还剩7页未读,继续阅读
文本内容:
2019-2020年九年级数学上册
24.4解直角三角形教案新版华东师大版第1课时 解直角三角形及其应用【知识与技能】使学生理解直角三角形中五个元素的关系,会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形.【过程与方法】通过综合运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形,逐步培养学生分析问题、解决问题的能力.【情感态度】渗透数形结合的数学思想,培养学生良好的学习习惯.【教学重点】直角三角形的解法.【教学难点】三角函数在解直角三角形中的灵活运用.
一、创设情境,导入新知1.勾股定理的内容是什么?2.直角三角形中两锐角的关系是什么?3.直角三角形中边角有什么关系?4.△ABC中,∠C=90°,1若∠A=30°,c=10cm,则a=_______,b=_______,∠B=________.2若∠A=40°,c=10cm,则由sinA=,可得a=______=______,由cosA=得,b=______=______.
二、合作探究,理解新知1.引导学生对三角函数进行变形,如由sinA=,得a=c·sinA,c=等.我们已掌握Rt△ABC的边角关系、三边关系、角角关系,利用这些关系,在知道其中的两个元素至少有一个是边后,就可求出其余的元素.2.“为什么两个已知元素中至少有一条边?”让全体学生思考,在作出准确回答后,教师请学生概括什么是解直角三角形?在直角三角形中,由已知的边角关系求出未知的边与角,叫做解直角三角形.3.对应练习1如图
①和
②,根据图中的数据解直角三角形;
①
②2在△ABC中,∠C为直角,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c,且b=20,∠B=35°,解这个三角形精确到
0.1.3在△ABC中,∠C为直角,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c,且c=20,∠B=35°,解这个三角形精确到
0.1.【教学说明】1引导学生用多种方法解并组织学生比较各种方法中哪些较好,选一种板演.2完成之后引导学生小结“已知一边一角,如何解直角三角形?”答先求另外一角,然后选取恰当的函数关系式求另两边.计算时,利用所求的量如不比原始数据简便的话,最好用题中原始数据计算,这样误差小些,也比较可靠,防止第一步错导致一错到底.3做完以上练习后归纳解直角三角形的类型
①已知两条边;
②已知一条边和一个锐角.4在解直角三角形的过程中,常会遇到近似计算,本书除特别说明外,边长保留四个有效数字,角度精确到1′.知识运用例如图所示,一棵大树在一次强烈的地震中于离地面5米处折断倒下,树顶落在离树根12米处.大树在折断之前高多少?教师展示教材中例1图
24.
4.1.我们在遇到实际问题时,总是首先把新问题与我们熟悉的问题联系起来,再把新问题转化成熟悉的问题来进行研究.那么,怎样把这个实际问题变成我们熟悉的图形呢?学生动手尝试,分组交流后,举手回答.师生共同画图转化为直角三角形.明确对于现实问题通常化为数学模型来处理,这里体现数学建模的思想.解利用勾股定理可以求出折断倒下部分的长度为=
13.13+5=18米.所以,大树在折断之前高为18米.
三、尝试练习,掌握新知基础练习1.在Rt△ABC中,∠C=90°,a、b、c是△ABC的三边,a=5,b=5,求c,∠A、∠B的值.2.教材第113页练习第1题.拓展练习3.在锐角△ABC中,AB=6,AC=7,∠B=60°,求BC的长.4.请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂练习”部分.
四、课堂小结,梳理新知通过本节课的学习,你有什么收获?本节的重要内容是解直角三角形的有关知识,解直角三角形的依据是勾股定理、两锐角互余和边角之间的关系,一般有两种类型已知两边,已知一边和一锐角,解题时要选择适当的关系式,尽可能使用原题数据和避免做除法运算.
五、深入练习,巩固新知请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”部分.1.教材习题
24.4第
1、2题.2.如图所示,是某单位的停车棚上方的角钢固定架,若BC=15米,∠B=28°,点D、E、F将BC四等分.问制成这样的钢架共需角钢多少米?不考虑焊接损失,结果保留到1米3.如图,在△ABC中,∠A=30°,tanB=,AC=2,求AB.第2课时 方向角与解直角三角形第3课时 仰角、俯角与解直角三角形【知识与技能】1.了解仰角、俯角、方向角的概念.2.能根据直角三角形的知识解决与仰角、俯角、方向角有关的实际问题.【过程与方法】能够借助辅助线解决实际问题,掌握数形结合、抽象归纳的思想方法.【情感态度】感知本节与实际生活的密切联系,认识知识应用于实践的意义.【教学重点】解直角三角形在实际中的应用.【教学难点】将某实际问题中的数量关系,归结为直角三角形中元素之间的关系,从而解决问题.
一、创设情境,导入新知1.什么叫解直角三角形?2.如图,△ABC中,∠B=45°,∠C=60°,AD⊥BC于D,AD=2,求BC的长.
