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2019-2020年九年级数学下册
34.4二次函数的应用教案冀教版教学设计思想本节主要研究的是与二次函数有关的实际问题,重点是实际应用题,在教学过程中让学生运用二次函数的知识分析问题、解决问题,在运用中体会二次函数的实际意义二次函数与一元二次方程、一元二次不等式有密切联系,在学习过程中应把二次函数与之有关知识联系起来,融会贯通,使学生的认识更加深刻另外,在利用图像法解方程时,图像应画得准确一些,使求得的解更准确,在求解过程中体会数形结合的思想教学目标1.知识与技能会运用二次函数计其图像的知识解决现实生活中的实际问题2.过程与方法通过本节内容的学习,提高自主探索、团结合作的能力,在运用知识解决问题中体会二次函数的应用意义及数学转化思想3.情感、态度与价值观通过学生之间的讨论、交流和探索,建立合作意识和提高探索能力,激发学习的兴趣和欲望教学重点解决与二次函数有关的实际应用题教学难点二次函数的应用教学媒体幻灯片,计算器教学安排3课时教学方法小组讨论,探究式教学过程第一课时Ⅰ.情景导入师由二次函数的一般形式y=(a≠0),你会有什么联想?生老师,我想到了一元二次方程的一般形式(a≠0)师不错,正因为如此,有时我们就将二次函数的有关问题转化为一元二次方程的问题来解决现在大家来做下面这两道题(幻灯片显示)1.解方程2.画出二次函数y=的图像教师找两个学生解答,作为板书Ⅱ.新课讲授同学们思考下面的问题,可以共同讨论1.二次函数y=的图像与x轴交点的横坐标是什么?它与方程的根有什么关系?2.如果方程(a≠0)有实数根,那么它的根和二次函数y=的图像与x轴交点的横坐标有什么关系?生甲老师,由画出的图像可以看出与x轴交点的横坐标是-
1、2;方程的两个根是-
1、2,我们发现方程的两个解正好是图像与x轴交点的横坐标生乙我们经过讨论,认为如果方程(a≠0)有实数根,那么它的根等于二次函数y=的图像与x轴交点的横坐标师说的很好;教师总结一般地,如果二次函数y=的图像与x轴相交,那么交点的横坐标就是一元二次方程=0的根师我们知道方程的两个解正好是二次函数图像与x轴的两个交点的横坐标,那么二次函数图像与x轴的交点问题可以转化为一元二次方程的根的问题,我们共同研究下面问题[学法]通过实例,体会二次函数与一元二次方程的关系,解一元二次方程实质上就是求二次函数为0的自变量x的取值,反映在图像上就是求抛物线与x轴交点的横坐标问题已知二次函数y=
(1)观察这个函数的图像(图34-9),一元二次方程=0的两个根分别在哪两个整数之间?
(2)
①由在0至1范围内的x值所对应的y值(见下表),你能说出一元二次方程=0精确到十分位的正根吗?x
00.
10.
20.
30.
40.
50.
60.
70.
80.91y-1-
0.89-
0.76-
0.61-
0.44-
0.25-
0.04-
0.
190.
440.711
②由在
0.6至
0.7范围内的x值所对应的y值(见下表),你能说出一元二次方程=0精确到百分位的正根吗?x
0.
600.
610.
620.
630.
640.
650.
660.
670.
680.
690.70y-
0.040-
0.
0180.
0040.
0270.
0500.
0730.
0960.
1190.
1420.
