还剩19页未读,继续阅读
本资源只提供10页预览,全部文档请下载后查看!喜欢就下载吧,查找使用更方便
文本内容:
2019-2020年高三上学期12月质检数学试卷(理科)含解析
一、选择题本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={1,a},B={1,2,3},则“a=3”是“A⊆B“的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 2.已知平面向量=(2m+1,3)=(2,m),且∥,则实数m的值等于( )A.2或﹣B.C.﹣2或D.﹣ 3.数列{an}满足an+an+1=(n∈N*),a2=2,Sn是数列{an}的前n项和,则S21为( )A.5B.C.D. 4.设a,b,c∈(﹣∞,0),则a+,b+,c+( )A.都不大于﹣2B.都不小于﹣2C.至少有一个不大于﹣2D.至少有一个不小于﹣2 5.已知函数f(x)=(ax﹣1)(x+b),如果不等式f(x)>0的解集是(﹣1,3),则不等式f(﹣2x)<0的解集是( )A.(﹣∞,﹣)∪(,+∞)B.(﹣,)C.(﹣∞,﹣)∪(,+∞)D.(﹣,) 6.已知命题p∃x0∈R,ex﹣mx=0,q∀x∈R,x2+mx+1≥0,若p∨(¬q)为假命题,则实数m的取值范围是( )A.(﹣∞,0)∪(2,+∞)B.[0,2]C.RD.∅ 7.已知函数f(x)=|2x﹣1|,a<b<c,且f(a)>f(c)>f(b),则下列结论中成立的是( )A.a<0,b<0,c<0B.a<0,b≥0,c>0C.2﹣a<2cD.2a+2c<2 8.已知椭圆E+=1(a>b>0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l3x﹣4y=0交椭圆E于A,B两点,若|AF|+|BF|=4,点M到直线l的距离不小于,则椭圆E的离心率的取值范围是( )A.(0,]B.(0,]C.[,1)D.[,1) 9.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π),其导函数f′(x)的部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式为( )A.f(x)=4sin(x+π)B.f(x)=4sin(x+)C.f(x)=4sin(x+)D.f(x)=4sin(x+) 10.已知函数f(x)=(a>0,且a≠1)的图象上关于y轴对称的点至少有5对,则实数a的取值范围是( )A.(0,)B.(,1)C.(,1)D.(0,)
二、填空题本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把将答案填在答题卡的相应的横线上.11.若数列{an}的前n项和为Sn=an+,则数列{an}的通项公式是an= . 12.已知tanα=﹣2,tan(α+β)=,则tanβ的值为 . 13.若目标函数z=kx+2y在约束条件下仅在点(1,1)处取得最小值,则实数k的取值范围是 . 14.已知直线ax+y﹣1=0与圆C(x﹣1)2+(y+a)2=1相交于A,B两点,且△ABC为等腰直角三角形,则实数a的值为 . 15.对于实数x,[x]表示不超过x的最大整数,观察下列等式.按照此规律第n个等式的等号右边的结果为 .
三、解答题本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.△ABC在内角A、B、C的对边分别为a,b,c,已知a=bcosC+csinB.(Ⅰ)求B;(Ⅱ)若b=2,求△ABC面积的最大值. 17.已知函数f(x)=sin(2wx﹣)﹣4sin2wx+2(w>0),其图象与x轴相邻两个交点的距离为.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若将f(x)的图象向左平移m(m>0)个长度单位得到函数g(x)的图象恰好经过点(﹣,0),求当m取得最小值时,g(x)在[﹣,]上的单调增区间. 18.已知一企业生产某产品的年固定成本为10万元,每生产千件该产品需另投入
