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2019-2020年高中数学
1.3函数的性质教案新人教A版必修1学习目标要求
1.理解函数单调性的概念;
2.掌握判断函数单调性的一般方法;
3.体验数形结合思想在函数性质研究中的价值,掌握其应用
一、函数单调性的概念1增函数1定义设函数fx的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x
1、x2,当x1x2时,都有fx1fx2,那么就说函数fx在区间D上是增函数,区间D称为函数fx的单调递增区间2几何意义函数fx的图象在区间D上是上升的,如图所示2减函数1定义设函数fx的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x
1、x2,当x1x2时,都有fx1fx2,那么就说函数fx在区间D上是减函数,区间D称为函数fx的单调递减区间2几何意义函数fx的图象在区间D上是下降的,如图所示3单调性与单调区间定义如果函数y=fx在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数y=fx在这一区间具有严格的单调性,区间D叫做y=fx的单调区间思考1单调性是函数在定义域上的“整体”性质吗不是,由定义中“定义域I内某个区间D”知函数的单调递增区间或单调递减区间是其定义域的子集,这说明单调性是与“区间”紧密相关的,一个函数在定义域的不同区间可以有不同的单调性2定义中的“x
1、x2”具备什么特征定义中的x
1、x2有以下几个特征一是任意性,即任意取x1x2,证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换;二是有大小,通常规定x1x2;三是属于同一个单调递增区间或单调递减区间3增减函数定义的核心是一组不等关系据此你还能得出什么结论增函数有0减函数有0
二、判断函数单调性的一般方法1定义法利用定义严格判断一般步骤如下
①取值任选定义域中同一单调区间D上的自变量值x1,x2,且设x1x2;
②作差求fx2-fx1;
③变形即将
②中的差式fx2-fx1进一步化简变形,变到利于判断fx2-fx1的正负为止;变形的主要技巧A、因式分解当原函数是多项式函数时,作差后的变形通常进行因式分解;B、通分当原函数是分式函数时,作差后往往进行通分,然后对分子进行因式分解;C、配方当原函数是二次函数时,作差后可以考虑配方,便于判断符号;D、分子或分母有理化当原函数是根式函数时,作差后往往考虑分子或分母有理化,如fx=
④定号根据变形结果,确定fx2-fx1的符号;
⑤判断根据x1与x2的大小关系及fx1与fx2的大小关系,结合单调性定义得出结论典型例题例1证明函数fx=x+在01上为减函数例2用单调性的定义证明函数在R上是减函数2图象法作出函数的图象用数形结合的方法确定函数的单调性3直接法对于我们所熟悉的函数,直接得到函数的单调性,如一次函数、二次函数、反比例函数等4记住几条常用的结论a.函数y=fx与y=-fx的单调性相反;b.当fx0或fx0时函数y=与y=fx的单调性相反;c.在公共区间内,“增+增=增”,“减+减=减”,“增-减=增”,“减-增=减”思考1单调区间的端点值如何取舍对于单独的一点,由于它的函数值是唯一确定的常数,没有增减的变化,所以不存在单调性问题,因此在写单调区间时,可以包括区间端点,也可以不包括区间端点,但当函数在某些端点无意义时,单调区间就不能包括这些点2多个单调递增减区间之间能否用“∪”连接不能取这些区间的并集,而应用“”将它们隔开或用“和”字连接
三、函数单调性的应用
1、已知函数fx=x2+2a-1x+2在区间-∞4]上是减函数,求实数a的取值范围名师导引1二次函数的单调性取决于什么?开口方向(a0,开口向上;a0,开口向下)与对称轴(-b/2a)2-∞4]是函数的单调递减区间吗可能不是,可能是其子集解∵fx=x2+2a-1x+2,∴此二次函数图象的对称轴为x=1-a,∴fx的单调递减区间为-∞1-a],∵fx在-∞4]上是减函数,∴对称轴x=1-a必须在直线x=4的右侧或与其重合,∴1-a≥4,解得a≤-3,即实数a的取值范围为-∞-3]思考“函数fx的单调区间是ab”与“fx在区间ab上单调”有何不同的含义前者表明区间ab是其单调区间的全部,而后者表明区间ab是其单调区间的子集
2、2011~xx学年度广东惠阳高级中学上学期高一第一次段考函数y=x2-2mx+3在区间
[13]上具有单调性则m的范围为—————— 解析:∵函数图象的对称轴为x=m∴函数在-∞m]上递减[m+∞上递增∵函数在
[13]上具有单调性∴m≤1或m≥
3.答案:-∞1]∪[3+∞
3、已知y=fx在定义域-11上是减函数,且f1-af3a-2,求a的取值范围解f1-af3a-2⇔解得a.∴a的取值范围是.第二课时 函数的最大小值学习目标要求
1.理解函数的最大小值及其几何意义;
2.会求一些简单函数的最大值或最小值;
3.体会数形结合思想、分类讨论思想在求解最值问题中的应用
一、最值的概念1最大值
(1)定义一般地,设函数的定义域为,如果存在实数满足
①对于任意的,都有;
②存在,使得那么,我们称是函数的最大值(maximumvalue).
