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2019-2020年高三上学期周末练习二数学试题含答案
一、填空题本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填写在答卷纸相应位置上.1.已知集合,则=.2.已知复数z满足z1-i=2+4i,其中i为虚数单位,则复数z的模为.3.某学校高
一、高
二、高三年级的学生人数之比为433,现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为80的样本,则应从高一年级抽取名学生.4.从2个红球,2个黄球,1个白球中随机取出两个球,则两球颜色不同的概率是.5.曲线在点处的切线方程为.6.右图是一个算法流程图,则最后输出的k值为.7.已知双曲线-=1a>0,b>0的渐近线方程为y=±x,则该双曲线的离心率为.8.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆,则这个圆锥的高是.9.若函数是奇函数,则使成立的的取值范围为.10.对于直线l,m,平面α,mα,则“l⊥m”是“l⊥α”成立的条件.(在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选填一个).11.已知函数fx=x3+x2-2ax+1,若函数fx在1,2上有极值,则实数的取值范围为.12.已知等比数列{an}的公比q>1,其前n项和为Sn.若S4=2S2+1,则S6的最小值为.13.已知平行四边形ABCD中,AD=2,∠BAD=60°.若E为DC中点,且·=1,则·的值为.14.已知函数fx=x-1-e-1lnx,其中e为自然对数的底,则满足fex<0的x的取值范围为.
二、解答题本大题共6小题,计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答卷纸相应位置上.
15.本题满分14分在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且acosB=bcosA.
(1)求的值;
(2)若sinA=,求sinC-的值.
16.本题满分14分如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,E为侧棱PA的中点.
(1)求证PC//平面BDE;
(2)若PC⊥PA,PD=AD,求证平面BDE⊥平面PAB.
17.本题满分14分已知{an}是等差数列,其前n项的和为Sn,{bn}是等比数列,且a1=b1=2,a4+b4=21,S4+b4=30.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)记cn=anbn,n∈N*,求数列{cn}的前n项和.
18.本题满分16分某市对城市路网进行改造,拟在原有a个标段(注一个标段是指一定长度的机动车道)的基础上,新建x个标段和n个道路交叉口,其中n与x满足n=ax+5.已知新建一个标段的造价为m万元,新建一个道路交叉口的造价是新建一个标段的造价的k倍.
(1)写出新建道路交叉口的总造价y(万元)与x的函数关系式;
(2)设P是新建标段的总造价与新建道路交叉口的总造价之比.若新建的标段数是原有标段数的20%,且k≥3.问P能否大于,说明理由.19.本题满分16分已知椭圆+=1ab0的离心率e=eq\f2,一条准线方程为x=2.过椭圆的上顶点A作一条与x轴、y轴都不垂直的直线交椭圆于另一点P,P关于x轴的对称点为Q.
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线AP,AQ与x轴交点的横坐标分别为m,n,求证mn为常数,并求出此常数.
20.本题满分16分设函数,.
(1)当时,函数与在处的切线互相垂直,求的值;
(2)若函数在定义域内不单调,求的取值范围;
(3)是否存在实数使得对任意正实数恒成立?若存在,求出满足条件的实数;若不存在,请说明理由.东台市安丰中学xx届高三数学周末练习二数学附加题(理科)(满分40分,考试时间30分钟)选题人崔志荣杨志青xx.
9.
1821.B(本小题满分10分)已知点P3,1在矩阵A=变换下得到点P′5,-1.试求矩阵A和它的逆矩阵A.
21.C(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为(α为参数,m为常数).以原点O为极点,以x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中,直线l的极坐标方程为ρcosθ-=.若直线l与圆C有两个公共点,求实数m的取值范围.
22.(本小题满分10分)如图,已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,BC=2,CC1=5,E是棱CC1上不同于端点的点,且=λ.
(1)当∠BEA1为钝角时,求实数λ的取值范围;
(2)若λ=,记二面角B1-A1B-E的的大小为θ,求|cosθ|.
