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2019-2020年高三上学期期中数学理试卷含解析
一、选择题本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的.1.设集合A={1,2,3},B={4,5},M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},集合M真子集的个数为( )A.32B.31C.16D.152.若点(sin,cos)在角α的终边上,则sinα的值为( )A.B.C.D.3.已知f(x)=sin2(x+),若a=f(lg5),b=f(lg),则( )A.a+b=0B.a﹣b=0C.a+b=1D.a﹣b=14.下列说法正确的是( )A.命题“若a≥b,则a2≥b2”的逆否命题为“若a2≤b2,则a≤b”B.“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的必要不充分条件C.若p∧q为假命题,则p,q均为假命题D.对于命题p∀x∈R,x2+x+1>0,则¬p x0∈R,x02+x0+1≤05.已知等差数列{an}中,a5+a7=sinxdx,则a4+2a6+a8的值为( )A.8B.6C.4D.26.已知△ABC是边长为1的等边三角形,点D,E分别是边AB,BC的中点,连接DE并延长到点F,使=2,则•的值为( )A.B.C.D.7.函数y=(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[0,1],则loga+loga=( )A.1B.2C.3D.48.已知函数f(x)=x﹣﹣1,g(x)=x+2x,h(x)=x+lnx,零点分别为x1,x2,x3,则( )A.x1<x2<x3B.x2<x1<x3C.x3<x1<x2D.x2<x3<x19.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)+1(ω>0,|φ|≤),其图象与直线y=﹣1相邻两个交点的距离为π,若f(x)>1对∀x∈(﹣,)恒成立,则φ的取值范围是( )A.B.C.D.10.已知函数.若存在实数k使得函数f(x)的值域为[﹣1,1],则实数a的取值范围是( )A.B.C.[1,3]D.[2,3]
二、填空题本大题共5个小题,每小题5分,共25分.把正确答案填写在答题卡给定的横线上.11.已知向量=(m,m﹣1),=(2,1),且⊥,则||= .12.已知,则cos(30°﹣2α)的值为 .13.函数f(x)是定义在R上的奇函数,对任意的x∈R,满足f(x+1)+f(x)=0,且当0<x<1时,f(x)=2x,则f(﹣)+f
(4)= .14.在等差数列{an}中,a4=5,a7=11,设bn=(﹣1)nan,则数列{bn}的前101项之和S101= .15.若f(x)是f(x)的导函数,f(x)>2f(x)(x∈R),f()=e,则f(lnx)<x2的解集为 .
三、解答题本大题共6小题,共75分,解答应写出必要的文字说明,证明过程.16.(12分)在平面直角坐标系xOy中,点A(2,0),点B在单位圆上,∠AOB=θ(0<θ<π).(I)若点B(﹣,),求tan(﹣θ)的值;(II)若+=,•=,求cos(+θ)的值.17.(12分)已知函数f(x)=sin(ωx﹣)+b(ω>0),且函数图象的对称中心到对称轴的最小距离为,当x∈[0,]时,f(x)的最大值为1.(I)求函数f(x)的解析式;(Ⅱ)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)图象,若g(x)﹣3≤m≤g(x)+3在x∈[0,]上恒成立,求实数m的取值范围.18.(12分)设数列{an}的前n项和为Sn,已知S2=6,an+1=4Sn+1,n∈N*.(I)求通项an;(Ⅱ)设bn=an﹣n﹣4,求数列{|bn|}的前n项和Tn.19.(12分)已知a∈R,函数f(x)=2x3﹣3(a+1)x2+6ax.(I)若函数f(x)在x=3处取得极值,求曲线y=f(x)在点(0,f
