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2019-2020年九年级数学上册第4章锐角三角函数
4.3解直角三角形作业新版湘教版
一、选择题1.在下列直角三角形中不能求解的是 A.已知一直角边和一锐角B.已知一斜边和一锐角C.已知两边D.已知两角2.如图K-34-1是教学用的三角尺,边AC=30cm,∠C=90°,tan∠BAC=,则边BC的长为 图K-34-1A.30cmB.20cmC.10cmD.5cm3.xx·牡丹江如图K-34-2,在△ABC中,AD⊥BC,垂足为D.若AC=6,∠C=45°,tan∠ABC=3,则BD的长为 图K-34-2A.2B.3C.3D.24.如图K-34-3,在△ABC中,∠C=90°,AC=8cm,AB的垂直平分线MN交AC于点D,连接BD,若cos∠BDC=,则BC的长是 图K-34-3A.4cmB.6cmC.8cmD.10cm5.在△ABC中,∠C=90°,tanA=,△ABC的周长为60,那么△ABC的面积为 A.60B.30C.240D.1206.如图K-34-4,△ABC中,AB=AC,AD是∠BAC的平分线.已知AB=10,tanB=,则BC的长为 图K-34-4A.6B.8C.12D.16
二、填空题7.在△ABC中,∠C=90°,cosA=,BC=12,那么AC=________.8.如图K-34-5,在菱形ABCD中,DE⊥AB,垂足为E,DE=6,sinA=,则菱形ABCD的周长是________.图K-34-59.已知△ABC,O为AC的中点,点P在AC上,若OP=,tanA=,∠B=120°,BC=2,则AP的长为________.
三、解答题10.根据下列条件解直角三角形ABC,其中∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c.1已知c=8,∠A=60°;2已知b=2,c=4;3已知c=4,a=b.11.在△ABC中,∠C=90°,cosA=,AB=8cm.求△ABC的面积.12.如图K-34-6,在△ABC中,已知BC=1+,∠B=60°,∠C=45°,求AB的长.图K-34-613.如图K-34-7,在△ABC中,CD是边AB上的中线,∠B是锐角,且sinB=,tanA=,AC=
3.1求∠B的度数及AB的长;2求tan∠CDB的值.图K-34-714.如图K-34-8所示,把一张长方形卡片ABCD放在每格宽度为12mm的横格纸中,恰好四个顶点都在横格线上,已知α=37°,求长方形卡片的周长.结果精确到1mm,参考数据sin37°≈
0.60,cos37°≈
0.80,tan37°≈
0.75图K-34-815.如图K-34-9,已知∠B=37°,AB=20,C是射线BM上一点.1求点A到BM的距离.2在下列条件中,可以唯一确定BC长的是________.填写所有符合条件的序号
①AC=13;
②tan∠ACB=;
③连接AC,△ABC的面积为
126.3在2的答案中,选择其中一个作为条件,画出草图,并求BC的长.参考数据sin37°≈
0.6,cos37°≈
0.8,tan37°≈
0.75图K-34-916探究性问题我们知道,直角三角形的边角关系可用三角函数来描述,那么在任意三角形中,边角之间是否也存在某种关系呢?如图K-34-10,在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,过点C作CD⊥AB于点D.在Rt△ADC中,CD=bsinA,AD=bcosA,∴BD=c-bcosA.在Rt△BDC中,由勾股定理,得CD2+BD2=BC2,即bsinA2+c-bcosA2=a2,整理,得a2=b2+c2-2bccosA.通过学习上述材料,解答下列问题1直接写出你探究得出的结论b2=________,c2=________;2请你用文字概括所得到的结论三角形中,任何一边的平方等于________________________________________________________________________;3在△ABC中,∠A=45°,b=2,c=2,求a和∠C;4在△ABC中,a=,b=,∠B=45°c>a>b,求边长c.图K-34-101.[解析]D 已知两角而没有三角形的边长不能求出三角形的任何一条边,故不能解这个直角三角形.2.[答案]C3.[解析]A ∵AC=6,∠C=45°,∴AD=AC·sin45°=6×=
