2019-2020年高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形第6讲正弦定理、余弦定理及解三角形习题理新人教A版I

2019-2020年高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形第6讲正弦定理、余弦定理及解三角形习题理新人教A版I

一、填空题

1.xx·哈尔滨模拟在△ABC中，AB＝，AC＝1，B＝30°，△ABC的面积为，则C＝________.解析　法一　∵S△ABC＝|AB||AC|sinA＝，即××1×sinA＝，∴sinA＝1，∴A＝90°，∴C＝60°.法二　由正弦定理，得＝，即＝，∴C＝60°或C＝120°.当C＝120°时，A＝30°，S△ABC＝≠舍去.而当C＝60°时，A＝90°，S△ABC＝，符合条件，故C＝60°.答案　60°

2.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则角A的大小为________.解析　由正弦定理，得sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A，∴sinB＋C＝sin2A，即sinπ－A＝sin2A，sinA＝sin2A.∵A∈0，π，∴sinA＞0，∴sinA＝1，即A＝.答案　

3.xx·哈尔滨、长春、沈阳、大连四市联考已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2＝b2＋c2－bc，bc＝4，则△ABC的面积为________.解析　∵a2＝b2＋c2－bc，∴cosA＝，∴A＝，又bc＝4，∴△ABC的面积为bcsinA＝.答案　

4.xx·泰州调研张晓华同学骑电动自行车以24km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是________km.解析　画出示意图如图，由条件知AB＝24×＝6km.在△ABS中，∠BAS＝30°，AB＝6km，∠ABS＝180°－75°＝105°，所以∠ASB＝45°.由正弦定理知＝，所以BS＝＝3km.答案　

35.xx·河南六市联考在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sinA＝，a＝2，S△ABC＝，则b的值为________.解析　由S△ABC＝bcsinA＝，得bc＝3，

①又由余弦定理知a2＝b2＋c2－2bccosA，可得b2＋c2＝

6.

②由

①②解得b＝.答案　

6.xx·北京卷在△ABC中，a＝3，b＝，A＝，则B＝________.解析　由正弦定理知sinB＝＝＝，又因为a＞b，所以A＞B，所以B＝.答案　

7.xx·重庆卷设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，cosC＝－，3sinA＝2sinB，则c＝________.解析　由3sinA＝2sinB及正弦定理，得3a＝2b，又a＝2，所以b＝3，故c2＝a2＋b2－2abcosC＝4＋9－2×2×3×＝16，所以c＝

4.答案　

48.xx·江苏卷若△ABC的内角满足sinA＋sinB＝2sinC，则cosC的最小值是________.解析　由sinA＋sinB＝2sinC，结合正弦定理得a＋b＝2c.由余弦定理得cosC＝＝＝≥＝，故≤cosC1，故cosC的最小值为.答案　

二、解答题

9.xx·四川卷已知A，B，C为△ABC的内角，tanA，tanB是关于x的方程x2＋px－p＋1＝0p∈R的两个实根.1求C的大小；2若AB＝3，AC＝，求p的值.解　1由已知，方程x2＋px－p＋1＝0的判别式Δ＝p2－4－p＋1＝3p2＋4p－4≥0，所以p≤－2，或p≥，由根与系数的关系，有tanA＋tanB＝－p，tanAtanB＝1－p，于是1－tanAtanB＝1－1－p＝p≠0，从而tanA＋B＝＝－＝－，所以tanC＝－tanA＋B＝，所以C＝60°.2由正弦定理，得sinB＝＝＝，解得B＝45°，或B＝135°舍去，于是A＝180°－B－C＝75°，则tanA＝tan75°＝tan45°＋30°＝＝＝2＋，所以p＝－tanA＋tanB＝－2＋＋1＝－1－.

10.xx·苏北四市一检在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a2－b2－c2＋bc＝0，2bsinA＝a，BC边上中线AM的长为.1求角A和角B的大小；2求△ABC的面积.解　1由a2－b2－c2＋bc＝0，得b2＋c2－a2＝bc，∴cosA＝＝，∴A＝，由2bsinA＝a，得b＝a，∴B＝A＝.2设AC＝BC＝x，由余弦定理，得AM2＝x2＋－2x··＝2，解得x＝2，故S△ABC＝×2×2×＝

2.建议用时20分钟

11.已知钝角△ABC的面积为，AB＝1，BC＝，则AC等于________.解析　∵S＝AB·BCsinB＝×1×sinB＝，∴sinB＝，∴B＝或.当B＝时，根据余弦定理有AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB＝1＋2＋2＝5，∴AC＝，此时△ABC为钝角三角形，符合题意；当B＝时，根据余弦定理有AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB＝1＋2－2＝1，∴AC＝1，此时AB2＋AC2＝BC2，△ABC为直角三角形，不符合题意.故AC＝.答案　

12.xx·南京师大附中模拟在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若S△ABC＝2，a＋b＝6，＝2cosC，则c＝________.解析　∵＝2cosC，由正弦定理，得sinAcosB＋cosAsinB＝2sinCcosC，∴sinA＋B＝sinC＝2sinCcosC，由于0＜C＜π，sinC≠0，∴cosC＝，∴C＝，∵S△ABC＝2＝absinC＝ab，∴ab＝8，又a＋b＝6，或c2＝a2＋b2－2abcosC＝4＋16－8＝12，∴c＝

2.答案　

213.xx·全国Ⅰ卷在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是________.解析　如图，延长BA与CD相交于点E，过点C作CF∥AD交AB于点F，则BFABBE.在等腰△CFB中，∠FCB＝30°，CF＝BC＝2，所以BF＝＝－.在等腰△ECB中，∠CEB＝30°，∠ECB＝75°，BE＝CE，BC＝2，＝，∴BE＝×＝＋.∴－AB＋.答案　－，＋

14.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且a＝c＋bcosC.1求角B的大小；2若S△ABC＝，b＝，求a＋c的值.解　1由正弦定理，得sinA＝sinC＋sinBcosC，又因为A＝π－B＋C，所以sinA＝sinB＋C，可得sinBcosC＋cosBsinC＝sinC＋sinBcosC，即cosB＝，又B∈0，π，所以B＝.2因为S△ABC＝，所以acsin＝，所以ac＝4，由余弦定理可知b2＝a2＋c2－ac，所以a＋c2＝b2＋3ac＝13＋12＝25，即a＋c＝

5.。