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2019-2020年高中数学第一章坐标系
2.3直线和圆的极坐标方程学案北师大版选修1.曲线的极坐标方程1意义在极坐标系中,如果曲线C上的点与一个二元方程φρ,θ=0建立了如下的关系
①曲线C上的每个点的极坐标中至少有一组ρ,θ满足方程φρ,θ=0;
②极坐标满足方程φρ,θ=0的点都在曲线C上.那么方程φρ,θ=0叫作曲线C的极坐标方程,曲线C叫作极坐标方程φρ,θ=0的曲线.2求极坐标方程的步骤求曲线的极坐标方程通常有以下五个步骤
①建立适当的极坐标系;
②在曲线上任取一点Mρ,θ;
③根据曲线上的点所满足的条件写出等式;
④用极坐标ρ,θ表示上述等式,并化简得曲线的极坐标方程;
⑤证明所得的方程是曲线的极坐标方程.通常第
⑤步不必写出,只要对特殊点的坐标加以检验即可.2.常见直线和圆的极坐标方程曲线图形极坐标方程过极点,倾斜角为α的直线1θ=αρ∈R或θ=π+αρ∈R2θ=αρ≥0和θ=π+αρ≥0过点a0,与极轴垂直的直线ρcosθ=a过点a,,与极轴平行的直线ρsin_θ=a0θπ圆心在极点,半径为r的圆ρ=r0≤θ2π圆心为Cr0,半径为r的圆ρ=2rcos_θ圆心为Cr,,半径为r的圆ρ=2rsin_θ0≤θπ1.曲线的极坐标方程与直角坐标方程有何异同?提示由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,因此曲线的极坐标方程与直角坐标方程也有不同之处.一条曲线上点的极坐标有多组表示形式,这里要求至少有一组满足极坐标方程.有些表示形式可能不满足方程.例如,对极坐标方程ρ=θ,点M可以表示为或等多种形式,其中只有的形式满足方程,而其他表示形式都不满足方程.2.在极坐标系中,θ=-与tanθ=-1表示同一条直线吗?提示表示同一条直线.3.在极坐标系中,ρ=1或ρ=-1表示同一个圆吗?提示表示同一个圆.[对应学生用书P9]射线或直线的极坐标方程[例1] 求1过点A平行于极轴的直线的极坐标方程.2过点A且和极轴成角的直线的极坐标方程.[思路点拨] 本例主要考查直线的极坐标方程以及正弦定理等三角、平面几何知识,同时亦考查了数形结合思想,解答此题需要先设待求直线上任一点Mρ,θ,寻找到ρ,θ满足的几何等式,建立关于ρ,θ的方程,再化简即可.[精解详析] 1法一如图在直线l上任取一点Mρ,θ,在△OAM中|OA|=2,|OM|=ρ,∠OAM=π-,∠OMA=θ或π-θ.在△OAM中,由正弦定理得=,∴ρsinθ=.点A也满足上述方程.因此过点A平行于极轴的直线的极坐标方程为ρsinθ=.法二如图,在直线l上任取一点Mρ,θ,过M作MH⊥极轴于H点.∵A点坐标为,∴|MH|=2·sin=.在直角三角形MHO中,|MH|=|OM|sinθ,即ρsinθ=,点A也满足此方程.∴过点A平行于极轴的直线的极坐标方程为ρsinθ=.2如图,设Mρ,θ为直线l上一点.已知A,故|OA|=
3.∠AOB=,又已知∠MBx=,∴∠OAB=-=.又∠OMA=π-=+θ,在△MOA中,根据正弦定理得=,又sin=sin=sin=,将sin展开化简代入可得ρsinθ+cosθ=+,又点A也满足上述方程,所以过点A且和极轴成角的直线的极坐标方程为ρsinθ+cosθ=+.在极坐标系中,求直线的极坐标方程的一般思路在直线上设Mρ,θ为任意一点,连接OM;构造出含OM的三角形,再利用正弦定理求OM,即把OM用θ表示,即为直线的极坐标方程.若将本例2中点A变为20,变为,则直线的极坐标方程如何?解设Mρ,θ为直线上除A点以外的任意一点,连接OM,则在△AOM中,∠AOM=θ,∠AMO=-θ,∠OAM=π-,OM=ρ,由正弦定理可得=.∴=.∴ρ=.∴ρsincosθ-ρcossinθ=
1.化简得ρcosθ-ρsinθ=
2.经检验点20的坐标适合上述方程,所以满足条件的直线的极坐标方程为ρcosθ-sinθ=2,其中,0≤θρ≥0和≤θ2πρ≥
