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2019-2020年高三数学第一次月考试题文(含解析)【试卷分析】试题中有相当一部分试题是对基本知识、基本技能、基本方法的考查应更多地在知识网络的交汇点上设计试题,在综合中考查能力.高中数学的主干知识在高考命题中的主要综合有“函数、方程、导数与不等式的综合”、“函数与数列的综合”、“三角、向量的综合”等数学思想方法是知识综合的统帅和纽带,是综合能力的中心.数学思想总结提炼为函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、化归思想、猜证结合思想因此,自觉地、尽早地领悟数学思想方法,以综合能力为重点和难点,强化训练,使解题策略与方法明确化和系统化.
一、选择题(共12个小题,每小题5分,共60分)【题文】1.已知集合A={x∈R|3x+2>0}B={x∈R|(x+1)x-3>0}则A∩B=A(-,-1)B(-1,-)C(-3)D3+【知识点】一元二次不等式的解法;交集及其运算.E3A1【答案解析】D解析因为B={x∈R|(x+1)(x﹣3)>0﹜={x|x<﹣1或x>3},又集合A={x∈R|3x+2>0﹜={x|x},所以A∩B={x|x}∩{x|x<﹣1或x>3}={x|x>3},故选D.【思路点拨】求出集合B,然后直接求解A∩B.【题文】
2.已知命题,则是A.B.C.D.【知识点】命题的否定.A3【答案解析】C解析命题p∀x1,x2∈R,(f(x2)﹣f(x1))(x2﹣x1)≥0是一个全称命题,其否定是一个特称命题,故¬p∃x1,x2∈R,(f(x2)﹣f(x1))(x2﹣x1)<0故选C【思路点拨】由题意,命题p是一个全称命题,把条件中的全称量词改为存在量词,结论的否定作结论即可得到它的否定,由此规则写出其否定,对照选项即可得出正确选项.【题文】
3.下列函数中,与函数y=定义域相同的函数为()A.y=B.y=C.y=xexD.【知识点】正弦函数的定义域和值域;函数的定义域及其求法.B1【答案解析】D解析∵函数y=的定义域为{x∈R|x≠0},∴对于A,其定义域为{x|x≠kπ}(k∈Z),故A不满足;对于B,其定义域为{x|x>0},故B不满足;对于C,其定义域为{x|x∈R},故C不满足;对于D,其定义域为{x|x≠0},故D满足;综上所述,与函数y=定义域相同的函数为y=.故选D.【思路点拨】由函数y=的意义可求得其定义域为{x∈R|x≠0},于是对A,B,C,D逐一判断即可得答案.【题文】
4.下列命题中,真命题是()A.B.C.的充要条件是D.是的充分条件【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断;全称命题;特称命题;命题的真假判断与应用.A2A3【答案解析】D解析因为y=ex>0,x∈R恒成立,所以A不正确;因为x=﹣5时2﹣5<(﹣5)2,所以∀x∈R,2x>x2不成立.a=b=0时a+b=0,但是没有意义,所以C不正确;a>1,b>1是ab>1的充分条件,显然正确.故选D.【思路点拨】利用指数函数的单调性判断A的正误;通过特例判断,全称命题判断B的正误;通过充要条件判断C、D的正误;【题文】
5.若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是 A.60B.54C.48D.24【知识点】由三视图求面积、体积.G2【答案解析】A解析由三视图知几何体是一个侧面向下放置的直三棱柱,侧棱长为4,底面三角形为直角三角形,直角边长分别为3,4,斜边长为5.∴几何体的表面积S=S棱柱侧+S底面=(3+4+5)×4+2××3×4=48+12=60.故选A.【思路点拨】几何体是一个侧面向下放置的直三棱柱,根据三视图判断底面三角形相关几何量的数据及棱柱的高的数据,把数据代入棱柱的表面积公式计算.【题文】
6.如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是()A.3B.4C.5D.8【知识点】循环结构.L1【答案解析】B解析由题意循环中x,y的对应关系如图当x=8时不满足循环条件,退出循环,输出y=4.故选B.【思路点拨】列出循环中x,y的对应关系,不满足判断框结束循环,推出结果.【题文】
7.设α,β是两个不同的平面,l是一条直线,给出下列说法
①若l⊥α,α⊥β,则l⊂β;
②若l∥α,α∥β,则l⊂β;
③若l⊥α,α∥β,则l⊥β;
