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2019-2020年高三上学期月考数学试卷
(2)含解析
一、选择题本大题共12小题,每小题5分,共计60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,请把正确答案的代号填在答题卡上.1.已知全集为R,集合A={x|x2>1},B={x|log2x>0},则下列关系正确的是( )A.A∪B=RB.A∪(∁UB)=RC.(∁UA)∪B=RD.A∩B=A2.已知等差数列{an}中,a7+a9=16,S11=,则a12的值是( )A.15B.30C.31D.643.已知复数z=a+bi(a、b∈R),是z的共轭复数,且,则a、b的值分别为( )A.7,1B.6,﹣1C.7,﹣1D.6,14.(﹣)10式中含x正整数指数幂的项数是( )A.0B.2C.4D.65.由幂函数y=和幂函数y=x3图象围成的封闭图形面积为( )A.B.C.D.6.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,则“a=2bcosC”是“△ABC是等腰三角形”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.设m,n分别是先后抛掷一枚骰子所得到的点数,则在先后两次出现的点数中有5的情况下,方程x2+mx+n=0有实根的概率是( )A.B.C.D.8.算法如图,若输入m=210,n=117,则输出的n为( )A.2B.3C.7D.119.定义F(x,y)=yx(x>0,y>0),已知数列{an}满足an=(n∈N*),若对任意正整数n,都有an≥ak(k∈N*)成立,则ak的值为( )A.B.2C.D.10.如图,正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为,以顶点A为球心,2为半径作一个球,则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和等于( )A.B.C.πD.11.已知f(x)=2x﹣1,g(x)=1﹣x2,规定当|f(x)|≥g(x)时,h(x)=|f(x)|;当|f(x)|<g(x)时,h(x)=﹣g(x),则h(x)( )A.有最小值﹣1,最大值1B.有最大值1,无最小值C.有最小值﹣1,无最大值D.有最大值﹣1,无最小值12.已知双曲线﹣=1(a>0,b>0)上一点C,过双曲线中心的直线交双曲线于A,B两点,记直线AC,BC的斜率分别为k1,k2,当+ln|k1|+ln|k2|最小时,双曲线离心率为( )A.B.C.+1D.2
二、填空题把答案填在答题卡相应题号后的横线上(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知映射f A→B,其中A=[0,1],B=R,对应法则是,对于实数k∈B,在集合A中不存在原象,则k的取值范围是 .14.把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起,形成三棱锥C﹣ABD,它的主视图与俯视图如图所示,则二面角C﹣AB﹣D的正切值为 .15.如图,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,AD⊥AB,AD=DC=2,AB=3,点M是梯形ABCD内(包括边界)的一个动点,点N是CD边的中点,则的最大值是 .16.如果定义在R上的函数f(x)对任意两个不等的实数x1,x2都有x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1),则称函数f(x)为“Z函数”给出函数
①y=﹣x3+1,
②y=3x﹣2sinx﹣2cosx
③y=
④y=.以上函数为“Z函数”的序号为 .
三、解答题本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.若f(x)=ax﹣sinaxcosax(a>0)的图象与直线y=m(m>0)相切,并且切点横坐标依次成公差为π的等差数列.
(1)求a和m的值;
(2)△ABC中a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边.若(,)是函数f(x)图象的一个对称中心,且a=4,求△ABC面积的最大值.18.某高校在xx年自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩,按成绩分组第1组[75,80),第2组[80,85),第3组[85,90),第4组[90,95),第5组[95,100]得到的频率分布直方图如图所示.
(1)分别求第3,4,5组的频率;
(2)若该校决定在笔试成绩较高的第3,4,5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试,(ⅰ)已知学生甲和学生乙的成绩均在第三组,求学生甲和学生乙恰有一人进入第二轮面试的概率;(ⅱ)学校决定在这已抽取到的6名学生中随机抽取2名学生接受考官L的面试,设第4组中有ξ名学生被考官L面试,求ξ的分布列和数学期望.19.如图,四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为平行四边形,AB=2AD=2,BD=,PD⊥底面ABCD.
(1)证明平面PBC⊥平面PBD;
(2)若二面角P﹣BC﹣D为,求AP与平面PBC所成角的正弦值.20.在平面直角坐标系中,已知点,向量,点B为直线上的动点,点C满足,点M满足.
(1)试求动点M的轨迹E的方程;
(2)设点P是轨迹E上的动点,点R、N在y轴上,圆(x﹣1)2+y2=1内切于△PRN,求△PRN的面积的最小值.21.设函数f(x)=alnx,g(x)=x2.