(0))处的切线方程;(Ⅱ)若a>,函数y=f(x)在[0,2a]上的最小值是﹣a2,求a的值.20.(13分)如图,某旅游区拟建一主题游乐园,该游乐区为五边形区域ABCDE,其中三角形区域ABE为主题游乐区,四边形区域为BCDE为休闲游乐区,AB、BC,CD,DE,EA,BE为游乐园的主要道路(不考虑宽度).∠BCD=∠CDE=120°,∠BAE=60°,DE=3BC=3CD=3km.(I)求道路BE的长度;(Ⅱ)求道路AB,AE长度之和的最大值.21.(14分)已知函数f(x)=ln(x+1)﹣ax,a∈R.(I)求函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)当x>1时,f(x﹣1)≤恒成立,求a的取值范围. xx学年山东省临沂市高三(上)期中数学试卷(理科)参考答案与试题解析
一、选择题本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的.1.(xx秋•临沂期中)设集合A={1,2,3},B={4,5},M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},集合M真子集的个数为( )A.32B.31C.16D.15【考点】子集与真子集.【专题】定义法;集合.【分析】由题意,a∈A,b∈B,可以把a,b的组合列出来,然后就算a+b的值,根据互异性可得集合M,集合中有n个元素,有(2n﹣1)个真子集可得答案.【解答】解由题意集合A={1,2,3},B={4,5},a∈A,b∈B,那么a、b的组合有(
1、4),(
1、5),(
2、4),(
2、5),(
3、4),(
3、5),∵M={x|x=a+b},∴M={5,6,7,8},集合M中有4个元素,有24﹣1=15个真子集.故选D.【点评】本题考查了集合的运算及集合的子集个数,若一个集合中有n个元素,则它有2n个子集,有(2n﹣1)个真子集,属于基础题. 2.(xx秋•临沂期中)若点(sin,cos)在角α的终边上,则sinα的值为( )A.B.C.D.【考点】任意角的三角函数的定义.【专题】计算题;方程思想;演绎法;三角函数的求值.【分析】由任意角的三角函数定义知先求得该点到原点的距离,再由定义求得.【解答】解由题意,x=sin=,y=cos=﹣,r=1,∴sinα==﹣.故选A.【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义,比较基础. 3.(xx•江西)已知f(x)=sin2(x+),若a=f(lg5),b=f(lg),则( )A.a+b=0B.a﹣b=0C.a+b=1D.a﹣b=1【考点】二倍角的余弦;对数的运算性质;余弦函数的定义域和值域.【专题】计算题;压轴题.【分析】由题意,可先将函数f(x)=sin2(x+)化为f(x)=,再解出a=f(lg5),b=f(lg)两个的值,对照四个选项,验证即可得到答案【解答】解f(x)=sin2(x+)==又a=f(lg5),b=f(lg)=f(﹣lg5),∴a+b=+=1,a﹣b=﹣=sin2lg5故C选项正确故选C【点评】本题考查二倍角的余弦及对数的运算性质,解题的关键是对函数的解析式进行化简,数学形式的化简对解题很重要 4.(xx秋•临沂期中)下列说法正确的是( )A.命题“若a≥b,则a2≥b2”的逆否命题为“若a2≤b2,则a≤b”B.“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的必要不充分条件C.若p∧q为假命题,则p,q均为假命题D.对于命题p∀x∈R,x2+x+1>0,则¬p x0∈R,x02+x0+1≤0【考点】命题的真假判断与应用.【专题】集合思想;定义法;简易逻辑.【分析】根据逆否命题的定义可知A错误;由x2﹣3x+2=0解得x=1,或x=2,则“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件,故B错误;根据真值表可知,若p∧q为假命题,则p真q假,p假q真,或者p,q均为假命题,故C错误;根据命题的否定的定义可知,D正确.【解答】解对于选项A原命题的逆否命题为“若a2<b2,则a<b”,故A错误;对于选项B由x2﹣3x+2=0解得x=1,或x=2,从集合的角度考虑,由于{1}⊊{1,2},则“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件,故B错误;对于选项C若p∧q为假命题,则p真q假,p假q真,或者p,q均为假命题,故C错误;对于选项D根据命题的否定的定义,全称命题改为特称命题,再否定结论,故D正确.故选D【点评】本题只要考查了简易逻辑里的四种命题,充要条件,真值表以及命题的否定等知识点,需熟练掌握概念,能从集合的角度考虑充分必要性. 5.(xx秋•临沂期中)已知等差数列{an}中,a5+a7=sinxdx,则a4+2a6+a8的值为( )A.8B.6C.4D.2【考点】等差数列的通项公式.