠加而成的．2解决实际问题时一般可以直接建立fx＝ax＋的模型，有时可以将所列函数关系式转化为fx＝ax＋的形式．3利用模型fx＝ax＋求解最值时，要注意自变量的取值范围，及取得最值时等号成立的条件．[即时应用]“水资源与永恒发展”是xx联合国世界水资源日主题，近年来，某企业每年需要向自来水厂所缴纳水费约4万元，为了缓解供水压力，决定安装一个可使用4年的自动污水净化设备，安装这种净水设备的成本费单位万元与管线、主体装置的占地面积单位平方米成正比，比例系数约为
0.
2.为了保证正常用水，安装后采用净水装置净水和自来水厂供水互补的用水模式．假设在此模式下，安装后该企业每年向自来水厂缴纳的水费C单位万元与安装的这种净水设备的占地面积x单位平方米之间的函数关系是Cx＝x≥0，k为常数．记y为该企业安装这种净水设备的费用与该企业4年共将消耗的水费之和．1试解释C0的实际意义，并建立y关于x的函数关系式并化简；2当x为多少平方米时，y取得最小值，最小值是多少万元？解1C0表示不安装设备时每年缴纳的水费为4万元，∵C0＝＝4，∴k＝1000，∴y＝
0.2x＋×4＝
0.2x＋x≥0．2y＝
0.2x＋5＋－1≥2－1＝7，当x＋5＝20，即x＝15时，ymin＝7，∴当x为15平方米时，y取得最小值7万元．[典例引领] 某品牌茶壶的原售价为80元/个，今有甲、乙两家茶具店销售这种茶壶，甲店用如下方法促销如果只购买一个茶壶，其价格为78元/个；如果一次购买两个茶壶，其价格为76元/个；…，一次购买的茶壶数每增加一个，那么茶壶的价格减少2元/个，但茶壶的售价不得低于44元/个；乙店一律按原价的75%销售．现某茶社要购买这种茶壶x个，如果全部在甲店购买，则所需金额为y1元；如果全部在乙店购买，则所需金额为y2元．1分别求出y1，y2与x之间的函数关系式；2该茶社去哪家茶具店购买茶壶花费较少？解1根据题意，当x＝18时，甲店茶壶的价格为44元/个．则y1＝y2＝60x，x∈N*.2设y＝y1－y2＝当1≤x10时，y＝y1－y2＝－2xx－100，即y1y2；当x＝10时，y＝y1－y2＝0，即y1＝y2；当10x≤18时，y＝y1－y2＝－2xx－100，即y1y2；当x18时，y＝y1－y2＝－16x0，即y1y
2.所以当购买的茶壶数小于10个时，到乙茶具店购买花费较少；当购买的茶壶数为10个时，到甲、乙两家茶具店花费一样多；当购买的茶壶数大于10个时，到甲茶具店购买花费较少．[由题悟法]解决分段函数模型问题的3个注意点1实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解；2构造分段函数时，要力求准确、简捷，做到分段合理、不重不漏；3分段函数的最值是各段的最大或最小者的最大者最小者．[即时应用]国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30人或30人以下，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30人，则给予优惠每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75人为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15000元．1写出飞机票的价格关于人数的函数；2每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？解1设旅行团人数为x人，由题得0x≤75x∈N*飞机票价格为y元，则y＝即y＝2设旅行社获利S元，则S＝即S＝因为S＝900x－15000在区间030]上为单调增函数，故当x＝30时，S取最大值12000元，又S＝－10x－602＋21000在区间3075]上，当x＝60时，取得最大值
21000.故当x＝60时，旅行社可获得最大利润．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．已知某种产品今年产量为1000件，若计划从明年开始每年的产量比上一年增长10%，则3年后的产量为________件．解析1000×1＋10%3＝
1331.答案13312．xx·北京高考某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况.加油时间加油量升加油时的累计里程千米2015年5月1日12350002015年5月15日4835600注“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程．在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为________升．解析因为每次都把油箱加满，第二次加了48升油，说明这段时间总耗油量为48升，而行驶的路程为35600－35000＝600千米，故每100千米平均耗油量为48÷6＝8升．答案83．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v单位m/s和燃料的质量M单位kg、火箭除燃料外的质量m单位kg的函数关系式为v＝2000ln.当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可以达到12km/s.解析由2000ln＝12000，得1＋＝e6，所以＝e6－
