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2019-2020年高三上学期月考数数学试卷(文科)(12月份)含解析
一、选择题(共8小题,每小题5分,共40分)1.用样本的频率分布来估计总体情况时,下列选项中正确的是( )A.估计准确与否与样本容量无关B.估计准确与否只与总体容量有关C.样本容量越大,估计结果越准确D.估计准确与否只与所分组数有关2.某住宅小区有居民2万户,从中随机抽取200户,调查是否安装电话,调查的结果如表所示,则该小区已安装电话的户数估计有( )电话动迁户原住户已安装6530未安装4065A.300户B.6500户C.9500户D.19000户3.下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是( )A.y=﹣ln|x|B.y=x3C.y=2|x|D.y=cosx4.执行如图所示的程序框图,输出的a的值为( )A.3B.5C.7D.95.为得到函数y=sin(2x﹣)的图象,只需将函数y=sin2x的图象( )A.向左平移个长度单位B.向右平移个长度单位C.向左平移个长度单位D.向右平移个长度单位6.下列命题正确的是( )A.“x<1”是“x2﹣3x+2>0”的必要不充分条件B.对于命题p∃x∈R,使得x2+x﹣1<0,则¬p∀x∈R均有x2+x﹣1≥0C.若p∧q为假命题,则p,q均为假命题D.命题“若x2﹣3x+2=0,则x=2”的否命题为“若x2﹣3x+2=0,则x≠2”7.某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为800元.若每批生产x件,则平均仓储时间为天,且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品( )A.60件B.80件C.100件D.120件8.已知函数f(x)=,若存在实数b,使函数g(x)=f(x)﹣b有两个零点,则实数a的取值范围是( )A.(0,2)B.(2,+∞)C.(2,4)D.(4,+∞)
二、填空题(共6小题,每小题5分,满分30分)9.设=(x,1),=(4,x),=﹣1,则实数x的值是 .10.在500mL的水中有一个草履虫,现从中随机取出2mL水样放到显微镜下观察,那么发现草履虫的概率是 .11.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a3+a6=12,S4=8,则a9的值是 .12.在△ABC中,a=15,b=10,A=60°,则cosB= .13.某校为了解高一学生寒假期间的阅读情况,抽查并统计了100名同学的某一周阅读时间,绘制了频率分布直方图(如图所示),那么这100名学生中阅读时间在[4,8)小时内的人数为 .14.设m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,给出下列四个命题
①若m⊥α,n∥α,则m⊥n;
②若α∥β,β∥γ,m⊥α,则m⊥γ;
③若m⊥α,n⊥α,则m∥n;
④若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β;其中正确命题的序号是 .
三、解答题(共6小题,满分0分)15.已知函数.(Ⅰ)求f(x)的最小正周期;(Ⅱ)若,且f(α)=1,求α的值.16.已知{an}是一个公差大于0的等差数列,且满足a3a5=45,a2+a6=14.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)若数列{bn}满足+1(n∈N*),求数列{bn}的前n项和.17.如图茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树.乙组记录中有一个数据模糊,无法确认,在图中以X表示.
(1)如果X=8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差;
(2)如果X=9,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,求这两名同学的植树总棵数为19的概率.(注方差,其中为x1,x2,…xn的平均数)18.在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧面ACC1A1⊥平面ABC,∠ACB=90°.
(1)求证BC⊥AA1.
