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2019-2020年高三上学期12月月考数学试卷含解析
一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分,请把答案直接填写在答卷纸相应的位置)1.已知全集U={1,2,3,4,5,6},A={1,3,5},B={1,2,3,5},则∁U(A∩B)= .2.若实数a满足,其中i是虚数单位,则a= .3.双曲线的两条渐近线方程为 .4.若变量x,y满足约束条件则z=2x+y的最大值 .5.函数f(x)=(sinx﹣cosx)2的最小正周期为 .6.函数f(x)=xlnx的减区间是 .7.若将一个圆锥的侧面沿一条母线剪开,其展开图是半径为2cm的半圆,则该圆锥的高为 cm.8.在等比数列{an}中,Sn为其前n项和,已知a5=2S4+3,a6=2S5+3,则此数列的公比q为 .9.已知椭圆(a>b>0),A为左顶点,B为短轴一顶点,F为右焦点且AB⊥BF,则这个椭圆的离心率等于 .10.设f(x)=x2﹣3x+a,若函数f(x)在区间(1,3)内有零点,则实数a的取值范围为 .11.在△ABC中,已知•=4,||=3,M、N分别是BC边上的三等分点,则= .12.已知f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=2x﹣2,则不等式f(x﹣1)≤2的解集是 .13.已知圆O x2+y2=1,圆M(x﹣a)2+(y﹣a+4)2=1.若圆M上存在点P,过点P作圆O的两条切线,切点为A,B,使得∠APB=60°,则实数a的取值范围为 .14.设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数)的导函数为f′(x).对任意x∈R,不等式f(x)≥f′(x)恒成立,则的最大值为 .
二、解答题(本大题共6个小题,共90分,请在答题卷区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知acosC+ccosA=2bcosA.
(1)求角A的值;
(2)求sinB+sinC的取值范围.16.如图,在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中,E是侧面AA1B1B对角线的交点,F是侧面AA1C1C对角线的交点,D是棱BC的中点.求证
(1)EF∥平面ABC;
(2)平面AEF⊥平面A1AD.17.某城市A计划每天从蔬菜基地B处给本市供应蔬菜,为此,准备从主干道AD的C处(不在端点A、D处)做一条道路CB,主干道AD的长为60千米,设计路线如图所示,测得蔬菜基地B在城市A的东偏北60°处,AB长为60千米,设∠BCD=θ,运输汽车在主干道AD上的平均车速为60千米/小时,在道路CB上的平均车速为20千米/小时.
(1)求运输汽车从城市A到蔬菜基地B处所用的时间t关于θ的函数关系式t(θ),并指出其定义域;
(2)求运输汽车从城市A到蔬菜基地B处所用的时间t的最小值.18.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知点F是椭圆E=1(a>b>0)的左焦点,A,B,C分别为椭圆E的右、下、上顶点,满足,椭圆的离心率为.
(1)求椭圆E的方程;
(2)若P为线段FC(包括端点)上任意一点,当取得最小值时,求点P的坐标;
(3)设M为线段BC(包括端点)上的一个动点,射线MF交椭圆于点N,若,求实数λ的取值范围.19.已知数列{an}中,a2=1,前n项和为Sn,且.
(1)求a1,a3;
(2)求证数列{an}为等差数列,并写出其通项公式;
(3)设,试问是否存在正整数p,q(其中1<p<q),使b1,bp,bq成等比数列?若存在,求出所有满足条件的数组(p,q);若不存在,说明理由.20.已知函数f(x)=﹣ax(x>0且x≠1).
(1)若函数f(x)在(1,+∞)上为减函数,求实数a的最小值;
(2)若∃x1,x2∈[e,e2],使f(x1)≤f′(x2)+a成立,求实数a的取值范围. 附加题21.设是矩阵的一个特征向量,求实数a的值.22.在极坐标系中,设直线θ=与曲线ρ2﹣10ρcosθ+4=0相交于A,B两点,求线段AB中点的极坐标.23.一个袋中装有6个形状大小完全相同的小球,球的编号分别为1,1,1,2,2,3,现从袋中一次随机抽取3个球.
(1)若有放回的抽取3次,求恰有2次抽到编号为3的小球的概率;
(2)记球的最大编号为X,求随机变量X的分布列与数学期望.24.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知直线l x﹣y﹣2=0,抛物线C y2=2px(p>0).
(1)若直线l过抛物线C的焦点,求抛物线C的方程;
(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.
