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2019-2020年高三上学期期中数学试卷(b卷)含解析
一、选择题本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U={a,b,c,d,e,f},集合A={a,b,e},B={b,d,f},则(∁UA)∪B为( )A.{a,e}B.{c}C.{d,f}D.{b,c,d,f}2.已知p∀x∈R,x2﹣x+1>0,q∃x∈(0,+∞),sinx>1,则下列命题为真命题的是( )A.p∧qB.¬p∨qC.p∨¬qD.¬p∧¬q3.已知a,b∈R,条件p“a>b>0”,条件q“2a>2b+1”,则p是q的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.已知函数f(x)=,若f(f
(0))=3a,则实数a等于( )A.4B.2C.D.5.函数f(x)=+lg(x+2)的定义域为( )A.(﹣2,3)B.(﹣2,3]C.(﹣2,+∞)D.[﹣2,3]6.下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)上单调递减的函数是( )A.y=2x3B.y=|x|+1C.y=﹣x2+4D.y=2|x|7.函数的零点所在的区间是( )A.B.(1,2)C.(2,e)D.(e,3)8.已知函数f(x)=x﹣ln|x|,则f(x)的图象大致为( )A.B.C.D.9.若tanα=3,则sin2α=( )A.B.﹣C.﹣D.10.将函数y=sin(2x﹣)的图象向左平移个单位,所得函数图象的一个对称中心为( )A.B.C.D.
二、填空题本大题共5个小题,每小题5分,共25分.11.已知函数f(x)=2cos(ωx+)的最小正周期是π,则f()= .12.设函数f(x)对任意实数x满足f(x)=﹣f(x+2),且当0≤x≤2时,f(x)=x(x﹣2),则f(﹣xx)= .13.已知函数f(x)=x3﹣ax2﹣3x,若f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,实数a的取值范围是 .14.已知α,β∈(,π),sin(α+β)=﹣,sin(β﹣)=,则cos(α+)= .15.下列几个命题
①方程x2+(a﹣3)x+a=0若有一个正实根和一个负实根,则a<0;
②函数y=+是偶函数也是奇函数;
③函数f(x)的值域是[﹣2,2],则函数f(x+1)的值域为[﹣3,1];
④一条曲线y=|3﹣x2|和直线y=a(a∈R)的公共点个数是m,则m的值可能是1.其中错误的有 .
三、解答题本大题共6小题,共75分.16.已知p﹣x2﹣2x+8≥0,q x2﹣2x+1﹣m2≤0(m>0).
(1)若p是q的充分条件,求实数m的取值范围;
(2)若“¬p”是“¬q”的充分条件,求实数m的取值范围.17.已知函数f(x)=cosxsin(x﹣)+cos2x+,x∈R.
(1)求f(x)单调递增区间;
(2)求f(x)在[﹣,]上的最大值和最小值.18.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已2cosC(acosB+bcosA)=c.
(1)求角C;
(2)若c=,△ABC的面积为,求△ABC的周长.19.设函数f(x)=2x+2ax+b且f(﹣1)=,f
(0)=2.
(1)求a,b的值;判断函数f(x)的奇偶性;
(2)判断函数f(x)在(0,+∞)上的单调性;
(3)若关于x的方程mf(x)=2﹣x在[﹣1,1]上有解,求实数m的取值范围.20.已知函数f(x)=x3+ax2﹣a2x+2.
(1)若a=﹣1,求曲线y=f(x)在点(2,f
(2))处的切线方程;
(2)若a≠0求函数f(x)的单调区间.21.已知函数f(x)=(x+k)ex(k∈R).
(1)求f(x)的极值;
(2)求f(x)在x∈[0,3]上的最小值.