2.7万元,设该企业年内共生产此种产品x千件,并且全部销售完,每千件的销售收入为f(x)万元,且f(x)=.(Ⅰ)写出年利润P(万元)关于产品年产量x(千件)的函数关系式;(Ⅱ)年产量x为多少千件时,该企业生产此产品所获年利润最大?(注年利润=年销售收入﹣年总成本) 19.在数列{an}(n∈N*)中,其前n项和为Sn,满足2Sn=n﹣n2.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)设bn=(k为正整数),求数列{bn}的前2n项和T2n. 20.已知椭圆C的右焦点为F(1,0),且点(﹣1,)在椭圆C上.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)已知动直线l过点F,且与椭圆C交于A,B两点,试问x轴上是否存在定点Q,使得恒成立?若存在,求出点Q的坐标,若不存在,请说明理由. 21.已知函数f(x)=lnx﹣ax2.(I)求f(x)的单调区间;(Ⅱ)设g(x)=f(x)﹣x+1(a≥0),l是曲线y=g(x)的一条切线,证明曲线y=g(x)上的任意一点都不能在直线l的上方;(Ⅲ)当a=1时,方程2m[x+f(x)]=(1﹣2m)x2有唯一实数解,求正数m的值. xx学年山东省枣庄三中高三(上)12月质检数学试卷(理科)参考答案与试题解析
一、选择题本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={1,a},B={1,2,3},则“a=3”是“A⊆B“的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断;集合的包含关系判断及应用.【专题】简易逻辑.【分析】先有a=3成立判断是否能推出A⊆B成立,反之判断“A⊆B”成立是否能推出a=3成立;利用充要条件的题意得到结论.【解答】解当a=3时,A={1,3}所以A⊆B,即a=3能推出A⊆B;反之当A⊆B时,所以a=3或a=2,所以A⊆B成立,推不出a=3故“a=3”是“A⊆B”的充分不必要条件故选A.【点评】本题考查利用充要条件的定义判断一个命题是另一个命题的什么条件. 2.已知平面向量=(2m+1,3)=(2,m),且∥,则实数m的值等于( )A.2或﹣B.C.﹣2或D.﹣【考点】平面向量共线(平行)的坐标表示.【专题】平面向量及应用.【分析】利用向量共线定理即可得出.【解答】解∵∥,∴m(2m+1)﹣6=0,化为2m2+m﹣6=0,解得m=或﹣2.故选C.【点评】本题考查了向量共线定理,属于基础题. 3.数列{an}满足an+an+1=(n∈N*),a2=2,Sn是数列{an}的前n项和,则S21为( )A.5B.C.D.【考点】数列递推式.【专题】点列、递归数列与数学归纳法.【分析】由数列递推式依次求出数列的前几项,得到数列{an}的所有奇数项项为,所有偶数项为2,结合an+an+1=得答案.【解答】解由an+an+1=(n∈N*),a2=2,得,…,∴数列{an}的所有奇数项项为,所有偶数项为2,∴.故选B.【点评】本题考查了数列递推式,关键是对数列规律的发现,是中档题. 4.设a,b,c∈(﹣∞,0),则a+,b+,c+( )A.都不大于﹣2B.都不小于﹣2C.至少有一个不大于﹣2D.至少有一个不小于﹣2【考点】反证法与放缩法.【专题】证明题.【分析】假设a+,b+,c+,由此利用反证法和均值不等式能求出结果.【解答】解假设a+,b+,c+都大于﹣2,即a+>﹣2,b+>﹣2,c+>﹣2,将三式相加,得a++b++c+>﹣6,又因为a,b,c∈(﹣∞,0),所以a+≤﹣2,b+≤﹣2,c+≤﹣2,三式相加,得a++b++c+≤﹣6,所以a++b++c+>﹣6不成立.故选C.【点评】本题考查不等式的性质和应用,解题时要注意均值不等式的合理运用. 5.已知函数f(x)=(ax﹣1)(x+b),如果不等式f(x)>0的解集是(﹣1,3),则不等式f(﹣2x)<0的解集是( )A.(﹣∞,﹣)∪(,+∞)B.(﹣,)C.(﹣∞,﹣)∪(,+∞)D.(﹣,)【考点】二次函数的性质;一元二次不等式的解法.【专题】函数的性质及应用.【分析】由不等式的解集是(﹣1,3),得出a<0,从而求出a,b的值,再代入f(﹣2x)<0,解出即可.【解答】解∵不等式f(x)>0的解集是(﹣1,3),∴(ax﹣1)(x+b)>0,∴(﹣ax+1)(x+b)<0,∴a=﹣1,b=﹣3,∴f(﹣2x)=[﹣(﹣2x)﹣1][(﹣2x)﹣3]<0,解得x>,或x<﹣,故选A.【点评】本题考察了二次函数的性质,一元二次不等式和二次函数的关系,是一道基础题. 6.已知命题p∃x0∈R,ex﹣mx=0,q∀x∈R,x2+mx+1≥0,若p∨(¬q)为假命题,则实数m的取值范围是( )A.(﹣∞,0)∪(2,+∞)B.[0,2]C.RD.∅【考点】复合命题的真假.【专题】函数的性质及应用.【分析】根据复合函数的真假关系,确定命题p,q的真假,利用函数的性质分别求出对应的取值范围即可得到结论.【解答】解若p∨(¬q)为假命题,则p,¬q都为假命题,即p是假命题,q是真命题,由ex﹣mx=0得m=,设f(x)=,则f′(x)==,当x>1时,f′(x)>0,此时函数单调递增,当0<x<1时,f′(x)<0,此时函数单调递递减,当x<0时,f′(x)<0,此时函数单调递递减,∴当x=1时,f(x)=取得极小值f