【专题】方程思想;转化思想;等差数列与等比数列.【分析】利用微积分基本定理、等差数列的性质即可得出.【解答】解a5+a7=sinxdx==2=2a6,解得a6=1.利用等差数列的性质可得a4+2a6+a8=4a6=4.故选C.【点评】本题考查了微积分基本定理、等差数列的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 6.(xx秋•临沂期中)已知△ABC是边长为1的等边三角形,点D,E分别是边AB,BC的中点,连接DE并延长到点F,使=2,则•的值为( )A.B.C.D.【考点】平面向量数量积的运算.【专题】计算题;数形结合;向量法;平面向量及应用.【分析】可画出图形,并连接AE,从而有AE⊥BC,这便得出,并由条件得出,而,代入,进行数量积的运算即可求出该数量积的值.【解答】解如图,连接AE,则AE⊥BC;;∴;∴====.故选A.【点评】本题考查向量垂直的充要条件,向量加法的几何意义,向量的数乘运算,以及向量数量积的运算及计算公式. 7.(xx•河南校级二模)函数y=(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[0,1],则loga+loga=( )A.1B.2C.3D.4【考点】函数的值域;函数的定义域及其求法.【专题】函数的性质及应用.【分析】根据函数定义域和值域的关系,判断函数的单调性,结合对数的运算法则进行求解即可.【解答】解当x=1时,y=0,则函数为减函数,故a>1,则当x=0时,y=1,即y==1,即a﹣1=1,则a=2,则loga+loga=loga(•)=log28=3,故选C.【点评】本题主要考查对数的基本运算以及函数定义域和值域的应用,比较基础. 8.(xx•信阳模拟)已知函数f(x)=x﹣﹣1,g(x)=x+2x,h(x)=x+lnx,零点分别为x1,x2,x3,则( )A.x1<x2<x3B.x2<x1<x3C.x3<x1<x2D.x2<x3<x1【考点】函数的零点与方程根的关系.【专题】函数的性质及应用.【分析】分别确定函数零点的大致范围,即可得到结论.【解答】解∵f(x)=x﹣﹣1的零点为>1,g(x)=x+2x的零点必定小于零,h(x)=x+lnx的零点必位于(0,1)内,∴x2<x3<x1.故选D.【点评】本题考查函数零点的定义,利用估算方法比较出各函数零点的大致位置是解题的关键. 9.(xx秋•临沂期中)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)+1(ω>0,|φ|≤),其图象与直线y=﹣1相邻两个交点的距离为π,若f(x)>1对∀x∈(﹣,)恒成立,则φ的取值范围是( )A.B.C.D.【考点】正弦函数的图象.【专题】转化思想;综合法;三角函数的图像与性质.【分析】由题意可得函数的周期为=π,求得ω=2.再根据当x∈(﹣,)时,sin(2x+φ)>0恒成立,2kπ<2•(﹣)+φ<2•+φ<2kπ+π,由此求得φ的取值范围.【解答】解函数f(x)=2sin(ωx+φ)+1(ω>0,|φ|≤),其图象与直线y=﹣1相邻两个交点的距离为π,故函数的周期为=π,∴ω=2,f(x)=2sin(2x+φ)+1.若f(x)>1对∀x∈(﹣,)恒成立,即当x∈(﹣,)时,sin(2x+φ)>0恒成立,故有2kπ<2•(﹣)+φ<2•+φ<2kπ+π,求得2kπ+φ<2kπ+,k∈Z,结合所给的选项,故选D.【点评】本题主要考查正弦函数的周期性、值域,函数的恒成立问题,属于中档题. 10.(xx•成都模拟)已知函数.若存在实数k使得函数f(x)的值域为[﹣1,1],则实数a的取值范围是( )A.B.C.[1,3]D.[2,3]【考点】函数的值域.【专题】计算题;分类讨论;函数的性质及应用;导数的综合应用.【分析】由分段函数知要分类讨论,由y=log2(2﹣x)知≤k≤2,从而求导y′=3x2﹣6x=3x(x﹣2),从而可得a≥2且f(a)=a3﹣3a2+3≤1,从而解得.【解答】解∵y=log2(2﹣x)的定义域为(﹣∞,2),∴0<k≤2,当x∈[0,k)时,log2(2﹣k)<log2(2﹣x)≤1;又∵log2(2﹣k)≥﹣1,∴0<k≤,∵y=x3﹣3x2+3的导数y′=3x2﹣6x=3x(x﹣2),且y|x=2=﹣1,∴a≥2且f(a)=a3﹣3a2+3≤1,解得,2≤a≤1+;故选B.【点评】本题考查了分段函数的应用及导数的综合应用,同时考查了分类讨论的思想应用.
