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文本内容:
2019-2020年九年级数学上册27反比例函数教学案(新版)冀教版
1.结合具体情境体会反比例函数的意义能根据已知条件确定反比例函数的表达式理解并掌握反比例函数的概念.
2.能用待定系数法求反比例函数的解析式.
3.会用描点法画反比例函数的图像根据图像和表达式探索并理解其性质.
4.掌握反比例函数的图像和性质能运用相关性质解决有关问题.
5.理解反比例函数中比例系数k的几何意义.
6.能根据实际问题确定变量之间的反比例关系并确定反比例函数解析式能灵活运用反比例函数的意义和性质解决相关的实际问题.
1.经历从实际问题情境中探索两个变量之间关系的过程使学生体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系发展学生的观察能力、探究能力及归纳总结能力.
2.通过函数图像探究函数性质进一步体会数形结合思想在数学中的应用经历知识的形成过程体会由特殊到一般的数学方法.
3.通过探究反比例函数解决实际问题体会数学知识的现实意义提高分析问题、解决问题的能力培养数学应用意识.
4.经历探索具体问题中数量关系和变化规律的过程体会建立函数模型的思想.
1.通过探索实际问题中两个变量之间的反比例关系体验数学来源于生活又应用于生活提高学生运用数学的意识体验数学活动中的探索性和创造性.
2.让学生经历观察、比较、归纳、应用以及猜想、验证的学习过程使学生掌握类比、转化等学习数学的方法养成既能自主探索又能合作探究的良好学习习惯.
3.通过用反比例函数表示两个变量间的关系并解决某些实际问题体会数学模型思想、数形结合思想在实际问题中的应用感受数学的价值增强学好数学的信心.函数知识是初中代数的核心内容反比例函数也是新课标明确要求的初中学生必需体会和掌握的三种函数基本形式之一.对函数的认识需要经历由浅入深、螺旋上升的过程本章内容是在学生已经学习了函数及其图像的初步知识以及系统地研究了一次函数的概念、图像、性质、简单应用等基础上类比研究一次函数的方法较系统地研究反比例函数的模型、图像、性质及应用.通过本章的学习丰富函数模型的认识进一步体会数形结合思想提高用函数的观点解决实际问题的能力为研究二次函数积累更多的经验.本章内容从实际问题情境入手引出基本概念引导学生进一步体会函数的模型思想重点内容是反比例函数的图像和性质的理解和掌握通过画特殊的反比例函数的图像归纳出一般反比例函数的图像特征和性质体会由特殊到一般的数学学习方法提高学生观察、分析、归纳总结的能力.加强反比例函数与实际问题的联系让学生体会数学与生活息息相关提高学生的数学应用意识.数形结合思想贯穿本章内容从图像上直观观察函数的变化规律整体把握函数的性质而解析式是对函数性质的无限“解读”但抽象不直观所以将两者结合起来共同研究函数的性质.本章重点是反比例函数的概念、图像、性质及应用难点是反比例函数图像的生成过程.根据学生的特点依照前边学过的函数为基础用类比的方法探究本章内容重视反比例函数与一次函数的联系、差异和综合运用.反比例函数作为重要的数学模型在解决日常生活实际问题中发挥了重要作用通过学习可以培养和提高学生用函数模型解决实际问题逐步提高分析问题、解决问题及应用数学的能力.【重点】
1.通过对实际问题情境的分析确定反比例函数的解析式.
2.会用描点法画反比例函数的图像并能从图像中认识反比例函数的性质.
3.能用反比例函数的性质解决简单的实际问题.【难点】
1.能根据反比例函数图像特征及其性质解决有关问题.
2.应用反比例函数解决实际问题能解决与其他函数结合的问题.
1.数学教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程所以根据本章内容和呈现的特点设计恰当的数学活动进行教学给学生提供不同的实际背景在理解情境的基础上分析其中的数量关系通过分析、归纳抽象出数学关系建立反比例函数模型让学生充分经历建立反比例函数模型的过程提高学生分析问题、解决问题及抽象概括的能力.
2.反比例函数是初中阶段学习的一类重要函数在初中教材中起着承上启下的作用所以在教学中要处理好新旧知识之间的联系通过复习函数及一次函数的有关内容为本章的学习做好铺垫类比一次函数的探究思路通过表格中函数的变化规律画出反比例函数图像再通过观察图像归纳和概括反比例函数的性质让学生体会数形结合思想在数学中的应用既加深学生对反比例函数的理解又克服集中探索的困难.
3.注重反比例函数的应用增强学生的应用意识对教材中涉及的一些实际问题和跨学科问题利用问题中量与量之间的等量关系来解决不应看做是单纯的公式变形应将实际问题中的两个量视为变量建立反比例函数模型借助反比例函数的性质来解决问题增强数学的应用意识.
4.渗透数学重要思想与方法成为本章的主要线索类比思想、从特殊到一般、数形结合思想、方程思想及待定系数法等数学思想和方法贯穿整章的教学教学过程中每课时都要注重数学思想的培养.
27.1反比例函数1课时
27.2反比例函数的图像和性质2课时
27.3反比例函数的应用1课时回顾与反思1课时
27.1 反比例函数
1.结合具体问题情境体会反比例函数的意义.
2.能判断一个给定的函数是否为反比例函数.
3.能根据已知条件或实际问题中的条件确定反比例函数的解析式.
1.让学生从实际问题情境中经历探索、分析和建立两个变量之间的反比例函数关系的过程.
2.用类比的思想方法从实际问题中抽象出反比例函数的模型发展学生的观察能力、探究能力及交流总结能力.
3.经历探索具体问题中数量关系和变化规律的过程体会建立函数模型的思想.
1.通过对一些实际问题的探究发展学生合理的猜想、推理能力增强他们学习数学的兴趣.
2.通过探索具体问题中数量关系和变化规律的过程体验数学来源于生活又应用于生活提高学生应用数学的意识.【重点】
1.理解并掌握反比例函数的定义掌握反比例函数的一般形式.
2.能根据已知条件确定反比例函数的解析式.【难点】 经历探索和表示反比例函数关系的过程体验用反比例函数表示变量之间的关系.【教师准备】 多媒体课件.【学生准备】 预习教材P128~
129.导入一:【课件展示】 如图所示当电路中的电压一定时.1怎样用电阻R表示电流I2电流I是怎样随电阻R的变化而变化的电流I随着R的增大而减小3变量I是R的函数吗为什么是电流I随着R的变化而变化给一个R的值都有一个I和它对应[设计意图] 由与生活息息相关的跨学科知识和已有的知识出发将学生引导到一个新的函数模型的研究中让学生感受到生活中处处有数学激发学生对学习数学的兴趣和愿望同时也为抽象出反比例函数的概念做铺垫.导入二:【课件展示】 同一条铁路线上由于不同车次列车运行时间有长有短所以他们的平均速度有快有慢.在速度v时间t与路程s之间满足:1如果速度v一定时那么路程s与时间t之间是什么函数关系s=vt是正比例函数关系2如果时间t一定时那么路程s与速度v之间又是什么函数关系s=vt是正比例函数关系3如果路程s一定时那么速度v和时间t之间的等量关系是什么是函数关系吗【思考】 这个函数是不是我们前边学过的函数[导入语] 问题12中的函数是我们学过的一次函数3中的函数不是前边学过的函数这类函数就是本章要研究的反比例函数.[设计意图] 通过生活中的问题情景引导学生发现不同于以往学过的新的函数关系唤起学生对本课时的学习欲望使学生带着问题进入本节课的学习.导入三:复习提问:1什么是函数什么是一次函数2学习一次函数的基本思路是什么【课件展示】 以往研究函数的基本思路:[导入语] 函数是初中数学中重要的数学模型我们学习一次函数时在理解定义的基础上研究它的图像和性质并用之解决实际问题本章将用类似的方法研究一种新的函数——反比例函数.[设计意图] 通过回忆一次函数的概念及研究思路引导学生用类比的方法学习本章的反比例函数在学习中学生易从已有的知识体系中自然地构建出新知识为学习本章内容做好铺垫. [过渡语] 若将成正比例的两个量视为变量则这两个量之间具有正比例函数关系.那么当将两个成反比例的量视为变量时它们之间又具有怎样的函数关系呢这就是本节课要学习的内容.
一、反比例函数的概念思路一【课件展示】
1.要制作容积为15700cm3的圆柱形水桶水桶的底面积为Scm2高为hcm则Sh= 用h表示S的函数表达式为 .
2.自行车运动员在长为10000m的路段上进行骑车训练行驶全程所用时间为ts行驶的平均速度为vm/s则vt= 用t表示v的函数表达式为 .
3.y与x的乘积为-2用x表示y的函数表达式为 . 【学生活动】 独立完成填空小组内交流答案.
1.15700 S=
2.10000 v=
3.y=教师引导学生思考:1每个事例中的两个变量是什么2当一个量变化时另一个量随着怎样变化3上述三对量之间每对量都成反比例吗4请再举出几个具有这种特征的例子.【师生活动】 学生独立思考后小组合作交流确定三个问题中的每对量都成反比例并归纳函数表达式的共同特征教师对学生的回答进行点评归纳.[设计意图] 通过问题的形式引导学生发现这些变量之间的关系都成反比例并且这种函数的解析式不同于以往的一次函数为进一步研究反比例函数做知识准备同时调动学生学习的欲望实现了让学生感知反比例函数的目的. [过渡语] 刚才同学们总结的函数关系式不是我们学过的函数类型接下来让我们一起研究这类函数的特征吧!观察前面的三个函数关系式思考:1这三个函数是一次函数吗2这些函数表达式具有怎样的共同特征3通过观察你能归纳出这种函数的一般形式吗4你能给这类函数下一个定义吗【师生活动】 学生思考后逐一回答所提问题教师适时启发共同归纳结论.教师引导学生从两个方面思考:一是与一次函数的解析式对比;二是看给出的三个函数关系式是整式还是分式.总结:【课件展示】 一般地如果变量y和变量x之间的函数关系可以表示成y=k为常数且k≠0的形式那么称y为x的反比例函数k称为比例系数.在反比例函数y=中自变量x的取值范围是不等于0的实数.【思考】1在反比例函数y=中kxy可以取任意实数吗2反比例函数y=中自变量x的指数是1吗为什么3反比例函数除了这种分式的形式外还有其他表示方法吗【师生活动】 学生独立思考后小组交流学生回答时教师及时点评和引导师生共同归纳反比例函数概念的有关特点:1反比例函数中比例系数k≠0自变量x≠0函数值y≠
0.2反比例函数y=右边是分式形式x的指数是-
1.3反比例函数的三种表示形式:y=xy=ky=kx-
1.[设计意图] 通过学生观察思考、小组交流讨论依据老师设计的问题类比已学的一次函数归纳出反比例函数的特征让学生经历概念的形成过程达到真正理解反比例函数定义的目的同时培养学生归纳总结的能力.思路二【课件展示】出示下列几个问题:
1.要制作容积为15700cm3的圆柱形水桶水桶的底面积为Scm2高为hcm则Sh= 用h表示S的函数表达式为 .
2.自行车运动员在长为10000m的路段上进行骑车训练行驶全程所用时间为ts行驶的平均速度为vm/s则vt= 用t表示v的函数表达式为 .
3.y与x的乘积为-2用x表示y的函数表达式为 .
4.已知北京市的总面积为
1.68×104km2人均占有面积S单位:km2/人与全市总人口n单位:人的函数表达式为 . 【学生活动】 独立完成后小组内交流答案教师对学生答案进行点评.
1.15700 S=
2.10000 v=
3.y=
4.S=教师引导学生思考:1每个事例中的中两个变量是什么2当一个量变化时另一个量随着怎样变化3上述几对量之间每对量都成反比例吗4你能不能再举出几个具有这种特征的例子【师生活动】 学生独立思考后小组合作交流确定几个问题中的每对量都成反比例并归纳函数表达式的共同特征教师对学生的回答进行点评归纳.[设计意图] 问题情境既有教材“做一做”栏目的问题又有新增设的问题这些事例要求学生从实际问题中找到两个变量之间的函数表达式为形成反比例函数的概念、辨析反比例函数做好准备. [过渡语] 刚才同学们列出了相关的4个函数表达式接下来我们开始研究这些函数表达式的特征吧!
1.反比例函数的一般形式.【课件展示】思考下列问题:1这四个函数都是一次函数吗2这些函数表达式具有怎样的共同特征3通过观察你能归纳出这种函数的一般形式吗4你能给这类函数下一个定义吗问题提示:通常情况下我们用y表示函数用k表示常量用x表示自变量.对于这四个特殊的函数学生可以初步总结为y=.总结:【课件展示】 一般地如果变量y和变量x之间的函数关系可以表示成y=k为常数且k≠0的形式那么称y为x的反比例函数k称为比例系数.
2.理解反比例函数的概念.问题1反比例函数的一般式y=的右边是什么式子提示:分式其他的函数都是单项式或多项式问题2反比例函数y=的比例系数k、自变量x取值有什么要求提示:都是不能为0的实数问题3反比例函数解析式还可以写成其他形式吗提示:两个变量的乘积为定值;自变量x的指数为-1【师生活动】 学生独立思考后小组合作交流教师对学生的回答作出点评和归纳.[设计意图] 通过回答教师提出的问题让学生理解反比例函数的意义能用数学语言表达反比例函数的表达式并能理解自变量的取值范围掌握判断反比例函数的方法.通过学生的观察、思考、合作、交流反比例函数概念的模型建立也就会水到渠成.
二、例题讲解 [过渡语] 我们通过实例归纳总结了反比例函数的概念试试能不能解决下列问题.【课件展示】 下列函数:
①y=;
②y=;
③y=;
④y=;
⑤xy=2;
⑥y=.其中是反比例函数的是 填序号它们的比例系数k分别是 . 〔解析〕 按照反比例函数的概念判断易得
①②④⑤是反比例函数其中k分别为
50.
