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2019-2020年高考数学一轮复习第七篇不等式第2讲 一元二次不等式及其解法教案理新人教版【xx年高考会这样考】1.会从实际情景中抽象出一元二次不等式模型.2.考查一元二次不等式的解法及其“三个二次”间的关系问题.3.以函数、导数为载体,考查不等式的参数范围问题.【复习指导】1.结合“三个二次”之间的联系,掌握一元二次不等式的解法.2.熟练掌握分式不等式、无理不等式、含绝对值不等式、高次不等式、指数不等式和对数不等式的解法.基础梳理1.一元二次不等式的解法1将不等式的右边化为零,左边化为二次项系数大于零的不等式ax2+bx+c>0a>0或ax2+bx+c<0a>0.2求出相应的一元二次方程的根.3利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集.2.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表判别式Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0二次函数y=ax2+bx+ca>0的图象一元二次方程ax2+bx+c=0a>0的根有两相异实根x1,x2x1<x2有两相等实根x1=x2=-没有实数根ax2+bx+c>0a>0的解集{x|x>x2或x<x1}Rax2+bx+c<0a>0的解集{x|x1<x<x2}∅∅一个技巧一元二次不等式ax2+bx+c<0a≠0的解集的确定受a的符号、b2-4ac的符号的影响,且与相应的二次函数、一元二次方程有密切联系,可结合相应的函数y=ax2+bx+ca≠0的图象,数形结合求得不等式的解集.若一元二次不等式经过不等式的同解变形后,化为ax2+bx+c>0或<0其中a>0的形式,其对应的方程ax2+bx+c=0有两个不等实根x1,x2,x1<x2此时Δ=b2-4ac>0,则可根据“大于取两边,小于夹中间”求解集.两个防范1二次项系数中含有参数时,参数的符号影响不等式的解集;不要忘了二次项系数是否为零的情况;2解含参数的一元二次不等式,可先考虑因式分解,再对根的大小进行分类讨论;若不能因式分解,则可对判别式进行分类讨论,分类要不重不漏.双基自测1.人教A版教材习题改编不等式x2-3x+2<0的解集为 .A.-∞,-2∪-1,+∞B.-2,-1C.-∞,1∪2,+∞D.12解析 ∵x-1x-2<0,∴1<x<
2.故原不等式的解集为12.答案 D2.2011·广东不等式2x2-x-1>0的解集是 .A.B.1,+∞C.-∞,1∪2,+∞D.∪1,+∞解析 ∵2x2-x-1=x-12x+1>0,∴x>1或x<-.故原不等式的解集为∪1,+∞.答案 D3.不等式9x2+6x+1≤0的解集是 .A.B.C.D.R解析 ∵9x2+6x+1=3x+12≥0,∴9x2+6x+1≤0的解集为.答案 B4.xx·许昌模拟若不等式ax2+bx-2<0的解集为,则ab= .A.-28B.-26C.28D.26解析 ∵x=-2,是方程ax2+bx-2=0的两根,∴∴a=4,b=
7.∴ab=
28.答案 C5.不等式ax2+2ax+1≥0对一切x∈R恒成立,则实数a的取值范围为________.解析 当a=0时,不等式为1≥0恒成立;当a≠0时,须即∴0<a≤1,综上0≤a≤
1.答案
[01] 考向一 一元二次不等式的解法【例1】►已知函数fx=解不等式fx>
3.[审题视点]对x分x≥
0、x<0进行讨论从而把fx>3变成两个不等式组.解 由题意知或解得x>
1.故原不等式的解集为{x|x>1}.解一元二次不等式的一般步骤是1化为标准形式;2确定判别式Δ的符号;3若Δ≥0,则求出该不等式对应的二次方程的根,若Δ<0,则对应的二次方程无根;4结合二次函数的图象得出不等式的解集.特别地,若一元二次不等式的左边的二次三项式能分解因式,则可立即写出不等式的解集.【训练1】函数fx=+log33+2x-x2的定义域为________.解析 依题意知解得∴1≤x<
3.故函数fx的定义域为[13.答案 [13考向二 含参数的一元二次不等式的解法【例2】►求不等式12x2-ax>a2a∈R的解集.[审题视点]先求方程12x2-ax=a2的根,讨论根的大小,确定不等式的解集.解 ∵12x2-ax>a2,∴12x2-ax-a2>0,即4x+a3x-a>0,令4x+a3x-a=0,得x1=-,x2=.
