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2019-2020年高三3月联考综合练习
(二)数学理试题
一、选择题本大题共8小题.每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合,,则()A.B.C.D.【答案】B【解析】,所以选B.2.已知复数则“”是“为纯虚数”的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.非充分非必要条件【答案】A【解析】若复数为纯虚数,则有,解得所以是为纯虚数的充分非必要条件,选A.3.在极坐标系中,过点且垂直于极轴的直线方程( ) A. B. C. D.【答案】D【解析】由于点的直角坐标坐标为.故过此点垂直于x轴的直线方程为,化为极坐标方程为所以选D.4.如果执行右面的程序框图,那么输出的()A.96B.120C.144D.300【答案】B【解析】经过第一次循环得到t=2,k=2;满足判断框中的条件;经过第二次循环得到t=2+2×2=6,k=2+1=3;满足判断框中的条件;经过第三次循环得到t=6+6×3=24,k=3+1=4;满足判断框中的条件;经过第四次循环得到t=24+24×4=120,k=4+1=5;不满足判断框中的条件;执行“输出t“即输出120.选B5.已知,满足,且z的最大值是最小值的4倍,则m的值是()A.B.C.D.【答案】A【解析】因为既存在最大值,又存在最小值,所以不等式表示的平面区域为一个有界区域,可得作出不等式组表示的平面区域,得到如图的△ABC及其内部,其中A(1,1),B(m,m),C由,得,平移直线,由图象可知当直线经过点A时,目标函数z达到最大值;当经过点B时,目标函数z达到最小值所以z最大值=3;z最小值=3m因为z的最大值是最小值的4倍,所以,解之得选A6.已知底面为正方形的四棱锥,其一条侧棱垂直于底面,那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的()【答案】C【解析】由题意可知当四棱锥的直观图为,它的三视图是,选C.7.已知数列满足,若是递减数列,则实数的取值范围是 A.B.C.D.【答案】D【解析】因为是递减数列,所以当时,有当时,,即且,即,解得综上,选D.8.已知函数则下列结论正确的是()A.在上恰有一个零点 B.在上恰有两个零点C.在上恰有一个零点 D.在上恰有两个零点【答案】C【解析】函数的导数为当时,,此时函数递增当时,,此时函数递增因为,所以函数在上没有零点又,所以函数在时有且只有一个零点,所以选C.二.填空题(每题5分共6小题)9.已知随机变量的分布列如下,则的值等于 【答案】【解析】因为,解得所以.10.若双曲线与直线无交点,则离心率的取值范围是.【答案】【解析】双曲线的渐近线方程为,要使双曲线与直线无交点,则,即,所以,即,,所以,即离心率的取值范围是,即
11.如图,AB是圆的切线,切点为,点在圆内,与圆相交于,若,,,则圆的半径为.【答案】【解析】连结BC并延长,交圆于F,因为BA是圆O的切线,切点为A,由切割线定理可知,所以BF=12,CF=9,过O作OE⊥BF,所以,,所以.所以半径.12.在中,为中点,若,,则的最小值是.【答案】【解析】因为,,,所以所以,所以的最小值为13.有6名同学参加两项课外活动,每位同学必须参加一项活动且不能同时参加两项,每项活动最多安排4人,则不同的安排方法有________种.(用数字作答)【答案】【解析】因为每项活动最多安排4人,所以可以有三种安排方法,即(4,2),(3,3),(2,4)当安排4,2时,需要选出4个人参加共有当安排3,3,时,共有种结果,当安排2,4时,共有种结果,所以共有15+20+15=50种结果14.已知直线,若存在实数使得一条曲线与直线有两个不同的交点,且以这两个交点为端点的线段的长度恰好等于,则称此曲线为直线的“绝对曲线”.下面给出的三条曲线方程
①;
②;
③.其中直线的“绝对曲线”有_____.(填写全部正确选项的序号)【答案】
②③【解析】由,可知直线l过点A.对于
①,,图象是顶点为(1,0)的倒V型,而直线l过顶点A所以直线l不会与曲线有两个交点,不是直线l的“绝对曲线”;对于
②,是以A为圆心,半径为1的圆,所以直线l与圆总有两个交点,且距离为直径2,所以存在,使得圆与直线l有两个不同的交点,且以这两个交点为端点的线段的长度恰好等于.所以圆是直线l的“绝对曲线”;对于
③,将代入x2+3y2=4,得(3a2+1)x2+6a(1﹣a)x+3(1﹣a)2﹣4=0.,若直线l被椭圆截得的线段长度是|a|,则化简得,.令,所以函数在上存在零点,即方程有根.而直线过椭圆上的定点,当时满足直线与椭圆相交.故曲线x2+3y2=4是直线的“绝对曲线”.
三、解答题本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
15.本小题满分13分已知函数其中.