二、合作探究,理解新知1.方向角1引导学生复习与方向角有关的知识.2例题.例1如图,A城气象部门测得今年第9号台风上午8时在A城南偏东30°的海面生成,并以每小时40海里的速度向正北方向移动,上午10时测得台风中心移到了A城南偏东45°的方向,若台风中心120海里的范围内将受台风影响,问A城是否会受9号台风影响?分析A城是否会受台风影响,就是A城到台风移动路线BC的距离是否大于120海里.解过A作AE⊥BC于E,设AE=EC=x,则BE=x,∵BC=2×40=80,∴BC=BE-CE=-1x=
80.∴x=40+1≈
109.
3120.∴A城会受台风影响.【教学说明】通过例题,学会解决与方向角有关的问题.2.俯角、仰角1几个概念
①铅垂线;
②水平线;
③视线;
④仰角视线在水平线的上方,视线与水平线的夹角;
⑤俯角视线在水平线的下方,视线与水平线的夹角.说明学生阅读教材“读一读”.教学时,可以让学生仰视灯或俯视桌面以体会仰角与俯角.2例题例2如图,为了测量电线杆的高度AB,在离电线杆
22.7米的C处,用高
1.20米的测角仪CD测得电线杆顶端B的仰角α=22°,求电线杆AB的高.精确到
0.1米解在Rt△BDE中,BE=DE×tanα=AC×tanα=
22.7×tan22°≈
9.17,∴AB=BE+AE=BE+DC=
9.17+
1.20≈
10.4米.答电线杆的高度约为
10.4米.3练习教材第114页练习第1题.
三、尝试练习,掌握新知
1.如图,小雅家图中点O处门前有一条东西走向的公路,经测得有一水塔图中点A处在她家北偏东60度500m处,那么水塔所在的位置到公路的距离AB是 A.250m B.250mC.m D.250m2.教材第114页练习第2题.
3.如图,某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆高度,已知小明的眼睛与地面的距离AB是
1.7m,看旗杆顶部M的仰角为45°;小红的眼睛与地面的距离CD是
1.5m,看旗杆顶部M的仰角为30°.两人相距28米且位于旗杆两侧点B、N、D在同一条直线上.请求出旗杆MN的高度.参考数据≈
1.4,≈
1.7,结果保留整数【教学说明】完成上述问题后,让学生总结解决与仰角、俯角、方向角有关的问题时,常用以下两个基本图形.其中第一个图中满足DE=+,第二个图中满足DE=-.可让学生推导出这两个式子.4.请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂练习”部分.
四、课堂小结,梳理新知通过本节课的学习,你有什么收获?请学生总结通过学习两个例题及练习,初步学会把一些实际问题转化为数学问题,通过解直角三角形来解决,具体来说,本节课通过让学生把实际问题转化为数学问题,利用正切解直角三角形,从而把问题解决.本课涉及一种重要数学思想转化思想.
五、深入练习,巩固新知请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”部分.1.教材习题
24.4第
3、4题.
2.在我市迎接奥运圣火的活动中,某校教学楼上悬挂着宣传条幅DC,小丽同学在点A处,测得条幅顶端D的仰角为30°,再向条幅方向前进10米后,又在点B处测得条幅顶端D的仰角为45°,已知测点A、B和C离地面高度都为
1.44米,求条幅顶端D点距离地面的高度.计算结果精确到
0.1米,参考数据≈
1.414,≈
1.7323.如图,在小山的西侧A处有一热气球,以30米/分钟的速度沿着与垂直方向所成夹角为30°的方向升空,40分钟后到达C处,这时热气球上的人发现,在A处的正东方向有一处着火点B,十分钟后,在D处测得着火点B的俯角为15°,求热气球升空点A与着火点B的距离.结果保留根号,参考数据sin15°=,cos15°=,tan15°=2-第4课时 利用坡角或坡比解直角三角形【知识与技能】会运用解直角三角形有关知识解决与坡度、坡角有关的实际问题.【过程与方法】逐步培养学生分析问题、解决问题的能力;渗透数形结合的数学思想和方法.【情感态度】进一步感知本节与实际生活的密切联系,认识知识应用于实践的意义.【教学重点】解决有关坡度的实际问题.【教学难点】理解坡度的有关术语.
一、创设情境,导入新知前面我们研究了与仰角、俯角、方向角有关的问题,今天研究与坡度、坡角有关的问题.
二、合作探究,理解新知1.坡度、坡角的概念展示教材中“读一读”,你看懂图
24.