23.(本小题满分10分)假定某射手射击一次命中目标的概率为.现有4发子弹,该射手一旦射中目标,就停止射击,否则就一直独立地射击到子弹用完.设耗用子弹数为X,求
(1)X的概率分布;
(2)数学期望EX.东台市安丰中学xx届高三数学周末练习二数学参考答案及评分标准
一、填空题本大题共14小题,每小题5分,共70分.1.2.3.324.5.6.57.28.9.10.必要不充分11.,412.2+313.314.0,1
二、解答题本大题共6小题,共计90分.15.(本小题满分14分)解
(1)由acosB=bcosA,得sinAcosB=sinBcosA,………………………………3分即sinA-B=0.因为A,B∈0,π,所以A-B∈-π,π,所以A-B=0,所以a=b,即=1.………………………………………………………………6分
(2)因为sinA=,且A为锐角,所以cosA=eq\F23.………………………………8分所以sinC=sinπ-2A=sin2A=2sinAcosA=eq\F49,………………………………10分cosC=cosπ-2A=-cos2A=-1+2sin2A=-.…………………………………12分所以sinC-=sinCcos-cosCsin=eq\F8+718.……………………………………14分16.(本小题满分14分)证明
(1)连结AC,交BD于O,连结OE.因为ABCD是平行四边形,所以OA=OC.…………………………………………2分因为E为侧棱PA的中点,所以OE∥PC.…………………………………………4分因为PCeq\o\s\up0/平面BDE,OE平面BDE,所以PC//平面BDE.………………………6分
(2)因为E为PA中点,PD=AD,所以PA⊥DE.…………………………………8分因为PC⊥PA,OE∥PC,所以PA⊥OE.因为OE平面BDE,DE平面BDE,OE∩DE=E,所以PA⊥平面BDE.………………………………12分因为PA平面PAB,所以平面BDE⊥平面PAB.14分17.(本小题满分14分)解
(1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q.由a1=b1=2,得a4=2+3d,b4=2q3,S4=8+6d.………………………………3分由条件a4+b4=21,S4+b4=30,得方程组解得所以an=n+1,bn=2n,n∈N*.………………………………7分
(2)由题意知,cn=n+1×2n.记Tn=c1+c2+c3+…+cn.则Tn=c1+c2+c3+…+cn=2×2+3×22+4×23+…+n×2n-1+n+1×2n,2Tn=2×22+3×23+…+n-1×2n-1+n×2n+n+12n+1,所以-Tn=2×2+22+23+…+2n-n+1×2n+1,……………………………11分即Tn=n·2n+1,n∈N*.………………………………14分18.(本小题满分16分)解
(1)依题意得y=mkn=mkax+5,x∈N*.………………………………………5分
(2)方法一依题意x=
0.2a.…………………………………………6分所以P===EQ\F
0.2ak
0.2a+5=EQ\Faka+25………………………………10分≤EQ\Fa3a+25=EQ\F13a+≤EQ\F13×2EQ\ra×=<.…………………………15分答P不可能大于.…………………………………………16分方法二依题意x=
0.2a.…………………………………………6分所以P===EQ\F
0.2ak
0.2a+5=EQ\Faka+25.………………………………10分假设P>,得ka2-20a+25k<0.…………………………………13分因为k≥3,所以△=1004-k2<0,不等式ka2-20a+25k<0无解.……………15分答P不可能大于.…………………………………………16分19.(本小题满分16分)解⑴因为=eq\f2,=2,所以a=,c=1,所以b==1.故椭圆的方程为+y2=1.……………………………………4分⑵解法一设P点坐标为x1,y1,则Q点坐标为x1,–y1.因为kAP==,所以直线AP的方程为y=x+1.令y=0,解得m=-.……………………………………8分因为kAQ==-,所以直线AQ的方程为y=-x+1.令y=0,解得n=.……………………………………12分所以mn==eq\fx1-y.