(2)若M,N是棱BC上的两个三等分点,求证A1N∥平面AB1M.19.如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,CC1⊥底面ABC,CC1⊥底面ABC,AC⊥CB,点D是AB的中点.(Ⅰ)求证AC⊥BC1;(Ⅱ)求证AC1∥平面CDB1.(Ⅲ)设AB=2AA1,AC=BC,在线段A1B1上是否存在点M,使得BM⊥CB1?若存在,确定点M的位置;若不存在,说明理由.20.已知函数f(x)=lnx﹣ax(a>0).(Ⅰ)当a=2时,求f(x)的单调区间与极值;(Ⅱ)若对于任意的x∈(0,+∞),都有f(x)<0,求a的取值范围. xx学年北京市海淀区科迪实验中学高三(上)月考数数学试卷(文科)(12月份)参考答案与试题解析
一、选择题(共8小题,每小题5分,共40分)1.用样本的频率分布来估计总体情况时,下列选项中正确的是( )A.估计准确与否与样本容量无关B.估计准确与否只与总体容量有关C.样本容量越大,估计结果越准确D.估计准确与否只与所分组数有关【考点】用样本的频率分布估计总体分布;用样本的数字特征估计总体的数字特征.【分析】题目给出的四个选项都是描述用样本频率分布估计总体情况的,只要理解样本频率分布估计总体情况的实质,结合教材内容,逐一核对四个选项,就能得到正确答案.【解答】解用样本的频率分布估计总体情况时,所取得的样本的容量越大,分组时组数越多,对应的组距越小,得到的频率折线图越接近总体密度曲线,总体密度曲线反映了总体在这个范围内的取之的百分比.所以样本容量越大估计的结果越准确.故选C. 2.某住宅小区有居民2万户,从中随机抽取200户,调查是否安装电话,调查的结果如表所示,则该小区已安装电话的户数估计有( )电话动迁户原住户已安装6530未安装4065A.300户B.6500户C.9500户D.19000户【考点】总体分布的估计.【分析】首先根据图表提供的数据算出200户居民中安装电话的频率,用总住户乘以频率即可.【解答】解由图表可知,调查的200户居民中安装电话的有95户,所以安装电话的居民频率为95200根据用户样本中已安装电话的频率得xx0×=9500.所以该小区已安装电话的住户估计有9500(户).故选C. 3.下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是( )A.y=﹣ln|x|B.y=x3C.y=2|x|D.y=cosx【考点】对数函数的单调性与特殊点;函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的判断.【分析】根据偶函数的定义判断各个选项中的函数是否为偶函数,再看函数是否在区间(0,+∞)上单调递减,从而得出结论.【解答】解由于y=﹣ln|x|是偶函数,且在区间(0,+∞)上单调递减,故满足条件.由于y=x3是奇函数,故不满足条件.由于y=2|x|是偶函数,且在区间(0,+∞)上单调递增,故不满足条件.由于y=cosx是偶函数,且在区间(0,π)上单调递减,在[π,2π)上单调递增,故不满足条件,故选A. 4.执行如图所示的程序框图,输出的a的值为( )A.3B.5C.7D.9【考点】程序框图.【分析】根据题中的程序框图,模拟运行,分别求解S和a的值,判断是否满足判断框中的条件,直到满足,则结束运行,即可得到答案.【解答】解根据程序框图,模拟运行如下输入S=1,a=3,S=1×3=3,此时不符合S≥100,a=3+2=5,执行循环体,S=3×5=15,此时不符合S≥100,a=5+2=7,故执行循环体,S=15×7=105,此时符合S≥100,故结束运行,∴输出a=7.故选C. 5.为得到函数y=sin(2x﹣)的图象,只需将函数y=sin2x的图象( )A.向左平移个长度单位B.向右平移个长度单位C.向左平移个长度单位D.向右平移个长度单位【考点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.【分析】把函数y=sin(2x﹣)变为y=sin[2(x﹣)],然后由x得变化得答案.【解答】解∵y=sin(2x﹣)=sin[2(x﹣)],∴要得到函数y=sin(2x﹣)的图象,只需将函数y=sin2x的图象向右平移个长度单位.故选B. 6.下列命题正确的是( )A.“x<1”是“x2﹣3x+2>0”的必要不充分条件B.对于命题p∃x∈R,使得x2+x﹣1<0,则¬p∀x∈R均有x2+x﹣1≥0C.若p∧q为假命题,则p,q均为假命题D.命题“若x2﹣3x+2=0,则x=2”的否命题为“若x2﹣3x+2=0,则x≠2”【考点】命题的真假判断与应用.【分析】首先对于选项B和D,都是考查命题的否命题的问题,如果两个命题中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件和结论的否定,则这两个命题称互为否命题.即可得出B正确,D错误.对于选项A因为“x<1”是“x2﹣3x+2>0”的充分不必要条件.故选项A错误.对于选项C,因为若“p且q”为假命题,则p、q中有一个为假命题,不一定p、q均为假命题;故C错误.