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2019-2020年高三3月一模统考数学理试题Word版含答案数学(理科)xx年3月本试卷共4页,满分120分,考试时间120分钟第Ⅰ卷(选择题)
一、选择题本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合,,,则A.0或B.0或3C.1或D.1或
32.已知函数,则A.B.C.D.
3.现有12件商品摆放在货架上,摆成上层4件下层8件,现要从下层8件中取2件调整到上层,若其他商品的相对顺序不变,则不同调整方法的种数是A.420B.560C.840D.xx
04.在极坐标系下,圆的圆心坐标为A.B.C.D.
5.已知双曲线的离心率为,一个焦点与抛物线的焦点相同,则双曲线的渐近线方程为A.B.C.D.
6.已知直线,,则“”是“”A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
7.一四面体的三视图如图所示,则该四面体四个面中最大的面积是A.B.C.D.
8.已知函数有且仅有两个不同的零点,,则A.当时,,B.当时,,C.当时,,D.当时,,第Ⅱ卷(非选择题)
二、填空题本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.已知,,向量与的夹角为,则.
10.若复数(为虚数单位)为纯虚数,其中,则.
11.执行如图的程序框图,如果输入,则输出的.
12.在中,依次是角的对边,且.若,则角.
13.如图所示,以直角三角形的直角边为直径作⊙,交斜边于点,过点作⊙的切线,交边于点.则.
14.以下是面点师一个工作环节的数学模型如图,在数轴上截取与闭区间对应的线段,对折后(坐标4所对应的点与原点重合)再均匀地拉成4个单位长度的线段,这一过程称为一次操作(例如在第一次操作完成后,原来的坐标
1、3变成2,原来的坐标2变成4,等等).那么原闭区间上(除两个端点外)的点,在第次操作完成后,恰好被拉到与4重合的点所对应的坐标为,则;.
三、解答题本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分13分)已知.(Ⅰ)求的最小正周期和单调递增区间;(Ⅱ)若,求的最小值及取得最小值时对应的的取值.
16.(本小题满分14分)如图,四棱锥的底面为菱形,,侧面是边长为2的正三角形,侧面底面.Ⅰ设的中点为,求证平面;(Ⅱ)求斜线与平面所成角的正弦值;(Ⅲ)在侧棱上存在一点,使得二面角的大小为,求的值.
17.(本小题满分13分)空气质量指数单位:表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量这个值越高就代表空气污染越严重:甲、乙两城市xx年2月份中的15天对空气质量指数进行监测获得日均浓度指数数据如茎叶图所示:(Ⅰ)根据你所学的统计知识估计甲、乙两城市15天内哪个城市空气质量总体较好(注不需说明理由(Ⅱ)在15天内任取1天,估计甲、乙两城市空气质量类别均为优或良的概率;Ⅲ在乙城市15个监测数据中任取个设为空气质量类别为优或良的天数求的分布列及数学期望.
18.(本小题满分13分)已知函数.Ⅰ讨论函数的单调性;(Ⅱ)当时,求函数在区间的最小值.
19.(本小题满分14分)已知动点与一定点的距离和它到一定直线的距离之比为.Ⅰ求动点的轨迹的方程;(Ⅱ)已知直线交轨迹于、两点,过点、分别作直线的垂线,垂足依次为点、.连接、,试探索当变化时,直线、是否相交于一定点?若交于定点,请求出点的坐标,并给予证明;否则说明理由.
20.(本小题满分13分)是由定义在上且满足如下条件的函数组成的集合1对任意,都有;2存在常数,使得对任意的,都有.Ⅰ设,证明;Ⅱ设,如果存在,使得,那么这样的是唯一的;Ⅲ设,任取,令证明:给定正整数对任意的正整数不等式成立.高三数学(理科答案)xx年3月
一、选择题BBCDDADB
二、填空题本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.
10.
11.
12.
13.
14.;(这里为中的所有奇数)
三、解答题
15.(本小题满分13分)解(Ⅰ)…………4分,最小正周期为.…………5分由,得…………6分…………7分…………8分单调递增区间为.…………9分(Ⅱ)当时,,…………10分在区间单调递增,…………11分,对应的的取值为.…………13分
16.(本小题满分14分)Ⅰ证明因为侧面是正三角形,的中点为,所以,因为侧面底面,侧面底面,侧面,所以平面.………3分(Ⅱ)连结,设,建立空间直角坐标系,则,,,,,………5分平面的法向量,设斜线与平面所成角的为,则.………8分(Ⅲ)设,则,,,………10分设平面的法向量为,则,,取,得,又平面的法向量………12分所以,所以,解得(舍去)或.所以,此时.………14分
17.(本小题满分13分)解(Ⅰ)甲城市空气质量总体较好.………2分(Ⅱ)甲城市在15天内空气质量类别为优或良的共有10天,任取1天,空气质量类别为优或良的概率为,………4分乙城市在15天内空气质量类别为优或良的共有5天,任取1天,空气质量类别为优或良的概率为,………6分在15天内任取1天,估计甲、乙两城市空气质量类别均为优或良的概率为.………8分Ⅲ的取值为,………9分,,的分布列为数学期望………13分
18.(本小题满分13分)解函数的定义域为,………1分Ⅰ,………4分
(1)当时,,所以在定义域为上单调递增;…5分
(2)当时,令,得(舍去),,当变化时,,的变化情况如下此时,在区间单调递减,在区间上单调递增;………7分
(3)当时,令,得,(舍去),当变化时,,的变化情况如下此时,在区间单调递减,在区间上单调递增.………9分(Ⅱ)由Ⅰ知当时,在区间单调递减,在区间上单调递增.………10分
(1)当,即时,在区间单调递减,所以,;………11分
(2)当,即时,在区间单调递减,在区间单调递增,所以,………12分
(3)当,即时,在区间单调递增,所以.………13分
19.(本小题满分14分)解Ⅰ由题意得,化简并整理,得.所以动点的轨迹的方程为椭圆.………3分(Ⅱ)当时,、,、直线的方程为,直线的方程为,方程联立解得,直线、相交于一点.假设直线、相交于一定点.………5分证明设,,则,,由消去并整理得,显然,由韦达定理得,.………7分因为,,所以………11分所以,,所以、、三点共线,………12分同理可证、、三点共线,所以直线、相交于一定点.14分
20.(本小题满分13分)解Ⅰ对任意,,,,所以.对任意的,,,所以0<,令=,,,所以.………5分Ⅱ反证法:设存在两个使得,则由,得,所以,矛盾,故结论成立.………8分Ⅲ,所以…………+…+.………13分(7题图)(13题图)24(14题图)320455647697880791809乙城市302244896615178823098甲城市。