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文本内容:
2019-2020年高三3月第二次调研测试数学试题含答案
一、填空题本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填写在答卷卡的相应位置上.
1.在平面直角坐标系中,已知向量=2,1,向量=3,5,则向量的坐标为▲.【答案】(1,4)
2.设集合,则▲.【答案】
3.设复数z满足|z|=|z-1|=1,则复数z的实部为▲.【答案】
4.设fx是定义在R上的奇函数,当x0时,fx=x+ex(e为自然对数的底数),则的值为▲.【答案】
5.某篮球运动员在7天中进行投篮训练的时间(单位分钟)用茎叶图表示(如图),图中左列表示训练时间的十位数,右列表示训练时间的个位数,则该运动员这7天的平均训练时间为▲分钟.【答案】
726.根据如图所示的伪代码,最后输出的S的值为▲.【答案】
1457.在平面直角坐标系xOy中,设椭圆与双曲线共焦点,且经过点,则该椭圆的离心率为▲.【答案】
8.若将一个圆锥的侧面沿一条母线剪开,其展开图是半径为2cm的半圆,则该圆锥的高为▲cm.【答案】
9.将函数的图象上每一点向右平移1个单位,再将所得图象上每一点的横坐标扩大为原来的倍(纵坐标保持不变),得函数的图象,则的一个解析式为▲.【答案】
10.函数的所有零点之和为▲.【答案】
411.设,且.则的值为▲.【答案】
12.设数列{an}满足,则a1的值大于20的概率为▲.【答案】
13.设实数x1,x2,x3,x4,x5均不小于1,且x1·x2·x3·x4·x5=729,则max{x1x2,x2x3,x3x4,x4x5}的最小值是▲.【答案】
914.在平面直角坐标系xOy中,设,B,C是函数图象上的两点,且△ABC为正三角形,则△ABC的高为▲.【答案】2
二、解答题本大题共6小题,共90分.请把答案写在答题卡相应的位置上.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分14分)已知△ABC的内角A的大小为120°,面积为.
(1)若AB,求△ABC的另外两条边长;
(2)设O为△ABC的外心,当时,求的值.【解】
(1)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,于是,所以bc=4.………………………………3分因为,所以.由余弦定理得.………6分
(2)由得,即,解得或4.……………8分设BC的中点为D,则,因为O为△ABC的外心,所以,于是.…………………12分所以当时,,;当时,,.…………………………14分
16.(本小题满分14分)如图,在四棱锥中,平面平面,BC//平面PAD,.求证
(1)平面;
(2)平面平面.【证】
(1)因为BC//平面PAD,而BC平面ABCD,平面ABCD平面PAD=AD,所以BC//AD.…………………………………3分因为AD平面PBC,BC平面PBC,所以平面.……………………………………………………6分
(2)自P作PHAB于H,因为平面平面,且平面平面=AB,所以平面.………………………9分因为BC平面ABCD,所以BCPH.因为所以BCPB,而,于是点H与B不重合,即PBPH=H.因为PB,PH平面PAB,所以BC平面PAB.…………12分因为BC平面PBC,故平面PBC平面PAB.……………………14分17.(本小题满分14分)为稳定房价,某地政府决定建造一批保障房供给社会.计划用1 600万元购得一块土地,在该土地上建造10幢楼房的住宅小区,每幢楼的楼层数相同,且每层建筑面积均为1 000平方米,每平方米的建筑费用与楼层有关,第x层楼房每平方米的建筑费用为kx+800元其中k为常数.经测算,若每幢楼为5层,则该小区每平方米的平均综合费用为1 270元.每平方米平均综合费用=.
(1)求k的值;
(2)问要使该小区楼房每平方米的平均综合费用最低,应将这10幢楼房建成多少层?此时每平方米的平均综合费用为多少元?【解】
(1)如果每幢楼为5层,那么所有建筑面积为10×1 000×5平方米,所有建筑费用为[k+800+2k+800+3k+800+4k+800+5k+800]×1 000×10,所以,…………3分1 270=,解之得k=50.……………………………………………………6分
(2)设小区每幢为nn∈N*层时,每平方米平均综合费用为fn,由题设可知fn==+25n+825≥2+825=1225元.……………10分当且仅当=25n,即n=8时等号成立.………………………12分答该小区每幢建8层时,每平方米平均综合费用最低,此时每平方米平均综合费用为1225元.……………………………14分
18.(本小题满分16分)已知函数fx=m-3x3+9x.
(1)若函数fx在区间-∞,+∞上是单调函数,求m的取值范围;
(2)若函数fx在区间[1,2]上的最大值为4,求m的值.【解】
(1)因为0=90,所以fx在区间上只能是单调增函数.………3分由x=3m-3x2+9≥0在区间-∞,+∞上恒成立,所以m≥3.故m的取值范围是[3,+∞.…………………………………………6分
(2)当m≥3时,fx在[1,2]上是增函数,所以[fx]max=f2=8m-3+18=4解得m=3,不合题意,舍去.………………………………………8分当m<3时,x=3m-3x2+9=0,得.所以fx的单调区间为单调减,单调增,单调减.……………………………………10分
①当,即时,,所以fx在区间[1,2]上单调增,[fx]max=f2=8m-3+18=4,m=,不满足题设要求.
②当,即0<m<时,[fx]max舍去.