1660.190
(3)请仿照上面的方法,求出一元二次方程=0的另一个精确到十分位的根
(4)请利用一元二次方程的求根公式解方程=0,并检验上面求出的近似解第一问很简单,可以请一名同学来回答这个问题生一个根在(-2,-1)之间,另一个在(0,1)之间;根据上面我们得出的结论师回答的很正确;我们知道图像与x轴交点的横坐标就是方程的根,所以我们可以通过观看图象就能说出方程的两个根现在我们共同解答第
(2)问教师分析我们知道方程的一个根在(0,1)之间,那么我们观看(0,1)这个区间的图像,y值是随着x值的增大而不断增大的,y值也是从负数过渡到正数,而当y=0时所对应的x值就是方程的根现在我们要求的是方程的近似解,那么同学们想一想,答案是什么呢?生通过列表可以看出,在(
0.6,
0.7)范围内,y值有-
0.04至
0.19,如果方程精确到十分位的正根,x应该是
0.6类似的,我们得出方程精确到百分位的正根是
0.62对于第三问,教师可以让学生自己动手解答,教师在下面巡视,观察其中发现的问题最后师生共同利用求根公式,验证求出的近似解教师总结我们发现,当二次函数(a≠0)的图像与x轴有交点时,根据图像与x轴的交点,就可以确定一元二次方程的根在哪两个连续整数之间为了得到更精确的近似解,对在这两个连续整数之间的x的值进行细分,并求出相应得y值,列出表格,这样就可以得到一元二次方程所要求的精确度的近似解Ⅲ.练习已知一个矩形的长比宽多3m,面积为6求这个矩形的长(精确到十分位)板书设计二次函数的应用
(1)
一、导入总结
二、新课讲授
三、练习第二课时师在我们的实际生活中你还遇到过哪些运用二次函数的实例?生老师,我见过好多如周长固定时长方形的面积与它的长之间的关系圆的面积与它的直径之间的关系等师好,看这样一个问题你能否解决活动1如图34-10,张伯伯准备利用现有的一面墙和40m长的篱笆,把墙外的空地围成四个相连且面积相等的矩形养兔场回答下面的问题1.设每个小矩形一边的长为xm,试用x表示小矩形的另一边的长2.设四个小矩形的总面积为y,请写出用x表示y的函数表达式3.你能利用公式求出所得函数的图像的顶点坐标,并说出y的最大值吗?4.你能画出这个函数的图像,并借助图像说出y的最大值吗?学生思考,并小组讨论解已知周长为40m,一边长为xm,看图知,另一边长为m由面积公式得y=(x·)化简得y=代入顶点坐标公式,得顶点坐标x=4,y=5y的最大值为5画函数图像通过图像,我们知道y的最大值为5师通过上面这个例题,我们能总结出几种求y的最值得方法呢?生两种;一种是画函数图像,观察最高(低)点,可以得到函数的最值;另外一种可以利用顶点坐标公式,直接计算最值师这位同学回答的很好,看来同学们是都理解了,也知道如何求函数的最值总结由此可以看出,在利用二次函数的图像和性质解决实际问题时,常常需要根据条件建立二次函数的表达式,在求最大(或最小)值时,可以采取如下的方法
(1)画出函数的图像,观察图像的最高(或最低)点,就可以得到函数的最大(或最小)值
(2)依照二次函数的性质,判断该二次函数的开口方向,进而确定它有最大值还是最小值;再利用顶点坐标公式,直接计算出函数的最大(或最小)值师现在利用我们前面所学的知识,解决实际问题活动2如图34-11,已知AB=2,C是AB上一点,四边形ACDE和四边形CBFG,都是正方形,设BC=x,
(1)AC=______;
(2)设正方形ACDE和四边形CBFG的总面积为S,用x表示S的函数表达式为S=_____.
(3)总面积S有最大值还是最小值?这个最大值或最小值是多少?
(4)总面积S取最大值或最小值时,点C在AB的什么位置?教师讲解二次函数进行配方为y=,当a0时,抛物线开口向上,此时当x=时,;当a0时,抛物线开口向下,此时当x=时,对于本题来说,自变量x的最值范围受实际条件的制约,应为0≤x≤2此时y相应的就有最大值和最小值了通过画出图像,可以清楚地看到y的最大值和最小值以及此时x的取值情况在作图像时一定要准确认真,同时还要考虑到x的取值范围解答过程(板书)解
(1)当BC=x时,AC=2-x(0≤x≤2)
(2)S△CDE=S△BFG=因此,S=+=2-4x+4=2+2,画出函数S=+2(0≤x≤2)的图像,如图34-4-3
(3)由图像可知当x=1时,;当x=0或x=2时,
(4)当x=1时,C点恰好在AB的中点上当x=0时,C点恰好在B处当x=2时,C点恰好在A处[教法]在利用函数求极值问题,一定要考虑本题的实际意义,弄明白自变量的取值范围在画图像时,在自变量允许取得范围内画练习如图,正方形ABCD的边长为4,P是边BC上一点,QP⊥AP,并且交DC与点Q
(1)Rt△ABP与Rt△PCQ相似吗?为什么?