(1)=e,∴函数f(x)=的值域为(﹣∞,0)∪[e,+∞),∴若p是假命题,则0≤m<e;若q是真命题,则由x2+mx+1≥0,则△=m2﹣4≤0,解得﹣2≤m≤2,综上,解得0≤m≤2.故选B.【点评】本题主要考查复合命题之间的关系,利用函数的性质求出相应的取值范围是解决本题的关键,综合性较强,有一定的难度. 7.已知函数f(x)=|2x﹣1|,a<b<c,且f(a)>f(c)>f(b),则下列结论中成立的是( )A.a<0,b<0,c<0B.a<0,b≥0,c>0C.2﹣a<2cD.2a+2c<2【考点】指数函数单调性的应用.【专题】计算题;函数的性质及应用.【分析】根据函数在区间(﹣∞,0)上是减函数,结合题设可得A不正确;根据函数的解析式,结合举反例的方法,可得到B、C不正确;利用函数的单调性结合函数的解析式,对a<c且f(a)>f(c)加以讨论,可得D是正确的.由此不难得到正确选项.【解答】解对于A,若a<0,b<0,c<0,因为a<b<c,所以a<b<c<0,而函数f(x)=|2x﹣1|在区间(﹣∞,0)上是减函数,故f(a)>f(b)>f(c),与题设矛盾,所以A不正确;对于B,若a<0,b≥0,c>0,可设a=﹣1,b=2,c=3,此时f(c)=f
(3)=7为最大值,与题设矛盾,故B不正确;对于C,取a=0,c=3,同样f(c)=f
(3)=7为最大值,与题设矛盾,故C不正确;对于D,因为a<c,且f(a)>f(c),说明可能如下情况成立(i)a、c位于函数的减区间(﹣∞,0),此时a<c<0,可得0<2c<2a<1,所以2a+2c<2成立;(ii)a、c不在函数的减区间(﹣∞,0),则必有a<0<c,所以f(a)=1﹣2a>2c﹣1=f(c),化简整理,得2a+2c<2成立.综上所述,可得只有D正确故选D.【点评】本题以一个带绝对值的函数为例,在已知自变量大小关系和相应函数值的大小关系情况下,叫我们判断几个不等式的正确性,着重考查了函数的图象与单调性等知识点,属于中档题. 8.已知椭圆E+=1(a>b>0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l3x﹣4y=0交椭圆E于A,B两点,若|AF|+|BF|=4,点M到直线l的距离不小于,则椭圆E的离心率的取值范围是( )A.(0,]B.(0,]C.[,1)D.[,1)【考点】直线与圆锥曲线的关系.【专题】开放型;圆锥曲线中的最值与范围问题.【分析】如图所示,设F′为椭圆的左焦点,连接AF′,BF′,则四边形AFBF′是平行四边形,可得4=|AF|+|BF|=|AF′|+|BF|=2a.取M(0,b),由点M到直线l的距离不小于,可得,解得b≥1.再利用离心率计算公式e==即可得出.【解答】解如图所示,设F′为椭圆的左焦点,连接AF′,BF′,则四边形AFBF′是平行四边形,∴4=|AF|+|BF|=|AF′|+|AF|=2a,∴a=2.取M(0,b),∵点M到直线l的距离不小于,∴,解得b≥1.∴e==≤=.∴椭圆E的离心率的取值范围是.故选A.【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、点到直线的距离公式、不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 9.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π),其导函数f′(x)的部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式为( )A.f(x)=4sin(x+π)B.f(x)=4sin(x+)C.f(x)=4sin(x+)D.f(x)=4sin(x+)【考点】由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式.【专题】三角函数的图像与性质.【分析】对函数f(x)=Asin(ωx+φ)求导,可得f′(x),由导函数f′(x)的最值求出A,由周期求出ω,由特殊点的坐标求出φ的值,从而求得函数的解析式.