42.〔答案〕
①②④⑤
50.42 若y=a-2x|a|-3是反比例函数则a的值为 . 【师生活动】 学生独立思考后小组交流答案教师对学生的答案进行点评并强调易错点.〔解析〕 根据反比例函数概念可得反比例函数满足两个条件:
①常数k≠0;
②自变量x的指数为-
1.由题意可得|a|-3=-1且a-2≠0解得a=-
2.故填-
2.[设计意图] 通过练习让学生进一步理解和掌握反比例函数的一般形式及特点特别是忽略k≠0这一易错点. 教材129页例1写出下列问题中y与x之间的函数关系式指出其中的正比例函数和反比例函数并写出它们的比例系数k.1y与x互为相反数.2y与x互为负倒数.3y与2x的积等于aa为常数且a≠
0.【师生活动】 学生独立完成后小组内交流答案教师点评学生的答案并强调易错点.解:1因为y+x=0即y=-x所以y是x的正比例函数比例系数k=-
1.2因为xy=-1即y=所以y是x的反比例函数比例系数k=-
1.3因为2xy=a即y=所以y是x的反比例函数比例系数k=a.[设计意图] 通过书写函数关系式并认识比例系数k对正比例函数和反比例函数本质属性进行比较加深对反比例函数的理解. 教材129页例2已知y是x的反比例函数当x=4时y=
6.1写出这个反比例函数的表达式.2当x=-2时求y的值.〔解析〕 类比一次函数求解析式的方法——待定系数法设出函数解析式将一对xy的值代入求出待定系数k.【师生活动】 师生共同复习待定系数法求函数解析式然后学生独立完成并板书过程学生之间互相纠正错误答案教师点评并归纳待定系数法求函数解析式的一般步骤.解:1设y=.把x=4y=6代入y=得k=
24.所以这个反比例函数的表达式为y=.2当x=-2时y==-
12.[设计意图] 通过复习待定系数法用待定系数法求反比例函数关系式并让学生体会在反比例函数关系式中代入一对xy的值即可求出函数关系式.同时让学生体会建模思想在数学中的应用.[知识拓展]
1.反比例函数y=k为常数且k≠0的左边是函数右边为自变量x的分式也就是说分母不能是多项式只能是x的一次单项式如y=y=等都是反比例函数但y=中y就不是x的反比例函数.
2.反比例函数可以理解为两个变量的乘积是一个不为0的常数因此可以写成xy=kk≠0y=kx-1k≠0的形式.
1.反比例函数的概念:一般地如果变量y和变量x之间的函数关系可以表示成y=k为常数且k≠0的形式那么称y为x的反比例函数k称为比例系数.
2.反比例函数满足的条件:1自变量的指数是-1;2比例系数不为
0.
3.反比例函数的三种表示形式:y=;xy=k;y=kx-
1.
4.反比例函数自变量的取值范围:x≠
0.
1.下列函数中是反比例函数的是 A.y=2x+1B.y=C.y=D.2y=x解析:A中函数是一次函数不是反比例函数;B中函数自变量x的指数不是-1不是反比例函数;C中函数符合反比例函数的定义;D中函数是正比例函数不是反比例函数.故选C.
2.反比例函数y=-中k的值是 A.2B.-2C.-D.-解析:根据反比例函数定义可得比例系数k为-.故选C.
3.若函数y=m-1为反比例函数则m的值是 此函数的表达式为 . 解析:根据反比例函数定义可得m2-2=-1且m-1≠0解得m=-1此时函数表达式为y=-.答案:-1 y=-
4.长方体的体积为103m3底面积为Sm2高度为dm用d表示S的函数关系式为 ;当S=500m2时d= m. 解析:因为体积V=Sd所以S=把S=500代入函数解析式得d=
2.答案:S=
25.已知y与3x成反比例且当x=1时y=.1写出y与x的函数表达式;2当x=时求y的值;3当y=时求x的值.解:1设y与x的函数表达式为y=把x=1y=代入得所以k=2所以y与x的函数表达式为y=.2当x=时y=
2.3当y=时解得x=.
27.1 反比例函数
一、反比例函数的概念
二、例题讲解
一、教材作业【必做题】教材第130页习题A组第123题.【选做题】教材第130页习题B组第12题.
二、课后作业【基础巩固】
1.下列关系中两个量之间为反比例函数关系的是 A.正方形的面积S与边长a的关系B.正方形的周长L与边长a的关系C.长方形的长为a宽为20其面积S与a的关系D.长方形的面积为40长为a宽为ba与b的关系
2.下列函数中不是反比例函数的是 A.y=-B.y=C.y=D.3xy=
23.下列反比例函数中当x=2时y的值为-3的是 A.y=B.y=-C.y=-D.y=-
4.若y=a+1是反比例函数则a的值为 A.1B.-1C.±1D.任意实数
5.已知y是x的反比例函数并且当x=-3时y=-2则y与x的函数关系式为 .
6.已知反比例函数y=中k=-12则当x=2时y= ;当y=-4时x= .
7.若梯形的下底长为x上底长为下底长的高为y面积为60则y与x的函数表达式是 .不考虑x的取值范围
8.已知y与x的函数解析式为y=.1请完成下表:x-3-113y2求当x=-10时函数y的值;3求当y=6时自变量x的值.【能力提升】
9.将x=代入反比例函数y=-中所得函数值记为y1又将x=y1+1代入原反比例函数中所得函数值记为y2再将x=y2+1代入原反比例函数中所得函数值记为y3…如此继续下去则yxx= .
10.已知一个长方体的体积是100cm3它的长是ycm宽是5cm高是xcm.1写出用高表示长的解析式;2当x=3时求y的值.【拓展探究】
11.已知y=y1+y2y1与x成正比例y2与x成反比例且当x=1时y=4;当x=2时y=
5.1求y与x之间的函数关系式;2当x=4时求y的值.【答案与解析】
1.D解析:正方形的面积S与边长a的关系为S=a2不是反比例函数关系;正方形的周长L与边长a的关系为L=4a不是反比例函数关系;长方形的长为a宽为20其面积S与a的关系为S=20a不是反比例函数关系;长方形的面积为40长为a宽为ba与b的关系为a=是反比例函数关系.故选D.
2.C解析:ABD符合反比例函数的定义C函数中的分母不是单项式所以不是反比例函数.故选C.
3.B解析:把x=2分别代入各选项求出y的值只有B中y的值为-
3.故选B.
4.A解析:根据反比例函数的定义得a2-2=-1且a+1≠0解得a=
1.故选A.
5.y=解析:设y与x之间的关系式为y=把x=-3y=-2代入得k=6所以y与x之间的关系式为y=.故填y=.
6.-6 3解析:把x=2代入y=-得y=-6;把y=-4代入y=-得-4=-解得x=
3.
7.y=解析:根据梯形的面积公式可得y=60化简得y=.故填y=.
8.解:1-1 -3 3 1 2当x=-10时y=-. 3当y=6时6=解得x=.
9.-解析:把x=代入得y1=-则x2=-+1=-所以y2=2则x3=2+1=3所以y3=-则x4=-+1=所以y4=-…观察y1=y4所以三组循环出现xx除以3余数为1所以yxx=y1=-.
10.解:1y=. 2当x=3时y=.
11.解:1设y1=k1xy2=则y=y1+y2=k1x+.把x=1y=4;x=2y=5代入得解得所以y=2x+.2当x=4时y=2×4+.本节课精心设计教学导入环节通过跨学科实际问题和生活实际问题导入新课激发学生学习本节课的兴趣通过回顾由成正比例的量抽象出正比例函数的过程自然引出由一对反比例的量抽象出什么样的函数把学生带入课时学习的情境之中为学好本课时的内容做了很好的铺垫.在教学设计思路上不是把概念直接交给学生而是让学生通过比较反比例函数与其他函数区别的基础上得出结论这样既巩固了先前的知识又很好地做到了知识的迁移和延伸让学生亲身经历知识的形成过程做到真正理解和掌握反比例函数的概念.教学中依据教材的情境设计了对学生具有启发性和引导性的问题精心设置了教材例题之外的例题更好地为实现本节课的教学目标服务.在复习一次函数知识的时候给学生的时间较少部分同学还没有很好地回忆和总结先前的知识这在一定程度上造成了学生理解知识存在衔接的困难.在形成概念的过程中教师设计了一些引导学生思考的小问题在小组合作交流的过程中给学生思考时间较少学生自我学习和交流不够深入老师过早地把问题结论提示给学生对学生的思维活动没有做到很好地引导.本节课的学习内容是经历问题情境建立反比例函数模型的过程需要联系以往的函数知识所以教师在课前给学生足够的时间回顾一次函数的概念及学习思路为本节课的学习打下基础在生活实际问题中建立函数关系式观察函数关系式的特点学生通过独立思考、小组合作交流共同归纳反比例函数的概念经历知识的形成过程提高归纳总结能力.补充例题巩固反比例函数的概念把重点放在巩固基础上而不是强调对知识的综合练习.练习教材第129页
1.解:135是反比例函数;246是正比例函数.
2.解:t=.习题教材第130页A组
1.解:1是k=
12. 2是k=. 3是k=-
3. 4不是.
2.解:m=.
3.解:1∵△ABC的面积=ah=20∴a=. 2当h=2时a==
20.B组
1.解:1W=. 2当x=9000000时W==200故水资源人均占有量为200立方米.
2.解:1由得m=或m=-.∴当m=或m=-时y是x的正比例函数. 2由得m=-
2.∴当m=-2时y是x的反比例函数.此时原函数解析式可化简为y=-当y=8时x=-.重视教学策略的设计
1.本节课要学习的内容是反比例函数的概念通过具体实例中的变量关系的特征感受反比例函数的特征和意义从而形成对反比例函数的初步认识本节课的重点是在实际问题中建立数学模型及待定系数法求函数关系式.教师引导学生分析实际问题并用关系式表示实际问题中的等量关系从而引出反比例函数的概念让学生获得反比例函数表示变量关系的体验学生在教师的引导下通过自主探索与合作交流理解并掌握本节课的重点同时学生通过主动探究获取了知识丰富了数学活动的经验逐步学会学习.
2.对于九年级的学生来说之前已经学习过一次函数和正比例函数对于函数是刻画变量之间关系的数学模型思想也有了一定的认识可以在此基础上用类比的方法继续深入学习反比例函数所以在学习本节课内容时要重视新旧知识之间的联系如适时复习函数、自变量、函数值、正比例函数、一次函数等有关概念为学习反比例函数做好铺垫.
27.2 反比例函数的图像和性质
1.会用描点法画出反比例函数y=的图像.
2.能根据图像和函数表达式y=理解反比例函数的性质并能灵活运用解决相关问题.
3.理解反比例函数中比例系数kk≠0的几何意义.
4.初步建立反比例函数解析式与图像之间的关系.
1.经历画反比例函数的图像和探索反比例函数性质的过程获得研究函数性质的经验.
2.通过观察反比例函数图像探究函数性质进一步体会用数形结合思想研究函数的性质.
3.经历知识的形成过程了解从特殊到一般的认识探究过程发展观察、分析、归纳和概括能力及动手能力.
1.经历观察、交流、分析、归纳等数学过程获得探究数学问题和合作交流的方法和经验体验数学活动中的探索性和创造性.
2.在数学学习过程中进一步理解变量和常量间的辩证关系培养严谨的科学态度感受数学美并发现学习的乐趣.
3.在数学学习过程中体验学习数学的成功感领悟学习数学的乐趣.【重点】 用描点法画反比例函数的图像;探索反比例函数的图像特点和性质.【难点】 探究反比例函数的图像特点和性质的过程及比例系数的几何意义.第课时
1.会用描点法画出反比例函数y=的图像.
2.能用待定系数法求反比例函数的解析式.
1.经历画反比例函数的图像并观察函数图像的过程进一步体会数形结合思想在数学中的应用.
2.经历画反比例函数图像的探究过程了解从特殊到一般的认识过程培养学生观察、探究、归纳及动手能力.
1.经历观察、思考、交流等数学活动获得探索数学知识和合作交流的方法和经验体验数学活动中的探索性和创造性.