①a>0时,-<,解集为;
②a=0时,x2>0,解集为{x|x∈R且x≠0};
③a<0时,->,解集为.综上所述当a>0时,不等式的解集为;当a=0时,不等式的解集为{x|x∈R且x≠0};当a<0时,不等式的解集为.解含参数的一元二次不等式的一般步骤1二次项若含有参数应讨论是等于0,小于0,还是大于0,然后将不等式转化为二次项系数为正的形式.2判断方程的根的个数,讨论判别式Δ与0的关系.3确定无根时可直接写出解集,确定方程有两个根时,要讨论两根的大小关系,从而确定解集形式.【训练2】解关于x的不等式1-ax2<
1.解 由1-ax2<1,得a2x2-2ax<0,即axax-2<0,当a=0时,x∈∅.当a>0时,由axax-2<0,得a2x<0,即0<x<.当a<0时,<x<
0.综上所述当a=0时,不等式解集为空集;当a>0时,不等式解集为;当a<0时,不等式解集为.考向三 不等式恒成立问题【例3】►已知不等式ax2+4x+a>1-2x2对一切实数x恒成立,求实数a的取值范围.[审题视点]化为标准形式ax2+bx+c>0后分a=0与a≠0讨论.当a≠0时,有解 原不等式等价于a+2x2+4x+a-1>0对一切实数恒成立,显然a=-2时,解集不是R,因此a≠-2,从而有整理,得所以所以a>
2.故a的取值范围是2,+∞.不等式ax2+bx+c>0的解是全体实数或恒成立的条件是当a=0时,b=0,c>0;当a≠0时,不等式ax2+bx+c<0的解是全体实数或恒成立的条件是当a=0时,b=0,c<0;当a≠0时,【训练3】已知fx=x2-2ax+2a∈R,当x∈[-1,+∞时,fx≥a恒成立,求a的取值范围.解 法一 fx=x-a2+2-a2,此二次函数图象的对称轴为x=a.
①当a∈-∞,-1时,fx在[-1,+∞上单调递增,fxmin=f-1=2a+
3.要使fx≥a恒成立,只需fxmin≥a,即2a+3≥a,解得-3≤a<-1;
②当a∈[-1,+∞时,fxmin=fa=2-a2,由2-a2≥a,解得-1≤a≤
1.综上所述,所求a的取值范围为[-31].法二 令gx=x2-2ax+2-a,由已知,得x2-2ax+2-a≥0在[-1,+∞上恒成立,即Δ=4a2-42-a≤0或解得-3≤a≤
1.所求a的取值范围是[-31]. 规范解答12——怎样求解含参数不等式的恒成立问题【问题研究】含参数的不等式恒成立问题越来越受高考的青睐,且由于新课标对导数应用的加强,这些不等式恒成立问题往往与导数问题交织在一起,在近年的高考试题中不难看出这个基本的命题趋势.对含有参数的不等式恒成立问题,破解的方法主要有分离参数法和函数性质法.【解决方案】解决这类问题的关键是将恒成立问题进行等价转化,使之转化为函数的最值问题.【示例】►本题满分14分2011·浙江设函数fx=x-a2lnx,a∈R.1若x=e为y=fx的极值点,求实数a;2求实数a的取值范围,使得对任意的x∈03e],恒有fx≤4e2成立.注e为自然对数的底数.本题对于1问的解答要注意对于结果的检验,因为f′x0=0,x0不一定是极值点;对于2问的解答可以采用分离参数求最值的方法进行突破,这样问题就转化为单边求最值,相对分类讨论求解要简单的多.[解答示范]1求导得f′x=2x-alnx+=x-a2lnx+1-.2分因为x=e是fx的极值点,所以f′e=e-a=0,解得a=e或a=3e.经检验,符合题意,所以a=e或a=3e.4分2
①当0<x≤1时,对于任意的实数a,恒有fx≤0<4e2成立.5分
②当1<x≤3e时,由题意,首先有f3e=3e-a2ln3e≤4e2,解得3e-≤a≤3e+6分由1知f′x=x-a.8分令hx=2lnx+1-,则h1=1-a<0,ha=2lna>0,且h3e=2ln3e+1-≥2ln3e+1-=2>
0.9分又hx在0,+∞内单调递增,所以函数hx在0,+∞内有唯一零点,记此零点为x0,则1<x0<3e1<x0<a.从而,当x∈0,x0时,f′x>0;当x∈x0,a时,f′x<0;当x∈a,+∞时,f′x>
0.即fx在0,x0内单调递增,在x0,a内单调递减,在a,+∞内单调递增.所以要使fx≤4e2对x∈13e]恒成立,只要成立.11分由hx0=2lnx0+1-=0,知a=2x0lnx0+x
0.3将3代入1得4xln3x0≤4e
2.又x0>1,注意到函数x2ln3x在1,+∞内单调递增,故1<x0≤e.再由3以及函数2xlnx+x在1,+∞内单调递增,可得1<a≤3e.由2解得,3e-≤a≤3e+.所以3e-≤a≤3e.13分综上,a的取值范围为3e-≤a≤3e.14分.本题考查函数极值的概念,导数的运算法则,导数的应用,不等式的基础知识,考查学生推理论证能力.分析问题,解决问题的能力.难度较大,做好此类题目,一要有信心,二要结合题意进行恰当地转化,化难为易,化陌生为熟悉.【试一试】设函数fx=ax3-3x+1,若对于任意x∈[-11],都有fx≥0成立,求实数a的值.[尝试解答] 1若x=0,则不论a取何值,fx=1>0恒成立.2若x>0,即x∈01]时,fx=ax3-3x+1≥0可化为a≥-.设gx=-,则g′x=,∴gx在区间上单调递增,在区间上单调递减.∴gxmax=g=4,从而a≥
4.3若x<0,即x∈[-10时,fx=ax3-3x+1≥0可化为a≤-.设hx=-,则h′x=,∴hx在[-10上单调递增.∴hxmin=h-1=4,从而a≤
4.综上所述,实数a的值为
4. 。