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2019-2020年中考数学专题突破导练案第八讲方程组与不等式组试题【专题知识结构】【专题解题分析】本专题的主要考点有方程的解,解一元一次方程,一元一次方程的应用;二元一次方程组的解法,二元一次方程组的应用;一元二次方程的解法,一元二次方程的应用;解分式方程,分式方程的增根,分式方程的应用;不等式的性质,解一元一次不等式组,不等式组的特殊解.中考中对方程组与不等式组的考查基本以客观题形式呈现,题型多样,选择题、填空题、解答题都有考查;解决方程组与不等式组问题常用的数学思想就是转化思想;常用的数学方法有换元法,分类讨论法,整体代入法,设参数法等.【典型例题解析】例题1(xx浙江湖州)解方程=+1.【考点】B3解分式方程.【分析】方程两边都乘以x﹣1得出2=1+x﹣1,求出方程的解,再进行检验即可.【解答】解方程两边都乘以x﹣1得2=1+x﹣1,解得x=2,检验∵当x=2时,x﹣1≠0,∴x=2是原方程的解,即原方程的解为x=2.例题2(xx广东)学校团委组织志愿者到图书馆整理一批新进的图书.若男生每人整理30本,女生每人整理20本,共能整理680本;若男生每人整理50本,女生每人整理40本,共能整理1240本.求男生、女生志愿者各有多少人?【考点】9A二元一次方程组的应用.【分析】设男生志愿者有x人,女生志愿者有y人,根据“若男生每人整理30本,女生每人整理20本,共能整理680本;若男生每人整理50本,女生每人整理40本,共能整理1240本”,即可得出关于x、y的二元一次方程组,解之即可得出结论.【解答】解设男生志愿者有x人,女生志愿者有y人,根据题意得,解得.答男生志愿者有12人,女生志愿者有16人.例题3(xx浙江湖州)对于任意实数a,b,定义关于“⊗”的一种运算如下a⊗b=2a﹣b.例如5⊗2=2×5﹣2=8,(﹣3)⊗4=2×(﹣3)﹣4=﹣10.
(1)若3⊗x=﹣2011,求x的值;
(2)若x⊗3<5,求x的取值范围.【考点】C6解一元一次不等式;2C实数的运算;86解一元一次方程.【分析】
(1)根据新定义列出关于x的方程,解之可得;
(2)根据新定义列出关于x的一元一次不等式,解之可得.【解答】解
(1)根据题意,得2×3﹣x=﹣2011,解得x=xx;
(2)根据题意,得2x﹣3<5,解得x<4.例题4.(xx四川眉山)东坡某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次,第一档次(即最低档次)的产品每天生产76件,每件利润10元.调查表明生产提高一个档次的蛋糕产品,该产品每件利润增加2元.
(1)若生产的某批次蛋糕每件利润为14元,此批次蛋糕属第几档次产品;
(2)由于生产工序不同,蛋糕产品每提高一个档次,一天产量会减少4件.若生产的某档次产品一天的总利润为1080元,该烘焙店生产的是第几档次的产品?【考点】AD一元二次方程的应用.【分析】
(1)根据生产提高一个档次的蛋糕产品,该产品每件利润增加2元,即可求出每件利润为14元的蛋糕属第几档次产品;
(2)设烘焙店生产的是第x档次的产品,根据单件利润×销售数量=总利润,即可得出关于x的一元二次方程,解之即可得出结论.【解答】解
(1)(14﹣10)÷2+1=3(档次).答此批次蛋糕属第3档次产品.
(2)设烘焙店生产的是第x档次的产品,根据题意得(2x+8)×(76+4﹣4x)=1080,整理得x2﹣16x+55=0,解得x1=5,x2=11.答该烘焙店生产的是第5档次或第11档次的产品.例题5(xx四川南充)学校准备租用一批汽车,现有甲、乙两种大客车,甲种客车每辆载客量45人,乙种客车每辆载客量30人,已知1辆甲种客车和3辆乙种客车共需租金1240元,3辆甲种客车和2辆乙种客车共需租金1760元.
(1)求1辆甲种客车和1辆乙种客车的租金分别是多少元?
(2)学校计划租用甲、乙两种客车共8辆,送330名师生集体外出活动,最节省的租车费用是多少?【考点】C9一元一次不等式的应用;9A二元一次方程组的应用.【分析】
(1)可设1辆甲种客车的租金是x元,1辆乙种客车的租金是y元,根据等量关系
①1辆甲种客车和3辆乙种客车共需租金1240元,
②3辆甲种客车和2辆乙种客车共需租金1760元,列出方程组求解即可;
(2)由于求最节省的租车费用,可知租用甲种客车6辆,租用乙客车2辆,进而求解即可.【解答】解
(1)设1辆甲种客车的租金是x元,1辆乙种客车的租金是y元,依题意有,解得.故1辆甲种客车的租金是400元,1辆乙种客车的租金是280元;
(2)租用甲种客车6辆,租用乙客车2辆是最节省的租车费用,400×6+280×2=2400+560=2960(元).答最节省的租车费用是2960元.例题6(xx年贵州省安顺)某商场计划购进一批甲、乙两种玩具,已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元,用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同.
