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2019-2020年九年级数学上册
19.7相似三角形的应用举例教案北京课改版目的利用相似三角形的性质解决实际问题.中考基础知识通过证明三角形相似线段成比例备考例题指导例1.如图,P是△ABC的BC边上的一个动点,且四边形ADPE是平行四边形.
(1)求证△DBP∽△EPC;
(2)当P点在什么位置时,SADPE=S△ABC,说明理由.分析
(1)证明两个三角形相似,常用方法是证明两个角对应相等,题目中有ADPE平行线角相等,命题得证.
(2)设=x,则=1-x,ADPEDP∥AC,EP∥AB,△BDP∽△BAC△CPE∽△CBA∴=()2=(1-x)2,=()2=x2∴=x2+(1-x)2.∵SADPE=S△ABC,即=.∴x2+(1-x)2=(转化为含x的方程)x=,∴=.即P应为BC之中点.例2.已知△ABC中,∠ACB=90°,过点C作CD⊥AB于D,且AD=m,BD=n,AC2BC2=21,又关于x的方程x2-2(n-1)x+m2-12=0的两个实数根的差的平方小于192,求m,n为整数时,一次函数y=mx+n的解析式.分析这是一个几何、代数综合题,由条件发现,建立关于m,n的方程或不等式,求出m,n再写出一次函数.抓条件AC2BC2=21做文章(转化到m,n上).双直角图形有相似形比例式(方程)∠ACB=90°,CD⊥ABRt△BCD∽Rt△BACBC2=BD·BA,同理有AC2=AD·AB,∴==m=2n
①抓条件x1+x2=8(n-1),x1x2=4(m2-12).由(x1-x2)2192配方(x1+x2)2-4x1x2192.64(n-1)2-16(m2-12)192,4n2-m2-8n+40.
②①代入
②n.又由△≥0得4(n-1)2-4×(m2-12)≥0,
①代入上式得n≤2.
③由n,n≤2得n≤2.∵n为整数,∴n=1,2.∴m=2,4∴y=2x+1,或y=4x+2.遇根与系数关系题目则用韦达定理,但必须考虑△≥0.备考巩固练习1.如图,在△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c.关于x的一元二次方程x2-2b(a+)x+(a+b)2=0的两根之和与两根之积相等,D为AB上一点,DE∥AC交BC于E,EF⊥AB,垂足是F.
(1)求证△ABC是直角三角形;
(2)若BF=6,FD=4,CE=CD,求CE的长.2.某生活小区的居民筹集资金1600元,计划在一块上、下底分别为10m,20m的梯形空地上种植花木如图1
(1)他们在△AMD和△BMC地带上种植太阳花,单价为8元/m2,当△AMD地带种满花后,共花了160元,请计算种满△BMC地带所需的费用.
(2)若其余地带要种的有玫瑰和茉莉花两种花木可供选择,单价分别为12元/m2和10元/m2,应选择种哪种花木,刚好用完后筹集的资金?
(3)若梯形ABCD为等腰梯形,面积不变(如图2),请你设计一个花坛图案,即在梯形内找到一点P,使得△APD≌△BPC且S△APD=S△BPC,并说出你的理由.3.
(1)如图1,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=b,CD=a,E为AD边上的任意一点,EF∥AB,且EF交于点F,某学生在研究这一问题时,发现如下事实
①当=1时,有EF=;
②当=2时,有EF=;
③当=3时,有EF=.当=k时,参照上述研究结论,请你猜想用k表示DE的一般结论,并给出证明;
(2)现有一块直角梯形田地ABCD(如图2所示),其中AB∥CD,AD⊥AB,AB=310m,DC=120cm,AD=70m,若要将这块分割成两块,由两位农户来承包,要求这两块地均为直角梯形,且它们的面积相等,请你给出具体分割方案.12答案:1.
(1)由x1+x2=x1x2得2b(a+)=(a+b)22ab+c2=a2+b2+2ab∴△ABC是直角三角形.∴c2=a2+b2
(2)易证△EFD∽△EDB,∴EF2=DF·DB=40.设CE=x,则CD=x,∴DE=(x)2-x2=40x=4.2.
(1)∵四边形ABCD是梯形(见图).∴AD∥BC,∴∠MAD=∠MCB,∠MDA=∠MBC,∴△AMD∽△CMB,∴=()2=.∵种植△AMD地带花带160元.∴=2(m2)∴S△OMB=80(m2)∴△BMC地带的花费为80×8=640(元)
(2)设△AMD的高为h1,△BMC的高为h2,梯形ABCD的高为h∵S△AMD=×10h2=20∴h1=4∵=∴h2=8∴S梯形ABCD=(AD+BC)·h=×30×12=180∴S△AMB+S△DMC=180-20-80=80(m2)∴160+160+80×12=1760(元)又160+640+80×10=1600(元)∴应种值茉莉花刚好用完所筹集的资金.
(3)点P在AD、BC的中垂线上(如图),此时,PA=PD,PB=PC.∵AB=DC∴△APB≌△DPC.设△APD的高为x,则△BPC高为(12-x),∴S△APD=×10x=5x,S△BPC=×20(12-x)=10(12-x).当S△APD=S△BPC即5x=10(12-x)=8.∴当点P在AD、BC的中垂线上且与AD的距离为8cm时,S△APD=S△BPC.3.解
(1)猜想得EF=证明过点E作BC的平行线交AB于G,交CD的延长线于H.∵AB∥CD,∴△AGE∽△DHE,∴.又EF∥AB∥CD,∴CH=EF=GB,∴DH=EF-a,AG=b-EF,∴=k,可得EF=.
(2)在AD上取一点EF∥AB交BC于点F,设=k,则EF=,DE=,若S梯形DCFE=S梯形ABFE,则S梯形ABCD=2S梯形DCFE∵梯形ABCD、DCEF为直角梯形∴×70=2×(170+)×,化简得12k2-7k-12=0,解得k1=,k2=-(舍去)∴DP==40,所以只需在AD上取点E,使DE=40m,作EF∥AB(或EF⊥DA),即可将梯形分成两个直角梯形,且它们的面积相等.。