(2)当点P在什么位置时,Rt△ADQ的面积最小?最小面积是多少?小结利用二次函数的增减性,结合自变量的取值范围,则可求某些实际问题中的极值,求极值时可把配方为y=的形式板书设计二次函数的应用
(2)活动1总结方法活动2练习小结第三课时我们这部分学习的是二次函数的应用,在解决实际问题时,常常需要把二次函数问题转化为方程的问题师在日常生活中,有哪些量之间的关系是二次函数关系?大家观看下面的图片(幻灯片显示交通事故、紧急刹车)师你知道两辆车在行驶时为什么要保持一定的距离吗?学生思考,讨论师汽车在行驶中,由于惯性作用,刹车后还要向前滑行一段距离才能停住,这段距离叫做刹车距离刹车距离是分析、处理道路交通事故的一个重要原因请看下面一个道路交通事故案例甲、乙两车在限速为40km/h的湿滑弯道上相向而行,待望见对方同时刹车时已经晚了,两车还是相撞了事后经现场勘查,测得甲车的刹车距离是12m,乙车的刹车距离超过10m,但小于12m根据有关资料,在这样的湿滑路面上,甲车的刹车距离S甲(m)与车速x(km/h)之间的关系为S甲=
0.1x+
0.01x2,乙车的刹车距离S乙(m)与车速x(km/h)之间的关系为S乙=教师提问
1.你知道甲车刹车前的行驶速度吗?甲车是否违章超速?
2.你知道乙车刹车前的行驶速度在什么范围内吗?乙车是否违章超速?学生思考!教师引导对于二次函数S甲=
0.1x+
0.01x2
(1)当S甲=12时,我们得到一元二次方程
0.1x+
0.01x2=12请谈谈这个一元二次方程这个一元二次方程的实际意义
(2)当S甲=11时,不经过计算,你能说明两车相撞的主要责任者是谁吗?
(3)由乙车的刹车距离比甲车的刹车距离短,就一定能说明事故责任者是甲车吗?为什么?生甲我们能知道甲车刹车前的行驶速度,知道甲车的刹车距离,又知道刹车距离与车速的关系式,所以车速很容易求出,求得x=30km,小于限速40km/h,故甲车没有违章超速生乙同样,知道乙车刹车前的行驶速度,知道乙车的刹车距离的取值范围,又知道刹车距离与车速的关系式,求得x在40km/h与48km/h(不包含40km/h)之间可见乙车违章超速了同学们,从这个事例当中我们可以体会到,如果二次函数y=(a≠0)的某一函数值y=M就可利用一元二次方程=M,确定它所对应得x值,这样,就把二次函数与一元二次方程紧密地联系起来了下面看下面的这道例题当路况良好时,在干燥的路面上,汽车的刹车距离s与车速v之间的关系如下表所示v/(km/h)406080100120s/m
24.
27.
21115.6
(1)在平面直角坐标系中描出每对(v,s)所对应的点,并用光滑的曲线顺次连结各点
(2)利用图像验证刹车距离s(m)与车速v(km/h)是否有如下关系
(3)求当s=9m时的车速v学生思考,亲自动手,提高学生自主学习的能力教师提问,学生回答正确答案,教师再进行讲解课上练习某产品的成本是20元/件,在试销阶段,当产品的售价为x元/件时,日销量为(200-x)件
(1)写出用售价x(元/件)表示每日的销售利润y(元)的表达式
(2)当日销量利润是1500元时,产品的售价是多少?日销量是多少件?
(3)当售价定为多少时,日销量利润最大?最大日销量利润是多少?课堂小结本节课主要是利用函数求极值的问题,解决此类问题时,一定要考虑到本题的实际意义,弄明白自变量的取值范围在画图像时,在自变量允许取的范围内画板书设计二次函数的应用
(3)
一、案例
二、例题分析练习总结。