6.∵tan∠ABC==3,∴BD==
2.4.[解析]A ∵∠C=90°,AC=8cm,AB的垂直平分线MN交AC于点D,连接BD,∴BD=AD,∴CD+BD=8cm.∵cos∠BDC==,∴=,解得CD=3cm,∴BD=5cm,∴BC=4cm.故选A.5.[解析]D 如图所示,由tanA=,设BC=12x,AC=5x,根据勾股定理,得AB=13x.由题意得12x+5x+13x=60,解得x=2,∴BC=24,AC=10,则△ABC的面积为
120.故选D.6.[解析]D ∵AB=AC,AD是∠BAC的平分线,∴BD=CD.∵tanB==,∴AD=BD.∵AD2+BD2=AB2,∴BD2+BD2=102,∴BD=8,∴BC=
16.故选D.7.[答案]8.[答案]40[解析]∵DE⊥AB,∴△ADE是直角三角形,∴sinA==,即AD=
10.∵菱形的四条边都相等,∴菱形ABCD的周长=10×4=
40.9.[答案]2或[解析]过点C作CD⊥AB的延长线于点D,∵∠ABC=120°,∴∠CBD=60°.∵BC=2,∴DC=BC·sin60°=2×=
3.∵tanA=,∴AD=2DC=6,∴AC==
3.∵O是AC的中点,∴AO=.∵OP=,∴AP的长为2或.10.解1∠B=30°,a=12,b=
4.2a=2,∠A=∠B=45°.3∠A=∠B=45°,a=b=
2.11.[解析]直接利用锐角三角函数由已知边AB求未知边AC,再用勾股定理求BC.解∵在Rt△ABC中,cosA==,∴AC=AB·cosA=cm.由勾股定理,得BC==cm.∴S△ABC=××=cm2.12.解过点A作AD⊥BC,垂足为D.设BD=x,在Rt△ABD中,AD=BD·tanB=x·tan60°=x.在Rt△ACD中,∵∠ADC=90°,∠C=45°,∴CD=AD=x.∵BC=1+,∴x+x=1+,解得x=1,即BD=
1.在Rt△ABD中,∵cosB=,∴AB===
2.13.解1过点C作CE⊥AB于点E,设CE=x,在Rt△ACE中,∵tanA==,∴AE=2x,∴AC==x,∴x=3,解得x=3,∴CE=3,AE=
6.在Rt△BCE中,∵sinB=,∴∠B=45°,∴△BCE为等腰直角三角形,∴BE=CE=3,∴AB=AE+BE=
9.即∠B的度数为45°,AB的长为
9.2∵CD为中线,∴BD=AB=
4.5,∴DE=BD-BE=
4.5-3=
1.5,∴tan∠CDE===2,即tan∠CDB的值为
2.14.解如图,过点B作BE⊥l于点E,DF⊥l于点F.∵α+∠DAF=180°-∠BAD=180°-90°=90°,∠ADF+∠DAF=90°,∴∠ADF=α=37°.根据题意,得BE=24mm,DF=48mm.在Rt△ABE中,sinα=,∴AB=≈=40mm.在Rt△ADF中,cos∠ADF=,∴AD=≈=60mm.∴矩形ABCD的周长≈2×40+60=200mm.15.解1如图
①,过点A作AD⊥BC于点D,则∠ADB=90°.在Rt△ABD中,∵∠ADB=90°,∠B=37°,∴AD=AB·sinB=
12.2
①以点A为圆心、13为半径画圆,与直线BM有两个交点,点C不唯一;
②由tan∠ACB=知∠ACB的大小确定,在△ABC中,∠ACB,∠B及AB确定,此时的三角形唯一;
③AB的长度和三角形的面积均确定,则点C到AB的距离即可确定,则BM上的点C是唯一的.故答案为
②③.3如图
②,方案一选
②,由1得,AD=12,BD=AB·cosB=
16.在Rt△ACD中,∵∠ADC=90°,∴CD==5,∴BC=BD+CD=
21.方案二选
③,过点C作CE⊥AB于点E,则∠BEC=90°,由S△ABC=AB·CE,得CE=
12.
6.在Rt△BEC中,∵∠BEC=90°,∴BC==
21. 16解1a2+c2-2accosB a2+b2-2abcosC2其他两边的平方和减去这两边与其夹角的余弦的乘积的2倍3在△ABC中,a2=b2+c2-2bccosA=22+22-2×2×2×=4,∴a=2,∴a2+c2=22+22=8,b2=22=8,∴a2+c2=b2,∴△ABC为直角三角形,且a=c=2,∴∠C=45°.4∵b2=a2+c2-2accosB,∴c2-c+1=0,解得c=.∵c>a>b,∴c=.。