(1)记g′(x)为g(x)的导函数,若不等式f(x)+2g′(x)≤(a+3)x﹣g(x)在x∈[1,e]上有解,求实数a的取值范围;
(2)若a=1,对任意的x1>x2>0,不等式m[g(x1)﹣g(x2)]>x1f(x1)﹣x2f(x2)恒成立.求m(m∈Z,m≤1)的值. xx学年河北省邯郸一中高三(上)月考数学试卷
(2)参考答案与试题解析
一、选择题本大题共12小题,每小题5分,共计60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,请把正确答案的代号填在答题卡上.1.已知全集为R,集合A={x|x2>1},B={x|log2x>0},则下列关系正确的是( )A.A∪B=RB.A∪(∁UB)=RC.(∁UA)∪B=RD.A∩B=A【考点】交、并、补集的混合运算.【分析】求出A与B中不等式的解集确定出A与B,求出各项的结果,即可做出判断.【解答】解由A中不等式解得x>1或x<﹣1,即A={x|x>1或x<﹣1},由B中不等式变形得log2x>0=log21,得到x>1,即B={x|x>1},∴A∪B={x|x>1或x<﹣1},选项A错误;∵∁UB={x|x≤1},∴A∪(∁UB)=R,选项B正确;∵∁UA={x|﹣1≤x≤1},∴(∁∪A)∪B={x|x≤1},选项C错误;A∩B={x|x>1}=B,选项D错误,故选B 2.已知等差数列{an}中,a7+a9=16,S11=,则a12的值是( )A.15B.30C.31D.64【考点】等差数列的前n项和;等差数列的通项公式.【分析】根据a7+a9=16求得a8=8,再由求得a6=,设公差等于d,则有8=+2d,求得d的值,再由a12=a8+4d求得结果.【解答】解等差数列{an}中,∵a7+a9=16=2a8,∴a8=8.∴==11a6,∴a6=.设公差等于d,则有8=+2d,故d=.∴a12=a8+4d=15,故选A. 3.已知复数z=a+bi(a、b∈R),是z的共轭复数,且,则a、b的值分别为( )A.7,1B.6,﹣1C.7,﹣1D.6,1【考点】复数代数形式的乘除运算;复数的基本概念.【分析】由题意可得,=7+i,由复数相等的条件可求a,b【解答】解由题意可得,又∵=7+i由复数相等的条件可得故选C 4.(﹣)10式中含x正整数指数幂的项数是( )A.0B.2C.4D.6【考点】二项式系数的性质.【分析】先求出二项式展开式的通项公式,再令x的幂指数等于正整数,求得r的值,可得含x正整数指数幂的项数.【解答】解(﹣)10的展开式的通项公式为Tr+1=••=(﹣1)r••,令为正整数,可得r=0,2,故含x正整数指数幂的项数是2,故选B. 5.由幂函数y=和幂函数y=x3图象围成的封闭图形面积为( )A.B.C.D.【考点】定积分在求面积中的应用.【分析】联立两个解析式得到两曲线的交点坐标,然后对函数解析式求定积分即可得到结论.【解答】解两幂函数图象交点坐标是(0,0),(1,1),所以故选D 6.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,则“a=2bcosC”是“△ABC是等腰三角形”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【分析】先根据题设条件求得cosC的表达式,进而利用余弦定理求得cosC的另一表达式,二者相等化简整理求得b=c,进而判断出三角形为等腰三角形.【解答】解∵当a=2bcosC时,∴cosC=∵cosC=∴=,化简整理得b=c∴△ABC为等腰三角形.反之,“△ABC是等腰三角形,不一定有b=c,从而a=2bcosC不一定成立.则“a=2bcosC”是“△ABC是等腰三角形”的充分不必要条件.故选A. 7.设m,n分别是先后抛掷一枚骰子所得到的点数,则在先后两次出现的点数中有5的情况下,方程x2+mx+n=0有实根的概率是( )A.B.C.D.【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率.【分析】基本事件(m,n)共包括以下11种情况(1,5),(2,5),(3,5),(4,5),(5,5),(6,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,6).方程x2+mx+n=0有实根需要满足△≥0,即m2﹣4n≥0,其中只有其中7种情况满足△≥0,利用古典概率概率计算公式即可得出.【解答】解基本事件(m,n)共包括以下11种情况(1,5),(2,5),(3,5),(4,5),(5,5),(6,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,6).方程x2+mx+n=0有实根需要满足△≥0,即m2﹣4n≥0,其中只有以下7种情况满足△≥0(5,5),(6,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,6).由古典概率概率计算公式可得在先后两次出现的点数中有5的情况下,方程x2+mx+n=0有实根的概率P=.