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2019-2020年高三1月测试数学理试题含答案
一、选择题本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1、已知复数满足,则复数的共轭复数为A.B.C.D.
2、命题“”的否定是()A.B.C.D.
3、设A、B是非空集合,定义A×B={且},己知A={},B={},则A×B等于()A.2,+∞B.[0,1]∪[2,+∞C.[0,1∪2,+∞D.[0.1]∪2,+∞
4、右图为某几何体三视图,按图中所给数据该几何体的体积为()A.16B.16C.64+16D.16+
5、已知函数是R上的偶函数,且在区间上是增函数.令,则A.B.C.D.
6、若等边的边长为,平面内一点满足,则A.B.C.D.
7、设,是两条不同的直线,,,是三个不同的平面,给出一列四个命题
①若,则;
②若,,则;
③若,则;
④若,,则.其中正确命题的个数为()A.1B.2C.3D.
48、已知是定义在上的函数,其图象是一条连续的曲线,且满足下列条件
①的值域为M,且M;
②对任意不相等的,都有|-||-|.那么,关于的方程=在区间上根的情况是()A.没有实数根B.有且仅有一个实数根C.恰有两个不等的实数根D.实数根的个数无法确定
二、填空题本大题共7小题,每小题5分,满分30分.其中14~15题是选做题,考生只能选做一题,两题全答的,只计算前一题得分.
9、设,若,则.
10、一个总体共有600个个体,随机编号为001,002,…,600.采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本,且随机抽得的号码为003.这600个个体分三组,从001到300在第1组,从301到495在第2组,从496到600在第3组.则这三组被抽中的个数依次为 .
11、的展开式中,的系数是______用数字作答.
12、5名学生与两名教师站成一排照相,两名教师之间恰有两名学生的不同站法有种.
13、在正方体ABCD—A1B1C1D1中,E、F分别是线段A1B,B1C上的不与端点重合的动点,如果A1E=B1F,下面四个结论
①;
②EF//AC;
③EF与AC异面;
④EF//平面ABCD,其中一定正确的结论序号是.
14、(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,曲线截直线所得的弦长为.
15、(几何证明选讲选做题)如图为圆O的切线,为切点,,圆O的面积为,则.
三、解答题本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16、本小题满分12分已知向量互相垂直,其中.
(1)求的值;
(2)若,求的值.
17、(本小题满分12分)全国第九届大学生运动会2012年9月8日至9月18日在天津举行,在大运会上,志愿者成为一道亮丽的风景线,通过他们的努力和付出,把志愿者服务精神的种子播撒到人们心中.某大学对参加了本次大运会的该校志愿者实施“社会教育实践”学分考核,因该批志愿者表现良好,该大学决定考核只有合格和优秀两个等次,若某志愿者考核为合格,授予
0.5个学分;考核为优秀,授予1个学分.假设该校志愿者甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为、、,他们考核所得的等次相互独立.1求在这次考核中,志愿者甲、乙、丙三人中至少有一名考核为优秀的概率;2记在这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为随机变量,求随机变量的分布列和数学期望.
18、本小题满分14分)如图,四边形为矩形且为上的动点.1当为的中点时求证;2设,在线段上有这样的点,使得二面角的大小为,试确定点的位置.
19、(本小题满分14分)已知函数的最大值为
2.1求函数在上的单调递减区间;2中角所对的边分别是,且,求的面积.
20、(本小题满分14分)定义在R上的奇函数有最小正周期4,且时,1判断在上的单调性,并给予证明;2求在上的解析式;3当为何值时,关于方程在上有实数解?
21、(本小题满分14分)已知,,(Ⅰ)当时,的最小值是3,求的值;(Ⅱ)记函数的图象为曲线.设点是曲线上的不同两点.如果在曲线上存在点,使得
①;
②曲线在点处的切线平行于直线,则称函数存在“中值相依切线”.试问函数,是否存在“中值相依切线”,请说明理由.参考答案
一、选择题题号12345678答案BCADACBB
二、填空题.
9、
110、25,17,8
11、
8412、
96013、
①④
14、
15、
三、解答题本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16、解
(1)∵与互相垂直,,即,……2分代入又∴.……6分
(2)∵,,∴,……7分则,……9分∴.……12分
17、解1记“甲考核为优秀”为事件,“乙考核为优秀”为事件,“丙考核为优秀”为事件,“甲、乙、两至少有一名考核为优秀”为事件则事件是相互独立事件,事件与事件是对立事件……2分……5分2随机变量的可能取值是,,,,则……6分,,……8分∴的分布列为……10分………12分
18、
(1)证明当为的中点时,,从而为等腰直角三角形,则同理可得,即………2分又,,又,………5分………6分
(2)解如图,以为原点,以所在直线为轴,建立空间直角坐标系,设,………7分则.所以由已知易知平面的一个法向量为,设平面的法向量为,则令,则………9分所以……11分解得(舍去),或………13分所以点为线段距点的处.………14分
19、解
(1)由题意,的最大值为,所以.………………2分而,于是,.………………………………………4分为递减函数,则满足,即.……………………………………………………6分所以在上的单调递减区间为.…………………………………7分2设△ABC的外接圆半径为,由题意,得化简,得.………………………………………………………9分由正弦定理,得,.
①由余弦定理,得,即.
②…………………11分将
①式代入
②,得.解得,或(舍去).……13分.……………………………………………14分
20、解1设则在上为减函数………4分也可以用导数的方法证明2当时,又为奇函数,,………7分当时,由………8分有最小正周期4,………9分综上,………10分3即求函数在上的值域当时由1知,在上为减函数,,当时,,,当时,的值域为时方程方程在上有实数解.…14分第3问视情况酌情给分
21、解(Ⅰ)……………………………1分
①当时,因为,所以,所以在上单调递减,,(舍去),所以,此时无最小值.……………………2分
②当时,在上单调递减,在上单调递增,,,满足条件.……………………4分
③当时,因为,所以,所以在上单调递减,,(舍去),所以,此时无最小值.……………………5分综上可得……………6分Ⅱ假设函数存在“中值相依切线”.设是曲线上的不同两点,且,由题意则,.…………7分曲线在点处的切线斜率,…………8分依题意得.化简可得,………9分即=.…10分设,上式化为即.……11分令.因为显然,所以在上递增显然有恒成立.所以,在内不存在使得成立.……13分综上所述,假设不成立.所以,函数不存在“中值相依切线”.……14分正视图俯视图侧视图422AFEDA1BCD1C1B1PTMAO。