还剩9页未读,继续阅读
本资源只提供10页预览,全部文档请下载后查看!喜欢就下载吧,查找使用更方便
文本内容:
2019-2020年高三上学期期初考试数学试题Word版含答案
一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分)1.函数的最小正周期是▲.(全对)答案;提示变式;.■2.设复数满足(是虚数单位),则的虚部为▲.答案;提示设,.■做错者王睿泽、吴桐.(要订正20条)3.某用人单位从甲、乙、丙、丁4名应聘者中招聘2人,若每名应聘者被录用的机会均等,则甲、乙2人中至少有1人被录用的概率为▲.答案;提示古典概型,正难则反;事件总数为,无甲无乙仅1种,∴.■做错者李慧敏、郭大为、焦晓佳.(要订正20条)4.某班有49位同学玩“数字接龙”游戏,具体规则按如图所示的程序框图执行(其中为座号),并以输出的值作为下一个输入的值;若第一次输入的值为8,则第三输出的值为▲.答案;提示.■做错者陆冰冰、翟荣蓉、潘倩玉.(要订正20条)5.已知圆锥的轴截面是边长为2的正三角形,则该圆锥的体积为▲.答案;提示底面半径为1,高为,.■做错者翟逸笑、蒋沛清.(要订正20条)6.已知将函数的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变),再向左平移个单位,可得到函数的图象,则▲.答案;提示.■做错者李慧敏、陈婷婷、卢稷楠.(要订正20条)7.若实数满足,则的取值范围是▲.答案;提示变式,设,则,从而.■做错者郑天宇、李慧敏、缪沁杨、陈煜琪、潘倩玉、徐雨桐.(要订正20条)8.已知中,角的对边分别为,且,则的值是▲.答案;提示“切化弦”、“正、余弦定理”同时发挥作用,通常着落在角上,偶尔在边上;变式.■做错者王睿泽.(要订正20条)9.已知椭圆的左焦点为,点是椭圆上异于顶点的任意一点,为坐标原点,若点是线段的中点,则的周长为▲.答案;提示圆锥曲线的核心解法是“紧扣定义”;设右焦点为,连结,则是的中位线,,;由定义和中位线定理得周长.■做错者刘剑雨、王钱益、顾盼、窦慧星.(要订正20条)10.已知函数对任意的满足,且当时,;若有4个零点,则实数的取值范围是▲.答案;提示偶函数,4个零点,则当时,必有2个;由二次函数的性质可知对称轴在轴右侧且顶点在轴下方;且,即且,故.■做错者黄少峰、仲建宇、刘剑雨、乔森、陈婷婷、许黄蓉、郭大为、贺文杰、陈子慧、窦慧星、卫世杰、徐雨桐.(要订正20条)11.设,已知关于的方程的四个实数根构成以为公比的等比数列,若,则实数的取值范围是▲.答案;提示二次函数的灵魂是“开口方向、对称轴、是否过定点”;变式;(本题有点难)考察两个函数和;开口向上,过共同的定点;故两函数的零点是同号的,又由于公比是正数,不妨设四个实数根均为正数,且;令四个根为,;它们构成以为公比的等比数列;由图象可知是的零点,是的零点;∴,,;再结合等比数列可得
①,
②,
③;
①②③得;令,则由于,有,再由在上是增函数;故.■做对者王宇嘉、武朝钦、季小淇、林芮、常毅琛、刘冬兰、石金鹏、韩婷婷、乔森、陆冰冰、陈胜、翟逸笑、李慧敏.共13人.12.在平面直角坐标系中,设直线与圆交于两点,为坐标原点,若圆上一点满足,则▲.答案;提示均在圆上,平方得;即,化简;设圆心到直线的距离为;则;于是有;(画图便知)解得即.■(本题不难)做对者王宇嘉、武朝钦、季小淇、洪宇晨、王亚丽、杨晨、常毅琛、杭慧、袁峥嵘、袁鑫、王小雨、孙琴、陈胜、王倩、王睿泽、黄河清、缪沁杨、王荣、钱睿、徐亚敏、翟荣蓉、陈婷婷、许黄蓉、王钱益、郭大为、蒋沛清、焦晓佳.共27人.13.若均为正实数,且,则的最小值为▲.答案;提示注意到,考虑保留,构造关于的一元二次不等式;设,则,且;结合题设,有,即;再由题设知;有,∴即;∴考察上式右端分母的最小值为,从而右端的最大值为;故所求式子的最小值为.■(本题有点难)做对者林芮、洪宇晨、王亚丽、杨晨、郑天宇.共5人.14.已知公差为的等差数列满足,且是的等比中项;记,则对任意的正整数均有,则公差的取值范围是▲.答案;提示由题意可得,从而;从而;∴;∴有对任意正整数恒成立;易知.■(本题不难)做对者季小淇、林芮、杨晨、刘冬兰、李慧敏.共5人.