④若l∥α,α⊥β,则l⊥β.其中说法正确的个数为 A.1B.2C.3D.0【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系.G4G5【答案解析】A解析
①若l⊥α,α⊥β,则l⊂β,或l∥β,故
①错;
②若l∥α,α∥β,则l⊂β或l∥β,故
②错;
③若l⊥α,α∥β,则过l作两个平面M,N,使平面M与α,β分别交于m1,m2,平面N与平面α,β交于n1,n2,则由α∥β得到m1∥m2,n1∥n2,由l⊥α,得l⊥m1,l⊥n1,故l⊥m2,l⊥n2,故l⊥β,故
③正确;
④若l∥α,α⊥β,则l⊥β或l∥β,故
④错.故选A.【思路点拨】
①可举反例,l∥β,即可判断;
②由线面平行的性质和面面平行的性质,即可判断;
③运用线面垂直的判定,和面面平行的性质,即可判断;
④由线面平行的性质和面面垂直的性质,即可判断.【题文】
8.下列不等式一定成立的是()A.B.C.D.【知识点】不等式比较大小.E1【答案解析】C解析A选项不成立,当x=时,不等式两边相等;B选项不成立,这是因为正弦值可以是负的,故不一定能得出sinx+≥2;C选项是正确的,这是因为x2+1≥2|x|(x∈R)⇔(|x|﹣1)2≥0,D选项不正确,令x=0,则不等式左右两边都为1,不等式不成立综上,C选项是正确的.故选C【思路点拨】由题意,可对四个选项逐一验证,其中C选项用配方法验证,A,B,D三个选项代入特殊值排除即可.【题文】
9.定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x),当-3≤x<-1时,f(x)=-(x+2)2,当-1≤x<3时,f(x)=x..则f
(1)+f
(2)+f
(3)+…+f(xx)=()A.335B.338C.1678D.xx【知识点】函数的周期性;函数的值.B1B4菁【答案解析】B解析∵f(x+6)=f(x),∴f(x)是以6为周期的函数,又当﹣1≤x<3时,f(x)=x,∴f
(1)+f
(2)=1+2=3,f(﹣1)=﹣1=f
(5),f
(0)=0=f
(6);当﹣3≤x<﹣1时,f(x)=﹣(x+2)2,∴f
(3)=f(﹣3)=﹣(﹣3+2)2=﹣1,f
(4)=f(﹣2)=﹣(﹣2+2)2=0,∴f
(1)+f
(2)+f
(3)+f
(4)+f
(5)+f
(6)=1+2﹣1+0+(﹣1)+0=1,∴f
(1)+f
(2)+f
(3)+…+f(xx)=[f
(1)+f
(2)+f
(3)+…+f(xx)]+f
(2011)+f(xx)=335×1+f
(1)+f
(2)=338.故选B.【思路点拨】由f(x+6)=f(x)可知,f(x)是以6为周期的函数,可根据题目信息分别求得f
(1),f
(2),f
(3),f
(4),f
(5),f
(6)的值,再利用周期性即可得答案.【题文】10.正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为 A.B.16πC.9πD.【知识点】球内接多面体;球的体积和表面积.G8【答案解析】A解析设球的半径为R,则∵棱锥的高为4,底面边长为2,∴R2=(4﹣R)2+()2,∴R=,∴球的表面积为4π•()2=.故选A.【思路点拨】正四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PO1上,记为O,求出PO1,OO1,解出球的半径,求出球的表面积.【题文】
11.函数的图象大致为【知识点】余弦函数的图象;奇偶函数图象的对称性.C3B4【答案解析】D解析令y=f(x)=,∵f(﹣x)==﹣=﹣f(x),∴函数y=为奇函数,∴其图象关于原点对称,可排除A;又当x→0+,y→+∞,故可排除B;当x→+∞,y→0,故可排除C;而D均满足以上分析.故选D.【思路点拨】由于函数y=为奇函数,其图象关于原点对称,可排除A,利用极限思想(如x→0+,y→+∞)可排除B,C,从而得到答案D.【题文】12.已知函数fx=x3+ax2+bx+c,且0<f-1=f-2=f-3≤3,则 A.c≤3B.3<c≤6C.6<c≤9D.c>9【知识点】函数值的意义;解不等式.B1E1【答案解析】C解析由f(﹣1)=f(﹣2)=f(﹣3)得,解得,f(x)=x3+6x2+11x+c,由0<f(﹣1)≤3,得0<﹣1+6﹣11+c≤3,即6<c≤9,故选C.【思路点拨】由f(﹣1)=f(﹣2)=f(﹣3)列出方程组求出a,b代入0<f(﹣1)≤3求出c的范围.
