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2019-2020年高三5月考前适应性考试数学理试题含答案xx.05全卷分两部分第一部分为所有考生必做部分(满分160分,考试时间120分钟),第二部分为选修物理考生的加试部分(满分40分,考试时间30分钟).注意事项1.答卷前,请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方.2.第一部分试题答案均写在答题卷相应位置,答在其它地方无效.3.选修物理的考生在第一部分考试结束后,将答卷交回,再参加加试部分的考试.第一部分
一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分,请将答案填写在答题卷相应的位置上)1.已知集合,则▲.2.若复数是实数,则▲.3.已知某一组数据,若这组数据的平均数为10,则其方差为▲.4.若以连续掷两次骰子得到的点数分别作为点P的横、纵坐标,则点P在直线上的概率为▲.5.运行如图语句,则输出的结果T=▲.6.若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合,则双曲线的离心率为▲.7.已知一个圆锥的底面圆的半径为1,体积为,则该圆锥的侧面积为▲.8.将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象,若在上为增函数,则最大值为▲.9.已知O是坐标原点,点,若点为平面区域上的一个动点,则的取值范围是▲.10.数列中,,(是常数,),且成公比不为的等比数列,则的通项公式是▲.11.若对任意,不等式恒成立,则实数的范围▲.12.函数的图象上关于原点对称的点有▲.对.13.在平面直角坐标系中,已知点是椭圆上的一个动点,点P在线段的延长线上,且,则点P横坐标的最大值为▲.14.从轴上一点A分别向函数与函数引不是水平方向的切线和,两切线、分别与轴相交于点B和点C,O为坐标原点,记△OAB的面积为,△OAC的面积为,则+的最小值为▲.
二、解答题(本大题共6道题,计90分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分14分)已知函数.
(1)求的最小正周期;
(2)在中,分别是A、B、C的对边,若,,的面积为,求的值.16.(本小题满分14分)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AD⊥平面A1BC,其垂足D落在直线A1B上.
(1)求证平面A1BC⊥平面ABB1A1;
(2)若,AB=BC=2,P为AC中点,求三棱锥的体积17.(本小题满分15分)某地区注重生态环境建设,每年用于改造生态环境总费用为亿元,其中用于风景区改造为亿元该市决定建立生态环境改造投资方案,该方案要求同时具备下列三个条件
①每年用于风景区改造费用随每年改造生态环境总费用增加而增加;
②每年改造生态环境总费用至少亿元,至多亿元;
③每年用于风景区改造费用不得低于每年改造生态环境总费用的15%,但不得每年改造生态环境总费用的22%
(1)若,,请你分析能否采用函数模型y=作为生态环境改造投资方案;
(2)若、取正整数,并用函数模型y=作为生态环境改造投资方案,请你求出、的取值.18.(本小题满分15分)椭圆的右焦点为,右准线为,离心率为,点在椭圆上,以为圆心,为半径的圆与的两个公共点是.
(1)若是边长为的等边三角形,求圆的方程;
(2)若三点在同一条直线上,且原点到直线的距离为,求椭圆方程.19.(本小题满分16分)已知函数,,().
(1)求函数的极值;
(2)已知,函数,,判断并证明的单调性;
(3)设,试比较与,并加以证明.20.(本小题满分16分)设满足以下两个条件的有穷数列为阶“期待数列”
①;
②.