二、解答题(本大题共6小题,共90分)15.(本题满分14分)锐角的内角的对边分别为,已知;
(1)求的值;
(2)若,,求的值.解析
(1)由条件可得;…………………………………………4分∴;即.……………………………………………………………………………7分
(2)由正弦定理得,可设,;(这里有点难)再由
(1)得,即,;………………………9分由锐角三角形可得,;从而;……………………………12分∴.■………………………………14分失分者刘剑雨、陆冰冰、王倩、张楷文、许黄蓉、潘倩玉、陈子慧、缪沁杨、钱睿、吴桐、仲建宇.共11人.(要订正5条)16.(本题满分14分)如图,在直三棱柱中,,点为的中点,点为的中点,点在上,且;
(1)求证平面平面;
(2)求证直线平面.证明
(1)由直三棱柱的定义可知平面;而平面,∴;…………………2分∵,点为的中点,∴;∵,平面,平面;∴平面;………………………………5分而平面∴平面平面.………………………7分
(2)连结并延长交于,连结;∵,,∴;∵是的中点,是的中点;∴;………………………………………11分而平面,平面;∴;平面.■………………………14分失分者王宇嘉、季小淇、王亚丽、杨晨、翟逸笑、张楷文、黄河清、王荣、钱睿、陈婷婷、王钱益、贺文杰、焦晓佳、窦慧星、徐雨桐.共15人.(要订正5条)17.(本题满分14分)如图,一楼房高为米,某广告公司在楼顶安装一块宽为米的广告牌,为拉杆,广告牌的倾角为,安装过程中,一身高为米的监理人员站在楼前观察该广告牌的安装效果;为保证安全,该监理人员不得站在广告牌的正下方;设米,该监理人员观察广告牌的视角;
(1)试将表示为的函数;
(2)求点的位置,使取得最大值.解析
(1)作于,作于,交于,作于,则;在直角中,,,则,;在直角中,有;在直角中,有;∴;再由题意可知监理人员只能在点右侧,即.………………………7分
(2)由
(1)得;令,则;∴,当且仅当即时,等号成立;此时,;又易知是锐角,即,而在是增函数;∴当时,取最大值.■…………………………………………………14分得满分者王宇嘉、季小淇、洪宇晨、杭慧、袁鑫、孙琴、石金鹏、黄少峰、仲建宇、刘剑雨、翟逸笑、张楷文、李慧敏、陈婷婷、贺文杰.共15人.得0分者韩婷婷、乔森、李继强、黄河清、缪沁杨、王荣、王赵晨、徐智雅、陈煜琪、郭大为、顾盼、刘晓宇、唐潇、贾幼、焦晓佳、陈子慧、窦慧星、徐雨桐.另加曹伟(仅得2分),共19人.(要订正5条)18.(本题满分16分)如图,椭圆的中心在原点,左焦点为,右准线方程为;
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若椭圆上点到定点的距离的最小值为1,求的值及点的坐标;
(3)分别过椭圆的四个顶点作坐标轴的垂线,围成如图所示的矩形,是所围成的矩形在轴上方的两个顶点;若是椭圆上两个动点,直线与椭圆的另一个交点分别为;且有直线的斜率之积等于直线的斜率之积,试探求四边形的面积是否为定值,并说明理由.解析
(1)设椭圆的方程为,为半焦距;由题意可得,;解得,从而有;∴椭圆的方程为.……………………………………………………4分
(2)设,由定点,考虑距离的平方;则;二次函数的图象对称轴为;由椭圆方程知;………6分由题设知;分类讨论
①当即时,在时有;解得,不符合题意,舍去;
