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2019-2020年高三5月高考模拟数学(理)试题含答案参考公式锥体的体积公式其中是底面面积,是高.柱体的体积公式其中是底面面积,是高.圆锥的侧面积公式,其中是圆锥的底面半径,是母线长.参考数据
0.
500.
400.
250.
150.
100.
050.0250.OlO
0.
0050.
0010.
4550.
7081.
3232.
0722.
7063.84I
5.
0246.
6357.
87910.828
一、选择题本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求.
1.若复数,则在复平面上对应的点在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
2.已知集合,且则A.4B.5C.6D.
73.通过随机询问110名大学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表男女总计爱好402060不爱好203050总计6050110由上表算得,因此得到的正确结论是A.在犯错误的概率不超过
0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关”B.在犯错误的概率不超过
0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关”C.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
4.—个几何体的三视图及其尺寸如图所示,则该几何体的表面积为A.B.C.D.
5.“”是“一元二次不等式的解集为R”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
6.设F是双曲线的左焦点,A1,4,P是双曲线右支上的动点,则|PF|+|PA|的最小值为A.5B.C.7D.
97.如图所示的五个区域中,中心区域是一幅图画,现要求在其余四个区域中涂色,有四种颜色可供选择.要求每个区域只涂一种颜色,相邻区域所涂颜色不同,则不同的涂色方法种数为A.84B.72C.64D.
568.已知f(x)=x2,g(x)=|x﹣1|,令f1(x)=g(f(x)),fn+1(x)=g(fn(x)),则方程fxx(x)=1解的个数为( ) A.xxB.2015C.xxD.xx
二、填空题本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分.一)必做题9〜13题)
9.计算.
10.若n的展开式中所有二项式系数之和为64,则展开式的常数项为.
11.等差数列{an}前n项和为Sn,公差d0,若S200S210,当Sn取得最大值时,n的值为_______
12.给出下列六种图象变换方法
①图象上所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变;
②图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变;
③图象向右平移个单位;
④图象向左平移个单位;
⑤图象向右平移个单位;
⑥图象向左平移个单位.请用上述变换中的两种变换,将函数的图象变换到函数的图象,那么这两种变换的序号依次是_______填上一种你认为正确的答案即可).
13.运行如图所示框图,坐标满足不等式组的点共有____个.二)选做题(14〜15题,考生只能从中选做一题)14.(坐标系与参数方程选做题)已知直线的参数方程为(为参数),曲线的极坐标方程为,点是直线上的一个动点,过点作曲线的切线,切点为,则的最小值为15.(平面几何选做题)已知为半圆的直径,,为半圆上一点,过点作半圆的切线,过点作于,交半圆于点,,则的长为.
三、解答题(本大题共6小题,共80分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16.(本题满分12分)在平面直角坐标系中,以轴为始边锐角的终边与单位圆在第一象限交于点A,且点A的纵坐标为,锐角的终边与射线x-7y=0()重合.
(1)求的值;
(2)求的值.17.本题满分12分甲、乙两位学生参加数学竞赛培训.现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次.记录如下甲8281797895889384乙9295807583809085
(1)画出甲、乙两位学生成绩的茎叶图,指出学生乙成绩的中位数;
(2)现要从中选派一人参加数学竞赛,从平均状况和方差的角度考虑,你认为派哪位学生参加合适请说明理由;
(3)若将频率视为概率,对学生甲在今后的三次数学竞赛成绩进行预测,记这三次成绩中高于80分的次数为,求的分布列及数学期望.
18.(本小题满分14分)如图,直角梯形与等腰直角三角形所在的平面互相垂直.∥,,,.
(1)求证;
(2)求直线与平面所成角的正弦值;
(3)线段上是否存在点,使//平面?若存在,求出;若不存在,说明理由.
19.(本小题满分14分)在单调递增数列中,,,且成等差数列,成等比数列,.
(1)分别计算,和,的值;
(2)求数列的通项公式(将用表示);
(3)设数列的前项和为,证明,.
20.(本小题满分14分)如图,椭圆过点,其左、右焦点分别为,离心率,是直线x=4上的两个动点,且.
(1)求椭圆的方程;
(2)求的最小值;
(3)以为直径的圆是否过定点?请证明你的结论.21.(本小题满分14分)已知函数,为实数)有极值,且在处的切线与直线平行.(Ⅰ)求实数a的取值范围;(Ⅱ)是否存在实数a,使得函数的极小值为1,若存在,求出实数a的值;若不存在,请说明理由;(Ⅲ)设函数,试判断函数在上的符号,并证明汕头市潮南区xx学年度高三模拟考试数学(理)试卷
一、选择题ADCCBDAD
8、【分析】利用特殊值法分别求出f1(x),f2(x),f3(x),f4(x)的解的个数,从而找到规律,进而求出fxx(x)的解的个数.【解析】解∵f(x)=x2,g(x)=|x﹣1|,∴n=0时f1(x)=g(x2)=|x2﹣1|,令|x2﹣1|=1,方程f1(x)有2=0+2个解,n=1时f2(x)=g(|x2﹣1|)=||x2﹣1|﹣1|,令||x2﹣1|﹣1|=1,方程f2(x)有4=2+2个解,n=2时f3(x)=|||x2﹣1|﹣1|﹣1|,令|||x2﹣1|﹣1|﹣1|=1,方程f3(x)有5=3+2个解,n=3时f4(x)=||||x2﹣1|﹣1|﹣1|﹣1|,令||||x2﹣1|﹣1|﹣1|﹣1|=1,方程f4(x)有6=4+2个解,…,n=xx时fxx(x)有xx=xx+2个解,故选D.
