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2019-2020年高中数学第一章解三角形测评(A卷)新人教B版必修5时间90分钟,满分120分
一、选择题本大题共10个小题,每小题5分,共50分1.在△ABC中,a=5,b=3,∠C=120°,则sinA∶sinB的值是A.B.C.D.答案A 由正弦定理知sinA∶sinB=a∶b=5∶
3.2.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c=,b=,∠B=120°,则a等于A.B.2C.D.答案D 由正弦定理=,∴sinC=.∴∠C=30°.∴∠A=30°.∴a=c=.3.在△ABC中,a+b+10c=2sinA+sinB+10sinC,∠A=60°,则a等于A.B.2C.4D.不确定答案A 由正弦定理易得△ABC的外接圆半径为1,∴=2R=
2.∴a=2sinA=.4.已知△ABC中,a=,b=,∠B=60°,那么∠A等于A.135°B.90°C.45°D.30°答案C 由正弦定理,得=,∴sinA=·sin60°=.∵ab,∴∠A∠B.∴∠A=45°.5.在△ABC中,已知a=2,则bcosC+ccosB等于A.1B.C.2D.4答案C bcosC+ccosB=b·+c·==a=
2.6.在△ABC中,∠A=,BC=3,则△ABC的周长为A.4sinB++3B.4sinB++3C.6sinB++3D.6sinB++3答案D 令AC=b,BC=a,AB=c,a+b+c=3+b+c=3+2RsinB+sinC=3+[sinB+sin120°-B]=3+sinB+cosB+sinB=3+6sinB+.7.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a,b,c,若a2+c2-b2·tanB=ac,则∠B的值为A.B.C.D.或答案D 由a2+c2-b2tanB=ac得=,即cosB=·,∴sinB=.又∠B∈0,π,∴∠B=或.8.在△ABC中,a=2bcosC,则△ABC的形状一定是A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形答案A 9.伊拉克战争初期,美英联军为了准确分析战场的形势,由分别位于科威特和沙特的两个距离a的军事基地C和D,测得伊拉克两支精锐部队分别在A处和B处,且∠ADB=30°,∠BDC=30°,∠DCA=60°,∠ACB=45°,如图所示,则伊军这两支精锐部队间的距离是A.aB.aC.aD.a答案A ∵∠ADC=∠ACD=60°,∴△ADC是正三角形.∴AC=a.在△BDC中,由正弦定理得=,即BC==a.∴在△ABC中由余弦定理得AB2=a2+a2-2·a·acos45°=a2,∴AB=a.10.如图,l
1、l
2、l3是同一平面内的三条平行直线,l1与l2间的距离是1,l2与l3间的距离是2,正三角形ABC的三个顶点分别在l
1、l
2、l3上,则△ABC的边长是A.2B.C.D.答案D 设正三角形边长为a,AB与l2夹角为θ,易知,1=asinθ,2=asin60°-θ;于是2asinθ=a·sin60°-θ,∴cosθ-sinθ=
0.∴tanθ=,cosθ=.∴sinθ=.∴a==.
二、填空题本大题共4个小题,每小题4分,共16分11.在△ABC中,已知AB=4,AC=7,BC边的中线AD=,那么BC=__________.答案9 如图,延长AD至E,使DE=AD,连结BE,CE,则四边形ABEC为平行四边形.AE=2AD=7,在△ACE中,cos∠ACE==,∴cos∠BAC=-.在△ABC中,BC2=72+42+2×7×4×=81,∴BC=
9.12.已知平面上有四点O、A、B、C,满足O+O+O=0,O·O=O·O=O·O=-1,则△ABC的周长是__________.答案3 由已知,得O是△ABC的外心,|O|=|O|=|O|,又O·O=O·O=O·O=-1,故∠AOB=∠BOC=∠BOA=,|O|=|O|=|O|=,∴△AOB为等腰三角形.在△AOB中,AB2=OA2+OB2-2OA·OB·cos=6,∴AB=.∴△ABC的周长为
3.13.已知a,b,c为△ABC的三个内角∠A,∠B,∠C的对边,向量m=,-1,n=cosA,sinA.若m⊥n,且acosB+bcosA=csinC,则∠B=________.答案 ∵m⊥n,∴cosA-sinA=
0.∴cosA-sinA=
0.∴cosA+=
0.∵∠A+∈,,∴∠A+=.∴∠A=.由正弦定理acosB+bcosA=csinC可化为sinAcosB+sinBcosA=sin2C,∴sinA+B=sin2C.而sinC=sinA+B≠0,∴sinC=
1.∴∠C=90°.∴∠B=-∠A=.14.在△ABC中,三个角∠A,∠B,∠C的对边边长分别为a=3,b=4,c=6,则bccosA+cacosB+abcosC的值为__________.答案 在△ABC中,由余弦定理cosA=,有bccosA=,同理accosB=,abcosC=,∴原式==.