(3)设g(x)=f(x)+f(x),若对∀k∈[﹣,﹣]及∀x∈[0,2]有g(x)≥λ恒成立,求实数λ的取值范围. xx学年山东省菏泽市高三(上)期中数学试卷(B卷)参考答案与试题解析
一、选择题本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U={a,b,c,d,e,f},集合A={a,b,e},B={b,d,f},则(∁UA)∪B为( )A.{a,e}B.{c}C.{d,f}D.{b,c,d,f}【考点】交、并、补集的混合运算.【分析】根据补集与并集的定义进行计算即可.【解答】解全集U={a,b,c,d,e,f},集合A={a,b,e},B={b,d,f},所以∁UA={c,d,f};所以(∁UA)∪B={b,c,d,f}.故选D. 2.已知p∀x∈R,x2﹣x+1>0,q∃x∈(0,+∞),sinx>1,则下列命题为真命题的是( )A.p∧qB.¬p∨qC.p∨¬qD.¬p∧¬q【考点】复合命题的真假.【分析】分别判断出p,q的真假,从而判断出其复合命题的真假即可.【解答】解关于p∀x∈R,x2﹣x+1=+>0,成立,故命题p是真命题,关于q∃x∈(0,+∞),sinx>1,∵∀x∈(0,+∞),sinx≤1,故命题q是假命题,故p∨¬q是真命题,故选C. 3.已知a,b∈R,条件p“a>b>0”,条件q“2a>2b+1”,则p是q的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【分析】根据充分必要条件的定义以及指数函数的性质判断即可.【解答】解由条件p“a>b>0”,再根据函数y=2x是增函数,可得2a>2b,故条件q“2a>2b+1”不一定成立,故充分性不成立.但由条件q“2a>2b+1”成立,能推出2a>2b,得a>b,条件p“a>b>0”不成立,例如由22>20+1成立,不能推出0>0,故必要性不成立.故p是q的既不充分也不必要条件,故选D. 4.已知函数f(x)=,若f(f
(0))=3a,则实数a等于( )A.4B.2C.D.【考点】函数的值.【分析】由已知得f
(0)=20+1=2,f(f
(0))=f
(2)=22+2a=3a,由此能求出实数a.【解答】解∵函数f(x)=,f(f
(0))=3a,∴f
(0)=20+1=2,f(f
(0))=f
(2)=22+2a=3a,解得a=4.∴实数a等于4.故选A. 5.函数f(x)=+lg(x+2)的定义域为( )A.(﹣2,3)B.(﹣2,3]C.(﹣2,+∞)D.[﹣2,3]【考点】函数的定义域及其求法.【分析】根据二次根式以及对数函数的性质求出函数的定义域即可.【解答】解由题意得,解得﹣2<x≤3,故选B. 6.下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)上单调递减的函数是( )A.y=2x3B.y=|x|+1C.y=﹣x2+4D.y=2|x|【考点】函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的判断.【分析】在A中,y=2x3是奇函数,在(0,+∞)上单调递增;在B中,y=|x|+1在(0,+∞)上单调递增;在C中,y=﹣x2+4偶函数,在(0,+∞)上单调递减;在D中,y=2|x|在(0,+∞)上单调递增.【解答】解在A中,y=2x3是奇函数,在(0,+∞)上单调递增,故A错误;在B中,y=|x|+1是偶函数,在(0,+∞)上单调递增,故B错误;在C中,y=﹣x2+4偶函数,在(0,+∞)上单调递减,故C正确;在D中,y=2|x|偶函数,在(0,+∞)上单调递增,故D错误.故选C. 7.函数的零点所在的区间是( )A.B.(1,2)C.(2,e)D.(e,3)【考点】函数零点的判定定理.【分析】先判断函数y是定义域上的增函数,再利用根的存在性定理,即可得出结论.【解答】解∵函数(x>0),∴y′=+1+>0,∴函数y=lnx+x﹣﹣2在定义域(0,+∞)上是单调增函数;又x=2时,y=ln2+2﹣﹣2=ln2﹣<0,x=e时,y=lne+e﹣﹣2=+e﹣﹣2>0,因此函数的零点在(2,e)内.