(1)求函数的值域;
(2)若函数的图象与直线的两个相邻交点间的距离为,求函数的单调增区间.16.本小题满分13分某地区举办了一次数学知识应用竞赛.有近万名学生参加,为了分析竞赛情况,在参赛学生中随机抽取了40名学生的成绩,并根据他们的成绩制作了频率分布直方图(如图所示).1试估计这40名学生成绩的众数;2试估计这40名学生的成绩在之间的人数;3从参加活动的学生中任取5人,求这5人中恰有2人的成绩在之间的概率.
17.本小题满分13分在四棱锥中,底面为矩形,,,,,分别为的中点.
(1)求证;
(2)求证平面;
(3)线段上是否存在一点,使得平面平面,若存在,求出的长;若不存在,请说明理由.
18.本小题满分13分设
(1)若在上存在单调递增区间,求的取值范围;
(2)当时,在上的最小值为,求在该区间上的最大值.19.本小题满分14分已知平面内一动点到点的距离与点到轴的距离的差等于1.
(1)求动点的轨迹的方程;
(2)过点作两条斜率存在且互相垂直的直线,设与轨迹相交于点,与轨迹相交于点,求的最小值.20.本小题满分14分已知数集具有性质对,与两数中至少有一个属于.1分别判断数集与数集是否具有性质,说明理由;2求证;3已知数集具有性质.证明数列是等差数列.东城区普通高中示范校高三综合练习二高三数学(理)参考答案xx.3
一、选择题本大题共8小题,每小题5分,共40分题号12345678答案BADBACDC
二、填空题本大题共6小题,每小题5分,共30分题号91011121314答案
②③
三、解答题本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
15.已知函数其中.
(1)求函数的值域;
(2)若函数的图象与直线的两个相邻交点间的距离为,求函数的单调增区间.解
(1)=…………………………………5分所以函数的值域为…………………………………………………7分
(2)由得…………………………………………………9分所以由………………………………………11分得所以函数的单调增区间为.………13分16.某地区举办了一次数学知识应用竞赛.有近万名学生参加,为了分析竞赛情况,在参赛学生中随机抽取了40名学生的成绩,并根据他们的成绩制作了频率分布直方图(如图所示).1试估计这40名学生成绩的众数;2试估计这40名学生的成绩在之间的人数;3从参加活动的学生中任取5人,求这5人中恰有2人的成绩在之间的概率.解
177.5;………………………………………3分2所求为直线与直线之间的直方图的面积,因此,………………………7分答这40名学生的成绩在之间的有20人.(答19人也算对)……………8分3设这5人中恰有2人的成绩在之间为事件,因为……………………………………10分所以……………………………………12分答这5人中恰有2人的成绩在之间的概率为0.3087.………13分
17.在四棱锥中,底面为矩形,,,,,分别为的中点.
(1)求证;
(2)求证平面;
(3)线段上是否存在一点,使得平面平面,若存在,求出的长;若不存在,请说明理由.
(1)证明底面为矩形…………………………………4分
(2)证明取,连接是平行四边形,//,,//……………………………………8分3,以为坐标原点,以所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,假设在线段上存在一点,使得平面平面,设,设平面的法向量为,,令设平面的法向量为令,解得线段上存在点,且当时,使得平面平面.……………13分
18.设
(1)若在上存在单调递增区间,求的取值范围;
(2)当时,在上的最小值为,求在该区间上的最大值.解答
(1)……………………………2分在上存在单调递增区间存在的子区间,使得时在上单调递减,即解得当时,在上存在单调递增区间………………………………6分
(2)令;在上单调递减,在上单调递增在上单调递增,在上单调递减…………………………………8分所以的最大值为,………………………10分解得……………………13分19.已知平面内一动点到点的距离与点到轴的距离的差等于1.(I)求动点的轨迹的方程;(II)过点作两条斜率存在且互相垂直的直线,设与轨迹相交于点,与轨迹相交于点,求的最小值.解析
(1)设动点的坐标为,由题意得……………2分化简得当时;当时所以动点的轨迹的方程为和()………………………5分
(2)由题意知,直线的斜率存在且不为0,设为,则的方程为.由设则,…………………………7分因为,所以的斜率为.设,则同理可得,…………………………8分…………………………………11分……………………………13分当且仅当即时,取最小值16.…………………………14分20.已知数集具有性质对,与两数中至少有一个属于.1分别判断数集与数集是否具有性质,说明理由;2求证;3已知数集具有性质.证明数列是等差数列.解1由于和都不属于集合,所以该集合不具有性质;由于、、、、、、、、、都属于集合,所以该数集具有性质.…………………………………………4分2具有性质,所以与中至少有一个属于由,有,故,故,故由具有性质知,又,,,…,,从而故……………………8分3由2可知,…………………………
①由知,,,…,,均不属于由具有性质,,,…,,均属于,,,…,即…………………………
②由
①②可知故构成等差数列.…………………………………13分
0.
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0250.
0300.
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0450.05006065707580859095100分数
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