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文本内容:
2019-2020年九年级数学下册第二十八章锐角三角函数教案(新版)新人教版
1.了解锐角三角函数的概念能够正确应用sinAcosAtanA表示直角三角形中两边的比.
2.能推导并熟记30°45°60°角的三角函数值并会由一个特殊角的三角函数值说出这个角.
3.能够正确地使用计算器由已知锐角求出它的三角函数值由已知三角函数值求出相应的锐角.
4.理解直角三角形中五个元素的关系以及什么是解直角三角形会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形.
5.会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题并能对相关知识进行综合应用.
1.通过探究锐角的正弦、余弦、正切概念的形成体会由特殊到一般的数学思想方法培养学生的归纳推理能力.
2.通过锐角三角函数的学习进一步认识函数体会函数的变化与对应的思想逐步培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力.培养学生从已有的知识、特殊图形中去感知、迁移.
3.综合运用所学知识解直角三角形逐步培养学生分析问题、解决问题的能力.培养学生思维能力的灵活性.
4.通过画示意图将实际问题转化为数学问题发展学生的抽象概括能力提高应用数学知识解决实际问题的能力.
5.经历从实际问题中建立数学模型的过程增强应用意识体会数形结合思想的应用.
1.通过积极参与数学学习活动体验数学活动中充满着探索与发现培养学生积极思考勇于探索的精神.
2.引导学生参与体验数学活动学会用数学思维方式思考、发现、总结、验证提高数学思维能力.
3.通过主动探究合作交流培养学生的团队精神增强合作意识同时让学生体验成功的快乐.
4.让学生经历观察、操作等数学活动探索三角函数有关知识锻炼克服困难的意志建立自信心.
5.在探索解直角三角形的过程中渗透数形结合思想培养学生综合运用知识的能力和良好的学习习惯.
6.通过将实际问题转化为数学问题培养建模思想调动学生学习数学的积极性和主动性培养学生认真思考等学习习惯形成实事求是的科学态度. 本章《锐角三角函数》是《数学课程标准》中“空间与图形”领域的重要内容是初中阶段研究三角形部分的最后阶段主要研究锐角三角函数和解直角三角形的内容掌握锐角三角函数的概念和解直角三角形的方法既是相似三角形及函数的继续也是继续学习三角形的基础本章属于三角学中的最基础的部分而高中阶段的三角内容是三角学的主体部分所以本章的学习是为高中数学中三角函数等知识的学习做准备. 本章在前边研究了直角三角形中三边之间的关系、两个锐角之间的关系的基础上进一步研究边角之间的关系本章包括锐角三角函数的概念主要是正弦、余弦和正切的概念以及利用锐角三角函数解直角三角形等内容锐角三角函数为解直角三角形提供了有效的工具解直角三角形在实际当中有着广泛的应用这也为锐角三角函数提供了与实际联系的机会研究锐角三角函数的直接基础是相似三角形的一些结论解直角三角形主要依赖锐角三角函数和勾股定理等内容因此相似三角形和勾股定理等是学习本章的直接基础.通过本章的学习使学生全面掌握直角三角形的组成元素之间的关系并综合运用已学知识解决与直角三角形有关的度量问题进一步培养学生的推理能力、运算能力和数学建模思想. 【重点】
1.正弦、余弦、正切的概念.
2.特殊角的三角函数值.
3.会解直角三角形.
4.能利用三角函数有关知识解决实际问题. 【难点】
1.解直角三角形的应用.
2.把实际问题转化为直角三角形中的问题并通过锐角三角函数解决问题. 1注重数形结合加深理解记忆 解决锐角三角函数的有关问题都是在直角三角形中进行的所以数形结合思想是本单元的重要思想方法.已知角所在的三角形为直角三角形时常根据三角函数定义得到边角之间的关系解决有关几何图形问题已知角不在直角三角形中时常通过作辅助线构造直角三角形再利用三角函数定义解决几何图形问题所以在教学中注重数形结合思想的学习在探究特殊角的三角函数值时结合特殊的直角三角形利用边角之间的关系通过计算得出特殊值体会由形到数的转化;由特殊角的三角函数值通过构造直角三角形得到边角之间的关系体会由数到形的转化. 2重视知识的形成过程深化理解概念 锐角三角函数的概念是本章的难点也是学习本章的关键难点在于锐角三角函数的概念反映了角度与数值之间对应的函数关系这种角与函数之间的关系学生以前没有接触过所以学生对三角函数概念的理解成为本章的难点.在教学设计中重视过程深化理解以直角三角形为主线力求体现生活化课堂的理念让学生在经历“问题情景——形成概念——应用拓展——反思提高”的基本过程中通过主动探究来体现他们的主体地位教师通过对学生参与学习的启发、调整、激励来体现自己的引导作用对学生的主体意识和合作交流的能力起着积极作用.学生经历概念的形成过程体验知识间的内在联系感受探究的乐趣从而加深对概念的理解和掌握.
