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2019-2020年高中数学
3.2《均值不等式》教案新人教B版必修5教学目标推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要定理.利用均值定理求极值.了解均值不等式在证明不等式中的简单应用教学重点推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要定理利用均值定理求极值教学过程
一、复习
1、复习不等式的性质定理及其推论1abba2abbcac或cbbaca传递性3aba+cb+c或aba+cb+c1a+bcac-b移项法则2abcda+cb+d
4、若ab且c0,那么acbc;若ab且c0,那么acbc.
1、若ab0且cd0,则acbd
2、若ab0则anbnn∈且n
13、若ab0则n∈且n
12、定理变式如果ab∈R,那么a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时,等号成立)
3、均值定理如果ab是正数,那么证明∵,即显然,当且仅当说明ⅰ)我们称的算术平均数,称的几何平均数,因而,此定理又可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数ⅱ)成立的条件是不同的前者只要求ab都是实数,而后者要求ab都是正数ⅲ)“当且仅当”的含义是等价3.均值定理的几何意义是“半径不小于半弦”以长为a+b的线段为直径作圆,在直径AB上取点C,使AC=aCB=b过点C作垂直于直径AB的弦DD′那么,即这个圆的半径为,显然,它不小于CD,即,其中当且仅当点C与圆心重合;即a=b时,等号成立应用例题例
1、已知a、b、c∈R,求证不等式的左边是根式,而右边是整式,应设法通过适当的放缩变换将左边各根式的被开方式转化为完全平方式,再利用不等式的性质证得原命题例
2、若,则本题若用求差法证明,计算量较大,难以获得成功,注意到abc∈R+,从结论的特点出发,均值不等式,问题是不难获证的例
3、已知为两两不相等的实数,求证证明∵以上三式相加∴例
4、已知abcd都是正数,求证分析此题要求学生注意与均值不等式定理的“形”上发生联系,从而正确运用,同时加强对均值不等式定理的条件的认识证明∵abcd都是正数,∴ab>0,cd>0,ac>0,bd>0得由不等式的性质定理4的推论1,得即归纳小结定理如果ab是正数,那么
2、利用均值定理求最值应注意“正”,“定”,“等”,灵活的配凑是解题的关键。