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2019-2020年高二上学期期末考试理科数学试题
1、选择题(每题5分共60分)
1.抛物线的焦点到准线的距离是()A.B.C.D.
2.下列命题中的假命题是A.B.C.D.
3.由曲线和直线围成图形的面积是()A.3B.C.D.
4.设,是两条不同的直线,是一个平面,则下列命题正确的是A.若,,则B.若,,则C.若,,则D.若,,则
5.函数在01内有极小值,则实数的取值范围是 A.03B.C.0,+∞D.-∞,36设双曲线的半焦距为C,直线L过两点,已知原点到直线L的距离为,则双曲线的离心率为A.2B.2或C.D.
7.已知向量,则与的夹角为()A.0°B.45°C.90°D.180°
8.正方体ABCD—A1B1C1D1中,E、F分别是AA
1、AB的中点,则EF与对角面A1C1CA所成角的度数是()A.30ºB.45ºC.60ºD.150º
9.函数在区间
[03]上最大值与最小值分别是()A.5-15B.5-4C.-4-15D.5-
1610.已知直线与曲线相切,则的值为A.1B.2C.-1D.-
211.已知正四棱锥中,,那么当该棱锥的体积最大时,它的高为A.1B.C.2D.
312.设,若函数,有大于零的极值点,则()A.B.C.D.二.填空题(每题5分共20分)
13.如图,已知一四棱锥的主视图、左视图都是等腰直角三角形,俯视图是正方形,则该四棱锥的体积为
14.函数的单调递增区间是.
15.已知,则函数的最大值为
16.如图,矩形ABCD中,DC=,AD=1,在DC上截取DE=1,将△ADE沿AE翻折到D1点,点D1在平面ABC上的射影落在AC上时,二面角D1—AE—B的平面角的余弦值是.三.解答题
17.已知函数,其中为实数.Ⅰ若在处取得的极值为,求的值;(Ⅱ)若在区间上为减函数,且,求的取值范围.10分
18.如图在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是菱形,∠BAD=600,AB=2,PA=1PA⊥平面ABCD,E是PC的中点,F是AB的中点12分
(1)求证BE∥平面PDF;
(2)求证平面PDF⊥平面PAB;
(3)求二面角的大小
19.在平面直角坐标系中,经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点和.12分(I)求的取值范围;(II)设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为,是否存在常数,使得向量与共线?如果存在,求值;如果不存在,请说明理由.
20.在直三棱柱ABC—A1B1C1中,CA=CB=CC1=2,∠ACB=90°,E、F分别是BA、BC的中点,G是AA1上一点,且AC1⊥EG.12分(Ⅰ)确定点G的位置;(Ⅱ)求直线AC1与平面EFG所成角θ的大小.
21.已知离心率为的双曲线C的中心在坐标原点,左、右焦点F
1、F2在轴上,双曲线C的右支上一点A使且的面积为112分
(1)求双曲线C的标准方程;
(2)若直线与双曲线C相交于E、F两点(E、F不是左右顶点),且以EF为直径的圆过双曲线C的右顶点D求证直线过定点,并求出该定点的坐标
22.已知二次函数的导函数的图像与直线平行,且在处取得极小值.设.12分
(1)若曲线上的点到点的距离的最小值为,求的值;
(2)如何取值时,函数存在零点,并求出零点.高二理科期末考试数学答案
一、选择题(每题5分共60分)题号123456789101112答案BBCBBDCAABCB二.填空题(每题5分共20分)
13.
14.
15.
16.
三、解答题
17.解Ⅰ由题设可知:且,………………2分即,解得………………4分(Ⅱ),又在上为减函数,对恒成立,………………6分即对恒成立.且,………………8分即,的取值范围是………………10分
18.证明
(1)取PD中点为M,连ME,MF∵E是PC的中点∴ME是△PCD的中位线∴MECD∵F是AB中点且由于ABCD是菱形,ABCD∴MEFB∴四边形MEBF是平行四边形∴BE∥MF∵BE平面PDFMF平面PDF∴BE∥平面PDF………4分
(2)∵PA⊥平面ABCDDF平面ABCD∴DF⊥PA……………5分∵底面ABCD是菱形,∠BAD=600∴△DAB为正△∵F是AB中点∴DF⊥AB∵PA、AB是平面PAB内的两条相交直线∴DF⊥平面PAB∵DF平面PDF∴平面PDF⊥平面PAB………………8分3过点做延长线于,因为面,所以,既为二面角的平面角,………………9分在中,所以既二面角的大小为………………12分
19.(Ⅰ)由已知条件,直线的方程为,代入椭圆方程得整理得
①……………2分直线与椭圆有两个不同的交点和等价于,……3分解得或.即的取值范围为.……5分(Ⅱ)设,则,由方程
①,.
②又.
③而.所以与共线等价于,……8分将
②③代入上式,解得.……10分由(Ⅰ)知或,故没有符合题意的常数.……12分
20.解法一(Ⅰ)以C为原点,分别以CB、CA、CC1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则F(1,0,0),E(1,1,0),A(0,2,0),C1(0,0,2),设G(0,2,h),则∴-1×0+1×(-2)+2h=
0.∴h=1,即G是AA1的中点.……………………6分(Ⅱ)设是平面EFG的法向量,则所以平面EFG的一个法向量m=(1,0,1)…………………8分∵∴,即AC1与平面EFG所成角为………………………12分解法二(Ⅰ)取AC的中点D,连结DE、DG,则ED//BC∵BC⊥AC,∴ED⊥AC.又CC1⊥平面ABC,而ED平面ABC,∴CC1⊥ED.∵CC1∩AC=C,∴ED⊥平面A1ACC
1.又∵AC1⊥EG,∴AC1⊥DG.连结A1C,∵AC1⊥A1C,∴A1C//DG.∵D是AC的中点,∴G是AA1的中点.…………………6分(Ⅱ)取CC1的中点M,连结GM、FM,则EF//GM,∴E、F、M、G共面.作C1H⊥FM,交FM的延长线于H,∵AC⊥平面BB1C1C,C1H平面BB1C1C,∴AC⊥G1H,又AC//GM,∴GM⊥C1H.∵GM∩FM=M,∴C1H⊥平面EFG,设AC1与MG相交于N点,所以∠C1NH为直线AC1与平面EFG所成角θ.因为…………………12分
21.
(1)由题意设双曲线的标准方程为,由已知得解得………………………………………2分∵且的面积为1∴∴∴………………………………………4分∴双曲线C的标准方程为………………………………………5分
(2)设,联立得显然否则直线与双曲线C只有一个交点即则……………………………8分又∵以EF为直径的圆过双曲线C的右顶点D20∴即∴∴化简整理得∴,且均满足当时,直线的方程为,直线过定点(2,0),与已知矛盾!当时,直线的方程为,直线过定点(,0)∴直线定点,定点坐标为(,0)……………………………12分
22.
(1)依题可设,则;又的图像与直线平行,,…………2分设,则………………4分当且仅当时,取得最小值,即取得最小值当时,解得当时,解得………………6分
(2)由,得当时,方程有一解,函数有一零点;当时,方程有二解,若,,函数有两个零点,即;若,,函数有两个零点,即;当时,方程有一解函数有一零点综上,
①当时函数有一零点;
②当,或()时,函数有两个零点;
③当时,函数有一零点.………………12分。