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2019-2020年高一下学期3月月考数学试题VIII
一、选择题1.一个空间几何体的正视图、侧视图均是长为
2、高为3的矩形,俯视图是直径为2的圆如右图),则这个几何体的表面积为()A.12+B.7C.D.【答案】C2.一个体积为12的正三棱柱的三视图如图所示,则这个三棱柱的侧视图的面积为 A.6B.8C.8D.12【答案】A3.高为的四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形,点S、A、B、C、D均在半径为1的同一球面上,则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为 A.B.C.1D.【答案】C4.某四面体的三视图如图所示,该四面体四个面的面积中最大的是 A.8B.6C.10D.8【答案】C5.角形构成,根据图中的数据可得此几何体的体积为()A.B.C.D.【答案】C6.如图,直三棱柱的正视图面积为2a2,则侧视图的面积为 A.2a2B.a2C.a2D.a2【答案】C7.正六棱柱的底面边长为1,侧棱长为,则这个棱柱的侧面对角线与所成的角为)A.B.C.D.【答案】C8.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()A.B.C.D.5【答案】A9.已知某个几何体的三视图如下,根据图中标出的尺寸(单位cm),可得这个几何体的体积是()A.B.C.xx3D.40003【答案】A10.已知某个几何体的三视图如图(主视图的弧线是半圆),根据图中标出的数据,这个几何体的体积是)A.288+36B.60C.288+72D.288+18【答案】A11.下列四个几何体中,各几何体的三视图有且仅有两个视图相同的是)A.
①②B.
②③C.
②④D.
①③【答案】答案C解析
①的三个视图都相同
②的主视图与左视图相同,与俯视图不同;
③的三个视图互不相同;
④的主视图与左视图相同,而与俯视图不同.12.如图所示,矩形O′A′B′C′是水平放置一个平面图形的直观图,其中O′A′=6cmO′C′=2cm则原图形是()A.正方形B.矩形C.菱形D.一般的平行四边形【答案】C
二、填空题13.如图是一个由三根细铁杆组成的支架,三根细铁杆的两夹角都是60°,一个半径为1的球放在该支架上,则球心到P的距离为________.【答案】14.一个三棱锥的三视图是三个直角三角形,如图所示,则该三棱锥的外接球的表面积为.【答案】15.如图,正方体ABCD—A1B1C1D1中,AB=2,点E为AD的中点,点F在CD上.若EF∥平面AB1C,则线段EF的长度为________.【答案】16.一个几何体的正视图为一个三角形,则这个几何体可能是下列几何体中的.(填入所有可能的几何体前的编号)
①三棱锥
②四棱锥
③三棱柱
④四棱柱
⑤圆锥
⑥圆柱【答案】
①②③⑤
三、解答题17.如图,四边形为矩形,平面,平面于点,且点在上.Ⅰ)求证;Ⅱ)求四棱锥的体积;Ⅲ)设点在线段上,且,试在线段上确定一点,使得平面.【答案】(Ⅰ)因为平面,∥所以,因为平面于点,因为,所以面,则因为,所以面,则Ⅱ)作,因为面平面,所以面因为,,所以Ⅲ)因为,平面于点,所以是的中点设是的中点,连接所以∥∥因为,所以∥面,则点就是点18.一个多面体的直观图,主视图正前方观察,俯视图正上方观察,左视图左侧正前方观察如下图所示.1探求AD与平面A1BCC1的位置关系并说明理由;2求此多面体的表面积和体积.【答案】从俯视图可得底面四边形ABCD和侧面四边形A1C1CB是矩形,又从主视图可得,BC⊥AB,BC⊥BA1,且AB∩BA1=B,BC⊥面ABA1,△A1AB是正三角形,∴三棱柱是正三棱柱.1∵底面四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC.又∵BC⊂面A1BCC1,∴AD∥面A1BCC
