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文本内容:
2019-2020年高中数学《任意角的三角函数》教案2苏教版必修4【三维目标】
一、知识与技能
1.会用角的正弦线、余弦线、正切线分别表示任意角的正弦、余弦、正切函数值
2.借助单位圆理解任意角三角函数正弦、余弦、正切的定义;
3.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题(利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围)
二、过程与方法
1.借助几何画板让学生经历概念的形成过程,提高学生观察、发现、类比、猜想和实验探索的能力;
2.在论坛上开展研究性学习,让学生借助所学知识自己去发现新问题,并加以解决,提高学生抽象概括、分析归纳、数学表述等基本数学思维能力.
三、情感、态度与价值观
1.激发学生对数学研究的热情,培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神;通过学生之间、师生之间的交流合作,实现共同探究、教学相长的教学情境.
2.通过三角函数的几何表示,使学生进一步加深对数形结合思想的理解,培养良好的思维习惯,拓展思维空间【教学重点、难点与关键】重点三角函数线的作法及其简单应用(利用与单位圆有关的有向线段,将任意角的正弦、余弦、正切函数值分别用它们的几何形式表示出来).难点正确地用三角函数线表示任意角的三角函数值关键掌握有向线段及其数量的概念是克服难点的关键【学法与教学用具】1.教法选择“设置问题,探索辨析,归纳应用,延伸拓展”——科研式教学.2.学法指导类比、联想,产生知识迁移;观察、实验,体验知识的形成过程;猜想、求证,达到知识的延展.3.教学手段本节课教学地点选在多媒体网络教室,学生利用几何画板软件探讨数学问题,做数学实验;借助网络论坛交流各自的观点展示自己的才能.
4.教学用具多媒体、实物投影仪.【授课类型】新授课【课时安排】1课时【教学思路】
一、创设情景,揭示课题
1.前面我们学习了角的弧度制,角弧度数的绝对值,其中是以角作为圆心角时所对弧的长,r是圆的半径特别地当r=1时,此时的圆称为单位圆,这样就可以用单位圆中弧的长度表示所对圆心角弧度数的绝对值,那么能否用几何图形来表示任意角的正弦、余弦、正切函数值呢?这就是我们今天一起要研究的问题.
二、研探新知1.基本概念
(1)单位圆圆心在圆点,半径等于单位长的圆叫做单位圆
(2)有向线段带有方向的线段.坐标轴是规定了方向的直线,那么与之平行的线段亦可规定方向方向按书写顺序,前者为起点,后者为终点,由起点指向终点.如有向线段,为起点,为终点,由点指向点.(动态演示)数值(只考虑在坐标轴上或与坐标轴平行的有向线段)绝对值等于线段的长度,若方向与坐标轴同向,取正值;与坐标轴反向,取负值.如=1=-1=当角的终边上一点的坐标满足时,有三角函数正弦、余弦、正切值的几何表示——三角函数线2.三角函数线的定义设任意角的顶点在原点,始边与轴非负半轴重合,终边与单位圆相交与点P,过作轴的垂线,垂足为;过点作单位圆的切线,它与角的终边或其反向延长线交与点.由四个图看出当角的终边不在坐标轴上时,有向线段,于是有,,.我们就分别称有向线段为正弦线、余弦线、正切线正弦线、余弦线、正切线统称为三角函数线.请大家总结这三种三角函数线的作法并用几何画板演示一学生描述同时用电脑演示第一步作出角的终边,与单位圆交于点;第二步过点作轴的垂线,设垂足为,得正弦线、余弦线;第三步过点10作单位圆的切线,它与角的终边或其反向延长线的交点设为,得角的正切线.特别注意三角函数线是有向线段,在用字母表示这些线段时,要注意它们的方向,分清起点和终点,书写顺序不能颠倒.余弦线以原点为起点,正弦线和正切线以此线段与坐标轴的公共点为起点,其中点为定点(1,0).【说明】
①三条有向线段的位置正弦线为的终边与单位圆的交点到轴的垂直线段;余弦线在轴上;正切线在过单位圆与轴正方向的交点的切线上,三条有向线段中两条在单位圆内,一条在单位圆外
②三条有向线段的方向正弦线由垂足指向的终边与单位圆的交点;余弦线由原点指向垂足;正切线由切点指向与的终边的交点
③三条有向线段的正负三条有向线段凡与轴或轴同向的为正值,与轴或轴反向的为负值
④三条有向线段的书写有向线段的起点字母在前,终点字母在后面
三、质疑答辩,排难解惑,发展思维例
1.利用几何画板画出下列各角的正弦线、余弦线、正切线
(1);
(2);
(3);
(4).学生先做然后投影展示一学生的作品并强调三角函数线的位置和方向.例
2.利用三角函数线比较下列各组数的大小
(1)与
(2)tan与tan
(3)cot与cot解如图可知tantan,cotcot例3利用几何画板画出适合下列条件的角的终边的范围,并由此写出角的集合
(1);
(2)≤-.分析先作出满足,的角的终边,然后根据已知条件确定角终边的范围.(几何画板动态演示)答案
(1){}.
(2){}【延伸】通过
(1)、
(2)两图形的复合又可以得出不等式组的解集{}.观察角的终边在各位置的情形结合三角函数线和已学知识,你能发现什么规律得出哪些结论?请说明你的观点和理由,并发表于教育论坛学生得出的结论有以下几种1sin2+cos2=1;2│sin│+│cos│≥1;3-1≤sin≤1-1≤cos≤1tan∈R;4若两角终边互为反向延长线,则两角的正切值相等正弦、余弦值互为相反数;5当角的终边在第一象限逆时针旋转时,正弦、正切值逐渐增大,余弦值逐渐减小;6当角的终边在直线的右下方时sin<cos;当角的终边在直线的左上方时sin>cos【触类旁通】利用三角函数线写符合下列条件的角的集合
(1)
(2)
四、巩固深化,反馈矫正
1.利用三角函数线作出符合下列条件的角的终边,并写出这些角的集合
(1)
(2)
(3)
2.利用三角函数线作出符合下列条件的角的终边,并写出这些角的集合
(1)
(2)
五、归纳整理,整体认识1.三角函数线的定义;会画任意角的三角函数线2.利用单位圆比较三角函数值的大小,求角的范围
3.三角函数线的应用
六、承上启下,留下悬念1.作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线
(1);
(2);
(3);
(4);
(5)-45°2.利用单位圆写出符合下列条件的角的范围
(1);
(2);
(3)tan
(3);
(4)且;
(5)且.答案
(1);
(2);
(3);
(4);
(5).3.类比正切线的作法,你能作出余切线吗?4.结合三角函数线我们已经发现了一些很有价值的结论你还能得出哪些结论?请大家继续在论坛上交流.
5.查阅数学家欧拉的生平事迹了解他在数学方面的突出贡献谈谈你的学习感受并发表于论坛交流.
七、板书设计(略)
八、课后记gkxxOM(Ⅳ)(Ⅲ)(Ⅱ)(Ⅰ)ABoT2T1S2S1P2P1M2M1S1xyoP1P2。