①求证线段PQ的中点坐标为(2﹣p,﹣p);
②求p的取值范围. xx学年江苏省苏州市张家港市暨阳中学高三(上)12月月考数学试卷参考答案与试题解析
一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分,请把答案直接填写在答卷纸相应的位置)1.已知全集U={1,2,3,4,5,6},A={1,3,5},B={1,2,3,5},则∁U(A∩B)= {2,4,6} .【考点】交、并、补集的混合运算.【分析】先利用并集的定义,求出全集U=A∪B,再利用交集的定义求出A∩B,再利用补集的定义求得集合∁U(A∩B).【解答】解∵集合A={1,3,5},B={1,2,3,5},∴A∩B={1,3,5},又全集U={1,2,3,4,5,6},∴集合∁U(A∩B)={2,4,6},故答案为{2,4,6}. 2.若实数a满足,其中i是虚数单位,则a= 2 .【考点】复数代数形式的乘除运算.【分析】由条件可得2+ai=2i(1﹣i),再利用两个复数相等的充要条件,求得a的值.【解答】解∵实数a满足,∴2+ai=2i(1﹣i),∴2+ai=2+2i,解得a=2,故答案为2. 3.双曲线的两条渐近线方程为 .【考点】双曲线的简单性质.【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴,再确定双曲线的实轴长和虚轴长,最后确定双曲线的渐近线方程.【解答】解∵双曲线的a=4,b=3,焦点在x轴上而双曲线的渐近线方程为y=±x∴双曲线的渐近线方程为故答案为 4.若变量x,y满足约束条件则z=2x+y的最大值 4 .【考点】简单线性规划.【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,利用数形结合确定z的最大值.【解答】解作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分ABC).由z=2x+y得y=﹣2x+z,平移直线y=﹣2x+z,由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点C(2,0)时,直线y=﹣2x+z的截距最大,此时z最大.将C的坐标代入目标函数z=2x+y,得z=2×2+0=4.即z=2x+y的最大值为4.故答案为4 5.函数f(x)=(sinx﹣cosx)2的最小正周期为 π .【考点】三角函数中的恒等变换应用;三角函数的周期性及其求法.【分析】化简函数的表达式为一个角的一个三角函数的形式,然后利用周期公式求出函数的周期.【解答】解函数f(x)=(sinx﹣cosx)2=1﹣2sinxcosx=1﹣six2x;所以函数的最小正周期为T=,故答案为π. 6.函数f(x)=xlnx的减区间是 .【考点】利用导数研究函数的单调性.【分析】先求定义域,再令导数≤0解不等式,取交集可得.【解答】解由题意函数的定义域为(0,+∞),求导数可得f′(x)=x′lnx+x(lnx)′=1+lnx,令f′(x)=1+lnx≤0,解之可得x≤故函数的减区间为故答案为 7.若将一个圆锥的侧面沿一条母线剪开,其展开图是半径为2cm的半圆,则该圆锥的高为 cm.【考点】点、线、面间的距离计算.【分析】根据半圆的周长等于圆锥底面圆的周长求出底面圆的半径,再根据圆锥的轴截面图形求高即可.【解答】解设圆锥的底面圆半径为r,则2πr=2π⇒r=1cm,∴h==cm.故答案是. 8.在等比数列{an}中,Sn为其前n项和,已知a5=2S4+3,a6=2S5+3,则此数列的公比q为 3 .【考点】等比数列的前n项和.【分析】分q=1,及q≠1,两种情况,结合等比数列的通项公式及求和公式分别表示已知,解方程可求q【解答】解∵a5=2S4+3,a6=2S5+3,若q=1,则,不符合题意若q≠1∴两式相减整理可得,∴∴q=3故答案为3法二∵a5=2S4+3,a6=2S5+3,两式相减可得,a6﹣a5=2(s5﹣s4)=2a5即a6=3a5∴q=3故答案为3 9.已知椭圆(a>b>0),A为左顶点,B为短轴一顶点,F为右焦点且AB⊥BF,则这个椭圆的离心率等于 .【考点】椭圆的简单性质.