二、填空题本大题共5个小题,每小题5分,共25分.把正确答案填写在答题卡给定的横线上.11.(xx秋•临沂期中)已知向量=(m,m﹣1),=(2,1),且⊥,则||= .【考点】平面向量数量积的运算.【专题】计算题;转化思想;向量法;平面向量及应用.【分析】根据便可得出,从而可求出m的值,进而得出的坐标,从而可得出的值.【解答】解∵;∴;∴;∴;∴.故答案为.【点评】考查向量垂直的充要条件,向量数量积的坐标运算,以及能根据向量坐标求向量长度. 12.(xx•泰安一模)已知,则cos(30°﹣2α)的值为 .【考点】二倍角的余弦;两角和与差的余弦函数.【专题】三角函数的求值.【分析】利用诱导公式求得sin(15°﹣α)=,再利用二倍角的余弦公式可得cos(30°﹣2α)=1﹣2sin2(15°﹣α),运算求得结果.【解答】解∵已知,∴sin(15°﹣α)=,则cos(30°﹣2α)=1﹣2sin2(15°﹣α)=,故答案为.【点评】本题主要考查诱导公式,二倍角的余弦公式的应用,属于中档题. 13.(xx秋•临沂期中)函数f(x)是定义在R上的奇函数,对任意的x∈R,满足f(x+1)+f(x)=0,且当0<x<1时,f(x)=2x,则f(﹣)+f
(4)= ﹣ .【考点】函数奇偶性的性质.【专题】转化思想;定义法;函数的性质及应用.【分析】根据条件判断函数的周期性,利用函数奇偶性和周期性的关系将条件进行转化进行求解即可.【解答】解∵f(x)是定义在R上的奇函数,对任意的x∈R,满足f(x+1)+f(x)=0,∴f(x+1)=﹣f(x),则f(x+2)=﹣f(x+1)=f(x),则函数f(x)是周期为2的周期函数,则f
(4)=f
(0)=0,∵当0<x<1时,f(x)=2x,∴f(﹣)=f(﹣+2)=f(﹣)=﹣f()=﹣=﹣,则f(﹣)+f
(4)=﹣+0=﹣,故答案为﹣.【点评】本题主要考查函数值的计算,根据条件判断函数的周期性,利用是周期性和奇偶性进行转化是解决本题的关键. 14.(xx秋•临沂期中)在等差数列{an}中,a4=5,a7=11,设bn=(﹣1)nan,则数列{bn}的前101项之和S101= ﹣99 .【考点】等差数列的前n项和.【专题】方程思想;转化思想;等差数列与等比数列.【分析】设等差数列{an}的公差为d,由a4=5,a7=11,可得,解得a1,d.可得an.可得b2n﹣1+b2n=﹣a2n﹣1+a2n.即可得出数列{bn}的前101项之和S101.【解答】解设等差数列{an}的公差为d,∵a4=5,a7=11,∴,解得a1=﹣1,d=2.∴an=﹣1+2(n﹣1)=2n﹣3.∴b2n﹣1+b2n=﹣a2n﹣1+a2n=2.则数列{bn}的前101项之和S101=2×50﹣a101=100﹣(2×100﹣1)=﹣99.故答案为﹣99.【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和关系、分组求和,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 15.(xx秋•临沂期中)若f(x)是f(x)的导函数,f(x)>2f(x)(x∈R),f()=e,则f(lnx)<x2的解集为 (0,] .【考点】利用导数研究函数的单调性.【专题】常规题型;转化思想;构造法;导数的概念及应用.【分析】由题意可构造新函数g(x)=,判断g(x)的单调性为R上增函数,所求不等式可转化<1.【解答】解令g(x)=,g(x)=>0;∴g(x)在R上是增函数,又e2lnx=x2;∴g()=1;所求不等式⇔<1⇔g(lnx)<g(),lnx<;故可解得x∈(0,].故答案为(0,]【点评】本题主要考查了构造新函数,判断函数的单调性以及转化思想应用,属中等题.
