2019-2020年高三9月联考数学（理）试题含答案

2019-2020年高三9月联考数学（理）试题含答案

一、选择题本大题共12个小题每小题5分共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，，则（）A．{3}B．{1}C．{13}D．{123}

2.已知复数，则复数的共轭复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

3.以为圆心，且与两条直线与同时相切的圆的标准方程为（）A．B．C．D．

4.已知，，且，则向量与的夹角为．A．B．C.D．

5.如图是一个由两个半圆锥与一个长方体组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A.B.C.D.

6.已知函数在平面直角坐标系中的部分图象如图所示，若，则（）A．B．C．D．

7.执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的等于（）A.37B.30C.24D.

198.已知为锐角，若，则（）A．3B．2C．D．

9.如图，图案共分9个区域，有6中不同颜色的涂料可供涂色，每个区域只能涂一种颜色的涂料，其中2和9同色、3和6同色、4和7同色、5和8同色，且相邻区域的颜色不相同，则涂色方法有（）A．360种B．720种C．780种D．840种

10.已知实数，，则关于的一元二次方程有实数根的概率是（）A．B．C．D．

11.如图，，是双曲线的左、右两个焦点，若直线与双曲线交于、两点，且四边形为矩形，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．

12.已知函数，则（）A．xxB．xxC．4034D．4032第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.半径为的球的体积与一个长、宽分别为

6、4的长方体的体积相等，则长方体的表面积为_____.

14.在中，边的垂直平分线交边于，若则的面积为.

15.6月23日15时前后，江苏盐城市阜宁、射阳等地突遭强冰雹、龙卷风双重灾害袭击，风力达12级.灾害发生后，有甲、乙、丙、丁4个轻型救援队从A，B，C，D四个不同的方向前往灾区.已知下面四种说法都是正确的.⑴甲轻型救援队所在方向不是C方向，也不是D方向；⑵乙轻型救援队所在方向不是A方向，也不是B方向；⑶丙轻型救援队所在方向不是A方向，也不是B方向；⑷丁轻型救援队所在方向不是A方向，也不是D方向；此外还可确定如果丙所在方向不是D方向，那么甲所在方向就不是A方向，有下列判断

①甲所在方向是B方向；

②乙所在方向是D方向；

③丙所在方向是D方向；

④丁所在方向是C方向.其中判断正确的序号是.

16.函数在点处的切线与函数的图象也相切，则满足条件的切点的个数有_______个.

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.已知各项都为正数的等比数列满足是与的等差中项，且.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，且为数列的前项和，求数列的的前项和.

18.（本小题满分12分）某中学为了了解全校学生的上网情况，在全校采用随机抽样的方法抽取了40名学生（其中男女生人数恰好各占一半）进行问卷调查，并进行了统计，按男女分为两组，再将每组学生的月上网次数分为5组，，，，，得到如图所示的频率分布直方图（Ⅰ）写出的值；（Ⅱ）在抽取的40名学生中，从月上网次数不少于20次的学生中随机抽取3人，并用表示其中男生的人数，求的分布列和数学期望.

19.（本小题满分12分）如图，已知等边中，，分别为，边的中点，为的中点，为边上一点，且，将沿折到的位置，使平面平面.（Ⅰ）求证平面平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值.

20.已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点是等边三角形的三个顶点，且长轴长为

4.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若是椭圆的左顶点，经过左焦点的直线与椭圆交于，两点，求与的面积之差的绝对值的最大值.（为坐标原点）

21.（本小题满分12分）设函数，.（Ⅰ）当，时，设，求证对任意的，；（Ⅱ）当时，若对任意，不等式恒成立.求实数的取值范围.请考生在

22、

23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.（本小题满分10分）选修4-1几何证明选讲（本小题满分10分）选修4-1几何证明选讲如图所示，为的切线，切点为，割线过圆心，且.（Ⅰ）求证；（Ⅱ）若求的长.

23.（本小题满分10分）选修4-4坐标系与参数方程（本小题满分10分）选修4-4坐标系与参数方程已知圆的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数）．若直线与圆相交于不同的两点，．（Ⅰ）写出圆的直角坐标方程，并求圆心的坐标与半径；（Ⅱ）若弦长，求直线的斜率．

24.（本小题满分10分）选修4-5不等式选讲设．（Ⅰ）求的解集；（Ⅱ）当时，求证．数学（理科）·答案A卷

一、选择题

1.C

2.B

3.A

4.C

5.C

6.B

7.C

8.A

9.B

10.A

11.D

12.D

二、填空题

13.

8814.或（错解漏解均不得分）

15.

③

16.2

三、解答题

17.【命题意图】本题主要考查等比数列的通项公式、等差中项、数列的前项和，以及逻辑思维能力，运算求解能力、方程的思想及裂项法的应用.【解析】（Ⅰ）设等比数列的公比为，由题意知，且，∴，解得，故.……………………………………………………（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ），得，所以.………………………………………………（7分）∴，……………………………………………………………（8分）故数列的前项和为.……………………………………………………………………………（12分）【方法点拨】

（1）求关于等比数列的基本运算通常转化为关于首项与公比的方程（组）来求解；

（2）裂项法适用于求通项形如（为等差数列）的数列的前项和.

18.【命题意图】本题考查频率分布直方图、离散型随机变量的分布列和数学期望.考查学生的识图能力、数据分析能力、运算能力.【解析】（Ⅰ）.………………………………………………（3分）所以的分布列为…………………………………………………………………………………………………………………（11分）所以.……………………………………………………………（12分）【归纳总结】

（1）涉及频率分布直方图问题通常要利用其性质

①所有小矩形的面积和为1；

②每组频率=对应矩形面积；

（2）求离散型随机变量的分布列和数学期望，首先要根据条件确定随机变量的所有可能取值.并求出相应概率，列出概率分布表，然后利用期望公式计算.

