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2019-2020年高中数学第一单元常用逻辑用语
1.
3.2命题的四种形式教学案新人教B版选修1-1学习目标
1.了解四种命题的概念,会写出所给命题的逆命题、否命题和逆否命题.
2.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的联系.
3.会利用命题的等价性解决问题. 知识点一 四种命题的概念思考 给出以下四个命题1当x=2时,x2-3x+2=0;2若x2-3x+2=0,则x=2;3若x≠2,则x2-3x+2≠0;4若x2-3x+2≠0,则x≠
2.你能说出命题1与其他三个命题的条件与结论有什么关系吗? 梳理 对命题的条件和结论进行“换位”和“换质”否定后,可以构成四种不同形式的命题1原命题________________;2逆命题________________“换位”;3否命题________________“换质”;4逆否命题________________“换位”又“换质”.知识点二 命题的四种形式之间的关系思考1 为了书写方便常把p与q的否定分别记作“綈p”和“綈q”,如果原命题是“如果p,则q”,那么它的逆命题、否命题、逆否命题该如何表示? 思考2 原命题的否命题与原命题的逆否命题之间是什么关系?原命题的逆命题与其逆否命题之间是什么关系?原命题的逆命题与其否命题呢? 梳理 四种命题间的相互关系知识点三 四种命题的真假关系思考1 知识点一的“思考”中四个命题的真假性是怎样的? 思考2 如果原命题是真命题,它的逆命题是真命题吗?它的否命题呢?它的逆否命题呢? 梳理 1在原命题的逆命题、否命题、逆否命题中,一定与原命题真假性相同的是________________.2两个命题互为逆命题或互为否命题时,它们的真假性________________.类型一 四种命题及其相互关系命题角度1 四种命题的概念例1 写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题.1若x∈A,则x∈A∪B; 2若a,b都是偶数,则a+b是偶数;3在△ABC中,若ab,则AB.反思与感悟 四种命题的转换方法1交换原命题的条件和结论,所得命题是原命题的逆命题.2同时否定原命题的条件和结论,所得命题是原命题的否命题.3交换原命题的条件和结论,并且同时否定,所得命题是原命题的逆否命题.跟踪训练1 命题“若函数fx=logaxa0,a≠1在其定义域内是减函数,则loga20”的逆否命题是 A.若loga20,则函数fx=logaxa0,a≠1在其定义域内不是减函数B.若loga2≥0,则函数fx=logaxa0,a≠1在其定义域内不是减函数C.若loga20,则函数fx=logaxa0,a≠1在其定义域内是减函数D.若loga2≥0,则函数fx=logaxa0,a≠1在其定义域内是减函数命题角度2 四种命题的相互关系例2 若命题p“若x+y=0,则x,y互为相反数”的否命题为q,命题q的逆命题为r,则r与p的逆命题的关系是 A.互为逆命题B.互为否命题C.互为逆否命题D.同一命题反思与感悟 判断四种命题之间四种关系的两种方法1利用四种命题的定义判断;2巧用“逆、否”两字进行判断,如“逆命题”与“逆否命题”中不同有“否”一个字,是互否关系;而“逆命题”与“否命题”中不同有“逆、否”二字,其关系为逆否关系.跟踪训练2 已知命题p的逆命题是“若实数a,b满足a=1且b=2,则a+b4”,则命题p的否命题是__________________________________.类型二 四种命题的真假判断例3 有以下命题
①“若xy=1,则x,y互为倒数”的逆命题;
②“面积相等的三角形全等”的否命题;
③“若m≤1,则x2-2x+m=0有实数解”的逆否命题;
④“若A∩B=B,则A⊆B”的逆否命题,其中真命题为 A.
①②B.
②③C.
④D.