【分析】先求出A、B、F的坐标,由AB⊥BF及a,b、c的关系建立关于离心率e的方程,解方程求得椭圆C的离心率e.【解答】解由题意得A(﹣a,0)、B(0,b),F(c,0),∵AB⊥BF,∴,∴(a,b)•(c,﹣b)=ac﹣b2=ac﹣a2+c2=0,∴e﹣1+e2=0,解得e=,故答案为. 10.设f(x)=x2﹣3x+a,若函数f(x)在区间(1,3)内有零点,则实数a的取值范围为 (0,] .【考点】函数零点的判定定理;函数奇偶性的性质.【分析】函数f(x)在区间(1,3)内有零点,即a=﹣x2+3x在x∈(1,3)上成立即可,转化出求函数的值域问题即可获得问题的解答.【解答】解函数f(x)在区间(1,3)内有零点,即a=﹣x2+3x在x∈(1,3)上成立,∵a=﹣x2+3x=﹣(x﹣)2+,x∈(1,3)∴a∈(0,].故答案为(0,]. 11.在△ABC中,已知•=4,||=3,M、N分别是BC边上的三等分点,则= 6 .【考点】平面向量数量积的运算.【分析】设BC的中点为O,由•=4,求得=.再根据=(+)•(+)=﹣,计算求得结果.【解答】解如图,设BC的中点为O,由•=
4、||=3,可得(+)•(+)=(+)•(﹣)=﹣=﹣=4,求得=.则=(+)•(+)=(+)•(﹣)=﹣=﹣=6,故答案为6. 12.已知f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=2x﹣2,则不等式f(x﹣1)≤2的解集是 [﹣1,3] .【考点】奇偶性与单调性的综合.【分析】判断函数当x≥0时的单调性,利用函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化求解即可.【解答】解∵当x≥0时,f(x)=2x﹣2,∴此时函数单调递增,由f(x)=2x﹣2=2得2x=4,则x=2,即不等式f(x﹣1)≤2等价为f(x﹣1)≤f
(2),∵f(x)是定义在R上的偶函数,∴不等式等价为f(|x﹣1|)≤f
(2),即|x﹣1|≤2,则﹣2≤x﹣1≤2即﹣1≤x≤3,则不等式的解集为[﹣1,3],故答案为[﹣1,3] 13.已知圆O x2+y2=1,圆M(x﹣a)2+(y﹣a+4)2=1.若圆M上存在点P,过点P作圆O的两条切线,切点为A,B,使得∠APB=60°,则实数a的取值范围为 [] .【考点】圆的切线方程.【分析】由题意画出图形,利用两点间的距离关系求出OP的距离,再由题意得到关于a的不等式求得答案.【解答】解如图,圆O的半径为1,圆M上存在点P,过点P作圆O的两条切线,切点为A,B,使得∠APB=60°,则∠APO=30°,在Rt△PAO中,PO=2,又圆M的半径等于1,圆心坐标M(a,a﹣4),∴|PO|min=|MO|﹣1,|PO|max=|MO|+1,∵,∴由,解得2.故答案为[]. 14.设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数)的导函数为f′(x).对任意x∈R,不等式f(x)≥f′(x)恒成立,则的最大值为 2﹣2 .【考点】二次函数的性质.【分析】由已知可得ax2+(b﹣2a)x+(c﹣b)≥0恒成立,即△=(b﹣2a)2﹣4a(c﹣b)=b2+4a2﹣4ac≤0,且a>0,进而利用基本不等式可得的最大值.【解答】解∵f(x)=ax2+bx+c,∴f′(x)=2ax+b,∵对任意x∈R,不等式f(x)≥f′(x)恒成立,∴ax2+bx+c≥2ax+b恒成立,即ax2+(b﹣2a)x+(c﹣b)≥0恒成立,故△=(b﹣2a)2﹣4a(c﹣b)=b2+4a2﹣4ac≤0,且a>0,即b2≤4ac﹣4a2,∴4ac﹣4a2≥0,∴c≥a>0,∴,故≤===≤=2﹣2,故答案为2﹣2
二、解答题(本大题共6个小题,共90分,请在答题卷区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知acosC+ccosA=2bcosA.
(1)求角A的值;
(2)求sinB+sinC的取值范围.【考点】正弦定理;两角和与差的正弦函数.【分析】
(1)利用正弦定理以及两角和与差的三角函数化简acosC+ccosA=2bcosA,结合三角形的内角和,求解A即可.
