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2019-2020年高考数学一轮总复习第十一章计数原理和概率题组训练87正态分布理1.随机变量X的分布列为X124P
0.
40.
30.3则E5X+4等于 A.15 B.11C.
2.2D.
2.3答案 A解析 ∵EX=1×
0.4+2×
0.3+4×
0.3=
2.2,∴E5X+4=5EX+4=11+4=
15.2.有10件产品,其中3件是次品,从中任取2件,若X表示取到次品的个数,则EX等于 A.B.C.D.1答案 A解析 离散型随机变量X服从N=10,M=3,n=2的超几何分布,∴EX===.3.设投掷1颗骰子的点数为X,则 A.EX=
3.5,DX=
3.52B.EX=
3.5,DX=C.EX=
3.5,DX=
3.5D.EX=
3.5,DX=答案 B4.某运动员投篮命中率为
0.6,他重复投篮5次,若他命中一次得10分,没命中不得分;命中次数为X,得分为Y,则EX,DY分别为 A.
0.6,60B.3,12C.3,120D.3,
1.2答案 C解析 X~B5,
0.6,Y=10X,∴EX=5×
0.6=3,DX=5×
0.6×
0.4=
1.
2.DY=100DX=
120.5.xx·合肥一模已知袋中有3个白球,2个红球,现从中随机取出3个球,其中每个白球计1分,每个红球计2分,记X为取出3个球的总分值,则EX= A.B.C.4D.答案 B解析 由题意知,X的所有可能取值为3,4,5,且PX=3==,PX=4==,PX=5==,所以EX=3×+4×+5×=.6.xx·人大附中月考某班举行了一次“心有灵犀”的活动,教师把一张写有成语的纸条出示给A组的某个同学,这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学.若小组内同学甲猜对成语的概率是
0.4,同学乙猜对成语的概率是
0.5,且规定猜对得1分,猜不对得0分,这两个同学各猜1次,则他们的得分之和X的数学期望为 A.
0.9B.
0.8C.
1.2D.
1.1答案 A解析 由题意,X=0,1,2,则PX=0=
0.6×
0.5=
0.3,PX=1=
0.4×
0.5+
0.6×
0.5=
0.5,PX=2=
0.4×
0.5=
0.2,∴EX=0×
0.3+1×
0.5+2×
0.2=
0.9,故选A.7.xx·山东潍坊模拟已知甲、乙两台自动车床生产同种标准件,X表示甲车床生产1000件产品中的次品数,Y表示乙车床生产1000件产品中的次品数,经考察一段时间,X,Y的分布列分别是X0123P
0.
70.
10.
10.1Y012P
0.
50.
30.2据此判定 A.甲比乙质量好B.乙比甲质量好C.甲与乙质量相同D.无法判定答案 A解析 EX=0×
0.7+1×
0.1+2×
0.1+3×
0.1=
0.6,EY=0×
0.5+1×
0.3+2×
0.2=
0.
7.由于EYEX,故甲比乙质量好.8.xx·杭州模拟体育课的排球发球项目考试的规则是每位学生最多可发球3次,一旦发球成功,则停止发球,否则一直发到3次为止.设某学生每次发球成功的概率为p0p1,发球次数为X,若X的数学期望EX
1.75,则p的取值范围是 A.0,B.,1C.0,D.,1答案 C解析 由已知条件可得PX=1=p,PX=2=1-pp,PX=3=1-p2p+1-p3=1-p2,则EX=PX=1+2PX=2+3PX=3=p+21-pp+31-p2=p2-3p+
31.75,解得p或p,又由p∈0,1,可得p∈0,.9.xx·衡水中学调研卷已知一次试验成功的概率为p,进行100次独立重复试验,当成功次数的标准差的值最大时,p及标准差的最大值分别为 A.,5B.,25C.,5D.,25答案 A解析 记ξ为成功次数,由独立重复试验的方差公式可以得到Dξ=np1-p≤n2=,当且仅当p=1-p=时等号成立,所以Dξmax=100××=25,==
5.
10.xx·浙江已知随机变量ξi满足Pξi=1=pi,Pξi=0=1-pi,i=1,
2.若0p1p2,则 A.Eξ1Eξ2,Dξ1Dξ2B.Eξ1Eξ2,Dξ1Dξ2C.Eξ1Eξ2,Dξ1Dξ2D.Eξ1Eξ2,Dξ1Dξ2答案 A解析 本题考查离散型随机变量的期望和方差.由题意得Eξ1=1×p1+0×1-p1=p1,Eξ2=1×p2+0×1-p2=p2,则Dξ1=1-p12×p1+0-p121-p1=p11-p1,Dξ2=1-p22×p2+0-p221-p2=p21-p2,又因为0p1p2,所以p11-p1p21-p2,所以Eξ1Eξ2,Dξ1Dξ2,故选A.11.xx·课标全国Ⅱ一批产品的二等品率为
0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次,X表示抽到的二等品件数,则DX=________.答案
1.96解析 依题意,X~B100,
0.02,所以DX=100×
0.02×1-
0.02=
1.