1.答案e6－
14.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入客运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y万元与营运年数x的关系如图所示抛物线的一段，则为使其营运年平均利润最大，每辆客车营运年数为________．解析由题图，易求得y与x的关系式为y＝－x－62＋11，则＝12－≤12－10＝2，∴有最大值2，此时x＝
5.答案55．某位股民购进某只股票，在接下来的交易时间内，他的这只股票先经历了n次涨停每次上涨10%，又经历了n次跌停每次下跌10%，则该股民这只股票的盈亏情况不考虑其他费用为________．
①略有盈利；
②略有亏损；
③没有盈利也没有亏损；
④无法判断盈亏情况．解析设该股民购这只股票的价格为a，则经历n次涨停后的价格为a1＋10%n＝a×
1.1n，经历n次跌停后的价格为a×
1.1n×1－10%n＝a×
1.1n×
0.9n＝
0.99n·aa，故该股民这只股票略有亏损．答案
②二保高考，全练题型做到高考达标1．某家具的标价为132元，若降价以九折出售即优惠10%，仍可获利10%相对进货价，则该家具的进货价是________．解析设进货价为a元，由题意知132×1－10%－a＝10%·a，解得a＝
108.答案108元2．某商店已按每件80元的成本购进某商品1000件，根据市场预测，销售价为每件100元时可全部售完，定价每提高1元时销售量就减少5件，若要获得最大利润，销售价应定为每件________元．解析设售价提高x元，利润为y元，则依题意得y＝1000－5x×20＋x＝－5x2＋900x＋20000＝－5x－902＋
60500.故当x＝90时，ymax＝60500，此时售价为每件190元．答案1903．xx·南京外国语学校检测设某公司原有员工100人从事产品A的生产，平均每人每年创造产值t万元t为正常数．公司决定从原有员工中分流x0x100，x∈N*人去进行新开发的产品B的生产．分流后，继续从事产品A生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了
1.2x%.若要保证产品A的年产值不减少，则最多能分流的人数是________．解析由题意，分流前每年创造的产值为100t万元，分流x人后，每年创造的产值为100－x1＋
1.2x%t，则由解得0x≤.因为x∈N*，所以x的最大值为
16.答案164．xx·苏州调研世界人口在过去40年内翻了一番，则每年人口平均增长率是________．参考数据lg2≈
0.
3010100.0075≈
1.017解析设每年人口平均增长率为x，则1＋x40＝2，两边取以10为底的对数，则40lg1＋x＝lg2，所以lg1＋x＝≈
0.0075，所以
100.0075＝1＋x，得1＋x＝
1.017，所以x＝
1.7%.答案
1.7%5．某种动物繁殖量y只与时间x年的关系为y＝alog3x＋1，设这种动物第2年有100只，到第8年它们将发展到________只．解析由题意，100＝alog32＋1，∴a＝100，∴y＝100log3x＋1，∴当x＝8时，y＝100log38＋1＝100×2＝
200.答案2006．西北某羊皮手套公司准备投入适当的广告费对其生产的产品进行促销．在一年内，根据预算得羊皮手套的年利润L万元与广告费x万元之间的函数解析式为L＝－x0．则当年广告费投入______万元时，该公司的年利润最大．解析由题意得L＝－＝－2x0．当－＝0，即x＝4时，L取得最大值
21.
5.故当年广告费投入4万元时，该公司的年利润最大．答案
47.某人根据经验绘制了xx春节前后，从12月21日至1月8日自己种植的西红柿的销售量y千克随时间x天变化的函数图象，如图所示，则此人在12月26日大约卖出了西红柿______千克．解析前10天满足一次函数关系，设为y＝kx＋b，将点110和点1030代入函数解析式得解得k＝，b＝，所以y＝x＋，则当x＝6时，y＝.答案8．某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，
九、十月份销售总额与