28.1 锐角三角函数4课时
28.2 解直角三角形及其应用
28.
2.1 解直角三角形1课时
28.
2.2 应用举例2课时3课时单元概括整合1课时
28.1 锐角三角函数
1.利用相似的直角三角形探索直角三角形的锐角确定时它的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边的比是固定值从而引出正弦、余弦、正切的概念.
2.了解三角函数的概念理解锐角的正弦、余弦、正切的概念并能根据这些概念进行有关计算.
3.能推导并熟记30°45°60°角的三角函数值并能根据这些值说出对应的锐角度数.
4.能熟练计算含有30°45°60°角的三角函数的代数式.
5.让学生熟识计算器一些功能键的使用.会熟练运用计算器求锐角的三角函数值和由三角函数值求角.
1.通过探究锐角的正弦、余弦、正切概念的形成体会由特殊到一般的数学思想方法培养学生的归纳推理能力.
2.经过三角函数概念的发现与学习养成勤于思考善于发现的良好习惯.
3.通过锐角三角函数的学习进一步认识函数体会函数的变化与对应的思想逐步培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力.
4.通过推导特殊角的三角函数值了解知识间的联系提高综合运用数学知识解决问题的能力.
5.自己熟悉计算器在老师的指导下求一般锐角三角函数值体会数学知识与实际生活息息相关.
1.通过积极参与数学学习活动体验数学活动中充满着探索与发现培养学生积极思考勇于探索的精神.
2.引导学生参与体验数学活动学会用数学思维方式思考、发现、总结、验证提高数学思维能力.
3.通过主动探究合作交流培养学生的团队精神增强合作意识同时让学生体验成功的快乐.
4.让学生经历观察、操作等数学活动探索三角函数有关知识锻炼克服困难的意志建立自信心.
5.通过计算器的使用了解科学在人们日常生活中的重要作用激励学生热爱科学、学好文化知识. 【重点】
1.理解各三角函数的意义并会求锐角的各三角函数值.
2.熟记30°45°60°角的三角函数值能熟练计算含有30°45°60°角的三角函数的代数式.
3.运用计算器处理三角函数中的值或角的问题. 【难点】
1.探索各三角函数值的概念.
2.30°45°60°角的三角函数值的推导过程.
3.运用计算器处理三角函数中的值或角等问题.第课时
1.利用相似的直角三角形探索直角三角形的锐角确定时它的对边与斜边的比是固定值从而引出正弦的概念.
2.理解锐角的正弦的概念并能根据正弦的概念进行计算.
1.通过探究锐角的正弦的概念的形成体会由特殊到一般的数学思想方法培养学生的归纳推理能力.
2.通过锐角的正弦的学习逐步培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力.
1.通过锐角的正弦概念的建立体会从特殊到一般的数学思想方法渗透数形结合思想.
2.让学生在通过探索、分析、论证、总结获取新知识的过程中体验成功的快乐感悟数学的实用性培养学生学习数学的兴趣.