二、填空题
9.
10..
11.1012
④②或
②⑥
13._2__14.15.2
三、解答题
16.(本题满分12分)在平面直角坐标系中,以轴为始边锐角的终边与单位圆在第一象限交于点A,且点A的纵坐标为,锐角的终边与射线x-7y=0()重合.
(1)求的值;
(2)求的值.解
(1)由条件得,为锐角,故且,………2分所以………………………………………………………………………………3分因为锐角的终边与射线x-7y=0()重合,所以……………6分
(2),…………………………………………7分…………8分,在上单调递增,且,∴,……………10分同理,∴……………11分从而………………12分17.本题满分12分甲、乙两位学生参加数学竞赛培训.现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次.记录如下甲8281797895889384乙9295807583809085
(1)画出甲、乙两位学生成绩的茎叶图,指出学生乙成绩的中位数;
(2)现要从中选派一人参加数学竞赛,从平均状况和方差的角度考虑,你认为派哪位学生参加合适请说明理由;
(3)若将频率视为概率,对学生甲在今后的三次数学竞赛成绩进行预测,记这三次成绩中高于80分的次数为,求的分布列及数学期望.解
(1)茎叶图如下………………2分学生乙成绩中位数为84,…………4分
(2)派甲参加比较合适,理由如下………………5分=
35.5=41……………………7分∴甲的成绩比较稳定,派甲参加比较合适……………………8分
(3)记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于80分”为事件A,则……………………9分随机变量的可能取值为0,1,2,3,且服从B()k=0,1,2,30123P的分布列为(或)12分
18.(本小题满分14分)如图,直角梯形与等腰直角三角形所在的平面互相垂直.∥,,,.
(1)求证;
(2)求直线与平面所成角的正弦值;
(3)线段上是否存在点,使//平面?若存在,求出;若不存在,说明理由.解
(1)证明取中点,连结,.因为,所以.因为四边形为直角梯形,,,所以四边形为正方形,所以.所以平面.所以.………………4分
(2)解法1因为平面平面,且所以BC⊥平面则即为直线与平面所成的角设BC=a,则AB=2a,,所以则直角三角形CBE中,即直线与平面所成角的正弦值为.………………9分解法2因为平面平面,且,所以平面,所以.由两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系.因为三角形为等腰直角三角形,所以,设,则.所以,平面的一个法向量为.设直线与平面所成的角为,所以,即直线与平面所成角的正弦值为.………9分
(3)解存在点,且时,有//平面.证明如下由,,所以.设平面的法向量为,则有所以取,得.因为,且平面,所以//平面.即点满足时,有//平面.………………14分
19.(本小题满分14分)在单调递增数列中,,,且成等差数列,成等比数列,.
(1)分别计算,和,的值;
(2)求数列的通项公式(将用表示);
(3)设数列的前项和为,证明,.解
(1)由已知,得,,, .……2分
(2)(证法1),,,……;,,,…….∴猜想,,……3分以下用数学归纳法证明之.
①当时,,,猜想成立;………………………………4分
②假设时,猜想成立,即,那么…………………5分.…………………6分∴时,猜想也成立.由
①②,根据数学归纳法原理,对任意的,猜想成立.∴当为奇数时,;当为偶数时,.即数列的通项公式为.…………………8分3(解法2)证明当为奇数时,…………………10分当为偶数时,.…………………12分综上,……………………………………………………14分(解法2)由
(2),得.以下用数学归纳法证明,.
①当时,;当时,.∴时,不等式成立.
②假设时,不等式成立,即,那么,当为奇数时,;当为偶数时,.∴时,不等式也成立.综上所述
20.(本小题满分14分)如图,椭圆过点,其左、右焦点分别为,离心率,是直线x=4上的两个动点,且.
(1)求椭圆的方程;
(2)求的最小值;
(3)以为直径的圆是否过定点?请证明你的结论.解
(1),且过点,解得椭圆方程为………………………………………4分设点则,,又,的最小值为.…………………………………………………………………8分圆心的坐标为,半径.圆的方程为,……………………………………………………10分整理得.,………………………………………………12分令,得,.圆过定点.……………14分21.(本小题满分14分)已知函数,为实数)有极值,且在处的切线与直线平行.(Ⅰ)求实数a的取值范围;(Ⅱ)是否存在实数a,使得函数的极小值为1,若存在,求出实数a的值;若不存在,请说明理由;(Ⅲ)设函数,试判断函数在上的符号,并证明解(Ⅰ)由题意
①…………………………………………………………(1分)
②由
①、
②可得,故实数a的取值范围是…………………………………(3分)(Ⅱ)存在………………………………………(5分)由
(1)可知,,且+0-0+单调增极大值单调减极小值单调增,.……………………………………………………(6分)……………………………………(7分)的极小值为
1.………………………………(8分)(Ⅲ)由即故,则在上是增函数,故,所以,在上恒为正.………………………………(10分)(注只判断符号,未说明理由的,酌情给分)当时,,设,则即,.………………………………(12分)上式分别取的值为
1、
2、
3、……、累加得,(),(),(),()即,,()又当时,,故,当且仅当时取等号.……………………(14分)xyzO。