故选C. 8.已知函数f(x)=x﹣ln|x|,则f(x)的图象大致为( )A.B.C.D.【考点】函数的图象.【分析】去绝对值,化为分段函数,根据导数和函数单调性关系即可求出.【解答】解当x>0时,f(x)=x﹣lnx,∴f′(x)=1﹣=,当0<x<1时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减,当x>1时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增,当x<0时,f(x)=x﹣ln(﹣x),∴f′(x)=1﹣>0恒成立,∴f(x)在(﹣∞,0)上单调递增,故选A. 9.若tanα=3,则sin2α=( )A.B.﹣C.﹣D.【考点】同角三角函数基本关系的运用.【分析】利用同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式,求得sin2α的值.【解答】解tanα=3,则sin2α===,故选A. 10.将函数y=sin(2x﹣)的图象向左平移个单位,所得函数图象的一个对称中心为( )A.B.C.D.【考点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.【分析】根据y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律可得所得图象对应的函数为y=sin(2x+),由2x+=kπ,k∈z,可得对称中心的横坐标,从而得出结论.【解答】解将函数y=sin(2x﹣)的图象向左平移个单位后得到y=sin[2(x+)﹣]=sin(2x+).由2x+=kπ,k∈z,得到x=﹣,k∈z.故所得函数图象的对称中心为(﹣,0),k∈z.令k=1可得一个对称中心为(﹣,0),故选C.
二、填空题本大题共5个小题,每小题5分,共25分.11.已知函数f(x)=2cos(ωx+)的最小正周期是π,则f()= ﹣3或0 .【考点】三角函数的周期性及其求法.【分析】根据已知最小正周期,利用周期公式求出ω的值,即可求出所求式子的值.【解答】解∵函数f(x)=2cos(ωx+)的最小正周期是π,∴ω=2或﹣2,当ω=2时,f()=2cos(+)=﹣3;当ω=﹣2时,f()=2cos(﹣+)=0.故答案为﹣3或0 12.设函数f(x)对任意实数x满足f(x)=﹣f(x+2),且当0≤x≤2时,f(x)=x(x﹣2),则f(﹣xx)= 1 .【考点】函数的周期性.【分析】据函数f(x)对任意实数x满足f(x)=﹣f(x+2),得出函数的周期性,再进行转化求解即可得到结论.【解答】解∵f(x)=﹣f(x+2),∴f(x+2)=﹣f(x),∴f(x+4)=﹣f(x+2)=f(x),∴f(x)是周期函数,周期为4.∴f(﹣xx)=f(﹣504×4﹣1)=f(﹣1)=﹣f
(1)=1,故答案为1. 13.已知函数f(x)=x3﹣ax2﹣3x,若f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,实数a的取值范围是 (﹣∞,0] .【考点】导数的运算.【分析】先对函数f(x)=x3﹣ax2﹣3x进行求导,转化成f′(x)在[1,+∞)上恒有f′(x)≥0问题,进而求出参数a的取值范围.【解答】解y=3x2﹣2ax﹣3,∵f(x)在[1,+∞)上是增函数,∴f′(x)在[1,+∞)上恒有f′(x)≥0,即3x2﹣2ax﹣3≥0在[1,+∞)上恒成立.则必有≤1且f′
(1)=﹣2a≥0,∴a≤0.实数a的取值范围是(﹣∞,0].故填(﹣∞,0]. 14.已知α,β∈(,π),sin(α+β)=﹣,sin(β﹣)=,则cos(α+)= ﹣ .【考点】两角和与差的余弦函数.【分析】由已知可求α+β,β﹣的范围,利用同角三角函数基本关系式可求cos(α+β),cos(β﹣)的值,由cos(α+)=cos[(α+β)﹣(β﹣)]利用两角差的余弦函数公式即可计算得解.【解答】解∵α,β∈(,π),α+β∈(,2π),β﹣∈(,),∴cos(α+β)==,cos(β﹣)=﹣=﹣,∵cos(α+)=cos[(α+β)﹣(β﹣)]=cos(α+β)cos(β﹣)+sin(α+β)sin(β﹣)=×(﹣)+(﹣)×=﹣.故答案为﹣. 15.下列几个命题