……………………………………14分又因为x1,y1在椭圆+y2=1上,所以eq\fx2+y=1,即1-y=eq\fx2,所以eq\fx1–y=2,即mn=2.所以mn为常数,且常数为2.……………………………16分解法二设直线AP的斜率为kk≠0,则AP的方程为y=kx+1,令y=0,得m=-.………………………………6分联立方程组eq\b\lc\{\a\aly=kx+1,+y2=1,消去y,得1+2k2x2+4kx=0,解得xA=0,xP=-,…………8分所以yP=k×xP+1=,则Q点的坐标为-,-.…………………………………10分所以kAQ=eq\f--1-=,故直线AQ的方程为y=x+1.令y=0,得n=-2k,………………………………14分所以mn=--2k=2.所以mn为常数,常数为2.………………………………16分20.(本小题满分16分)解
(1)当时,,在处的切线斜率,由,在处的切线斜率,,.……………4分
(2)易知函数的定义域为,又,由题意,得的最小值为负,(注结合函数图象同样可以得到),,,(注结合消元利用基本不等式也可).………………………….….…………….……………………………………………9分
(3)令,其中则,设在单调递减,在区间必存在实根,不妨设即,可得(*)在区间上单调递增,在上单调递减,所以,,代入(*)式得根据题意恒成立.又根据基本不等式当且仅当时等式成立所以.代入(*)式得即.………………16分以下解法供参考,请酌情给分解法2,其中根据条件对任意正数恒成立即对任意正数恒成立且,解得且,即时上述条件成立此时.解法3,其中要使得对任意正数恒成立,等价于对任意正数恒成立,即对任意正数恒成立,设函数,则的函数图像为开口向上,与正半轴至少有一个交点的抛物线,因此,根据题意,抛物线只能与轴有一个交点,即,所以.数学附加题参考答案及评分标准21解依题意得==,……………………………………2分所以解得所以A=.…………………………………………6分因为detA==1×-1-0×2=-1,……………………………………8分所以A=.………………………………………10分
22.解圆C的普通方程为x-m2+y2=4.…………………………………………2分直线l的极坐标方程化为ρcosθ+sinθ=,即x+y=,化简得x+y-2=0.…………………………………………4分因为圆C的圆心为Cm,0,半径为2,圆心C到直线l的距离d=eq\f|m-2|,所以d=eq\f|m-2|<2,…………………………………………8分解得2-2<m<2+2.………………………………………10分23.解
(1)以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.由题设,知B2,3,0,A12,0,5,C0,3,0,C10,3,5.因为=λ,所以E0,3,5λ.从而=2,0,-5λ,=2,-3,5-5λ.……2分当∠BEA1为钝角时,cos∠BEA1<0,所以·<0,即2×2-5λ5-5λ<0,解得<λ<.即实数λ的取值范围是,.……………………………………5分
(2)当λ=时,=2,0,-2,=2,-3,3.设平面BEA1的一个法向量为n1=x,y,z,由得取x=1,得y=,z=1,所以平面BEA1的一个法向量为n1=1,,1.…………………………………7分易知,平面BA1B1的一个法向量为n2=1,0,0.因为cosn1,n2==EQ\F1EQ\r=EQ\F343,从而|cosθ|=EQ\F343.……………………………………10分24.解耗用子弹数X的所有可能取值为1,2,3,4.当X=1时,表示射击一次,命中目标,则PX=1=;当X=2时,表示射击两次,第一次未中,第二次射中目标,则PX=2=1-×=;……2分当X=3时,表示射击三次,第一次、第二次均未击中,第三次击中,则PX=3=1-×1-×=;…………4分当X=4时,表示射击四次,前三次均未击中,第四次击中或四次均未击中,则PX=4=1-×1-×1-×+1-×1-×1-×1-=.X1234PX的概率分布为……………………………………………6分2EX=1×+2×+3×+4×=.……………………………………10分开始k←1S←0S<20k←k+1S←S+2kYN输出k结束(第6题图)PABCDE(第16题图)xyOPQA(第19题图)(第22题图)ABCDEA1B1C1D1PABCDEO(第22题图)xyzABCDEA1B1C1D1。