②当即时,由单调性知在时有;解得或(舍);综上可得的值为2,点的坐标为.……………………………………10分
(3)由椭圆方程可知四条垂线的方程分别为、;则、;∴;设、,则有;∴由题意可得(*),而点均在椭圆上,有、;∴将(*)式平方并代入可得,即;………12分若,则分别是直线与椭圆的交点;∴四个点的坐标分别为、、、;∴四边形的面积为.…………………………………………………………14分若,则可设直线的方程为;化简可得;∴原点到直线的距离为,而;∴;根据椭圆的对称性,该四边形也是关于成中心对称;∴四边形的面积为,即为定值;综上所述四边形的面积为定值,该定值为.■………………………16分得10分以上者武朝钦、刘剑雨、季小淇、袁峥嵘、郑天宇、张楷文、许黄荣、潘倩玉、王亚丽、乔森、韩婷婷.共11人.19.(本题满分16分)对给定数列,如果存在实常数使得对任意都成立,我们称数列是“线性数列”;
(1)若,,,数列、是否为“线性数列”?若是,指出它对应的实常数和,若不是,请说明理由;
(2)求证若数列是“线性数列”,则数列也是“线性数列”;
(3)若数列满足,,为常数,求数列的前项的和.解析
(1)本小题的思路是紧扣定义.∵,∴,;∴数列是“线性数列”,对应的实常数分别为1,2;……………………………………2分∵,∴,;∴数列是“线性数列”,对应的实常数分别为2,0.……………………………………4分
(2)本小题的思路依旧是紧扣定义.∵数列是“线性数列”,∴存在实常数,使得对任意恒成立;再进一步有对任意恒成立;∴有对任意都成立,∴数列也是“线性数列”,对应的实常数分别为.………………………10分
(3)本小题的思路是成对出现,奇偶分清.当是偶数时,;……………………13分当是奇数时,;故.■……………………………………………………16分得满分者王倩、缪沁杨.得10分及以上者32人.得4分以下者李慧敏、卢稷楠、刘晓宇、徐雨桐.(要订正5条)20.(本题满分16分)已知函数,设直线分别是曲线的两条不同的切线;
(1)若函数为奇函数,且当时,有极小值为;求的值;若直线亦与曲线相切,且三条不同的直线交于点,求实数的取值范围;
(2)若直线,直线与曲线切于点且交曲线于点,直线与曲线切于点且交曲线于点,记点的横坐标分别为,求的值.解析
(1)本小题紧扣定义,用好条件,注意检验.∵是奇函数,且;∴,且即;∴;∴,而当时有极小值;…………………2分∴;……………………………4分经检验满足题意,则.……………………5分本小题三次函数的切线处理方法要洞明.设是曲线上的一点,由知,;∴过点的切线方程为,消去即得;由此切线方程形式可知过某一点的切线最多有三条;又由奇函数性质可知点是极大值点;从而是一条切线且过点;再设另两条切线的切点为、,其中;则可令切线,;将代入的方程中,并化简可得且;从而有且;…………………………………………8分∴是方程的两根;(下面考察取何值时,该方程有两个不相等的实根)构造函数,;由,而,,结合图象可得实数的取值范围是.………………10分