0.圆的极坐标方程[例2] 求圆心在A处并且过极点的圆的极坐标方程,并判断点是否在这个圆上.[思路点拨] 本题考查圆的极坐标方程及解三角形的知识,解答此题需要先设圆上任意一点Mρ,θ,建立等式转化为ρ,θ的方程,化简即可.[精解详析] 由题意知,圆经过极点O,OA为其一条直径,设Mρ,θ为圆上除点O,A以外的任意一点,则|OA|=2r,连接AM,则OM⊥MA,在Rt△OAM中,|OM|=|OA|cos∠AOM,即ρ=2rcos,∴ρ=-4sinθ.经验证,点O00,A的坐标满足上式.所以满足条件的圆的极坐标方程为ρ=-4sinθ.∵sin=,∴ρ=-4sinθ=-4sin=-2,∴点在此圆上.在极坐标系中,求圆的极坐标方程的一般思路在圆上设Mρ,θ为任意一点,连接OM,构造出含OM的三角形,再利用解直角三角形或解斜三角形的正弦、余弦定理求OM,即把OM用θ表示,从而得到圆的极坐标方程.1.求半径为1,圆心在点C的圆的极坐标方程.解设圆C上的任意一点为Mρ,θ,且O,C,M三点不共线,不妨设如图所示情况,在△OCM中,由余弦定理得|OM|2+|OC|2-2|OM|·|OC|cos∠=|CM|2,∴ρ2+9-6ρcos=
1.即ρ2-6ρcos+8=0,经检验知,当O,C,M三点共线时的点M的坐标也适合上式.当θ时,也满足该式,所以半径为1,圆心在C的圆的极坐标方程为ρ2-6ρcos+8=
0.求动点的轨迹的极坐标方程[例3] 设一个直角三角形的斜边长一定,求直角顶点轨迹的极坐标方程.[思路点拨] 本题考查极坐标系的建立、曲线的极坐标方程的一般求法及解三角形知识,解答此题需要按求曲线极坐标方程的五个步骤进行即可.[精解详析] 设直角三角形的斜边为OD,它的长度是2r,以O为极点,OD所在射线为极轴,建立极坐标系,如图所示.设Pρ,θ为轨迹上的一点,则OP=ρ,∠xOP=θ.在直角三角形ODP中,OP=OD·cosθ.∵OP=ρ,OD=2r,∴ρ=2rcosθρ≠0,ρ≠2r.这就是所求轨迹的方程.在极坐标系中求动点的轨迹的极坐标方程的方法与在直角坐标系中求动点的轨迹的直角坐标方程的方法和思路类似,只不过建立极坐标方程常常可以在一个三角形中实现ρ,θ的联系,找出这样的三角形成了解题的关键.2.O为已知圆O′外的定点,点M在圆O′上,以OM为边作正三角形OMN,当点M在圆O′上移动时,求点N的轨迹方程O,M,N按逆时针方向排列.解以O为极点,以O和已知圆圆心O′所在射线为极轴,建立极坐标系,如图,设|OO′|=ρ0,圆的半径为r,由余弦定理得圆O′ρ1,θ1的极坐标方程为ρ-2ρ0ρ1cosθ1+ρ-r2=
0.设Nρ,θ,Mρ2,θ2,∵点M在圆O′上,∴ρ-2ρ0ρ2cosθ2+ρ-r2=
0.
①∵△OMN为正三角形,∴即代入
①得ρ2-2ρ0ρcos+ρ-r2=0,这就是点N的轨迹方程.本课时常考查直线或圆的极坐标方程的求解,同时考查平面几何及解三角形知识.[考题印证]安徽高考在极坐标系中,圆ρ=2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为 A.θ=0ρ∈R和ρcosθ=2B.θ=ρ∈R和ρcosθ=2C.θ=ρ∈R和ρcosθ=1D.θ=0ρ∈R和ρcosθ=1[命题立意] 本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程之间的转化,圆的方程及其切线的求解.考查学生知识的转化能力、运算求解能力和转化应用意识.[自主尝试] 由ρ=2cosθ可得x2+y2=2x⇒x-12+y2=1,所以圆的圆心为10,半径为1,与x轴垂直的圆的切线方程分别是x=0,x=2,在以原点为极点的极坐标系中,与之对应的方程是θ=ρ∈R和ρcosθ=
2.[答案] B[对应学生用书P11]