(1)求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元?
(2)商场计划购进甲、乙两种玩具共48件,其中甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数,商场决定此次进货的总资金不超过1000元,求商场共有几种进货方案?【考点】B7分式方程的应用;CE一元一次不等式组的应用.【分析】
(1)设甲种玩具进价x元/件,则乙种玩具进价为(40﹣x)元/件,根据已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元,用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同可列方程求解.
(2)设购进甲种玩具y件,则购进乙种玩具(48﹣y)件,根据甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数,商场决定此次进货的总资金不超过1000元,可列出不等式组求解.【解答】解设甲种玩具进价x元/件,则乙种玩具进价为(40﹣x)元/件,=x=15,经检验x=15是原方程的解.∴40﹣x=25.甲,乙两种玩具分别是15元/件,25元/件;
(2)设购进甲种玩具y件,则购进乙种玩具(48﹣y)件,,解得20≤y<24.因为y是整数,甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数,∴y取20,21,22,23,共有4种方案.【达标检测评估】
1、选择题
1.(xx年贵州省安顺)若关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根,则m的值可以是( )A.0B.﹣1C.2D.﹣3【考点】AA根的判别式.【分析】首先根据题意求得判别式△=m2﹣4>0,然后根据△>0⇔方程有两个不相等的实数根;求得答案.【解答】解∵a=1,b=m,c=1,∴△=b2﹣4ac=m2﹣4×1×1=m2﹣4,∵关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根,∴m2﹣4>0,则m的值可以是﹣3,故选D.
2.(xx广东)如果2是方程x2﹣3x+k=0的一个根,则常数k的值为( )A.1B.2C.﹣1D.﹣2【考点】A3一元二次方程的解.【分析】把x=2代入已知方程列出关于k的新方程,通过解方程来求k的值.【解答】解∵2是一元二次方程x2﹣3x+k=0的一个根,∴22﹣3×2+k=0,解得,k=2.故选B.
3.(xx浙江湖州)一元一次不等式组的解是( )A.x>﹣1B.x≤2C.﹣1<x≤2D.x>﹣1或x≤2【考点】CB解一元一次不等式组.【分析】分别求出每一个不等式的解集,根据口诀同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集.【解答】解解不等式2x>x﹣1,得x>﹣1,解不等式x≤1,得x≤2,则不等式组的解集为﹣1<x≤2,故选C.
4.(xx贵州黔东南)已知一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两根分别为x1,x2,则+的值为( )A.2B.﹣1C.D.﹣2【考点】AB根与系数的关系.【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2=2,x1x2=﹣1,利用通分得到+=,然后利用整体代入的方法计算【解答】解根据题意得x1+x2=2,x1x2=﹣1,所以+===﹣2.故选D.
2、填空题
5.(xx四川南充)如果=1,那么m= 2 .【考点】B3解分式方程.【分析】分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到m的值,经检验即可得到分式方程的解.【解答】解去分母得1=m﹣1,解得m=2,经检验m=2是分式方程的解,故答案为
26.(xx·辽宁丹东·3分)某公司今年4月份营业额为60万元,6月份营业额达到100万元,设该公司
5、6两个月营业额的月均增长率为x,则可列方程为 60(1+x)2=100 .【考点】由实际问题抽象出一元二次方程.【分析】设平均每月的增长率为x,根据4月份的营业额为60万元,6月份的营业额为100万元,分别表示出5,6月的营业额,即可列出方程.【解答】解设平均每月的增长率为x,根据题意可得60(1+x)2=100.故答案为60(1+x)2=100.
7.(xx·湖北黄石·3分)关于x的一元二次方程x2+2x﹣2m+1=0的两实数根之积为负,则实数m的取值范围是 m> .【分析】设x
1、x2为方程x2+2x﹣2m+1=0的两个实数根.由方程有实数根以及两根之积为负可得出关于m的一元一次不等式组,解不等式组即可得出结论.【解答】解设x
1、x2为方程x2+2x﹣2m+1=0的两个实数根,由已知得,即解得m>.故答案为m>.【点评】本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及解一元一次不等式,解题的关键是得出关于m的一元一次不等式组.本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,根据根的情况结合根的判别式以及根与系数的关系得出关于m的一元一次不等式组是关键.
