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2019-2020年高三5月模拟(信息卷)数学试题Word版含答案(本部分满分160分,时间120分钟)参考公式圆椎的体积公式,其中是圆柱的底面积,是高.一.填空题本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1.已知集合,若,则▲.2.设复数z满足,(为虚数单位),则复数的实部为▲.3.函数的定义域为▲.4.某商场在五一黄金周的促销活动中,对5月1日9时至14时的销售额进行统计,其频率分布直方图如图所示.已知9时至10时的销售额为3万元,则11时至12时的销售额为▲万元.5.右图是一个算法流程图,则输出的值是▲.6.从中随机取出两个不同的数,则其和为奇数的概率为▲.7.已知圆锥的母线长为,高为,则此圆锥的底面积和侧面积之比为▲.8.已知函数,若曲线在点处的切线过原点,则实数的值为▲.9.已知双曲线的右焦点到其一条渐近线距离为3,则实数的值是▲.10.已知函数(),且(),则▲.11.设满足约束条件则目标函数的取值范围为▲.12.已知等差数列的首项为,公差为,其前项和为.若存在,使得,则实数的最小值为▲.13.在区间上存在,使得不等式成立,则实数的取值范围是▲.14.如图,在等腰梯形中,,,,点,分别为,的中点.如果对于常数,在的四条边上,有且只有个不同的点使得成立,那么实数的取值范围为▲.
二、解答题本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分14分)已知.
(1)若,求角的值;
(2)求的最小值.16.(本小题满分14分)在三棱锥P-ABC中,D为AB的中点.
(1)若与BC平行的平面PDE交AC于点E,求证点为的中点;
(2)若PA=PB,且△PCD为锐角三角形,又平面PCD⊥平面ABC,求证AB⊥PC.17.(本小题满分14分)某公园准备在一圆形水池里设置两个观景喷泉,观景喷泉的示意图如图所示,两点为喷泉,圆心为的中点,其中米,半径米,市民可位于水池边缘任意一点处观赏.
(1)若当时,,求此时的值;
(2)设,且.(i)试将表示为的函数,并求出的取值范围;(ii)若同时要求市民在水池边缘任意一点处观赏喷泉时,观赏角度的最大值不小于,试求两处喷泉间距离的最小值.18.(本小题满分16分)已知椭圆()的离心率为,椭圆与轴交于两点,且.
(1)求椭圆的方程;
(2)设点是椭圆上的一个动点,且点在轴的右侧,直线与直线交于两点,若以为直径的圆与轴交于,求点横坐标的取值范围及的最大值.19.本小题满分16分已知数列,其前项和为.
(1)若是公差为的等差数列,且也是公差为的等差数列,求数列的通项公式;
(2)若数列对任意,且,都有,求证数列是等差数列.20.(本小题满分16分)已知函数,直线为曲线的切线.为自然对数的底数.
(1)求实数的值;
(2)用表示中的最小值,设函数,若函数为增函数,求实数的取值范围.淮安市xx学年度高三年级信息卷数学试题xx.5数学Ⅱ附加题部分21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作答,若多做,则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修41几何证明选讲](本小题满分10分)如图,已知为的切线,为切点,直线交于点,过点作的垂线交于点,垂足为..证明.B.[选修42矩阵与变换](本小题满分10分)若圆在矩阵对应的变换下变成椭圆,求矩阵的逆矩阵.C.[选修44坐标系与参数方程](本小题满分10分)已知曲线的极坐标方程是,直线的参数方程是(为参数).设直线与轴的交点是,是曲线上一动点,求的最大值.D.[选修45不等式选讲](本小题满分10分)实数满足,求证.【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.(本小题满分10分)如图,在直三棱柱中,已知,,,.是线段的中点.
(1)求直线与平面所成角的正弦值;
(2)求二面角的大小的余弦值.23.(本小题满分10分)已知非空集合满足.若存在非负整数,使得当时,均有,则称集合具有性质.设具有性质的集合的个数为.
(1)求的值;
(2)求的表达式.淮安市xx学年度高三年级信息卷数学试题参考答案与评分标准数学Ⅰ部分一.填空题本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1.2.33.4.125.116.7.8.9.或10.11.12.13.14.(,)
二、解答题本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.