19.【命题意图】本题考查空间直线、平面间的垂直与平行关系，二面角，空间向量的应用，并考查空间想象能力、逻辑思维能力、转化能力、运算求解能力.【解析】（Ⅰ）因为，为等边的，边的中点，所以是等边三角形，且.因为是的中点，所以.…………………………………………………………………（1分）又由于平面平面，平面，所以平面.…………………（2分）又平面，所以.…………………………………………………………………（3分）因为，所以，所以.……………………………………^……………（4分）在正中知，所以.而，所以平面.……………………………………………………………（5分）又因为平面，所以平面平面.……………………………………………（6分）（Ⅱ）设等边的边长为4，取中点，连接，由题设知，由（Ⅰ）知平面，又平面，所以，如图建立空间直角坐标系，则，，，，.…………………………………………（8分）设平面的一个法向量为，则由得令，则.…………………………………………（10分）平面的一个法向量为，所以，显然二面角是锐角.所以二面角的余弦值为.……………………………………………………………（12分）【举一反三】

（1）空间垂直的证明通常利用线线垂直、线面垂直、面面垂直间的相互转化来证明；

（2）求二面角为了减少思维难度，常常通过建立空间直角坐标系，求相应两个平面的法向量的夹角来解决.

20.【命题意图】本题考查椭圆的方程与几何性质、直线与椭圆的位置关系，以及考查逻辑思维能力、分析与解决问题的综合能力、运算求解能力、方程思想与分类讨论的思想.【解析】（Ⅰ）由题意得，又，则，所以.又，故椭圆的方程为.……………………………………………（4分）（Ⅱ）解法一设的面积为，的面积为.当直线斜率不存在时，直线方程为，此时不妨设，，且，面积相等，.………………………………………………………………………………………（6分）当直线斜率存在时，设直线方程为，设，，和椭圆方程联立得，消掉得.………………………（7分）显然，方程有根，且.……………………………………………………………（8分）此时.因为，所以上式（时等号成立）.所以的最大值为.……………………………………………………………………………（12分）解法二设直线的方程为，与椭圆方程联立得.…………………………………………………………………………………………………………………（6分）∴，………………………………………………………………………………………（8分）∴，当时，.当时，（当且仅当时等号成立）.所以的最大值为.……………………………………………………………………………（12分）

21.【命题意图】本题考查导致与函数单调性的关系、不等式的证明与恒成立问题，以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、分类讨论的思想与转化思想.【解析】（Ⅰ）当，时，，所以等价于.令，则，可知函数在上单调递增，所以，即，亦即，所以.（Ⅱ）当时，，．所以不等式等价于.方法一令，，则.当时，，则函数在上单调递增，所以，所以根据题意，知有，∴.当时，由，知函数在上单调增减；由，知函数在上单调递增.所以.由条件知，，即.设，，则，，所以在上单调递减.又，所以与条件矛盾.综上可知，实数的取值范围为.方法二令，，则在上恒成立，所以，所以.又，显然当时，，则函数在上单调递增，所以，所以.综上可知的取值范围为.【规律总结】利用导数处理不等式问题.在解答题中主要体现为不等式的证明与不等式的恒成立问题.常规的解决方法是首先等价转化不等式，然后构造新函数，利用导数研究新函数的单调性和最值来解决，当然要注意分类讨论思想的应用.

22.【命题意图】本题考查圆周角定理、弦切角定理、余弦定理、圆的性质，以及考查逻辑四维能力、推理理论能力、转化能力、运算求解能力.【解析】（Ⅰ）因为为圆的切线，所以.…………………………（1分）又因为所以，…………………………（2分）所以…………………………（3分）所以，…………………………（4分）所以，即.…………………………（5分）（Ⅱ）因为，所以.…………………………（6分）又，…………………………（7分）所以，…………………………（8分）由余弦定理，得.…………………………（10分）【方法点拨】

（1）如果已知条件中出现切线，那么通常可联系切线的性质、弦切角定理、切割线定理；

（2）如果在圆中出现等腰三角形，通常可得角相等与垂直关系，再联系圆周角定理、弦切角定理以及三角形相似来处理相关的问题.

23.【命题意图】本题考查圆的极坐标方程与直线的参数方程、直线与圆的位置关系，以及考查逻辑四维能力、等价转化能力、运算求解能力.【解析】（Ⅰ）由，得.…………………………（1分）将，代入可得，…………………………（3分）配方，得，所以圆心为，半径为.…………………………（5分）（Ⅱ）由直线的参数方程知直线过定点，则由题意，知直线的斜率一定存在，因此不妨设直线的方程为的方程为.…………………………（7分）因为所以，解得或.…………………………（10分）【归纳总结】

（1）化极坐标方程为直角坐标方程主要是利用公式来完成；

（2）在极坐标方程与参数方程的条件下求解直线与圆的位置关系问题，通常将极坐标方程与参数方程均化为直角坐标方程来解决.

24.【命题意图】本题考查绝对值不等式的解法、比较法的应用、绝对值的性质及零点分段法的应用，并考查逻辑四维能力、等价转化能力、运算求解能力.【解析】（Ⅰ）由得或或…………………………（3分）解得，所以的解集为.…………………………（5分）（Ⅱ）当，即时，要证，即证.…………………………（6分），…………………………（9分），即.…………………………（10分）【技巧点拨】

（1）零点分段法是求绝对值不等式解集的常用方法；

（2）一般在证明不等式的题目中，首先考虑用比较法，它是最基本的不等式的证明方法，比较法一般有“作差比较法”和“作商比较法”，用得较多的是“作差比较法”，其中在变形过程中往往要用到配方、因式分解、通分等计算方法.。