(2)注意第1小题与第2小题没有递进关系.令,;由及可得;而,化简可得,即;…………………………………12分(下面求和)将切线的方程代入中并化简得(注意切点横坐标是其一解),即,∴;同理,;则,,;∴.■………………………………………………16分得最高分者王宇嘉9分;得最低分者王荣1分.附加题与参考答案21.(本题满分20分)B.(本小题满分10分,矩阵与变换)在平面直角坐标系中,设曲线在矩阵对应的变换作用下得到曲线,且的方程为,求和的值.解析设是曲线上任意一点,在矩阵对应的变换下变为;则有,∴;代入到中,有,且;……………………………5分化简得即;∴且,而,;∴,.■………………………………………………………………………………10分被扣分者陈子慧、徐亚敏、王倩、翟逸笑、潘倩玉、孙琴、刘晓宇、季小淇、田景明、许黄蓉、张慧雯、徐智雅、蒋沛清、黄河清、徐雨桐、贾幼、武朝钦、曹伟、陈胜、王睿泽、贺文杰、卫世杰.共22人.(要订正5条)C.(本小题满分10分,极坐标系与参数方程)在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数);圆的参数方程是(为参数),与直线交于两个不同的点,点在圆上运动,求面积的最大值.解析直线的普通方程是,圆的普通方程;它们的交点分别为、;…………………………………………………………5分设点,则点到直线的距离为,当时,取最大值;而,∴当为时,取最大值.■……………………10分22.(本题满分10分)如图,平面,,,,,是的中点;
(1)求证平面;
(2)求二面角的余弦值.解析
(1)分别以为轴、轴、轴;建立如图所示的平面直角坐标系;则,,,,,;∴,,;∵,;∴,即,;而平面,且;∴平面.……………………………………………………………………4分
(2)设平面的法向量为,而,;则由;取,则,即;又由
(1)平面,∴是平面的法向量,而;∴,即与的夹角的余弦值为;故由图形可知二面角的余弦值为.■……………………10分得满分者共28人.被扣分者洪宇晨、杭慧、石金鹏、翟逸笑、张楷文、刘正宇、李慧敏、郭大为、刘晓宇、焦晓佳;共10人.23.(本题满分10分)设正整数满足,,,,…,为集合的元子集,且;
(1)若,满足;求证;求满足条件的集合的个数;
(2)若中至多有一个元素,求证.解析
(1)本小题关键写明白题设条件,用好题设条件.设,其中,∵是正整数,∴;则有,,,…,;累加上述各式得,即.…………………………3分本小题关键读懂题设条件,用好等价转化.由题设可知“任意两个元素之差的绝对值大于1”“子集中没有数值相邻的元素”;于是原题转化为“从个元素中,任取个元素,其中任意两个元素都不是相邻整数,有多少种取法?”下面采用“插空重组法”求出的个数.具体操作是S1插空S2重新编号.第一步先取出个元素,后将剩下的个元素排成一列,各元素之间,包括两端,一共有空档,再将个元素放回这空档中.第二步记着放回的元素,它们都不相邻,重新进行编号;回放的元素相当于取的新号元素.计数上述不同的放法,对应不同的一组新号,这些新号一定不相邻;这种放回的种数就是所求的的个数;由排列组合知识可得共有个.故满足条件的的个数是.……………………………………………………6分
(2)本小题关键读懂题设条件,用好反证法.由题设知集合是元子集,没有相同的二元子集;否则与“至多有一个元素”矛盾;而每一个的二元子集的个数为,其中,则所有的的二元子集的个数不超过,又对于全集来说,所有的二元子集的个数是,故.■……………………………………………10分得2分者王宇嘉、王亚丽、杭慧、潘倩玉;共4人.得1分者季小淇、王小雨、陆冰冰、陈胜、李慧敏、徐亚敏、曹伟、卢稷楠、吴桐、贺文杰、窦慧星、徐雨桐;共12人.。