2019-2020年高三5月模拟试题（数学）

2019-2020年高三5月模拟试题（数学）

一、填空题:本大题共14小题，每小题5分，合计70分.请把答案直接填写在答题纸相应位置上.1．已知集合，则.2．已知复数，若复数为纯虚数，则实数的值为.3．已知角的终边经过点，则的值为.4．已知数据，4，2，5，3的平均数为，其中，是方程的两个根，则这组数据的标准差是　　　　.5．已知函数是以5为周期的奇函数，且，则.6．以下程序运行后结果是__________.7．如图，一个正四面体的展开图是边长为的正三角形，则该四面体的外接球的表面积为.8．已知，，则与的夹角为.9．已知数列的前项和为，，且（为正整数）则数列的通项公式为.10．命题“存在实数，满足不等式”是假命题，则实数的取值范围是.11．已知直线与曲线过点的切线垂直，则=.12．如果椭圆上存在一点P，使得点P到左准线的距离等于它到右焦点的距离的两倍，那么椭圆的离心率的取值范围为.13．定义在上的函数，如果满足对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界．若函数在上是以3为上界的有界函数，则实数的取值范围为.14．已知数列的通项公式是，数列的通项公式是，令集合，，．将集合中的元素按从小到大的顺序排列构成的数列记为．则数列的前45项的和=.

二、解答题:本大题共6小题15-17每题14分，18-20每题16分，共计90分.请在答题纸指定的区域内作答解答时应写出文字说明证明过程或演算步骤.15．已知四边形的外接圆的半径为２，对角线的长为.（１）求角的大小；（２）求四边形面积的最大值.16．某工厂生产甲，乙两种产品，已知生产甲产品１吨，需矿石3吨，煤１吨，生产乙产品１吨，需矿石１吨，煤３吨．工厂在生产这两种产品的计划中，要求消耗矿石不超过6吨，煤不超过10吨.（１）求甲产品生产的吨数不小于乙产品生产的吨数的概率；（２）当甲，乙两种产品生产的吨数均为整数时，求甲产品生产的吨数不小于乙产品生产的吨数的概率；17．如图，已知四棱锥的底面是菱形，，点是边的中点，交于点，.

（1）求证；

（2）在线段上是否存在一点，使得∥平面？若存在，求四棱锥与四棱锥的体积之比；若不存在，试说明理由.

18.如图，的三个顶点坐标分别为，分别是高的两个三等分点，过作直线∥，分别交和于，连接．（Ⅰ）求过、、三点的圆的方程；（Ⅱ）在线段上是否存在点，使得过点存在和圆M相切的直线，并且若过点存在两条切线时，则点和两切点组成的？若存在，求出点对应轨迹的长度；若不存在，试说明理由.19．已知直角ABC的三边长满足≤＜．

（1）对于给定的正整数和正数，在之间插入个数，使这个数构成以为首项的等差数列，求的最大值；

（2）求证若成等比数列，则中最多有一个是整数；

（3）已知均为正整数，且成等差数列，将满足条件的三角形的面积从小到大排成一列，记第个为，且，求满足不等式的所有的值.20．如图，是函数的图像上两点，分别过作轴的平行线与函数的图像交于两点.（１）求点与原点连成直线的斜率取值范围；（２）若直线过原点，求证直线也过原点；（３）当直线与轴平行时，设点的横坐标为，四边形的面积为，若方程在区间上有实数解，求整数的值.附加题部分21[选做题]在A，B，C，D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.A.选修4—1几何证明选讲如图，圆与圆外切于点，一条外公切线分别切两圆于两点，为圆的直径，为圆上任一点，.求证为圆的切线，切点为.B.选修4—2　矩阵与变换已知矩阵，点，点.

（1）求线段在矩阵对应的变换作用下得到的线段的长度；

（2）求矩阵的特征值与特征向量.C.选修4－4坐标系与参数方程已知曲线的参数方程为，曲线的极坐标方程为．

（1）将曲线的参数方程化为普通方程；

（2）曲线与曲线有无公共点？试说明理由．D.选修4－5不等式证明选讲解不等式22．已知数列的前项和为，通项公式为，，

（1）计算的值；

（2）比较与1的大小，并用数学归纳法证明你的结论.23．如图所示，某城市有南北街道和东西街道各条，一邮递员从该城市西北角的邮局出发，送信到东南角地，要求所走路程最短.

（1）求该邮递员途径C地的概率；

（2）求证，（）.参考答案及评分标准1．；2．；3．；4．；5．-2；6．19；7．；8．；9．；10．；11．或12．；13．；14．2627；15．解

（1）由，得，…………………………3分又角为三角形的内角，所以或.………………………………5分

（2）若　，则.……………………………………………6分设，则有，即.……………………………8分又，所以有，当且仅当时等号成立，……………………10分，………………………12分当时，同样可得，所以四边形面积的最大值为.……………………………………14分16．解设甲，乙两种产品各生产吨由题意得………………………………3分

（1）设甲产品生产的吨数不小于乙产品生产的吨数为事件，又甲产品生产的吨数不小于乙产品生产的吨数等价于，所以事件发生的概率为图中三角形的面积与四边形的面积之比……………………5分由得，于是相关点的坐标为，，，，…………8分面积为，四边形的面积　　所以所求概率………………………………10分