二、填空题共4个小题,每小题5分,共20分【题文】
13.某学校高
一、高
二、高三年级的学生人数之比为,现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本,则应从高二年级抽取名学生.【知识点】分层抽样方法.I1【答案解析】15解析∵高
一、高
二、高三年级的学生人数之比为334,∴高二在总体中所占的比例是=,∵用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本,∴要从高二抽取,故答案为15【思路点拨】根据三个年级的人数比,做出高二所占的比例,用要抽取得样本容量乘以高二所占的比例,得到要抽取的高二的人数.【题文】14.函数fx=lgx2的单调递减区间是________.【知识点】复合函数的单调性.B3【答案解析】(﹣∞,0)解析方法一y=lgx2=2lg|x|,∴当x>0时,f(x)=2lgx在(0,+∞)上是增函数;当x<0时,f(x)=2lg(﹣x)在(﹣∞,0)上是减函数.∴函数f(x)=lgx2的单调递减区间是(﹣∞,0).故填(﹣∞,0).方法二原函数是由复合而成,∵t=x2在(﹣∞,0)上是减函数,在(0,+∞)为增函数;又y=lgt在其定义域上为增函数,∴f(x)=lgx2在(﹣∞,0)上是减函数,在(0,+∞)为增函数,∴函数f(x)=lgx2的单调递减区间是(﹣∞,0).故填(﹣∞,0).【思路点拨】先将f(x)化简,注意到x≠0,即f(x)=2lg|x|,再讨论其单调性,从而确定其减区间;也可以函数看成由复合而成,再分别讨论内层函数和外层函数的单调性,根据“同増异减”再来判断.【题文】15.已知是奇函数,且,若,则.【知识点】函数奇偶性的性质;函数的值.B4B1【答案解析】-1解析由题意,y=f(x)+x2是奇函数,且f
(1)=1,所以f
(1)+1+f(﹣1)+(﹣1)2=0解得f(﹣1)=﹣3所以g(﹣1)=f(﹣1)+2=﹣3+2=﹣1故答案为﹣1【思路点拨】由题意,可先由函数是奇函数求出f(﹣1)=﹣3,再将其代入g(﹣1)求值即可得到答案【题文】16.设是定义在上且周期为2的函数,在区间上,其中.若,则的值为.【知识点】函数的周期性;分段函数的解析式求法及其图象的作法.B4B1【答案解析】-10解析∵f(x)是定义在R上且周期为2的函数,f(x)=,∴f()=f(﹣)=1﹣a,f()=;又=,∴1﹣a=
①,又f(﹣1)=f
(1),∴2a+b=0,
②,由
①②解得a=2,b=﹣4;∴a+3b=﹣10.故答案为﹣10.【思路点拨】由于f(x)是定义在R上且周期为2的函数,由f(x)的表达式可得f()=f(﹣)=1﹣a=f()=;再由f(﹣1)=f
(1)得2a+b=0,解关于a,b的方程组可得到a,b的值,从而得到答案.