即可根据排除法得到答案.【解答】解对于A“x<1”是“x2﹣3x+2>0”的必要不充分条件.因为“x2﹣3x+2>0”等价于“x<1,x>2”所以“x<1”是“x2﹣3x+2>0”的充分不必要条件.故A错误.对于B对于命题p∃x∈R,使得x2+x﹣1<0,则¬p∀x∈R均有x2+x﹣1≥0.因为否命题是对条件结果都否定,所以B正确.对于C若p∧q为假命题,则p,q均为假命题.因为若“p且q”为假命题,则p、q中有一个为假命题,不一定p、q均为假命题;故C错误.对于D命题“若x2﹣3x+2=0,则x=2”的否命题为“若x2﹣3x+2=0则x≠2”.因为否命题是对条件结果都否定,故D错误.故选B. 7.某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为800元.若每批生产x件,则平均仓储时间为天,且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品( )A.60件B.80件C.100件D.120件【考点】函数模型的选择与应用.【分析】若每批生产x件,则平均仓储时间为天,可得仓储总费用为,再加上生产准备费用为800元,可得生产x件产品的生产准备费用与仓储费用之和是=元,由此求出平均每件的生产准备费用与仓储费用之和,再用基本不等式求出最小值对应的x值【解答】解根据题意,该生产x件产品的生产准备费用与仓储费用之和是=这样平均每件的生产准备费用与仓储费用之和为(x为正整数)由基本不等式,得当且仅当时,f(x)取得最小值、可得x=80时,每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小故答案为B 8.已知函数f(x)=,若存在实数b,使函数g(x)=f(x)﹣b有两个零点,则实数a的取值范围是( )A.(0,2)B.(2,+∞)C.(2,4)D.(4,+∞)【考点】根的存在性及根的个数判断.【分析】由g(x)=f(x)﹣b有两个零点可得f(x)=b有两个零点,即y=f(x)与y=b的图象有两个交点,则函数在定义域内不能是单调函数,结合函数图象可求a的范围.【解答】解∵g(x)=f(x)﹣b有两个零点∴f(x)=b有两个零点,即y=f(x)与y=b的图象有两个交点,由于y=x2在[0,a)递增,y=2x在[a,+∞)递增,要使函数f(x)在[0,+∞)不单调,即有a2>2a,由g(a)=a2﹣2a,g
(2)=g
(4)=0,可得2<a<4.故选C.
二、填空题(共6小题,每小题5分,满分30分)9.设=(x,1),=(4,x),=﹣1,则实数x的值是 .【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角.【分析】根据平面向量数量积的坐标表示,列出方程,求出x的值.【解答】解∵=(x,1),=(4,x),且=﹣1,∴4x+x=﹣1,解得x=﹣,即实数x的值是﹣.故答案为﹣. 10.在500mL的水中有一个草履虫,现从中随机取出2mL水样放到显微镜下观察,那么发现草履虫的概率是 .【考点】几何概型.【分析】所求的概率属于几何概型,测度为体积,由几何概型的计算公式可得结论【解答】解记“从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察,则发现草履虫”为事件A由题意可得,所求的概率属于几何概型,测度为体积.由几何概型的计算公式可得P(A)==
0.004.故答案为
0.004 11.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a3+a6=12,S4=8,则a9的值是 .【考点】等差数列的性质.【分析】利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出.【解答】解设等差数列{an}的公差为d,∵a3+a6=12,S4=8,∴,解得a1=﹣1,d=2.则a9=﹣1+8×2=15.故答案为15. 12.在△ABC中,a=15,b=10,A=60°,则cosB= .【考点】正弦定理.【分析】由正弦定理可求得sinB=,再由b<a,可得B为锐角,cosB=,运算求得结果.【解答】解由正弦定理可得=,∴sinB=,再由b<a,可得B为锐角,∴cosB==,故答案为. 13.某校为了解高一学生寒假期间的阅读情况,抽查并统计了100名同学的某一周阅读时间,绘制了频率分布直方图(如图所示),那么这100名学生中阅读时间在[4,8)小时内的人数为 .【考点】频率分布直方图.【分析】利用频率分布直方图中,频率等于纵坐标乘以组距,求出这100名同学中阅读时间在[4,8)小时内的频率,从而求出频数.【解答】解∵这100名同学中阅读时间在[4,8)小时内的频率为(
0.12+
0.15)×2=
0.54,∴这100名同学中阅读时间在[4,8)小时内的同学为100×
0.54=54.故答案为54. 14.设m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,给出下列四个命题
①若m⊥α,n∥α,则m⊥n;
