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2019-2020年高考数学大一轮复习精品讲义第六章不等式、推理与证明(含解析)基础盘查一 两个实数比较大小的方法一循纲忆知1.了解现实世界和日常生活中的不等关系;2.了解不等式组的实际背景.二小题查验判断正误1不等关系是通过不等式来体现的,离开了不等式,不等关系就无从体现 2两个实数a,b之间,有且只有a>b,a=b,a<b三种关系中的一种 3若>1,则a>b 答案1√ 2√ 3×基础盘查二 不等式的基本性质一循纲忆知掌握不等式的性质及应用.二小题查验1.判断正误1一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数,不等号方向不变 2一个非零实数越大,则其倒数就越小 3同向不等式具有可加和可乘性 4a>b>0,c>d>0⇒> 5若ab>0,则a>b⇔<答案1× 2× 3× 4√ 5√2.人教A版教材习题改编用不等号“>”或“<”填空1a>b,c<d⇒a-c________b-d;2a>b>0,c<d<0⇒ac________bd;3a>b>0⇒________;4a>b>0⇒________.答案1> 2< 3> 4<[必备知识]两个实数比较大小的法则关系法则作差法则作商法则a>ba-b>0>1a,b>0或<1a,b<0a=ba-b=0=1b≠0a<ba-b<0<1a,b>0或>1a,b<0[题组练透]1.已知a1,a2∈01,记M=a1a2,N=a1+a2-1,则M与N的大小关系是 A.MN B.MNC.M=ND.不确定解析选B M-N=a1a2-a1+a2-1=a1a2-a1-a2+1=a1a2-1-a2-1=a1-1a2-1,又∵a1∈01,a2∈01,∴a1-10,a2-
10.∴a1-1a2-10,即M-N
0.∴MN.
2.若a=,b=,则a____b填“>”或“<”.解析易知a,b都是正数,==log89>1,所以b>a.答案<3.若实数a≠1,比较a+2与的大小.解∵a+2-==.∴当a1时,a+2;当a1时,a+
2.[类题通法]比较两个数式大小的两种方法1比较大小时,要把各种可能的情况都考虑进去,对不确定的因素需进行分类讨论,每一步运算都要准确,每一步推理都要有充分的依据.2用作商法比较代数式的大小一般适用于分式、指数式、对数式,作商只是思路,关键是化简变形,从而使结果能够与1比较大小.重点保分型考点——师生共研[必备知识]1.不等式的基本性质1对称性ab⇔ba.2传递性ab,bc⇒ac.3可加性ab⇒a+cb+c.4可乘性ab,c0⇒acbc;ab,c0⇒acbc.5加法法则ab,cd⇒a+cb+d.6乘法法则ab0,cd0⇒acbd.7乘方法则ab0⇒anbnn∈N,n≥2.8开方法则ab0⇒n∈N,n≥2.2.不等式的倒数性质1ab,ab0⇒.2a0b⇒.3ab00cd⇒.[提醒] 不等式两边同乘数c时,要特别注意“乘数c的符号”.[典题例析]1.xx·天津高考设a,b∈R则“a-b·a20”是“ab”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析选A a-b·a2<0,则必有a-b<0,即a<b;而a<b时,不能推出a-b·a2<0,如a=0,b=1,所以“a-b·a2<0”是“a<b”的充分而不必要条件.2.xx·西宁二模已知a,b,c∈R,那么下列命题中正确的是 A.若a>b,则ac2>bc2B.若>,则a>bC.若a3>b3且ab<0,则>D.若a2>b2且ab>0,则<解析选C 当c=0时,可知A不正确;当c<0时,可知B不正确;由a3>b3且ab<0知a>0且b<0,所以>成立,C正确;当a<0且b<0时,可知D不正确.[类题通法]1判断不等式是否成立,需要逐一给出推理判断或反例说明.常用的推理判断需要利用不等式的性质.2在判断一个关于不等式的命题真假时,先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑,找到与命题相近的性质,并应用性质判断命题真假,当然判断的同时还要用到其他知识,比如对数函数,指数函数的性质等.[演练冲关]1.若ab0,则下列不等式不成立的是 A.B.|a||b|C.a+b2D.ab解析选C ∵ab0,∴,且|a||b|,a+b2,又2a2b,∴ab,选C.2.若a>0>b>-a,c<d<0,则下列结论
①ad>bc;
②+<0;
③a-c>b-d;
④ad-c>bd-c中成立的个数是 A.1B.2C.3D.4解析选C 法一∵a>0>b,c<d<0,∴ad<0,bc>0,∴ad<bc,故
①错误.∵a>0>b>-a,∴a>-b>0,∵c<d<0,∴-c>-d>0,∴a-c>-b-d,∴ac+bd<0,∴+=<0,故
②正确.∵c<d,∴-c>-d,∵a>b,∴a+-c>b+-d,a-c>b-d,故
③正确.∵a>b,d-c>0,∴ad-c>bd-c,故
④正确,故选C.法二取特殊值.题点多变型考点——全面发掘[一题多变][典型母题]已知函数fx=ax2+bx,且1≤f-1≤2,2≤f1≤
4.求f-2的取值范围.[解] f-1=a-b,f1=a+b.f-2=4a-2b.设ma+b+na-b=4a-2b.则解得∴f-2=a+b+3a-b=f1+3f-1.∵1≤f-1≤22≤f1≤4,∴5≤f-2≤
10.即f-2的取值范围为
[510].[题点发散1] 若本例中条件变为已知函数fx=ax2+bx,且1f-1≤22≤f14,求f-2的取值范围.解由本例知f-2=f1+3f-1.又∵1f-1≤22≤f14,∴53f-1+f110,故5f-
210.故f-2的取值范围为510.[题点发散2] 若本例条件不变,求2a-3b的取值范围.解设2a-3b=ma+b+na-b则由待定系数法可得解得所以2a-3b=-a+b+a-b=-f1+f-1∵1≤f-1≤22≤f1≤4,∴-2≤-f1≤-1,≤f-1≤5,∴≤2a-3b≤
4.故2a-3b的取值范围为.[类题通法]利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围,但应注意两点一是必须严格运用不等式的性质;二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围.解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系,最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围.
一、选择题1.设a,b∈[0,+∞,A=+,B=,则A,B的大小关系是 A.A≤B B.A≥BC.A<BD.A>B解析选B 由题意得,B2-A2=-2≤0,且A≥0,B≥0,可得A≥B,故选B.2.若m<0,n>0且m+n<0,则下列不等式中成立的是 A.-n<m<n<-mB.-n<m<-m<nC.m<-n<-m<nD.m<-n<n<-m解析选D 法一取特殊值法令m=-3,n=2分别代入各选项检验即可.法二m+n<0⇒m<-n⇒n<-m,又由于m<0<n,故m<-n<n<-m成立.3.xx·西安检测设α∈,β∈,那么2α-的取值范围是 A.B.C.0,πD.解析选D 由题设得0<2α<π,0≤≤,∴-≤-≤0,∴-<2α-<π.4.在所给的四个条件
①b0a;
②0ab;
③a0b;
④ab0中,能推出成立的有 A.1个B.2个C.3个D.4个解析选C 成立,即0成立,逐个验证可得,
①②④满足题意.5.若0,则下列结论不正确的是 A.a2b2B.abb2C.a+b0D.|a|+|b||a+b|解析选D ∵0,∴0ab.∴a2b2,abb2,a+b0,|a|+|b|=|a+b|.6.xx·北京平谷模拟已知a,b,c,d均为实数,有下列命题
①若ab>0,bc-ad>0,则->0;
②若ab>0,->0,则bc-ad>0;
③若bc-ad>0,->0,则ab>
0.其中正确命题的个数是 A.0B.1C.2D.3解析选D ∵ab>0,bc-ad>0,∴-=>0,∴
①正确;∵ab>0,又->0,即>0,∴bc-ad>0,∴
②正确;∵bc-ad>0,又->0,即>0,∴ab>0,∴
③正确.故选D.
二、填空题7.已知a,b,c∈R,有以下命题
①若ab,则ac2bc2;
②若ac2bc2,则ab;
③若ab,则a·2cb·2c.其中正确命题的序号是__________.解析
①若c=0则命题不成立.
②正确.
