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2019-2020年高三上学期12月月考数学(理)试卷含解析 一.选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.已知全集U=R,A={x|x>1},B={x|x2﹣2x>0},则∁U(A∪B)=( )A.{x|x≤2}B.{x|x≥1}C.{x|0≤x≤1}D.{x|0≤x≤2} 2.已知=a+i(a,b∈R),其中i为虚数单位,则a+b=( )A.﹣4B.4C.﹣10D.10 3.若α是第三象限角,且tanα=,则cosα=( )A.B.C.D. 4.已知向量,若A、B、D三点共线,则实数m、n应该满足的条件是( )A.m+n=1B.m+n=﹣1C.mn=1D.mn=﹣1 5.在正项等比数列{an}中,lga3+lga6+lga9=6,则a1a11的值是( )A.10000B.1000C.100D.10 6.已知向量,=(3,m),m∈R,则“m=﹣6”是“”的( )A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件 7.已知双曲线C的焦距为10,点P(2,1)在C的渐近线上,则C的方程为( )A.B.C.D. 8.△ABC中,∠A=90°,AB=2,AC=1,设点P,Q满足=λ,=(1﹣λ),λ∈R.若•=﹣2,则λ=( )A.B.C.D.2 9.x,y满足约束条件,若z=y﹣2ax取得最大值的最优解不唯一,则实数a的值为( )A.或﹣1B.1或﹣C.2或1D.2或﹣1 10.对于任意两个正整数m,n,定义某种运算“※”如下当m,n都为正偶数或正奇数时,m※n=m+n;当m,n中一个为正偶数,另一个为正奇数时,m※n=mn.则在此定义下,集合M={(a,b)|a※b=16}中的元素个数是( )A.18B.17C.16D.15
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在答题卡中相应的横线上.)11.曲线y=2sinx(0≤x≤π)与直线y=1围成的封闭图形的面积为 . 12.过点(3,1)作圆(x﹣2)2+(y﹣2)2=4的弦,其中最短的弦长为 . [来源:学科网]13.在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,已知a=6,c=4,cosB=,则b= . 14.过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,若|AF|=3,则|BF|= . 15.给出下列命题
①函数y=在区间[1,3]上是增函数;
②函数f(x)=2x﹣x2的零点有3个;
③不等式|x+1|+|x﹣3|≥a恒成立,则a≤4;
④已知a,b∈R+,2a+b=1,则≥8;
⑤φ=π是函数y=sin(2x+φ)为偶函数的一个充分不必要条件.其中真命题的序号是(请将所有正确命题的序号都填上) .
三、解答题(本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)16.已知递增等比数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,且S3=2S2+1.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)若数列{bn}满足bn=2n﹣1+an(n∈N*),求{bn}的前n项和Tn. 17.已知向量.
(1)当时,求cos2x﹣sin2x的值;
(2)设函数,已知在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=,求的取值范围. 18.北京、张家港2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会,某公司为了竞标配套活动的相关代言,决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元,年销售8万件.
(1)据市场调查,若价格每提高1元,销售量将相应减少xx件,要使销售的总收入不低于原收入,该商品每件定价最多为多少元?
(2)为了抓住申奥契机,扩大该商品的影响力,提高年销售量.公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革,并提高定价到x元.公司拟投入万作为技改费用,投入50万元作为固定宣传费用,投入万元作为浮动宣传费用.试问当该商品改革后的销售量a至少应达到多少万件时,才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时商品的每件定价. 19.在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AD=1,AA1=AB=2.点E是线段AB上的动点,点M为D1C的中点.
