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2019-2020年高中数学第一讲坐标系四柱坐标系与球坐标系简介1柱坐标系学案含解析新人教A版柱坐标系1定义建立空间直角坐标系Oxyz,设P是空间任意一点,它在Oxy平面上的射影为Q,用ρ,θρ≥00≤θ<2π表示点Q在平面Oxy上的极坐标,这时点P的位置可用有序数组ρ,θ,zz∈R表示.这样,我们建立了空间的点与有序数组ρ,θ,z之间的一种对应关系.把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系,有序数组ρ,θ,z叫做点P的柱坐标,记作Pρ,θ,z,其中ρ≥00≤θ<2π,z∈R.2空间点P的直角坐标x,y,z与柱坐标ρ,θ,z之间的变换公式为 将直角坐标化为柱坐标 由公式求出ρ,再由tanθ=求θ. 由公式得ρ2=x2+y2,即ρ2=12+2=4,∴ρ=
2.tanθ==,又x0,y0,点在第一象限.∴θ=,∴点A的柱坐标为.已知点的直角坐标,确定它的柱坐标关键是确定ρ和θ,尤其是θ,要注意求出tanθ后,还要根据点所在象限确定θ的值θ的范围是 已知点P的柱坐标为,求它的直角坐标. 直接利用公式求解. 由变换公式得x=4cos=2,y=4sin=2,z=
8.∴点P的直角坐标为22,8.已知柱坐标,求直角坐标,利用变换公式即可.3.点N的柱坐标为,求它的直角坐标.解由变换公式得x=ρcosθ=2cos=0,y=ρsinθ=2sin=2,故点N的直角坐标为023.4.已知点A的柱坐标为1,π,2,B的柱坐标为,求A,B两点间距离.解由x=ρcosθ,得x=cosπ=-
1.由y=ρsinθ,得y=sinπ=
0.∴A点的直角坐标为-102.同理,B点的直角坐标为021.∴|AB|==.故A,B两点间的距离为.课时跟踪检测
五一、选择题1.设点M的直角坐标为1,-,2,则它的柱坐标是 A.B.C.D.解析选D ρ==2,tanθ=-,又x0,y0,M在第四象限,∴θ=,∴柱坐标是.2.点P的柱坐标为,则点P与原点的距离为 A.B.2C.4D.8解析选B 点P的直角坐标为4,4,2.∴它与原点的距离为=
2.3.空间点P的柱坐标为ρ,θ,z,关于点O000的对称点的坐标为0<θ≤π A.-ρ,-θ,-zB.-ρ,θ,-zC.ρ,π+θ,-zD.ρ,π-θ,-z答案C4.在直角坐标系中,111关于z轴对称点的柱坐标为 A.B.C.D.解析选C 111关于z轴的对称点为-1,-11,它的柱坐标为.
二、填空题5.设点Μ的柱坐标为,则点Μ的直角坐标为________.解析x=ρcosθ=2cos=.y=ρsinθ=2sin=
1.∴直角坐标为,17.答案,176.已知点M的直角坐标为105,则它的柱坐标为________.解析∵x>0,y=0,∴tanθ=0,θ=
0.ρ==
1.∴柱坐标为105.答案1057.在空间的柱坐标系中,方程ρ=2表示________.答案中心轴为z轴,底半径为2的圆柱面
三、解答题8.求点M113关于xOz平面对称点的柱坐标.解点M113关于xOz平面的对称点为1,-13.由变换公式得ρ2=12+-12=2,∴ρ=.tanθ==-1,又x>0,y<0,∴θ=.∴其关于xOz平面的对称点的柱坐标为.9.已知点M的柱坐标为,求M关于原点O对称的点的柱坐标.解M的直角坐标为∴M关于原点O的对称点的直角坐标为-1,-1,-1.∵ρ2=-12+-12=2,∴ρ=.tanθ==1,又x<0,y<0,∴θ=.∴其柱坐标为.∴点M关于原点O对称的点的柱坐标为.10.建立适当的柱坐标系表示棱长为3的正四面体各个顶点的坐标.解以正四面体的一个顶点B为极点O,选取以O为端点且与BD垂直的射线Ox为极轴,在平面BCD上建立极坐标系.过O点与平面BCD垂直的线为z轴.过A作AA′垂直于平面BCD,垂足为A′,则|BA′|=×=,|AA′|==,∠A′Bx=90°-30°=60°=,则A,B000,C,D.。