【解答】解根据题意,对函数f(x)=Asin(ωx+φ)求导,可得f′(x)=ωAcos(ωx+φ),由导函数的图象可得A=2,再由=•=﹣(﹣),求得ω=.则Aω=2,即A=4,∴导函数f′(x)=2cos(x+φ),把(,0)代入得2cos(+φ)=0,且|φ|<π,解得φ=,故函数f(x)的解析式为f(x)=4sin(x+).故选B.【点评】本题主要考查由函数y=Asin(ωx+∅)的部分图象求解析式,由函数的最值求出A,由周期求出ω,由特殊点的坐标求出φ的值,从而求得函数的解析式,属于中档题. 10.已知函数f(x)=(a>0,且a≠1)的图象上关于y轴对称的点至少有5对,则实数a的取值范围是( )A.(0,)B.(,1)C.(,1)D.(0,)【考点】分段函数的应用.【专题】数形结合;函数的性质及应用.【分析】求出函数f(x)=sin(x)﹣1,(x>0)关于y轴对称的解析式,利用数形结合即可得到结论.【解答】解若x<0,则﹣x>0∵x>0时,f(x)=sin(x)﹣1,∴f(﹣x)=sin(﹣x)﹣1=﹣sin(x)﹣1,则若f(x)=sin(x)﹣1,(x>0)关于y轴对称,则f(﹣x)=﹣sin(x)﹣1=f(x),即y=﹣sin(x)﹣1,x<0,设g(x)=﹣sin(x)﹣1,x<0作出函数g(x)的图象,要使y=﹣sin(x)﹣1,x<0与f(x)=loga(﹣x),x<0的图象至少有5个交点,则0<a<1且满足g(﹣7)<f(﹣7),即﹣2<loga7,即loga7>logaa﹣2,则7<,解得0<a<,故选D.【点评】本题主要考查分段函数的应用,作出函数关于y轴对称的图象,利用数形结合的思想是解决本题的关键.
二、填空题本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把将答案填在答题卡的相应的横线上.11.若数列{an}的前n项和为Sn=an+,则数列{an}的通项公式是an= (﹣2)n﹣1 .【考点】等比数列的通项公式.【专题】等差数列与等比数列.【分析】把n=1代入已知式子可得数列的首项,由n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1,可得数列为等比数列,且公比为﹣2,代入等比数列的通项公式分段可得答案.【解答】解当n=1时,a1=S1=,解得a1=1当n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1=()﹣()=,整理可得,即=﹣2,故数列{an}从第二项开始是以﹣2为首项,﹣2为公比的等比数列,故当n≥2时,an=(﹣2)n﹣1=(﹣2)n﹣1经验证当n=1时,上式也适合,故答案为(﹣2)n﹣1【点评】本题考查等比数列的通项公式,涉及等比数列的判定,属基础题. 12.已知tanα=﹣2,tan(α+β)=,则tanβ的值为 3 .【考点】两角和与差的正切函数.【专题】三角函数的求值.【分析】直接利用两角和的正切函数,求解即可.【解答】解tanα=﹣2,tan(α+β)=,可知tan(α+β)==,即=,解得tanβ=3.故答案为3.【点评】本题考查两角和的正切函数,基本知识的考查. 13.若目标函数z=kx+2y在约束条件下仅在点(1,1)处取得最小值,则实数k的取值范围是 (﹣4,2) .【考点】简单线性规划.【专题】不等式的解法及应用.【分析】作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,确定目标取最优解的条件,即可求出k的取值范围.【解答】解作出不等式对应的平面区域,由z=kx+2y得y=﹣x+,要使目标函数z=kx+2y仅在点B(1,1)处取得最小值,则阴影部分区域在直线z=kx+2y的右上方,∴目标函数的斜率﹣大于x+y=2的斜率且小于直线2x﹣y=1的斜率即﹣1<﹣<2,解得﹣4<k<2,即实数k的取值范围为(﹣4,2),故答案为(﹣4,2).【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法.根据条件目标函数仅在点(1,1)处取得最小值,确定直线的位置是解决本题的关键. 14.已知直线ax+y﹣1=0与圆C(x﹣1)2+(y+a)2=1相交于A,B两点,且△ABC为等腰直角三角形,则实数a的值为 ﹣1或1 .【考点】直线与圆的位置关系.【专题】计算题;规律型;数形结合;直线与圆.【分析】由三角形ABC为等腰直角三角形,得到圆心C到直线的距离d=rsin45°,利用点到直线的距离公式列出方程,求出方程的解即可得到a的值.