96.12.xx·广东珠海二中月考若随机事件A在一次试验中发生的概率为p0p1,用随机变量X表示事件A在一次试验中发生的次数,则的最大值为________.答案 2-2解析 由于==2-2p+≤2-2,当且仅当2p=,即p=时,等号成立.此时的最大值为2-
2.13.xx·黑龙江鸡西一中质量检测设l为平面上过点0,1的直线,l的斜率等可能地取-2,-,-,0,,,2,用X表示坐标原点到l的距离,则随机变量X的数学期望为________.答案 解析 由斜率的取值可得七条不同的直线.又由对称性可知,原点到这七条直线的距离有4种不同结果,即原点到以-2与2为斜率的直线的距离为;原点到以-与为斜率的直线的距离为;原点到以-与为斜率的直线的距离为;原点到以0为斜率的直线的距离为
1.因此,X的概率分布列为X1P那么EX=×+×+×+1×=.14.xx·重庆,理端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有10个粽子,其中豆沙粽2个,肉粽3个,白粽5个,这三种粽子的外观完全相同.从中任意选取3个.1求三种粽子各取到1个的概率;2设X表示取到的豆沙粽个数,求X的分布列与数学期望.答案 1 2解析 1令A表示事件“三种粽子各取到1个”,则由古典概型的概率计算公式有PA==.2X的所有可能值为0,1,2,且PX=0==,PX=1==,PX=2==.综上可知,X的分布列为X012P故EX=0×+1×+2×=个.15.xx·福建龙海二中摸底某校要用三辆汽车从新校区把教职工接到老校区,已知从新校区到老校区有两条公路,汽车走公路
①堵车的概率为,不堵车的概率为;汽车走公路
②堵车的概率为p,不堵车的概率为1-p若甲、乙两辆汽车走公路
①,丙汽车由于其他原因走公路
②,且三辆车是否堵车相互之间没有影响.1若三辆汽车中恰有一辆汽车被堵的概率为,求走公路
②堵车的概率;2在1的条件下,求三辆汽车中被堵车辆的个数X的分布列和数学期望.答案 1 2解析 1依题意,“三辆汽车中恰有一辆汽车被堵”包含只有甲被堵,只有乙被堵和只有丙被堵三种情形.∴C21×××1-p+2×p=,即3p=1,∴p=.2X的所有可能取值为0,1,2,
3.PX=0=××=,PX=1=,PX=2=××+C21×××=,PX=3=××=,∴X的分布列为X0123P∴EX=0×+1×+2×+3×=.16.xx·人大附中模拟全面二胎于xx年1月1日起正式实施.某地计划生育部门为了了解当地家庭对“全面二胎”的赞同程度,从当地200位城市居民中用系统抽样的方法抽取了20位居民进行问卷调查.统计如下居民编号28问卷得分365278701610072781002440787880945577735855注表中居民编号由小到大排列,得分越高赞同度越高1列出该地得分为100分的居民编号;2该地区计划生育部门从当地农村居民中也用系统抽样的方法抽取了20位居民,将两类居民问卷得分情况制作了茎叶图,试通过茎叶图中数据信息,用样本特征数评价农村居民和城市居民对“全面二胎”的赞同程度不要求算出具体数值,给出结论即可;3将得分不低于70分的调查对象称为“持赞同态度”.当地计划生育部门想要进一步了解城市居民“持赞同态度”居民的更多信息,将调查所得的频率视为概率,从大量的居民中采用随机抽样的方法每次抽取1人,共抽取了4次.
①求每次抽取1人,抽到“持赞同态度”居民的概率;
②若设被抽到的4人“持赞同态度”的人数为X.每次抽取结果相互独立,求X的分布列、期望EX及其方差DX.答案 158,88 2略 3
①
②EX=,DX=解析 1记数列{an}为所抽取的从小到大排列的居民编号,依题意知数列{an}为等差数列.公差d=10,且a3=
28.得分为100分的居民编号分别对应a6,a
9.则a6=a3+3d=58,a9=a3+6d=
88.所以得分为100分的居民编号分别为58,
88.2通过茎叶图可以看出,该地区农村居民问卷得分平均值明显高于城市居民得分平均值;农村居民得分中位数为=95,城市居民得分中位数为=
72.5,农村居民得分中位数大于城市居民得分中位数;且农村居民得分的众数明显高于城市居民得分的众数,所以农村居民“全面二胎”的赞同程度要高于城市居民.给出结论即可3
①城市居民“持赞同态度”的居民有12人,每次抽到“持赞同态度”居民的概率为=.