1.2依题意可得AB=BC=a,∵S=×sin60°×a×a=a2,∴V=S×h=a2×a=a
3.S侧=C×h=3a×a=3a2;S表=S侧+2S底=3a2+2×a2=3+a2,此多面体的表面积和体积分别为3+a2,a
3.19.如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2,侧棱长为3,点E在侧棱AA1上,点F在侧棱BB1上,且AE=2,BF=.1求证CF⊥C1E;2求二面角E-CF-C1的大小.【答案】法一1证明由已知可得CC1=3,CE=C1F==2,EF2=AB2+AE-BF2,EF=C1E==,于是有EF2+C1E2=C1F2,CE2+C1E2=CC,所以C1E⊥EF,C1E⊥CE.又EF∩CE=E,所以C1E⊥平面CEF.由CF⊂平面CEF,故CF⊥C1E.2在△CEF中,由1可得EF=CF=,CE=2,于是有EF2+CF2=CE2,所以CF⊥EF.又由1知CF⊥C1E,且EF∩C1E=E,所以CF⊥平面C1EF.又C1F⊂平面C1EF,故CF⊥C1F.于是∠EFC1即为二面角E-CF-C1的平面角.由1知△C1EF是等腰直角三角形,所以∠EFC1=45°,即所求二面角E-CF-C1的大小为45°.[理]法二建立如图所示的空间直角坐标系,则由已知可得,A000,B,10,C020,C1023,E002,F,1,.1证明=0,-2,-,=,-1,,·=0+2-2=
0.所以CF⊥C1E.2=0,-22,设平面CEF的一个法向量为m=x,y,z,由m⊥,m⊥,得即解得可取m=0,,1.设侧面BC1的一个法向量为n,由n⊥,n⊥,及=,-10,=003,可取n=1,,0.设二面角E-CF-C1的大小为θ,于是由θ为锐角可得cosθ===,所以θ=45°.即所求二面角E-CF-C1大小为45°.20.如图,在斜三棱柱中,,,侧面与底面ABC所成的二面角为120,E、F分别是棱、的中点Ⅰ)求与底面ABC所成的角;Ⅱ)证明EA1∥平面.【答案】(I)过作平面平面,垂足为.连接,并延长交于,连接,于是为与底面所成的角.因为,所以为的平分线又因为,所以,且为的中点因此,由三垂线定理因为,且,所以,于是为二面角的平面角,即由于四边形为平行四边形,得所以,与底面所成的角度为II)证明设与的交点为,则点P为EG的中点,连结PF.在平行四边形中,因为F是的中点,所以而EP平面,平面,所以平面21.如图,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F1)证明PA//平面EDB;2)证明PB⊥平面EFD;【答案】
(1)证明连结AC,AC交BD于O,连结EO∵底面ABCD是正方形,∴点O是AC的中点在中,EO是中位线,∴PA//EO而平面EDB且平面EDB,所以,PA//平面EDB2)∵PD⊥底面ABCD且底面ABCD,∴∵PD=DC,可知是等腰直角三角形,而DE是斜边PC的中线,∴
①同理由PD⊥底面ABCD,得PD⊥BC∵底面ABCD是正方形,有DC⊥BC,∴BC⊥平面PDC而平面PDC,∴
②由
①和
②推得平面PBC而平面PBC,∴又∵EF⊥PB,∴PB⊥平面EFD22.如图,在四棱柱中,侧面⊥底面,,底面为直角梯形,其中,O为中点Ⅰ)求证平面;Ⅱ)求锐二面角A—C1D1—C的余弦值【答案】Ⅰ)证明如图,连接,则四边形为正方形,,且故四边形为平行四边形,,又平面,平面平面Ⅱ)为的中点,,又侧面⊥底面,故⊥底面,以为原点,所在直线分别为轴,轴,轴建立如图所示的坐标系,则,,设为平面的一个法向量,由,得,令,则又设为平面的一个法向量,由,得,令,则,则,故所求锐二面角A—C1D1—C的余弦值为。