三、解答题本大题共6小题,共75分,解答应写出必要的文字说明,证明过程.16.(12分)(xx秋•临沂期中)在平面直角坐标系xOy中,点A(2,0),点B在单位圆上,∠AOB=θ(0<θ<π).(I)若点B(﹣,),求tan(﹣θ)的值;(II)若+=,•=,求cos(+θ)的值.【考点】平面向量数量积的运算.【专题】计算题;数形结合;向量法;综合法;平面向量及应用.【分析】(Ⅰ)B点坐标为时,可画出图形,从而可得出sinθ,cosθ的值,进而得出tanθ的值,这样根据两角差的正切公式便可求出的值;(Ⅱ)根据条件可得到,从而可表示出的坐标,进行数量积的坐标运算便可由得出cosθ的值,进而求出sinθ的值,从而便可求出的值.【解答】解(Ⅰ)若,如图则;∴;∴;(Ⅱ);∴;∴=;∴;又θ∈(0,π);∴;∴==.【点评】考查单位圆的概念,以及三角函数的定义,弦化切公式,两角差的正切公式,两角和的余弦公式,以及根据点的坐标求向量坐标,向量坐标的加法和数量积运算. 17.(12分)(xx秋•临沂期中)已知函数f(x)=sin(ωx﹣)+b(ω>0),且函数图象的对称中心到对称轴的最小距离为,当x∈[0,]时,f(x)的最大值为1.(I)求函数f(x)的解析式;(Ⅱ)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)图象,若g(x)﹣3≤m≤g(x)+3在x∈[0,]上恒成立,求实数m的取值范围.【考点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换;三角函数中的恒等变换应用.【专题】计算题;转化思想;综合法;三角函数的图像与性质.【分析】(I)由题意可求T=π,利用周期公式可求ω的值,可得解析式f(x)=sin(2x﹣)+b,结合范围2x﹣∈[﹣,],利用正弦函数的有界性解得b的值,从而可求函数f(x)的解析式.(Ⅱ)利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换可求g(x)=sin(2x﹣)﹣,结合范围2x﹣∈[﹣,],可求范围g(x)=sin(2x﹣)﹣∈[﹣2,1],结合已知可求m的取值范围.【解答】解(I)∵函数f(x)=sin(ωx﹣)+b(ω>0),且函数图象的对称中心到对称轴的最小距离为,∴=,可得T=π,由=π,可得ω=2,∴f(x)=sin(2x﹣)+b,∵当x∈[0,]时,2x﹣∈[﹣,],∴由于y=sinx在[﹣,]上单调递增,可得当2x﹣=,即x=时,函数f(x)取得最大值f()=sin+b,∴sin+b=1,解得b=﹣,∴f(x)=sin(2x﹣)﹣…6分(Ⅱ)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数解析式为g(x)=sin[2(x﹣)﹣]﹣=sin(2x﹣)﹣,∵当x∈[0,]时,可得2x﹣∈[﹣,],g(x)=sin(2x﹣)﹣∈[﹣2,1],∴g(x)﹣3∈[﹣5,﹣2],g(x)+3∈[1,4],∵g(x)﹣3≤m≤g(x)+3在x∈[0,]上恒成立,∴m∈[﹣5,4].【点评】本题主要考查了函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,考查了三角函数恒等变换的应用,考查了正弦函数的图象和性质的应用,考查了转化思想和数形结合思想的应用,属于中档题. 18.(12分)(xx秋•临沂期中)设数列{an}的前n项和为Sn,已知S2=6,an+1=4Sn+1,n∈N*.(I)求通项an;(Ⅱ)设bn=an﹣n﹣4,求数列{|bn|}的前n项和Tn.【考点】数列的求和;数列递推式.【专题】计算题;转化思想;定义法;等差数列与等比数列.【分析】(I)利用已知条件和变形等式an=4Sn﹣1+1推知数列{an}是等边数列,根据等比数列的通项公式进行解答;(Ⅱ)利用(I)中的通项公式推知{|bn|}的通项公式.然后由分组求和法来求数列{|bn|}的前n项和Tn.【解答】解(I)∵an+1=4Sn+1,