②由题意,知X~B4,,故X的分布列如下表X01234PEX=4×=,所以DX=np1-p=4××=.17.xx·山东潍坊一模某次数学测验共有10道选择题,每道题共有四个选项,且其中只有一个选项是正确的,评分标准规定;每选对1道题得5分,不选或选错得0分.某考生每道题都选并能确定其中有6道题能选对,其余4道题无法确定正确选项,但这4道题中有2道题能排除两个错误选项,另2道只能排除一个错误选项,于是该生做这4道题时每道题都从不能排除的选项中随机选一个选项作答,且各题作答互不影响.1求该考生本次测验选择题得50分的概率;2求该考生本次测验选择题所得分数的分布列和数学期望.答案 1 2解析 1设选对一道“能排除2个选项的题目”为事件A,选对一道“能排除1个选项的题目”为事件B,则PA=,PB=.该考生选择题得50分的概率为PA·PA·PB·PB=2×2=.2该考生所得分数X=30,35,40,45,50,PX=30=2×1-2=,PX=35=C212·2+2·C21·×=,PX=40=2×2+C21·2·C21·×+2×2=,PX=45=C212·2+2·C21·×=,PX=50=2×2=.该考生所得分数X的分布列为X3035404550P所以EX=30×+35×+40×+45×+50×=分.第二次作业1.xx·银川一模已知随机变量X的分布列如表所示,其中α∈0,,则EX= X-102PcosαA.2 B.1或2C.0D.1答案 D解析 由随机变量的分布列的性质,得++cosα=1,即sinα+2cosα=2,由得5cos2α-8cosα+3=0,解得cosα=或cosα=1舍去,则sinα=,则EX=-+2cosα=-×+2×=
1.故选D.2.xx·安徽合肥二检已知5件产品中有2件次品,现逐一检测,直至能确定所有次品为止,记检测的次数为ξ,则Eξ= A.3B.C.D.4答案 B解析 由题意知,ξ的所有可能取值为2,3,4,Pξ=2==,Pξ=3==,Pξ=4==,所以Eξ=2×+3×+4×=,故选B.3.xx·衡水调研卷某地消防大队紧急抽调1,2,3,4,5号五辆消防车,分配到附近的A,B,C,D四个村子进行送水抗旱工作,每个村子至少要安排一辆消防车.若这五辆消防车中去A村的辆数为随机变量X,则EX的值为 A. B.C.1D.答案 D解析 由题意知,随机变量X的取值是1,2,“X=2”是指“有两辆消防车同时去A村”,则PX=2==.所以PX=1=.所以EX=1×+2×=.
4.如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割为125个同样大小的小正方体,经过搅拌后,从中随机取一个小正方体,记它的油漆面数为X,则X的均值EX= A. B.C. D.答案 B解析 由题意知X=0,1,2,3,PX=0=,PX=1=,PX=2=,PX=3=,∴EX=0×+1×+2×+3×==.5.签盒中有编号为
1、
2、
3、
4、
5、6的六支签,从中任意取3支,设X为这3支签的号码之中最大的一个,则X的数学期望为 A.5B.
5.25C.
5.8D.
4.6答案 B解析 由题意可知,X可以取3,4,5,6,PX=3==,PX=4==,PX=5==,PX=6==.由数学期望的定义可求得EX=
5.
25.6.一套重要资料锁在一个保险柜中,现有n把钥匙依次分给n名学生依次开柜,但其中只有一把真的可以打开柜门,平均来说打开柜门需要试开的次数为 A.1B.nC.D.答案 C解析 已知每一位学生打开柜门的概率为,∴打开柜门需要试开的次数的平均数即数学期望为1×+2×+…+n×=,故选C.7.某中学共开设了A,B,C,D四门选修课,每个学生必须且只能选修1门选修课,现有该校的甲、乙、丙3名学生.1求这3名学生选修课所有选法的总数;2求恰有2门选修课没有被这3名学生选择的概率;3求A选修课被这3名学生选择的人数X的分布列和数学期望.答案 164 2 3EX=解析 1每个学生有四个不同选择,根据分步计数原理,选法总数N=4×4×4=
64.2设“恰有2门选修课没有被这3名学生选择”为事件E,则PE==,所以恰有2门选修课没有被这3名学生选择的概率为.3方法一X的所有可能取值为0,1,2,3,且PX=0==,PX=1==,PX=2==,PX=3==,所以X的分布列为X0123P所以X的数学期望EX=0×+1×+2×+3×=.方法二因为A选修课被每位学生选中的概率均为,没被选中的概率均为.所以X的所有可能取值为0,1,2,3,且X~B3,,PX=0=3=,PX=1=C31××2=,PX=2=C32×2×=,PX=3=3=,所以X的分布列为X0123P所以X的数学期望EX=3×=.8.xx·湖南省五市十校高三联考为响应国家“精准扶贫,产业扶贫”的战略,进一步优化能源消费结构,某市决定在地处山区的A县推进光伏发电项目.在该县山区居民中随机抽取50户,统计其年用电量得到以下统计表.以样本的频率作为概率.用电量单位度0,200]200,400]400,600]600,800]800,1000]户数515101551在该县山区居民中随机抽取10户,记其中年用电量不超过600度的户数为X,求X的数学期望;2已知该县某山区自然村有居民300户.若计划在该村安装总装机容量为300千瓦的光伏发电机组,该机组所发电量除保证该村正常用电外,剩余电量国家电网以