③中由2c0知成立.答案
②③8.若1<α<3,-4<β<2,则α-|β|的取值范围是________.解析∵-4<β<2,∴0≤|β|<
4.∴-4<-|β|≤
0.∴-3<α-|β|<
3.答案-339.已知a+b>0,则+与+的大小关系是________.解析+-=+=a-b·=.∵a+b>0,a-b2≥0,∴≥
0.∴+≥+.答案+≥+10.已知存在实数a满足ab2aab,则实数b的取值范围是________.解析∵ab2aab,∴a≠0,当a0时,有b21b,即解得b-1;当a0时,有b21b,即无解.综上可得b-
1.答案-∞,-1
三、解答题11.若a>b>0,c<d<0,e<
0.求证>.证明∵c<d<0,∴-c>-d>
0.又∵a>b>0,∴a-c>b-d>
0.∴a-c2>b-d2>
0.∴0<<.又∵e<0,∴>.12.某单位组织职工去某地参观学习需包车前往.甲车队说“如果领队买一张全票,其余人可享受
7.5折优惠.”乙车队说“你们属团体票,按原价的8折优惠.”这两个车队的原价、车型都是一样的,试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠.解设该单位职工有n人n∈N*,全票价为x元,坐甲车需花y1元,坐乙车需花y2元,则y1=x+x·n-1=x+xn,y2=nx.所以y1-y2=x+xn-nx=x-nx=x.当n=5时,y1=y2;当n>5时,y1<y2;当n<5时,y1>y
2.因此当单位去的人数为5人时,两车队收费相同;多于5人时,甲车队更优惠;少于5人时,乙车队更优惠.第二节一元二次不等式及其解法基础盘查 一元二次不等式一循纲忆知1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型;2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系;3.会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图.二小题查验1.判断正误1不等式ax2+x-1>0一定是一元二次不等式 2一元二次不等式ax2+bx+c>0a>0的解集就是二次函数y=ax2+bx+ca>0的图象在x轴上方时点的横坐标x的集合 3一元二次不等式ax2+bx+c>0a>0的解集为R时,ax2+bx+c>0恒成立 4若一元二次方程ax2+bx+c=0的解是x1,x2,且x1<x2,则ax2+bx+c>0的解集为 答案1× 2√ 3√ 4×2.不等式组的解集是 A.23 B.∪23C.∪3,+∞D.-∞,1∪2,+∞解析选B ∵x2-4x+30,∴1x
3.又∵2x2-7x+60,∴x-22x-30,∴x或x2,∴原不等式组的解集为∪23.3.人教A版教材例题改编不等式-x2+2x-3>0的解集为________.答案∅4.已知集合A=,集合B={x∈R|x-mx-2<0},且A∩B=-1,n,则m=________,n=________.答案-1 1基础送分型考点——自主练透[必备知识]设一元二次不等式为ax2+bx+c>0a≠0,其中Δ=b2-4ac,x1,x2是方程ax2+bx+c=0a≠0的两个根且x1<x
2.1当a>0时,若Δ>0,则不等式的解集为{x|x<x1,或x>x2};若Δ=0,则不等式的解集为;若Δ<0,则不等式的解集为R.2当a<0时,若Δ>0,则不等式的解集为{x|x1<x<x2};若Δ=0,则不等式的解集为∅;若Δ<0,则不等式的解集为∅.[题组练透]1.已知不等式x2-2x-3<0的解集为A,不等式x2+x-6<0的解集为B,不等式x2+ax+b<0的解集为A∩B,则a+b等于 A.-3 B.1C.-1D.3解析选A 由题意得,A={x|-1<x<3},B={x|-3<x<2},∴A∩B={x|-1<x<2},由根与系数的关系可知,a=-1,b=-2,则a+b=-3,故选A.2.解下列不等式1-3x2-2x+8≥0;20<x2-x-2≤4;3x2-4ax-5a2>0a≠0.解1原不等式可化为3x2+2x-8≤0,即3x-4x+2≤
0.解得-2≤x≤,所以原不等式的解集为.2原不等式等价于⇔⇔⇔借助于数轴,如图所示,原不等式的解集为.3由x2-4ax-5a2>0知x-5ax+a>
0.由于a≠0故分a>0与a<0讨论.当a<0时,x<5a或x>-a;当a>0时,x<-a或x>5a.综上,a<0时,解集为;a>0时,解集为.[类题通法]1.解一元二次不等式的一般步骤1化把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式.2判计算对应方程的判别式.3求求出对应的一元二次方程的根,或根据判别式说明方程有没有实根.4写利用“大于取两边,小于取中间”写出不等式的解集.2.解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据1二次项中若含有参数应讨论是等于0,小于0,还是大于0,然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式.2当不等式对应方程的根的个数不确定时,讨论判别式Δ与0的关系.3确定无根时可直接写出解集,确定方程有两个根时,要讨论两根的大小关系,从而确定解集形式.[提醒] 当不等式中二次项的系数含有参数时,不要忘记讨论其等于0的情况.常考常新型考点——多角探明[必备知识]一元二次不等式恒成立的条件1不等式ax2+bx+c0对任意实数x恒成立⇔或2不等式ax2+bx+c0对任意实数x恒成立⇔或[多角探明]一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系.在解决具体的数学问题时,要注意三者之间的相互联系,并在一定条件下相互转换.对于一元二次不等式恒成立问题,常根据二次函数图象与x轴的交点情况确定判别式的符号,进而求出参数的取值范围. 归纳起来常见的命题角度有1形如fx≥0x∈R确定参数的范围;2形如fx≥0x∈[a,b]确定参数范围;3形如fx≥0参数m∈[a,b]确定x的范围.角度一形如fx≥0x∈R确定参数的范围1.已知不等式mx2-2x-m+1<0,是否存在实数m对所有的实数x,不等式恒成立?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.解不等式mx2-2x-m+1<0恒成立,即函数fx=mx2-2x-m+1的图象全部在x轴下方.当m=0时,1-2x<0,则x>,不满足题意;当m≠0时,函数fx=mx2-2x-m+1为二次函数,需满足开口向下且方程mx2-2x-m+1=0无解,即不等式组的解集为空集,即m无解.综上可知不存在这样的m.角度二形如fx≥0x∈[a,b]确定参数范围2.设函数fx=mx2-mx-1m≠0,若对于x∈
[13],fx<-m+5恒成立,求m的取值范围.解要使fx<-m+5在
[13]上恒成立,则mx2-mx+m-6<0,即m2+m-6<0在x∈
[13]上恒成立.有以下两种方法法一令gx=m2+m-6,x∈
[13].当m>0时,gx在
[13]上是增函数,所以gxmax=g3=7m-6<
0.所以m<,则0<m<.当m<0时,gx在
[13]上是减函数,所以gxmax=g1=m-6<
0.所以m<
6.所以m<
0.综上所述,m的取值范围是.法二因为x2-x+1=2+>0,又因为mx2-x+1-6<0,所以m<.因为函数y==在
[13]上的最小值为,所以只需m<即可.因为m≠0,所以m的取值范围是.角度三形如fx≥0参数m∈[a,b]确定x的范围3.对任意m∈[-11],函数fx=x2+m-4x+4-2m的值恒大于零,求x的取值范围.解由fx=x2+m-4x+4-2m=x-2m+x2-4x+4,令gm=x-2m+x2-4x+
4.由题意知在[-11]上,gm的值恒大于零,∴解得x1或x
3.故当x1或x3时,对任意的m∈[-11],函数fx的值恒大于零.[类题通法]恒成立问题及二次不等式恒成立的条件1解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元,谁是参数.一般地,知道谁的范围,就选谁当主元,求谁的范围,谁就是参数.2对于二次不等式恒成立问题,恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方;恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方.重点保分型考点——师生共研[典题例析]甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品生产条件要求1≤x≤10,每小时可获得利润是100元.1要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元,求x的取值范围;2要使生产900千克该产品获得的利润最大,问甲厂应该选取何种生产速度?并求最大利润.解1根据题意,200≥3000,整理得5x-14-≥0,即5x2-14x-3≥0,又1≤x≤10,可解得3≤x≤
10.即要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元,x的取值范围是
[310].2设利润为y元,则y=·100=9×104=9×104,故x=6时,ymax=457500元.即甲厂以6千克/小时的生产速度生产900千克该产品获得的利润最大,最大利润为457500元.[类题通法]求解不等式应用题的四个步骤1阅读理解,认真审题,把握问题中的关键量,找准不等关系.2引进数学符号,将文字信息转化为符号语言,用不等式表示不等关系,建立相应的数学模型.3解不等式,得出数学结论,要注意数学模型中自变量的实际意义.4回归实际问题,将数学结论还原为实际问题的结果.[演练冲关]某商品每件成本价为80元,售价为100元,每天售出100件.若售价降低x成1成=10%,售出商品数量就增加x成要求售价不能低于成本价.1设该商店一天的营业额为y,试求y与x之间的函数关系式y=fx,并写出定义域;2若要求该商品一天营业额至少为10260元,求x的取值范围.解1由题意得y=100·100=2010-x50+8x因为售价不能低于成本价,所以100-80≥0,解得x≤
2.所以y=fx=2010-x50+8x,定义域为
[02].2由题意得2010-x50+8x≥10260,化简得8x2-30x+13≤
0.解得≤x≤.所以x的取值范围是.