②若α∥β,β∥γ,m⊥α,则m⊥γ;
③若m⊥α,n⊥α,则m∥n;
④若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β;其中正确命题的序号是 .【考点】空间中直线与直线之间的位置关系;平面与平面平行的判定;直线与平面垂直的性质.【分析】对于
①,可以考虑线面垂直的定义及线面平行的性质定理;对于
②,根据面面平行的性质定理和线面垂直的性质定理容易解决;对于
③,分析线面垂直的性质即可;对于
④,考虑面面垂直的性质定理及两个平面的位置关系.【解答】解命题
①,由于n∥α,根据线面平行的性质定理,设经过n的平面与α的交线为b,则n∥b,又m⊥α,所以m⊥b,从而,m⊥n,故正确;命题
②,由α∥β,β∥γ,可以得到α∥γ,而m⊥α,故m⊥γ,故正确;命题
③,由线面垂直的性质定理即得,故正确;命题
④,可以翻译成垂直于同一平面的两个平面平行,故错误;所以正确命题的序号是
①②③
三、解答题(共6小题,满分0分)15.已知函数.(Ⅰ)求f(x)的最小正周期;(Ⅱ)若,且f(α)=1,求α的值.【考点】两角和与差的正弦函数;二倍角的正弦;二倍角的余弦;三角函数的周期性及其求法.【分析】(Ⅰ)利用两角和的正弦公式化简函数的解析式为f(x)=2sin(2x﹣),从而求得f(x)的最小正周期.(Ⅱ)若,则﹣<2α﹣<,再根据f(α)=1,可得sin(2α﹣)=,2α﹣=,由此解得α的值.【解答】解(Ⅰ)∵函数=sin2x﹣cos2x=2(sin2x﹣cos2x)=2sin(2x﹣),∴f(x)的最小正周期为=π.(Ⅱ)若,则﹣<2α﹣<,再根据f(α)=2sin(2α﹣)=1,可得sin(2α﹣)=,∴2α﹣=,解得α=. 16.已知{an}是一个公差大于0的等差数列,且满足a3a5=45,a2+a6=14.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)若数列{bn}满足+1(n∈N*),求数列{bn}的前n项和.【考点】数列的求和.【分析】(Ⅰ)设等差数列{an}的公差为d,则依题设d>0.运用已知条件列方程组可求a1,d,从而可得an;(Ⅱ)设cn=,则c1+c2+…+cn=an+1,易求cn,进而可得bn,由等比数列的求和公式可求得结果;【解答】解(Ⅰ)设等差数列{an}的公差为d,则依题设d>0.由a2+a6=14,可得a4=7.由a3a5=45,得(7﹣d)(7+d)=45,可得d=2.∴a1=7﹣3d=1.可得an=2n﹣1.(Ⅱ)设cn=,则c1+c2+…+cn=an+1,即c1+c2+…+cn=2n,可得c1=2,且c1+c2+…+cn+cn+1=2(n+1).∴cn+1=2,可知cn=2(n∈N*).∴bn=2n+1,∴数列{bn}是首项为4,公比为2的等比数列.∴前n项和Sn==2n+2﹣4. 17.如图茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树.乙组记录中有一个数据模糊,无法确认,在图中以X表示.
(1)如果X=8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差;
(2)如果X=9,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,求这两名同学的植树总棵数为19的概率.(注方差,其中为x1,x2,…xn的平均数)【考点】离散型随机变量的期望与方差;茎叶图.【分析】
(1)当X=8时,由茎叶图可知,乙组同学的植树棵数是8,8,9,10,由此能求出乙组同学植树棵树的平均数和方差;
(2)先求出从甲、乙两组中随机选取一名同学,所有可能的结果,再求出选出的两名同学的植树总棵数为19的结果数,由此可得概率.【解答】解
(1)当X=8时,由茎叶图可知,乙组同学的植树棵数是8,8,9,10,所以平均数为=方差为s2=[+++]=
(2)记甲组四名同学为A1,A2,A3,A4,他们植树的棵数依次为9,9,11,11;乙组四名同学为B1,B2,B3,B4,他们植树的棵数依次为9,8,9,10,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,所有可能的结果有16个,它们是(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,B4),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,B4),(A3,B1),(A2,B2),(A3,B3),(A1,B4),(A4,B1),(A4,B2),(A4,B3),(A4,B4),用C表示“选出的两名同学的植树总棵数为19”这一事件,则C中的结果有4个,它们是(A1,B4),(A2,B4),(A3,B2),(A4,B2),故所求概率为P(C)==. 18.在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧面ACC1A1⊥平面ABC,∠ACB=90°.
(1)求证BC⊥AA1.