2.在数学学习过程中体验学习数学的成功感领悟和感受数学美发现学习的乐趣.【重点】 用描点法画反比例函数的图像.【难点】 探究反比例函数的图像特点的过程.【教师准备】 多媒体课件.【学生准备】 练习本上画两个平面直角坐标系.导入一:复习提问:
1.以前学习一次函数时用什么思路和方法研究的先根据函数解析式画出函数的图像然后观察、分析、归纳得到函数的性质
2.一次函数的图像是什么直线
3.画函数图像的基本步骤是什么列表、描点、连线
4.什么是待定系数法如何用待定系数法求一次函数的解析式【师生活动】 学生思考回答教师对学生的答案进行点评.导入二:思考并回答下列问题:
1.点23在正比例函数y=kx的图像上你能求出这个正比例函数的表达式吗将点23代入y=kx得k=所以函数表达式为y=x
2.判断点12是否在正比例函数y=2x的图像上点-1-236呢你是如何判定的点12在函数y=2x的图像上;点-1-236也在函数y=2x的图像上;将点的坐标代入函数解析式满足函数解析式所以点在函数的图像上教师归纳:判定点是否在函数图像上将点的坐标代入函数解析式判断是否满足函数解析式即可.[设计意图] 通过复习画函数图像的基本步骤、判断点是否在函数图像上导入新课为本节课的学习做好铺垫通过复习研究一次函数的基本思路和方法让学生用类比的方法自然地构建出新知识降低本节课的学习难度激发学生学习本节课的兴趣. [过渡语] 这节课我们共同学习画反比例函数的图像.探究活动 描点法画反比例函数的图像活动一:画反比例函数y=的图像.思路一教师引导思考:1该函数中自变量x的取值范围是什么函数值y的取值范围是什么2画函数图像列表时取哪些x的值使函数图像完整、准确3在课前准备的平面直角坐标系下描点.师生共同完成列表4如何用平滑的曲线连接各点5从左到右连线时图像与x轴、y轴有没有交点为什么6仅凭两个点的坐标能画出反比例函数y=的图像吗【课件展示】1列表:x…-6-4-3-2-112346…y=…-1-
1.5-2-3-
66321.51… 2描点:以表中各组对应值作为点的坐标在如图所示的直角坐标系中描出相应的点.3连线:用平滑的曲线顺次连接各点就得到反比例函数y=的图像.【师生活动】 教师引导学生思考回答并按照共同完成的表格数据画出函数图像教师巡视过程中发现画图像时出现的典型错误点拨画图像时的易错点.教师强调连线时从左到右依次用平滑曲线连接由自变量x、函数值y的取值范围可得函数图像与两坐标轴没有交点故画反比例函数图像时与画一次函数时不同坐标轴把图像分成两部分.[设计意图] 在教师提出的问题的引导下师生合作经历用描点法画函数图像的过程培养学生动手操作能力理解描点法画函数图像的本质经历知识的形成过程进一步体会数形结合思想.思路二任务要求:按照画函数图像的步骤在课前准备的平面直角坐标系下画出函数y=的图像.【师生活动】 学生独立完成列表、描点、连线整个画图后小组合作交流发现组内成员的画图错误并帮助改正教师在巡视过程中及时发现常见典型错误进行汇总在展示完整画图过程后再展示典型画图错误.【课件展示】1列表:x…-6-4-3-2-112346…y=…-1-
1.5-2-3-
66321.51… 教师强调:在x的取值范围内列出函数对应值表取值不能太少也不能只取正值.2描点:以表中各组对应值作为点的坐标在如图所示的直角坐标系中描出相应的点.教师强调:描点时横纵坐标易混淆.3连线:用平滑的曲线顺次连接各点就得到反比例函数y=的图像.教师强调:连线时用平滑曲线不能画成折线因为自变量x不等于0所以画函数图像时不能将左右两个图像连接起来.追问:
1.观察画出的反比例函数y=的图像它与坐标轴有交点吗为什么
2.仅凭两个点的坐标能画出反比例函数y=的图像吗【师生活动】 学生观察图像思考后小组合作交流教师巡视中帮助有困难的学生对学生的回答进行点评.[设计意图] 通过动手操作让学生自己经历画反比例函数图像的过程进一步了解用描点的方法画图像的基本步骤培养了学生动手操作能力经历了知识的形成过程.通过小组合作交流培养学生的合作精神在讨论画图结果时互相纠错的过程加深了学生对画函数图像的理解和认识.活动二:画出反比例函数y=的图像.【师生活动】 学生在课前准备的平面直角坐标系中独立完成画图小组内交流所画图像是否正确教师课件展示正确图像强调画图像时的易错点. [过渡语] 一次函数的图像是一条直线那么反比例函数的图像是什么呢思考:比较反比例函数y=与y=的图像指出它们的共同特征.图像都是由两部分组成分别位于两个不同的象限且关于原点对称两部分在单个象限内增减性一致等【师生活动】 学生观察所画出的两个图像指出共同特征教师点评课件展示双曲线的定义.【课件展示】 反比例函数y=k为常数且k≠0的图像由分别位于两个象限内的两条曲线组成这样的曲线叫做双曲线.[设计意图] 通过学生独立完成画反比例函数图像巩固画函数图像的步骤通过观察思考两个反比例函数图像的共同特征为后边探究反比例函数性质做好铺垫.例题讲解 教材132页例1已知点P-68在反比例函数y=的图像上.1求这个反比例函数的表达式.2判断点M4-12和N224是否在这个反比例函数的图像上.【思考】
1.函数图像上点的坐标与函数表达式之间的关系是什么函数图像上的点的坐标满足函数表达式反之满足函数表达式的点在该函数图像上
2.待定系数法求反比例函数表达式时需要几个点的坐标代入反比例函数表达式中有一个待定系数所以将函数图像上一个点的坐标代入即可
3.如何判断点是否在反比例函数图像上将点的坐标代入函数表达式满足函数表达式则该点在函数图像上反之则不在函数图像上【师生活动】 学生独立思考后小组合作交流教师在巡视中帮助有困难的学生给学生足够的时间思考归纳并对学生的回答进行点评归纳.完成思考归纳后学生独立完成解答并板书教师规范书写格式.解:1把点P-68的坐标代入y=得8=.解得k=-
48.所以这个反比例函数的表达式为y=.2当x=4时y==-
12.当x=2时y==-24≠
24.所以点M4-12在这个反比例函数的图像上点N224不在这个反比例函数的图像上.[设计意图] 通过例题加深学生对反比例函数表达式和图像之间关系的认识是数形结合思想方法的深入应用让学生感悟由“数”到“形”又由“形”到“数”的过程体会数形结合思想在数学中的应用;学生在教师的引导下逐步思考解决问题提高学生分析问题、解决问题及归纳总结的能力.[知识拓展]
1.反比例函数的图像是双曲线它有两支它的两个分支是断开的.
2.反比例函数y=k≠0的图像的两个分支关于原点对称.
3.反比例函数的图像与x轴、y轴都没有交点即双曲线的两个分支无限接近坐标轴但永远不与坐标轴相交这是因为x≠0y≠
0.
1.画反比例函数图像的步骤及注意事项.
2.反比例函数的图像是两条曲线它们关于原点对称.
3.反比例函数y=与y=的图像特征.
4.待定系数法求反比例函数表达式.
1.xx·绥化中考如图所示反比例函数y=x0的图像经过点P则k的值为 A.-6 B.-5C.6D.5解析:∵函数图像经过点P-32∴k=xy=-3×2=-
6.故选A.
2.xx·菏泽中考已知A-1m与B2m-3是反比例函数y=图像上的两个点则m的值为 . 解析:把-1m2m-3代入函数表达式得-m=k2m-3=k解得m=
2.故填
2.
3.在平面直角坐标系下画出函数y=和y=-的图像并分别指出两个函数图像所在的象限.解:列表:x…-4-3-2234…y=…-3-4-6643…y=-…346-6-4-3… 描点、连线:如图所示函数y=的图像在第
一、三象限函数y=-的图像在第
二、四象限.
4.已知反比例函数y=m-
3.1求m的值;2它的图像位于哪些象限解:1依题意可得:m2-10=-1且m-3≠0解得m=-
3.2当m=-3时代入函数表达式得y=-;∴它的图像位于第
二、四象限.第1课时探究活动 描点法画反比例函数的图像例题讲解
一、教材作业【必做题】教材第133页习题A组第12题.【选做题】教材第133页习题B组第12题.
二、课后作业【基础巩固】
1.下列四个点中在反比例函数y=-的图像上的是 A.3-2B.32C.23D.-2-
32.xx·无锡中考若点A3-4B-2m在同一个反比例函数的图像上则m的值为 A.6B.-6C.12D.-
123.若反比例函数y=的图像位于第
二、四象限则k的取值可以是 A.0B.1C.2D.以上都不是
4.如图1所示的是反比例函数y=的图像则一次函数y=kx-k的图像大致是图2中的
5.已知y=m+1是反比例函数若其图像位于第
一、三象限则m的值是 .
6.已知函数y=-当x0时y随x的增大而 此时其图像的相应部分在第 象限.
7.反比例函数y=k≠0的图像经过点25若点1n在此反比例函数的图像上求n的值.【能力提升】
8.已知一次函数y=x+1的图像与反比例函数y=的图像相交其中有一个交点横坐标是2则k的值是 .
9.如图所示菱形OABC的顶点C的坐标为34顶点A在x轴的正半轴上反比例函数y=x0的图像经过顶点B则k的值为 .
10.已知反比例函数y=m为常数的图像在第
一、三象限.1求m的取值范围;2如图所示若该反比例函数的图像经过▱ABOD的顶点D点AB的坐标分别为03-20求反比例函数的解析式.【拓展探究】
11.xx·宜宾中考如图所示在平面直角坐标系中四边形ABCD是矩形AD∥x轴AAB=1AD=
2.1直接写出BCD三点的坐标;2将矩形ABCD向右平移m个单位使点AC恰好同时落在反比例函数y=x0的图像上得矩形ABCD.求矩形ABCD的平移距离m和反比例函数的解析式.【答案与解析】
1.A解析:将各点坐标代入验算满足y=-的点即为所求易得点3-2满足y=-.故选A.
2.A解析:设反比例函数的解析式为y=把A3-4代入得k=-12即y=-把B-2m代入得m=-=
6.故选A.
3.A解析:∵反比例函数y=的图像位于第
二、四象限∴k-10即k
1.故选A.
4.B解析:∵反比例函数y=的图像位于第
一、三象限∴k0∴一次函数y=kx-k的图像与y轴的交点在y轴的负半轴且该一次函数值y随x的增大而增大∴一次函数y=kx-k的图像经过第
一、
三、四象限.故选B.
5.2解析:由题意得m2-5=-1解得m=±2∵它的图像在第
一、三象限∴m+10解得m-1∴m=
2.故填
2.
6.增大 四解析:k=-0所以函数图像在第
二、四象限x0时y随x的增大而增大此时图像的相应部分在第二象限.
7.解:把点25代入y=得k=2×5=10∴所求的反比例函数的解析式为y=把点1n代入得n=
10.
8.6解析:把x=2代入y=x+1得y=2+1=3所以该交点坐标为23把23代入反比例函数解析式中得k=2×3=
6.故填
6.
9.32解析:过C点作CD⊥x轴垂足为D∵点C的坐标为34∴OD=3CD=4由勾股定理可得OC=5∴OC=BC=5∴点B的坐标为84∵反比例函数y=x0的图像经过顶点B∴k=
32.故填
32.
10.解:1根据题意得1-2m0解得m. 2∵四边形ABOD为平行四边形∴AD∥OBAD=OB=2∵A点坐标为03∴D点坐标为23∴1-2m=2×3=6∴反比例函数的解析式为y=.
11.解:1∵四边形ABCD是矩形∴AB=CD=1BC=AD=2∵AAD∥x轴AB∥y轴∴BCD. 2∵将矩形ABCD向右平移m个单位∴AC∵AC在反比例函数y=x0的图像上∴-3+m=-1+m解得m=4∴A∴k=∴y=.本节课主要内容是画反比例函数的图像分析函数图像的特征在学生的动手操作、合作交流、共同归纳的过程中完成.在教学设计中首先复习用描点法画函数图像的步骤为学习新知识做好铺垫然后让学生自己经历画反比例函数图像的过程学生亲身经历由特殊到一般的知识的形成过程体会数形结合思想在数学中的应用.在数学活动中注重发挥学生的主体作用让数学课堂充满生命力让学生成为课堂的主人.例题加深了学生对函数图像和表达式之间的关系的理解提高了学生分析问题、解决问题的能力让学生体验到学习中的快乐.本节课的重点是让学生经历画反比例函数图像的过程体会数形结合思想在探究函数知识中的重要作用学生虽然熟悉画函数图像的步骤也理解了反比例函数中自变量的取值范围但在用平滑的曲线连接时由于未接触过这类函数图像造成连线出现错误较多教师应及时引导避免学生在画图像时耽误时间太多.分析例题时应尽可能多地运用小组活动的形式通过学生之间的合作与交流建立图像和表达式之间的联系以达到学生对待定系数法的真正理解.在教学设计导入环节给学生充足时间复习画函数图像的步骤为本节课画反比例函数的图像做好铺垫.通过学生动手操作在坐标系下画同一类函数图像是本节课的重点所以教学设计中教师引导学生逐步进行画图给学生足够的时间动手操作观察函数图像体会数形结合思想经历由特殊到一般的过程培养学生抽象概括的能力和激发求知的欲望实现学生自己动手、主动探索、合作交流式的学习.练习教材第133页
2.解:2是反比例函数的图像它的表达式是y=-.习题教材第133页A组
1.解:y=的图像位于第
一、三象限内y=-的图像位于第
二、四象限内.画出的函数图像如图所示.
2.解:1根据题意得-5=解得k=-10所以反比例函数的表达式为y=-. 2函数图像如图所示.B组
1.解:1画出的函数图像如图所示. 2设点A的横坐标为a纵坐标为b则b=-.∴OC=OB=|a|矩形OBAC的面积=OC·OB=·|a|==|-8|=
8.
2.解:点B在函数图像上.理由:设点Amn∵点AB关于原点对称∴点B-m-n.∵点A在函数y=的图像上∴n=.∴-n==-即点B-m-n也在函数y=的图像上.注重合作交流渗透数学思想
1.本节课的重点是进一步让学生熟悉描点法画函数图像的过程体会数形结合思想.在设计上使学生经历从特殊到一般的过程体验知识的形成过程逐步培养学生抽象概括能力和激发求知欲望让学生在轻松愉悦中突破难点.在教学设计上要注重学生动手、动脑让学生自己尝试画出函数图像在经历中逐步完善描点法画函数图像的步骤为探究反比例函数的性质做好铺垫.待定系数法是求函数解析式常用的方法待定系数法作为解决数学实际问题的基本方法和重要手段在其他学科中也有着广泛的应用所以本节课的学习也为后边的学习打下了基础.
2.数学教学的过程是师生共同活动、共同成长与发展的过程.真正的知识不全是由教材和教师讲授的途径获取的其实学生也是课程资源的开发者教师要还学生课堂学习的主体地位把激发学生学习热情和获得学习能力放在教学首位为学生提供展示自己聪明才智的机会使课堂真正成为学生展示自我的舞台.充分利用合作交流的形式能使教师发现学生分析问题、解决问题的独到见解以及思维的误区以便指导今后的教学. 如图所示在直角坐标系中矩形OABC的顶点O与坐标原点重合顶点AC分别在坐标轴上顶点B的坐标为
42.过点D03和E60的直线分别与ABBC交于点MN.1求直线DE的解析式和点M的坐标;2若反比例函数y=x0的图像经过点M求该反比例函数的解析式并通过计算判断点N是否在该函数的图像上;3若反比例函数y=x0的图像与△MNB有公共点请直接写出m的取值范围.解:1设直线DE的解析式为y=kx+b∵点DE的坐标分别为0360∴解得∴y=-x+
3.∵点M在AB边上B42而四边形OABC是矩形∴点M的纵坐标为
2.又∵点M在直线y=-x+3上∴2=-x+3解得x=
2.∴M
22.2∵y=x0的图像经过点M22∴m=4∴y=.又∵点N在BC边上B42∴点N的横坐标为
4.∵点N在直线y=-x+3上∴y=1∴N
41.∵当x=4时y=1∴点N在函数y=的图像上.34≤m≤
8.第课时
1.能根据反比例函数y=的图像理解和掌握反比例函数的性质.
2.能运用反比例函数的性质解决有关问题.
3.了解反比例函数y=中比例系数k的几何意义.
1.通过观察反比例函数的图像探究反比例函数的性质感受反比例函数表达式与图像之间的联系体会数形结合思想的魅力.
2.引导学生类比一次函数的研究方法探究反比例函数的图像和性质培养学生的类比思想和迁移能力.