3.通过主动探究合作交流感受探索的乐趣和成功的体验体会数学的合理性和严谨性使学生养成积极思考的好习惯同时培养学生的团队合作精神. 【重点】 理解正弦函数的意义并会求锐角的正弦值. 【难点】 理解直角三角形的锐角确定时它的对边与斜边的比是固定值. 【教师准备】 多媒体课件. 【学生准备】 预习教材P61~
63.导入一: 意大利比萨斜塔在1350年落成时就已倾斜其塔顶中心点偏离垂直中心线
2.1m.1972年比萨地区发生地震这座高
54.5m的斜塔在大幅度摇摆后仍巍然屹立但塔顶中心点偏离垂直中心线增至
5.2m而且还在继续倾斜有倒塌的危险.当地从1990年起对斜塔维修纠偏xx年竣工此时塔顶中心点偏离垂直中心线的距离比纠偏前减少了
43.8cm. 【师生活动】 学生欣赏比萨斜塔图片教师介绍比萨斜塔有关知识然后引出本章课题. [过渡语] 你能用塔身中心线与垂直中心线所成的角来描述比萨斜塔的倾斜程度吗通过本章的学习你将能够解决这个问题.导入二: 【复习提问】
1.直角三角形有哪些特殊性质
2.有一个锐角是30°的直角三角形有什么特殊性质
3.有一个锐角是45°的直角三角形有什么特殊性质 【师生活动】 学生思考回答教师点评.导入三: 操场上有一个旗杆老师让小明去测量旗杆高度. 小明在离旗杆底部10米远处目测旗杆的顶部视线与水平线的夹角为34°并且已知目高为
1.5米然后他很快就能算出旗杆的高度了. [过渡语] 你想知道小明怎样算出的吗这就是我们即将探讨和学习的利用锐角三角函数来测量物体的高度.今天我们学习锐角三角函数的第一种——锐角的正弦. [设计意图] 通过大家熟知的意大利比萨斜塔导出本章学习内容激发学生学习本章的求知欲同时又以生活实例测旗杆的高度导入本课时的内容让学生体会测量旗杆的高度不仅可以用上章所学习的相似三角形还可以应用本章的锐角三角函数激发学生的学习兴趣体会生活与数学之间的密切联系.同时由复习导入新课为本节课的学习做好铺垫.
一、共同探究 思路一 为了绿化荒山某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管在山坡上修建一座扬水站对坡面的绿地进行喷灌.现测得斜坡的坡角∠A为30°为使出水口的高度为35m需要准备多长的水管 思考一 1你能不能把该实际问题转化为几何语言 [在Rt△ABC中∠C=90°∠A=30°BC=35m求AB如右图所示] 2你能求出AB的长度吗为什么 根据直角三角形中30°的锐角对应的直角边等于斜边的一半可得AB=2BC=70m 3计算题目中∠A的对边与斜边的比是多少. 4在该题目中如果出水口的高度为50m那么需要准备多长的水管此时的值是多少需要准备100m长的水管= 5出水口的高度改变∠A不变时∠A的对边与斜边的比是否变化不变都等于 【师生活动】 学生独立思考后小组交流答案学生展示结果教师点评归纳结论. 【结论】 在直角三角形中如果一个锐角等于30°无论这个直角三角形大小如何这个角的对边与斜边的比都等于. 思考二 1如下图所示任意画一个Rt△ABC使∠C=90°∠A=45°你能计算出∠A的对边与斜边的比吗 2通过计算你能得到什么结论 【师生活动】 学生思考后小组合作交流小组代表展示成果教师在巡视过程中帮助有困难的学生对学生的展示进行点评共同归纳结论. 【结论】 在直角三角形中如果一个锐角等于45°无论这个直角三角形大小如何这个角的对边与斜边的比都等于. 思考三 【猜想】 一般地当∠A取其他一定度数的锐角时它的对边与斜边的比是否也是一个固定值 如图所示Rt△ABC和Rt△ABC中∠C=∠C=90°∠A=∠A=α那么与有什么关系用语言叙述你的结论. 【师生活动】 学生独立思考后小组合作交流共同得出结论教师对学生的展示进行点评. 【板书】 由于∠C=∠C=90°∠A=∠A=α 所以Rt△ABC∽Rt△ABC 因此=即=. 【课件展示】 在直角三角形中当锐角A的度数一定时无论这个直角三角形的大小如何∠A的对边与斜边的比都不变是一个固定值. 思路二 动手操作: 1测量自己手中一副三角板中30°45°60°角所对的直角边与斜边的长度并计算它们的比值.其中一同学测量、计算教师手中的三角板中各角所对的直角边与斜边的比值. 2小组内交流计算结果三角板的大小不同30°45°60°角所对的直角边与斜边的比有什么特点你能得到什么结论 【师生活动】 学生动手测量、计算小组内交流结果共同归纳结论教师及时发现学生存在的问题并及时纠正对学生的结论进行点拨. 【结论】 不论三角板大小如何30°45°60°角的对边与斜边的比都是一个固定值. 【猜想】 如果是任意一个直角三角形当一个锐角的度数固定时这个角的对边与斜边的比是否也是固定值呢 【验证】 如图所示Rt△ABC和Rt△ABC∠C=∠C=90°∠A=∠A=α那么与有什么关系用语言叙述你的结论. 【师生活动】 学生独立思考后小组合作交流共同得出结论教师对学生的展示进行点评. 【板书】 由于∠C=∠C=90°∠A=∠A=α 所以Rt△ABC∽Rt△ABC 因此=即=. 【课件展示】 在直角三角形中当锐角A的度数一定时无论这个直角三角形的大小如何∠A的对边与斜边的比都不变是一个固定值. [设计意图] 思路一由实际问题入手计算直角三角形中特殊锐角所对的直角边与斜边的比是固定值然后类比探索出直角三角形中锐角确定时它所对的直角边与斜边的比是固定值;思路二通过操作、测量、猜想、验证得出结论让学生体会由特殊到一般的数学思想方法培养学生的归纳总结能力.