七、八月份销售总额相等．若一月份至十月份销售总额至少达7000万元，则x的最小值是______．解析由题意知七月份的销售额为5001＋x%，八月份的销售额为5001＋x%2，则一月份到十月份的销售总额是3860＋500＋2[5001＋x%＋5001＋x%2]，根据题意有3860＋500＋2[5001＋x%＋5001＋x%2]≥7000，即251＋x%＋251＋x%2≥66，令t＝1＋x%，则25t2＋25t－66≥0，解得t≥或t≤－舍去，故1＋x%≥，解得x≥
20.故x的最小值为
20.答案
209.如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE＝4米，CD＝6米．为合理利用这块钢板，在五边形ABCDE内截取一个矩形BNPM，使点P在边DE上．1设MP＝x米，PN＝y米，将y表示成x的函数，求该函数的解析式及定义域；2求矩形BNPM面积的最大值．解1作PQ⊥AF于Q，所以PQ＝8－y米，EQ＝x－4米．又△EPQ∽△EDF，所以＝，即＝.所以y＝－x＋10，定义域为{x|4≤x≤8}．2设矩形BNPM的面积为S平方米，则Sx＝xy＝x＝－x－102＋50，Sx是关于x的二次函数，且其图象开口向下，对称轴为x＝10，所以当x∈
[48]时，Sx单调递增．所以当x＝8米时，矩形BNPM的面积取得最大值，为48平方米．10．一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的.1求每年砍伐面积的百分比；2到今年为止，该森林已砍伐了多少年？3今后最多还能砍伐多少年？解1设每年砍伐面积的百分比为x0x1．则a1－x10＝a，即1－x10＝，解得x＝1－.即每年砍伐面积的百分比为1－.2设经过m年剩余面积为原来的，则a1－xm＝a，即＝，所以＝，解得m＝
5.故到今年为止，已砍伐了5年．3设从今年开始，最多还能砍伐n年，则n年后剩余面积为a1－xn.令a1－xn≥a，即1－xn≥，所以≥，即≤，解得n≤
15.故今后最多还能砍伐15年．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．甲地与乙地相距250km.某天小袁从上午750由甲地开车前往乙地办事．在上午90010001100三个时刻，车上的导航仪都提示“如果按出发到现在的平均速度继续行驶，那么还有1h到达乙地”．假设导航仪提示语都是正确的，那么在上午1100时，小袁距乙地还有________km.解析上午750到上午1100是h．设经时间th后，小袁共行驶stkm，则由条件可知s＋×1＝250，解得s＝190，从而250－190＝60km．答案602．某商品在最近100天内的单价ft与时间t的函数关系是ft＝日销售量gt与时间t的函数关系是gt＝－＋0≤t≤100，t∈N．则这种商品的日销售额的最大值为______．解析由题意知日销售额为st＝ftgt，当0≤t40时，st＝＝－t2＋＋此函数的对称轴为x＝，又t∈N，最大值为s10＝s11＝＝
808.5;当40≤t≤100时，st＝＝t2－＋，此时函数的对称轴为x＝100，最大值为s40＝
736.综上，这种商品日销售额st的最大值为
808.
5.答案
808.53．有一种新型的洗衣液，去污速度特别快．已知每投放k1≤k≤4，且k∈R个单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度y克/升随着时间x分钟变化的函数关系式近似为y＝k·fx，其中fx＝若多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于4克/升时，它才能起到有效去污的作用．1若只投放一次k个单位的洗衣液，当两分钟时水中洗衣液的浓度为3克/升，求k的值；2若只投放一次4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？3若第一次投放2个单位的洗衣液，10分钟后再投放1个单位的洗衣液，则在第12分钟时洗衣液是否还能起到有效去污的作用？请说明理由．解1由题意知k＝3，∴k＝
1.2因为k＝4，所以y＝当0≤x≤4时，由－4≥4，解得－4≤x8，所以0≤x≤
4.当4x≤14时，由28－2x≥4，解得x≤12，所以4x≤
12.综上可知，当y≥4时，0≤x≤12，所以只投放一次4个单位的洗衣液的有效去污时间可达12分钟．3在第12分钟时，水中洗衣液的浓度为2×＋1×＝5克/升，又54，所以在第12分钟时洗衣液还能起到有效去污的作用．1．xx·山东高考改编设a＝
0.
60.6，b＝
0.
61.5，c＝
1.
50.6，则a，b，c的大小关系是________．解析因为函数y＝
0.6x是减函数，
00.
61.5，所以
10.
60.
60.
61.5，即ba
1.因为函数y＝x
0.6在0，＋∞上是增函数，
11.5，所以
1.
50.