【解答】解∵由题意得到△ABC为等腰直角三角形,∴圆心C(1,﹣a)到直线ax+y﹣1=0的距离d=rsin45°,即=,整理得1+a2=2,即a2=1,解得a=﹣1或1,故答案为﹣1或1【点评】此题考查了直角与圆的位置关系,涉及的知识有点到直线的距离公式,圆的标准方程,等腰直角三角形的性质,以及锐角三角函数定义,熟练掌握公式及性质是解本题的关键. 15.对于实数x,[x]表示不超过x的最大整数,观察下列等式.按照此规律第n个等式的等号右边的结果为 2n2+n .【考点】归纳推理.【专题】推理和证明.【分析】由[x]表示不超过x的最大整数,分别研究等式的左边和右边,归纳出规律即可求出第n个等式的等号右边的结果.【解答】解因为[x]表示不超过x的最大整数,所以=1,=2,…,因为等式,,,…,所以第1个式子的左边有3项、右边1+1+1=1×3=3,第2个式子的左边有5项、右边2+2+2+2+2=2×5=10,第3个式子的左边有7项、右边3×7=21,则第n个式子的左边有(2n+1)项、右边=n(2n+1)=2n2+n,故答案为2n2+n.【点评】本题考查了归纳推理,难点在于发现其中的规律,考查观察、分析、归纳能力.
三、解答题本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.△ABC在内角A、B、C的对边分别为a,b,c,已知a=bcosC+csinB.(Ⅰ)求B;(Ⅱ)若b=2,求△ABC面积的最大值.【考点】余弦定理;正弦定理.【专题】解三角形.【分析】(Ⅰ)已知等式利用正弦定理化简,再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形,求出tanB的值,由B为三角形的内角,利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数;(Ⅱ)利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积,把sinB的值代入,得到三角形面积最大即为ac最大,利用余弦定理列出关系式,再利用基本不等式求出ac的最大值,即可得到面积的最大值.【解答】解(Ⅰ)由已知及正弦定理得sinA=sinBcosC+sinBsinC
①,∵sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC
②,∴sinB=cosB,即tanB=1,∵B为三角形的内角,∴B=;(Ⅱ)S△ABC=acsinB=ac,由已知及余弦定理得4=a2+c2﹣2accos≥2ac﹣2ac×,整理得ac≤,当且仅当a=c时,等号成立,则△ABC面积的最大值为××=××(2+)=+1.【点评】此题考查了正弦、余弦定理,三角形的面积公式,两角和与差的正弦函数公式,以及基本不等式的运用,熟练掌握定理及公式是解本题的关键. 17.已知函数f(x)=sin(2wx﹣)﹣4sin2wx+2(w>0),其图象与x轴相邻两个交点的距离为.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若将f(x)的图象向左平移m(m>0)个长度单位得到函数g(x)的图象恰好经过点(﹣,0),求当m取得最小值时,g(x)在[﹣,]上的单调增区间.【考点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换;由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式.【专题】三角函数的图像与性质.【分析】
(1)由条件利用三角函数的恒等变换求得f(x)=sin(2wx+),再根据正弦函数的周期性求出ω的值,可得函数f(x)的解析式.
(2)由条件根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律、g(x)的图象恰好经过点(﹣,0),求得g(x)=sin(2x+).令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+,k∈z,求得x的范围可得函数的增区间,再结合合x∈[﹣,],进一步确定g(x)的增区间.【解答】解
(1)函数f(x)=sin(2wx﹣)﹣4sin2wx+2(w>0)=sin2wx﹣cos2wx﹣4•+2=sin2wx+cos2wx=sin(2wx+),根据图象与x轴相邻两个交点的距离为,可得函数的最小正周期为2×=,求得ω=1,故函数f(x)=sin(2x+).