0.8元/度的价格进行收购.经测算每千瓦装机容量的发电机组年平均发电1000度,试估计该机组每年所发电量除保证正常用电外还能为该村创造直接收益多少元?答案 162又该村所装发电机组年预计发电量为300000度,故该机组每年所发电量除保证正常用电外还能剩余电量约150000度,能为该村创造直接收益120000元.解析 1记在抽取的50户居民中随机抽取1户,其年用电量不超过600度为事件A,则PA=.由已知可得从该县山区居民中随机抽取10户,记其中年用电量不超过600度的户数为X,X服从二项分布,即X~B10,,故EX=10×=
6.2设该县山区居民户年均用电量为EY,由抽样可得EY=100×+300×+500×+700×+900×=500度.则该自然村年均用电约150000度.又该村所装发电机组年预计发电量为300000度,故该机组每年所发电量除保证正常用电外还能剩余电量约150000度,能为该村创造直接收益120000元.9.xx·安徽合肥一模某公司在迎新年晚会上举行抽奖活动,有甲、乙两个抽奖方案供员工选择.方案甲员工最多有两次抽奖机会,每次抽奖的中奖率均为.第一次抽奖,若未中奖,则抽奖结束.若中奖,则通过抛一枚质地均匀的硬币,决定是否继续进行第二次抽奖.规定若抛出硬币,反面朝上,员工则获得500元奖金,不进行第二次抽奖;若正面朝上,员工则须进行第二次抽奖,且在第二次抽奖中,若中奖,则获得奖金1000元;若未中奖,则所获得的奖金为0元.方案乙员工连续三次抽奖,每次中奖率均为,每次中奖均可获得奖金400元.1求某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X元的分布列;2试比较某员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖,哪个方案更划算?答案 1X05001000P2选择方案甲较划算.解析 1由题意知X的取值可能为0,500,1000,PX=0=+××=,PX=500=×=,PX=1000=××=,∴某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X元的分布列为X05001000P2由1可知,选择方案甲进行抽奖所获奖金X的期望EX=500×+1000×=520,若选择方案乙进行抽奖,中奖次数ξ~B3,,则Eξ=3×=,抽奖所获奖金X的期望EX=E400ξ=400Eξ=480,故选择方案甲较划算.10.xx·《高考调研》原创题xx年央视3·15晚会曝光了一些饲料企业瞒天过海地往饲料中非法添加各种“禁药”,包括“人用西药”,让所有人惊出一身冷汗.某地区质量监督部门对该地甲、乙两家畜牧用品生产企业进行了突击抽查,若已知在甲企业抽查了一次,抽中某种动物饲料的概率为,用数字1表示抽中该动物饲料产品,用数字0来表示没有抽中;在乙企业抽查了两次,每次抽中该动物饲料的概率为,用数字2表示抽中该动物饲料产品,用数字0来表示没有抽中.该部门每次抽查的结果相互独立.假设该部门完成以上三次抽样.1求该部门恰好有一次抽中该动物饲料这一产品的概率;2设X表示三次抽查所记的数字之和,求随机变量X的分布列和数学期望.答案 1 2EX=解析 记“恰好抽中一种动物饲料这一产品”为事件A,“在甲企业抽中”为件事B,“在乙企业第一次抽中”为事件C,“在乙企业第二次抽中”为事件D,则由题意知PB=,PC=PD=.1因为A=B+BCD+D,所以PA=PB+BCD+D=PB+PBCD+PD=PBPCPD+PBPCPD+PBPCPD=×1-×1-+1-××1-+1-×1-×=.2根据题意,X的所有可能取值为0,1,2,3,4,
5.所以PX=0=P=[1-PB][1-PC][1-PD]=1-×1-×1-=,PX=1=PB=PB[1-PC][1-PD]=×1-×1-=,PX=2=PBCD+D=PC+PD=1-××1-+1-×1-×=,PX=3=PBCD+BCD=PBCD+PBCD=××1-+×1-×=,PX=4=PBCD=[1-PB]PCPD=1-××=,PX=5=PBCD=PBPCPD=××=.故X的分布列为X012345P所以EX=0×+1×+2×+3×+4×+5×=.解题技巧 破解此类离散型随机变量的分布列与数学期望问题的思维切入口是先利用两个计数原理,排列、组合知识,以及古典概型的概率公式求基本事件的概率;再依题意判断随机变量的所有可能取值,求出随机变量X取每个值时的概率,即可得随机变量X的分布列;最后利用随机变量X的数学期望的定义进行计算.易错点拨 本题易错点有两处一是X取值为2,3,4时的概率求错,若能指导事件按顺序进行分类,则不容易出错;二是求分布列出错,若能利用分布列的性质“所有的概率之和为1”去检验,就能有效地避免产生错误.第三次作业1.xx·安徽,理已知2件次品和3件正品混放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.1求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率;2已知每检测一件产品需要费用100元,设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用单位元,求X的分布列和均值数学期望.答案 1 2350解析 1记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A,PA==.2X的可能取值为200,300,
