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2019-2020年高中数学第二章基本初等函数(I)
2.2对数函数破题致胜复习检测新人教A版必修1复习指导考点一对数与对数运算
1.对数对数的概念一般地,如果ax=Na>0,且a≠1,那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=.a叫做对数的底数,N叫做真数.对数的性质10和负数没有对数;2;3对数的四则运算法则1;2;
3.两种特殊对数常用对数:以10为底的对数自然对数自然对数以无理数(≈
2.
71828.……)为底的对数:
2.对数与指数的关系当a>0,且a≠1时.如图所示
3.对数换底公式且且解题指导
1.对数运算问题常用结论1且且.23().
2.比较对数大小常用方法
(1)同底数的对数比较大小用单调性.
(2)同真数的对数比较大小用图象或换底或转化为指数形式.
(3)作差或作商法.
(4)利用中间量
0、1比较.比较大小—对数法比大小例题1.已知log2m=
2.016log2n=
1.016则等于 A.2B.C.10D.解析∵,∴,即∴,故选B.答案B2.正数满足,则()A.B.C.D.解析给定特殊值,不妨设,则.答案C考点二对数函数及其性质
1.对数函数的图象与性质函数()图象0<a<1a>1图象特征在y轴右方,过定点
(10)当x逐渐增大时,图象逐渐下降当x逐渐增大时,图象逐渐上升性质定义域(0,+∞)值域(-∞,+∞)单调性在0,+∞上是减函数在0,+∞上是增函数函数值变化规律当x=1时,y=0当x>1时,y<0;当0<x<1时,y>0当x>1时,y>0;当0<x<1时,y<
02.对数函数与指数函数的关系指数函数()和对数函数()互为反函数,图象关于直线对称,单调性相同.解题指导对数函数中底数对图象位置的影响数形结合比大小—比较对数大小例题
1.已知函数fx=loga2x+b-1a>0a≠1的图象如图所示则ab满足的关系是A.0<a-1<b<1B.0<b<a-1<1C.0<b-1<a<1D.0<a-1<b-1<1答案A
2.已知fx=logaxa0且a≠1的图象过点421求a的值.2若gx=f1-x+f1+x求gx的解析式及定义域.3在2的条件下求gx的单调减区间.2由得∴的定义域为3令,则其单调减区间为,为单调增函数∴的单调区间为.点睛本题主要考查对数函数及复合函数的单调性有关方面的知识,对于对数函数的单调性取决于底数的范围,二次函数的单调性尤其开口方向与对称轴来判断,那么对于复合函数的单调性,一般有“同增异减”之说法,即若复合函数的两个函数的单调性相同,则为增函数,若两个函数的单调性不同,则为减函数.巩固练习1.已知函数,则()A.B.2C.3D.42.若,且,则的值()A.B.C.D.不是常数3.若,则()A.B.C.D.4.函数的单调递增区间是()A.B.C.D.5.已知在区间上是增函数,则的取值范围()A.B.C.D.6.已知,,,则的大小关系为()A.B.C.D.7.已知,则函数与函数的图象可能是A.B.C.D.8.下列式子中,成立的是()A.B.C.D.9.己知函数在上是减函数,则实数的取值范围是()A.B.C.D.
二、解答题10.已知log2log3log4x=0,且log4log2y=
1.求的值.11.已知,,设函数.
(1)若,,求;
(2)若,且是奇函数,求.12.设函数若实数满足1证明:2证明存在使得13.已知⑴若,求函数的定义域;⑵当时,函数有意义,求实数的取值范围.14.已知函数,,().
(1)设,函数的定义域为,求的最大值;
(2)当时,求使的的取值范围.15.如图,过函数的图象上的两点作轴的垂线,垂足分别为,线段于函数的图象交于点,且与轴平行.
(1)当时,求实数的值;
(2)当时,求的最小值;
(3)已知,若为区间任意两个变量,且,求证.参考答案与解析1.C【解析】∵,,∴选C2.C3.A【解析】,所以,故选A4.A【解析】函数的定义域为令,则在上单调递减,在上单调递增,为减函数,根据“同增异减”可知函数的单调递增区间是故选A点睛复合函数的单调性的判断口诀为“同增异减”,即内外层单调性一致为增函数,内外层单调性相反为减函数,易错点忽略了函数的定义域,单调区间必然是定义域的子集.5.D【解析】令,则原函数由和复合而成的复合函数,函数在上是增函数,,解得,的取值范围是,故选D.6.B【解析】,,故选B.7.A点睛识图常用的方法1定性分析法通过对问题进行定性的分析,从而得出图象的上升或下降的趋势,利用这一特征分析解决问题;2定量计算法通过定量的计算来分析解决问题;3函数模型法由所提供的图象特征,联想相关函数模型,利用这一函数模型来分析解决问题.8.D【解析】对于A所以故A错;对于B在R上递增,所以故B错;对于C因为故C错;因为y=log
0.4x是减函数,所以log
0.44>log
0.46正确;故选D.9.B【解析】∵∴函数为减函数,要使函数在上是减函数,需满足,解得∴实数的取值范围是选B点睛复合函数的单调性满足“同增异减”的性质,解答本题时要注意题目的隐含条件,即且,并由此得到函数为减函数,进一步可得同时还应注意定义域的限制,对数的真数要满足大于零的条件,这一点在解题中很容易忽视10.64∴log4x=3,∴x=43=
64.由log4log2y=1,知log2y=4,∴y=24=
16.因此==8×8=
64.点睛本题考查了对数函数的运算性质,注意计算的准确性,是基础题.11.11;
2100.【解析】试题分析
(1)当,时,将代入函数解析式,利用多事的运算法则化简即可;
(2)代入解析式,利用对数的运算法则化简为,利用可得结果.试题解析
(1)当,时,=所以.
(2)若,则∵是奇函数∴∴∴.【方法点睛】本题主要考查对数的运算法则及函数的奇偶性,属于中档题.已知函数的奇偶性求参数,主要方法有两个,一是利用
(1)奇函数由恒成立求解,
(2)偶函数由恒成立求解;二是利用特殊值奇函数一般由求解,偶函数一般由求解,用特殊法求解参数后,一定要注意验证奇偶性.12.
(1)见解析
(2)见解析试题解析
(1)由又.
(2)由1得.由得即..令..是连续函数∴在区间有实数解故存在满足13.
(1)
(2)试题解析1当则要解得即所以的定义域为2当时令则有意义即在上恒成立即在上恒成立.因为当时,所以所以点睛恒成立的问题常用方法
(3)若恒成立,可转化为(最值需同时取到).14.
(1)42【解析】试题分析
(1)利用函数的单调性直接求解函数的最大值即可.
(2)当时,满足即得解.试题解析
(1)当时,在为减函数,因此当时最大值为4
(2)即当时,满足故当时解集为:.15.
(1);2;3见解析.【解析】试题分析
(1)通过,解得.
(2),因为,所以,所以,最小值.
(3),由,,,所以,即.试题解析又与轴平行,所以,因为,所以,所以,所以,取得最小值.
(3),因为,且,所以,又因为,所以,又因为,所以,即.。