故选C. 8.算法如图,若输入m=210,n=117,则输出的n为( )A.2B.3C.7D.11【考点】程序框图.【分析】该题是直到型循环与,先将210除以177取余数,然后将n的值赋给m,将r的值赋给n,再相除取余,直到余数为0,停止循环,输出n的值即可【解答】解输入m=210,n=177,r=210Mod117=93,不满足r=0,执行循环,m=117,n=93,r=117Mod93=24,不满足r=0,执行循环,m=93,n=24,r=93Mod24=21,不满足r=0,执行循环,m=24,n=21,r=24Mod21=3,不满足r=0,执行循环,m=21,n=3,r=21Mod3=0满足r=0,退出循环,输出n=3.故选B 9.定义F(x,y)=yx(x>0,y>0),已知数列{an}满足an=(n∈N*),若对任意正整数n,都有an≥ak(k∈N*)成立,则ak的值为( )A.B.2C.D.【考点】利用导数研究函数的单调性;数列递推式.【分析】根据题意可求得数列{an}的通项公式,进而求得,根据2n2﹣(n+1)2=(n﹣1)2﹣2,进而可知当当n≥3时,(n﹣1)2﹣2>0,推断出当n≥3时数列单调增,n<3时,数列单调减,进而可知n=3时an取到最小值求得数列的最小值,进而可知ak的值.【解答】解an==(n∈N*),∴=,∵2n2﹣(n+1)2=(n﹣1)2﹣2,当n≥3时,(n﹣1)2﹣2>0,∴当n≥3时an+1>an;当n<3时,(n﹣1)2﹣2<O,所以当n<3时an+1<an.∴当n=3时an取到最小值为f
(3)=,故答案为. 10.如图,正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为,以顶点A为球心,2为半径作一个球,则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和等于( )A.B.C.πD.【考点】球内接多面体.【分析】球面与正方体的六个面都相交,所得的交线分为两类一类在顶点A所在的三个面上,即面AA1B1B、面ABCD和面AA1D1D上;另一类在不过顶点A的三个面上,即面BB1C1C、面CC1D1D和面A1B1C1D1上.由空间几何知识能求出这两段弧的长度之和.【解答】解如图,球面与正方体的六个面都相交,所得的交线分为两类一类在顶点A所在的三个面上,即面AA1B1B、面ABCD和面AA1D1D上;另一类在不过顶点A的三个面上,即面BB1C1C、面CC1D1D和面A1B1C1D1上.在面AA1B1B上,交线为弧EF且在过球心A的大圆上,因为AE=2,AA1=,则∠A1AE=.同理∠BAF=,所以∠EAF=,故弧EF的长为2×=,而这样的弧共有三条.在面BB1C1C上,交线为弧FG且在距球心为1的平面与球面相交所得的小圆上,此时,小圆的圆心为B,半径为1,∠FBG=,所以弧FG的长为1×=.于是,所得的曲线长为+=.故选A. 11.已知f(x)=2x﹣1,g(x)=1﹣x2,规定当|f(x)|≥g(x)时,h(x)=|f(x)|;当|f(x)|<g(x)时,h(x)=﹣g(x),则h(x)( )A.有最小值﹣1,最大值1B.有最大值1,无最小值C.有最小值﹣1,无最大值D.有最大值﹣1,无最小值【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法.【分析】可以画出f(x)=2x﹣1,g(x)=1﹣x2,的图象,根据规定分两种情况在A、B两侧,|f(x)|≥g(x);在A、B之间,从图象上可以看出最值;【解答】解画出y=|f(x)|=|2x﹣1|与y=g(x)=1﹣x2的图象,它们交于A、B两点.由“规定”,在A、B两侧,|f(x)|≥g(x)故h(x)=|f(x)|;在A、B之间,|f(x)|<g(x),故h(x)=﹣g(x).综上可知,y=h(x)的图象是图中的实线部分,因此h(x)有最小值﹣1,无最大值.故选C. 12.已知双曲线﹣=1(a>0,b>0)上一点C,过双曲线中心的直线交双曲线于A,B两点,记直线AC,BC的斜率分别为k1,k2,当+ln|k1|+ln|k2|最小时,双曲线离心率为( )A.B.C.+1D.2【考点】双曲线的简单性质.【分析】设A(x1,y1),C(x2,y2),由双曲线的对称性得B(﹣x1,﹣y1),从而得到k1k2==,利用点差法能推导出+ln|k1|+ln|k2|=,再由构造法利用导数性质能求出双曲线的离心率.【解答】解设A(x1,y1),C(x2,y2),由题意知点A,B为过原点的直线与双曲线﹣=1的交点,∴由双曲线的对称性得A,B关于原点对称,∴B(﹣x1,﹣y1),,,∴k1k2==,∵点A,C都在双曲线上,∴,,两式相减,得,∴k1k2==>0,∴+ln|k1|+ln|k2|=,对于函数y=,由=0,得x=0(舍)或x=2,x>2时,>0,0<x<2时,<0,∴当x=2时,函数y=+lnx(x>0)取得最小值,∴当+ln|k1|+ln|k2|最小时,,∴e==.故选B.