①②③反思与感悟 原命题与逆否命题总是具有相同的真假性,与逆命题或否命题的真假性没有关系.逆命题与否命题也总是具有相同的真假性.跟踪训练3 命题“若ab,则ac2bc2a,b,c∈R”与它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为 A.0B.2C.3D.4类型三 等价命题的应用例4 判断命题“已知a,x为实数,若关于x的不等式x2+2a+1x+a2+2≤0的解集非空,则a≥1”的逆否命题的真假.引申探究 判断命题“已知a,x为实数,若关于x的不等式x2+2a+1x+a2+20的解集为R,则a”的逆否命题的真假.反思与感悟 由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性,即互为逆否命题的两个命题具有等价性,所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时,可以通过证明它的逆否命题为真命题来间接地证明原命题为真命题.跟踪训练4 证明若a2-4b2-2a+1≠0,则a≠2b+
1. 1.命题“若a∉A,则b∈B”的否命题是 A.若a∉A,则b∉BB.若a∈A,则b∉BC.若b∈B,则a∉AD.若b∉B,则a∉A2.命题“如果x21,则-1x1”的逆否命题是 A.如果x2≥1,则x≥1,或x≤-1B.如果-1x1,则x21C.如果x1或x-1,则x21D.如果x≥1或x≤-1,则x2≥13.如果一个命题的否命题是真命题,那么这个命题的逆命题是 A.真命题B.假命题C.不一定是真命题D.不一定是假命题4.下列命题
①“全等三角形的面积相等”的逆命题;
②“正三角形的三个内角均为60°”的否命题;
③“若k0,则方程x2+2k+1x+k=0必有两相异实数根”的逆否命题.其中真命题的个数是 A.0B.1C.2D.35.已知命题“若m-1xm+1,则1x2”的逆命题为真命题,则m的取值范围是________.1.写四种命题时,可以按下列步骤进行1找出命题的条件p和结论q;2写出条件p的否定綈p和结论q的否定綈q;3按照四种命题的结构写出所有命题.2.一个命题都有条件和结论,要分清条件和结论.3.判断命题的真假可以根据互为逆否的命题真假性相同来判断,这也是反证法的理论基础.学习目标
1.理解命题及四种命题的概念,掌握四种命题间的相互关系.
2.理解充分、必要条件的概念,掌握充分、必要条件的判定方法.
3.理解逻辑联结词的含义,会判断含有逻辑联结词的命题的真假.
4.理解全称量词、存在量词的含义,会判断全称命题、存在性命题的真假,会求含有一个量词的命题的否定.知识点一 全称命题与存在性命题1.全称命题与存在性命题真假的判断方法1判断全称命题为真命题,需严格的逻辑推理证明,判断全称命题为假命题,只需举出反例.2判断存在性命题为真命题,需要举出正例,而判断存在性命题为假命题时,要有严格的逻辑证明.2.含有一个量词的命题否定的关注点全称命题的否定是存在性命题,存在性命题的否定是全称命题.否定时既要改写量词,又要否定结论.知识点二 简易逻辑联结词“且、或、非”命题的真假判断可以概括为口诀“p与綈p”一真一假,“p∨q”一真即真,“p∧q”一假就假.pq綈pp∨qp∧q真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假知识点三 充分条件、必要条件的判断方法1.直接利用定义判断即若p⇒q成立,则p是q的充分条件,q是p的必要条件.条件与结论是相对的2.利用等价命题的关系判断p⇒q的等价命题是綈q⇒綈p,即若綈q⇒綈p成立,则p是q的充分条件,q是p的必要条件.3.从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件若A⊆B,则p是q的充分条件,若AB,则p是q的充分不必要条件若B⊆A,则p是q的必要条件,若BA,则p是q的必要不充分条件若A=B,则p,q互为充要条件若A⊈B且B⊈A,则p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件其中p A={x|px成立},q B={x|qx成立}.知识点四 四种命题的关系原命题与逆否命题为等价命题,逆命题与否命题为等价命题.类型一 命题的关系及真假的判断例1 将下列命题改写成“如果p,则q”的形式,并写出它的逆命题、否命题和逆否命题以及它们的真假.1垂直于同一平面的两条直线平行;2当mn0时,方程mx2-x+n=0有实数根. 反思与感悟 1四种命题的改写步骤
①确定原命题的条件和结论.
