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2019-2020年高三4月质量监测数学试题含答案
一、填空题.(本大题共14小题,每小题5分,共70分.)
1.已知集合M={012},N={x|x=2aa∈M},则集合M∩N=___________.{02}
1.若复数z1=3+4i,z2=a+i,且z1·是实数(其中为z2的共轭复数),则实数a=___________.
1.有3个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为_______.
1.“m=-1”是“直线mx+2m-1y+1=0和直线3x+my+3=0垂直”的___________条件.充分不必要
1.右边程序输出的结果是___________.
101.在三棱锥P-ABC中,D,E分别为PB,PC的中点,记三棱锥DABE的体积为V1,PABC的体积为V2,则=____________.
1.在平面直角坐标系xOy中,已知A、B分别是双曲线x2-eq\f3=1的左、右焦点,△ABC的顶点C在双曲线的右支上,则eq\f的值是.-
1.在等差数列{an}中,a1+3a8+a15=120,则3a9―a11的值为_________.
481.若sinα+2cosα=0,则的值为________.-.
1.在平面内,若A
17、B
51、M21,点P是直线OM上的一个动点,且·=-8,则cos∠APB=__________.-eq\feq\a4.
1.设fx是R上的奇函数,且f-1=0,当x>0时,x2+1·fx-2x·fx<0,则不等式fx>0的解集为________.-∞-1∪01.
1.已知△ABC中,角ABC所对的边分别为abc,且BC边上的高为a,则+的最大值为______.
1.已知定义在R上的函数fx存在零点,且对任意mn∈R都满足f[m·fm+fn]=f2m+n,若关于x的方程=1-logax(a>0a≠1)恰有三个不同的根,则实数a的取值范围是【分析】需要函数f[fx]的解析式!∵fx存在零点,∴令fx0=0∴令m=x0∴f[x0·fx0+fn]=f2x0+n∴f[fn]=n∴=1-logax恰有三个不同的根,∴logax=1-(下略)a>3.
1.若点P在曲线C1y2=8x上,点Q在曲线C2x-22+y2=1上,点O为坐标原点,则的最大值是.【知识点抛物线定义、多变量问题、函数求最值问题】解注意到圆C2的圆心恰好为抛物线的焦点F,因为P、Q为两个独立的点,可先考虑一个点动,注意到只有分母有Q,故先求出|PQ|的最小值为|PF|-1=xp+-1=xp+1,∵|OP|2=+=+8xp∴=eq\feq\r+8xpxp+1令t=xp+1≥1∴y=eq\ft=eq\r-7·+6·+1∈01]∴=时,ymax=eq\r=eq\f47.
二、解答题.(本大题共6小题,共计90分.)
1.如图,斜三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1C1C⊥底面ABC,侧面AA1C1C是菱形,∠A1AC=60º,E、F分别是A1C
1、AB的中点.求证
(1)EF∥平面BB1C1C;
(2)平面CEF⊥平面ABC.
1.如图,函数y=2cosωx+φ(ω>0,0≤φ≤)的图象与y轴交于点0,周期是π.
(1)求ω、φ的值;
(2)已知点A0,点P是该函数图象上一点,点Qx0y0是PA的中点,当y0=eq\f2,x0∈[π]时,求x0的值.解
(1)y=2cos2x+
(2)∵A0,Qx0y0是PA中点,y0=eq\f2,∴P2x0-.又因为点P在y=2cos2x+的图象上,∴2cos4x0-π+=.∴cos4x0+=-eq\f2∵x0∈[π],∴4x0+∈[2π+4π+]∴4x0+=2π+π-或4x0+=2π+π+∴x0=或.
1.如图,已知海岛A到海岸公路BC的距离AB为50㎞,B,C间的距离为100㎞,从A到C,必须先坐船到BC上的某一点D,船速为25㎞/h,再乘汽车到C,车速为50㎞/h,记∠BDA=θ.