400.PX=200==,PX=300==,PX=400=1-PX=200-PX=300=1--=.故X的分布列为X200300400PEX=200×+300×+400×=
350.2.xx·沧州七校联考已知某智能手机制作完成之后还需要依次通过三道严格的审核程序,第一道审核、第二道审核、第三道审核通过的概率分别为,,,每道程序是相互独立的,且一旦审核不通过就停止审核,每部手机只有三道程序都通过才能出厂销售.1求审核过程中只通过两道程序的概率;2现有3部该智能手机进入审核,记这3部手机可以出厂销售的部数为X,求X的分布列及数学期望.答案 1 2见解析解析 1设“审核过程中只通过两道程序”为事件A,则PA=××1-=.2每部该智能手机可以出厂销售的概率为××=.由题意可得X可取0,1,2,3,则有PX=0=1-3=,PX=1=C31××1-2=,PX=2=C32×2×1-=,PX=3=3=,∴X的分布列为X0123P∴EX=0×+1×+2×+3×=或EX=×3=.3.以下是新兵训练时,某炮兵连8周中炮弹对同一目标的命中情况的柱状图1计算该炮兵连这8周中总的命中频率P0,并确定第几周的命中频率最高;2以1中的P0作为该炮兵连炮兵甲对同一目标的命中率,若每次发射相互独立,且炮兵甲发射3次,记命中的次数为X,求X的数学期望;3以1中的P0作为该炮兵连炮兵对同一目标的命中率,试问至少要用多少枚这样的炮弹同时对该目标发射一次,才能使目标被击中的概率超过
0.99?取lg
0.4=-
0.398答案 1第8周的命中频率最高
21.83至少要用6枚这样的炮弹同时对该目标发射一次,才能使目标被击中的概率超过
0.
99.解析 1这8周中总的命中炮数为40+45+46+49+47+49+53+52=381,总的未命中炮数为32+34+30+32+35+33+30+28=254,∴P0==
0.
6.∵,∴根据表中数据易知第8周的命中频率最高.2由题意可知X~B3,
0.6,则X的数学期望为EX=3×
0.6=
1.
8.3由1-1-P0n
0.99,即1-
0.4n
0.99,得
0.4n
0.01,∴nlog
0.
40.01===≈
5.025,故至少要用6枚这样的炮弹同时对该目标发射一次,才能使目标被击中的概率超过
0.
99.4.xx·湖北潜江二模现有两种投资方案,一年后投资盈亏的情况如下表投资股市投资结果获利40%不赔不赚亏损20%概率购买基金投资结果获利20%不赔不赚亏损10%概率pq1当p=时,求q的值;2已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资,如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于,求p的取值范围;3丙要将家中闲置的10万元钱进行投资,决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择一种,已知p=,q=,那么丙选择哪种投资方案,才能使得一年后投资收益的数学期望较大?结合结果并说明理由.答案 1 2p≤ 3丙选择“投资股市”,理由略解析 1因为“购买基金”后,投资结果只有“获利”“不赔不赚”“亏损”三种,且三种投资结果相互独立,所以p++q=
1.又因为p=,所以q=.2记事件A为“甲投资股市且盈利”,事件B为“乙购买基全且盈利”,事件C为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”.则C=AB∪AB∪AB,且A,B独立.由题表可知,PA=,PB=p.所以PC=PAB+PAB+PAB=·1-p+p+p=+p.因为PC=+p,所以p.又因为p++q=1,q≥0,所以p≤,所以p≤.3假设丙选择“投资股市”方案进行投资,且记X为丙投资股市的获利金额单位万元,所以随机变量X的分布列为X40-2P则EX=4×+0×+-2×=.假设丙选择“购买基金”方案进行投资,且记Y为丙购买基金的获利金额单位万元,所以随机变量Y的分布列为Y20-1P则EY=2×+0×+-1×=.因为EXEY,所以丙选择“投资股市”,才能使得一年后的投资收益的数学期望较大.5.xx·石家庄质检一为了调查某地区成年人血液的一项指标,现随机抽取了成年男性、女性各20人组成一个样本,对他们的这项血液指标进行了检测,得到了如下茎叶图.根据医学知识,我们认为此项指标大于40为偏高,反之即为正常.1依据上述样本数据研究此项血液指标与性别的关系,列出2×2列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过
0.01的前提下认为此项血液指标与性别有关系?2以样本估计总体,视样本频率为概率,现从本地区随机抽取成年男性、女性各2人,求此项血液指标为正常的人数X的分布列及数学期望.附K2=其中n=a+b+c+d.PK2≥k
00.
0250.
0100.005k
05.
0246.
6357.879答案 1不能在犯错误的概率不超过
0.01的前提下认为此项血液指标与性别有关系.
22.8审题 本题主要考查茎叶图、独立性检验、离散型随机变量的分布列及数学期望,以随机抽样为载体,通过样本估计总体,考查识图能力、数据获取与处理能力、分析能力与运算能力.解析 1由茎叶图可得2×2列联表正常偏高合计男性16420女性12820合计281240K2==≈
1.