3.通过引导学生正确地对函数图像进行观察、分析和抽象概括培养学生的观察能力和抽象概括能力增强学生探究问题的本领.
1.在动手操作的过程中体会学习数学的乐趣养成勤于动手、勤于思考、勇于探索的习惯.
2.在探究活动中培养学生严谨的学习态度和勇于探索的精神通过应用反比例函数的性质解决有关问题增强学生的自信培养学生的学习兴趣.
3.经历观察、思考、分析、交流等学习过程提高学生数学学习能力及合作精神逐步提高学生分析问题、解决问题的能力.【重点】 探究反比例函数的性质能灵活运用反比例函数的图像与性质解决问题.【难点】 灵活运用反比例函数的图像与性质解决问题.【教师准备】 多媒体课件【学生准备】 上节课画的两个函数图像、预习教材P134~
136.导入一:复习提问:
1.反比例函数的图像是什么形状的它有什么特征两条曲线;反比例函数图像与x轴、y轴没有交点两条曲线关于原点对称等
2.反比例函数y=的图像位于哪几个象限反比例函数y=的图像呢第
一、三象限;第
二、四象限
3.你能说出一次函数的所有性质是什么吗一次函数的增减性、所经过象限等【师生活动】 学生思考回答教师点评补充. [过渡语] 上节课我们通过画反比例函数图像了解了反比例函数的一些性质类比一次函数的性质反比例函数是否还有其他性质呢这就是我们这节课共同探究的内容.导入二:【课件展示】 长方体的体积为50cm3它的底面积S单位:cm2与高h单位:cm之间满足的函数关系是什么当它的高h增加时它的底面积S将怎样变化【师生活动】 学生思考回答并观察到该反比例函数中S随h的增大而减小教师引出课题.[设计意图] 复习上节课反比例函数图像的形状及简单特征对本节课的学习起到承上启下的作用降低了学生学习本节课的难度.以生活实际问题导入新课让学生体会生活中处处有数学激发学生的学习兴趣同时通过观察思考问题中底面积S与高h之间的关系很自然地由实际问题抽象出本课时学习重点之一的反比例函数图像的增减性. [过渡语] 这节课我们继续研究反比例函数的图像与性质应用反比例函数的图像和性质能解决哪些问题让我们一起去探究吧!共同探究 反比例函数的图像与性质活动一:【课件展示】 观察上节课我们画出的反比例函数y=与y=的图像及表达式探究下列问题:表达式图像的位置y随x的变化情况y=图像在第 、 象限内 在每个象限内y的值随x的值增大而 y=图像在第 、 象限内 在每个象限内y的值随x的值增大而 【师生活动】 学生观察两个函数图像独立思考完成填空小组内交流答案教师巡视时帮助有困难的学生对学生的回答进行点评归纳.活动二:动手操作:画出反比例函数y=和y=的图像.【思考】指出反比例函数y=和y=的图像所在象限并说明y的值随x的值的变化而变化的情况.【师生活动】 学生独立完成画函数图像的过程及思考小组内交流答案教师对学生的回答作出点评.[设计意图] 通过学生动手操作、观察思考、分析交流等数学活动借助函数图像直观地归纳出反比例函数图像的位置及y随x的变化规律教师还可以引导学生通过观察对应表或分析函数表达式进行认识让学生体会数形结合思想在数学中的应用同时培养学生观察、分析、思考的能力. [过渡语] 我们通过观察特殊反比例函数y=与y=及y=与y=的图像得到了它们的性质对于一般反比例函数y=它有哪些性质呢思路一观察所画的函数图像学生在教师的引导下思考回答:1反比例函数图像的形状是什么双曲线2反比例函数图像无限延伸后与x轴、y轴有公共点吗反比例函数图像关于原点O对称吗函数图像与x轴、y轴没有交点关于原点O对称3函数图像在哪个象限内函数表达式中谁决定函数图像的位置当k0时双曲线的两支分别位于第
一、三象限;当k0时双曲线的两支分别位于第
二、四象限4观察函数图像在每个象限内随着x的增大y如何变化函数表达式中谁决定函数图像的增减性当k0时在每个象限内y随x的增大而减小;当k0时在每个象限内y随x的增大而增大【师生活动】 学生在教师设计的问题下边思考边回答教师提示学生可以通过表格和图像两个方面思考解决问题对回答有困难的问题教师要给学生足够的时间思考、交流.共同归纳总结:【课件展示】 一般地反比例函数y=k≠0的图像是双曲线它具有以下性质:
1.当k0时它的图像位于第
一、三象限在每个象限内y的值随x的值增大而减小;
2.当k0时它的图像位于第
二、四象限在每个象限内y的值随x的值增大而增大;
3.双曲线的两支向两边无限延伸与坐标轴没有交点;
4.双曲线的两支关于坐标原点成中心对称.[设计意图] 通过教师设计的问题引导学生由浅入深地思考使学生在探究函数的性质的过程中有明确的方向和目的降低学生学习新知识的难度培养学生观察、分析及归纳总结的能力进一步体会数形结合思想及由特殊到一般的数学方法.思路二类比以前研究的一次函数的方法根据所列表格、函数表达式、所画函数图像你能得到哪些结论看看哪个小组得到的正确结论最多【师生活动】 观察所画的四个函数图像后独立思考再小组合作交流然后学生展示教师在巡视过程中及时帮助有困难的学生发现学生思考片面时可以及时提醒学生从图像形状、增减性、对称性等多个角度观察思考学生展示后教师点评师生共同归纳函数的性质.共同总结:一般地反比例函数y=k≠0的图像是双曲线它具有以下性质:
1.当k0时它的图像位于第
一、三象限在每个象限内y的值随x的值增大而减小;
2.当k0时它的图像位于第
二、四象限在每个象限内y的值随x的值增大而增大;
3.双曲线的两支向两边无限延伸与坐标轴没有交点;
4.双曲线的两支关于坐标原点成中心对称. [设计意图] 通过小组合作交流归纳反比例函数的性质学生之间的合作交流培养了学生的合作精神同时提高分析问题的能力.类比以前学过的函数的方法和性质归纳总结让学生体会数学中重要的学习方法——类比同时进一步体会数形结合思想是学习数学最常用的思想方法之一.例题讲解 教材135页例2反比例函数y=的图像如图所示.1判断k为正数还是负数.2如果A-3y1和B-1y2为这个函数图像上的两点那么y1与y2的大小关系是怎样的【师生活动】 学生独立思考后完成解答过程小组内交流答案对有疑问的学生组长和老师积极帮助教师鼓励学生多角度思考比较函数值的大小鼓励学生一题多解对学生的回答点评后课件展示答案规范学生的解答过程.【课件展示】解:1因为反比例函数y=的图像在第
一、三象限所以k
0.2由k0可知在每个象限内y的值随x的值增大而减小.∵-3-1∴y1y
2.[设计意图] 通过观察函数图像的位置及增减性判断比例系数k的正负及比较图像上点的纵坐标的大小培养学生的读图能力和分析问题的能力再次体会数形结合思想的重要应用同时培养独立思考、解决问题的能力. 如图所示点A在反比例函数y=x0的图像上AB⊥x轴于BAC⊥y轴于C你能求出矩形OBAC的面积吗教师引导回答问题:1矩形的两条邻边长与点A的坐标之间有什么关系2点A在反比例函数图像上它的横、纵坐标与比例系数之间是否有等量关系3你能求出矩形OBAC的面积吗4求出的矩形面积与比例系数之间有什么关系【师生活动】 学生独立思考后小组交流教师帮助有困难的学生并对学生的展示作出评价.解:设点A的坐标为xy则xy=
3.∴S矩形OBAC=xy=
3.拓展思考:1若点A在反比例函数y=x0的图像上矩形的面积又是多少它与比例系数之间有什么关系2如图所示若点A是反比例函数y=k≠0图像上任意一点呢3若连接OA则△AOB与△AOC的面积又有怎样的关系【师生活动】 学生独立思考后小组合作交流教师巡视过程中帮助有困难的学生对学生的回答进行点评师生共同归纳结论.结论:反比例函数y=k≠0中比例系数k的几何意义:S矩形OBAC=|x||y|=|k|S△ABO=S△ACO=|k|.[设计意图] 通过探究比例系数k的几何意义进一步运用反比例函数的图像和性质解决问题培养学生观察、分析图像从图像中获取信息的能力.通过挖掘反比例函数表达式与面积之间的数量关系培养学生分析问题、解决问题的能力同时对不同象限内点的讨论让学生感受数学学习的严谨性体会由特殊到一般的数学方法.[知识拓展]
1.反比例函数图像的位置和函数的增减性都是由比例系数k的符号决定的反过来由双曲线的位置或函数的增减性可以判断k的符号.
2.当k0时双曲线的两支分别位于第
一、三象限;当k0时双曲线的两支分别位于第
二、四象限.
3.反比例函数的增减性必须强调“在每一个象限内”.当k0时在每一个象限内y随着x的增大而减小但不能笼统地说:当k0时y随着x的增大而减小.同样当k0时在每一个象限内y随着x的增大而增大也不能笼统地说:当k0时y随着x的增大而增大.
4.过双曲线y=k≠0上的任意一点Pxy作x轴、y轴的垂线这一点与垂足、原点所构成的矩形的面积为S矩形=|k|所构成的三角形的面积为S△=|k|.
1.反比例函数y=的图像和性质:当k0时它的图像位于第
一、三象限在每个象限内y的值随x的值增大而减小;当k0时它的图像位于第
二、四象限在每个象限内y的值随x的值增大而增大.
2.反比例函数y=k≠0中比例系数k的几何意义.
1.反比例函数y=的图像大致是下图中的 解析:∵k2≥0∴k2+10∴该函数图像在第
一、三象限.故选D.
2.已知反比例函数y=下列结论不正确的是 A.图像必经过点12B.y随x的增大而减小C.图像在第
一、三象限D.若x1则y2解析:把12代入得:左边=右边故A正确;k=20图像在第
一、三象限在每个象限内y随x的增大而减小故B错误C正确;k=20当x1时0y2故D正确.故选B.
3.如图所示点B在反比例函数y=x0的图像上过点B分别向x轴、y轴作垂线垂足分别为AC则矩形OABC的面积为 A.1B.2C.3D.4解析:由反比例函数y=中比例系数k的几何意义可得矩形OABC的面积为|k|=
2.故选B.
4.xx·益阳中考已知y是x的反比例函数当x0时y随x的增大而减小.请写出一个满足以上条件的函数表达式 . 解析:只要使比例系数大于0即可.如y=x0答案不唯一.故填y=x
0.
5.如图所示函数y1=-x+4的图像与函数y2=x0的图像交于Aa1B1b两点.1求函数y2的表达式;2观察图像比较当x0时y1与y2的大小.解:1把点Aa1代入y1=-x+4得a=3即点A的坐标为31∴k2=3∴y2=.2把点B1b代入y2=得b=3∴点B的坐标为13∴由图像可知当0x1或x3时y1y2;当x=1或x=3时y1=y2;当1x3时y1y
2.第2课时共同探究 反比例函数的图像与性质例题讲解
一、教材作业【必做题】教材第136页习题A组第123题.【选做题】教材第137页习题B组第12题.
二、课后作业【基础巩固】
1.若反比例函数y=的图像位于第
一、三象限则k的取值可以是 A.0B.1C.2D.以上都不是
2.若函数y=的图像在其所在的每一个象限内函数值y随x的增大而增大则m的取值范围是 A.m-2B.m0C.m-2D.m
03.设Ax1y1Bx2y2是反比例函数y=-图像上的两点若x1x20则y1与y2之间的关系是 A.y2y10B.y1y20C.y2y10D.y1y
204.关于x的函数y=kx+1和y=k≠0在同一坐标系中的图像大致是下图中的
5.已知反比例函数y=若它的图像在每个象限内y随自变量x的增大而减小则实数k的取值范围是 若图像经过点-23则k= .
6.如图所示M为反比例函数y=的图像上的一点MA垂直于y轴垂足为A△MAO的面积为2则k的值为 .
7.直线y=ax+ba0与双曲线y=相交于Ax1y1Bx2y2两点则x1y1+x2y2的值为 .
8.xx·广安中考如图所示一次函数的图像与x轴、y轴分别相交于AB两点且与反比例函数y=k≠0的图像在第一象限交于点C如果点B的坐标为02OA=OBB是线段AC的中点.1求点A的坐标及一次函数的解析式;2求点C的坐标及反比例函数的解析式.【能力提升】
9.如图所示四边形OABC是矩形ADEF是正方形点AD在x轴的正半轴上点C在y轴的正半轴上点F在AB上点BE在反比例函数y=的图像上OA=1OC=6则正方形ADEF的边长为 .
10.xx·荆州中考如图所示在平面直角坐标系中O为原点直线AB分别与x轴、y轴交于B和A与反比例函数的图像交于CDCE⊥x轴于点Etan∠ABO=OB=4OE=
2.1求直线AB和反比例函数的解析式;2求△OCD的面积.【拓展探究】
11.xx·成都中考如图所示一次函数y=-x+4的图像与反比例函数y=k为常数且k≠0的图像交于A1aB两点.1求反比例函数的表达式及点B的坐标;2在x轴上找一点P使PA+PB的值最小求满足条件的点P的坐标及△PAB的面积.【答案与解析】
1.C解析:∵反比例函数y=的图像位于第
一、三象限∴k-10即k
1.故选C.
2.A解析:∵在每个象限内的函数值y随x的增大而增大∴m+20∴m-
2.故选A.
3.C解析:反比例函数y=-中k=-20在每个象限内y随x的增大而增大所以当x1x20时有y2y
10.故选C.
4.D解析:当k0时一次函数的图像与y轴交于正半轴上过第
一、
二、三象限反比例函数图像在第
一、三象限;当k0时一次函数的图像与y轴交于负半轴上过第
二、
三、四象限反比例函数图像在第
二、四象限只有D符合.故选D.
5.k 解析:∵函数图像在每个象限内y随自变量x的增大而减小∴1-2k0解得k;又∵图像经过点-23∴1-2k=-2×3解得k=.
6.4解析:根据题意可知S△MAO=|k|=2所以k=±
4.又函数图像在第一象限所以k0所以k=
4.故填
4.
7.6解析:将Ax1y1Bx2y2两点分别代入y=中得x1y1=x2y2=3则x1y1+x2y2=
6.故填
6.
