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2019-2020年高中数学第一讲坐标系四柱坐标系与球坐标系简介2球坐标系学案含解析新人教A版球坐标系1定义建立空间直角坐标系Oxyz,设P是空间任意一点,连接OP,记|OP|=r,OP与Oz轴正向所夹的角为φ.设P在Oxy平面上的射影为Q,Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为θ.这样点P的位置就可以用有序数组r,φ,θ表示.这样,空间的点与有序数组r,φ,θ之间建立了一种对应关系.把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系或空间极坐标系,有序数组r,φ,θ叫做点P的球坐标,记作Pr,φ,θ,其中r≥00≤φ≤π,0≤θ<2π.2空间点P的直角坐标x,y,z与球坐标r,φ,θ之间的变换关系为 将点的球坐标化为直角坐标 已知点P的球坐标为,求它的直角坐标. 直接套用变换公式求解. 由变换公式,得x=rsinφcosθ=4sincos=
2.y=rsinφsinθ=4sinsin=
2.z=rcosφ=4cos=-
2.∴它的直角坐标为22,-2.已知球坐标求直角坐标,可根据变换公式直接求得,但要分清哪个角是φ,哪个角是θ.1.求下列各点的直角坐标1M;2N.解1由变换公式,得x=rsinφcosθ=2sincos=,y=rsinφsinθ=2sinsin=,z=rcosφ=2cos=.∴它的直角坐标是.2由变换公式,得x=rsinφcosθ=2sincos=-.y=rsinφsinθ=2sinsin=-.z=rcosφ=2cos=-.∴它的直角坐标为.2.将点M的球坐标π,π,π化成直角坐标.解∵r,φ,θ=π,π,π,∴x=rsinφcosθ=0,y=rsinφsinθ=0,z=rcosφ=-π.∴点M的直角坐标为00,-π. 将点的直角坐标化为球坐标 设点M的直角坐标为11,,求它的球坐标. 直接套用坐标变换公式求解. 由坐标变换公式,可得r===
2.由rcosφ=z=,得cosφ==,φ=.又tanθ==1,θ=M在第一象限,从而知M点的球坐标为.由直角坐标化为球坐标时,我们可以先设点M的球坐标为r,φ,θ,再利用变换公式求出r,θ,φ代入点的球坐标即可;也可以利用r2=x2+y2+z2,tanθ=,cosφ=.特别注意由直角坐标求球坐标时,θ和φ的取值应首先看清点所在的象限,准确取值,才能无误.3.求下列各点的球坐标1M1,,2;2N-11,-.解1r===2,由z=rcosφ,得cosφ===.∴φ=,又tanθ===,x0,y0,∴θ=,∴它的球坐标为.2由变换公式,得r===
2.由z=rcosφ,得cosφ==-.∴φ=.又tanθ===-1,x<0,y>0,∴θ=.∴它的球坐标为.课时跟踪检测
六一、选择题1.已知一个点的球坐标为,则它的方位角为 A.B.C.D.解析选A 由球坐标的定义可知选A.2.设点M的柱坐标为,则它的球坐标为 A.B.C.D.解析选B 设点M的直角坐标为x,y,z,故设点M的球坐标为ρ,φ,θ.则ρ==2,由=2cosφ知φ=.又tanθ==1,故θ=,故点M的球坐标为.3.点P的球坐标为,则它的直角坐标为 A.100B.-1,-10C.0,-10D.-100解析选D x=rsinφcosθ=1·sin·cosπ=-1,y=rsinφsinθ=1·sin·sinπ=0,z=rcosφ=1·cos=
0.∴它的直角坐标为-100.4.设点M的直角坐标为-1,-1,,则它的球坐标为 A.B.C.D.解析选B 由坐标变换公式,得r==2,cosφ==,∴φ=.∵tanθ===1,∴θ=.∴M的球坐标为.
二、填空题5.已知点M的球坐标为,则它的直角坐标为________,它的柱坐标是________.解析由坐标变换公式直接得直角坐标和柱坐标.答案-222 6.在球坐标系中,方程r=1表示________.解析数形结合,根据球坐标的定义判断形状.答案球心在原点,半径为1的球面7.在球坐标系中A和B的距离为________.解析A,B两点化为直角坐标分别为A11,,B-11,-.∴|AB|==
2.答案2
三、解答题8.将下列各点的球坐标化为直角坐标.1;
2.解1x=4sincos=2,y=4sinsin=-2,z=4cos=0,∴它的直角坐标为2,-2,0.2x=8sincosπ=-4,y=8sinsinπ=0,z=8cos=-4,∴它的直角坐标为-4,0,-4.9.如图,请你说出点M的球坐标.解由球坐标的定义,记|OM|=R,OM与z轴正向所夹的角为φ,设M在Oxy平面上的射影为Q,Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为θ.这样点M的位置就可以用有序数组R,φ,θ表示.∴点M的球坐标为MR,φ,θ.10.如图建立球坐标系,正四面体ABCD的棱长为1,求A,B,C,D的球坐标.其中O是△BCD的中心解∵O是△BCD的中心,∴OC=OD=OB=,AO=.∴C,D,B,A.。