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2019-2020年高中数学
4.1《数学归纳法》教案新人教版选修4-5教学要求了解数学归纳法的原理,并能以递推思想作指导,理解数学归纳法的操作步骤,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题,并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写.教学重点能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.教学难点数学归纳法中递推思想的理解.教学过程
一、复习准备
1.分析多米诺骨牌游戏.成功的两个条件
(1)第一张牌被推倒;
(2)骨牌的排列,保证前一张牌倒则后一张牌也必定倒.回顾数学归纳法两大步(i)归纳奠基证明当n取第一个值n0时命题成立;(ii)归纳递推假设n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立.只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.
2.练习已知,猜想的表达式,并给出证明?过程试值,,…,→猜想→用数学归纳法证明.
3.练习是否存在常数a、b、c使得等式对一切自然数n都成立,试证明你的结论.
二、讲授新课
1.教学数学归纳法的应用1出示例1求证分析第1步如何写?n=k的假设如何写?待证的目标式是什么?如何从假设出发?关键在假设n=k的式子上,如何同补?小结证n=k+1时,需从假设出发,对比目标,分析等式两边同增的项,朝目标进行变形.
②出示例2求证n为奇数时,xn+yn能被x+y整除.分析要点(凑配)xk+2+yk+2=x2·xk+y2·yk=x2xk+yk+y2·yk-x2·yk=x2xk+yk+yky2-x2=x2xk+yk+yk·y+xy-x.
③出示例3平面内有n个圆,任意两个圆都相交于两点,任何三个圆都不相交于同一点,求证这n个圆将平面分成fn=n2-n+2个部分.分析要点n=k+1时,在k+1个圆中任取一个圆C,剩下的k个圆将平面分成fk个部分,而圆C与k个圆有2k个交点,这2k个交点将圆C分成2k段弧,每段弧将它所在的平面部分一分为二,故共增加了2k个平面部分.因此,fk+1=fk+2k=k2-k+2+2k=k+12-k+1+
2.
2.练习
①求证:(n∈N*).
②用数学归纳法证明(Ⅰ)能被264整除;(Ⅱ)能被整除(其中n,a为正整数)
③是否存在正整数m,使得f(n)=(2n+7)·3n+9对任意正整数n都能被m整除若存在,求出最大的m值,并证明你的结论;若不存在,请说明理由.
3.小结两个步骤与一个结论,“递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉”;从n=k到n=k+1时,变形方法有乘法公式、因式分解、添拆项、配方等.
三、巩固练习
1.练习教材
501、
2、5题
2.作业教材
503、
4、6题.第二课时
4.2数学归纳法教学要求了解数学归纳法的原理,并能以递推思想作指导,理解数学归纳法的操作步骤,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题,并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写.教学重点能用数学归纳法证明几个经典不等式.教学难点理解经典不等式的证明思路.教学过程
一、复习准备
1.求证.
2.求证.
二、讲授新课
1.教学例题
①出示例1比较与的大小,试证明你的结论.分析试值→猜想结论→用数学归纳法证明→要点….小结试值→猜想→证明
②练习已知数列的各项为正数,Sn为前n项和,且,归纳出an的公式并证明你的结论.解题要点试值n=1234,→猜想an→数学归纳法证明
③出示例2证明不等式.要点
④出示例3证明贝努利不等式.
2.练习试证明不论正数a、b、c是等差数列还是等比数列,当n>1n∈N*且a、b、c互不相等时,均有an+cn>2bn.解答要点当a、b、c为等比数列时,设a=c=bqq>0且q≠
1.∴an+cn=….当a、b、c为等差数列时,有2b=a+c,则需证>nn≥2且n∈N*.….当n=k+1时,ak+1+ck+1+ak+1+ck+1>ak+1+ck+1+ak·c+ck·a=ak+cka+c>k·=k+
1.
3.小结应用数学归纳法证明与正整数n有关的不等式;技巧凑配、放缩.
三、巩固练习
1.用数学归纳法证明.
2.已知.
3.作业教材P
543、
5、8题.来源。