三、解答题本大题共5个小题,共54分15.10分在△ABC中,1若a=,b=2,c=+1,求∠A、∠B、∠C及S△ABC;2已知b=4,c=8,∠B=30°,求∠C、∠A与a.答案解1由余弦定理,得cosA===,∴∠A=60°,cosB==,∴∠B=45°.∴∠C=180°-60°-45°=75°,∴S△ABC=bc·sinA=×2×+1sin60°=.2由正弦定理,得sinC===
1.又30°∠C150°,∴∠C=90°.∴∠A=180°-∠B+∠C=180°-120°=60°.∴a==
4.
16.10分xx全国高考卷Ⅰ,文18在△ABC中,内角A、B、C的对边长分别为a、b、c.已知a2-c2=2b,且sinB=4cosAsinC,求b.答案解由余弦定理得a2-c2=b2-2bccosA.又a2-c2=2b,b≠0,所以b=2ccosA+
2.
①由正弦定理得=,又由已知得=4cosA,所以b=4ccosA.
②故由
①②解得b=
4.17.10分xx海南、宁夏高考,理17为了测量两山顶M,N间的距离,飞机沿水平方向在A,B两点进行测量.A,B,M,N在同一个铅垂平面内如示意图.飞机能够测量的数据有俯角和A,B间的距离.请设计一个方案,包括
①指出需要测量的数据用字母表示,并在图中标出;
②用文字和公式写出计算M,N间的距离的步骤.答案解方案一
①需要测量的数据有A点到M,N点的俯角α1,β1;B点到M,N点的俯角α2,β2;A,B的距离d如图所示.
②第一步计算AM.由正弦定理AM=;第二步计算AN.由正弦定理AN=;第三步计算MN.由余弦定理MN=.方案二
①需要测量的数据有A点到M,N点的俯角α1,β1;B点到M,N点的俯角α2,β2;A,B的距离d如图所示.
②第一步计算BM.由正弦定理BM=;第二步计算BN.由正弦定理BN=;第三步计算MN.由余弦定理MN=.18.12分在锐角三角形中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c,已知sinA=.1求tan2+sin2;2若a=2,S△ABC=,求b的值.答案解1在锐角△ABC中,∠A+∠B+∠C=π,sinA=,∴cosA=,则tan2+sin2=+sin2=+1-cosA=+=.2∵S△ABC=,又S△ABC=bcsinA=b·c·=,∴bc=
3.将a=2,cosA=,c=代入a2=b2+c2-2bccosA,得b4-6b2+9=0,解得b=.19.12分已知k是正整数,钝角三角形的三个内角A、B、C对应的边分别为a、b、c.1若方程x2-2kx+3k2-7k+3=0有实根,求k的值;2对于1中的k值,若sinC=,且有关系式c-bsin2A+bsin2B=csin2C,试求角A、B、C的度数.答案解1∵方程x2-2kx+3k2-7k+3=0有实根,∴Δ=4k2-43k2-7k+3≥0,即2k2-7k+3≤
0.∴≤k≤3,又k∈N+.∴k=
123.2在钝角△ABC中,0sinC1,∴k=1,sinC=.∴∠C=45°或∠C=135°.∵c-bsin2A+bsin2B=csin2C,由正弦定理a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,得c-ba2+b3-c3=0,即b-cb2+c2-a2+bc=0,∴b=c或b2+c2-a2+bc=
0.当b=c时∠B=45°或135°,这与△ABC为钝角三角形矛盾,∴b2+c2-a2+bc=
0.由余弦定理得cosA==-,∴∠A=120°,∠C=45°,∠B=180°-∠A+∠C=15°.。