(1)试将由A到C所用的时间t表示为θ的函数tθ;
(2)问θ为多少时,由A到C所用的时间t最少?解
(1)∵AD=,∴A到D所用时间t1=BD==,CD=100-BD=100-∴D到C所用时间t2=2-∴tθ=t1+t2=+2(θ0<θ<,其中tanθ0=)··························6分
(2)tθ==····································8分令tθ>0,得cosθ<∴<θ<;∴当θ∈eq\b\lc\,eq\b\rc\时,tθ单调递增;同理θ0<θ<,tθ<0,tθ单调递减·····················12分∴θ=,tθ取到最小值+2;·························································13分答当θ=时,由A到C的时间最少为+2小时.·····························14分
1.如图,已知点F1F2是椭圆Cl+y2=1的两个焦点,椭圆C2+y2=经过点F1F2,点P是椭圆C2上异于F1F2的任意一点,直线PF1和PF2与椭圆C1的交点分别是A,B和C,D.设AB、CD的斜率分别为k、k.
(1)试问k·k是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.
(2)求|AB|·|CD|的最大值.解
(1)因为点是椭圆的两个焦点,故的坐标是;而点是椭圆上的点,将的坐标带入的方程得,设点的坐标是,直线和分别是.
(1),又点是椭圆上的点,故
(2)联合
(1)
(2)两式得,故k·k为定值.(Ⅱ)直线的方程可表示为
(3)结合方程
(4)和椭圆的方程,得到方程组由方程组消y得
(4)依韦达定理知,方程4)的两根满足.5同理可求得6由
(5)
(6)两式得当且仅当时等号成立.故的最大值等于.
1.已知函数,(其中a为常数).
(1)如果函数和有相同的极值点,求a的值;
(2)设a>0,问是否存在,使得,若存在,请求出实数a的取值范围;若不存在,请说明理由;
(3)记函数,若函数有5个不同的零点,求实数的取值范围.解
(1),则,令,得或,而在处有极大值,∴,或;综上或.
(2)假设存在,即存在,使得,当时,又,故,则存在,使得,当即时,得,;当即时,得,无解;综上.
(3)据题意有有3个不同的实根,有2个不同的实根,且这5个实根两两不相等.(ⅰ)有2个不同的实根,只需满足;(ⅱ)有3个不同的实根,当即时,在处取得极大值,而,不符合题意,舍;当即时,不符合题意,舍;当即时,在处取得极大值,;所以;因为(ⅰ)(ⅱ)要同时满足,故;(注也对)下证这5个实根两两不相等,即证不存在使得和同时成立;若存在使得,由,即,得,当时,,不符合,舍去;当时,既有
①;又由,即
②;联立
①②式,可得;而当时,没有5个不同的零点,故舍去,所以这5个实根两两不相等.综上,当时,函数有5个不同的零点.
1.已知数列{an}满足a1=0,a2=2,且对任意m、n∈N*,都有a2m-1+a2n-1=2am+n-1+2m-n2.
(1)求a3,a5;
(2)设bn=a2n+1-a2n-1n∈N*,证明{bn}是等差数列;
(3)设cn=an+1-anqn-1q≠0,n∈N*,求数列{cn}的前n项和Sn.解1由题意,零m=2n-1可得a3=2a2-a1+2=6再令m=3n=1,可得a5=2a3-a1+8=20………………………………4分2当n∈N*时,由已知以n+2代替m可得a2n+3+a2n-1=2a2n+1+8于是[a2n+1+1-a2n+1-1]-a2n+1-a2n-1=8w_ww.k#s5_u.co*m即bn+1-bn=8所以{bn}是公差为8的等差数列………………………………………………8分3由12解答可知{bn}是首项为b1=a3-a1=6公差为8的等差数列则bn=8n-2,即a2n+=1-a2n-1=8n-2另由已知令m=1可得an=-n-
12.那么an+1-an=-2n+1=-2n+1=2n于是cn=2nqn-
1.……………………………………12分当q=1时,Sn=2+4+6+……+2n=nn+1当q≠1时,Sn=2q0+4q1+6q2+……+2nqn-
1.两边同乘以q,可得qSn=2q1+4q2+6q3+……+2nqn.上述两式相减得1-qSn=21+q+q2+……+qn-1-2nqn=2-2nqn=2所以Sn=2综上所述,Sn=…………………………16分S←1ForIFrom1To5Step2S←S+IEndForPrintSEMBEDEquation.DSMT4BACDθ。