②逆命题把原命题的条件和结论交换.否命题把原命题中条件和结论分别否定.逆否命题把原命题中否定了的结论作条件、否定了的条件作结论.2命题真假的判断方法跟踪训练1 下列四个结论
①已知a,b,c∈R,命题“若a+b+c=3,则a2+b2+c2≥3”的否命题是“若a+b+c≠3,则a2+b2+c23”;
②命题“若x-sinx=0,则x=0”的逆命题为“若x≠0,则x-sinx≠0”;
③命题p的否命题和命题p的逆命题同真同假;
④若|C|0,则C
0.其中正确结论的个数是 A.1B.2C.3D.4类型二 逻辑联结词与量词的综合应用例2 已知p∃x∈R,mx2+2≤
0.q∀x∈R,x2-2mx+1>0,若p∨q为假命题,则实数m的取值范围是 A.[1,+∞B.-∞,-1]C.-∞,-2]D.[-11]反思与感悟 解决此类问题首先理解逻辑联结词的含义,掌握简单命题与含有逻辑联结词的命题的真假关系.其次要善于利用等价关系,如p真与綈p假等价,p假与綈p真等价,将问题转化,从而谋得最佳解决途径.跟踪训练2 已知命题p方程2x2+ax-a2=0在[-11]上有解;命题q只有一个实数x0满足不等式x+2ax0+2a≤
0.若命题“p或q”是假命题,求a的取值范围. 类型三 充分条件与必要条件命题角度1 充分条件与必要条件的判断例3 1设x∈R,则“x2-3x0”是“x4”的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2已知a,b是实数,则“a0且b0”是“a+b0且ab0”的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件反思与感悟 条件的充要关系的常用判断方法1定义法直接判断若p则q,若q则p的真假.2等价法利用A⇒B与綈B⇒綈A,B⇒A与綈A⇒綈B,A⇔B与綈B⇔綈A的等价关系,对于条件或结论是否定式的命题,一般运用等价法.3利用集合间的包含关系判断若A⊆B,则A是B的充分条件或B是A的必要条件;若A=B,则A是B的充要条件.跟踪训练3 使ab0成立的一个充分不必要条件是 A.a2b20B.0C.lnalnb0D.xaxb且x
0.5命题角度2 充分条件与必要条件的应用例4 设命题p x2-5x+6≤0;命题q x-mx-m-2≤0,若綈p是綈q的必要不充分条件,求实数m的取值范围. 反思与感悟 利用条件的充要性求参数的范围1解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解.2注意利用转化的方法理解充分必要条件若綈p是綈q的充分不必要必要不充分、充要条件,则p是q的必要不充分充分不必要、充要条件.跟踪训练4 已知p2x2-9x+a0,q2x3且綈q是綈p的必要条件,求实数a的取值范围. 1.已知命题p∀x0,总有x+1ex1,则綈p为 A.∃x≤0,使得x+1ex≤1B.∃x0,使得x+1ex≤1C.∀x0,总有x+1ex≤1D.∀x≤0,总有x+1ex≤12.设x,y∈R,则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.“若x,y全为零,则xy=0”的否命题为______________.4.已知命题p若xy,则-x-y;命题q若xy,则x2y
2.在命题
①p∧q;
②p∨q;
③p∧綈q;
