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2019-2020年高三上学期12月测试数学试题Word版含答案班级姓名得分______
一、填空题本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上.1.已知复数满足(为虚数单位),则=▲.22.已知集合A={-1,0,1,2},B={x|x2-1>0},则A∩B=.{2}
3.设点是角终边上一点,若,则▲.4.抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有1,2,3,4的正四面体,记底面上的数字分别为,则为整数的概率是▲.
5.执行如图所示的算法流程图,则输出的结果是▲.-16.直线截得的弦AB的长为___8______
7.已知等差数列中,,若前5项的和,则其公差为
28.已知双曲线的一条渐近线与直线平行,则实数▲9.设的内角的对边分别为,若,则或3▲10.已知平行四边形ABCD中,AD=2,∠BAD=60°.若E为DC中点,且·=1,则·的值为.
311.在平面直角坐标系中,已知椭圆的右顶点为,上顶点为,为线段的中点,若,则该椭圆的离心率的值为12.过点作曲线的切线切点为,设在轴上的投影是点,过点再作曲线的切线切点为,设在轴上的投影是点,依次下去,得到第个切点,则点的坐标为▲.13.如图,点C为半圆的直径AB延长线上一点,AB=BC=2,过动点P作半圆的切线PQ,若则的面积的最大值为14.中,,.若椭圆以为长轴,且过点,则椭圆的离心率是▲.
二、解答题本大题共6小题,计90分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内.[
15.本小题满分14分在△ABC中,,,点D在BC边上.
(1)若AD为的平分线,且BD1,求△ABC的面积;
(2)若AD为△ABC的中线,且AD,求证△ABC为等边三角形.15.
(1)在△ABD中,,在△ACD中,,相除得AC=2AB.………………………………………3分在△ABC中,,∴AB=,AC=2………………………………………6分∴……………………………7分
(2)∵,∴∴………………………………9分又,相减得,………………………………………11分∴,∴即∶AB=AC,又∠C=60°,∴三角形ABC为等边三角形.………………14分16.本小题满分14分如图,在四棱锥中,与交于点且平面平面为棱上一点.
(1)求证
(2)若求证平面
(1)因为平面底面,平面底面,,平面,所以平面,又因为平面,所以.……………………6分
(2)因为,,与交于,所以,又因为,所以,所以,又因为平面,平面,所以平面.……………………14分
17.本小题满分14分平面直角坐标系xOy中,已知⊙M经过点F1(0,-c),F2(0,c),A(c,0)三点,其中c>0.
(1)求⊙M的标准方程(用含的式子表示);
(2)已知椭圆(其中)的左、右顶点分别为D、B,⊙M与x轴的两个交点分别为A、C,且A点在B点右侧,C点在D点右侧.
①求椭圆离心率的取值范围;
②若A、B、M、O、C、D(O为坐标原点)依次均匀分布在x轴上,问直线MF1与直线DF2的交点是否在一条定直线上?若是,请求出这条定直线的方程;若不是,请说明理由.解
(1)设⊙M的方程为,则由题设,得解得………………………3分⊙M的方程为,⊙M的标准方程为.…………………………………5分
(2)⊙M与轴的两个交点,,又,,由题设即所以………………………7分解得,即.所以椭圆离心率的取值范围为.………………………………………10分
(3)由
(1),得.由题设,得.∴,.∴直线MF1的方程为,
①直线DF2的方程为.
②…………………………………13分由
①②,得直线MF1与直线DF2的交点,易知为定值,∴直线MF1与直线DF2的交点Q在定直线上.…………………14分18.本小题满分16分某地拟模仿图甲建造一座大型体育馆,其设计方案侧面的外轮廓线如图乙所示曲线是以点为圆心的圆的一部分,其中(,单位米);曲线是抛物线的一部分;,且恰好等于圆的半径.假定拟建体育馆的高米.
(1)若要求米,米,求与的值;
(2)若要求体育馆侧面的最大宽度不超过米,求的取值范围;
(3)若,求的最大值.(参考公式若,则)
(1)因为,解得.……………2分此时圆,令,得,所以,将点代入中,解得.…………4分
(2)因为圆的半径为,所以,在中令,得,则由题意知对恒成立,8分所以恒成立,而当,即时,取最小值10,故,解得.…………10分
(3)当时,,又圆的方程为,令,得,所以,从而,…………12分又因为,令,得,…………14分当时,,单调递增;当时,,单调递减,从而当时,取最大值为
25.答当米时,的最大值为25米.…………16分(说明本题还可以运用三角换元,或线性规划等方法解决,类似给分)
19.本小题满分16分已知数列,满足,,,.
(1)求证数列是等差数列,并求数列的通项公式;
(2)设数列满足,对于任意给定的正整数,是否存在正整数,,使得,,成等差数列?若存在,试用表示,;若不存在,说明理由.19.
(1)因为,所以,则,………………………2分所以,又,所以,故是首项为,公差为的等差数列,……4分即,所以.………………………6分
(2)由
(1)知,所以,
①当时,,,,若,,成等差数列,则(),因为,所以,,,,所以()不成立.…………………………9分
②当时,若,,成等差数列,则,所以,即,所以,………………………12分欲满足题设条件,只需,此时,………………14分因为,所以,,即.…………………………15分综上所述,当时,不存在满足题设条件;当时,存在,,满足题设条件.…16分
20.本小题满分16分已知函数其中是自然对数的底数,,.⑴记函数,当时,求的单调区间;⑵若对于任意的,,,均有成立,求实数的取值范围.解⑴,,得或,…………………………………2分列表如下(,)极大值极小值的单调增区间为,,减区间为;……6分⑵设,是单调增函数,,;…8分
①由得,即函数在上单调递增,在上恒成立,在上恒成立;令,,时,;时,;,;………………………………12
②由得,即函数在上单调递增,在上恒成立,在上恒成立;函数在上单调递减,当时,,,综上所述,实数的取值范围为.…………………………16分ABCPQ。