8.解:1∵OA=OB点B的坐标为02∴A-
20.∵点AB在一次函数y=ax+ba≠0的图像上∴解得∴一次函数的解析式为y=x+
2. 2∵B是线段AC的中点∴点C的坐标为
24.又∵点C在反比例函数y=k≠0的图像上∴k=8∴反比例函数的解析式为y=.
9.2解析:由OA=1OC=6可得矩形OABC的面积为6根据比例系数k的几何意义可知k=6∴反比例函数的解析式为y=.设正方形ADEF的边长为a则点E的坐标为a+1a∵点E在双曲线上∴a=整理得a2+a-6=0解得a=2或a=-3舍去故正方形ADEF的边长是
2.故填
2.
10.解:1∵OB=4OE=2∴BE=2+4=
6.∵CE⊥x轴于点Etan∠ABO=∴OA=2CE=
3.∴点A的坐标为02点B的坐标为40点C的坐标为-
23.设直线AB的解析式为y=kx+b则解得故直线AB的解析式为y=-x+
2.设反比例函数的解析式为y=m≠0将点C的坐标代入得3=∴m=-
6.∴该反比例函数的解析式为y=-. 2联立反比例函数的解析式和直线AB的解析式得可得交点D的坐标为6-1则△BOD的面积=4×1÷2=2△BOC的面积=4×3÷2=6故△OCD的面积为2+6=
8.
11.解:1由已知可得a=-1+4=3k=1×a=1×3=3∴反比例函数的表达式为y=联立解得或所以B
31. 2如图所示作点B关于x轴的对称点D交x轴于点C连接AD交x轴于点P此时PA+PB的值最小∴D3-
1.设直线AD的解析式为y=mx+n把AD两点坐标代入得解得m=-2n=5∴直线AD的解析式为y=-2x+5令y=0得x=∴点P的坐标为∴S△PAB=S△ABD-S△PBD=×2×2-×2×=2-.本节课是在上节课画反比例函数图像的基础上师生共同探究反比例函数的性质在教学设计中通过复习反比例函数图像的形状为探究反比例函数的性质做好准备然后师生共同观察、分析函数图像从“形”直观观察性质同时由函数解析式验证观察的性质是否正确让学生体会数形结合思想在数学中的应用.通过所画的几个函数图像最终归纳y=k≠0的图像和性质学生亲身经历由特殊到一般的知识形成过程提高了学生分析问题、解决问题的能力让学生体验到学习的快乐.通过学生自主学习探究教材例题巩固反比例函数的性质教师引导学生探究补充的例题共同归纳比例系数的几何意义拓展了学生思维培养了学习能力.本节课由于补充了反比例函数中比例系数的几何意义造成课堂容量稍有点偏大在探究过程中给学生独立思考和合作交流的时间较短虽然对每个问题的设计都有讨论、展示、点评但是个别学生数形结合思想意识浅薄利用图像解决问题有困难课堂上没有很好地巩固技巧.在探究比例系数k的几何意义时部分学生对符号的理解有困难虽适当多用了些时间但是对该知识点掌握需要练习巩固而教学设计中缺少这样的练习题.本节课的重点是探究反比例函数图像与性质及比例系数k的几何意义由于课堂容量较大让学生在课前画出反比例函数y=与y=的图像课堂上观察函数图像师生通过观察、分析、交流、归纳得出反比例函数的性质让学生充分体会数形结合思想和由特殊到一般的数学方法教师通过设计问题引导让学生在课堂上思维活跃成为课堂的主人补充例题给学生更广阔的思维空间大胆放手让学生通过小组合作共同交流的形式完成学习提高学生分析问题和解决问题的能力及数学思维培养学生学数学的兴趣.练习教材第136页
1.解:第
一、三象限.
2.解:1第
一、三象限在每个象限内y的值随着x的值增大而减小. 2第
二、四象限在每个象限内y的值随着x的值增大而增大. 3第
二、四象限在每个象限内y的值随着x的值增大而增大. 4第
一、三象限在每个象限内y的值随着x的值增大而减小.习题教材第136页A组
1.解:1函数图像在第
二、四象限在每个象限内y的值随x的值增大而增大. 2函数图像在第
一、三象限在每个象限内y的值随x的值增大而减小. 3函数图像在第
二、四象限在每个象限内y的值随x的值增大而增大.
2.提示:1k为负数. 2mn.
3.提示:1图像在第
二、四象限. 2y1y
2.B组
1.解:1因为k=100x1x2x3所以y1y2y
30. 2每个矩形的面积都为S=|k|=1所以S1=S2=S
3.
2.解:若0a1a2或a1a20则b1b2;若a10a2则b1b
2.关注重点突破注重数学思想方法
1.反比例函数的图像与性质是本章的重点在教材中起着承上启下的作用在教学设计中教师先引导学生观察图像独立思考再小组合作交流然后师生共同归纳函数图像的共同特征最后通过例题巩固反比例函数的性质突出学生在活动过程中的参与意识、探究方式、表达能力及合作交流的意识.教学设计中大胆放手让学生在探究活动中去经历、体验、探索知识通过充分的过程探究真正理解和掌握知识能够灵活运用反比例函数的性质解决有关问题易于突破难点.
2.本节课的教学设计注重培养学生数学思想和数学方法在数学中的应用涵盖了类比、由特殊到一般、数形结合等重要数学思想和方法类比一次函数的研究方法即“描点作图——观察图像——分析图像特征——确定函数变量间的变化规律——归纳函数性质”在整个探究过程中数形结合思想贯穿始终根据表达式画出函数图像由函数图像归纳性质再回归到函数表达式解释函数性质体现了由“数”到“形”再由“形”到“数”的结合数形结合思想的教学有助于本节课教学难点的突破.
3.与反比例函数有关的问题几乎在历届中考中都可以找到有基础题、中档题还有综合题从题型来看有选择题、填空题还有解答题主要考查反比例函数的定义、图像及性质也常与正比例函数、一次函数和其他几何知识组成综合性试题进行考查.课堂上以学生动手动脑探究为主充分调动学生学习的积极性和主动性突出学生主体地位突显富有生命力的课堂让学生真正掌握反比例函数的图像和性质. xx·河南中考如图所示直线y=kx与双曲线y=x0交于点A1a则k= . 〔解析〕 把点A坐标1a代入y=得a==2∴点A的坐标为12再把点A12代入y=kx得k=
2.故填
2. xx·资阳中考如图所示在平面直角坐标系中点M为x轴正半轴上一点过点M的直线l∥y轴且直线l分别与反比例函数y=x0和y=x0的图像交于PQ两点若S△POQ=14则k的值为 . 〔解析〕 ∵S△POQ=S△OMQ+S△OMP∴|k|+×|8|=14∴|k|=20而k0∴k=-
20.故填-
20. xx·甘孜中考如图所示一次函数y=-x+5的图像与反比例函数y=k≠0在第一象限的图像交于A1n和B两点.1求反比例函数的表达式;2在第一象限内当一次函数y=-x+5的值大于反比例函数y=k≠0的值时写出自变量x的取值范围.解:1∵一次函数y=-x+5的图像过点A1n∴n=-1+5=4∴点A的坐标为14∵反比例函数y=k≠0过点A14∴k=4∴反比例函数的解析式为y=.2联立解得或即点B的坐标41若一次函数y=-x+5的值大于反比例函数y=k≠0的值则1x
4.
27.3 反比例函数的应用
1.能够根据具体实际问题情景确定变量之间的反比例关系并求出反比例函数的解析式.
2.能灵活运用反比例函数的图像和性质解决相关的实际问题.
3.能综合运用几何、方程、不等式、反比例函数知识以及物理等跨学科知识解决相关的实际问题.
1.经历“问题情境——建立反比例函数模型——运用反比例函数解决实际问题”的过程体会数学的价值增强学好数学的信心.
2.经历利用反比例函数解决实际问题的过程学会用数学的思想方法去观察、研究和解决日常生活中所遇到的问题体验数学建模的思想.
3.体会数学与实际生活紧密联系经历将实际问题抽象为数学问题的过程体会数学中转化和数形结合的思想增强学生发现和提出问题、分析和解决问题的能力.
1.通过将反比例函数的有关知识灵活用于实际让学生体会到学习数学的价值从而提高学生学习数学的兴趣并获得成功感.
2.通过小组合作交流学习共同探究反比例函数在实际中的应用提高合作意识培养创新精神.【重点】 从实际问题中建立反比例函数模型运用反比例函数的图像和性质解决生活实际问题和跨学科问题.【难点】 根据具体实际问题情景建立反比例函数的模型.【教师准备】 课件.【学生准备】 预习教材P138~
140.导入一:复习提问:【课件展示】
1.我们学习了反比例函数的定义、图像和性质完成下列填空:1反比例函数的定义是 . 2反比例函数的图像是 当k0时 ;当k0时 . 3待定系数法求反比例函数表达式的步骤: ; ; ; .
2.前面学习了一次函数的应用类比前面的学习过程我们将继续探究什么基本方法有哪些
3.在实际问题中建立函数模型求解函数表达式的关键是什么【师生活动】 学生独立回答教师关注学生对本节课的学习对象及基本方法是否了解.导入二:【课件展示】你吃过拉面吗知道在做拉面的过程中渗透着数学知识吗1体积为20cm3的面团做成拉面面条的长度y与面条的粗细横截面积S有怎样的函数关系2某家面馆的师傅手艺精湛她拉的面条粗1mm2如果面团的体积为10cm3那么面条总长是多少【师生活动】 学生独立完成后小组交流答案学生展示结果教师及时提醒学生注意单位换算并对结果进行点评.导入三:【课件展示】 在一段长为45km的高速公路上规定汽车行驶的速度最低为60km/h最高为110km/h.
1.在这段高速公路上设汽车行驶的速度为vkm/h时间为th写出v与t之间的函数关系式.
2.某司机开车用了25min匀速通过了这段高速公路请你判断这辆汽车是否超速并说明理由.
3.某天由于天气原因汽车通过这段高速公路时要求行驶速度不得超过75km/h.此时汽车通过该路段最少要用多长时间[设计意图] 通过复习反比例函数的概念、图像和性质及实际问题中找等量关系列函数表达式为本节课的学习做铺垫由学生熟悉的行程问题导入新课让学生体会数学与实际问题之间的关系很自然地构建出新知识激发学生的兴趣和求知欲望. [过渡语] 在我们熟悉的现实生活中存在着许多反比例关系如何解决这些问题就是我们这节课一起探究的内容.一起探究 反比例函数在实际问题中的应用导入三中有怎样的反比例关系让我们一起探讨吧!思路一教师提出下列问题学生思考回答逐步解决.1在上述问题中有哪些量哪些量是常量哪些量是自变量和因变量2在行程问题中路程、速度和时间三者之间的等量关系是什么3自变量和因变量的乘积是不是常数两者之间是不是存在着反比例函数关系4你能否写出v与t之间的函数关系式5你能根据实际问题求出自变量的取值范围吗6已知自变量t的值怎样求因变量v的值7已知因变量v的值如何求自变量t的值8在该反比例函数关系中已知自变量的取值范围怎样求因变量的取值范围【师生活动】 先让学生认真审题独立思考再通过设置的小问题教师引导学生逐步思考最后建立函数模型解决问题学生完成解题过程教师展示课件纠正学生解题过程中的错误.【课件展示】解:1v=.2当t=时v=108∵v110∴没有超速.3当v=75时75=解得t=
0.6∵450∴v随着t的增大而减小∴当t≥
0.6时v≤75∴通过该路段最少要用36min.【思考】解决问题3时可以用不等式解决吗思路二【师生活动】 学生认真审题独立思考类比前边学过的一次函数解决实际问题的方法完成该题的解答然后小组合作交流讨论疑惑及解题思路和方法教师巡视中解决学生的质疑并帮助有困难的学生最后小组代表板书解题方法.【课件展示】解:1v=.2当t=时v=108∵v110∴没有超速.3当v=75时75=解得t=
0.6∵450∴v随着t的增大而减小∴当t≥
0.6时v≤75∴通过该路段最少要用36min.追问:1速度vkm/h与时间th的函数图像有什么特点图像只有在第一象限的一支2在实际问题中求函数解析式的关键是什么找等量关系3已知自变量求函数值、已知函数值求自变量的基本思想是什么代入函数解析式用方程思想求解[设计意图] 通过教师引导给学生提供解决此类问题的思路让学生在问题解决的过程中体会反比例函数与实际问题的关系.解决实际问题首先建立函数模型从两个变量的相依关系和变化规律借助函数的图像利用函数意义或性质解决问题体会数学建模思想和数形结合思想的应用培养学生的应用意识.例题讲解【课件展示】 教材138页例气体的密度是指单位体积m3内所含气体的质量kg.现有某种气体7kg.1某储气罐的容积为Vm3将这7kg的气体注入该容器后该气体的密度为ρkg/m3写出用V表示ρ的函数表达式.2当把这些气体装入容积为4m3的储气罐中时它的密度为多大3要使气体的密度ρ=2kg/m3需把这些气体装入容积是多少立方米的容器中4在下图所示的直角坐标系中画出这个函数的图像并根据图像回答:
①当这些气体的体积增大时它的密度将怎样变化
②把这些气体装入容积不超过2m3的容器中气体的密度ρ在什么范围内思路一【师生活动】 学生独立思考后小组合作交流解题思路再独立完成解答过程小组代表板书教师给学生充足的时间合作交流巡视中帮助有困难的学生对学生的解答进行点评规范书写过程师生通过回忆解题思路共同归纳建立反比例函数模型解决跨学科问题的一般思路.归纳:根据物理学知识公式找到实际问题中的等量关系建立反比例函数模型列出函数表达式已知自变量的值函数值代入函数表达式解方程可得对应的函数值自变量的值根据函数表达式描点法画函数图像利用数形结合思想可解关于函数值的不等式.解:1用V表示ρ的函数表达式为:ρ=.2当V=4m3时ρ==
1.75kg/m
3.3当ρ=2kg/m3时2=解得V=
3.5m
3.4函数ρ=的图像如图所示.
①由反比例函数的图像可以看出当这些气体体积增大时它的密度减小.
