2019-2020年高中数学第一讲坐标系四柱坐标系与球坐标系简介2球坐标系学案含解析新人教A版

2019-2020年高中数学第一讲坐标系四柱坐标系与球坐标系简介2球坐标系学案含解析新人教A版球坐标系1定义建立空间直角坐标系Oxyz，设P是空间任意一点，连接OP，记|OP|＝r，OP与Oz轴正向所夹的角为φ.设P在Oxy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为θ.这样点P的位置就可以用有序数组r，φ，θ表示．这样，空间的点与有序数组r，φ，θ之间建立了一种对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系或空间极坐标系，有序数组r，φ，θ叫做点P的球坐标，记作Pr，φ，θ，其中r≥00≤φ≤π，0≤θ＜2π.2空间点P的直角坐标x，y，z与球坐标r，φ，θ之间的变换关系为　　　　　　　　　　将点的球坐标化为直角坐标　已知点P的球坐标为，求它的直角坐标．　直接套用变换公式求解．　由变换公式，得x＝rsinφcosθ＝4sincos＝

2.y＝rsinφsinθ＝4sinsin＝

2.z＝rcosφ＝4cos＝－

2.∴它的直角坐标为22，－2．已知球坐标求直角坐标，可根据变换公式直接求得，但要分清哪个角是φ，哪个角是θ.1．求下列各点的直角坐标1M；2N.解1由变换公式，得x＝rsinφcosθ＝2sincos＝，y＝rsinφsinθ＝2sinsin＝，z＝rcosφ＝2cos＝.∴它的直角坐标是.2由变换公式，得x＝rsinφcosθ＝2sincos＝－.y＝rsinφsinθ＝2sinsin＝－.z＝rcosφ＝2cos＝－.∴它的直角坐标为.2．将点M的球坐标π，π，π化成直角坐标．解∵r，φ，θ＝π，π，π，∴x＝rsinφcosθ＝0，y＝rsinφsinθ＝0，z＝rcosφ＝－π.∴点M的直角坐标为00，－π.　　　　　　　　　　将点的直角坐标化为球坐标　设点M的直角坐标为11，，求它的球坐标．　直接套用坐标变换公式求解．　由坐标变换公式，可得r＝＝＝

2.由rcosφ＝z＝，得cosφ＝＝，φ＝.又tanθ＝＝1，θ＝M在第一象限，从而知M点的球坐标为.由直角坐标化为球坐标时，我们可以先设点M的球坐标为r，φ，θ，再利用变换公式求出r，θ，φ代入点的球坐标即可；也可以利用r2＝x2＋y2＋z2，tanθ＝，cosφ＝.特别注意由直角坐标求球坐标时，θ和φ的取值应首先看清点所在的象限，准确取值，才能无误．3．求下列各点的球坐标1M1，，2；2N－11，－．解1r＝＝＝2，由z＝rcosφ，得cosφ＝＝＝.∴φ＝，又tanθ＝＝＝，x0，y0，∴θ＝，∴它的球坐标为.2由变换公式，得r＝＝＝

2.由z＝rcosφ，得cosφ＝＝－.∴φ＝.又tanθ＝＝＝－1，x＜0，y＞0，∴θ＝.∴它的球坐标为.课时跟踪检测

六一、选择题1．已知一个点的球坐标为，则它的方位角为　　A.B.C.D.解析选A　由球坐标的定义可知选A.2．设点M的柱坐标为，则它的球坐标为　　A.B.C.D.解析选B　设点M的直角坐标为x，y，z，故设点M的球坐标为ρ，φ，θ．则ρ＝＝2，由＝2cosφ知φ＝.又tanθ＝＝1，故θ＝，故点M的球坐标为.3．点P的球坐标为，则它的直角坐标为　　A．100B．－1，－10C．0，－10D．－100解析选D　x＝rsinφcosθ＝1·sin·cosπ＝－1，y＝rsinφsinθ＝1·sin·sinπ＝0，z＝rcosφ＝1·cos＝

0.∴它的直角坐标为－100．4．设点M的直角坐标为－1，－1，，则它的球坐标为　　A.B.C.D.解析选B　由坐标变换公式，得r＝＝2，cosφ＝＝，∴φ＝.∵tanθ＝＝＝1，∴θ＝.∴M的球坐标为.

二、填空题5．已知点M的球坐标为，则它的直角坐标为________，它的柱坐标是________．解析由坐标变换公式直接得直角坐标和柱坐标．答案－222　6．在球坐标系中，方程r＝1表示________．解析数形结合，根据球坐标的定义判断形状．答案球心在原点，半径为1的球面7．在球坐标系中A和B的距离为________．解析A，B两点化为直角坐标分别为A11，，B－11，－．∴|AB|＝＝

2.答案2

三、解答题8．将下列各点的球坐标化为直角坐标．1；

2.解1x＝4sincos＝2，y＝4sinsin＝－2，z＝4cos＝0，∴它的直角坐标为2，－2，0．2x＝8sincosπ＝－4，y＝8sinsinπ＝0，z＝8cos＝－4，∴它的直角坐标为－4，0，－4．9．如图，请你说出点M的球坐标．解由球坐标的定义，记|OM|＝R，OM与z轴正向所夹的角为φ，设M在Oxy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为θ.这样点M的位置就可以用有序数组R，φ，θ表示．∴点M的球坐标为MR，φ，θ．10．如图建立球坐标系，正四面体ABCD的棱长为1，求A，B，C，D的球坐标．其中O是△BCD的中心解∵O是△BCD的中心，∴OC＝OD＝OB＝，AO＝.∴C，D，B，A.。