(2)若M,N是棱BC上的两个三等分点,求证A1N∥平面AB1M.【考点】直线与平面平行的判定;平面与平面垂直的性质.【分析】(Ⅰ)先根据∠ACB=90°得到AC⊥CB,再由侧面ACC1A1⊥平面ABC根据面面垂直的性质定理可得到BC⊥平面ACC1A1,又由AA1⊂平面ACC1A1,从而可得证.(II)先连接A1B,交AB1于O点,再连接MO,根据O,M分别为A1B,BN的中点由中位线定理得到OM∥A1N,从而可根据线面平行的判定定理证明A1N∥平面AB1M,得证.【解答】证明(Ⅰ)因为∠ACB=90°,所以AC⊥CB,又侧面ACC1A1⊥平面ABC,且平面ACC1A1∩平面ABC=AC,BC⊂平面ABC,所以BC⊥平面ACC1A1,又AA1⊂平面ACC1A1,所以BC⊥AA1.(II)连接A1B,交AB1于O点,连接MO,在△A1BN中,O,M分别为A1B,BN的中点,所以OM∥A1N又OM⊂平面AB1M,A1N⊄平面AB1M,所以A1N∥平面AB1M. 19.如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,CC1⊥底面ABC,CC1⊥底面ABC,AC⊥CB,点D是AB的中点.(Ⅰ)求证AC⊥BC1;(Ⅱ)求证AC1∥平面CDB1.(Ⅲ)设AB=2AA1,AC=BC,在线段A1B1上是否存在点M,使得BM⊥CB1?若存在,确定点M的位置;若不存在,说明理由.【考点】直线与平面垂直的性质;直线与平面平行的判定.【分析】(I)先证明CC1⊥AC,又AC⊥BC,BC∩CC1=C,可证AC⊥平面BCC1B1,从而可证AC⊥BC1.(Ⅱ)设CB1与C1B的交点为E,连结DE,可证DE∥AC1.即可判定AC1∥平面CDB1.(Ⅲ)可证AA1⊥CD,CD⊥AB,从而证明CD⊥平面AA1B1B,取线段A1B1的中点M,连接BM.可证CD⊥BM,BM⊥B1D,即可证明BM⊥平面B1CD,从而得证BM⊥CB1.【解答】(本小题满分14分)证明(I)在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,因为CC1⊥底面ABC,AC⊂底面ABC,所以CC1⊥AC.又AC⊥BC,BC∩CC1=C,所以AC⊥平面BCC1B1.而BC1⊂平面BCC1B1,则AC⊥BC1.…(Ⅱ)设CB1与C1B的交点为E,连结DE,因为D是AB的中点,E是BC1的中点,所以DE∥AC1.因为DE⊂平面CDB1,AC1⊄平面CDB1,所以AC1∥平面CDB1.…(Ⅲ)在线段A1B1上存在点M,使得BM⊥CB1,且M为线段A1B1的中点.证明如下因为AA1⊥底面ABC,CD⊂底面ABC,所以AA1⊥CD.由已知AC=BC,D为线段AB的中点,所以CD⊥AB.又AA1∩AB=A,所以CD⊥平面AA1B1B.取线段A1B1的中点M,连接BM.因为BM⊂平面AA1B1B,所以CD⊥BM.由已知AB=2AA1,由平面几何知识可得BM⊥B1D.又CD∩B1D=D,所以BM⊥平面B1CD.又B1C⊂平面B1CD,所以BM⊥CB1.… 20.已知函数f(x)=lnx﹣ax(a>0).(Ⅰ)当a=2时,求f(x)的单调区间与极值;(Ⅱ)若对于任意的x∈(0,+∞),都有f(x)<0,求a的取值范围.【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值;导数在最大值、最小值问题中的应用.【分析】(Ⅰ)先求出函数的导数,再令导数大于0求出单调增区间,导数小于0求出函数的减区间,再由极值的定义判断出极值即可;(Ⅱ)若对于任意x∈(0,+∞),都有f(x)<0,则必有a>对于任意x∈(0,+∞)恒成立,则只需a大于的最大值,用导数求出的最大值即可.【解答】解f(x)的定义域为(0,+∞).
(1)当a=2时,f′(x)=﹣2=,由于时,f′(x)>0,时,f′(x)<0,则,在x=时,取得极大值且极大值为f()=﹣ln2﹣1;
(2)由条件可得f(x)=lnx﹣ax<0(x>0),则当x>0时,a>恒成立,令h(x)=(x>0),则h′(x)=,令h′(x)>0,解得0<x<e;令h′(x)<0,解得x>e.所以h(x)在(0,e)上为增函数;在(e,+∞)上为减函数.所以h(x)max=h(e)=,则a>,故a的取值范围是a>. xx年10月13日。