②把这些气体装入容积不超过2m3的容器中气体的密度ρ≥
3.5kg/m
3.思路二教师引导思考:1在物理学中物体的密度ρkg/m
3、体积Vm
3、质量mkg之间的等量关系是什么2你能根据上边的等量关系写出物体的密度ρkg/m3与体积Vm3之间的函数表达式吗3在函数表达式中已知自变量如何求对应的函数值已知函数值如何求对应的自变量4根据反比例函数图像密度ρkg/m3随着体积Vm3的增大怎样变化5当体积Vm3取最大值时对应的函数值ρkg/m3是最小值还是最大值6根据已知自变量V的取值范围是什么对应的函数值ρ的取值范围是什么【师生活动】 学生独立思考后小组合作交流共同探究解题过程教师在巡视过程中帮助有困难的学生对学生的展示进行点评.课件展示解题过程.同思路一追问:你能归纳建立反比例函数模型解决跨学科实际问题的一般思路吗【师生活动】 学生独立思考后小组交流教师对学生的回答点评师生共同归纳.归纳:根据物理学知识公式找到实际问题中的等量关系建立反比例函数模型列出函数表达式已知自变量的值函数值代入函数表达式解方程可得对应的函数值自变量的值根据函数表达式描点法画函数图像利用数形结合思想可解关于函数值的不等式.[设计意图] 通过物理学科中已学过的密度公式建立公式与反比例函数之间的联系用反比例函数知识解决跨学科问题感受数学在现实生活中的应用激发学生学习数学的兴趣提高学生应用数学解决问题的能力. [过渡语] 我们共同探究了运用反比例函数解决简单实际问题的一般方法让我们检查一下学习的效果吧.做一做:【课件展示】 厨师将一定质量的面团做成粗细一致的拉面时面条的总长度ym是面条横截面面积Smm2的反比例函数其图像经过A432Bm80两点如图所示.1写出y与S的函数关系式.2求出m的值并解释m的实际意义.3如果厨师做出的面条最细时的横截面面积能达到
3.2mm2那么面条总长度不超过多少米【师生活动】 学生独立完成小组代表板书解答过程小组内交流答案教师对学生的展示点评并规范解题过程.解:1y=S
0.2m=
1.6当面条的总长度是80m时面条的横截面面积是
1.6mm
2.3当S=
3.2时y=
40.∵k=1280∴y随S的增大而减小∴当S最小为
3.2mm2时面条的长度不超过40m.[设计意图] 通过学生运用反比例函数独立完成生活实际问题既与导入二做到首尾呼应又进一步训练学生建立反比例函数模型的能力鼓励学生从函数图像、不等式、方程等多角度思考问题进而把函数、方程、不等式联系起来培养学生不同角度看问题体会数学知识之间的联系提高用不同方法解决问题的能力.[知识拓展]
1.在利用反比例函数解决实际问题时要根据题目的实际意义或物理、化学等学科中的公式建立函数关系式再根据需要进行变形或计算.
2.本节知识用到了转化思想及数学建模思想如将实际问题中的数量关系转化为数学问题中的函数关系.
1.建立反比例函数模型解决跨学科问题的一般步骤:1审题:弄清题意分析问题中的等量关系;2建模:根据等量关系将实际问题转化为数学问题利用反比例函数知识建立数学模型;3解模:根据反比例函数的图像和性质解决问题.
2.在解决实际问题中根据题意写出函数表达式是解决的关键.
3.综合运用函数、方程、不等式及数形结合思想解复杂的实际问题.
1.某村的粮食总产量为aa为常数吨设该村的人均粮食产量为y吨人口数为x则y与x之间的函数关系式的大致图像是下图中的 解析:题中等量关系为:人均粮食产量y×人口数x=粮食总产量a所以y与x之间的函数关系式为y=x0所以该函数为第一象限内的双曲线.故选C.
2.某气球内充满了一定质量的气体当温度不变时气球内气体的气压PkPa是气体体积Vm3的反比例函数其图像如图所示.当气球内的气压大于120kPa时气球将爆炸.为了安全起见气球的体积应 A.不小于m3B.小于m3C.不小于m3D.小于m解析:设球内气体的气压PkPa和气体体积Vm3的关系式为P=∵图像过点
1.660∴k=96即P=.在第一象限内P随V的增大而减小∴当P≤120时V=≥.故选C.
3.矩形的面积是2cm2设长为ycm宽为xcm则y与x之间的函数解析式为 . 解析:根据等量关系:长×宽=面积得xy=2所以y与x之间的函数解析式为y=根据x实际意义x应大于
0.故填y=x
0.
4.二氧化碳的密度ρkg/m3关于其体积Vm3的函数关系式如图所示那么函数关系式是 . 解析:由题意得ρ与V成反比例函数的关系设ρ=根据图像信息可得:当ρ=
0.5时V=
19.8∴k=ρV=
0.5×
19.8=
9.9即可得ρ=.故填ρ=.
5.一辆汽车匀速通过某段公路所需时间th与行驶速度vkm/h满足函数关系:t=其图像为如图所示的一段曲线且端点为A401和Bm
0.
5.1求k和m的值;2若行驶速度不得超过60km/h则汽车通过该路段最少需要多少时间解:1将401代入t=得1=解得k=40∴函数解析式为t=当t=
0.5时
0.5=解得m=80∴k=40m=
80.2令v=60得t=结合函数图像可知汽车通过该路段最少需要小时.
27.3 反比例函数的应用一起探究 反比例函数在实际问题中的应用例题讲解
一、教材作业【必做题】教材第140页习题A组第12题.【选做题】教材第141页习题B组第12题.
二、课后作业【基础巩固】
1.下列各问题中两个变量之间的关系不是反比例关系的是 A.小明完成100m赛跑时时间ts与他跑步的平均速度vm/s之间的关系B.菱形的面积为48cm2时它的两条对角线的长ycm与xcm之间的关系C.一个玻璃容器的体积为30L时所盛液体的质量m与所盛液体的密度ρ之间的关系D.压力为600N时压强P与受力面积S之间的关系
2.一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的某种气体密度ρ单位:kg/m3与体积v单位:m3满足函数关系式ρ=k为常数k≠0其图像如图所示则k的值为 A.9B.-9C.4D.-
43.某同学做物理实验他使用的蓄电池电压为定值电流IA与电阻RΩ的关系如图所示若该电路内的用电器限制电流不得超过8A则此用电器的可变电阻RΩ的范围应为 A.R5B.R5C.R≤5D.R≥
54.某一蓄水池的排水速度vm3/h与排完水池中的水所用的时间th之间的函数关系图像是一支双曲线图像过点
412.则此函数的解析式为 .
5.现有一批赈灾物资从A市运往B市如果两市之间的路程为500km车的速度是xkm/h从A市运往B市所用的时间是yh那么y与x之间的函数解析式是 且y是x的 .
6.实验表明当导线的长度一定时导线的电阻与它的横截面积成反比例一条长为100km的铝导线的电阻RΩ与它的横截面积Scm2的函数关系如图所示那么当S=5cm2时R= Ω.
7.某商场出售一批进价为2元的贺卡在市场营销中发现此商品的日销售单价x单位:元与日销售量y单位:个之间有如下关系:日销售单价x/元3456日销售量y/个201512101根据表中数据试确定y与x之间的函数关系式;2设经营此贺卡的销售利润为W元求出W与x之间的函数关系式.若物价局规定此贺卡的单价最高不能超过10元请你求出当日销售单价x定为多少时才能获得最大日销售利润
8.在某一电路中保持电压不变电流IA与电阻RΩ将如何变化若已知当电阻R=5Ω时电流I=2A.1求I与R之间的关系式;2电阻是8Ω时电流是多少3如果要求电流的最大值为10A那么电阻R的最小值是多少【能力提升】
9.如图所示一块长方体大理石板的ABC三个面上的边长如图所示如果大理石板的A面向下放在地上时地面所受压强为m帕则把大理石板B面向下放在地上时地面所受压强是 m帕.
10.将油箱注满k升油后轿车可行驶的总路程s单位:千米与平均耗油量a单位:升/千米之间是反比例函数关系s=k是常数k≠
0.已知某轿车油箱注满油后以平均耗油量为每千米耗油
0.1升的速度行驶可行驶700千米.1求该轿车可行驶的总路程s与平均耗油量a之间的函数解析式关系式;2当平均耗油量为
0.08升/千米时该轿车可以行驶多少千米【拓展探究】
11.“保护生态环境建设绿色社会”已经从理念变为人们的行动.某化工厂xx年1月的利润为200万元.设xx年1月为第1个月第x个月的利润为y万元.由于排污超标该厂决定从xx年1月底起适当限产并投入资金进行治污改造导致月利润明显下降从1月到5月y与x成反比例.到5月底治污改造工程顺利完工从这时起该厂每月的利润比前一个月增加20万元如图所示.1分别求该化工厂治污期间及治污改造工程完工后y与x之间对应的函数表达式;2治污改造工程完工后经过几个月该厂月利润才能达到xx年1月的水平3当月利润少于100万元时为该厂资金紧张期则该厂资金紧张期共有几个月【答案与解析】
1.C解析:根据各小题中两个变量之间的关系列出函数关系式解析式符合y=的形式即为反比例函数.A中函数关系式为t=是反比例函数正确;B中函数关系式为xy=48即y=是反比例函数正确;C中函数关系式为m=30ρ是正比例函数错误;D中函数关系式为P=是反比例函数正确.故选C.
2.A解析:把点A
61.5代入函数关系式得k=6×
1.5=
9.故选A.
3.D解析:由物理知识可知:I=由于过点410故U=40当I≤8时R≥
5.故选D.
4.v=解析:设函数解析式为v=把412代入函数解析式得k=4×12=48所以所求的函数解析式为v=.故填v=.
5.y= 反比例函数解析:根据路程=速度×时间得xy=500所以y=y是x的反比例函数.故填y=反比例函数.
6.解析:根据图像可得该图像经过点129所以R=当S=5cm2时R=Ω.故填.
7.解:1y=x
0. 2W=x-2y=-+60因为x≤10所以当x=10时获得最大日销售利润48元.
8.解:1由物理知识知U=IR∵R=5I=2∴U=5×2=10∴I与R的关系式为I=R
0. 2当R=8时I==
1.25A. 3当I=10A时R==1Ω∴电阻的最小值为1Ω.
9.3解析:设大理石板重力为F由图可知A面的面积=3×6=18则F=P·S=18m因为B面的面积=1×6=6所以此时的压强值P==3m帕.故填
3.
10.解:1由题意得a=
0.1时s=700代入反比例函数关系s=中解得k=sa=70所以函数关系式为s=. 2将a=
0.08代入s=得s==875千米故该轿车可以行驶875千米.
11.解:1设反比例函数为y=则=200解得k=200∴反比例函数为y=x≤
5.当x=5时y=40设改造工程完工后函数解析式为y=20x+b则20×5+b=40解得b=-60∴改造工程完工后函数解析式为y=20x-
60. 2当y=200时20x-60=200解得x=
13.13-5=
8.∴经过8个月该厂利润才能达到200万元.3当y=100时=100解得x=2;20x-60=100解得x=
8.∴资金紧张期共有8-2-1=5个月.本节课是用反比例函数性质解决实际问题课堂上学生可以体会到数学应用于生活中多个领域在教学过程中教师引导学生层层深入思考由浅入深思考问题然后小组合作交流共同探究建立函数模型解决与反比例函数有关的实际问题然后归纳总结解决这类实际问题的一般步骤学生亲身经历知识的形成过程提高了分析问题、解决问题的能力提升了数学思维.对于跨学科的教材例题教师大胆放手让学生由其他学科的公式中确定反比例函数解析式解决生活中熟悉的实际问题激发了学生的学习兴趣课堂气氛活跃在探究过程中培养学生的自学能力和学习习惯教会他们怎样学习怎样思考从而使教学工作收到事半功倍的效果.本节课的重点是建立函数模型应用反比例函数解决生活实际中的问题进一步培养数学应用意识在课堂上教师为了提高学生的分析能力教师设计了多个问题供学生思考回答给学生自主探究的空间较小在课堂上教师应该大胆放手让学生主动探索、讨论寻求问题解决的途径尤其是学生探索过程中出现困难时教师不能急于引导解决应注意给学生更为广阔的思维空间.本节课的主要内容是应用反比例函数解决实际问题让学生经历“问题情境——建立反比例函数模型——解决实际问题”的过程体会数学的价值增强学好数学的信心在教学设计中以学生自主探究、小组合作交流为主力争充分体现学生的主体地位发挥教师的主导作用.在课堂上从生活实例出发渗透建模思想培养学生用数学的眼光去观察和分析实际问题用数形结合思想解决和反比例函数有关的实际问题提高学生的学习兴趣.练习教材第140页
1.提示:1y=x
0. 2200天. 34度.
2.提示:1p=S
0. 2略. 3这个物体对地面的压强分别约是1042Pa2083Pa4167Pa.习题教材第140页A组
1.解:1V=. 2当t4时V=
12.答:每小时至少排水12立方米. 3当V=16时t==
3.答:最少用3小时可将满池水全部排空.
2.解:1设P=由其图像过点A6020可得20=解得W=1200所以P=t
0. 2当t=2400s时P==
0.5W. 3当P=8000W时t==
0.15s.B组
1.解:1I=. 2当R=176Ω时I=
1.25A.3R=≈
366.7Ω. 4电阻减小.
2.解:1p=S
0. 2当S=5×10-2m2时p==1xxPa. 3当S=1m2时p==600Pa. 4压强与受力面积成反比.在压力一定的情况下工人师傅垫上木板后增大地面的受力面积从而减小了压强这样地面就不容易被破坏了.复习题教材第143页A组
1.解:12是反比例函数.
2.解:∵x=1时y=-=-≠∴点A不在该函数图像上;∵x=-1时y=-∴点B在该函数图像上;∵x=时y=-=-1∴点C在该函数图像上;∵x=0时y无意义∴点D不在该函数图像上.
3.解:1第
一、三象限. 2第
二、四象限. 3第
二、四象限.
4.解:
3.
5.解:把x=-3y=-4代入y=中得-4=解得k=12∴反比例函数的表达式为y=.
6.解:∵当x1x20时y1y2∴32m0解得m
0.
7.解:1∵I与R之间为反比例函数关系∴设I=.把I=6R=1代入函数表达式中得6=解得m=
6.∴函数表达式为I=其图像如图所示. 2当R=5Ω时I==
1.2A.