三、解答题(共6道大题,共70分)【题文】17.设函数fx=2|x-1|+x-1,gx=16x2-8x+
1.记fx≤1的解集为M,gx≤4的解集为N.1求M;2当x∈M∩N时,证明x2fx+x[fx]2≤.【知识点】不等式的解法;交集及其运算.E1A1【答案解析】
(1){x|0≤x≤};
(2)证明略.解析1fx=当x≥1时,由fx=3x-3≤1得x≤,故1≤x≤;当x<1时,由fx=1-x≤1得x≥0,故0≤x<
1.所以fx≤1的解集M={x|0≤x≤}2由gx=16x2-8x+1≤4得-≤x≤,因此N={x|-≤x≤},故M∩N={x|0≤x≤}当x∈M∩N时,fx=1-x,于是x2fx+x·[fx]2=xfx[x+fx]=xfx=x1-x=-≤.【思路点拨】(Ⅰ)由所给的不等式可得
①,或
②,分别求得
①、
②的解集,再取并集,即得所求.(Ⅱ)由g(x)≤4,求得N,可得M∩N=[0,].当x∈M∩N时,f(x)=1﹣x,不等式的左边化为﹣,显然它小于或等于,要证的不等式得证.【题文】18.某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯,在全校一年级学生中进行了抽样调查,调查结果如下表所示喜欢甜品不喜欢甜品合计南方学生602080北方学生101020合计70301001根据表中数据,问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”;2已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生,其中2名喜欢甜品,现在从这5名学生中随机抽取3人,求至多有1人喜欢甜品的概率.附 K2=Pχ2≥k
0.
1000.
0500.010k
2.
7063.
8416.635【知识点】独立性检验的应用;古典概型及其概率计算公式.I4K2【答案解析】1有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”.
2.解析1将2×2列联表中的数据代入公式计算,得χ2==≈
4.
762.由于
4.762>
3.841,所以有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”.2从5名数学系学生中任取3人的一切可能结果所组成的基本事件空间Ω={a1,a2,b1,a1,a2,b2,a1,a2,b3,a1,b1,b2,a1,b1,b3,a1,b2,b3,a2,b1,b2,a2,b1,b3,a2,b2,b3,b1,b2,b3},其中ai表示喜欢甜品的学生,i=1,2,bj表示不喜欢甜品的学生,j=1,2,
3.Ω由10个基本事件组成,且这些基本事件的出现是等可能的.用A表示“3人中至多有1人喜欢甜品”这一事件,则A={a1,b1,b2,a1,b1,b3,a1,b2,b3,a2,b1,b2,a2,b1,b3,a2,b2,b3,b1,b2,b3}.事件A由7个基本事件组成,因而PA=.【思路点拨】(Ⅰ)根据表中数据,利用公式,即可得出结论;(Ⅱ)利用古典概型概率公式,即可求解.【题文】19.如图15,在三棱柱ABCA1B1C1中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC,AA1=AC=2,BC=1,E,F分别是A1C1,BC的中点.1求证平面ABE⊥平面B1BCC1;2求证C1F∥平面ABE;3求三棱锥EABC的体积.【知识点】平面与平面垂直的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定.G4G5G1【答案解析】1证明略;
(2)证明略;
(3).解析1证明在三棱柱ABCA1B1C1中,BB1⊥底面ABC,所以BB1⊥AB.又因为AB⊥BC,所以AB⊥平面B1BCC
1.所以平面ABE⊥平面B1BCC
1.2证明取AB的中点G,连接EG,FG.因为E,F,G分别是A1C1,BC,AB的中点,所以FG∥AC,且FG=AC,EC1=A1C