一、选择题1.xx·大纲卷不等式组的解集为 A.{x|-2x-1} B.{x|-1x0}C.{x|0x1}D.{x|x1}解析选C 解xx+20,得x-2或x0;解|x|1,得-1x
1.因为不等式组的解集为两个不等式解集的交集,即解集为{x|0x1},故选C.2.不等式≤x-2的解集是 A.-∞,0]∪24]B.[02∪[4,+∞C.[24D.-∞,2]∪4,+∞解析选B
①当x-20,即x2时,不等式可化为x-22≥4,∴x≥4;
②当x-20,即x2时,不等式可化为x-22≤4,∴0≤x
2.3.已知fx=ax2-x-c,不等式fx>0的解集为{x|-2<x<1},则函数y=f-x的图象为 解析选B 由根与系数的关系知=-2+1,-=-2,得a=-1,c=-
2.f-x=-x2+x+2的图象开口向下,顶点坐标为.故选B.4.如果关于x的不等式5x2-a≤0的正整数解是1234,那么实数a的取值范围是 A.[80125B.80125C.-∞,80D.125,+∞解析选A 由5x2-a≤0,得-≤x≤,而正整数解是1234,则4≤<5,∴80≤a<
125.故选A.5.某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售,每天可销售100件,现准备采用提高售价来增加利润.已知这种商品每件销售价提高1元,销售量就要减少10件.那么要保证每天所赚的利润在320元以上,销售价每件应定为 A.12元B.16元C.12元到16元之间D.10元到14元之间解析选C 设销售价定为每件x元,利润为y,则y=x-8[100-10x-10],依题意有,x-8[100-10x-10]>320,即x2-28x+192<0,解得12<x<16,所以每件销售价应为12元到16元之间.故选C.6.若不等式x2+ax-20在区间
[15]上有解,则a的取值范围是 A.B.C.1,+∞D.解析选A 由Δ=a2+80,知方程恒有两个不等实根,又知两根之积为负,所以方程必有一正根、一负根.于是不等式在区间
[15]上有解的充要条件是f5>0,解得a>-,故a的取值范围为,
二、填空题7.不等式|xx-2|xx-2的解集是________.解析不等式|xx-2|xx-2的解集即xx-20的解集,解得0x
2.答案{x|0x2}8.若不等式1-ax2-4x+6>0的解集是{x|-3<x<1},则a的值为________.解析∵1-ax2-4x+6>0的解集是{x|-3<x<1},∴1-a<0,即a>
1.于是原不等式可化为a-1x2+4x-6<0,a-1>0,其解集为{x|-3<x<1}.则方程a-1x2+4x-6=0的两根为-3和
1.由解得a=
3.答案39.某种产品的总成本y万元与产量x台之间的函数关系式是y=3000+20x-
0.1x2,x∈0240,若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本时的最低产量是________台.解析由题意知3000+20x-
0.1x2-25x≤0,即
0.1x2+5x-3000≥0,∴x2+50x-30000≥0,∴x-150x+200≥
0.又x∈0240,∴150≤x<240,即生产者不亏本时的最低产量为150台.答案15010.xx·重庆高考设0≤α≤π,不等式8x2-8sinαx+cos2α≥0对x∈R恒成立,则α的取值范围为________.解析根据题意可得8sinα2-4×8cos2α≤0,即2sin2α-cos2α≤0,2sin2α-1-2sin2α≤0,即-≤sinα≤.因为0≤α≤π,故α∈0,∪,π.答案0,∪,π
三、解答题11.已知函数fx=的定义域为R.1求a的取值范围;2若函数fx的最小值为,解关于x的不等式x2-x-a2-a<
0.解1∵函数fx=的定义域为R,∴ax2+2ax+1≥0恒成立,当a=0时,1≥0恒成立.当a≠0时,则有解得0<a≤1,综上可知,a的取值范围是
[01].2∵fx==∵a>0,∴当x=-1时,fxmin=,由题意得,=,∴a=,∴不等式x2-x-a2-a<0可化为x2-x-<
0.解得-<x<,所以不等式的解集为.12.设二次函数fx=ax2+bx+c,函数Fx=fx-x的两个零点为m,nm<n.1若m=-1,n=2,求不等式Fx>0的解集;2若a>0,且0<x<m<n<,比较fx与m的大小.解1由题意知,Fx=fx-x=ax-mx-n,当m=-1,n=2时,不等式Fx>0,即ax+1x-2>
0.那么当a>0时,不等式Fx>0的解集为{x|x<-1或x>2};当a<0时,不等式Fx>0的解集为{x|-1<x<2}.2由函数Fx=fx-x的两个零点为m,n,得fx-m=ax-mx-n+x-m=x-max-an+1,∵a>0,且0<x<m<n<,∴x-m<01-an+ax>
0.∴fx-m<0,即fx<m.第三节二元一次不等式组及简单的线性规划问题基础盘查一 二元一次不等式组表示的平面区域一循纲忆知1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组;2.了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组.二小题查验1.判断正误1二元一次不等式的解是由x和y两部分构成的有序实数对x,y 2二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的交集 3原点能判断二元一次不等式Ax+By+C>0所表示的平面区域 4不等式Ax+By+C>0表示的平面区域一定在直线Ax+By+C=0的上方 5点x1,y1,x2,y2在直线Ax+By+C=0同侧的充要条件是Ax1+By1+CAx2+By2+C>0,异侧的充要条件是Ax1+By1+CAx2+By2+C<0 6第
二、四象限表示的平面区域可以用不等式xy<0表示 答案1√ 2√ 3× 4× 5√ 6√2.人教A版教材习题改编不等式组表示的平面区域是 答案B基础盘查二 线性规划中的基本概念一循纲忆知会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决线性约束条件、线性目标函数等概念.二小题查验1.判断正误1最优解指的是使目标函数取得最大值的变量x或y的值 2最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解 3线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上 4目标函数z=ax+byb≠0中,z的几何意义是直线ax+by-z=0在y轴上的截距 答案1× 2√ 3√ 4×2.人教A版教材练习改编设x,y满足约束条件则目标函数z=2x+y的最大值为________.答案3基础送分型考点——自主练透[必备知识]已知直线l Ax+By+C=
0.1直线与平面内的点直线l把直角坐标平面内的所有点分成三类在直线上的点;在直线上方区域内的点;在直线下方区域内的点.2不等式表示的区域以不等式的解x,y为坐标的所有点构成的区域,即为不等式表示的区域.[题组练透]1.不等式组所表示的平面区域的面积等于 A. B.C.D.解析选C 平面区域如图所示.解得A11,易得B04,C,|BC|=4-=.∴S△ABC=××1=.2.若满足条件的整点x,y恰有9个,其中整点是指横、纵坐标都是整数的点,则整数a的值为 A.-3B.-2C.-1D.0解析选C 不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分,当a=0时,只有4个整点11,00,10,20;当a=-1时,正好增加-1,-1,0,-1,1,-1,2,-1,3,-1共5个整点,故选C.3.如图阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为________. 解析两直线方程分别为x-2y+2=0与x+y-1=
0.由00点在直线x-2y+2=0右下方可知x-2y+2≥0,又00点在直线x+y-1=0左下方可知x+y-1≥0,即为所表示的可行域.答案[类题通法]确定二元一次不等式组表示的平面区域的方法1“直线定界,特殊点定域”,即先作直线,再取特殊点并代入不等式组.若满足不等式组,则不等式组表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域;否则就对应与特殊点异侧的平面区域.2当不等式中带等号时,边界为实线,不带等号时,边界应画为虚线,特殊点常取原点.常考常新型考点——多角探明[必备知识]求目标函数的最值要明确几个概念1约束条件由变量x,y组成的不等式组;2线性约束条件由关于x,y的一次不等式或方程组成的不等式组;3目标函数关于x,y的函数解析式,如z=2x+3y等;4可行解满足线性约束条件的解x,y;5最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解.[多角探明]线性规划问题是高考的重点,而线性规划问题具有代数和几何的双重形式,多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透,自然地融合在一起,使数学问题的解答变得更加新颖别致. 归纳起来常见的命题角度有1求线性目标函数的最值;2求非线性目标的最值;3求线性规划中的参数.角度一求线性目标函数的最值1.xx·新课标全国卷Ⅱ设x,y满足约束条件则z=2x-y的最大值为 A.10 B.8C.3D.2解析选B 作出可行域如图中阴影部分所示,由z=2x-y得y=2x-z,作出直线y=2x,平移使之经过可行域,观察可知,当直线经过点A52时,对应的z值最大.故zmax=2×5-2=
8.2.xx·北京高考若x,y满足则z=x+y的最小值为________.解析根据题意画出可行域如图,由于z=x+y对应的直线斜率为-,且z与x正相关,结合图形可知,当直线过点A01时,z取得最小值
1.答案1角度二求非线性目标的最值3.xx·山东高考在平面直角坐标系xOy中,M为不等式组所表示的区域上一动点,则直线OM斜率的最小值为 A.2B.1C.-D.-解析选C 已知的不等式组表示的平面区域如图中阴影所示,显然当点M与点A重合时直线OM的斜率最小,由直线方程x+2y-1=0和3x+y-8=0,解得A3,-1,故OM斜率的最小值为-.4.xx·郑州质检设实数x,y满足不等式组则x2+y2的取值范围是 A.
[12]B.
[14]C.[,2]D.
