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文本内容:
2019-2020年高中数学《向量的数量积》教案4苏教版必修4【三维目标】
一、知识与技能
1.掌握平面向量数量积运算规律,能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题.
2.掌握两个向量共线、垂直的几何判断,会证明两向量垂直,以及能解决一些简单问题
二、过程与方法
1.通过师生互动,学生自主探究、交流与合作培养学生探求新知及合作能力;
2.通过讲解例题,培养学生逻辑思维能力;
3.让学生充分经历,体验数量积的运算律以及解题的规律
三、情感、态度与价值观
1.让学生进一步领悟数形结合的思想;
2.让学生进一步理解向量的数量积,进一步激发学生学习数学的兴趣、积极性和勇于创新的精神.【教学重点与难点】重点运算律的理解和平面向量数量积的应用难点平面向量的数量积运算律的理解【学法与教学用具】
1.学法1自主性学习+探究式学习法2反馈练习法以练习来检验知识的应用情况,找出未掌握的内容及其存在的差距.
2.教学用具多媒体、实物投影仪.【授课类型】新授课【课时安排】1课时【教学思路】
一、创设情景,揭示课题【复习提问】
1.
(1)两个非零向量夹角的概念;
(2)平面向量数量积(内积)的定义;
(3)“投影”的概念;
(4)向量数量积的几何意义;
(5)两个向量的数量积的性质2.判断下列各题正确与否
①若,则对任一向量,有;√
②若,则对任一非零向量,有;×
③若,,则;×
④若,则至少有一个为零向量;×
⑤若,则当且仅当时成立;×
⑥对任意向量,有.√
二、研探新知
1.数量积的运算律(证明的过程可根据学生的实际水平决定)
(1)交换律证明设夹角为,则,,∴.
(2)数乘结合律证明若,此式显然成立.若,,,,∴若,,,.∴综上可知成立.
(3)分配律.在平面内取一点,作==,=,∵(即)在方向上的投影等于在方向上的投影和,即∴,∴即.【说明】
(1)一般地,·≠·(·)
(2)·=·,≠=
(3)有如下常用性质=||+=+2+(+)·(+)=·+·+·+·2向量的数量积不满足结合律分析若有()=(·),设、夹角为,、夹角为β,则=||·||cosα·,··=·||||cosβ,∴若=,α=β,则||=||,进而有()=·•,这是一种特殊情形,一般情况下不成立举反例如下已知||=1,||=1,||=,与夹角是60°,与夹角是45°,·=(||·||cos60°)·=,··=(||·||cos45°)=而≠,故()·≠·(·)
三、质疑答辩,排难解惑,发展思维例1已知都是非零向量,且与垂直,与垂直,求与的夹角解由题意可得
①
②两式相减得,代入
①或
②得,设的夹角为,则∴,即与的夹角为.例2求证平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和【举一反三】1用向量方法证明菱形对角线互相垂直证设====∵为菱形∴||=||∴•=+=22=||2||2=0∴,即菱形对角线互相垂直
2.如图,是的三条高,求证相交于一点变式用向量证明三角形的三条角平分线相交于一点例3四边形中,=,=,==,且·=·=·=·,试问四边形是什么图形例4设与是夹角为60°,且||||,是否存在满足条件的,,使|+|=2|-|?请说明理由
四、巩固深化,反馈矫正
1.已知||=1||=,
(1)-与垂直,则的夹角是______;
(2)若,;
(3)若、的夹角为,则|+|;
2.已知||=2||=1,与之间的夹角为,那么向量-4的模为_____;|-4|·|-|
3.设、是两个单位向量,其夹角为,求向量=2+与=2-3的夹角;
6.对于两个非零向量、,
(1)求使||最小时的值,并求此时与的夹角
(2)当的模取最小值时,
①求的值;
②求证与垂直解
(2)
①,∴当时最小;
②∵,∴与垂直
五、归纳整理,整体认识通过本节学习,要求大家掌握平面向量数量积的运算规律,掌握两个向量共线、垂直的几何判断,能利用数量积的5个重要性质解决相关问题.
六、承上启下,留下悬念1.向量的模分别为,的夹角为,求的模;2.设是两个不相等的非零向量,且,求与的夹角3.设,是相互垂直的单位向量,求.
4.预习向量数量积的坐标表示
七、板书设计(略)
八、课后记gkxx12ABOA1B1CABCDEFH。