一、选择题1.极坐标方程ρ=cos表示的曲线是 A.双曲线 B.椭圆C.抛物线D.圆解析选D ρ=cos=coscosθ+sinsinθ=cosθ+sinθ,∴ρ2=ρcosθ+ρsinθ,即x2+y2=x+y.化简整理,得2+2=,表示圆.2.江西高考若以直角坐标系的原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,则线段y=1-x0≤x≤1的极坐标方程为 A.ρ=,0≤θ≤B.ρ=,0≤θ≤C.ρ=cosθ+sinθ,0≤θ≤D.ρ=cosθ+sinθ,0≤θ≤解析选A 因为x=ρcosθ,y=ρsinθ,且y=1-x,所以ρsinθ=1-ρcosθ,所以ρsinθ+cosθ=1,ρ=.又0≤x≤1,所以0≤y≤1,所以点x,y都在第一象限及坐标轴的正半轴上,则0≤θ≤.3.圆ρ=2asinθ关于极轴对称的圆的方程为 A.ρ=2acosθB.ρ=-2acosθC.ρ=-2asinθD.ρ=2asinθ解析选C 法一根据对称规律,把代入原方程,可得原方程表示的曲线关于极轴对称的曲线方程.∴ρ=2asinθ关于极轴对称的曲线方程为ρ′=2asin-θ.即ρ=-2asinθ.法二因为圆ρ=2asinθ的圆心是,半径为a,该圆关于极轴对称的圆的圆心应为,半径仍为a,其方程应为ρ=2acos.即ρ=-2asinθ.4.过点A20,并且垂直于极轴的直线的极坐标方程是 A.ρcosθ=2B.ρsinθ=2C.ρcosθ=1D.ρsinθ=1解析选A 如图所示,设Mρ,θ为直线上除A20外的任意一点,连接OM,则有△AOM为直角三角形,并且∠AOM=θ,|OA|=2,|OM|=ρ,所以有|OM|cosθ=|OA|,即ρcosθ=2,显然当ρ=2,θ=0时,也满足方程ρcosθ=2,所以所求直线的极坐标方程为ρcosθ=
2.
二、填空题5.以C40为圆心,半径等于4的圆的极坐标方程为________.解析如图所示,由题设可知,这个圆经过极点,圆心在极轴上,设圆与极轴的另一个交点是A,在圆上任取一点Pρ,θ,连接OP,PA,在Rt△OPA中,|OA|=8,|OP|=ρ,∠AOP=θ,∴|OA|·cosθ=ρ,即8cosθ=ρ,即ρ=8cosθ就是圆C的极坐标方程.答案ρ=8cosθ6.点M的极坐标是,它关于直线θ=对称点的坐标是________.解析利用图形法,如图在极坐标中画出点M,它关于直线θ=的对称点为M′.答案或7.北京高考在极坐标系中,点到直线ρsinθ=2的距离等于________.解析由题意知,点的直角坐标是,1,直线ρsinθ=2的直角坐标方程是y=2,所以所求的点到直线的距离为
1.答案18.天津高考在以O为极点的极坐标系中,圆ρ=4sinθ和直线ρsinθ=a相交于A,B两点.若△AOB是等边三角形,则a的值为________.解析由于圆和直线的直角坐标方程分别为x2+y2=4y和y=a,它们相交于A,B两点,△AOB为等边三角形,所以不妨取直线OB的方程为y=x,联立消去y,得x2=x,解得x=或x=0,所以y=x=3,即a=
3.答案3
三、解答题9.从原点O引直线交直线2x+4y-1=0于点M,P为射线OM上一点,已知|OP|·|OM|=
1.求P点的轨迹的极坐标方程.解以O为极点,x轴正方向为极轴建立极坐标系,直线2x+4y-1=0的方程可化为2ρcosθ+4ρsinθ-1=0,设Mρ0,θ0,Pρ,θ,则2ρ0cosθ0+4ρ0sinθ0-1=
0.由知代入2ρ0cosθ0+4ρ0sinθ0-1=0,得2×cosθ+4×sinθ-1=0,整理,得ρ=2cosθ+4sinθ.所以P点的轨迹的极坐标方程为ρ=2cosθ+4sinθ.10.在极坐标系中,已知圆C的圆心为,半径为1,Q点在圆周上运动,O为极点.1求圆C的极坐标方程;2若P在直线OQ上运动,且满足=,求动点P的轨迹方程.解1设Qρ,θ为圆C上任意一点,如图,在△OCQ中,|OC|=3,|OQ|=ρ,|CQ|=1,∠COQ=,根据余弦定理,得1=ρ2+9-2·ρ·3·cos,化简整理,得ρ2-6ρcos+8=0为圆C的轨迹方程.2设Qρ1,θ1,则有ρ-6·ρ1cos+8=
0.
①设Pρ,θ,则OQ∶QP=ρ1∶ρ-ρ1=2∶3⇒ρ1=ρ,又θ1=θ,即代入
①得ρ2-6·ρcos+8=0,整理得ρ2-15ρcos+50=
0.这就是P点的轨迹方程.11.在极坐标系中,已知圆C经过点P,圆心为直线ρsin=-与极轴的交点,求圆C的极坐标方程.解在ρsin=-中令θ=0,得ρ=1,所以圆C的圆心坐标为10.因为圆C经过点P,所以圆C的半径PC==1,于是圆C过极点,所以圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ.。