(1)在中,由正弦定理得,,易得.…………………………………………………………3分
(2)(i)易知,,故,……………………………………………………5分又因为,即,解得,即,;…………………………………………………7分(ii)当观赏角度的最大时,取得最小值,由余弦定理可得………………………………………………………11分由题意可知,解此不等式得,经验证,,即.…………………………13分答
(1)此时;
(2)(i)所得函数关系式为,;(ii)两处喷泉间距离的最小值为.………………………14分18.
(1)由题意可得,,,………………………………………………3分得,解,椭圆的标准方程为.…………………5分
(2)设,,,所以,直线的方程为,同理得直线的方程为,直线与直线的交点为,直线与直线的交点为,线段的中点,…………………………………………………………10分所以圆的方程为,令,则,因为,所以,所以,…………………………………………………………12分因为这个圆与轴相交该方程有两个不同的实数解,所以,解得.………………………………………………14分设交点坐标,则(),所以该圆被轴截得的弦长为最大值为2.………………………………………16分19.
(1)设,则,当时,,
①,
②,
③联立
①②③消去,得
④⑤④⑤得,则,
⑥将
⑥代入
⑤解出(舍去),…………………………………………………2分从而解得,所以.………………………………………………4分此时,对于任意正整数满足题意.……………………………6分
(2)因为对任意,,都有,
①在
①中取,,
②………………………8分同理,
③…………………………………10分由
②③知,即,即,……………………………………………12分
②中令,,从而,即,…………………………………14分所以,数列成等差数列.…………………………………………………………16分20.
(1)对函数求导得.…………………1分设直线与曲线切于点,则,解得.所以的值为1.…………………………………………………4分
(2)记函数,,下面考察函数的符号.对函数求导得,.……………………5分当时,恒成立.……………………………………………………6分当时,,从而……………8分所以在内恒成立,故在内单调递减因为,,所以.又曲线在区间上连续不间断,所以由函数的零点存在性定理及其单调性知,存在唯一的实数,使.所以,;,.所以从而所以………………………………12分由函数为增函数,且曲线在上连续不断知在,恒成立.
(1)当时,在内恒成立,即在恒成立.记,,则,.当变化时,,变化情况列表如下0极小值所以.故“在恒成立”只需,即…14分
(2)当时,,当时,在内恒成立,综合
(1)
(2)知,当时,函数为增函数.故实数的取值范围是.…………………………………………………16分21.A.[选修41几何证明选讲](本小题满分10分)连接,因为是圆的切线,所以,又因为,所以,所以,即,……………………………………………5分因为为圆的直径,即,所以即,……………………………………10分B.设点为圆C上任意一点,经过矩阵A变换后对应点为,则,所以因为点在椭圆上,所以,又圆方程为,故,即,……………………………………5分又,,所以,.所以,…………………………8分所以.……………………………………………………………………10分C.曲线的极坐标方程可化为.又,所以曲线的直角坐标方程为.…………………………………4分将直线的参数方程化为直角坐标方程,得,……………………7分令,得,即点的坐标为2,
0.又曲线的圆心坐标为1,0,半径,则,所以.…………………………10分D.证明,……………………………………3分,……………………………………6分,………………………………………9分当且仅当时,不等式等号成立.三个不等式相加可得,………………………………10分【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.因为在直三棱柱中,,所以分别以、、所在的直线为轴、轴、轴,建立空间直角坐标系,则因为是的中点,所以,……………………………………………………2分
(1)因为,设平面的法向量,则,即,取,所以平面的法向量,而,所以,所以直线与平面所成角的正弦值为;…………………………………5分
(2),,设平面的法向量,则,即,取,平面的法向量,所以,二面角的大小的余弦值.……………………………………………10分
23.
(1)当时,具有性质,对应的分别为,故.………………………………………3分
(2)可知当时,具有性质的集合的个数为,则当时,,其中表达也具有性质的集合的个数,下面计算关于的表达式,此时应有,即,故对分奇偶讨论,
①当为偶数时,为奇数,故应该有,则对每一个,和必然属于集合,且和,…,和共有组数,每一组数中的两个数必然同时属于或不属于集合,故对每一个,对应的具有性质的集合的个数为,所以,
②当为奇数时,为偶数,故应该有,同理,综上,可得又,由累加法解得即……………………………………………10分结束S←k25开始k←2S100N输出kYk←S第5题图第4题图第14题图第16题图第17题图第21A图ABCDA1B1C1第22题图。