二、填空题把答案填在答题卡相应题号后的横线上(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知映射f A→B,其中A=[0,1],B=R,对应法则是,对于实数k∈B,在集合A中不存在原象,则k的取值范围是 (﹣∞,﹣2)∪(﹣,+∞) .【考点】映射.【分析】根据元素的定义,要使实数k∈B,在集合A中不存在原象,构造函数f(x),只要k不在函数f(x)值域中即可.【解答】解令f(x)=﹣()x,x∈[0,1],设0≤x1<x2≤1,则2≥2﹣x1>2﹣x2≥1∴log(2﹣x1)<log(2﹣x2),可知﹣()<﹣(),∴f(x1)<f(x2)故f(x)在=[0,1]上是增函数,∵f
(0)=﹣2,f
(1)=﹣,故f(x)的值域是[﹣2,﹣]∴k∉[﹣2,﹣],故k取值范围是(﹣∞,﹣2)∪(﹣,+∞)答案为(﹣∞,﹣2)∪(﹣,+∞) 14.把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起,形成三棱锥C﹣ABD,它的主视图与俯视图如图所示,则二面角C﹣AB﹣D的正切值为 .【考点】与二面角有关的立体几何综合题;简单空间图形的三视图.【分析】由题意确定几何体的形状,二面角C﹣BD﹣A为直角二面角,进一步作出二面角C﹣AB﹣D的平面角,即可求得二面角C﹣AB﹣D的正切值.【解答】解根据这两个视图可以推知折起后二面角C﹣BD﹣A为直二面角,如图,取BD的中点O,AB的中点E,连接OE,CE,则∵CO⊥BD,∴CO⊥平面ABD∵O是BD的中点,E是AB的中点∴OE∥AD∵AB⊥AD∴OE⊥AB∵CO⊥平面ABD∴CE⊥AB∴∠CEO为二面角C﹣AB﹣D的平面角∵∴tan∠CEO==故答案为 15.如图,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,AD⊥AB,AD=DC=2,AB=3,点M是梯形ABCD内(包括边界)的一个动点,点N是CD边的中点,则的最大值是 6 .【考点】平面向量数量积的性质及其运算律;向量加减混合运算及其几何意义.【分析】以AB、AD所在直线分别为x、y,建立如图坐标系,可得向量和的坐标,从而得到关于M坐标的表达式,利用横坐标的取值范围,可得的最大值.【解答】解以AB、AD所在直线分别为x、y,建立如图坐标系,可得A(0,0),B(3,0),C(2,2),D(0,2),因此CD中点N坐标为(1,2),直线BC方程为y=﹣2x+6设M(λ,﹣2λ+6),(2≤λ≤3)可得则=(λ,﹣2λ+6),=(1,2),∴=λ+2(﹣2λ+6)=12﹣3λ∵2≤λ≤3,∴当λ=2时,=6取得最大值.故答案为6 16.如果定义在R上的函数f(x)对任意两个不等的实数x1,x2都有x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1),则称函数f(x)为“Z函数”给出函数
①y=﹣x3+1,
②y=3x﹣2sinx﹣2cosx
③y=
④y=.以上函数为“Z函数”的序号为
② .【考点】抽象函数及其应用.【分析】不等式x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1)等价为(x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)]>0,即满足条件的函数为单调递增函数,判断函数的单调性即可得到结论.【解答】解∵对于任意给定的不等实数x1,x2,不等式x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1)恒成立,∴不等式等价为(x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)]>0恒成立,即函数f(x)是定义在R上的增函数.
①函数y=﹣x3+1在定义域上单调递减.不满足条件.