9056.635,所以不能在犯错误的概率不超过
0.01的前提下认为此项血液指标与性别有关系.2由样本数据可知,男性正常的概率为,女性正常的概率为.此项血液指标为正常的人数X的可能取值为0,1,2,3,4,PX=0=1-21-2=,PX=1=C211-1-2+1-2C211-=,PX=2=21-2+C211-·C211-+1-22=,PX=3=C211-2+2C211-=,PX=4=22=,所以X的分布列为X01234P所以EX=0×+1×+2×+3×+4×=
2.8,即此项血液指标为正常的人数X的数学期望为
2.
8.1.若X~Bn,p,且EX=6,DX=3,则PX=1的值为 A.3·2-2 B.2-4C.3·2-10D.2-8答案 C解析 ∵EX=np=6,DX=np1-p=3,∴p=,n=12,则PX=1=C121··11=3·2-
10.2.某街头小摊,在不下雨的日子一天可赚到100元,在下雨的日子每天要损失10元,若该地区每年下雨的日子约为130天,则此小摊每天获利的期望值是一年按365天计算 A.
60.82元B.
68.02元C.
58.82元D.
60.28元答案 A解析 EX=100×+-10×≈
60.82,∴选A.3.甲、乙两人独立地从六门选修课程中任选三门进行学习,记两人所选课程相同的门数为X,则EX为 A.1B.
1.5C.2D.
2.5答案 B解析 X可取0,1,2,3,PX=0==,PX=1==,PX=2==,PX=3==,故EX=0×+1×+2×+3×=
1.
5.4.有一批产品,其中有12件正品和4件次品,从中任取3件,若X表示取到次品的件数,则EX=________.答案 解析 次品件数X的可能取值为0,1,2,3,PX=0==,PX=1==,PX=2==,PX=3==.X的分布列为X0123PEX=0×+1×+2×+3×==.5.某项游戏活动的奖励分成
一、
二、三等奖且相应获奖概率是以a1为首项,公比为2的等比数列,相应资金是以700元为首项,公差为-140元的等差数列,则参与该游戏获得资金的期望为________元.答案 500解析 ∵a1+2a1+4a1=1,∴a1=,EX=×700+×560+×420=500元.6.马老师从课本上抄录的一个随机变量X的概率分布列如下表x123PX=x?!?请小牛同学计算X的数学期望,尽管“!”处完全无法看清,且两个“?”处字迹模糊,但能断定这两个“?”处的数值相同,据此,小牛给出了正确答案EX=________.答案 2解析 令“?”为a,“!”为b,则2a+b=
1.又EX=a+2b+3a=22a+b=
2.7.一射击测试每人射击三次,每击中目标一次记10分,没有击中记0分.某人每次击中目标的概率为,则此人得分的数学期望与方差分别为________.答案 20,解析 记此人三次射击击中目标X次,得分为Y分,则X~B3,,Y=10X,∴EY=10EX=10×3×=20,DY=100DX=100×3××=.8.已知书包中有两本语文资料和一本数学资料,除内容不同外其他均相同,现在有放回地抽取资料,每次抽取一本,记下科目后放回书包中.连续抽取三次,Y表示三次中语文资料被抽中的次数,若每本资料被抽取的概率相同.每次抽取相互独立,则方差DX=________.答案 解析 每次抽取时,取到语文资料的概率为,取到数学资料的概率为,所以取出语文资料的次数X服从二项分布,即X~B3,,所以DX=3××1-=.9.一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布直方图,如图所示.将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立.X表示在未来3天内日销售量不低于100个的天数,则EX=________,方差DX=________.答案
1.8
0.72解析 由题意知,日销售量不低于100个的频率为
0.006+
0.004+
0.002×50=
0.6,且X~B3,
0.6,所以期望EX=3×
0.6=
1.8,方差DX=3×
0.6×1-
0.6=
0.
72.10.xx·重庆育才中学入学考试现有甲、乙两个投资项目,对甲项目投资十万元,据对市场120份样本数据统计,年利润分布如下表年利润
1.2万元
1.0万元
0.9万元频数206040对乙项目投资十万元,年利润与产品质量抽查的合格次数有关,在每次抽查中,产品合格的概率均为,在一年之内要进行2次独立的抽查,在这2次抽查中产品合格的次数与对应的利润如下表合格次数2次1次0次年利润
1.3万元
1.1万元
0.6万元记随机变量X,Y分别表示对甲、乙两个项目各投资十万元的利润.1求XY的概率;2某商人打算对甲或乙项目投资十万元,判断哪个项目更具有投资价值,并说明理由.答案 1 2略解析 1PX=
1.2,Y=
1.1=×C21××==,PY=
0.6=2=,∴PXY=PX=
1.2,Y=
1.1+PY=
0.6=+=.2X的分布列为X
1.
21.
00.9P∴EX=1万元.Y的分布列为Y
1.
31.