8.(xx·四川宜宾)今年“五一”节,A、B两人到商场购物,A购3件甲商品和2件乙商品共支付16元,B购5件甲商品和3件乙商品共支付25元,求一件甲商品和一件乙商品各售多少元.设甲商品售价x元/件,乙商品售价y元/件,则可列出方程组 .【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组.【分析】分别利用“A购3件甲商品和2件乙商品共支付16元,B购5件甲商品和3件乙商品共支付25元”得出等式求出答案.【解答】解设甲商品售价x元/件,乙商品售价y元/件,则可列出方程组.故答案为.
3、解答题
9.(xx湖南怀化)解不等式组,并把它的解集在数轴上表示出来.【考点】CB解一元一次不等式组;C4在数轴上表示不等式的解集.【分析】首先解每个不等式,两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集.【解答】解解不等式
①,得x<3.解不等式
②,得x≥﹣1.所以,不等式组的解集是﹣1≤x<3.它的解集在数轴上表示出来为
10.(xx湖南怀化)为加强中小学生安全教育,某校组织了“防溺水”知识竞赛,对表现优异的班级进行奖励,学校购买了若干副乒乓球拍和羽毛球拍,购买2副乒乓球拍和1副羽毛球拍共需116元;购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需204元.
(1)求购买1副乒乓球拍和1副羽毛球拍各需多少元;
(2)若学校购买乒乓球拍和羽毛球拍共30幅,且支出不超过1480元,则最多能够购买多少副羽毛球拍?【考点】C9一元一次不等式的应用;9A二元一次方程组的应用.【分析】
(1)设购买一副乒乓球拍x元,一副羽毛球拍y元,由购买2副乒乓球拍和1副羽毛球拍共需116元,购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需204元,可得出方程组,解出即可.
(2)设可购买a副羽毛球拍,则购买乒乓球拍(30﹣a)副,根据购买足球和篮球的总费用不超过1480元建立不等式,求出其解即可.【解答】解
(1)设购买一副乒乓球拍x元,一副羽毛球拍y元,由题意得,,解得.答购买一副乒乓球拍28元,一副羽毛球拍60元.
(2)设可购买a副羽毛球拍,则购买乒乓球拍(30﹣a)副,由题意得,60a+28(30﹣a)≤1480,解得a≤20,答这所中学最多可购买20副羽毛球拍.
11.(xx四川南充)已知关于x的一元二次方程x2﹣(m﹣3)x﹣m=0
(1)求证方程有两个不相等的实数根;
(2)如果方程的两实根为x
1、x2,且x12+x22﹣x1x2=7,求m的值.【考点】AB根与系数的关系;AA根的判别式.【分析】
(1)要证明方程有两个不相等的实数根,只要证明原来的一元二次方程的△的值大于0即可;
(2)根据根与系数的关系可以得到关于m的方程,从而可以求得m的值.【解答】
(1)证明∵x2﹣(m﹣3)x﹣m=0,∴△=[﹣(m﹣3)]2﹣4×1×(﹣m)=m2﹣2m+9=(m﹣1)2+8>0,∴方程有两个不相等的实数根;
(2)∵x2﹣(m﹣3)x﹣m=0,方程的两实根为x
1、x2,且x12+x22﹣x1x2=7,∴,∴(m﹣3)2﹣3×(﹣m)=7,解得,m1=1,m2=2,即m的值是1或2.
12.(xx山东日照)某市为创建全国文明城市,开展“美化绿化城市”活动,计划经过若干年使城区绿化总面积新增360万平方米.自xx年初开始实施后,实际每年绿化面积是原计划的
1.6倍,这样可提前4年完成任务.
(1)问实际每年绿化面积多少万平方米?
(2)为加大创城力度,市政府决定从xx年起加快绿化速度,要求不超过2年完成,那么实际平均每年绿化面积至少还要增加多少万平方米?【考点】B7分式方程的应用;C9一元一次不等式的应用.【分析】
(1)设原计划每年绿化面积为x万平方米,则实际每年绿化面积为
1.6x万平方米.根据“实际每年绿化面积是原计划的
1.6倍,这样可提前4年完成任务”列出方程;
(2)设平均每年绿化面积增加a万平方米.则由“完成新增绿化面积不超过2年”列出不等式.【解答】解
(1)设原计划每年绿化面积为x万平方米,则实际每年绿化面积为
1.6x万平方米,根据题意,得﹣=4解得x=
33.75,经检验x=
33.75是原分式方程的解,则
1.6x=
1.6×
33.75=54(万平方米).答实际每年绿化面积为54万平方米;
(2)设平均每年绿化面积增加a万平方米,根据题意得54×2+2(54+a)≥360解得a≥72.答则至少每年平均增加72万平方米.。