②y=3x﹣2sinx﹣2cosx,y′=3﹣2cosx+2sinx=3+2(sinx﹣cox)=3﹣2sin(x﹣)>0,函数单调递增,满足条件.
③f(x)=y=,当x>0时,函数单调递增,当x<0时,函数单调递减,不满足条件.
④y=,当x>0时,函数单调递增,当x<0时,函数单调递减,不满足条件.故答案为
②
三、解答题本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.若f(x)=ax﹣sinaxcosax(a>0)的图象与直线y=m(m>0)相切,并且切点横坐标依次成公差为π的等差数列.
(1)求a和m的值;
(2)△ABC中a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边.若(,)是函数f(x)图象的一个对称中心,且a=4,求△ABC面积的最大值.【考点】三角函数中的恒等变换应用.【分析】
(1)利用倍角公式和和差角公式,可将f(x)=ax﹣sinaxcosax化为正弦型函数,进而根据f(x)=ax﹣sinaxcosax(a>0)的图象与直线y=m(m>0)相切,并且切点横坐标依次成公差为π的等差数列.可得m为函数的最大值,函数的周期为π,进而得到a和m的值;
(2)若(,)是函数f(x)图象的一个对称中心,可得A=,进而根据余弦定理和基本不等式,可得△ABC面积的最大值.【解答】解
(1)f(x)=ax﹣sinaxcosax=(1+cos2ax)﹣sin2ax=,∵f(x)=ax﹣sinaxcosax(a>0)的图象与直线y=m(m>0)相切,并且切点横坐标依次成公差为π的等差数列∴函数f(x)的周期为π,且最大值为m,∴a=1,m=+1.
(2)∵(,)是函数f(x)图象的一个对称中心,∴sin(A﹣)=0,由A为三角形内角,∴A=,∵a=4,由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA,即16=b2+c2﹣bc≥bc,故△ABC面积S=≤4,即△ABC面积的最大值为4 18.某高校在xx年自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩,按成绩分组第1组[75,80),第2组[80,85),第3组[85,90),第4组[90,95),第5组[95,100]得到的频率分布直方图如图所示.
(1)分别求第3,4,5组的频率;
(2)若该校决定在笔试成绩较高的第3,4,5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试,(ⅰ)已知学生甲和学生乙的成绩均在第三组,求学生甲和学生乙恰有一人进入第二轮面试的概率;(ⅱ)学校决定在这已抽取到的6名学生中随机抽取2名学生接受考官L的面试,设第4组中有ξ名学生被考官L面试,求ξ的分布列和数学期望.【考点】离散型随机变量的期望与方差;频率分布直方图;列举法计算基本事件数及事件发生的概率.【分析】
(1)由频率分布直方图能求出第3,4,5组的频率.
(2)(i)设“学生甲和学生乙恰有一人进入第二轮面试”为事件A,第三组应有3人进入面试,由此能求出学生甲和学生乙恰有一人进入第二轮面试的概率.(ii)第四组应有2人进行面试,则随机变量ξ可能的取值为0,1,2,分别求出相应的概率,由此能求出ξ的分布列和数学期望.【解答】解
(1)第三组的频率为
0.06×5=
0.3,第四组的频率为
0.04×5=
0.2,第五组的频率为
0.02×5=
0.1.
(2)(i)设“学生甲和学生乙恰有一人进入第二轮面试”为事件A,第三组应有3人进入面试,则P(A)==.(ii)第四组应有2人进行面试,则随机变量ξ可能的取值为0,1,2,且P(ξ=i)=,(i=0,1,2),则随机变量ξ的分布列为ξ012PEξ=+=名. 19.如图,四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为平行四边形,AB=2AD=2,BD=,PD⊥底面ABCD.
(1)证明平面PBC⊥平面PBD;
(2)若二面角P﹣BC﹣D为,求AP与平面PBC所成角的正弦值.【考点】用空间向量求平面间的夹角;平面与平面垂直的判定.【分析】
(1)证明BC⊥平面PBD,利用面面垂直的判定定理,即可证明平面PBC⊥平面PBD;
(2)确定∠PBD即为二面角P﹣BC﹣D的平面角,分别以DA、DB、DP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,用坐标表示向量及平面PBC的法向量,利用向量的数量积公式,即可求得AP与平面PBC所成角的正弦值.【解答】
(1)证明∵CD2=BC2+BD2,∵BC⊥BD∵PD⊥底面ABCD,∴PD⊥BC又∵PD∩BD=D,∴BC⊥平面PBD而BC⊂平面PBC,∴平面PBC⊥平面PBD…
(2)解由
(1)所证,BC⊥平面PBD,所以∠PBD即为二面角P﹣BC﹣D的平面角,即∠PBD=而BD=,所以PD=1…分别以DA、DB、DP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(0,,0),P(0,0,1)所以,,1)设平面PBC的法向量为,∴…即可解得)∴AP与平面PBC所成角的正弦值为sinθ=… 20.在平面直角坐标系中,已知点,向量,点B为直线上的动点,点C满足,点M满足.