(2)几何意义函数的最大值是图象最高点的纵坐标2最小值
(1)定义一般地,设函数的定义域为,如果存在实数满足
①对于任意的,都有;
②存在,使得那么,我们称是函数的最小值(minimumvalue).
(2)几何意义函数的最大值是图象最低点的纵坐标思考1定义条件中的“任意”一词表达什么含义“任意”是说对定义域内的所有元素所对应的每一个函数值都必须满足不等式fx≤M,即最大值是函数的“整体”的性质2定义条件中的“存在”一词表达什么含义两层含义一是强调最大值的属性,即它是值域中的一个元素;二是强调最大值的唯一性3函数一定存在值域那么函数一定存在最值吗对一个函数来说,其值域是确定的,但它不一定有最值,如函数y=如果有最值,则最值一定是值域中的一个元素4函数的单调性刻画了函数值大小的变化趋势那么它与最值存在什么关系呢
①若函数fx在闭区间[ab]上是减函数,则fx在[ab]上的最大值为fa,最小值为fb;若函数fx在闭区间[ab]上是增函数,则fx在[ab]上的最大值为fb,最小值为fa;
②若函数fx在开区间ab上是增减函数,则fx在ab上不存在最值,但可以说函数fx在区间ab上的值域为fa,fb或fb,fa
二、求函数最值(值域)常见的方法
1、观察法(数形结合法、图像法)由函数的定义域结合图象(最值的几何意义图象最高点、最低点的纵坐标),或直观观察,准确地判断函数值域的方法【例1】如图为函数y=fx,x∈[-47]的图象,指出它的最大值、最小值及单调区间解观察函数图象可以知道图象上位置最高的点是33,最低的点是-
1.5-2所以函数y=fx,当x=3时取得最大值,最大值是3,当x=-
1.5时取得最小值,最小值是-2,函数的单调递增区间为[-
1.53,[56,单调递减区间为[-4-
1.5,[35,
[67]方法小结如何利用图象求函数最值?
①画出函数y=fx的图象;
②观察图象,找出图象的最高点和最低点;
③写出最值最高点的纵坐标是函数的最大值,最低点的纵坐标是函数的最小值【例2】求函数fx=的最值解:函数fx的图象如图由图象可知fx的最小值为f1=1,无最大值
2、单调性判定法【例3】已知函数fx=x∈
[35],求函数fx的最大值和最小值解任取x1,x2∈
[35]且x1x2,则fx1-fx2=-===∵x1,x2∈
[35]且x1x2,∴x1-x20,x1+20,x2+20,∴fx1-fx20,∴fx1fx2,∴函数fx=在
[35]上为增函数当x=3时,函数fx取得最小值为f3=;当x=5时,函数fx取得最大值为f5=方法小结1应用单调性法求最值的时机是什么?运用函数单调性求最值是求函数最值的常用方法,特别是当函数图象不易作出时,单调性几乎成为首选方法2应用单调性法求最值要注意什么?
①意对问题中求最值的区间与函数的单调区间之间的关系进行辨析;
②注意对问题中求最值的区间的端点值的取舍
3、判别式法通过对二次方程的实根的判别求值域的方法【例4】求函数fx=x2-2ax-1在区间
[02]上的最大值和最小值图1解题分析:1能确定二次函数的图象吗开口向上,与y轴的交点是0-1,对称轴不能确定2函数fx在区间
[02]上是单调函数吗?不一定,需根据对称轴的位置进行分类讨论解fx=x2-2ax-1,对称轴为x=a1当a0时,由图1可知fxmin=f0=-1,fxmax=f2=3-4a2当0≤a1时,由图2可知fxmin=fa=-1-a2fxmax=f2=3-4a图23当1≤a≤2时,由图3可知fxmin=fa=-1-a2fxmax=f0=-14当a2时由图4可知fxmin=f2=3-4a图3fxmax=f0=-1图4方法小结1如何求二次函数在闭区间[mn]上的最值
①定二次函数的对称轴x=a;
②根据am,m≤a,≤an,a≥n这4种情况进行分类讨论;
③写出最值2求二次函数的最值常用什么数学思想方法?数形结合思想、分类讨论思想3二次函数开口方向、对称轴、极值点的判别公式要牢记
4、分离常量法【例5】求函数的值域解练习
1.求函数的值域(1,)
2.求函数的值域[-1,1)
5、换元法通过对函数恒等变形,将函数化为易求值域的函数形式,来求值域的方法【例6】求函数的值域解函数的定义域为令则∵∴的值域为(0,∞)即的值域为
6、配凑法【例7】求函数的值域解则的值域为
1.