①∴当n≥2时,an=4Sn﹣1+1,
②由
①﹣
②,得an+1﹣an=4(Sn﹣Sn﹣1)=4an(n≥2),∴当n≥2时,an+1=5an(n≥2),∴=5.∵S2=6,an+1=4Sn+1,n∈N*.∴,解得,∴=5,∴数列{an}是首项a1=1,公比为5的等边数列,∴an=5n﹣1;(Ⅱ)由题意知|bn|=|5n﹣1﹣n﹣4|,n∈N*.易知,当n≤2时,5n﹣1<n+4;当n≥3时,5n﹣1>n+4.∴当n≤2时,|bn|=n+4﹣5n﹣1;当n≥3时,|bn|=5n﹣1﹣(n+4),∴T1=b1=4,T2=b1+b2=5.当n≥3时,Tn=T2+b2+b3+…+bn=5+[52﹣(3+4)+[52﹣(4+4)]+…+[5n﹣1﹣(n+4)]=5+(52+53+…+5n﹣1)﹣[(3+4)+(4+4)+…+(n+4)]=5+﹣=.又∵T1=4不满足上式,T2=5满足上式,∴Tn=.【点评】本题考查数列的通项公式的求法,考查数列的前n项和的求法,解题时要认真审题,注意等比数列的定义的灵活运用. 19.(12分)(xx秋•临沂期中)已知a∈R,函数f(x)=2x3﹣3(a+1)x2+6ax.(I)若函数f(x)在x=3处取得极值,求曲线y=f(x)在点(0,f
(0))处的切线方程;(Ⅱ)若a>,函数y=f(x)在[0,2a]上的最小值是﹣a2,求a的值.【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究曲线上某点切线方程.【专题】函数思想;转化法;导数的概念及应用.【分析】(Ⅰ)求出函数的导数,根据3是函数y=f(x)的极值点,得到关于a的方程,解出a,求出f(x)的解析式,从而求出切线方程即可;(Ⅱ)求出函数的导数,通过讨论a的范围,得到函数f(x)的最小值,求出对应的a的值即可.【解答】解(Ⅰ)∵f(x)=2x3﹣3(a+1)x2+6ax,∴f′(x)=6x2﹣6(a+1)x+6a,∵3是函数y=f(x)的极值点,∴f′
(3)=0,即6×32﹣6(a+1)×3+6a=0,解得a=3,∴f(x)=2x3﹣12x2+18x,f′(x)=6x2﹣24x+18,则f
(0)=0,f′
(0)=18,∴y=f(x)在(0,f
(0))处的切线方程是y=18x;(Ⅱ)由(Ⅰ)得f′(x)=6x2﹣6(a+1)x+6a,∴f′(x)=6(x﹣1)(x﹣a),
①a=1时,f′(x)=6(x﹣1)2≥0,∴f(x)min=f
(0)=0≠﹣a2,故a=1不合题意;
②a>1时,令f′(x)>0,则x>a或x<1,令f′(x)<0,则1<x<a,∴f(x)在[0,1]递增,在[1,a]递减,在[a,2a]递增,∴f(x)在[0,2a]上的最小值是f
(0)或f(a),∵f
(0)=0≠﹣a2,由f(a)=2a3﹣3(a+1)a2+6a2=﹣a2,解得a=4;
③<a<1时,令f′(x)>0,则有x>1或x<a,令f′(x)<0,则a<x<1,∴f(x)在[0,a]递增,在[a,1]递减,在[1,2a]递增,∴f(x)min=f
(1)=2﹣3(a+1)+6a=﹣a2,解得a=与<a<1矛盾,综上,符合题意的a的值是4.【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题,考查导数的意义以及分类讨论思想,是一道中档题. 20.(13分)(xx秋•临沂期中)如图,某旅游区拟建一主题游乐园,该游乐区为五边形区域ABCDE,其中三角形区域ABE为主题游乐区,四边形区域为BCDE为休闲游乐区,AB、BC,CD,DE,EA,BE为游乐园的主要道路(不考虑宽度).∠BCD=∠CDE=120°,∠BAE=60°,DE=3BC=3CD=3km.(I)求道路BE的长度;(Ⅱ)求道路AB,AE长度之和的最大值.【考点】余弦定理;正弦定理.