(2)转化sinB+sinC为B的正弦函数,条公交的范围,推出相位的范围,然后求解函数的最值.【解答】解
(1)因为acosC+ccosA=2bcosA,所以sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosA,即sin(A+C)=2sinBcosA.因为A+B+C=π,所以sin(A+C)=sinB.从而sinB=2sinBcosA.…因为sinB≠0,所以cosA=.因为0<A<π,所以A=.…
(2)sinB+sinC=sinB+sin(﹣B)=sinB+sincosB﹣cossinB=sinB+cosB=sin(B+).…因为0<B<,所以<B+<.所以sinB+sinC的取值范围为(,].… 16.如图,在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中,E是侧面AA1B1B对角线的交点,F是侧面AA1C1C对角线的交点,D是棱BC的中点.求证
(1)EF∥平面ABC;
(2)平面AEF⊥平面A1AD.【考点】平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定.【分析】
(1)连接A1B和A1C,易证EF∥BC,利用线面平行的判断定理即可证得EF∥平面ABC;
(2)依题意,可证EF⊥AA1,EF⊥AD,而AA1∩AD=A,从而可证得EF⊥平面A1AD,利用面面垂直的判定定理即可证得平面AEF⊥平面A1AD.【解答】解
(1)连接A1B和A1C,因为E、F分别是侧面AA1B1B和侧面AA1C1C对角线的交点,所以E、F分别是A1B和A1C的中点.所以EF∥BC…3分又BC⊂平面ABC,EF⊄平面ABC,故EF∥平面ABC;…6分
(2)∵三棱柱ABC﹣A1B1C1为正三棱柱,∴AA1⊥平面ABC,∴BC⊥AA1,又EF∥BC,∴EF⊥AA1…8分又D是棱BC的中点,且△ABC为正三角形,所以BC⊥AD.由EF∥BC得EF⊥AD…10分而AA1∩AD=A,AA1,AD⊂平面A1AD,所以EF⊥平面A1AD,…12分又EF⊂平面AEF,故平面AEF⊥平面A1AD…14分 17.某城市A计划每天从蔬菜基地B处给本市供应蔬菜,为此,准备从主干道AD的C处(不在端点A、D处)做一条道路CB,主干道AD的长为60千米,设计路线如图所示,测得蔬菜基地B在城市A的东偏北60°处,AB长为60千米,设∠BCD=θ,运输汽车在主干道AD上的平均车速为60千米/小时,在道路CB上的平均车速为20千米/小时.
(1)求运输汽车从城市A到蔬菜基地B处所用的时间t关于θ的函数关系式t(θ),并指出其定义域;
(2)求运输汽车从城市A到蔬菜基地B处所用的时间t的最小值.【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用.【分析】
(1)求出BC,AC,可得运输汽车从城市A到蔬菜基地B处所用的时间t关于θ的函数关系式t(θ),并指出其定义域;
(2)求导数,确定函数的单调性,即可求运输汽车从城市A到蔬菜基地B处所用的时间t的最小值.【解答】解
(1)在△ABC中,,则,…又,则,…所以,运输汽车从城市A到蔬菜基地B处所用的时间t(θ)====,其定义域为{θ|60°<θ<120°}.…
(2)=,…令t(θ)=0,则,当时,t(θ)>0;当时,t(θ)<0,…所以,当时,因为60°≤θ≤120°,所以时,t(θ)取得最小值,此时,最小值为.答运输汽车从城市A到蔬菜基地B处所用的时间t的最小值为.… 18.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知点F是椭圆E=1(a>b>0)的左焦点,A,B,C分别为椭圆E的右、下、上顶点,满足,椭圆的离心率为.
(1)求椭圆E的方程;
(2)若P为线段FC(包括端点)上任意一点,当取得最小值时,求点P的坐标;
(3)设M为线段BC(包括端点)上的一个动点,射线MF交椭圆于点N,若,求实数λ的取值范围.【考点】直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程;椭圆的简单性质.【分析】
(1)由点的坐标得到向量的坐标,由数量积等于5,结合离心率即隐含条件联立求解a,bc的值,则椭圆的方程可求;
(2)由题意求出线段FC的方程,设出P点坐标,代入数量积公式后化为关于x的表达式,利用配方法求最值,并求出取得最值时的P点坐标;
(3)设出M点坐标,由把N点的坐标用含有λ和m的代数式表示,把N代代入椭圆方程得到m和λ的关系式,由m得范围进一步求解λ的范围.【解答】解
(1)设F(﹣c,0).∵A(a,0),B(0,﹣b),C(0,b),∴.∵,∴ac+b2=5
①.又,a2=b2+c2
②.由
①②得.∴椭圆E的方程为;
(2)由题意可得线段FC的方程为.设P(x,y),则.=.当取得最小值时,,此时点P的坐标为;
(3)设M(0,m),由,得N(﹣1﹣λ,﹣λm).代入椭圆的方程得3(﹣1﹣λ)2+4(﹣λm)2﹣12=0.即4(λm)2=12﹣3(1+λ)2.∵,∴0≤4(λm)2≤12λ2.则0≤12﹣3(1+λ)2≤12λ2.解得﹣3≤λ≤﹣1(舍)或. 19.已知数列{an}中,a2=1,前n项和为Sn,且.