[24]解析选B 如图所示,不等式组表示的平面区域是△ABC的内部含边界,x2+y2表示的是此区域内的点x,y到原点距离的平方.从图中可知最短距离为原点到直线BC的距离,其值为1;最远的距离为AO,其值为2,故x2+y2的取值范围是
[14].角度三求线性规划中的参数5.xx·北京高考若x,y满足且z=y-x的最小值为-4,则k的值为 A.2B.-2C.D.-解析选D 作出线性约束条件的可行域.当k>0时,如图
①所示,此时可行域为y轴上方、直线x+y-2=0的右上方、直线kx-y+2=0的右下方的区域,显然此时z=y-x无最小值.当k<-1时,z=y-x取得最小值2;当k=-1时,z=y-x取得最小值-2,均不符合题意.当-1<k<0时,如图
②所示,此时可行域为点A20,B,C02所围成的三角形区域,当直线z=y-x经过点B时,有最小值,即-=-4⇒k=-.故选D.6.xx·安徽高考x,y满足约束条件若z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,则实数a的值为 A.或-1B.2或C.2或1D.2或-1解析选D 法一由题中条件画出可行域如图中阴影部分所示,可知A02,B20,C-2,-2,则zA=2,zB=-2a,zC=2a-2,要使目标函数取得最大值的最优解不唯一,只要zA=zBzC或zA=zCzB或zB=zCzA,解得a=-1或a=
2.法二目标函数z=y-ax可化为y=ax+z,令l0y=ax,平移l0,则当l0∥AB或l0∥AC时符合题意,故a=-1或a=
2.[类题通法]1.求目标函数的最值的一般步骤为一画二移三求.其关键是准确作出可行域,理解目标函数的意义.2.常见的目标函数有1截距型形如z=ax+by.求这类目标函数的最值常将函数z=ax+by转化为直线的斜截式y=-x+,通过求直线的截距的最值间接求出z的最值.2距离型形如z=x-a2+y-b
2.3斜率型形如z=.[提醒] 注意转化的等价性及几何意义.重点保分型考点——师生共研[典题例析]xx·湖北高考某旅行社租用A,B两种型号的客车安排900名客人旅行,A,B两种车辆的载客量分别为36人和60人,租金分别为1600元/辆和2400元/辆,旅行社要求租车总数不超过21辆,且B型车不多于A型车7辆,则租金最少为 A.31200元 B.36000元C.36800元 D.38400元解析选C 设租用A型车x辆,B型车y辆,目标函数为z=1600x+2400y,则约束条件为作出可行域,如图中阴影部分所示,可知目标函数过点512时,有最小值zmin=36800元.[类题通法]1.解线性规划应用题的步骤1转化——设元,写出约束条件和目标函数,从而将实际问题转化为线性规划问题;2求解——解这个纯数学的线性规划问题;3作答——将数学问题的答案还原为实际问题的答案.2.求解线性规划应用题的三个注意点1明确问题中的所有约束条件,并根据题意判断约束条件是否能够取到等号.2注意结合实际问题的实际意义,判断所设未知数x,y的取值范围,特别注意分析x,y是否是整数、是否是非负数等.3正确地写出目标函数,一般地,目标函数是等式的形式.[演练冲关]A,B两种规格的产品需要在甲、乙两台机器上各自加工一道工序才能成为成品.已知A产品需要在甲机器上加工3小时,在乙机器上加工1小时;B产品需要在甲机器上加工1小时,在乙机器上加工3小时.在一个工作日内,甲机器至多只能使用11小时,乙机器至多只能使用9小时.A产品每件利润300元,B产品每件利润400元,则这两台机器在一个工作日内创造的最大利润是________元.解析设生产A产品x件,B产品y件,则x,y满足约束条件生产利润为z=300x+400y.画出可行域,如图中阴影部分包含边界内的整点,显然z=300x+400y在点A处取得最大值,由方程组解得则zmax=300×3+400×2=
1700.故最大利润是1700元.答案1700
一、选择题1.已知点-3,-1和点4,-6在直线3x-2y-a=0的两侧,则a的取值范围为 A.-247 B.-724C.-∞,-7∪24,+∞D.-∞,-24∪7,+∞解析选B 根据题意知-9+2-a·12+12-a<
0.即a+7a-24<0,解得-7<a<
24.2.xx·临沂检测若x,y满足约束条件则z=x-y的最小值是 A.-3B.0C.D.3解析选A 作出不等式组表示的可行域如图所示的△ABC的边界及内部.平移直线z=x-y,易知当直线z=x-y经过点C03时,目标函数z=x-y取得最小值,即zmin=-
3.3.xx·泉州质检已知O为坐标原点,A12,点P的坐标x,y满足约束条件则z=·的最大值为 A.-2B.-1C.1D.2解析选D 如图作可行域,z=·=x+2y,显然在B01处zmax=
2.故选D.4.设动点Px,y在区域Ω上,过点P任作直线l,设直线l与区域Ω的公共部分为线段AB,则以AB为直径的圆的面积的最大值为 A.πB.2πC.3πD.4π解析选D 作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示,则根据图形可知,以AB为直径的圆的面积的最大值S=π×2=4π,故选D.5.xx·东北三校联考变量x,y满足约束条件若使z=ax+y取得最大值的最优解有无穷多个,则实数a的取值集合是 A.{-30}B.{3,-1}C.{01}D.{-301}解析选B 作出不等式组所表示的平面区域,如图所示.易知直线z=ax+y与x-y=2或3x+y=14平行时取得最大值的最优解有无穷多个,即-a=1或-a=-3,∴a=-1或a=
3.故选B.6.xx·新课标全国卷Ⅰ设x,y满足约束条件且z=x+ay的最小值为7,则a= A.-5B.3C.-5或3D.5或-3解析选B 法一联立方程解得代入x+ay=7中,解得a=3或-5,当a=-5时,z=x+ay的最大值是7;当a=3时,z=x+ay的最小值是7,故选B.法二先画出可行域,然后根据图形结合选项求解.当a=-5时,作出不等式组表示的可行域,如图1阴影部分.图1由得交点A-3,-2,则目标函数z=x-5y过A点时取得最大值.zmax=-3-5×-2=7,不满足题意,排除A,C选项.当a=3时,作出不等式组表示的可行域,如图2阴影部分.图2由得交点B12,则目标函数z=x+3y过B点时取得最小值.zmin=1+3×2=7,满足题意.
二、填空题7.xx·安徽高考不等式组表示的平面区域的面积为________.解析作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,可知S△ABC=×2×2+2=
4.答案48.xx·重庆一诊设变量x,y满足约束条件则目标函数z=3x-y的最大值为________.解析根据约束条件作出可行域,如图中阴影部分所示,∵z=3x-y,∴y=3x-z,当该直线经过点A22时,z取得最大值,即zmax=3×2-2=
4.答案49.xx·北京高考设D为不等式组所表示的平面区域,区域D上的点与点10之间的距离的最小值为________.解析作出可行域,如图中阴影部分所示,则根据图形可知,点B10到直线2x-y=0的距离最小,d==,故最小距离为.答案10.xx·通化一模设x,y满足约束条件若z=的最小值为,则a的值为________.解析∵=1+,而表示过点x,y与-1,-1连线的斜率,易知a0,∴可作出可行域,由题意知的最小值是,即min===⇒a=
1.答案1
三、解答题11.若x,y满足约束条件1求目标函数z=x-y+的最值;2若目标函数z=ax+2y仅在点10处取得最小值,求a的取值范围.解1作出可行域如图,可求得A34,B01,C10.平移初始直线x-y+=0,过A34取最小值-2,过C10取最大值
1.所以z的最大值为1,最小值为-
2.2直线ax+2y=z仅在点10处取得最小值,由图象可知-1<-<2,解得-4<a<
2.故所求a的取值范围为-42.12.某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个,生产一个卫兵需5分钟,生产一个骑兵需7分钟,生产一个伞兵需4分钟,已知总生产时间不超过10小时.若生产一个卫兵可获利润5元,生产一个骑兵可获利润6元,生产一个伞兵可获利润3元.1试用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润w元;2怎样分配生产任务才能使每天的利润最大,最大利润是多少?解1依题意每天生产的伞兵个数为100-x-y,所以利润w=5x+6y+3100-x-y=2x+3y+
300.2约束条件为整理得目标函数为w=2x+3y+
300.作出可行域.如图所示初始直线l02x+3y=0,平移初始直线经过点A时,w有最大值.由得最优解为A5050,所以wmax=550元.所以每天生产卫兵50个,骑兵50个,伞兵0个时利润最大,最大利润为550元.第四节基本不等式基础盘查一 基本不等式、算术平均数与几何平均数的概念一循纲忆知1.了解基本不等式的证明过程;2.理解基本不等式及变形应用.二小题查验判断正误1当a≥0,b≥0时,≥ 2两个不等式a2+b2≥2ab与≥成立的条件是相同的 3a+b2≥4aba,b∈R 4两个正数的等差中项不小于它们的等比中项 答案1√ 2× 3√ 4√基础盘查二 利用基本不等式求最值问题一循纲忆知会用基本不等式解决简单的最大小值问题.二小题查验1.判断正误1函数y=x+的最小值是2 2x>0且y>0是+≥2的充分不必要条件 3若a≠0,则a2+的最小值为2 答案1× 2√ 3√2.人教A版教材习题改编设x,y∈R+,且x+y=18,则xy的最大值为________.答案813.若x,y∈0,+∞,且x+4y=1,则xy的最大值是________.解析∵x,y∈0,+∞,则1=x+4y≥4,即xy≤.答案重点保分型考点——师生共研[必备知识]1.基本不等式≤1基本不等式成立的条件a0,b
0.2等号成立的条件当且仅当a=b时取等号.2.几个重要的不等式1a2+b2≥2aba,b∈R.2+≥2a,b同号.3ab≤2a,b∈R.4≥2a,b∈R.[典题例析]设a,b,c都是正数,求证++≥a+b+c.证明∵a,b,c都是正数,∴,,都是正数.∴+≥2c,当且仅当a=b时等号成立,+≥2a,当且仅当b=c时等号成立,+≥2b,当且仅当a=c时等号成立.三式相加,得2≥2a+b+c,即++≥a+b+c,当且仅当a=b=c时等号成立.[类题通法]利用基本不等式证明不等式的方法技巧利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况,要从整体上把握运用基本不等式,对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换,常见的变形技巧有拆项,并项,也可乘上一个数或加上一个数,“1”的代换法等.[演练冲关]设a,b均为正实数,求证++ab≥
2.证明由于a,b均为正实数,所以+≥2=,当且仅当=,即a=b时等号成立,又因为+ab≥2=2,当且仅当=ab时等号成立,所以++ab≥+ab≥2,当且仅当即a=b=时取等号.题点多变型考点——全面发掘[必备知识]已知x0,y0,则1如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时,x+y有最小值是