(1)当E点是AB中点时,求证直线ME∥平面ADD1A1;
(2)若二面角A﹣D1E﹣C的余弦值为.求线段AE的长. 20.已知椭圆C的两个焦点分别为F1(﹣1,0)、F2(1,0),短轴的两个端点分别为B1,B2
(1)若△F1B1B2为等边三角形,求椭圆C的方程;
(2)若椭圆C的短轴长为2,过点F2的直线l与椭圆C相交于P,Q两点,且,求直线l的方程. 21.已知函数f(x)=lnx+(a+1)x2+1.(Ⅰ)当时,求f(x)在区间上的最小值;(Ⅱ)讨论函数f(x)的单调性;(Ⅲ)当﹣1<a<0时,有f(x)>1+ln(﹣a)恒成立,求a的取值范围. xx学年山东省济宁一中高三(上)12月月考数学试卷(理科)参考答案与试题解析 一.选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.已知全集U=R,A={x|x>1},B={x|x2﹣2x>0},则∁U(A∪B)=( )A.{x|x≤2}B.{x|x≥1}C.{x|0≤x≤1}D.{x|0≤x≤2}考点交、并、补集的混合运算.专题集合.分析求出B中不等式的解集确定出B,根据全集U=R求出B的补集,找出A与B并集的补集的并集即可.解答解由B中不等式解得x2﹣2x>0,得到B={x|x>2或x<0},∵全集U=R,∴A∪B={x|x>1或x<0},∴∁U(A∪B)={x|0≤x≤1}故选C.点评此题考查了并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键. 2.已知=a+i(a,b∈R),其中i为虚数单位,则a+b=( )A.﹣4B.4C.﹣10D.10考点复数代数形式的乘除运算.专题数系的扩充和复数.分析利用复数的代数形式的乘除运算及复数相等的性质可求得答案.解答解∵===a+i,∴=a,=﹣1,解得b=﹣7,a=3.∴a+b=﹣7+3=﹣4.故选A.点评本题考查复数代数形式的乘除运算,将复数分母实数化是化简的关键,考查复数相等与运算能力,属于基础题. 3.若α是第三象限角,且tanα=,则cosα=( )A.B.C.D.考点同角三角函数基本关系的运用.专题三角函数的求值.分析由条件利用同角三角函数的基本关系求得cosα的值.解答解∵α是第三象限角,且tanα==,sin2α+cos2α=1,∴cosα<0,且cosα=﹣,故选C.点评本题主要考查同角三角函数的基本关系,以及三角函数在各个象限中的符号,属于基础题. [来源:学|科|网]4.已知向量,若A、B、D三点共线,则实数m、n应该满足的条件是( )A.m+n=1B.m+n=﹣1C.mn=1D.mn=﹣1考点向量的共线定理.专题平面向量及应用.分析由题意可得,再根据两个向量共线的性质可得,由此可得结论.解答解由题意可得,∴,故有,∴mn=1,故选C.点评本题主要考查两个向量共线的性质,两个向量坐标形式的运算,属于中档题. 5.在正项等比数列{an}中,lga3+lga6+lga9=6,则a1a11的值是( )A.10000B.1000C.100D.10考点等比数列的性质;对数的运算性质;等比数列的通项公式.专题等差数列与等比数列.分析正项等比数列{an}可得.由lga3+lga6+lga9=6,利用对数的运算法则可得lg(a3a6a9)=6,即,解得a6即可.解答[来源:]解由正项等比数列{an}可得.∵lga3+lga6+lga9=6,∴lg(a3a6a9)=6,∴,解得.∴a1a11==104.故选A.点评本题考查了等比数列的性质和对数的运算法则,属于基础题. 6.已知向量,=(3,m),m∈R,则“m=﹣6”是“”的( )A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件考点平面向量共线(平行)的坐标表示.专题平面向量及应用.分析由⇔﹣1×(2+m)﹣2×2=0,即可得出.解答解=(﹣1,2)+(3,m)=(2,2+m).由⇔﹣1×(2+m)﹣2×2=0,⇔m=﹣6.因此“m=﹣6”是“”的充要条件.故选A.点评本题考查了向量的共线定理、充要条件,属于基础题. 7.已知双曲线C的焦距为10,点P(2,1)在C的渐近线上,则C的方程为( )A.B.C.D.考点双曲线的标准方程.专题计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.分析利用双曲线C的焦距为10,点P(2,1)在C的渐近线上,建立方程组,求出a,b的值,即可求得双曲线的方程.解答解∵双曲线C的焦距为10,点P(2,1)在C的渐近线上,∴a2+b2=25,=1,∴b=,a=2∴双曲线的方程为.故选A.