3.2 奇偶性第一课时 函数奇偶性的定义与判定学习目标要求
1.结合具体函数了解函数奇偶性的含义;
2.掌握判断函数奇偶性的方法;
3.学会利用图象理解和研究函数的性质
一、函数的奇偶性定义1.偶函数一般地,对于函数fx的定义域内的任意一个x,都有f-x=fx,那么fx就叫做偶函数2.奇函数一般地,对于函数fx的定义域内的任意一个x,都有f-x=-fx,那么fx就叫做奇函数注意函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质;由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个x,则-x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称)思考1定义中“定义域内任意一个x”说明奇偶性的存在范围是什么这与单调性有何区别只有对定义域中的每一个x,都有f-x=-fx或f-x=fx,才能说fx是奇偶函数任意一个x函数奇偶性与单调性区别
①奇偶性是函数在定义域上的对称性,单调性是反映函数在某一区间上的函数值的变化趋势
②奇偶性是相对于函数的整个定义域来说的,这一点与函数的单调性不同,从这个意义上来讲,函数的单调性是函数的“局部”性质,而奇偶性是函数的“整体”性质2定义中“都有f-x=±fx”说明具有奇偶性的函数的定义域有何特征由定义知,若x是定义域中的一个数值,则-x也必然在定义域中,因此,函数y=fx是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是定义域关于原点对称;换言之,所给函数的定义域若不关于原点对称,则这个函数必不具有奇偶性3若奇函数或偶函数在原点处有定义则f0是确定的值吗对奇函数而言,f0=0;对偶函数而言无法确定
二、具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称
三、典型例题1.判断函数的奇偶性利用定义判断函数奇偶性的格式步骤首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称定义域中任取x,都存在-x与之对应;确定f-x与fx的关系;作出相应结论(函数根据奇偶性类型奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数其中既奇又偶函数的表达式是fx=0,x∈A,A是关于原点对称的非空数集)若f-x=fx或f-x-fx=0,则fx是偶函数;若f-x=-fx或f-x+fx=0,则fx是奇函数【例1】判断函数fx=|x+1|+|x-1|的奇偶性解fx的定义域是R又f-x=|-x+1|+|-x-1|=|x-1|+|x+1|=fx∴fx是偶函数2.利用函数的奇偶性求解析式【例1】已知函数为偶函数,且当时,,则,的解析式解3.函数的奇偶性与单调性的关系【例1】已知fx是奇函数,在0,+∞上是增函数,证明fx在-∞,0上也是增函数解设,则,∵在上是增函数,∴,∵是奇函数,∴,,∴,∴,∴在上也是增函数规律偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反;奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致第二课时 函数奇偶性的应用学习目标要求
1.会根据函数奇偶性求解析式或参数;
2.能利用函数的奇偶性与单调性分析、解决较简单的问题1.利用奇偶性求参数【例1】已知函数fx=ax2+bx+3a+b为偶函数,其定义域为[a-12a],求fx的解析式导引1奇偶函数的定义域有何特征关于原点对称2若二次函数为偶函数,则其图象有何特征?对称轴为y轴解∵偶函数fx的定义域为[a-12a]∴a-1+2a=0∴a=即函数fx的定义域为[-]∴fx=x2+bx+1+b.法一:∵fx为偶函数∴二次函数图象的对称轴为x=-=0即b=0∴fx=x2+12.利用奇偶性求函数解析式【例2】已知fx是定义在R上的奇函数,且当x0时,fx=x3+x+1,求fx的解析式导引如何把-∞0上的未知解析式转移到0+∞上的已知解析式?引入一对相反变量,利用奇函数定义f-x=-fx进行转化解:设x0则-x02分用-x替换fx=x3+x+1中的x得f-x=-x3+-x+1=-x3-x+
1.5分又∵fx是奇函数则f-x=-fx.6分∴-x3-x+1=-fx即fx=x3+x-
1.∴当x0时fx=x3+x-
1.8分又fx是R上的奇函数故f0=
0.10分∴fx=思考1如何利用函数奇偶性求解析式
①求哪个区间上的解析式,就在哪个区间上取x;
②然后要利用已知区间的解析式写出f-x;
③利用fx的奇偶性把f-x写成-fx或fx,从而解出fx;
④要注意R上的奇函数定有f0=02解析式的表达需注意什么?若是求整个定义域内的解析式,各区间内解析式不一样时其结果一般为分段函数的形式,此点易忽略3.函数奇偶性与单调性的关系思考函数的奇偶性与单调性存在什么关系
①函数在关于原点对称区间上有相同的单调性,即已知fx是奇函数,它在区间[ab]上是增函数减函数,则fx在区间[-b-a]上也是增函数减函数;
②偶函数在关于原点对称区间上有相反的单调性,即已知fx是偶函数且在区间[ab]上为增函数减函数,则fx在区间[-b-a]上为减函数增函数【例3】已知是定义域为的奇函数,当时,,求的解析式,并写出的单调区间解设,则,由已知得,∵是奇函数,∴,∴当时,;又是定义域为的奇函数,∴.综上所述的单调增区间为,单调增区间为和.【例4】定义在上的奇函数在整个定义域上是减函数,若,求实数的取值范围解原不等式化为,∵是奇函数,∴,∴原不等式化为,∵是减函数,∴,∴.
①又的定义域为,∴,解得,
②由
①和
②得实数的取值范围为.。