8.解:1根据长方体的体积等于底面积×高得h=. 2函数图像略.B组
1.解:1∵点-2a在函数y=-2x的图像上∴a=-2×-2=
4. 2把点-24代入y=中得4=解得k=-
8.∴反比例函数表达式为y=-.
2.解:因为反比例函数y=和一次函数y=3x+b的图像都经过点A23所以3=3=3×2+b解得k=6b=-3所以反比例函数和一次函数的表达式分别为y=y=3x-
3.
3.解:∵一次函数的值随x的值增大而减小∴k
0.则函数y=kx与y=的图像均位于第
二、四象限对照各图可知是第2个图像.C组
1.解:设M点的横坐标为m则其纵坐标为即点M.∵点MN关于原点对称∴点N.∴点P则MP=-NP=m--m=2m.∴S△MNP=MP·NP=·2m·=
2.
2.解:1根据题意得解得或∴点A-24B4-2或A4-2B-
24. 2如图所示设直线y=-x+2交y轴于C点则点C
02.∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=×2×2+×2×4=2+4=
6.建立函数模型解决实际问题
1.反比例函数是描述现实世界变量之间关系的重要模型运用反比例函数可以解决许多实际问题本节课的主要内容是建立数学模型应用反比例函数的概念、图像和性质等知识解决有关实际问题教学设计中通过探究学生熟悉的行程问题例题示范跨学科问题让学生进一步加深对反比例函数的运用和理解更深层次体会建模的数学思想让学生经历“问题情境——建立反比例函数模型——解决实际问题”的过程体现反比例函数是解决实际问题的有效数学工具体会数学的价值增强学好数学的信心.
2.本节课的难点是用反比例函数表示变量之间的关系建立函数模型把实际问题转化为数学问题加以解决通过思考教师设计的问题小组合作交流共同探究的学习方式逐层分散难点同时培养了学生与他人合作的能力活跃了课堂提高了用数学解决问题的能力.在本节课解决的实际问题中涉及数量之间的不等关系引导学生从不等式、函数图像、方程等多个角度思考问题渗透数形结合思想进一步理解实际问题与数学中多方面知识之间的联系在探究过程中教师多关注学生数学思想的培养从而达到提高学生分析问题、解决问题的能力和应用数学的意识. xx·青岛中考把一个长、宽、高分别为3cm2cm1cm的长方体铜块铸成一个圆柱体铜块则该圆柱体铜块的底面积Scm2与高hcm之间的函数关系式为 . 〔解析〕 根据题意可得长方体的体积与圆柱体的体积相等则圆柱体的体积=长方体的体积=3×2×1=6cm3即Sh=6则S=.故填S=. xx·衡阳中考某药品研究所开发一种抗菌新药经多年动物实验首次用于临床人体实验测得成人服药后血液中药物浓度y微克/毫升与服药时间x小时之间的函数关系如图所示当4≤x≤10时y与x成反比例.1根据图像分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y与x之间的函数关系式;2血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为多少小时〔解析〕 1根据图像利用待定系数法抓住关键点48分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y与x的函数表达式;2令y≥4解不等式组可得x的范围从而得到持续时间.解:1由图像可知当0≤x4时y与x成正比例关系设y=kx.由图像可知当x=4时y=8∴4k=8解得k=
2.∴y=2x0≤x
4.又由题意可知当4≤x≤10时y与x成反比例设y=.由图像可知当x=4时y=8∴m=4×8=
32. ∴y=4≤x≤
10.即血液中药物浓度上升阶段y=2x0≤x4;血液中药物浓度下降阶段y=4≤x≤
10.2血液中药物浓度不低于4微克/毫升即y≥4∴2x≥4且≥4解得x≥2且x≤
8.∴2≤x≤8即持续时间为6小时.
1.理解反比例函数的概念会根据反比例函数定义求字母的值.
2.掌握反比例函数y=的图像和性质并能根据图像和性质解决一些简单问题.
3.理解反比例函数y=中比例系数k的几何意义.
4.会用待定系数法求反比例函数解析式能解决反比例函数与一次函数等其他函数的综合问题.
5.能够根据具体实际问题情景建立反比例函数的数学模型并能与其他学科结合解决有关反比例函数的实际问题.
1.通过学习反比例函数进一步体会数形结合思想在数学中的应用.
2.通过探究反比例函数解决实际问题体会建模思想和数学知识的现实意义提高分析问题、解决问题的能力培养数学应用意识.
1.通过学习反比例函数有关知识进一步理解变量和变量之间的辩证关系体验数学来源于生活又应用于生活提高应用数学的意识.
2.通过分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的反比例函数关系获得用数学方法解决实际问题的经验感受数学模型在实际问题中的应用价值.【重点】 反比例函数的图像与性质待定系数法求函数解析式反比例函数与一次函数等函数的综合运用利用反比例函数解决实际问题.【难点】 反比例函数与一次函数等函数的综合运用;建立反比例函数模型解决实际问题.专题一 反比例函数y=k≠0的概念【专题分析】反比例函数y=k≠0右边是分式形式x的指数是-1分母是x的单项式反比例函数一共有三种形式:y=k≠0xy=kk≠0y=kx-1k≠0根据反比例函数的三种形式可以判断一个函数是不是反比例函数或求反比例函数解析式中字母的值. 若函数y=m+1是反比例函数则m的值是 . 〔解析〕 根据反比例函数的概念可得解得即m=1则m的值是
1.故填
1.[规律方法] 判断一个函数是不是反比例函数首先观察是否符合y=或xy=k或y=kx-1k为常数且k≠0的形式.若待定系数出现在y=或xy=k中则满足k≠0且x的指数是1;若待定系数出现在y=kx-1中则满足k≠0且x的指数是-
1.【针对训练1】 若函数y=m-2x|m|-3是反比例函数则m的值是 . 〔解析〕 根据题意可得解得即m=-2则m的值是-
2.故填-
2.[易错提示] 反比例函数概念中易忽略考虑比例系数k≠
0.专题二 反比例函数y=k≠0的图像与性质【专题分析】反比例函数的图像和性质是本章的重点也是中考考查的重要知识点之一反比例函数图像的位置及增减性由比例系数k的符号决定反过来由反比例函数图像的位置及增减性也可以判断k的符号.解决和反比例函数性质有关的问题常应用数形结合思想通过观察反比例函数的图像来解决. 已知点-1y12y23y3在反比例函数y=的图像上试确定y1y2y3的大小关系.〔解析〕 因为y=是反比例函数且无论k为何值时-k2-10所以图像在第
二、四象限且在每个象限内y随x的增大而增大并且第二象限的y值大于第四象限的y值.因为点-1y1在第二象限点2y23y3在第四象限所以y1最大y2最小.解:∵-k2-10∴图像在第
二、四象限且在每个象限内y随x的增大而增大∵点-1y1在第二象限∴y10∵点2y23y3在第四象限且23∴y2y30∴y2y3y
1.[解题策略] 利用数形结合思想解决反比例函数图形和性质有关问题根据反比例函数解析式中k的符号确定函数图像所在象限及函数的增减性根据图像确定函数值的大小. 【针对训练2】 xx·武汉中考在反比例函数y=图像上有两点Ax1y1Bx2y2x10x2y1y2则m的取值范围是 A.mB.mC.m≥D.m≤〔解析〕 x10x2时y1y2说明反比例函数图像位于第
一、三象限故1-3m0所以m.故选B.[易错警示] 对于x10x2时y1y2部分学生易误认为y随x增大而增大故错误地得出1-3m
0.考虑反比例函数增减性要在同一个分支上x10x2说明点AB不在同一个分支上故不能利用增减性来解答. xx·兰州中考如图所示AB-12是一次函数y1=ax+b与反比例函数y2=图像的两个交点AC⊥x轴于点CBD⊥y轴于点D.1根据图像直接回答:在第二象限内当x取何值时y1-y202求一次函数解析式及m的值;3P是线段AB上一点连接PCPD若△PCA和△PDB面积相等求点P的坐标.〔解析〕 1观察图像可得直线在双曲线上方对应的x的值为-4x-1;2待定系数法求两个函数的表达式;3设P点坐标为根据△PCA和△PDB面积相等列方程求t的值可得点P的坐标.解:1当-4x-1时y1-y
20.2把AB-12代入y=ax+b得解得所以一次函数解析式为y=x+.把B-12代入y=得m=-1×2=-
2.3设P点坐标为.∵△PCA和△PDB面积相等∴×t+4=×1×解得t=-∴P点坐标为.[解题关键] 该题考查了反比例函数、一次函数及三角形面积的综合待定系数法求函数解析式应用数形结合思想和方程思想是解函数和几何的综合题的关键.【针对训练3】 xx·武威中考如图1所示在平面直角坐标系中菱形ABCD的顶点C与原点O重合点B在y轴的正半轴上点A在反比例函数y=k0x0的图像上点D的坐标为
43.1求k的值;2若将菱形ABCD沿x轴正方向平移当菱形的顶点D落在函数y=k0x0的图像上时求菱形ABCD沿x轴正方向平移的距离.〔解析〕 1过点D作x轴的垂线垂足为F首先得出A点坐标再利用反比例函数图像上点的坐标性质即可得出k的值;2将菱形ABCD沿x轴正方向平移使得点D落在函数y=x0的图像D点处得出点D的纵坐标为3求出其横坐标进而得出菱形ABCD平移的距离.解:1如图2所示过点D作x轴的垂线垂足为F∵点D的坐标为43∴OF=4DF=3∴OD=5∴AD=5∴点A的坐标为48∴k=xy=4×8=
32.2将菱形ABCD沿x轴正方向平移使得点D落在函数y=x0的图像D点处过点D做x轴的垂线垂足为F.∵DF=3∴DF=3∴点D的纵坐标为3∵点D在y=的图像上∴3=解得x=即OF=∴FF=-4=∴菱形ABCD平移的距离为.专题三 反比例函数中比例系数k的几何意义【专题分析】反比例函数中比例系数k的几何意义是各地区中考查的重要知识点之一和反比例函数有关的面积计算题目常常与比例系数k的几何意义紧密联系直接求解或用割补法通过转化为和比例系数有关的图形面积求解. 如图所示函数y=-x与函数y=-的图像相交于AB两点过AB两点分别作y轴的垂线垂足分别为点CD.则四边形ACBD的面积为 A.2B.4C.6D.8〔解析〕 根据比例系数k的几何意义得S△AOC=S△ODB=|k|=2再根据反比例函数的对称性可知:OC=ODAC=BD∴S△AOC=S△ODA=S△ODB=S△OBC=2∴四边形ACBD的面积为:S△AOC+S△ODA+S△ODB+S△OBC=4×2=
8.故选D.[方法归纳] 掌握反比例函数比例系数k的几何意义即在反比例函数y=的图像中任取一点过这一个点向x轴和y轴分别作垂线与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|.连接原点和这个点所得的两个直角三角形的面积为|k|.【针对训练4】 xx·兰州中考如图所示点PQ是反比例函数y=图像上的两点PA⊥y轴于点AQN⊥x轴于点N作PM⊥x轴于点MQB⊥y轴于点B连接PBQM△ABP的面积记为S1△QMN的面积记为S2则S1 S
2.填“”“”或“=” 〔解析〕 因为点PQ是反比例函数y=图像上的两点所以S矩形AOMP=S矩形BONQ=k设PMBQ的交点为H所以S矩形AOMP-S矩形BOMH=S矩形BONQ-S矩形BOMH即S矩形ABHP=S矩形MNQH又因为S1=S矩形ABHPS2=S矩形MNQH所以S1=S
2.故填=.专题四 反比例函数与一次函数的综合运用【专题分析】主要考查反比例函数与一次函数的概念、图像、性质及待定系数法求函数解析式根据函数图像确定比例系数或变量的取值范围或与几何图形结合综合考查函数与几何知识之间的联系. 如图所示直线y=mx与双曲线y=相交于AB两点A点的坐标为
12.1求反比例函数的表达式;2根据图像直接写出当mx时x的取值范围;3计算线段AB的长.〔解析〕 1把A的坐标代入反比例函数的解析式即可求出答案;2求出直线的解析式解组成的方程组求出B的坐标根据AB的坐标结合图像即可得出答案;3根据AB的坐标利用勾股定理分别求出OAOB即可得出答案.解:1把A12代入y=得k=2即反比例函数的表达式是y=.2把A12代入y=mx得m=2即直线的解析式是y=2x解方程组得出B点的坐标是-1-2∴当mx时x的取值范围是-1x0或x
1.3过A作AC⊥x轴于C∵A12∴AC=2OC=1由勾股定理得AO=∴AB=2OA=
2.[解题策略] 先用待定系数法求函数解析式然后联立反比例函数与一次函数解析式组成方程组方程组的解就是函数图像的交点坐标.数形结合思想是解决函数图像问题常用的方法.【针对训练5】 如图所示一次函数y1=kx+b的图像与反比例函数y2=的图像相交于点A25和点B与y轴相交于点C
07.1求这两个函数的解析式;2当x取何值时y1y
2.〔解析〕 1待定系数法求出两个函数的解析式;2观察函数图像直线在双曲线下方部分对应的自变量x的值即为所求的x的范围.解:1将点2507代入一次函数解析式得解得∴一次函数解析式为y=-x+
7.将点25代入反比例函数解析式得5=∴k=10∴反比例函数解析式为y=.2由题意得解得或∴点B的坐标为52当0x2或x5时y1y
2.[解题策略] 此类题先利用图像确定k的符号由k的几何意义求出k的值再利用图像相交联立方程组求出两函数图像交点坐标.最后用数形结合思想求出和函数解析式有关的不等式的解集.专题五 反比例函数的实际应用【专题分析】生产或生活中许多问题与反比例函数有关根据题意建立函数模型转化为数学问题由实际问题中的数量关系建立反比例函数关系式再用反比例函数的性质来解决该问题. 工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个工序即需要将材料烧到800℃然后停止煅烧进行锻造操作经过8min时材料温度降为600℃.煅烧时温度y℃与时间xmin成一次函数关系;锻造时温度y℃与时间xmin成反比例函数关系如图所示.已知该材料初始温度是32℃.1分别求出材料煅烧和锻造时y与x的函数关系式并且写出自变量x的取值范围;2根据工艺要求当材料温度低于480℃时须停止操作.那么锻造的操作时间有多长〔解析〕 1首先根据题意材料加热时温度y与时间x成一次函数关系;停止加热进行操作时温度y与时间x成反比例关系;将题中数据代入用待定系数法可得两个函数的关系式;2把y=480代入y=中进一步求解可得答案.解:1停止加热时设y=k≠0由题意得600=解得k=4800当y=800时=800解得x=6∴点B的坐标为
6800.材料加热时设y=ax+32a≠0由题意得800=6a+32解得a=128∴材料加热时y与x的函数关系式为y=128x+320≤x≤
6.∴停止加热进行操作时y与x的函数关系式为y=6x≤
150.2把y=480代入y=得x=1010-6=4分.答:锻造的操作时间为4分钟.[解题策略] 利用函数图像研究数量之间的关系是数形结合思想的具体运用在解决有关函数问题时起着重要的作用.【针对训练6】 我市某蔬菜生产基地在气温较低时用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18℃的条件下生长最快的新品种.图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后大棚内温度y℃随时间x小时变化的函数图像其中BC段是双曲线y=的一部分.请根据图中信息解答下列问题:1恒温系统在这天保持大棚内温度18℃的时间有多少小时2求k的值;3当x=16时大棚内的温度约为多少度〔解析〕 1观察图像可得2至12时大棚温度为18℃所以保持大棚温度18℃的时间为10小时;2待定系数法可求得k的值;3把x=16代入函数表达式可得大棚内的温度.解:1恒温系统在这天保持大棚温度18℃的时间为10小时.2∵点B1218在双曲线y=上∴18=解得k=
216.3当x=16时y==
13.5所以当x=16时大棚内的温度约为
13.5℃.本章质量评估时间:90分钟 满分:120分
一、选择题第1~6小题每小题2分第7~16小题每小题3分共42分
1.下列函数中y是x的反比例函数的是 A.y=B.y=C.xy=8D.y=+
52.已知反比例函数y=k≠0的图像经过点23若点1n在反比例函数的图像上则n等于 A.6B.3C.2D.