10.6P∴EY=
0.9万元.∵EXEY,且XY的概率与XY的概率相当,∴从长期投资来看,项目甲更具有投资价值.11.集成电路E由3个不同的电子元件组成,现由于元件老化,3个电子元件能正常工作的概率分别降为,,,且每个电子元件能否正常工作相互独立.若3个电子元件中至少有2个正常工作,则E能正常工作,否则就需要维修,且维修集成电路E所需费用为100元.1求集成电路E需要维修的概率;2若某电子设备共由2个集成电路E组成,设X为该电子设备需要维修集成电路所需的费用,求X的分布列和期望.解析 13个电子元件能正常工作分别记为事件A,B,C,则PA=,PB=,PC=.依题意,集成电路E需要维修有两种情形
①3个元件都不能正常工作,概率为P1=P=PPP=××=;
②3个元件中的2个不能正常工作,概率为P2=PA+B+C=××+××+××==.所以,集成电路E需要维修的概率为P1+P2=+=.2设η为维修集成电路的个数,则η~B2,,而X=100η,PX=100η=Pη=k=C2kk2-k,k=0,1,
2.X的分布列为X0100200P∴EX=0×+100×+200×=或EX=100Eη=100×2×=.
12.将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处,小球自由下落,小球在下落的过程中,将遇到黑色障碍物3次,最后落入A袋或B袋中.已知小球每次遇到障碍物时,向左、右两边下落的概率分别是,.1分别求出小球落入A袋或B袋中的概率;2在容器的入口处依次放入4个小球,记X为落入B袋中的小球个数.求X的分布列和数学期望.答案 1, 2EX=解析 1记“小球落入A袋中”为事件M,“小球落入B袋中”为事件N,则事件M的对立事件为事件N,而小球落入A袋中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下,故PM=3+3=+=.从而PN=1-PM=1-=.2显然,随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,
4.且X~B4,,故PX=0=C400×4=,PX=1=C411×3=,PX=2=C422×2=,PX=3=C433×1=,PX=4=C444×0=.则X的分布列为X01234P故X的数学期望为EX=4×=.13.xx·四川,理某市A,B两所中学的学生组队参加辩论赛,A中学推荐了3名男生,2名女生,B中学推荐了3名男生,4名女生,两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当,从参加集训的男生中随机抽取3人,女生中随机抽取3人组成代表队.1求A中学至少有1名学生入选代表队的概率;2某场比赛前,从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛.设X表示参赛的男生人数,求X的分布列和数学期望.答案 1 2EX=2解析 1由题意,参加集训的男、女生各有6名.代表队中的学生全从B中学抽取等价于A中学没有学生入选代表队的概率为=.因此,A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1-=.2根据题意,X的可能取值为1,2,
3.PX=1==,PX=2==,PX=3==.所以X的分布列为X123P因此,X的数学期望为EX=1×PX=1+2×PX=2+3×PX=3=1×+2×+3×=
2.14.xx·广东东莞一中、松山湖学校某公司春节联欢会中设一抽奖活动在一个不透明的口袋中装入外形一样号码分别为1,2,3,…,10的十个小球.活动者一次从中摸出三个小球,三球号码有且仅有两个连号的为三等奖,奖金30元;三球号码都连号为二等奖,奖金60元;三球号码分别为1,5,10为一等奖,奖金240元;其余情况无奖金.1求员工甲抽奖一次所得奖金的分布列与期望;2员工乙幸运地先后获得四次抽奖机会,他得奖次数的方差是多少?答案 1EX=20 2Dη=解析 1由题意知甲抽奖一次,基本事件总数是C103=120,奖金的可能取值是0,30,60,240,∴PX=240=,PX=60==,PX=30==,PX=0=1---=.∴变量X的分布列为X03060240P∴EX=30×+60×+240×=
20.2由1可得乙抽奖一次中奖的概率是1-=,四次抽奖是相互独立的,∴中奖次数η~B4,,∴Dη=4××=.15.xx·福建质检甲、乙两家外卖公司,其送餐员的日工资方案如下甲公司底薪70元,每单抽成2元;乙公司无底薪,40单以内含40单的部分每单抽成4元,超出40单的部分每单抽成6元,假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同,现从两家公司各随机抽取一名送餐员,并分别记录其100天的送餐单数,得到如下频数表甲公司送餐员送餐单数频数表送餐单数3839404142天数2040201010乙公司送餐员送餐单数频数表送餐单数3839404142天数10202040101现从甲公司记录的这100天中随机抽取2天,求这2天送餐单数都大于40的概率;2若将频率视为概率,回答以下问题
①记乙公司送餐员日工资为X单位元,求X的分布列和数学期望;
②小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员,如果仅从日工资的角度考虑,请利用所学的统计学知识为他做出选择,并说明理由.答案 1 2略解析 1记“抽取的2天送餐单数都大于40”为事件M,则PM==.2
①设乙公司送餐员送餐单数为a,则当a=38时,X=38×4=152;当a=39时,X=39×4=156当a=40时,X=40×4=160;当a=41时,X=40×4+1×6=166;当a=42时,X=40×4+2×6=
172.所以X的所有可能取值为152,156,160,166,
172.故X的分布列为X152156160166172P所以EX=152×+156×+160×+166×+172×=
162.