(1)求a1,a3;
(2)求证数列{an}为等差数列,并写出其通项公式;
(3)设,试问是否存在正整数p,q(其中1<p<q),使b1,bp,bq成等比数列?若存在,求出所有满足条件的数组(p,q);若不存在,说明理由.【考点】等差数列与等比数列的综合;等差数列的通项公式;等比关系的确定.【分析】
(1)在中,分别令n=2,n=3即可求得答案;
(2)由,即
①,得
②,两式作差得(n﹣1)an+1=nan
③,从而有nan+2=(n+1)an+1
④,
③+
④,根据等差数列中项公式即可证明;
(3)假设存在正整数数组(p,q),使b1,bp,bq成等比数列,则lgb1,lgbp,lgbq成等差数列,从而可用p表示出q,观察可知(p,q)=(2,3)满足条件,根据数列单调性可证明(p,q)=(2,3)唯一符合条件.【解答】
(1)解令n=1,则a1=S1==0,令n=3,则,即0+1+a3=,解得a3=2;
(2)证明由,即
①,得
②,
②﹣
①,得(n﹣1)an+1=nan
③,于是,nan+2=(n+1)an+1
④,
③+
④,得nan+2+nan=2nan+1,即an+2+an=2an+1,又a1=0,a2=1,a2﹣a1=1,所以数列{an}是以0为首项,1为公差的等差数列.所以an=n﹣1.
(3)假设存在正整数数组(p,q),使b1,bp,bq成等比数列,则lgb1,lgbp,lgbq成等差数列,于是,.所以,(☆).易知(p,q)=(2,3)为方程(☆)的一组解.当p≥3,且p∈N*时,<0,故数列{}(p≥3)为递减数列于是≤<0,所以此时方程(☆)无正整数解.综上,存在唯一正整数数对(p,q)=(2,3),使b1,bp,bq成等比数列. 20.已知函数f(x)=﹣ax(x>0且x≠1).
(1)若函数f(x)在(1,+∞)上为减函数,求实数a的最小值;
(2)若∃x1,x2∈[e,e2],使f(x1)≤f′(x2)+a成立,求实数a的取值范围.【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;函数的单调性与导数的关系.【分析】
(1)f(x)在(1,+∞)上为减函数,等价于f′(x)≤0在(1,+∞)上恒成立,进而转化为f′(x)max≤0,根据二次函数的性质可得f′(x)max;
(2)命题“若∃x1,x2∈[e,e2],使f(x1)≤f(x2)+a成立”等价于“当x∈[e,e2]时,有f(x)min≤f′(x)max+a”,由
(1)易求f′(x)max+a,从而问题等价于“当x∈[e,e2]时,有f(x)min”,分
①a,
②a<两种情况讨论当a时易求f(x)min,当a<时可求得f′(x)的值域为[﹣a,],再按(i)﹣a≥0,(ii)﹣a<0两种情况讨论即可;【解答】解
(1)因f(x)在(1,+∞)上为减函数,故f′(x)=﹣a≤0在(1,+∞)上恒成立,又f′(x)=﹣a=﹣+﹣a=﹣,故当,即x=e2时,,所以0,于是a,故a的最小值为.