2.简记积定和最小2如果和x+y是定值p,那么当且仅当x=y时,xy有最大值是.简记和定积最大[一题多变][典型母题]已知a>0,b>0,a+b=1,则+的最小值为________.[解析] ∵a>0,b>0,a+b=1,∴+=+=2++≥2+2=4,即+的最小值为4,当且仅当a=b=时等号成立.[答案] 4[题点发散1] 本例的条件不变,则的最小值为________.解析==·=5+2≥5+4=
9.当且仅当a=b=时,取等号.答案9[题点发散2] 本例的条件和结论互换即已知a>0,b>0,+=4,则a+b的最小值为________.解析由+=4,得+=
1.∴a+b=a+b=++≥+2=
1.当且仅当a=b=时取等号.答案1[题点发散3] 若本例条件变为已知a0,b0,a+2b=3,则+的最小值为________.解析由a+2b=3得a+b=1,∴+==++≥+2=.当且仅当a=2b=时,取等号.答案[题点发散4] 本例的条件变为已知a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1,则++的最小值为________.解析∵a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1,∴++=++=3++++++=3+++≥3+2+2+2=
9.当且仅当a=b=c=时,取等号.答案9[题点发散5] 若本例变为已知各项为正数的等比数列{an}满足a7=a6+2a5,若存在两项am,an,使得=2a1,则+的最小值为________.解析设公比为qq>0,由a7=a6+2a5⇒a5q2=a5q+2a5⇒q2-q-2=0q>0⇒q=
2.=2a1⇒a12m-1·a12n-1=8a⇒2m-1·2n-1=8⇒m+n-2=3⇒m+n=5,则+=m+n=≥5+2=,当且仅当n=2m=时等号成立.答案[类题通法]利用基本不等式求最值的方法及注意点1知和求积的最值求解此类问题的关键明确“和为定值,积有最大值”.但应注意以下两点
①具备条件——正数;
②验证等号成立.2知积求和的最值明确“积为定值,和有最小值”,直接应用基本不等式求解,但要注意利用基本不等式求最值的条件.3构造不等式求最值在求解含有两个变量的代数式的最值问题时,通常采用“变量替换”或“常数1”的替换,构造不等式求解.4利用基本不等式求最值时应注意
①非零的各数或式均为正;
②和或积为定值;
③等号能否成立,即“一正、二定、三相等”,这三个条件缺一不可.重点保分型考点——师生共研[典题例析]某厂家拟在xx举行促销活动,经调查测算,该产品的年销售量即该厂的年产量x万件与年促销费用m万元m≥0满足x=3-k为常数,如果不搞促销活动,则该产品的年销售量只能是1万件.已知xx生产该产品的固定投入为8万元.每生产一万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的
1.5倍产品成本包括固定投入和再投入两部分资金.1将xx该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数;2该厂家xx的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大?解1由题意知,当m=0时,x=1万件,∴1=3-k⇒k=2,∴x=3-,每件产品的销售价格为
1.5×元,∴xx的利润y=
1.5x×-8-16x-m=-+29m≥0.2∵m≥0时,+m+1≥2=8,∴y≤-8+29=21,当且仅当=m+1⇒m=3万元时,ymax=21万元.故该厂家xx的促销费用投入3万元时,厂家的利润最大为21万元.[类题通法]利用基本不等式求解实际应用题的方法1此类型的题目往往较长,解题时需认真阅读,从中提炼出有用信息,建立数学模型,转化为数学问题求解.2当运用基本不等式求最值时,若等号成立的自变量不在定义域内时,就不能使用基本不等式求解,此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解.[演练冲关]某化工企业xx年底投入100万元,购入一套污水处理设备.该设备每年的运转费用是
0.5万元,此外每年都要花费一定的维护费,第一年的维护费为2万元,由于设备老化,以后每年的维护费都比上一年增加2万元.设该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用为y单位万元.1用x表示y;2当该企业的年平均污水处理费用最低时,企业需重新更换新的污水处理设备.则该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备.解1由题意得,y=,即y=x++
1.5x∈N*.2由基本不等式得y=x++
1.5≥2+
1.5=
21.5,当且仅当x=,即x=10时取等号.故该企业10年后需要重新更换新的污水处理设备.
一、选择题1.已知fx=x+-2x<0,则fx有 A.最大值为0 B.最小值为0C.最大值为-4D.最小值为-4解析选C ∵x<0,∴fx=--2≤-2-2=-4,当且仅当-x=,即x=-1时取等号.2.若a,b∈R且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是 A.a+b≥2B.+>C.+≥2D.a2+b2>2ab解析选C ∵ab>0,∴>0,>
0.由基本不等式得+≥2,当且仅当=,即a=b时等号成立,故选C.3.已知不等式x+y≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值是 A.2B.4C.6D.8解析选B x+y=1+a++≥1+a+2,∴当1+a+2≥9时不等式恒成立,故+1≥3,a≥
4.4.若a,b均为大于1的正数,且ab=100,则lga·lgb的最大值是 A.0B.1C.2D.解析选B ∵a1,b1,∴lga0,lgb
0.lga·lgb≤==
1.当且仅当a=b=10时取等号.5.设=1,-2,=a,-1,=-b0a>0,b>0,O为坐标原点,若A,B,C三点共线,则+的最小值是 A.4B.C.8D.9解析选D ∵=-=a-11,=-=-b-12,若A,B,C三点共线,则有∥,∴a-1×2-1×-b-1=0,∴2a+b=1,又a>0,b>0,∴+=·2a+b=5++≥5+2=9,当且仅当即a=b=时等号成立.故选D.6.函数y=x1的最小值是 A.2+2B.2-2C.2D.2解析选A ∵x1,∴x-
10.∴y=====x-1++2≥2+2=2+
2.当且仅当x-1=,即x=1+时,取等号.
二、填空题7.已知a,b∈R,且ab=50,则|a+2b|的最小值是________.解析依题意得a,b同号,于是有|a+2b|=|a|+|2b|≥2=2=2=20,当且仅当|a|=|2b|=10时取等号,因此|a+2b|的最小值是
20.答案208.当x>1时,不等式x+≥a恒成立,则实数a的最大值为________.解析因为x>1,所以x-1>
0.又x+=x-1++1≥2+1=3,当且仅当x=2时等号成立,所以a的最大值为
3.答案39.某公司租地建仓库,每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比,如果在距车站10公里处建仓库,这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元,那么要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站________公里处.解析设x为仓库与车站距离,由已知y1=,y2=
0.8x.费用之和y=y1+y2=
0.8x+≥2=8,当且仅当
0.8x=,即x=5时“=”成立.答案
510.规定记号“⊗”表示一种运算,即a⊗b=+a+ba,b为正实数.若1⊗k=3,则k的值为________,此时函数fx=的最小值为________.解析1⊗k=+1+k=3,即k+-2=0,∴=1或=-2舍,∴k=
1.fx===1++≥1+2=3,当且仅当=,即x=1时等号成立.答案1 3
三、解答题11.已知x>0,y>0,且2x+8y-xy=0,求1xy的最小值;2x+y的最小值.解1由2x+8y-xy=0,得+=1,又x>0,y>0,则1=+≥2=,得xy≥64,当且仅当x=16,y=4时,等号成立.所以xy的最小值为
64.2由2x+8y-xy=0,得+=1,则x+y=·x+y=10++≥10+2=
18.当且仅当x=12且y=6时等号成立,∴x+y的最小值为
18.12.某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采用了新工艺,把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨,最多为600吨,月处理成本y元与月处理量x吨之间的函数关系可近似地表示为y=x2-200x+80000,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.1该单位每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低?2该单位每月能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损?解1由题意可知,二氧化碳每吨的平均处理成本为=x+-200≥2-200=200,当且仅当x=,即x=400时等号成立,故该单位月处理量为400吨时,才能使每吨的平均处理成本最低,最低成本为200元.2不获利.设该单位每月获利为S元,则S=100x-y=100x-=-x2+300x-80000=-x-3002-35000,因为x∈
[400600],所以S∈[-80000,-40000].故该单位每月不获利,需要国家每月至少补贴40000元才能不亏损.命题点一 不等关系与一元二次不等式命题指数☆☆☆☆ 难度中、低 题型选择题、填空题1.xx·天津高考设a,b∈R,则“ab”是“a|a|b|b|”的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件解析选C 构造函数fx=x|x|,则fx在定义域R上为奇函数.因为fx=所以函数fx在R上单调递增,所以ab⇔fafb⇔a|a|b|b|.选C.2.xx·四川高考若ab0,c<d<0,则一定有 A. B.C.D.解析选B ∵c<d<0,∴<<0,∴->->0,而a>b>0,∴->->0,∴<,故选B.3.xx·新课标全国卷Ⅰ设函数fx=则使得fx≤2成立的x的取值范围是________.解析选D 当x1时,由ex-1≤2得x≤1+ln2,∴x1;当x≥1时,由x≤2得x≤8,∴1≤x≤
8.综上,符合题意的x的取值范围是x≤
8.答案-∞,8]4.xx·江苏高考已知函数fx=x2+mx-1,若对于任意x∈[m,m+1],都有fx0成立,则实数m的取值范围是________.解析由题可得fx0对于x∈[m,m+1]恒成立,即解得-m
0.答案1.xx·新课标全国卷Ⅰ不等式组的解集记为D,有下面四个命题p1∀x,y∈D,x+2y≥-2;p2∃x,y∈D,x+2y≥2;p3∀x,y∈D,x+2y≤3;p4∃x,y∈D,x+2y≤-