点评[来源:Z_xx_k]本题考查双曲线的标准方程,考查双曲线的几何性质,考查学生的计算能力,属于基础题. 8.△ABC中,∠A=90°,AB=2,AC=1,设点P,Q满足=λ,=(1﹣λ),λ∈R.若•=﹣2,则λ=( )A.B.C.D.2考点平面向量数量积的运算.专题平面向量及应用.分析据平面向量的线性运算,得到=(1﹣λ)﹣,=﹣,代入•=﹣2,并化简整理即可解得λ值.解答解由题意可得=0,因为=λ,=(1﹣λ),所以=(1﹣λ)﹣,=﹣,[来源:Z_xx_k]代入•=﹣2,并化简整理得﹣(1﹣λ)+[λ(1﹣λ)+1]﹣λ=﹣2,即﹣(1﹣λ)﹣4λ=﹣2,解得λ=,故选A.点评本题主要考查两个向量垂直的性质,两个向量的加减法的法则,以及其几何意义,两个向量的数量积的运算. 9.x,y满足约束条件,若z=y﹣2ax取得最大值的最优解不唯一,则实数a的值为( )A.或﹣1B.1或﹣C.2或1D.2或﹣1考点简单线性规划.专题不等式的解法及应用.分析作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,得到直线y=2ax+z斜率的变化,从而求出a的取值.解答解作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分ABC).由z=y﹣2ax得y=2ax+z,即直线的截距最大,z也最大.若a=0,此时y=z,此时,目标函数只在A处取得最大值,不满足条件,若a>0,目标函数y=2ax+z的斜率k=2a>0,要使z=y﹣2ax取得最大值的最优解不唯一,则直线y=2ax+z与直线2x﹣y+2=0平行,此时2a=2,即a=1.若a<0,目标函数y=ax+z的斜率k=a<0,要使z=y﹣2ax取得最大值的最优解不唯一,则直线y=2ax+z与直线x+y﹣2=0,平行,此时2a=﹣1,解得a=﹣综上a=1或a=﹣,故选B点评本题主要考查线性规划的应用,利用目标函数的几何意义,结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法.注意要对a进行分类讨论. 10.对于任意两个正整数m,n,定义某种运算“※”如下当m,n都为正偶数或正奇数时,m※n=m+n;当m,n中一个为正偶数,另一个为正奇数时,m※n=mn.则在此定义下,集合M={(a,b)|a※b=16}中的元素个数是( )A.18B.17C.16D.15考点元素与集合关系的判断.专题集合.分析根据已知条件,当a,b都为正偶数或正奇数时需满足a+b=16,a从1到16这16个数字取一个有16种取法,a一旦确定,b也唯一确定,即b有一种取法,所以(a,b)有16种取法,即构成集合M16个元素;当a=1,b=16,或1=16,b=1时则满足ab=16,即构成集合M2个元素,所以集合M有18个元素.解答解
(1)a,b都是正偶数时a从2,4,6,8,10,12,14,16任取一个有8种取法,而对应的b有一种取法;∴(a,b)有7种取法,即这种情况下集合M有8个元素;
(2)a,b都为正奇数时a从1,3,5,7,9,11,13,15任取一个有8种取法,而对应的b有一种取法;∴(a,b)有8种取法,即这种情况下集合M有8个元素;
(3)当m=16,n=1,和m=1,n=16,即这种情况下集合M有两个元素;∴集合M的元素个数是7+8+2=17.故选B.点评考查描述法表示集合,元素与集合的关系,以及对新概念的运用能力.
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在答题卡中相应的横线上.)11.曲线y=2sinx(0≤x≤π)与直线y=1围成的封闭图形的面积为 .考点定积分.专题计算题;导数的概念及应用.分析作出的图象,求出它们的交点分别为A(,1)和B(,1),由此可得所求面积为函数2sinx﹣1在区间[,]上的定积分的值,再用定积分计算公式加以运算即可得到本题答案.解答解令2sinx=1(0≤x≤π),即sinx=,可得x=或.∴曲线y=2sinx(0≤x≤π)与直线y=1交于点A(,1)和B(,1),因此,围成的封闭图形的面积为S=(2sinx﹣1)dx=(﹣2cosx﹣x)=(﹣2cos﹣)﹣(﹣2cos﹣)=2﹣.故答案为2﹣.点评本题求两条曲线围成的曲边图形的面积,着重考查了定积分的几何意义和积分计算公式等知识,属于中档题. 12.过点(3,1)作圆(x﹣2)2+(y﹣2)2=4的弦,其中最短的弦长为 2 .考点直线与圆的位置关系.专题直线与圆.分析由圆的方程找出圆心与半径,判断得到(3,1)在圆内,过此点最短的弦即为与过此点直径垂直的弦,利用垂径定理及勾股定理即可求出.