(2)将f(x)的图象向左平移m(m>0)个长度单位得到函数g(x)=sin[2(x+m)+]=sin(2x+2m+)的图象,再根据g(x)的图象恰好经过点(﹣,0),可得sin(2m﹣)=0,故m=,g(x)=sin(2x+).令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+,k∈z,求得kπ﹣≤x≤kπ﹣,故函数g(x)的增区间为[kπ﹣,kπ﹣],k∈z.再结合x∈[﹣,],可得增区间为[﹣,﹣]、[,].【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换,三角函数的周期性和求法,函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,正弦函数的单调性,属于中档题. 18.已知一企业生产某产品的年固定成本为10万元,每生产千件该产品需另投入
2.7万元,设该企业年内共生产此种产品x千件,并且全部销售完,每千件的销售收入为f(x)万元,且f(x)=.(Ⅰ)写出年利润P(万元)关于产品年产量x(千件)的函数关系式;(Ⅱ)年产量x为多少千件时,该企业生产此产品所获年利润最大?(注年利润=年销售收入﹣年总成本)【考点】函数模型的选择与应用;分段函数的应用.【专题】计算题;应用题;函数的性质及应用;导数的综合应用;不等式的解法及应用.【分析】(Ⅰ)当0<x≤10时,P=xf(x)﹣(10+
2.7x)=
8.1x﹣﹣10;当x>10时,P=xf(x)﹣(10+
2.7x)=98﹣﹣
2.7x;写成分段函数即可;(Ⅱ)分0<x≤10与10<x时讨论函数的最大值,从而求最大值点即可.【解答】解(Ⅰ)当0<x≤10时,P=xf(x)﹣(10+
2.7x)=
8.1x﹣﹣10;当x>10时,P=xf(x)﹣(10+
2.7x)=98﹣﹣
2.7x;故P=;(Ⅱ)
①当0<x≤10时,由P′=
8.1﹣=0解得,x=9;故当x=9时有最大值P=
8.1×9﹣﹣10=
38.6;
②当10<x时,由P=98﹣(+
2.7x)≤98﹣2=38;(当且仅当=
2.7x,即x=时,等号成立);综上所述,当x=9时,P取得最大值.即当年产量x为9千件时,该企业生产此产品所获年利润最大.【点评】本题考查了函数在实际问题中的应用,同时考查了导数的应用与基本不等式的应用,属于中档题. 19.在数列{an}(n∈N*)中,其前n项和为Sn,满足2Sn=n﹣n2.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)设bn=(k为正整数),求数列{bn}的前2n项和T2n.【考点】数列的求和.【专题】等差数列与等比数列.【分析】(Ⅰ)由,求出,再由an=Sn﹣Sn﹣1,能求出数列{an}的通项公式.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,由此利用分组求和法和裂项求和法能求出数列{bn}的前2n项和T2n.【解答】(本小题满分12分)解(Ⅰ)由题设得,∴∴an=Sn﹣Sn﹣1=1﹣n(n≥2)…当n=1时,a1=S1=0,∴数列{an}是a1=0为首项、公差为﹣1的等差数列,∴an=1﹣n.…(Ⅱ)由(Ⅰ)知…∴T2n=b1+b2+b3+…+b2n=[1•20+3•2﹣2+5•2﹣4+7•2﹣6…+(2n﹣1)•22﹣2n]=…设T=1+3•2﹣2+5•2﹣4+7•2﹣6+…+(2n﹣1)•22﹣2n,则2﹣2•T=2﹣2+3•2﹣4+5•2﹣6+7•2﹣8+…+(2n﹣3)•22﹣2n+(2n﹣1)•2﹣2n,两式相减得整理得…∴.…【点评】本题考查数列的通项公式的求法,考查数列的前n项和的求法,解题时要注意分组求和法和裂项求和法的合理运用. 20.已知椭圆C的右焦点为F(1,0),且点(﹣1,)在椭圆C上.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)已知动直线l过点F,且与椭圆C交于A,B两点,试问x轴上是否存在定点Q,使得恒成立?若存在,求出点Q的坐标,若不存在,请说明理由.【考点】直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程.【专题】综合题;向量与圆锥曲线.【分析】