1.其中真命题是 A.p2,p3B.p1,p4C.p1,p2D.p1,p3解析选C 画出可行域如图中阴影部分所示,由图可知,当目标函数z=x+2y经过可行域内的点A2,-1时,取得最小值0,故x+2y≥0,因此p1,p2是真命题,选C.2.xx·广东高考若变量x,y满足约束条件且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n,则m-n= A.8B.7C.6D.5解析选C 作出可行域如图中阴影部分所示后,结合目标函数可知,当直线y=-2x+z经过点A时,z的值最大,由⇒则m=zmax=2×2-1=
3.当直线y=-2x+z经过点B时,z的值最小,由⇒则n=zmin=2×-1-1=-3,故m-n=
6.3.xx·北京高考设关于x,y的不等式组表示的平面区域内存在点Px0,y0,满足x0-2y0=
2.求得m的取值范围是 A.B.C.D.解析选C 问题等价于直线x-2y=2与不等式组所表示的平面区域存在公共点,由于点-m,m不可能在第一和第三象限,而直线x-2y=2经过第
一、
三、四象限,则点-m,m只能在第四象限,可得m<0,不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示,要使直线x-2y=2与阴影部分有公共点,则点-m,m在直线x-2y-2=0的下方,由于坐标原点使得x-2y-2<0,故-m-2m-2>0,即m<-.4.xx·安徽高考在平面直角坐标系中,O是坐标原点,两定点A,B满足||=||=·=2,则点集{P|=λ+μ,|λ|+|μ|≤1,λ,μ∈R}所表示的区域的面积是 A.2B.2C.4D.4解析选D 由||=||=·=2,可得∠AOB=,又A,B是两定点,可设A,1,B02,Px,y,由=λ+μ,可得⇒因为|λ|+|μ|≤1,所以+≤1,当,时,由可行域可得S0=×2×=,所以由对称性可知点P所表示的区域面积S=4S0=4,故选D.5.xx·湖南高考若变量x,y满足约束条件且z=2x+y的最小值为-6,则k=________.解析作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示,z=2x+y,则y=-2x+z,易知当直线y=-2x+z过点Ak,k时,z=2x+y取得最小值,即3k=-6,k=-
2.答案-26.xx·广东高考给定区域D令点集T={x0,y0∈D|x0,y0∈Z,x0,y0是z=x+y在D上取得最大值或最小值的点},则T中的点共确定________条不同的直线.解析解决本题的关键是要读懂数学语言,x0,y0∈Z,说明x0,y0是整数,作出图形可知,△ABF所围成的区域即为区域D,其中A01是z在D上取得最小值的点,B,C,D,E,F是z在D上取得最大值的点,则T中的点共确定AB,AC,AD,AE,AF,BF共6条不同的直线.答案67.xx·浙江高考当实数x,y满足时,1≤ax+y≤4恒成立,则实数a的取值范围是________.解析由线性规划的可行域如图,求出三个交点坐标分别为A10,B2,1,C,都代入1≤ax+y≤4,可得1≤a≤.答案1.xx·福建高考要制作一个容积为4m3,高为1m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是 A.80元B.120元C.160元D.240元解析选C 设该容器的总造价为y元,长方体的底面矩形的长为xm,因为无盖长方体的容积为4m3,高为1m,所以长方体的底面矩形的宽为m,依题意,得y=20×4+10=80+20≥80+20×2=160,所以该容器的最低总造价为160元.2.xx·重庆高考若log43a+4b=log2,则a+b的最小值是 A.6+2B.7+2C.6+4D.7+4解析选D 因为log43a+4b=log2,所以log43a+4b=log4ab,即3a+4b=ab,且即a0,b0,所以+=1a0,b0,a+b=a+b·=7++≥7+2=7+4,当且仅当=时取等号,故选D.3.xx·上海高考若实数x,y满足xy=1,则x2+2y2的最小值为________.解析∵x2+2y2≥2=2xy=2,当且仅当x=y时取“=”,∴x2+2y2的最小值为
2.答案24.xx·湖北高考某项研究表明在考虑行车安全的情况下,某路段车流量F单位时间内经过测量点的车辆数,单位辆/小时与车流速度v假设车辆以相同速度v行驶,单位米/秒、平均车长l单位米的值有关,其公式为F=.1如果不限定车型,l=
6.05,则最大车流量为________辆/小时;2如果限定车型,l=5,则最大车流量比1中的最大车流量增加________辆/小时.解析1F=≤=1900,当且仅当v=11时等号成立.2F=≤=2000,当且仅当v=10时等号成立,2000-1900=
100.答案1900 100第五节合情推理与演绎推理基础盘查一 合情推理一循纲忆知了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理,了解合情推理在数学发现中的作用.二小题查验1.判断正误1归纳推理得到的结论不一定正确,类比推理得到的结论一定正确 2由平面三角形的性质推测空间四面体的性质,这是一种合情推理 3在类比时,平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适 4一个数列的前三项是123,那么这个数列的通项公式是an=nn∈N* 答案1× 2√ 3× 4×2.人教A版教材例题改编已知数列{an}的第1项a1=1,且an+1=n=123,…,归纳该数列的通项公式an=________.答案基础盘查二 演绎推理一循纲忆知1.了解演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本模式,并能运用它们进行一些简单推理;2.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.二小题查验判断正误1演绎推理的结论一定是正确的 2演绎推理是由特殊到一般再到特殊的推理 3“所有3的倍数都是9的倍数,某数m是3的倍数,则m一定是9的倍数”,这是三段论推理,但其结论是错误的 4在演绎推理中,只要符合演绎推理的形式,结论就一定正确 答案1× 2× 3√ 4×基础送分型考点——自主练透[必备知识]1定义由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理.2特点类比推理是由特殊到特殊的推理.[题组练透]1.给出下面类比推理其中Q为有理数集,R为实数集,C为复数集
①“若a,b∈R,则a-b=0⇒a=b”类比推出“a,c∈C,则a-c=0⇒a=c”;
②“若a,b,c,d∈R,则复数a+bi=c+di⇒a=c,b=d”类比推出“a,b,c,d∈Q,则a+b=c+d⇒a=c,b=d”;
③“a,b∈R,则a-b>0⇒a>b”类比推出“若a,b∈C,则a-b>0⇒a>b”;
④“若x∈R,则|x|<1⇒-1<x<1”类比推出“若z∈C,则|z|<1⇒-1<z<1”.其中类比结论正确的个数为 A.1 B.2C.3D.4解析选B 类比结论正确的有
①②.2.xx·贵州六校联考在平面几何中△ABC的∠C内角平分线CE分AB所成线段的比为=.把这个结论类比到空间在三棱锥ABCD中如图,DEC平分二面角ACDB且与AB相交于E,则得到类比的结论是______________________.解析由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得=.答案=[类题通法]1类比推理是由特殊到特殊的推理,其一般步骤为
①找出两类事物之间的相似性或一致性;
②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题猜想.2类比推理的关键是找到合适的类比对象.平面几何中的一些定理、公式、结论等,可以类比到立体几何中,得到类似的结论.常考常新型考点——多角探明[必备知识]1定义由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理.2特点是由部分到整体、由个别到一般的推理.[多角探明] 归纳推理是每年高考的常考内容,题型多为选择题和填空题,难度稍大,属中高档题.归纳起来常见的命题角度有1数的归纳;2式的归纳;3形的归纳.角度一数的归纳1.xx·陕西高考观察下列等式12=112-22=-312-22+32=612-22+32-42=-10……照此规律,第n个等式可为________.解析观察规律可知,第n个式子为12-22+32-42+…+-1n+1n2=-1n+
1.答案12-22+32-42+…+-1n+1n2=-1n+1角度二式的归纳2.xx·陕西高考已知fx=,x≥0,若f1x=fx,fn+1x=ffnx,n∈N+,则f2014x的表达式为________.解析由f1x=⇒f2x=f==;又可得f3x=ff2x==,故可猜想f2014x=.答案f2014x=角度三形的归纳3.下面图形由小正方形组成,请观察图1至图4的规律,并依此规律,写出第n个图形中小正方形的个数是________.解析由图知第n个图形的小正方形个数为1+2+3+…+n.∴总个数为.答案[类题通法]1归纳是依据特殊现象推断出一般现象,因而由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围.2归纳的前提是特殊的情况,所以归纳是立足于观察、经验或试验的基础之上的.3归纳推理所得结论未必正确,有待进一步证明,但对数学结论和科学的发现很有用.重点保分型考点——师生共研[必备知识]1模式三段论
①大前提——已知的一般原理;
②小前提——所研究的特殊情况;
③结论——根据一般原理,对特殊情况做出的判断.2特点演绎推理是由一般到特殊的推理.[典题例析]数列{an}的前n项和记为Sn,已知a1=1,an+1=Snn∈N*.证明1数列是等比数列;2Sn+1=4an.证明1∵an+1=Sn+1-Sn,an+1=Sn,∴n+2Sn=nSn+1-Sn,即nSn+1=2n+1Sn.故=2·,小前提故是以2为公比,1为首项的等比数列.结论大前提是等比数列的定义2由1可知=4·n≥2,∴Sn+1=4n+1·=4··Sn-1=4ann≥2.小前提又∵a2=3S1=3,S2=a1+a2=1+3=4=4a1,小前提∴对于任意正整数n,都有Sn+1=4an.结论[类题通法]演绎推理的推证规则1演绎推理是从一般到特殊的推理,其一般形式是三段论,应用三段论解决问题时,应当首先明确什么是大前提和小前提,如果前提是显然的,则可以省略,本题中,等比数列的定义在解题中是大前提,由于它是显然的,因此省略不写.2在推理论证过程中,一些稍复杂一点的证明题常常要由几个三段论才能完成.[演练冲关]如图所示,D,E,F分别是BC,CA,AB上的点,∠BFD=∠A,且DE∥BA.求证ED=AF要求注明每一步推理的大前提、小前提和结论,并最终把推理过程用简略的形式表示出来.证明1同位角相等,两条直线平行,大前提∠BFD与∠A是同位角,且∠BFD=∠A,小前提所以DF∥EA.结论2两组对边分别平行的四边形是平行四边形,大前提DE∥BA且DF∥EA,小前提所以四边形AFDE为平行四边形.结论3平行四边形的对边相等,大前提ED和AF为平行四边形的对边,小前提所以ED=AF.结论上面的证明可简略地写成⇒四边形AFDE是平行四边形⇒ED=AF.