①方程x2+(a﹣3)x+a=0若有一个正实根和一个负实根,则a<0;
②函数y=+是偶函数也是奇函数;
③函数f(x)的值域是[﹣2,2],则函数f(x+1)的值域为[﹣3,1];
④一条曲线y=|3﹣x2|和直线y=a(a∈R)的公共点个数是m,则m的值可能是1.其中错误的有
③④ .【考点】命题的真假判断与应用.【分析】由韦达定理,可判断
①;根据函数奇偶性的定义,可判断
②;根据左右平移变换不改变函数的值域,可判断
③;分析曲线y=|3﹣x2|和直线y=a(a∈R)的公共点个数,可判断
④【解答】解
①方程x2+(a﹣3)x+a=0若有一个正实根和一个负实根,则两根之积为负,即a<0,故正确;
②函数y=+=0,x∈{﹣1,1},即是偶函数也是奇函数,故正确;
③函数f(x)的值域是[﹣2,2],则函数f(x+1)的值域也为[﹣2,2],故错误;
④一条曲线y=|3﹣x2|和直线y=a(a∈R)的公共点个数是m,则m的值可能是2,3,4,不可能是1,故错误;故答案为
③④.
三、解答题本大题共6小题,共75分.16.已知p﹣x2﹣2x+8≥0,q x2﹣2x+1﹣m2≤0(m>0).
(1)若p是q的充分条件,求实数m的取值范围;
(2)若“¬p”是“¬q”的充分条件,求实数m的取值范围.【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【分析】
(1)解出关于p,q的不等式,根据若p是q的充分条件,得到[﹣4,2]⊆[1﹣m,1+m],求出m的范围即可;
(2)根据q是p的充分条件,得到[1﹣m,1+m]⊆[﹣4,2],求出m的范围即可.【解答】解
(1)p﹣x2﹣2x+8≥0,q x2﹣2x+1﹣m2≤0(m>0).故p﹣4≤x≤2,q1﹣m≤x≤1+m,若p是q的充分条件,则[﹣4,2]⊆[1﹣m,1+m],故,解得1≤m≤5;
(2)若“¬p”是“¬q”的充分条件,即q是p的充分条件,则[1﹣m,1+m]⊆[﹣4,2],∴,解得0<m≤1. 17.已知函数f(x)=cosxsin(x﹣)+cos2x+,x∈R.
(1)求f(x)单调递增区间;
(2)求f(x)在[﹣,]上的最大值和最小值.【考点】三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象.【分析】
(1)将已知函数解析式转化为正弦函数,然后求其单调递增区间;
(2)根据
(1)中正弦函数的自变量的取值范围来求函数的最值.【解答】解
(1)f(x)=cosxsin(x﹣)+cos2x+=cosx(sinx﹣cosx)+cos2x+=﹣cos2x+sinxcosx+cos2x+=sin2x+cos2x,=sin(2x+).由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+,解得kπ﹣≤x≤kπ+,∴f(x)单调递增区间是[kπ﹣,kπ+](k∈Z).
(2)由x∈[﹣,],得2x+∈[,],∴﹣≤sin(2x+)≤1,∴﹣≤f(x)≤,因此,f(x)在[﹣,]上的最大值和最小值分别为,﹣. 18.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已2cosC(acosB+bcosA)=c.
(1)求角C;
(2)若c=,△ABC的面积为,求△ABC的周长.【考点】正弦定理;余弦定理.【分析】
(1)由正弦定理,两角和的正弦函数公式,三角形内角和定理化简已知可得2cosCsinC=sinC,结合范围C∈(0,π),解得cosC=,可得C的值.
(2)由三角形的面积公式可求ab=3,利用余弦定理解得a+b的值,即可得解△ABC的周长.【解答】解
(1)∵2cosC(acosB+bcosA)=c.∴由正弦定理可得2cosC(sinAcosB+sinBcosA)=sinC,可得2cosCsin(A+B)=2cosCsinC=sinC,∵C∈(0,π),sinC≠0,∴解得cosC=,可得C=.