③当,即m≤0时,则,所以fx在区间[1,2]上单调减,[fx]max=f1=m+6=4,m=-
2.综上所述m=-2.……………………………………………16分19.(本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy中,已知圆C x2+y2=r2和直线l x=a(其中r和a均为常数,且0ra),M为l上一动点,A1,A2为圆C与x轴的两个交点,直线MA1,MA2与圆C的另一个交点分别为P、Q.
(1)若r=2,M点的坐标为4,2,求直线PQ方程;
(2)求证直线PQ过定点,并求定点的坐标.【解】
(1)当r=2,M4,2,则A1-2,0,A22,
0.直线MA1的方程x-3y+2=0,解得.…………………2分直线MA2的方程x-y-2=0,解得.………………4分由两点式,得直线PQ方程为2x-y-2=0.………………………………6分
(2)证法一由题设得A1-r,0,A2r,
0.设Ma,t,直线MA1的方程是y=x+r,直线MA1的方程是y=x-r.…………8分解得.…………………………10分解得.……………………12分于是直线PQ的斜率kPQ=,直线PQ的方程为.…………14分上式中令y=0,得x=,是一个与t无关的常数.故直线PQ过定点.…16分证法二由题设得A1-r,0,A2r,
0.设Ma,t,直线MA1的方程是y=x+r,与圆C的交点P设为Px1,y1.直线MA2的方程是y=x-r;与圆C的交点Q设为Qx2,y2.则点Px1,y1,Qx2,y2在曲线[a+ry-tx+r][a-ry-tx-r]=0上,…10分化简得a2-r2y2-2tyax-r2+t2x2-r2=0.
①又有Px1,y1,Qx2,y2在圆C上,圆C x2+y2-r2=0.
②-t2×
②得a2-r2y2-2tyax-r2-t2x2-r2-t2x2+y2-r2=0,化简得a2-r2y-2tax-r2-t2y=0.所以直线PQ的方程为a2-r2y-2tax-r2-t2y=0.
③……………14分在
③中令y=0得x=,故直线PQ过定点.………………16分20.(本小题满分16分)设无穷数列满足,,.记.
(1)若,求证=2,并求的值;
(2)若是公差为1的等差数列,问是否为等差数列,证明你的结论.【解】
(1)因为,所以若,则矛盾,若,可得矛盾,所以.…………………………4分于是,从而.……………………………7分
(2)是公差为1的等差数列,证明如下…………………………9分时,,所以,,………………………………………………13分即,由题设,,又,所以,即是等差数列.………………………………………16分数学II(附加题)
21.(选做题)本大题包括A,B,C,D共4小题,请从这4题中选做2小题.每小题10分,共20分.请在答题卡上准确填涂题目标记.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.选修4-1几何证明选讲如图,是⊙的直径,是⊙上的两点,⊥,过点作⊙的切线FD交的延长线于点.连结交于点.求证.【证明】连结OF.因为DF切⊙O于F,所以∠OFD=90°.所以∠OFC+∠CFD=90°.因为OC=OF,所以∠OCF=∠OFC.因为CO⊥AB于O,所以∠OCF+∠CEO=90°.…………………5分所以∠CFD=∠CEO=∠DEF,所以DF=DE.因为DF是⊙O的切线所以DF2=DB·DA.所以DE2=DB·DA.………………10分B.选修4-2矩阵与变换设曲线在矩阵对应的变换作用下得到的曲线为,求矩阵M的逆矩阵.【解】设曲线上任一点在矩阵对应的变换下的像是由得因为在圆上所以,化简可得.………………………………………………3分依题意可得,或而由可得.………6分故.…………………………………………10分C.选修4-4坐标系与参数方程在平面直角坐标中已知圆圆.
(1)在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别求圆的极坐标方程及这两个圆的交点的极坐标;
(2)求圆的公共弦的参数方程.【解】
(1)圆的极坐标方程为,圆的极坐标方程为,由得,故圆交点坐标为圆.…………………5分
(2)由
(1)得,圆交点直角坐标为,故圆的公共弦的参数方程为……………10分注第
(1)小题中交点的极坐标表示不唯一;第
(2)小题的结果中,若未注明参数范围,扣2分.D.选修4-5不等式选讲设正数a,b,c满足,求的最小值.【解】因为a,b,c均为正数,且,所以.于是,当且仅当时,等号成立.…………………………………8分即,故的最小值为1.…………10分
22.必做题本小题10分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.如图,在三棱柱中,,,且.
(1)求棱与BC所成的角的大小;
(2)在棱上确定一点P,使二面角的平面角的余弦值为.【解】
(1)如图,以A为原点建立空间直角坐标系,则,,.,故与棱BC所成的角是.………………………4分
(2)P为棱中点,设,则.设平面的法向量为n1,,则故n1………………………8分而平面的法向量是n2=1,0,0,则,解得,即P为棱中点,其坐标为……………………10分23.必做题本小题10分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.设b0,函数,记(是函数的导函数),且当x=1时,取得极小值2.
(1)求函数的单调增区间;
(2)证明.【解】
(1)由题.于是,若,则,与有极小值矛盾,所以.令,并考虑到,知仅当时,取得极小值.所以解得.……………………………………………4分故,由,得,所以的单调增区间为.
(2)因为,所以记因为,所以,故.………10分S←0For I From1to28Step3S←S+IEndForPrintS(第6题)6457725801(第5题)ABCP(第16题)DABCPDHOAEBDFC(第22题)BACA1B1C1BACA1B1C1zxyP。