3.当x0时四个函数:y=-xy=2x+1y=-y=.其中y随x的增大而增大的有 A.1个B.2个C.3个D.4个
4.当x0时函数y=-的图像在 A.第四象限B.第三象限C.第二象限D.第一象限
5.关于反比例函数y=的图像下列说法正确的是 A.必经过点11B.两个分支分布在第
二、四象限C.两个分支关于x轴成轴对称D.两个分支关于原点成中心对称
6.如图1所示正比例函数y1与反比例函数y2相交于点E-12若y1y20则x的取值范围在数轴上表示如图2所示正确的是
7.已知反比例函数y=当1x2时y的取值范围是 A.0y5B.1y2C.5y10D.y
108.如图所示一次函数y1=k1x+b的图像和反比例函数y2=的图像交于A12B-2-1两点若y1y2则x的取值范围是 A.x1B.x-2C.-2x0或x1D.x-2或0x
19.已知一次函数y=kx+b的图像如图1所示那么正比例函数y=kx和反比例函数y=在同一坐标系中的图像大致是图2中的
10.三角形的面积一定则它的底边a上的高h与底边a之间的函数关系的图像大致是下图中的
11.xx·青岛中考如图所示正比例函数y1=k1x的图像与反比例函数y2=的图像相交于AB两点其中点A的横坐标为2当y1y2时x的取值范围是 A.x-2或x2B.x-2或0x2C.-2x0或0x2D.-2x0或x
212.已知反比例函数y=a≠0的图像在每个象限内y的值随x值的增大而减小则一次函数y=-ax+a的图像不经过 A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
13.如图所示在同一平面直角坐标系中函数y=mx+m与y=m≠0的图像可能是
14.如图所示AB两点在双曲线y=上分别经过AB两点向轴作垂线段已知S阴影=1则S1+S2等于 A.3B.4C.5D.
615.xx·鄂州中考如图所示直线y=x-2与y轴交于点C与x轴交于点B与反比例函数y=的图像在第一象限交于点A连接OA若S△AOB∶S△BOC=1∶2则k的值为 A.2B.3C.4D.
616.xx·内江中考如图所示正方形ABCD位于第一象限边长为3点A在直线y=x上点A的横坐标为1正方形ABCD的边分别平行于x轴y轴.若双曲线y=与正方形ABCD有公共点则k的取值范围为 A.1k9B.2≤k≤34C.1≤k≤16D.4≤k16
二、填空题每小题3分共12分
17.反比例函数y=m-2x2m+1的函数值为时自变量x的值是 .
18.xx·河南中考如图所示直线y=kx与双曲线y=x0交于点A1a则k= .
19.xx·潍坊中考如图所示若正比例函数y1=mxm0的图像与反比例函数y2=k≠0的图像交于点An4和点BAM⊥y轴垂足为M.若△AMB的面积为8则满足y1y2的实数x的取值范围是 .
20.如图所示函数y=和y=-的图像分别是l1和l
2.设点P在l1上PC⊥x轴垂足为C交l2于点APD⊥y轴垂足为D交l2于点B则三角形PAB的面积为 .
三、解答题共66分
21.9分已知y=y1-y2y1与x成反比例y2与x-2成正比例当x=3时y=5;x=1时y=-
1.求y与x之间的函数表达式.
22.10分已知反比例函数y=k为常数k≠0的图像经过点A
23.1求这个函数的表达式;2判断点B-16C32是否在这个函数的图像上并说明理由;3当-3x-1时求y的取值范围.
23.10分[xx·岳阳中考]如图所示直线y=x+b与双曲线y=都经过点A23直线y=x+b与x轴、y轴分别交于BC两点.1求直线和双曲线的函数表达式;2求△AOB的面积.
24.11分如图所示点Am6Bn1在反比例函数图像上AD⊥x轴于点DBC⊥x轴于点CDC=
5.1求mn的值并写出反比例函数的表达式;2连接AB在线段DC上是否存在一点E使△ABE的面积等于5若存在求出点E的坐标;若不存在请说明理由.
25.12分如图所示点B33在双曲线y=x0上点D在双曲线y=-x0上点A和点C分别在x轴y轴的正半轴上且点ABCD构成的四边形为正方形.1求k的值;2求点A的坐标.
26.14分某厂从2011年起开始投入技术改进资金经技术改进后其产品的生产成本不断降低具体数据如下表:年度2011xxxxxx投入技改资金x万元
2.
5344.5产品成本y万元/件
7.
264.541请你认真分析表中数据从你所学习过的一次函数和反比例函数中确定哪种函数能表示其变化规律说明确定是这种函数而不是其他函数的理由并求出它的解析式;2按照这种变化规律若xx年已投入技改资金5万元.
①预计生产成本每件比xx年降低多少万元
②如果打算在xx年把每件产品成本降低到
3.2万元则还需投入技改资金多少万元结果精确到
0.01万元【答案与解析】
1.C解析:只有C符合反比例函数的定义.故选C.
2.A解析:把23代入y=得k=6所以该函数表达式为y=当x=1时n=
6.故选A.
3.B解析:正比例函数y=-x中y随x的增大而减小;一次函数y=2x+1中y随x的增大而增大;反比例函数y=-中k0x0时y随x的增大而增大;反比例函数y=中k0x0时y随x的增大而减小.故选B.
4.A解析:∵反比例函数y=-中k=-50∴此函数的图像位于第
二、四象限∵x0∴函数的图像位于第四象限.故选A.
5.D解析:当x=1时y=4故A错误;因为k=40所以双曲线在第
一、三象限故B错误;双曲线的两支关于原点对称故C错误D正确.故选D.
6.A解析:∵正比例函数y1与反比例函数y2相交于点E-12∴根据图像可知当y1y20时x的取值范围是x-
1.故选A.
7.C解析:∵反比例函数y=中当x=1时y=10当x=2时y=5∴当1x2时y的取值范围是5y
10.故选C.
8.D解析:一次函数图像位于反比例函数图像的下方时y1y2观察图像此时x-2或0x
1.故选D.
9.C解析:∵一次函数y=kx+b的图像经过第
一、
三、四象限∴k0b
0.∴正比例函数y=kx的图像经过第
一、三象限反比例函数y=的图像经过第
二、四象限.综上所述符合条件的图像是C选项.故选C.
10.D解析:设三角形的面积为S由S=ah得h=且a
0.故选D.
11.D解析:观察函数图像直线和双曲线的交点B的横坐标为-2根据图像可得当正比例函数的函数值大于反比例函数的函数值时x2或-2x
0.故选D.
12.C解析:因为在每个象限内y的值随x值的增大而减小所以a0所以-a0所以该一次函数不经过第三象限.故选C.
13.A解析:A:由函数y=mx+m的图像可知m0由函数y=的图像可知m0故本选项正确;B:由函数y=mx+m的图像可知m0由函数y=的图像可知m0相矛盾故本选项错误;C:由函数y=mx+m的图像y随x的增大而减小则m0而该直线与y轴交于正半轴则m0相矛盾故本选项错误;D:由函数y=mx+m的图像y随x的增大而增大则m0而该直线与y轴交于负半轴则m0相矛盾故本选项错误.故选A.
14.D解析:∵点AB是双曲线y=上的点分别经过AB两点向x轴、y轴作垂线段则根据反比例函数的图像的性质得两个矩形的面积都等于|k|=4∴S1+S2=4+4-1×2=
6.故选D.
15.B解析:如图所示过A作AD⊥y轴AE⊥x轴∵S△AOB∶S△BOC=1∶2∴S△AOC∶S△BOC=3∶2∴AD∶OB=3∶2令y=0即x-2=0得x=2即AD=3把AD=3代入y=x-2得y=1即AE=1∴k=AD×AE=3×1=
3.故选B.
16.C解析:点A在直线y=x上其中A点的横坐标为1把x=1代入y=x解得y=1则A的坐标是11∵AB=BC=3∴C点的坐标是44∴当双曲线y=经过点11时k=1;当双曲线y=经过点44时k=16因而1≤k≤
16.故选C.
17.-9解析:∵y=m-2x2m+1是反比例函数则有2m+1=-1解得m=-1因而函数表达式是y=-当函数值为即-时解得x=-
9.故自变量x的值是-
9.
18.2解析:把点A坐标1a代入y=得a==2∴点A的坐标为12再把点A12代入y=kx中得k=
2.故填
2.
19.-2x0或x2解析:∵正比例函数y1=mxm0的图像与反比例函数y2=k≠0的图像交于点An4和点B∴B-n-
4.∵△AMB的面积为8∴×4n×2=8解得n=2∴A24B-2-
4.由图形可知当-2x0或x2时正比例函数y1=mxm0的图像在反比例函数y2=k≠0图像的上方即y1y
2.故填-2x0或x
2.
20.8解析:∵点P在y=上∴|xp|×|yp|=|k|=1∴设P的坐标是a为正数∵PA⊥x轴∴A的横坐标是a∵A在y=-上∴A的坐标是∵PB⊥y轴∴B的纵坐标是∵B在y=-上∴=-解得x=-3a∴B的坐标是∴PA=-=PB=|a--3a|=4a∵PA⊥x轴PB⊥y轴x轴⊥y轴∴PA⊥PB∴△PAB的面积=PA×PB=×4a=
8.
21.解:因为y1与x成反比例y2与x-2成正比例故可设y1=y2=k2x-2因为y=y1-y2所以y=-k2x-2把当x=3时y=5;x=1时y=-1代入得解得再代入y=-k2x-2得y=+4x-
8.
22.解:1∵反比例函数y=k为常数k≠0的图像经过点A23∴把点A的坐标代入表达式得3=解得k=
6.∴这个函数的表达式为y=. 2∵反比例函数表达式为y=∴6=xy.分别把点BC的坐标代入得-1×6=-6≠6则点B不在该函数图像上;3×2=6则点C在该函数图像上. 3∵k0∴当x0时y随x的增大而减小.∵当x=-3时y=-2当x=-1时y=-6∴当-3x-1时-6y-
2.
23.解:1∵直线y=x+b与双曲线y=都经过点A23∴3=2+b3=∴b=1k=6∴直线的函数表达式为y=x+1双曲线的函数表达式为y=. 2当y=0时0=x+1∴x=-1∴B-10∴OB=
1.如图所示作AE⊥x轴于点E∵A23∴AE=
3.∴S△AOB=.
24.解:1由题意得解得∴A16B61设反比例函数表达式为y=将A16代入得k=6则反比例函数的表达式为y=. 2存在如图所示设Ex0则DE=x-1CE=6-x∵AD⊥x轴BC⊥x轴∴∠ADE=∠BCE=90°连接AEBE则S△ABE=S四边形ABCD-S△ADE-S△BCE=BC+AD·DC-DE·AD-CE·BC=×1+6×5-x-1×6-6-x×1=-x=5解得x=5则E
50.
25.解:1∵点B33在双曲线y=上∴k=3×3=
9. 2过D作DM⊥x轴于M过B作BN⊥x轴于N∵B33∴BN=ON=3设MD=aOM=b∵D在双曲线y=-x0上∴-ab=-4即ab=4∵四边形ABCD是正方形∴∠DAB=90°AD=AB∵∠MDA+∠DAM=90°∠DAM+∠BAN=90°∴∠ADM=∠BAN∴△ADM≌△BANAAS∴BN=AM=3MD=AN=a∴OA=3-a即AM=b+3-a=3a=b∵ab=4∴a=b=2∴OA=3-2=1即点A的坐标为
10.
26.解:1设其为一次函数表达式为y=kx+b当x=
2.5时y=
7.2;当x=3时y=
6.则解得k=-
2.4b=
13.
2.∴一次函数表达式为y=-
2.4x+
13.
2.把x=4时y=
4.5代入此函数表达式左边≠右边.∴其不是一次函数.设其为反比例函数表达式为y=.当x=
2.5时y=
7.2可得
7.2=解得k=18∴反比例函数是y=.验证:当x=3时y==6符合反比例函数.同理可验证x=4时y=
4.5x=
4.5时y=4成立.可用反比例函数y=表示其变化规律. 2
①当x=5时y=
3.
6.4-
3.6=
0.4万元∴生产成本每件比xx年降低
0.4万元.
②当y=
3.2时
3.2=.∴x=
5.
625.
5.625-5≈
0.63万元.∴还需投入约
0.63万元.。