1.因为AC∥A1C1,且AC=A1C1,所以FG∥EC1,且FG=EC1,所以四边形FGEC1为平行四边形,所以C1F∥EG.又因为EG⊂平面ABE,C1F⊄平面ABE,所以C1F∥平面ABE.3因为AA1=AC=2,BC=1,AB⊥BC,所以AB==.所以三棱锥EABC的体积V=S△ABC·AA1=×××1×2=.【思路点拨】(Ⅰ)证明AB⊥B1BCC1,可得平面ABE⊥B1BCC1;(Ⅱ)证明C1F∥平面ABE,只需证明四边形FGEC1为平行四边形,可得C1F∥EG;(Ⅲ)利用VE﹣ABC=,可求三棱锥E﹣ABC的体积.【题文】20.已知函数fx=ex+e-x,其中e是自然对数的底数.1证明fx是R上的偶函数.2若关于x的不等式mfx≤e-x+m-1在0,+∞上恒成立,求实数m的取值范围.【知识点】函数的奇偶性;不等式恒成立问题.B4E8【答案解析】1证明略;
(2)m≤-.解析1证明因为对任意x∈R,都有f-x=e-x+e--x=e-x+ex=fx,所以fx是R上的偶函数.2由条件知mex+e-x-1≤e-x-1在0,+∞上恒成立.令t=exx0,则t1,所以m≤-=-对任意t1成立.因为t-1++1≥2+1=3所以-≥-,当且仅当t=2即x=ln2时等号成立.因此m≤-【思路点拨】
(1)根据函数奇偶性的定义即可证明f(x)是R上的偶函数;
(2)利用参数分离法,将不等式mf(x)≤e﹣x+m﹣1在(0,+∞)上恒成立,进行转化求最值问题即可求实数m的取值范围.【题文】21.如图在四棱锥ABCDE中,平面ABC⊥平面BCDE,∠CDE=∠BED=90°,AB=CD=2,DE=BE=1,AC=.1证明AC⊥平面BCDE;2求直线AE与平面ABC所成的角的正切值.【知识点】直线与平面所成的角;直线与平面垂直的判定.G12【答案解析】
(1)证明略;
(2).解析1证明连接BD,在直角梯形BCDE中,由DE=BE=1,CD=2,得BD=BC=,由AC=,AB=2,得AB2=AC2+BC2,即AC⊥BC.又平面ABC⊥平面BCDE,从而AC⊥平面BCDE.2在直角梯形BCDE中,由BD=BC=,DC=2,得BD⊥BC.又平面ABC⊥平面BCDE,所以BD⊥平面ABC.作EF∥BD,与CB的延长线交于点F,连接AF,则EF⊥平面ABC.所以∠EAF是直线AE与平面ABC所成的角.在Rt△BEF中,由EB=1,∠EBF=,得EF=,BF=;在Rt△ACF中,由AC=,CF=,得AF=.在Rt△AEF中,由EF=,AF=,得tan∠EAF=.所以,直线AE与平面ABC所成的角的正切值是.【思路点拨】(Ⅰ)如图所示,取DC的中点F,连接BF,可得DF=DC=1=BE,于是四边形BEDF是矩形,在Rt△BCF中,利用勾股定理可得BC==.在△ACB中,再利用勾股定理的逆定理可得AC⊥BC,再利用面面垂直的性质定理即可得出结论.(Ⅱ)过点E作EM⊥CB交CB的延长线于点M,连接AM.由平面ABC⊥平面BCDE,利用面面垂直的性质定理可得EM⊥平面ACB.因此∠EAM是直线AE与平面ABC所成的角.再利用勾股定理和直角三角形的边角关系即可得出.【题文】22.函数fx=ax3+3x2+3xa≠0.1讨论fx的单调性;2若fx在区间1,2是增函数,求a的取值范围.【知识点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值.B12【答案解析】1a≥1时,是R上的增函数;0<a<1时,fx分别在-∞,,,+∞是增函数;fx在,是减函数;a<0时,fx分别在-∞,,,+∞是增函数;fx在,是减函数.
(2)a的取值范围[)∪(0,+∞).解析1f′x=3ax2+6x+3,f′x=0的判别式Δ=361-a.i若a≥1,则f′x≥0,且f′x=0当且仅当a=1,x=-1时成立.故此时fx在R上是增函数.ii由于a≠0,故当a<1时,f′x=0有两个根;x1=,x2=.若0<a<1,则当x∈-∞,x2或x∈x1,+∞时,f′x>0,故fx分别在-∞,x2,x1,+∞是增函数;当x∈x2,x1时,f′x0,故fx在x2,x1是减函数.若a<0,则当x∈-∞,x1或x2,+∞时,f′x<0,故fx分别在-∞,x1,x2,+∞是减函数;当x∈x1,x2时f′x>0,故fx在x1,x2是增函数.2当a>0,x>0时,f′x=3ax2+6x+3>0,故当a>0时,fx在区间1,2是增函数.当a<0时,fx在区间1,2是增函数当且仅当f′1≥0且f′2≥0,解得-≤a<
0.综上,a的取值范围[)∪(0,+∞).【思路点拨】(Ⅰ)求出函数的导数,通过导数为0,利用二次函数的根,通过a的范围讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)当a>0,x>0时,f(x)在区间(1,2)是增函数,当a<0时,f(x)在区间(1,2)是增函数,推出f′
(1)≥0且f′
(2)≥0,即可求a的取值范围.。