610.6＝1，即c
1.综上，bac.答案bac2．xx·全国卷Ⅱ改编设函数fx＝则f－2＋flog212＝________.解析∵－21，∴f－2＝1＋log22＋2＝1＋log24＝1＋2＝
3.∵log2121，∴flog212＝2＝＝
6.∴f－2＋flog212＝3＋6＝
9.答案93．xx·陕西高考改编设fx＝lnx0＜a＜b，若p＝f，q＝f，r＝fa＋fb，则p，q，r的大小关系是________．解析因为b＞a＞0，故＞.又fx＝lnxx＞0为增函数，所以f＞f，即q＞p.又r＝fa＋fb＝lna＋lnb＝ln＝p，即p＝r＜q.答案p＝r＜q4．xx·山东高考若函数fx＝是奇函数，则使fx3成立的x的取值范围为________．解析因为函数y＝fx为奇函数，所以f－x＝－fx，即＝－.化简可得a＝1，则3，即－30，即0，故不等式可化为0，即12x2，解得0x
1.答案015．xx·四川高考改编设a，b都是不等于1的正数，则“3a3b3”是“loga3logb3”的________条件填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”．解析∵3a3b3，∴ab1，此时loga3logb3正确；反之，若loga3logb3，则不一定得到3a3b3，例如当a＝，b＝3时，loga3logb3成立，但推不出ab
1.故“3a3b3”是“loga3logb3”的充分不必要条件．答案充分不必要6．xx·浙江高考若a＝log43，则2a＋2－a＝________.解析∵a＝log43＝log23＝log2，∴2a＋2－a＝2＋2＝＋2＝＋＝.答案7．xx·山东高考已知函数fx＝ax＋ba0，a≠1的定义域和值域都是[－10]，则a＋b＝________.解析当a1时，函数fx＝ax＋b在上为增函数，由题意得无解．当0a1时，函数fx＝ax＋b在[－10]上为减函数，由题意得解得所以a＋b＝－.答案－8．xx·天津高考已知a0，b0，ab＝8，则当a的值为________时，log2a·log22b取得最大值．解析由于a0，b0，ab＝8，所以b＝.所以log2a·log22b＝log2a·log2＝log2a·4－log2a＝－log2a－22＋4，当且仅当log2a＝2，即a＝4时，log2a·log22b取得最大值
4.答案49．xx·福建高考若函数fx＝2|x－a|a∈R满足f1＋x＝f1－x，且fx在[m，＋∞上单调递增，则实数m的最小值等于________．解析因为fx＝2|x－a|，所以fx的图象关于直线x＝a对称．又由f1＋x＝f1－x，知fx的图象关于直线x＝1对称，故a＝1，且fx的增区间是，由函数fx在上单调递增，知⊆，所以m≥1，故m的最小值为
1.答案11．xx·湖南高考已知函数fx＝若存在实数b，使函数gx＝fx－b有两个零点，则a的取值范围是________．解析函数gx有两个零点，即方程fx－b＝0有两个不等实根，则函数y＝fx和y＝b的图象有两个公共点．
①若a0，则当x≤a时，fx＝x3，函数单调递增；当xa时，fx＝x2，函数先单调递减后单调递增，fx的图象如图1实线部分所示，其与直线y＝b可能有两个公共点．
②若0≤a≤1，则a3≤a2，函数fx在R上单调递增，fx的图象如图2实线部分所示，其与直线y＝b至多有一个公共点．
③若a1，则a3a2，函数fx在R上不单调，fx的图象如图3实线部分所示，其与直线y＝b可能有两个公共点．综上，a0或a
1.答案－∞，0∪1，＋∞2．xx·湖南高考若函数fx＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________．解析由fx＝|2x－2|－b＝0，得|2x－2|＝b.在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示，则当0＜b＜2时，两函数图象有两个交点，从而函数fx＝|2x－2|－b有两个零点．答案023．xx·湖北高考函数fx＝2sinxsin－x2的零点个数为________．解析fx＝2sinxsin－x2＝2sinxcosx－x2＝sin2x－x2，由fx＝0，得sin2x＝x
2.设y1＝sin2x，y2＝x2，在同一平面直角坐标系中画出二者的图象，如图所示．由图象知，两个函数图象有两个交点，故函数fx有两个零点．答案24．xx·福建高考改编若a，b是函数fx＝x2－px＋qp＞0，q＞0的两个不同的零点，且a，b，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p＋q的值等于________．解析不妨设a＞b，由题意得∴a＞0，b＞0，则a，－2，b成等比数列，a，b，－2成等差数列，∴∴∴p＝5，q＝4，∴p＋q＝
9.答案91．xx·四川高考某食品的保鲜时间y单位小时与储藏温度x单位℃满足函数关系y＝ekx＋be＝
2.718…为自然对数的底数，k，b为常数．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是________小时．解析由已知条件，得192＝eb，∴b＝ln
192.又∵48＝e22k＋b＝e22k＋ln192＝192e22k＝192e11k2，∴e11k＝＝＝.设该食品在33℃的保鲜时间是t小时，则t＝e33k＋ln192＝192e33k＝192e11k3＝192×3＝
24.答案242．xx·江苏高考某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路．记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l.如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和
2.5千米．以l2，l1所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy.假设曲线C符合函数y＝其中a，b为常数模型．1求a，b的值．2设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.
①请写出公路l长度的函数解析式ft，并写出其定义域．
②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度．解1由题意知，点M，N的坐标分别为540，20，
2.5．将其分别代入y＝，得解得2
①由1知，y＝5≤x≤20，则点P的坐标为.设在点P处的切线l交x，y轴分别于A，B两点，y′＝－，则l的方程为y－＝－x－t，由此得A，B.故ft＝＝，t∈
[520]．
②设gt＝t2＋，则g′t＝2t－.令g′t＝0，解得t＝
10.当t∈510时，g′t＜0，gt是减函数；当t∈10，20时，g′t＞0，gt是增函数．从而，当t＝10时，函数gt有极小值，也是最小值，所以gtmin＝300，此时ftmin＝
15.故当t＝10时，公路l的长度最短，最短长度为15千米．。
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