二、形成概念 [过渡语] 在直角三角形中锐角的度数一定时它所对的直角边与斜边的比是固定值这个固定值就是这个锐角的正弦值. 【课件展示】 如图所示在Rt△ABC中∠C=90°我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦记作sinA即sinA==. 【思考】 1当∠A=30°或∠A=45°时∠A的正弦为多少当∠A=30°时sinA=sin30°=;当∠A=45°时sinA=sin45°= 2∠A的正弦sinA表示的是sin与A的乘积还是一个整体sinA表示的是一个整体 3当∠A的大小变化时sinA是否变化sinA随着∠A的大小变化而变化 4sinA有单位吗sinA是一个比值没有单位 5∠B的正弦怎么表示 6要求一个锐角的正弦值我们需要知道直角三角形中的哪些边需要知道这个锐角的对边和斜边 【师生活动】 学生思考小组合作交流小组代表回答问题教师点拨. [设计意图] 在一系列的问题解决中经历从特殊到一般建立数学概念的过程让学生理解、认识正弦的概念及写法和意义教师强调概念中需注意的事项加深对正弦概念的理解和掌握.
三、例题讲解 教材例1如图所示在Rt△ABC中∠C=90°求sinA和sinB的值. 教师引导思考: 1求sinA实际上要确定什么依据是什么sinB呢 2sinAsinB的对边和斜边是已知的吗 3直角三角形中已知两边如何求三角形的第三边 【师生活动】 学生思考后回答问题然后书写解题过程小组交流结果小组代表板书过程教师规范解题步骤. 【课件展示】 解:如图1所示在Rt△ABC中由勾股定理得AB===
5. 因此sinA==sinB==. 如图2所示在Rt△ABC中由勾股定理得AC===
12. 因此sinA==sinB==. [设计意图] 学生在教师的引导下根据正弦的概念求出角的正弦值教师规范学生的解题过程让学生体会数学的严谨性培养学生分析问题和解决问题的能力. [知识拓展] 1正弦是一个比值没有单位. 2正弦值只与角的大小有关与三角形的大小无关. 3sinA是一个整体符号不能写成sin·A. 4当用三个字母表示角时角的符号“∠”不能省略如sin∠ABC. 5sin2A表示sinA2不能写成sinA
2.
1.在直角三角形中当锐角A的度数一定时无论这个直角三角形的大小如何∠A的对边与斜边的比都是一个固定值.
2.正弦的定义:在Rt△ABC中∠C=90°我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦记作sinA即sinA==.
1.如图所示△ABC的顶点都是正方形网格每个小正方形的边长均为1中的格点则sin∠ABC等于 A. B. C. D. 解析:如图所示过点A向BC引垂线与BC的延长线交于点D.在Rt△ABD中AD=2BD=4∴AB==2∴sin∠ABC==.故选C.
2.把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍则锐角A的正弦值 A.不变 B.缩小为原来的 C.扩大为原来的3倍 D.不能确定 解析:因为△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍所得的三角形与原三角形相似所以锐角A的大小没改变所以锐角A的正弦值也不变.故选A.