解答解根据题意得圆心(2,2),半径r=2,∵=<2,∴(3,1)在圆内,∵圆心到此点的距离d=,r=2,∴最短的弦长为2=2.故答案为2点评此题考查了直线与圆的位置关系,涉及的知识有圆的标准方程,点与圆的位置关系,垂径定理,以及勾股定理,找出最短弦是解本题的关键. 13.在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,已知a=6,c=4,cosB=,则b= 6 .考点余弦定理的应用.专题计算题;解三角形.分析依题意,利用余弦定理即可求得b.解答解∵△ABC中,a=6,c=4,cosB=,∴由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB[来源:]=36+16﹣2×6×4×=36.∴b=6.[来源:]故答案为6.点评本题考查余弦定理的应用,属于基础题. 14.过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,若|AF|=3,则|BF|= .考点抛物线的简单性质.专题计算题;压轴题.分析设∠AFx=θ,θ∈(0,π)及|BF|=m,利用抛物线的定义直接求出m即|BF|的值.解答解设∠AFx=θ,θ∈(0,π)及|BF|=m,则点A到准线l x=﹣1的距离为3.得3=2+3cosθ⇔cosθ=,又m=2+mcos(π﹣θ)⇔=.故答案为.点评本题考查抛物线的定义的应用,考查计算能力. 15.给出下列命题
①函数y=在区间[1,3]上是增函数;
②函数f(x)=2x﹣x2的零点有3个;
③不等式|x+1|+|x﹣3|≥a恒成立,则a≤4;
④已知a,b∈R+,2a+b=1,则≥8;
⑤φ=π是函数y=sin(2x+φ)为偶函数的一个充分不必要条件.其中真命题的序号是(请将所有正确命题的序号都填上)
②③④⑤ .考点命题的真假判断与应用.专题计算题;作图题;不等式的解法及应用;简易逻辑.分析
①化简函数y==,从而判断函数的单调性;
②作y2x与y=x2的图象,图象交点个数即为函数f(x)=2x﹣x2的零点个数;
③|x+1|+|x﹣3|几何意义是点x到点﹣1与点3的距离之和,从而得解;
④由基本不等式可判断出≥9,≥8当然也成立;[来源:]
⑤当φ=π时,函数y=sin(2x+φ)=﹣cos2x是偶函数,当φ=π时,函数y=sin(2x+φ)也是偶函数;故是充分不必要条件.解答解
①函数y==在区间[1,2]上是增函数,[2,3]上是减函数,故错误;
②作y2x与y=x2的图象如右图,则函数f(x)=2x﹣x2有3个零点,故正确;
③∵|x+1|+|x﹣3|几何意义是点x到点﹣1与点3的距离之和,且点﹣1与点3的距离为4;故若不等式|x+1|+|x﹣3|≥a恒成立,则a≤4,故正确;
④已知a,b∈R+,2a+b=1,则=+=5+2(+)≥9(当且仅当a=b=时,等号成立),故正确;
⑤当φ=π时,函数y=sin(2x+φ)=﹣cos2x是偶函数,当φ=π时,函数y=sin(2x+φ)也是偶函数;故φ=π是函数y=sin(2x+φ)为偶函数的一个充分不必要条件,故正确.故答案为
②③④⑤.点评本题借命题真假性的判断同时考查了三角函数,基本不等式,不等式,绝对值不等式,函数的单调性及函数的图象的应用等,综合性很强,属于难题.
三、解答题(本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)16.已知递增等比数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,且S3=2S2+1.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)若数列{bn}满足bn=2n﹣1+an(n∈N*),求{bn}的前n项和Tn.考点数列的求和;数列递推式.专题综合题;等差数列与等比数列.分析(Ⅰ)先求出公比,再求出求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)利用分组求和,即可求{bn}的前n项和Tn.解答解(Ⅰ)设公比为q,由题意q>1,a1=1,则a2=q,a3=q2,∵S3=2S2+1,∴a1+a2+a3=2(a1+a2)+1,…(2分)则1+q+q2=2(1+q)+1解得q=2或q=﹣1(舍去),…(4分)∴an=2n﹣1…(5分)(Ⅱ)bn=2n﹣1+an=2n﹣1+2n﹣1…(7分)则=+=n2+2n﹣1…(10分)点评本题考查数列的通项与求和,考查学生的计算能力,属于中档题. 17.已知向量.