(2)命题“若∃x1,x2∈[e,e2],使f(x1)≤f(x2)+a成立”等价于“当x∈[e,e2]时,有f(x)min≤f′(x)max+a”,由
(1),当x∈[e,e2]时,f′(x)max=,所以f′(x)max+a=,问题等价于“当x∈[e,e2]时,有f(x)min”,
①当a时,由
(1),f(x)在[e,e2]上为减函数,则f(x)min=f(e2)=,故a,;
②当a<时,由于在[e,e2]上为增函数,故f′(x)的值域为[f′(e),f′(e2)],即[﹣a,].(i)若﹣a≥0,即a≤0,f′(x)≥0在[e,e2]上恒成立,故f(x)在[e,e2]上为增函数,于是,f(x)min=f(e)=e﹣ae≥e>,不合题意;(ii)若﹣a<0,即0<a<,由f′(x)的单调性和值域知,∃唯一,使f′(x0)=0,且满足当x∈(e,x0)时,f′(x)<0,f(x)为减函数;当x时,f′(x)>0,f(x)为增函数;所以,,,所以a﹣>,与0<a<矛盾,不合题意;综上,得a. 附加题21.设是矩阵的一个特征向量,求实数a的值.【考点】特征值与特征向量的计算.【分析】利用特征向量的定义,建立方程,即可求实数a的值.【解答】解设是矩阵M属于特征值λ的一个特征向量,则,…5分故解得…10分. 22.在极坐标系中,设直线θ=与曲线ρ2﹣10ρcosθ+4=0相交于A,B两点,求线段AB中点的极坐标.【考点】简单曲线的极坐标方程.【分析】方法一将直线直线θ=化为普通方程得,x,将曲线ρ2﹣10ρcosθ+4=0化为普通方程得,x2+y2﹣10x+4=0,联立消去y得,2x2﹣5x+2=0,利用中点坐标可得线段AB的坐标,再化为极坐标即可.方法2联立直线l与曲线C的方程组可得ρ2﹣5ρ+4=0,解得ρ1=1,ρ2=4,利用中点坐标公式即可得出.【解答】解方法一将直线θ=化为普通方程得,x,将曲线ρ2﹣10ρcosθ+4=0化为普通方程得,x2+y2﹣10x+4=0,联立并消去y得,2x2﹣5x+2=0,∴x1+x2=,∴AB中点的横坐标为=,纵坐标为,∴=化为极坐标为.方法2联立直线l与曲线C的方程组,消去θ,得ρ2﹣5ρ+4=0,解得ρ1=1,ρ2=4,∴线段AB中点的极坐标为,即. 23.一个袋中装有6个形状大小完全相同的小球,球的编号分别为1,1,1,2,2,3,现从袋中一次随机抽取3个球.
(1)若有放回的抽取3次,求恰有2次抽到编号为3的小球的概率;
(2)记球的最大编号为X,求随机变量X的分布列与数学期望.【考点】离散型随机变量的期望与方差;等可能事件的概率.【分析】
(1)确定一次从袋中随机抽取3个球,抽到编号为3的小球的概率,即可求出恰有2次抽到编号为3的小球的概率;
(2)确定随机变量X所有可能的取值,求出相应的概率,即可求出随机变量X的分布列与数学期望.【解答】解
(1)一次从袋中随机抽取3个球,抽到编号为3的小球的概率为P==∴有放回的抽取3次,恰有2次抽到编号为3的小球的概率为==;
(2)随机变量X所有可能的取值为1,2,3,则P(X=1)==;P(X=2)==;P(X=3)==∴随机变量X的分布列为X123P∴E(X)=1×+2×+3×=. 24.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知直线l x﹣y﹣2=0,抛物线C y2=2px(p>0).
(1)若直线l过抛物线C的焦点,求抛物线C的方程;
(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.
①求证线段PQ的中点坐标为(2﹣p,﹣p);
②求p的取值范围.【考点】直线与抛物线的位置关系;抛物线的标准方程;抛物线的简单性质.【分析】
(1)求出抛物线的焦点坐标,然后求解抛物线方程.
(2)
①设点P(x1,y1),Q(x2,y2),通过抛物线方程,求解kPQ,通过P,Q关于直线l对称,点的kPQ=﹣1,推出,PQ的中点在直线l上,推出=2﹣p,即可证明线段PQ的中点坐标为(2﹣p,﹣p);
②利用线段PQ中点坐标(2﹣p,﹣p).推出,得到关于y2+2py+4p2﹣4p=0,有两个不相等的实数根,列出不等式即可求出p的范围.【解答】解
(1)∵l x﹣y﹣2=0,∴l与x轴的交点坐标(2,0),即抛物线的焦点坐标(2,0).∴,∴抛物线C y2=8x.
(2)证明
①设点P(x1,y1),Q(x2,y2),则,即,kPQ==,又∵P,Q关于直线l对称,∴kPQ=﹣1,即y1+y2=﹣2p,∴,又PQ的中点在直线l上,∴==2﹣p,∴线段PQ的中点坐标为(2﹣p,﹣p);
②因为Q中点坐标(2﹣p,﹣p).∴,即∴,即关于y2+2py+4p2﹣4p=0,有两个不相等的实数根,∴△>0,(2p)2﹣4(4p2﹣4p)>0,∴p∈. xx年1月17日。