②依题意,甲公司送餐员日平均送餐单数为38×
0.2+39×
0.4+40×
0.2+41×
0.1+42×
0.1=
39.
5.所以甲公司送餐员日平均工资为70+2×
39.5=149元.由
①得乙公司送餐员日平均工资为162元.因为149162,故推荐小明去乙公司应聘.16.xx·福建泉州一模某校为了解开展校园安全教育系列活动的成效,对全校学生进行了一次安全意识测试,根据测试成绩评定“合格”“不合格”两个等级,同时对相应等级进行量化“合格”记5分,“不合格”记0分.现随机抽取部分学生的答卷,统计结果及对应的频率分布直方图如图所示等级不合格合格得分[20,40[40,60[60,80[80,100]频数6a24b1求a,b,c的值;2先用分层抽样的方法从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中随机抽取10人进行座谈,再从这10人中任选4人,记所选4人的量化总分为ξ,求ξ的分布列及数学期望Eξ;3某评估机构以指标MM=,其中Dξ表示ξ的方差来评估该校开展安全教育活动的成效.若M≥
0.7,则认定教育活动是有效的;否则认定教育活动无效,应调整安全教育方案.在2的条件下,判断该校是否应调整安全教育方案.答案 118,12,
0.015 212 3在2的条件下,判断该校不用调整安全教育方案.解析 1样本容量为=
60.则b=60×
0.01×20=12,a=60-6-12-24=18,c==
0.
015.2用分层抽样的方法从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中随机抽取10人进行座谈,其中“不合格”的学生数为×10=4,“合格”的学生数为10-4=
6.由题意可得ξ=0,5,10,15,
20.则Pξ=0==,Pξ=5==,Pξ=10==,Pξ=15==,Pξ=20==,ξ的分布列为ξ05101520PEξ=0+5×+10×+15×+20×=
12.3Dξ=0-122×+5-122×+10-122×+15-122×+20-122×=
16.∴M===
0.
750.7,则认定教育活动是有效的;在2的条件下,判断该校不用调整安全教育方案.讲评 在实际问题中,若两个随机变量ξ1,ξ2,有Eξ1=Eξ2或Eξ1与Eξ2较为接近时,就需要用Dξ1与Dξ2来比较两个随机变量的稳定程度.即一般地将期望最大或最小的方案作为最优方案,若各方案的期望相同,则选择方差最小或最大的方案作为最优方案.17.xx·四川成都七中月考调查表明,高三学生的幸福感与成绩、作业量、人际关系的满意度的指标有极强的相关性.现将这三项的满意度指标分别记为x,y,z,并对它们进行量化0表示不满意,1表示基本满意,2表示满意,再用综合指标w=x+y+z的值评定高三学生的幸福感等级若w≥4,则幸福感为一级;若2≤w≤3,则幸福感为二级;若0≤w≤1,则幸福感为三级.为了了解目前某高三学生群体的幸福感情况,研究人员随机采访了该群体的10名高三学生,得到如下结果人员编号A1A2A3A4A5x,y,z1,1,22,1,12,2,20,1,11,2,1人员编号A6A7A8A9A10x,y,z1,2,21,1,11,2,21,0,01,1,11在这10名被采访者中任选两人,求这两人的成绩满意度指标相同的概率;2从幸福感等级是一级的被采访者中任选一人,其综合指标为a,从幸福感等级不是一级的被采访者中任选一人,其综合指标为b,记随机变量X=a-b,求X的分布列及其数学期望.答案 1 2解析 1记“在这10名被采访者中任选两人,这两人的成绩满意度指标相同”为事件A.∵成绩满意度指标为0的有1人,成绩满意度指标为1的有7人,成绩满意度指标为2的有2人,∴PA==.2由统计结果知,幸福感等级是一级的被采访者共有6人,幸福感等级不是一级的被采访者共有4人,随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4,
5.PX=1==,PX=2==,PX=3==,PX=4==,PX=5==.∴X的分布列为X12345P∴EX=1×+2×+3×+4×+5×=.18.xx·东北四校联考为调查大学生这个微信用户群体中每人拥有微信群的数量,现从某市大学生中随机抽取300位同学进行调查,结果如下微信群数量0至5个6至10个11至15个16至20个20个以上合计频数09090x15300频率
00.
30.3yz11求x,y,z的值;2以这300人的样本数据估计该市的总体数据且以频率估计概率,若从全市大学生数量很大中随机抽取3人,记X表示抽到的是微信群个数超过15的人数,求X的分布列、数学期望和方差.答案 1x=105,y=
0.35,z=
0.05 2EX=,DX=解析 1由已知得0+90+90+x+15=300,解得x=105,所以y==
0.35,z==
0.
05.2依题意可知,微信群个数超过15的概率为p==.X的所有可能取值为0,1,2,
3.依题意得,X~B3,.所以PX=k=C3kk3-kk=0,1,2,3.所以X的分布列为X0123P所以EX=3×=,DX=3××1-=.。