(1)若等比数列为阶“期待数列”,求公比;
(2)若一个等差数列既是阶“期待数列”又是递增数列,求该数列的通项公式;
(3)记阶“期待数列”的前项和为(ⅰ)求证;(ⅱ)若存在使,试问数列能否为阶“期待数列”?若能,求出所有这样的数列;若不能,请说明理由.第二部分(加试部分)(总分40分,加试时间30分钟)注意事项答卷前,请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答题卷上规定的位置.解答过程应写在答题卷的相应位置,在其它地方答题无效.21.B选修4-2矩阵与变换(本题满分10分)已知矩阵,向量.求向量,使得.21.C选修4-4坐标系与参数方程(本题满分10分)在直角坐标系内,直线的参数方程为为参数.以为极轴建立极坐标系,圆的极坐标方程为.判断直线和圆的位置关系.22.(本题满分10分)某高校设计了一个实验学科的实验考查方案考生从6道备选题中一次性随机抽取3题,按照题目要求独立完成全部实验操作规定至少正确完成其中2题的便可提交通过已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成,2道题不能完成
(1)求出甲考生正确完成题数的概率分布列,并计算数学期望;
(2)若考生乙每题正确完成的概率都是,且每题正确完成与否互不影响试从至少正确完成2题的概率分析比较两位考生的实验操作能力.23.(本题满分10分)
(1)设,试比较与的大小;
(2)是否存在常数,使得对任意大于的自然数都成立?若存在,试求出的值并证明你的结论;若不存在,请说明理由参考答案第一部分xx.051.2.3.24.5.6256.7.8.9.10.11.12.313.提示设,由,得,===,研究点P横坐标的最大值,仅考虑,(当且仅当时取“=”).14.8提示,设两切点分别为,,(,),,即,令,得;令,得.,即,令,得;令,得.依题意,,得,+===,=,可得当时,有最小值8.15.解
(1)4分6分
(2)由,,又的内角,,,8分,,,11分,14分16.证直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,∴AA1⊥BC,∵AD⊥平面A1BC,∴AD⊥BC,∵AA1,AD为平面ABB1A1内两相交直线,∴BC⊥平面ABB1A1,又∵平面A1BC,∴平面A1BC⊥平面ABB1A17分2由等积变换得,在直角三角形中,由射影定理知,∵,∴三棱锥的高为10分又∵底面积12分∴=14分法二连接,取中点,连接,∵P为AC中点, 9分由
(1)AD⊥平面A1BC,∴⊥平面A1BC,∴为三棱锥P-A1BC的高,11分由
(1)BC⊥平面ABB1A1 ,12分,14分17.解
(1)∵,∴函数y=是增函数,满足条件
①3分设,则,令,得当时,,在上是减函数;当时,,在上是增函数,又,,即,在上是增函数,∴当时,有最小值
0.16=16%15%,当时,有最大值
0.1665=
16.65%22%∴能采用函数模型y=作为生态环境改造投资方案9分
(2)由1知,依题意,当,、时,恒成立;下面求的正整数解令,12分由1知,在上是减函数,在上是增函数,又由
(1)知,在时,,且=16%∈[15%,22%],合条件,经枚举,∈[15%,22%],而[15%,22%],可得或或,由单调性知或或均合题意15分18.解设椭圆的半长轴是,半短轴是,半焦距离是,由椭圆的离心率为,可得椭圆方程是,2分(只要是一个字母,其它形式同样得分,)焦点,准线,设点,
(1)是边长为的等边三角形,则圆半径为,且到直线的距离是,又到直线的距离是,所以,,,所以所以,圆的方程是6分
(2)因为三点共线,且是圆心,所以是线段中点,由点横坐标是得,,8分再由得,,所以直线斜率10分直线,12分原点到直线的距离,依题意,,所以,所以椭圆的方程是.15分19.解
(1),令,得.当时,,是减函数;当时,,是增函数.∴当时,有极小值,无极大值.4分
(2)==,由
(1)知在上是增函数,当时,,即,∴,即在上是增函数.10分
(3),由
(2)知,在上是增函数,则,令得,.16分20.解
(1)若,则由
①=0,得,由
②得或.若,由
①得,,得,不可能.综上所述,.
(2)设等差数列的公差为,0.∵,∴,∴,∵0,由得,,由题中的
①、
②得,,两式相减得,,∴,又,得,∴.
(3)记,,…,中非负项和为,负项和为,则,,得,,(ⅰ),即.(ⅱ)若存在使,由前面的证明过程知,,…,,,,…,,且….记数列的前项和为,则由(ⅰ)知,,∴=,而,∴,从而,,又…,则,∴,与不能同时成立,所以,对于有穷数列,若存在使,则数列和数列不能为阶“期待数列”.第二部分(加试部分)21.B解,4分设,由得,即,8分解得,所以10分21.C解:将消去参数,得直线的直角坐标方程为;3分由即,两边同乘以得,所以⊙的直角坐标方程为7分又圆心到直线的距离,所以直线和⊙相交.10分22.解(Ⅰ)设考生甲正确完成实验操作的题数分别为,则,所以,2分所以考生甲正确完成实验操作的题数的概率分布列为123;4分(Ⅱ)设考生乙正确完成实验操作的题数为,则,所以,6分又且,8分从至少正确完成2题的概率考察,甲通过的可能性大,因此可以判断甲的实验操作能力较强10分23.解(Ⅰ)设,则,当时,,单调递减;当时,,单调递增;故函数有最小值,则恒成立4分(Ⅱ)取进行验算猜测
①,
②存在,使得恒成立6分证明一对,且,有又因,故8分从而有成立,即所以存在,使得恒成立10分证明二由
(1)知当时,,设,,则,所以,,,当时,再由二项式定理得即对任意大于的自然数恒成立,8分从而有成立,即所以存在,使得恒成立10分。