一、选择题1.xx·合肥模拟正弦函数是奇函数,fx=sinx2+1是正弦函数,因此fx=sinx2+1是奇函数,以上推理 A.结论正确 B.大前提不正确C.小前提不正确D.全不正确解析选C 因为fx=sinx2+1不是正弦函数,所以小前提不正确.2.由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则
①“mn=nm”类比得到“a·b=b·a”;
②“m+nt=mt+nt”类比得到“a+b·c=a·c+b·c”;
③“m·nt=mn·t”类比得到“a·b·c=a·b·c”;
④“t≠0,mt=xt⇒m=x”类比得到“p≠0,a·p=x·p⇒a=x”;
⑤“|m·n|=|m|·|n|”类比得到“|a·b|=|a|·|b|”;
⑥“=”类比得到“=”.以上的式子中,类比得到的结论正确的个数是 A.1B.2C.3D.4解析选B
①②正确,
③④⑤⑥错误.3.观察下列各式a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,…,则a10+b10= A.28B.76C.123D.199解析选C 记an+bn=fn,则f3=f1+f2=1+3=4;f4=f2+f3=3+4=7;f5=f3+f4=
11.通过观察不难发现fn=fn-1+fn-2n∈N*,n≥3,则f6=f4+f5=18;f7=f5+f6=29;f8=f6+f7=47;f9=f7+f8=76;f10=f8+f9=
123.所以a10+b10=
123.4.在平面几何中有如下结论正三角形ABC的内切圆面积为S1,外接圆面积为S2,则=,推广到空间可以得到类似结论已知正四面体PABC的内切球体积为V1,外接球体积为V2,则= A.B.C.D.解析选D 正四面体的内切球与外接球的半径之比为1∶3,故=.5.下列推理中属于归纳推理且结论正确的是 A.设数列{an}的前n项和为Sn.由an=2n-1,求出S1=12,S2=22,S3=32,…,推断Sn=n2B.由fx=xcosx满足f-x=-fx对∀x∈R都成立,推断fx=xcosx为奇函数C.由圆x2+y2=r2的面积S=πr2,推断椭圆+=1a>b>0的面积S=πabD.由1+12>21,2+12>22,3+12>23,…,推断对一切n∈N*,n+12>2n解析选A 选项A由一些特殊事例得出一般性结论,且注意到数列{an}是等差数列,其前n项和等于Sn==n2,选项D中的推理属于归纳推理,但结论不正确.6.xx·西安五校联考已知“整数对”按如下规律排成一列11,12,21,13,22,31,14,23,32,41,…,则第60个“整数对”是 A.75B.57C.210D.101解选B 依题意,把“整数对”的和相同的分为一组,不难得知第n组中每个“整数对”的和均为n+1,且第n组共有n个“整数对”,这样的前n组一共有个“整数对”,注意到<60<,因此第60个“整数对”处于第11组每个“整数对”的和为12的组的第5个位置,结合题意可知每个“整数对”的和为12的组中的各对数依次为111,210,39,48,57,…,因此第60个“整数对”是57,选B.
二、填空题7.xx·福建厦门模拟已知等差数列{an}中,有=,则在等比数列{bn}中,会有类似的结论________________________________________.解析由等比数列的性质可知b1b30=b2b29=…=b11b20,∴=.答案=8.将全体正整数排成一个三角形数阵12 34 5 67 8 9 10……根据以上排列规律,数阵中第nn≥3行从左至右的第3个数是________.解析前n-1行共有正整数1+2+…+n-1=个,即个,因此第n行从左至右的第3个数是全体正整数中第+3个,即为.答案9.在平面上,我们如果用一条直线去截正方形的一个角,那么截下的一个直角三角形,按下图所标边长,由勾股定理有c2=a2+b
2.设想正方形换成正方体,把截线换成如图的截面,这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥OLMN,如果用S1,S2,S3表示三个侧面面积,S4表示截面面积,那么类比得到的结论是________.解析将侧面面积类比为直角三角形的直角边,截面面积类比为直角三角形的斜边,可得S+S+S=S.答案S+S+S=S10.如果函数fx在区间D上是凸函数,那么对于区间D内的任意x1,x2,…,xn,都有≤f.若y=sinx在区间0,π上是凸函数,那么在△ABC中,sinA+sinB+sinC的最大值是________.解析由题意知,凸函数满足≤f,又y=sinx在区间0,π上是凸函数,则sinA+sinB+sinC≤3sin=3sin=.答案
三、解答题11.在锐角三角形ABC中,求证sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC.证明∵△ABC为锐角三角形,∴A+B>,∴A>-B,∵y=sinx在上是增函数,∴sinA>sin=cosB,同理可得sinB>cosC,sinC>cosA,∴sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC.12.某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数
①sin213°+cos217°-sin13°cos17°;
②sin215°+cos215°-sin15°cos15°;
③sin218°+cos212°-sin18°cos12°;
④sin2-18°+cos248°-sin-18°cos48°;
⑤sin2-25°+cos255°-sin-25°cos55°.1试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数;2根据1的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.解1选择
②式,计算如下sin215°+cos215°-sin15°cos15°=1-sin30°=1-=.2法一三角恒等式为sin2α+cos230°-α-sinα·cos30°-α=.证明如下sin2α+cos230°-α-sinα·cos30°-α=sin2α+cos30°cosα+sin30°sinα2-sinα·cos30°cosα+sin30°sinα=sin2α+cos2α+sinαcosα+sin2α-sinαcosα-sin2α=sin2α+cos2α=.法二三角恒等式为sin2α+cos230°-α-sinα·cos30°-α=.证明如下sin2α+cos230°-α-sinαcos30°-α=+-sinα·cos30°cosα+sin30°sinα=-cos2α++cos60°cos2α+sin60°sin2α-sinαcosα-sin2α=-cos2α++cos2α+sin2α-sin2α-1-cos2α=1-cos2α-+cos2α=.第六节直接证明和间接证明基础盘查一 直接证明一循纲忆知了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法;了解分析法和综合法的思考过程和特点.二小题查验判断正误1综合法是直接证明,分析法是间接证明 2分析法是从要证明的结论出发,逐步寻找使结论成立的充要条件 3在解决问题时,常常用分析法寻找解题的思路与方法,再用综合法展现解决问题的过程 4证明不等式+<+最合适的方法是分析法 答案1× 2× 3√ 4√基础盘查二 间接证明一循纲忆知了解间接证明的一种基本方法——反证法;了解反证法的思考过程和特点.二小题查验1.判断正误1用反证法证明结论“a>b”时,应假设“a<b” 2反证法是指将结论和条件同时否定,推出矛盾 答案1× 2×2.用反证法证明“如果a>b,那么a3>b3”时假设的内容为________.答案a3≤b3基础送分型考点——自主练透[必备知识]分析法证题的一般规律分析法的思路是逆向思维,用分析法证题必须从结论出发,倒着分析,寻找结论成立的充分条件.应用分析法证明问题时要严格按分析法的语言表达,下一步是上一步的充分条件.[题组练透]1.已知a,b,m都是正数,且ab,求证.证明要证明,由于a,b,m都是正数,只需证ab+mba+m,只需证ambm,因为m0,所以只需证ab.又已知ab,所以原不等式成立.2.已知△ABC的三个内角A,B,C成等差数列,A,B,C的对边分别为a,b,c.求证+=.证明要证+=,即证+=3也就是+=1,只需证cb+c+aa+b=a+bb+c,需证c2+a2=ac+b2,又△ABC三内角A,B,C成等差数列,故B=60°,由余弦定理,得b2=c2+a2-2accos60°,即b2=c2+a2-ac,故c2+a2=ac+b2成立.于是原等式成立.[类题通法]分析法证明问题的适用范围当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接,或证明过程中所需用的知识不太明确、具体时,往往采用分析法,特别是含有根号、绝对值的等式或不等式,常考虑用分析法.[提醒] 用分析法证明问题时,必须有必要的文字说明.常考常新型考点——多角探明[必备知识]综合法证题的一般规律用综合法证明命题时,必须首先找到正确的出发点,也就是能想到从哪里起步,我们一般的处理方法是广泛地联想已知条件所具备的各种性质,逐层推进,从而由已知逐步推出结论.[多角探明] 综合法证明问题是历年高考的热点问题,也是必考问题之一.通常在解答题中出现,归纳起来常见的命题角度有1立体几何证明题;2数列证明题;3与函数、方程、不等式结合的证明题.角度一立体几何证明题1.如图,在四棱锥PABCD中,平面PAB⊥平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E,F分别是AP,AB的中点.求证1直线EF∥平面PBC;2平面DEF⊥平面PAB.证明1在△PAB中,因为E,F分别为PA,AB的中点,所以EF∥PB.又因为EF⊄平面PBC,PB⊂平面PBC,所以直线EF∥平面PBC.2连接BD,因为AB=AD,∠BAD=60°,所以△ABD为正三角形.因为F是AB的中点,所以DF⊥AB.因为平面PAB⊥平面ABCD,DF⊂平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,所以DF⊥平面PAB.又因为DF⊂平面DEF,所以平面DEF⊥平面PAB.角度二数列证明题2.xx·江苏高考节选设数列{an}的前n项和为Sn.若对任意正整数n,总存在正整数m,使得Sn=am,则称{an}是“H数列”.1若数列{an}的前n项和Sn=2nn∈N*,证明{an}是“H数列”;2证明对任意的等差数列{an},总存在两个“H数列”{bn}和{cn},使得an=bn+cnn∈N*成立.证明1由已知,当n≥1时,an+1=Sn+1-Sn=2n+1-2n=2n.于是对任意的正整数n,总存在正整数m=n+1,使得Sn=2n=am.所以{an}是“H数列”.2设等差数列{an}的公差为d,则an=a1+n-1d=na1+n-1d-a1n∈N*.令bn=na1,cn=n-1d-a1,则an=bn+cnn∈N*.下面证{bn}是“H数列”.设{bn}的前n项和为Tn,则Tn=a1n∈N*.于是对任意的正整数n,总存在正整数m=,使得Tn=bm,所以{bn}是“H数列”.同理可证{cn}也是“H数列”.所以任意的等差数列{an},总存在两个“H数列”{bn}和{cn},使得an=bn+cnn∈N*成立.角度三与函数、方程、不等式结合的证明题3.已知函数fx=ln1+x,gx=a+bx-x2+x3,函数y=fx与函数y=gx的图象在交点00处有公共切线.1求a,b的值;2证明fx≤gx.解1f′x=,g′x=b-x+x2,由题意得解得a=0,b=
1.2证明令hx=fx-gx=lnx+1-x3+x2-xx>-1.h′x=-x2+x-1=.hx在-10上为增函数,在0,+∞上为减函数.hxmax=h0=0,hx≤h0=0,即fx≤gx.[类题通法]综合法证题的思路重点保分型考点——师生共研[必备知识]反证法假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的证明方法叫做反证法.[典题例析]已知fx=ax2+bx+c,若a+c=0,fx在[-11]上的最大值为2,最小值为-.求证a≠0且
2.证明假设a=0或≥
2.1当a=0时,由a+c=0,得fx=bx,显然b≠
0.由题意得fx=bx在[-11]上是单调函数,所以fx的最大值为|b|,最小值为-|b|.由已知条件,得|b|+-|b|=2-=-,这与|b|+-|b|=0相矛盾,所以a≠
0.2当≥2时,由二次函数的对称轴为x=-,知fx在[-11]上是单调函数,故其最值在区间的端点处取得.所以或又a+c=0,则此时b无解,所以
2.由12,得a≠0且
2.[类题通法]反证法证明问题的一般步骤1反设假定所要证的结论不成立,而设结论的反面否定命题成立;否定结论2归谬将“反设”作为条件,由此出发经过正确的推理,导出矛盾——与已知条件、已知的定义、公理、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾;推导矛盾3立论因为推理正确,所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误.既然原命题结论的反面不成立,从而肯定了原命题成立.命题成立[演练冲关]已知x∈R,a=x2+,b=2-x,c=x2-x+1,试证明a,b,c至少有一个不小于
1.证明假设a,b,c均小于1,即a1,b1,c1,则有a+b+c3,而a+b+c=2x2-2x++3=22+3≥3,两者矛盾,所以假设不成立,故a,b,c至少有一个不小于
1.