3.在Rt△ABC中∠C=90°sinA=AB=20则BC= . 解析:∵AB=20sinA=∴sinA==∴BC=×20=
12.故填
12.
4.如图所示在菱形ABCD中DE⊥AB垂足为EDE=8cmsinA=则菱形ABCD的面积是 cm
2. 解析:在菱形ABCD中DE⊥AB在Rt△DEA中DE=8cmsinA=则=则AD=10cm.所以AB=AD=10cm所以菱形ABCD的面积=DE×AB=8×10=80cm
2.故填
80.
5.在Rt△ABC中∠C=90°BC=6且sinB=试分别求出ACAB的值. 解:在Rt△ABC中∠C=90° ∴sinB==. 设AC=3x则AB=5x. 又AB2=AC2+BC2 ∴5x2=3x2+62=9x2+36 即25x2=9x2+36 ∴x=∴AC=3x=AB=5x=. 第1课时
1.共同探究
2.形成概念 在Rt△ABC中∠C=90°则sinA==.
3.例题讲解 例题
一、教材作业【必做题】 教材第68页习题
28.1第124题.只求正弦【选做题】 教材第69页习题
28.1第6题.
二、课后作业【基础巩固】
1.在Rt△ABC中∠C=90°AB=2AC=1则sinB的值为 B. C. D.
22.三角形在正方形网格每个小正方形的边长均为1中的位置如图所示则sinα的值是 A. B.C. D.
3.在△ABC中∠C=90°AB=15sinA=则BC等于 A.45 B.5 C. D.
4.在Rt△ABC中∠C=90°AB=2BC则sinB的值为 A. B. C. D.
15.如图所示在Rt△ABC中∠ACB=90°CD⊥AB垂足为D若AC=BC=2则sin∠ACD的值为 A. B. C. D.
6.在Rt△ABC中∠C=90°AC=5AB=8则sinA= .
7.在Rt△ABC中∠C=90°BC=4sinA=则AB= .
8.如图所示AB是☉O的直径点CD在☉O上且AB=5BC=3则sin∠BAC= sin∠ADC= sin∠ABC= .
9.在Rt△ABC中∠C=90°AC=1cmBC=2cm求sinA和sinB的值.
10.在Rt△ABC中∠C=90°.1若sinA=BC=9求AB的长;2若sinB=AB=10求BC的长.【能力提升】
11.如图所示圆O的直径CD=10cm且AB⊥CD垂足为PAB=8cm则sin∠OAP= .
12.在Rt△ABC中∠C=90°sinA=BC=20则sinB= .
13.如图所示菱形ABCD的周长为40cmDE⊥AB垂足为EsinA=.则下列结论正确的有 .填序号
①DE=6cm;
②BE=2cm;
③菱形面积为60cm2;
④BD=4cm.
14.如图所示将一张矩形纸片ABCD沿CE折叠B点恰好落在AD边上设此点为F若AB∶BC=4∶5求sin∠CFDsin∠DCF的值.【拓展探究】
15.如图所示在△ABC中∠C=90°AC=BCBD为AC边上的中线求sin∠ABD的值.【答案与解析】
1.A解析:在Rt△ABC中∠C=90°sinB==.故选A.
2.C解析:观察网格图可知在直角三角形中α的对边长为3邻边长为4根据勾股定理可得斜边长为5所以根据正弦定义可得sinα=.故选C.
3.B解析:∵sinA==AB=15∴BC=
5.故选B.
4.C解析:在Rt△ABC中∠C=90°AB=2BC设BC=a则AB=2a根据勾股定理可得AC===a∴sinB===.故选C.
5.A解析:在Rt△ABC中根据勾股定理可得AB===
3.由题意知∠B+∠BCD=90°∠ACD+∠BCD=90°∴∠B=∠ACD.∴sin∠ACD=sinB==.故选A.
6.解析:在Rt△ABC中∠C=90°AC=5AB=8∴BC===∴sinA==.故填.
7.6解析:∵sinA===∴AB=
6.故填
6.
8. 解析:∵AB是☉O的直径∴∠ACB=90°.∵AB=5BC=3∴sin∠BAC==AC===4∴sin∠ADC=sin∠ABC==.故依次填.
9.解:由勾股定理可得AB==cm所以sinA===sinB===.