（2）设甲，乙两种产品生产的吨数均为整数时，甲产品生产的吨数不小于乙产品生产的吨数为事件，则事件发生概率为含在内部与边界上的整数点与含在四边形内部与边界上的整数点的个数之比………………………………………………………………12分又含在四边形内部与边界上的整数点共有九个点，含在内部与边界上的整数点共有四个点，所以所求概率．…………………………………………………14分17．解

（1）在菱形中，连接因为，故是等边三角形．因为是边的中点，所以……………………………………２分由于，，所以，………………４分而，所以⊥平面，又由于平面，所以．………………６分

（2）在线段上存在一点，使得平面，……８分取中点中点连接，因为所以又平面，平面，所以平面，同理可得平面又因为，所以平面平面因为平面，所以平面………12分因为为中点所以于是四棱锥的高是四棱锥的高的一半，又因为四棱锥的底面积是四棱锥的底面积，所以四棱锥与四棱锥的体积之比是．………………14分法二:事实上，过点作交于，过作，交于，连，因为，平面，平面，所以∥平面，因为，平面，平面，所以∥平面，…10分又因为，所以平面∥平面因为平面BGF，所以∥平面；…………12分由（Ⅰ）知为等边的中心，于是为等边的中心，所以，即为中点，所以为中点，于是四棱锥的高是四棱锥的高的一半，又因为四棱锥的底面积是四棱锥的底面积，所以四棱锥与四棱锥的体积之比是．……………14分18．解

（1）由已知，直线方程为直线方程为由可得，即…2分又，所以直线与的斜率之积，所以，所以过三点的圆的圆即以为直径的圆…………4分由知圆心为，半径，所以圆的方程为，即…………………………………6分

（2）假设在线段上存在满足条件的点，则点在圆上，或在圆外，当点在圆外时，过点存在两条切线，由点和两切点组成的得，直角的一个锐角，于是，即………8分因为点线段上，所以可设点坐标为，所以由，得，满足，……………………………10分所以线段上存在点满足条件．线段上满足的点对应线段长为……………………………………12分又因为圆心到线的距离为所以直线被圆截得的弦长为……………14分所以点对应轨迹的长度为…………………15分19．解

（1）是等差数列，∴……1分∵，解法一．设，则圆的圆心到直线得距离，∴，，但当且仅当时所以的最大值为；…………………………………………4分解法二．设，则，∵，∴，∴时，S取最大值；解法三．因为，，所以当且仅当等号成立，所以的最大值为．

（2）证设公比为q则由为直角三角形的三边长，知，由于，，…………………………………6分和都是无理数，若中有两上或三个是整数，则，或，或中至少有一个是有理数，与和都是无理数矛盾，中至多有一个为正整数……………………………………………8分

（3）设的公差为，则………9分三角形的三边长可设为，面积………………………10分若n为偶数则………………………11分若n为奇数，则………………………………12分∴，由，得，即令，则………………………………………………13分当时，，即…………………14分时，，随的增大而减少即又因为，，，所以时，．……………………………………16分20．解

（1）设过原点且和函数的图象相切的切线的切点为，则，又，切线的斜率，解，．结合图象知，点与原点连成直线的斜率取值范围是；………４分

（2）由已知可设各点的坐标分别为则且∴∴∵直线过原点，∴，∴，于是，即，∴直线也过原点．　　　　　　　　　　……………………………………8分

（3）当直线与轴平行时，，∴=……………10分于是方程可化为，由于，且不是该方程的解，所以原方程等价于，………11分令，则对一切成立，所以和在和都是增函数，…………………………………13分又因为；，………………………………………15分所以方程有且只有两个实根，并且分别在区间和上，所求整数的值为1和．…………………………………16分；附加题答案21A.选修4—1几何证明选讲证明设圆的半径为，圆的半径为（）过点作，垂足为，则………………………………3分连接，则………………5分因为所以，………………8分所以三角形为直角三角形，………………9分所以为圆的切线，切点为…………………………………10分B.选修4—2　矩阵与变换解1由，，……………………………2分所以所以…………………………………4分2…………………………………6分得矩阵特征值为，…………………………………7分分别将代入方程组得矩阵属于特征值的特征向量为，当属于特征值的特征向量为．…………………………10分C.选修4－4坐标系与参数方程解

（1）由得----------4分

（2）由得曲线的普通方程为---6分得-----------8分解得故曲线与曲线无公共点----------10分D.选修4－5不等式证明选讲解当时，原不等式等价于即--------2分所以---------3分当时，原不等式等价于即所以---------5分当时，原不等式等价于即所以---------8分由上可知原不等式的解集为---------10分22解

（1）由已知，，；…………………………3分

（2）由（Ⅰ）知；下面用数学归纳法证明当时，．…………………………………………4分（１）由（Ⅰ）当时，；………………………………………5分（２）假设时，，即，那么，所以当时，也成立．………………………………………8分由

（1）和

（2）知，当时，．……………………………………9分所以当，和时，；当时，．…………………10分23．解

（1）邮递员从该城市西北角的邮局A到达东南角B地，要求所走路程最短共有种不同的走法，其中途径C地的走法有种走法，所以邮递员途径C地的概率；………3分

（2）由，得，要证时，，只要证时，，………………………4分因为时，，且，所以只要证，且时，．………………………5分由于时，且………………………6分，，，，．………………9分所以成立，所以．………………………10分（第7题）ＡＢＥＣＤＰＯOABGFDECxyOCxADByABCEMBEDEquation.DSMT4OABCDxyＡＢＥＣＤＰＯFMＡＢＥＣＤＰＯGFOABGFDECxyOCxADByE。