【专题】应用题;转化思想;综合法;三角函数的图像与性质;解三角形.【分析】(I)连接BD,由余弦定理可得BD,由已知可求∠CDB=∠CBD=30°,∠CDE=120°,可得∠BDE=90°,利用勾股定理即可得解BE的值.(Ⅱ)设∠ABE=α,由正弦定理,可得AB=4sin(120°﹣α),AE=4sinα,利用三角函数恒等变换的应用化简可得AB+AE=4sin(α+30°),结合范围30°<α+30°<150°,利用正弦函数的性质可求AB+AE的最大值,从而得解.【解答】(本题满分为13分)解(I)如图,连接BD,在△BCD中,由余弦定理可得BD2=BD2+CD2﹣2BC•CDcos∠BCD=1+1﹣2×1×1×(﹣)=3,∴BD=,∵BC=CD,∴∠CDB=∠CBD==30°,又∵∠CDE=120°,∴∠BDE=90°,∴在Rt△BDE中,BE===2.…5分(Ⅱ)设∠ABE=α,∵∠BAE=60°,∴∠AEB=120°﹣α,在△ABE中,由正弦定理,可得,∵=4,∴AB=4sin(120°﹣α),AE=4sinα,∴AB+AE=4sin(120°﹣α)+4sinα=4()+4sinα=2cosα+6sinα=4sin(α+30°),∵0°<α<120°,∴30°<α+30°<150°,∴当α+30°=90°,即α=60°时,AB+AE取得最大值4km,即道路AB,AE长度之和的最大值为4km.…13分【点评】本题考查余弦定理,考查正弦定理,考查三角函数的化简,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题. 21.(14分)(xx秋•临沂期中)已知函数f(x)=ln(x+1)﹣ax,a∈R.(I)求函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)当x>1时,f(x﹣1)≤恒成立,求a的取值范围.【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.【专题】常规题型;转化思想;综合法;导数的概念及应用.【分析】(I)首先对f(x)求导,分类讨论a判断函数的单调性即可;(II)由题意知f(x﹣1)﹣=,令g(x)=xlnx﹣a(x2﹣1),x≥1,g(x)=lnx+1﹣2ax,令h(x)=lnx+1﹣2ax,h(x)=﹣2a=;利用导数判断函数的单调性从而求出a的取值范围.【解答】解(I)f(x)的定义域为(﹣1,+∞),f(x)==;
①若a≤0,则f(x)>0,∴f(x)在(﹣1,+∞)上单调递增;
②若a>0,则f(x)=0得x=,当x∈(﹣1,)时,f(x)>0,当x∈(,+∞)时,f(x)<0;∴f(x)在(﹣1,)上单调递增,在(,+∞)上单调递减.综上,当a≤0时,f(x)的单调增区间为(﹣1,+∞);当a>0时,f(x)的单调增区间为(﹣1,),单调减区间为();(II)f(x﹣1)﹣=;令g(x)=xlnx﹣a(x2﹣1),x≥1,g(x)=lnx+1﹣2ax;令h(x)=lnx+1﹣2ax,h(x)=﹣2a=;
①若a≤0,h(x)>0,g(x)在[1,+∞)递增,g(x)≥g
(1)=1﹣2a≥0;∴g(x)在[1,+∞)上递增,g(x)≥g
(1)=0;从而f(x﹣1)﹣≥0,不符合题意.
②若0<a<,当x∈(1,)时,h(x)>0,g(x)在(1,)上递增,从而g(x)>g
(1)=1﹣2a>0;所以,g(x)在[1,+∞)递增,g(x)≥g
(1)=0;从而f(x﹣1)﹣≥0,不符合题意.
③若a≥,h(x)≤0在[1,+∞)上恒成立,所以g(x)在[1,+∞)上递减,g(x)≤g
(1)=1﹣2a≤0;从而g(x)在[1,+∞)递减,所以g(x)≤g
(1)=0;∴f(x﹣1)﹣0;综上所以,a的取值范围是[,+∞).【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性,以及分类讨论思想的应用,属中等题.。