2019-2020年高三数学二轮复习专题四第一讲等差数列、等比数列教案理

2019-2020年高三数学二轮复习专题四第一讲等差数列、等比数列教案理类型一等差、等比数列的基本运算[例1]　xx年高考山东卷在等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝84，a9＝

73.1求数列{an}的通项公式；2对任意m∈N*，将数列{an}中落入区间9m，92m内的项的个数记为bm，求数列{bm}的前m项和Sm.[解析]　1因为{an}是一个等差数列，所以a3＋a4＋a5＝3a4＝84，所以a4＝

28.设数列{an}的公差为d，则5d＝a9－a4＝73－28＝45，故d＝

9.由a4＝a1＋3d得28＝a1＋3×9，即a1＝1，所以an＝a1＋n－1d＝1＋9n－1＝9n－8n∈N*．2对m∈N*，若9man92m，则9m＋89n92m＋8，因此9m－1＋1≤n≤92m－1，故得bm＝92m－1－9m－

1.于是Sm＝b1＋b2＋b3＋…＋bm＝9＋93＋…＋92m－1－1＋9＋…＋9m－1＝－＝.跟踪训练1．xx年皖北四市联考已知数列{an}为等比数列，且a1＝4，公比为q，前n项和为Sn，若数列{Sn＋2}也是等比数列，则q＝　　A．2　　　　　B．－2C．3D．－3解析因为数列{Sn＋2}是等比数列，所以S1＋2S3＋2＝S2＋22，即66＋4q＋4q2＝6＋4q2，即qq－3＝0，∵q≠0，∴q＝

3.答案C2．xx年高考广东卷已知递增的等差数列{an}满足a1＝1，a3＝a－4，则an＝________．解析利用等差数列的通项公式求解．设等差数列的公差为d，则由a3＝a－4，得1＋2d＝1＋d2－4，∴d2＝4，∴d＝±

2.由于该数列为递增数列，∴d＝

2.∴an＝1＋n－1×2＝2n－

1.答案2n－1类型二等差、等比数列的判定与证明数列{an}是等差或等比数列的证明方法1证明数列{an}是等差数列的两种基本方法

①利用定义证明an＋1－ann∈N*为常数；

②利用中项性质，即证明2an＝an－1＋an＋1n≥2．2证明{an}是等比数列的两种基本方法

①利用定义证明n∈N*为一常数；

②利用等比中项，即证明a＝an－1an＋1n≥2．[例2]　xx年高考陕西卷设{an}是公比不为1的等比数列，其前n项和为Sn，且a5，a3，a4成等差数列．1求数列{an}的公比；2证明对任意k∈N＋，Sk＋2，Sk，Sk＋1成等差数列．[解析]　1设数列{an}的公比为qq≠0，q≠1，由a5，a3，a4成等差数列，得2a3＝a5＋a4，即2a1q2＝a1q4＋a1q

3.由a1≠0，q≠0得q2＋q－2＝0，解得q1＝－2，q2＝1舍去，所以q＝－

2.2证明证法一　对任意k∈N＋，Sk＋2＋Sk＋1－2Sk＝Sk＋2－Sk＋Sk＋1－Sk＝ak＋1＋ak＋2＋ak＋1＝2ak＋1＋ak＋1·－2＝0，所以对任意k∈N＋，Sk＋2，Sk，Sk＋1成等差数列．证法二　对任意k∈N＋，2Sk＝，Sk＋2＋Sk＋1＝＋＝，2Sk－Sk＋2＋Sk＋1＝－＝[21－qk－2－qk＋2－qk＋1]＝q2＋q－2＝0，因此，对任意k∈N＋，Sk＋2，Sk，Sk＋1成等差数列．跟踪训练已知数列{an}和{bn}满足a1＝m，an＋1＝λan＋n，bn＝an－＋.1当m＝1时，求证对于任意的实数λ，数列{an}一定不是等差数列；2当λ＝－时，试判断数列{bn}是否为等比数列．解析1证明当m＝1时，a1＝1，a2＝λ＋1，a3＝λλ＋1＋2＝λ2＋λ＋

2.假设数列{an}是等差数列，由a1＋a3＝2a2，得λ2＋λ＋3＝2λ＋1，即λ2－λ＋1＝0，Δ＝－30，∴方程无实根．故对于任意的实数λ，数列{an}一定不是等差数列．2当λ＝－时，an＋1＝－an＋n，bn＝an－＋.bn＋1＝an＋1－＋＝－an＋n－＋＝－an＋－＝－an－＋＝－bn，b1＝a1－＋＝m－.∴当m≠时，数列{bn}是以m－为首项，－为公比的等比数列；当m＝时，数列{bn}不是等比数列．类型三等差等比数列的性质[例3]　1xx年高考福建卷等差数列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{an}的公差为　　A．1B．2C．3D．42xx年高考广东卷若等比数列{an}满足a2a4＝，则a1aa5＝________．[解析]　1解法一　利用基本量法求解．设等差数列{an}的公差为d，由题意得解得∴d＝

2.解法二　利用等差数列的性质求解．∵在等差数列{an}中，a1＋a5＝2a3＝10，∴a3＝

5.又a4＝7，∴公差d＝7－5＝

2.2利用等比数列的性质求解．∵数列{an}为等比数列，∴a2·a4＝a＝，a1·a5＝a.∴a1aa5＝a＝.[答案]　1B　2跟踪训练xx年高考安徽卷公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则log2a10＝　　A．4B．5C．6D．7解析利用等比数列的性质和通项公式求解．∵a3·a11＝16，∴a＝

16.又∵等比数列{an}的各项都是正数，∴a7＝

4.又∵a10＝a7q3＝4×23＝25，∴log2a10＝

5.故选B.答案B析典题（预测高考）高考真题【真题】　xx年高考天津卷已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，{bn}是等比数列，且a1＝b1＝2，a4＋b4＝27，S4－b4＝

10.1求数列{an}与{bn}的通项公式；2记Tn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn，n∈N*，证明Tn－8＝an－1bn＋1n∈N*，n≥2．【解析】　1设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，由a1＝b1＝2，得a4＝2＋3d，b4＝2q3，S4＝8＋6d.由条件，得方程组解得所以an＝3n－1，bn＝2n，n∈N*.2证明由1得Tn＝2×2＋5×22＋8×23＋…＋3n－1×2n，

①2Tn＝2×22＋5×23＋…＋3n－4×2n＋3n－1×2n＋

1.

②由

①－

②，得－Tn＝2×2＋3×22＋3×23＋…＋3×2n－3n－1×2n＋1＝－3n－1×2n＋1－2＝－3n－4×2n＋1－8，即Tn－8＝3n－4×2n＋

1.而当n≥2时，an－1bn＋1＝3n－4×2n＋1，所以Tn－8＝an－1bn＋1，n∈N*，n≥

2.【名师点睛】　本题主要考查等差、等比数列的概念、通项公式、前n项和公式、数列求和等知识，本题2中，解题的关键是利用错位相减求和法准确求出Tn，否则不会得出结论考情展望高考对等差、等比数列基本运算的考查．一是在选择、填空中考查，二是在解答题中求通项时进行考查，难度较低，注意方程思想与整体思想的运用．名师押题【押题】　已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＝5，S15＝

225.1求数列{an}的通项an；2设bn＝2an＋2n，求数列{bn}的前n项和Tn.【解析】　1设等差数列{an}首项为a1，公差为d，由题意，得解得∴an＝2n－

1.2bn＝2an＋2n＝·4n＋2n，∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝4＋42＋…＋4n＋21＋2＋…＋n＝＋n2＋n＝·4n＋n2＋n－.。