(1)试求动点M的轨迹E的方程;
(2)设点P是轨迹E上的动点,点R、N在y轴上,圆(x﹣1)2+y2=1内切于△PRN,求△PRN的面积的最小值.【考点】轨迹方程;点到直线的距离公式.【分析】
(1)设M(x,y),B(﹣,m),可得C(0,),进而得到向量、和的坐标,结合题中向量等式建立x、y与m的等式,再消去m即可得到动点M的轨迹E的方程;
(2)设P(x0,y0),R(0,b),N(0,c),可得PR直线的方程为(y0﹣b)x﹣x0y+x0b=0.由直线PR、PN与题中的圆相切,运用距离公式算出、,可得b、c是方程+y0x﹣x0=0的两个根,运用根与系数的关系算出|b﹣c|关于x0的式子,再代入计算△PRN的面积可得面积S关于x0的表达式,最后利用基本不等式即可求出△PRN的面积的最小值.【解答】解
(1)设,则∵点C满足,∴点C是线段AB的中点,可得C(0,)由此可得,,∵,∴可得,化简整理得,消去参数m得y2=2x,所以动点M的轨迹E的方程为y2=2x;…
(2)设P(x0,y0),R(0,b),N(0,c),且b>c,∴PR直线的方程为,整理得lPR(y0﹣b)x﹣x0y+x0b=0,∵圆(x﹣1)2+y2=1内切于△PRN,可得PR与圆相切,∴,注意到x0>2,化简得,同理可得,因此,b、c是方程的两个不相等的实数根,…根据根与系数的关系,化简整理可得,由此可得△PRN的面积为,∴当x0﹣2=时,即当x0=4时,△PRN的面积的最小值为8.… 21.设函数f(x)=alnx,g(x)=x2.
(1)记g′(x)为g(x)的导函数,若不等式f(x)+2g′(x)≤(a+3)x﹣g(x)在x∈[1,e]上有解,求实数a的取值范围;
(2)若a=1,对任意的x1>x2>0,不等式m[g(x1)﹣g(x2)]>x1f(x1)﹣x2f(x2)恒成立.求m(m∈Z,m≤1)的值.【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用;函数的零点;导数的运算.【分析】
(1)化简不等式得a,设y=,然后分离出参数a后转化为a≥ymin,利用导数可求得最小值;
(2)由m[g(x1)﹣g(x2)]>x1f(x1)﹣x2f(x2)恒成立,得mg(x1)﹣x1f(x1)>mg(x2)﹣x2f(x2)恒成立,设t(x)=(x>0).由此可判断当x∈(0,+∞)时函数t(x)单调递增,则t′(x)=mx﹣lnx﹣1≥0恒成立,分离出参数m,转化求函数最值即可,利用导数求得最值;【解答】解
(1)不等式f(x)+2g′(x)≤(a+3)x﹣g(x),即为alnx+2x≤(a+3)x﹣,化简得a(x﹣lnx),由x∈[1,e]知x﹣lnx>0,因而a,设y=,由y′==,∵当x∈(1,e)时,x﹣1>0,+1﹣lnx>0,∴y′>0在x∈[1,e]时成立,则y=递增,.由不等式有解,可得知a,即实数a的取值范围是[﹣,+∞).
(2)当a=1,f(x)=lnx.由m[g(x1)﹣g(x2)]>x1f(x1)﹣x2f(x2)恒成立,得mg(x1)﹣x1f(x1)>mg(x2)﹣x2f(x2)恒成立,设t(x)=(x>0).由题意知x1>x2>0,故当x∈(0,+∞)时函数t(x)单调递增,∴t′(x)=mx﹣lnx﹣1≥0恒成立,即m恒成立,因此,记y=,得,∵函数在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,∴函数h(x)在x=1时取得极大值,并且这个极大值就是函数h(x)的最大值.由此可得h(x)max=h
(1)=1,故m≥1,结合已知条件m∈Z,m≤1,可得m=1.. xx年11月27日。