一、选择题1.xx·山东高考用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是 A.方程x3+ax+b=0没有实根B.方程x3+ax+b=0至多有一个实根C.方程x3+ax+b=0至多有两个实根D.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根解析选A 至少有一个实根的否定是没有实根,故做的假设是“方程x3+ax+b=0没有实根”.2.分析法又称执果索因法,若用分析法证明“设abc,且a+b+c=0,求证a”索的因应是 A.a-b0 B.a-c0C.a-ba-c0D.a-ba-c0解析选C a⇔b2-ac3a2⇔a+c2-ac3a2⇔a2+2ac+c2-ac-3a20⇔-2a2+ac+c20⇔2a2-ac-c20⇔a-c2a+c0⇔a-ca-b
0.故选C.3.不相等的三个正数a,b,c成等差数列,并且x是a,b的等比中项,y是b,c的等比中项,则x2,b2,y2三数 A.成等比数列而非等差数列B.成等差数列而非等比数列C.既成等差数列又成等比数列D.既非等差数列又非等比数列解析选B 由已知条件,可得由
②③得代入
①,得+=2b,即x2+y2=2b
2.故x2,b2,y2成等差数列.4.设fx是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,fx单调递减,若x1+x20,则fx1+fx2的值 A.恒为负值B.恒等于零C.恒为正值D.无法确定正负解析选A 由fx是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,fx单调递减,可知fx是R上的单调递减函数,由x1+x20,可知x1-x2,fx1f-x2=-fx2,则fx1+fx20,故选A.5.设a,b是两个实数,给出下列条件
①a+b1;
②a+b=2;
③a+b2;
④a2+b22;
⑤ab
1.其中能推出“a,b中至少有一个大于1”的条件是 A.
②③B.
①②③C.
③D.
③④⑤解析选C 若a=,b=,则a+b1,但a1,b1,故
①推不出;若a=b=1,则a+b=2,故
②推不出;若a=-2,b=-3,则a2+b22,故
④推不出;若a=-2,b=-3,则ab1,故
⑤推不出;对于
③,即a+b2,则a,b中至少有一个大于1,反证法假设a≤1且b≤1,则a+b≤2与a+b2矛盾,因此假设不成立,a,b中至少有一个大于
1.6.如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值,则 A.△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形B.△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形C.△A1B1C1是钝角三角形,△A2B2C2是锐角三角形D.△A1B1C1是锐角三角形,△A2B2C2是钝角三角形解析选D 由条件知,△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0,则△A1B1C1是锐角三角形,假设△A2B2C2是锐角三角形.由得那么,A2+B2+C2=,这与三角形内角和为180°相矛盾.所以假设不成立,又显然△A2B2C2不是直角三角形.所以△A2B2C2是钝角三角形.
二、填空题7.用反证法证明命题“a,b∈R,ab可以被5整除,那么a,b中至少有一个能被5整除”,那么假设的内容是______________.解析“至少有n个”的否定是“最多有n-1个”,故应假设a,b中没有一个能被5整除.答案a,b中没有一个能被5整除8.设ab0,m=-,n=,则m,n的大小关系是________.解析法一取特殊值法取a=2,b=1,得mn.法二分析法-⇐+⇐ab+2·+a-b⇐2·0,显然成立.答案mn9.已知点Ann,an为函数y=图象上的点,Bnn,bn为函数y=x图象上的点,其中n∈N*,设cn=an-bn,则cn与cn+1的大小关系为________.解析由条件得cn=an-bn=-n=,∴cn随n的增大而减小,∴cn+1cn.答案cn+1cn10.若二次函数fx=4x2-2p-2x-2p2-p+1,在区间内至少存在一点c,使fc0,则实数p的取值范围是________.解析法一补集法令解得p≤-3或p≥,故满足条件的p的范围为.法二直接法依题意有f-1>0或f1>0,即2p2-p-1<0或2p2+3p-9<0,得-<p<1或-3<p<.故满足条件的p的取值范围是答案
三、解答题11.若a>b>c>d>0且a+d=b+c,求证+<+.证明要证+<+,只需证+2<+2,即a+d+2<b+c+2,因a+d=b+c,只需证<,即ad<bc,设a+d=b+c=t,则ad-bc=t-dd-t-cc=c-dc+d-t<0,故ad<bc成立,从而+<+成立.12.已知二次函数fx=ax2+bx+ca0的图象与x轴有两个不同的交点,若fc=0,且0xc时,fx
0.1证明是fx=0的一个根;2试比较与c的大小;3证明-2b-
1.解1证明∵fx的图象与x轴有两个不同的交点,∴fx=0有两个不等实根x1,x2,∵fc=0,∴x1=c是fx=0的根,又x1x2=,∴x2=,∴是fx=0的一个根.2假设c,又0,由0xc时,fx0,知f0与f=0矛盾,∴≥c,又∵≠c,∴c.3证明由fc=0,得ac+b+1=0,∴b=-1-ac.又a0,c0,∴b-
1.二次函数fx的图象的对称轴方程为x=-==x2=,即-.又a0,∴b-2,∴-2b-
1.1.xx·陕西高考观察分析下表中的数据多面体面数F顶点数V棱数E三棱柱569五棱锥6610立方体6812猜想一般凸多面体中F,V,E所满足的等式是____________.解析三棱柱中5+6-9=2;五棱锥中6+6-10=2;立方体中6+8-12=2,由此归纳可得F+V-E=
2.答案F+V-E=22.xx·新课标全国卷Ⅰ甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,甲说我去过的城市比乙多,但没去过B城市;乙说我没去过C城市;丙说我们三人去过同一个城市.由此可判断乙去过的城市为________.解析由甲、丙的回答易知甲去过A城市和C城市,乙去过A城市或C城市,结合乙的回答可得乙去过A城市.答案A3.xx·湖北高考古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数13610,…,第n个三角形数为=n2+n.记第n个k边形数为Nn,kk≥3,以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式三角形数 Nn3=n2+n,正方形数Nn4=n2,五边形数Nn5=n2-n,六边形数Nn6=2n2-n,……可以推测Nn,k的表达式,由此计算N1024=________.解析由Nn3=n2+n,Nn4=n2+n,Nn5=+n,Nn6=n2+n,推测Nn,k=n2-n,k≥
3.从而Nn24=11n2-10n,N1024=
1000.答案10001.xx·江西高考已知数列{an}的前n项和Sn=,n∈N*.1求数列{an}的通项公式;2证明对任意的n1,都存在m∈N*,使得a1,an,am成等比数列.解1由Sn=,得a1=S1=1,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n-2,当n=1时也适合.所以数列{an}的通项公式为an=3n-
2.2证明要使得a1,an,am成等比数列,只需要a=a1·am,即3n-22=1·3m-2,即m=3n2-4n+2,而此时m∈N*,且mn.所以对任意的n1,都存在m∈N*,使得a1,an,am成等比数列.2.xx·北京高考如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC,AA1=AC=2,BC=1,E,F分别是A1C1,BC的中点.1求证平面ABE⊥平面B1BCC1;2求证C1F∥平面ABE;3求三棱锥EABC的体积.解1证明在三棱柱ABCA1B1C1中,BB1⊥底面ABC.所以BB1⊥AB.又因为AB⊥BC,BB1∩BC=B,所以AB⊥平面B1BCC
1.又AB⊂平面ABE.所以平面ABE⊥平面B1BCC
1.2证明取AB中点G,连结EG,FG.因为E,F分别是A1C1,BC的中点,所以FG∥AC,且FG=AC.因为AC∥A1C1,且AC=A1C1,所以FG∥EC1,且FG=EC
1.所以四边形FGEC1为平行四边形.所以C1F∥EG.又因为EG⊂平面ABE,C1F⊄平面ABE,所以C1F∥平面ABE.3因为AA1=AC=2,BC=1,AB⊥BC,所以AB==.所以三棱锥EABC的体积V=S△ABC·AA1=×××1×2=.。