(1)当时,求cos2x﹣sin2x的值;
(2)设函数,已知在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=,求的取值范围.考点余弦定理;数量积的坐标表达式;三角函数中的恒等变换应用.专题计算题.分析
(1)由两向量的坐标,以及两向量平行列出关系式,整理求出tanx的值,所求式子变形后利用同角三角函数间的基本关系变形,将tanx的值代入计算即可求出值;
(2)利用平面向量的数量积运算法则确定出f(x),由a,b及sinB的值,利用正弦定理求出sinA的值,确定出A的度数,代入所求式子,根据x的范围求出这个角的范围,进而求出正弦函数的值域,即可确定出所求式子的范围.解答解
(1)∵=(sinx,),=(cosx,﹣1),∥,∴﹣sinx=cosx,即tanx=﹣,则cos2x﹣sin2x=cos2x﹣2sinxcosx====;
(2)f(x)=2(+)•=2(sinxcosx+cos2x+)=sin2x+cos2x+=sin(2x+)+,∵a=,b=2,sinB=,∴由正弦定理=得sinA===,∵a<b,∴A<B,∴A=,∴原式=sin(2x+)﹣,∵x∈[0,],∴2x+∈[,],∴1≤sin(2x+)≤,则≤sin(2x+)﹣≤﹣.即所求式子的范围为[,﹣].点评此题考查了余弦定理,数量积的坐标表达式,正弦函数的定义域与值域,以及三角函数的恒等变换,熟练掌握余弦定理是解本题的关键. 18.北京、张家港2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会,某公司为了竞标配套活动的相关代言,决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元,年销售8万件.
(1)据市场调查,若价格每提高1元,销售量将相应减少xx件,要使销售的总收入不低于原收入,该商品每件定价最多为多少元?
(2)为了抓住申奥契机,扩大该商品的影响力,提高年销售量.公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革,并提高定价到x元.公司拟投入万作为技改费用,投入50万元作为固定宣传费用,投入万元作为浮动宣传费用.试问当该商品改革后的销售量a至少应达到多少万件时,才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时商品的每件定价.考点根据实际问题选择函数类型.专题综合题;函数的性质及应用.分析
(1)设每件定价为x元,可得提高价格后的销售量,根据销售的总收人不低于原收入,建立不等式,解不等式可得每件最高定价;
(2)依题意,x>25时,不等式ax≥25×8+50+(x2﹣600)+x有解,等价于x>25时,a≥+x+有解,利用基本不等式,我们可以求得结论.解答解
(1)设每件定价为t元,依题意得(8﹣)x≥25×8,[来源:]整理得t2﹣65t+1000≤0,解得25≤t≤40.所以要使销售的总收入不低于原收入,每件定价最多为40元.
(2)依题意知当x>25时,不等式ax≥25×8+50+(x2﹣600)+x有解,等价于x>25时,a≥+x+有解.由于+x≥2=10,当且仅当=,即x=30时等号成立,所以a≥
10.2.当该商品改革后的销售量a至少达到
10.2万件时,才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和,此时该商品的每件定价为30元.点评解决实际问题的关键是读懂题意,建立函数模型,同时应注意变量的取值应使实际问题有意义. 19.在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AD=1,AA1=AB=2.点E是线段AB上的动点,点M为D1C的中点.
(1)当E点是AB中点时,求证直线ME∥平面ADD1A1;
(2)若二面角A﹣D1E﹣C的余弦值为.求线段AE的长.考点用空间向量求平面间的夹角;直线与平面平行的判定;与二面角有关的立体几何综合题.专题空间位置关系与距离;空间向量及应用.分析
(1)取DD1的中点N,连结MN,AN,ME,由已知条件推导出四边形MNAE为平行四边形,由此能证明直线ME∥平面ADD1A1.
(2)设AE=m,以DA为x轴,以DC为y轴,以DD1为z轴,建立空间直角坐标系,结合题设条件利用向量法能求出线段AE的长.解答
(1)证明取DD1的中点N,连结MN,AN,ME,∵点M为D1C的中点,E点是AB中点,∴MN,AE,∴四边形MNAE为平行四边形,∴ME∥AN,∵AN⊂平面ADD1A1,ME不包含于平面ADD1A1,∴直线ME∥平面ADD1A1.