(1)利用椭圆的定义求出a的值,进而可求b的值,即可得到椭圆的标准方程;
(2)先利用特殊位置,猜想点Q的坐标,再证明一般性也成立即可.【解答】解
(1)由题意,c=1∵点(﹣1,)在椭圆C上,∴根据椭圆的定义可得2a=,∴a=∴b2=a2﹣c2=1,∴椭圆C的标准方程为;
(2)假设x轴上存在点Q(m,0),使得恒成立当直线l的斜率为0时,A(,0),B(﹣,0),则=﹣,∴,∴m=
①当直线l的斜率不存在时,,,则•=﹣,∴∴m=或m=
②由
①②可得m=.下面证明m=时,恒成立当直线l的斜率为0时,结论成立;当直线l的斜率不为0时,设直线l的方程为x=ty+1,A(x1,y1),B(x2,y2)直线方程代入椭圆方程,整理可得(t2+2)y2+2ty﹣1=0,∴y1+y2=﹣,y1y2=﹣∴=(x1﹣,y1)•(x2﹣,y2)=(ty1﹣)(ty2﹣)+y1y2=(t2+1)y1y2﹣t(y1+y2)+=+=﹣综上,x轴上存在点Q(,0),使得恒成立.【点评】本题考查椭圆的标准方程,考查存在性问题,解题的关键的先猜后证,有一定的难度. 21.已知函数f(x)=lnx﹣ax2.(I)求f(x)的单调区间;(Ⅱ)设g(x)=f(x)﹣x+1(a≥0),l是曲线y=g(x)的一条切线,证明曲线y=g(x)上的任意一点都不能在直线l的上方;(Ⅲ)当a=1时,方程2m[x+f(x)]=(1﹣2m)x2有唯一实数解,求正数m的值.【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程.【专题】导数的综合应用.【分析】(Ⅰ)f′(x)=﹣2ax,x>0.根据导数结合解不等式即可得出单调区间.(Ⅱ)g′(x)=(x>0,a>0),构造u(x)=﹣2ax2﹣x+1=0,x=,判断单调性得出g(x)在(0,)单调递增,在(,+∞)单调递减.根据函数的性质得出图象的特点,曲线y=g(x)上的任意一点都不能在切线l的上方;(Ⅲ)把方程2m(x+lnx﹣x2)=(1﹣2m)x2,转化得出m=,构造函数k(x)=,k′(x)=,x>0.判断出极值点即可,得出所求解的答案.【解答】解(Ⅰ)∵函数f(x)=lnx﹣ax2.∴f′(x)=﹣2ax,x>0.
①当a>0时,f′(x)=﹣2ax>0.得出0<x<,f′(x)=﹣2ax<0,得出x,f′(x)=﹣2ax=0.得出x=,∴f(x)在(0,)单调递增,(,+∞)单调递减.
②当a<0时,∵x>0∴f′(x)=﹣2ax,x>0.∴f(x)在(0,+∞)单调递增.(Ⅱ)g(x)=f(x)﹣x+1=lnx﹣ax2﹣x+1(a≥0),
①a=0时,g(x)′=﹣1,x>0,g(x)′=0,x=1,g(x)′>0,0<x<1,g(x)′<0,x>1,∴g(x)在(0,1)单调递增,在(1,+∞)单调递减,g(x)的最大值为g
(1)=0.∴g(x)≤0,∴l是曲线y=g(x)的一条切线,曲线y=g(x)上的任意一点都不能在直线l的上方;
②a≠0时,g′(x)=(x>0,a>0)u(x)=﹣2ax2﹣x+1=0,x=,∴g(x)在(0,)单调递增,在(,+∞)单调递减.∴l是曲线y=g(x)的一条切线,曲线y=g(x)上的任意一点都不能在直线l的上方;(Ⅲ)∵2m[x+f(x)]=(1﹣2m)x2,∴2m(x+lnx﹣x2)=(1﹣2m)x2,m=,令k(x)=,k′(x)=,x>0.k′(x)==0.x=1,x>0.k′(x)=<0,0<x<1,x>0.k′(x)=>0,x>0.x﹣1+2lnx=0,x=1,x=x0<1,∴k(x)在(x0,1)(0,x0)单调递减,在(1,+∞)的递增.即x>x0,k(x)≥k
(1)=,x<x0,k(x)<0∵方程2m[x+f(x)]=(1﹣2m)x2有唯一实数解,∴y=m(m>0)与k(x)=,有一个交点,故m=,【点评】本题综合考察了运用导数,不等式,求解函数的性质问题,解决方程的根的问题,函数图象的性质规律,属于难度较大的题目,综合性较大. 。