④綈p∨q中,真命题是________.5.对任意x∈[-12],x2-a≥0恒成立,则实数a的取值范围是________.1.否命题和命题的否定是两个不同的概念1否命题是将原命题的条件否定作为条件,将原命题的结论否定作为结论构造一个新的命题.2命题的否定只是否定命题的结论,常用于反证法.若命题为“如果p,则q”,则该命题的否命题是“如果綈p,则綈q”;命题的否定为“如果p,则綈q”.2.四种命题的三种关系,互否关系,互逆关系,互为逆否关系,只有互为逆否关系的命题是等价命题.3.判断p与q之间的关系时,要注意p与q之间关系的方向性,充分条件与必要条件方向正好相反,不要混淆.4.注意常见逻辑联结词的否定一些常见逻辑联结词的否定要记住,如“都是”的否定“不都是”,“全是”的否定“不全是”,“至少有一个”的否定“一个也没有”,“至多有一个”的否定“至少有两个”.答案精析问题导学知识点一思考 命题1的条件和结论与命题2的条件和结论恰好互换了.命题1的条件与结论恰好是命题3条件的否定和结论的否定.命题1的条件和结论恰好是命题4结论的否定和条件的否定.梳理 1如果p,则q 2如果q,则p 3如果綈p,则綈q 4如果綈q,则綈p知识点二思考1 逆命题如果q,则p.否命题如果綈p,则綈q.逆否命题如果綈q,则綈p.思考2 互逆、互否、互为逆否.梳理 如果p,则q 如果q,则p 如果綈p,则綈q 如果綈q,则綈p知识点三思考1 1真命题,2假命题,3假命题,4真命题.思考2 原命题为真,其逆命题不一定为真,其否命题不一定为真,其逆否命题一定是真命题.梳理 1逆否命题 2没有关系题型探究例1 解 1逆命题若x∈A∪B,则x∈A.否命题若x∉A,则x∉A∪B.逆否命题若x∉A∪B,则x∉A.2逆命题若a+b是偶数,则a,b都是偶数.否命题a,b不都是偶数,则a+b不是偶数.逆否命题若a+b不是偶数,则a,b不都是偶数.3逆命题在△ABC中,若AB,则ab.否命题在△ABC中,若a≤b,则A≤B.逆否命题在△ABC中,若A≤B,则a≤b.跟踪训练1 B例2 B [已知命题p若x+y=0,则x,y互为相反数.命题p的否命题q为若x+y≠0,则x,y不互为相反数,命题q的逆命题r为若x,y不互为相反数,则x+y≠0,∴r是p的逆否命题,∴r是p的逆命题的否命题,故选B.]跟踪训练2 若实数a,b满足a+b≥4,则a≠1或b≠2解析 由命题p的逆命题与其否命题互为逆否命题可得.例3 D [
①②③显然正确;对于
④,若A∩B=B,则B⊆A,所以原命题为假,故它的逆否命题也为假.]跟踪训练3 B [命题“若ab,则ac2bc2a,b,c∈R”是假命题,则其逆否命题是假命题.该命题的逆命题为“若ac2bc2,则aba,b,c∈R”是真命题,则其否命题是真命题.故选B.]例4 解 方法一 原命题的逆否命题已知a,x为实数,若a1,则关于x的不等式x2+2a+1x+a2+2≤0的解集为∅,判断如下抛物线y=x2+2a+1x+a2+2的开口向上,令x2+2a+1x+a2+2=0,则Δ=2a+12-4a2+2=4a-
7.因为a1,所以4a-70,即关于x的不等式x2+2a+1x+a2+2≤0的解集为∅.故此命题为真命题.方法二 利用原命题的真假去判断逆否命题的真假.因为关于x的不等式x2+2a+1x+a2+2≤0的解集非空,所以2a+12-4a2+2≥0,即4a-7≥0,解得a≥≥1,所以原命题为真,故其逆否命题为真.引申探究 解 先判断原命题的真假如下因为a,x为实数,关于x的不等式x2+2a+1x+a2+20的解集为R,且抛物线y=x2+2a+1x+a2+2的开口向上,所以Δ=2a+12-4a2+2=4a-70,所以a.所以原命题是真命题.因为互为逆否命题的两个命题同真同假,所以原命题的逆否命题为真命题.跟踪训练4 证明 “若a2-4b2-2a+1≠0,则a≠2b+1”的逆否命题为“若a=2b+1,则a2-4b2-2a+1=0”.∵a=2b+1,∴a2-4b2-2a+1=2b+12-4b2-22b+1+1=4b2+1+4b-4b2-4b-2+1=
0.∴命题“若a=2b+1,则a2-4b2-2a+1=0”为真命题.由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知,结论正确.当堂训练1.B
2.D
3.A
4.C
5.
[12]。