(2)解设AE=m,如图以DA为x轴,以DC为y轴,以DD1为z轴,建立空间直角坐标系,由题意知A(1,0,0),E(1,m,0),C(0,2,0),D1(0,0,2),∴=(﹣1,0,2),=(0,m,0),=(0,2,﹣2),,设平面AD1E的法向量为,则,,∴,∴,设平面D1EC的法向量为=(x,y,z),则,,∴,∴=(2﹣m,1,1),设二面角A﹣D1E﹣C的平面角为θ,∵二面角A﹣D1E﹣C的余弦值为,∴cosθ==,整理,得20m2﹣116m+129=0,解得m=或m=(舍),∴线段AE的长为.点评本题考查直线与平面平行的证明,考查线段落长的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用. 20.已知椭圆C的两个焦点分别为F1(﹣1,0)、F2(1,0),短轴的两个端点分别为B1,B2
(1)若△F1B1B2为等边三角形,求椭圆C的方程;
(2)若椭圆C的短轴长为2,过点F2的直线l与椭圆C相交于P,Q两点,且,求直线l的方程.考点直线与圆锥曲线的关系;平面向量数量积的运算;直线的一般式方程;椭圆的标准方程.专题圆锥曲线的定义、性质与方程.分析
(1)由△F1B1B2为等边三角形可得a=2b,又c=1,集合a2=b2+c2可求a2,b2,则椭圆C的方程可求;
(2)由给出的椭圆C的短轴长为2,结合c=1求出椭圆方程,分过点F2的直线l的斜率存在和不存在讨论,当斜率存在时,把直线方程和椭圆方程联立,由根与系数关系写出两个交点的横坐标的和,把转化为数量积等于0,代入坐标后可求直线的斜率,则直线l的方程可求.解答解
(1)设椭圆C的方程为.根据题意知,解得,故椭圆C的方程为.
(2)由2b=2,得b=1,所以a2=b2+c2=2,得椭圆C的方程为.当直线l的斜率不存在时,其方程为x=1,不符合题意;当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x﹣1).由,得(2k2+1)x2﹣4k2x+2(k2﹣1)=0.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则,因为,所以,即===,解得,即k=.故直线l的方程为或.点评本题考查了椭圆的标准方程,考查了数量积的坐标运算,考查了直线和圆锥曲线的关系,考查了分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法,训练了根与系数关系,属有一定难度题目. 21.已知函数f(x)=lnx+(a+1)x2+1.(Ⅰ)当时,求f(x)在区间上的最小值;(Ⅱ)讨论函数f(x)的单调性;(Ⅲ)当﹣1<a<0时,有f(x)>1+ln(﹣a)恒成立,求a的取值范围.考点利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.专题导数的综合应用.分析(Ⅰ)当时,f(x)=﹣+1,可得.分别由f′(x)≥0;由f′(x)≤0解出,即可得出函数的单调性极值与最值.(Ⅱ),x∈(0,+∞).对a分类讨论当a+1≤0,即a≤﹣1时;当a≥0时;当﹣1<a<0时,利用导数与函数单调性的关系即可得出.(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当﹣1<a<0时,fmin(x)=,f(x)>1+ln(﹣a)恒成立等价于,化为ln(4a+4)>﹣1,解出即可.解答解(Ⅰ)当时,f(x)=﹣+1,∴.∵f(x)的定义域为(0,+∞),∴由f′(x)≥0得;由f′(x)≤0得.∴f(x)在区间上单调递减,在区间上单调递增,∴f′(x)min==.(Ⅱ),x∈(0,+∞).
①当a+1≤0,即a≤﹣1时,f′(x)<0,∴f(x)在(0,+∞)上单调递减;
②当a≥0时,f′(x)>0,∴f(x)在(0,+∞)单调递增;
③当﹣1<a<0时,由f′(x)>0,得,解得.∴f(x)在单调递增,在上单调递减;综上可得当a≥0时,f(x)在(0,+∞)单调递增;当﹣1<a<0时,f(x)在单调递增,在上单调递减;当a≤﹣1时,f(x)在(0,+∞)上单调递减.(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当﹣1<a<0时,fmin(x)=,f(x)>1+ln(﹣a)恒成立等价于,化为ln(4a+4)>﹣1,∴,又∵﹣1<a<0,∴a的取值范围为.点评本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值,考查了分类讨论的思想方法与恒成立问题等价转化方法,考查了推理能力与计算能力,属于难题. 。