(2)∵c=,C=,∴由△ABC的面积为=absinC=,解得ab=3,∴由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC,可得7=a2+b2﹣ab=(a+b)2﹣3ab=(a+b)2﹣9,解得a+b=4,∴△ABC的周长=a+b+c=4+. 19.设函数f(x)=2x+2ax+b且f(﹣1)=,f
(0)=2.
(1)求a,b的值;判断函数f(x)的奇偶性;
(2)判断函数f(x)在(0,+∞)上的单调性;
(3)若关于x的方程mf(x)=2﹣x在[﹣1,1]上有解,求实数m的取值范围.【考点】利用导数研究函数的单调性;函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的判断.【分析】
(1)由已知中f(﹣1)=,f
(0)=2,构造方程求出a,b的值,进而根据奇偶性的定义,可得结论;
(2)证法一设x1,x2是区间(0,+∞)上的两个任意实数,且x1<x2,作差判断f(x1),f(x2)的大小,可得结论;证法二求导,根据x∈(0,+∞)时,f′(x)>0恒成立,可得函数f(x)在(0,+∞)上为单调递增函数;
(3)若关于x的方程mf(x)=2﹣x在[﹣1,1]上有解,即m=在[﹣1,1]上有解,求出f(x)=的值域,可得答案.【解答】解
(1)∵f(﹣1)=,f
(0)=2.∴+2﹣a+b=,1+2b=2,解得a=﹣1,b=0,∴f(x)=2x+2﹣x;函数的定义域为R,且f(﹣x)=2﹣x+2x=f(x),故函数为偶函数,
(2)证法一设x1,x2是区间(0,+∞)上的两个任意实数,且x1<x2,于是f(x2)﹣f(x1)=()﹣()=().因为x2>x1>0,所以,,,所以f(x2)﹣f(x1)>0,所以f(x1)<f(x2),所以函数f(x)在(0,+∞)上为单调增函数.证法二∵f(x)=2x+2﹣x.∴f′(x)=ln2•(2x+2﹣x).当x∈(0,+∞)时,f′(x)>0恒成立,故函数f(x)在(0,+∞)上为单调递增函数;
(3)若关于x的方程mf(x)=2﹣x在[﹣1,1]上有解,即m=在[﹣1,1]上有解,令f(x)==,则f(x)∈[,],故m∈[,]. 20.已知函数f(x)=x3+ax2﹣a2x+2.
(1)若a=﹣1,求曲线y=f(x)在点(2,f
(2))处的切线方程;
(2)若a≠0求函数f(x)的单调区间.【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程.【分析】
(1)首先对f(x)求导,求出f
(2)=7,f
(2)=4;利用点斜式列出直线方程;
(2)求出导函数零点,然后对参数a分类讨论判断函数的单调性即可;【解答】解
(1)若a=﹣1时,f(x)=x3﹣x2﹣x+2;则f(x)=3x2﹣2x﹣1,故f
(2)=7,f
(2)=4;切线方程y﹣4=7(x﹣2)化简后7x﹣y﹣10=0.
(2)f(x)=3x2+2ax﹣a2=(x+a)(3x﹣a);由f(x)=0得x=﹣a或x=;
①当a>0时,由f(x)<0,得﹣a<x<,由f(x)>0得x<﹣a或x>;此时f(x)的单调减区间为(﹣a,),单调递增区间为(﹣∞,﹣a),(,+∞);
②当a<0时,由f(x)<0得<x<﹣a,由f(x)>0得x<或x>﹣a.此时f(x)的单调递减区间为(,﹣a),单调递增区间为(﹣∞,)和(﹣a,+∞). 21.已知函数f(x)=(x+k)ex(k∈R).
(1)求f(x)的极值;
(2)求f(x)在x∈[0,3]上的最小值.