4.5了吗?几个概念1铅垂高度h;2水平长度l;3坡度坡比i坡面的铅垂高度h和水平长度l的比i=;4坡角α坡面与水平面的夹角α;i==tanα.显然,坡度i越大,坡角α就越大,坡面就越陡.2.例题例1如图,在山坡上种树,要求株距相邻两树间的水平距离是
5.5m,测得斜坡的倾斜角是24°,求斜坡上相邻两树间的坡面距离是多少精确到
0.1m.分析1例题中出现许多术语——株距、倾斜角,这些概念学生未接触过,比较生疏,而株距概念又是学生易记错之处,因此教师最好准备教具用木板钉成一斜坡,再在斜坡上钉几个铁钉,利用这种直观教具更容易说明术语,符合学生的思维特点.2引导学生将实际问题转化为数学问题画出图形上图中的第二个图.已知Rt△ABC中,∠C=90°,AC=
5.5m,∠A=24°,求AB.3学生运用解直角三角形知识完全可以独立解决例
1.教师可请一名同学上黑板做,其余同学在练习本上做,教师巡视.解在Rt△ABC中,cosA=,∴AB==≈
6.0米.答斜坡上相邻两树间的坡面距离约是
6.0米.教师引导学生评价黑板上的解题过程,做到全体学生都掌握.3.练习1沿山坡前进10米,相应升高5米,则山坡坡度________,坡角________.2若一斜坡的坡面的余弦为,则坡度为______.3堤坝横断面是等腰梯形.如图所示
①若AB=10,CD=4,高h=4,则坡度i=______,AD=______;
②若AB=10,CD=4,i=,则h=______.知识运用例2如图,一段路基的横断面是梯形,高为
4.2米,上底的宽是
12.51米,路基的坡面与地面的倾角分别是32°和28°.求路基下底的宽.精确到
0.1米先让学生思考在遇到梯形时怎么把它分割成能够解决的图形呢?解作DE⊥AB,CF⊥AB,垂足分别为E、F.由题意可知DE=CF=
4.2米,CD=EF=
12.51米.在Rt△ADE中,∵i==tan32°,∴AE=≈
6.72米.在Rt△BFC中,同理可得BF=≈
7.90米.∴AB=AE+EF+BF≈
6.72+
12.51+
7.90≈
27.1米.答路基下底的宽约为
27.1米.例3沿水库拦水坝的背水坡,将坝顶加宽2m,坡度由原来的1∶2改为1∶
2.5,已知坝高6m,坝长50m,求1加宽部分横断面的面积;2完成这一工程需要的土方是多少?分析加宽部分的横断面AFEB为梯形,故通过作梯形的高构造直角三角形,利用坡度的变化求解.解1设梯形ABCD为原大坝的横截面图,梯形AFEB为加宽部分,过A、F分别作AG⊥BC于G,FH⊥BC于H.在Rt△ABG中,由iAB=1∶2,AG=6,得BG=12,在Rt△EFH中,由iEF=1∶
2.5,FH=6,得EH=15,∴EB=EH-BH=EH-BG-HG=15-12-2=5,∴S四边形AFEB=2+5×6=21m
2.2V=50×S四边形AFEB=21×50=1050m
3.【教学说明】例3可根据学生情况、时间选择讲解.
三、尝试练习,掌握新知1.在坡角为30°的斜坡上两树间的水平距离AC为2m,则两树间的坡面距离AB为 A.4m B.m C.mD.4m2.某商场门前的台阶截面如图所示.已知每级台阶的宽度如CD均为30cm,每级台阶高度如BE均为20cm.为了方便残疾人行走,商场决定将其中一个门的门前台阶改造成供轮椅行走的斜坡,并且设计斜坡的倾斜角为9°,请计算从斜坡起点A到台阶前的点B的水平距离.参考数据sin9°≈
0.
16.cos9°≈
0.99,tan9°≈
0.163.如图,水库堤坝的横断面成梯形ABCD,DC∥AB.迎水坡AD长为2米,上底DC长为2米,背水坡BC长也为2米,又测得∠DAB=30°,∠CBA=60°,求下底AB的长.答案解过D、C分别作DE⊥AB于E,CF⊥AB于F.在Rt△ADE中,∠A=30°,AD=
2.∴DE=ADsin30°=,AE=ADcos30°=
3.在Rt△CBF中,BF=BCcos60°=1,∴AB=AE+EF+BF=3+2+1=6米.答下底的长为6米.4.请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂练习”部分.
四、课堂小结,梳理新知通过本节课的学习,你有什么收获?教师请学生总结1.在这类实际应用题中,都是直接或间接地把问题放在直角三角形中,虽然有一些专业术语,但要明确各术语指的什么元素,要善于发现直角三角形,用三角函数等知识解决问题.2.利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是1将实际问题抽象为数学问题画出平面图形,转化为解直角三角形的问题;2根据条件的特点,适当选用锐角三角函数去解直角三角形;3得到数学问题的答案;4得到实际问题的答案.
五、深入练习,巩固新知请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”部分.
1.教材第116页练习.
2.如图,梯形ABCD是拦水坝的横断面图图中i=1∶是指坡面的铅直高度DE与水平宽度CE的比,∠B=60°,AB=6,AD=4,求拦水坝的横断面ABCD的面积.结果保留三位有效数字.参考数据≈
1.732,≈
1.414。