(3)设g(x)=f(x)+f(x),若对∀k∈[﹣,﹣]及∀x∈[0,2]有g(x)≥λ恒成立,求实数λ的取值范围.【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的极值.【分析】
(1)由f(x)=(x+k)ex,求导f′(x)=(x+k+1)ex,令f′(x)=0,求得x=﹣k﹣1,令f′(x)<0,解得函数的单调递减区间,f′(x)>0,解得函数的单调递增区间,根据函数的单调性即可求得f(x)的极值;
(2)当﹣k﹣1≤0时,f(x)在[0,3]单调递增,f(x)的最小值为f
(0)=k,当﹣k﹣1≥3时,f(x)在[0,3]单调递减,f(x)的最小值为f
(3)=(3+k)e3,当0<﹣k﹣1<3时,则x=﹣k﹣1时,f(x)取最小值,最小值为﹣e﹣k﹣1;
(3)由g(x)=(2x+2k+1)ex,求导g′(x)=(2x+2k+1)ex,当g′(x)<0,解得x<﹣k﹣,求得函数的单调递减区间,当g′(x)>0,解得x>﹣k﹣,求得函数的单调递增区间,由题意可知g(x)≥λ,∀x∈[0,2]恒成立,等价于g(﹣k﹣)=﹣2≥λ,由﹣2≥λ,对∀k∈[﹣,﹣]恒成立,根据函数的单调性,即可求得实数λ的取值范围.【解答】解
(1)f(x)=(x+k)ex(k∈R),求导f′(x)=(x+k)ex+ex=(x+k+1)ex,令f′(x)=0,解得x=﹣k﹣1,当x<﹣k﹣1时,f′(x)<0,当x>﹣k﹣1时,f′(x)>0,x(﹣∞,﹣k﹣1)﹣k﹣1(﹣k﹣1,+∞)f′(x)﹣0+f(x)↓﹣e﹣k﹣1↑∴f(x)的单调递增区间(﹣k﹣1,+∞),单调递减区间(﹣∞,﹣k﹣1),∴当x=﹣k﹣1,f(x)取极小值,极小值为f(﹣k﹣1)=﹣e﹣k﹣1;
(2)当﹣k﹣1≤0时,即k≥﹣1时,f(x)在[0,3]单调递增,∴当k=0时,f(x)的最小值为f
(0)=k,当﹣k﹣1≥3时,即k≤﹣4时,f(x)在[0,3]单调递减,∴当x=3时,f(x)的最小值为f
(3)=(3+k)e3,当0<﹣k﹣1<3时,解得1<k<4时,∴f(x)在[0,﹣k﹣1]单调递减,在[﹣k﹣1,+∞]单调递增,∴当x=﹣k﹣1时,f(x)取最小值,最小值为﹣e﹣k﹣1;
(3)g(x)=f(x)+f(x)=(x+k)ex+(x+k+1)ex=(2x+2k+1)ex,求导g′(x)=(2x+2k+1)ex+2ex=(2x+2k+3)ex,令g′
(0)=0,2x+2k+3=0,x=﹣k﹣,当x<﹣k﹣时,g′(x)<0,当x>﹣k﹣时,g′(x)>0,∴g(x)在(﹣∞,﹣k﹣)单调递减,在(﹣k﹣,+∞)单调递增,故当x=﹣k﹣,g(x)取最小值,最小值为g(﹣k﹣)=﹣2,∵k∈[﹣,﹣],即﹣k﹣∈[0,2],∴∀x∈[0,2],g(x)的最小值,g(﹣k﹣)=﹣2,∴g(x)≥λ,∀x∈[0,2]恒成立,等价于g(﹣k﹣)=﹣2≥λ,由﹣2≥λ,对∀k∈[﹣,﹣]恒成立,∴λ≤(﹣2)最小值,令h(k)=﹣2,k∈[﹣,﹣],由指数函数的性质,函数h(k)在k∈[﹣,﹣]单调递增,∴当k=﹣时,h(k)取最小值,h(﹣)=﹣2e2,∴λ≤﹣2e2.∴实数λ的取值范围(﹣∞,﹣2e2). xx年1月3日。