10.解:1∵sinA==又BC=9∴AB=
15. 2∵sinB==又AB=10∴BC=
8.
11.解析:∵AB⊥CD∴AP=BP=AB=×8=4cm在Rt△OAP中OA=CD=5cm∴OP==3cm∴sin∠OAP==.故填.
12.解析:在Rt△ABC中∠C=90°sinA=即=设CB=4x则AB=5x∴根据勾股定理可得AC=3x.∴sinB==.故填.
13.
①②③解析:∵菱形ABCD的周长为40cm∴AD=AB=BC=CD=10cm.∵DE⊥AB垂足为E∴sinA===∴DE=6cm∴AE=8cm∴BE=2cm.∴菱形的面积为AB×DE=10×6=60cm
2.在Rt△BED中BE=2cmDE=6cm∴BD=2cm.∴
①②③正确
④错误.故填
①②③.
14.解:由AB∶BC=4∶5可设AB=4kBC=5k由折叠可知CF=CB=5k.矩形ABCD中CD=AB=4k在Rt△CDF中由勾股定理可得DF==3k∴sin∠CFD==sin∠DCF==.
15.解:如图所示作DE⊥AB于E.设BC=AC=2x∵BD为AC边上的中线∴CD=AD=AC=x.在Rt△BCD中根据勾股定理得BD=x.∵∠C=90°AC=BC∴∠A=∠CBA=45°又∵DE⊥AB∴∠A=∠EDA=45°∴AE=DE=x在Rt△BDE中sin∠ABD===. 通过复习含特殊角的直角三角形的性质为本节课的探究做好铺垫用具体情景引入新课把教学内容转化为具有潜在意义的问题让学生带着问题进入课堂然后用具体实例的探究层层递进由特殊到一般引导学生归纳总结出:直角三角形的锐角确定时它的对边与斜边的比是固定值的特点从而自然引出正弦的概念顺理成章完成知识的迁移学生通过动手操作、合作探究、归纳总结等数学活动突破了本节课的重点和难点培养了学生发现问题、探究思考与合作交流的能力.在课堂上学生参与意识较强课堂气氛活跃让不同的学生得到不同的发展突出了学生在课堂上的主体作用. 本节课的重点是探究直角三角形中锐角确定时它的对边和斜边的比是固定值由此归纳总结正弦定义在教学设计中注重知识间的联系由前边所学知识自然推导结论由结论自然导出正弦概念但在授课过程中忽略了学生的认知能力部分学生对锐角的正弦的理解有困难在以后的教学中给出正弦的定义后应给出几个简单练习加深学生对概念的理解和掌握. 本节课的内容是探究直角三角形中锐角确定时它的对边和斜边的比是固定值把这个固定值定义为这个锐角的正弦在教学设计中以比萨斜塔导入新课激发学生学习本章内容的好奇心和求知欲然后通过复习特殊直角三角形的性质为本节课的探究活动做好铺垫通过探究特殊图形中边之间的关系猜想一般直角三角形中边之间的关系然后理论证明猜想从而很自然地导出概念让学生经历概念的形成过程利于对概念的理解和掌握同时提高数学思维和能力. 练习教材第64页
1.解:1∵在Rt△ABC中AB===∴sinA===sinB===. 2∵在Rt△ABC中BC===2∴sinA===sinB===.
2.提示:sinA=. 本节课是锐角三角函数的第一个课时在教学设计中通过设计“思考”“探究”“归纳”等教学环节为学生提供探究交流的空间发展学生的思维能力.教材中直接给出了正弦的概念而概念的形成过程的探索留给了学生在本节课的教学设计中通过复习特殊直角三角形的性质为学生探究活动做好铺垫然后给出特殊的直角三角形学生通过独立思考、小组合作交流、共同归纳等数学活动探索出结论“在直角三角形中当一个锐角确定时这个角的对边与斜边的比是固定值”然后教师引导学生思考对于一般的直角三角形是否具有这样的性质.学生通过动手操作合作探究完成严格的理论证明从而得到结论的正确性很自然地引出正弦的概念.在课堂上以问题引导的形式让学生积极参与课堂亲身经历知识的形成过程为学生提供了更加广阔的探索空间让学生学会观察、思考、与他人合作及归纳总结从而提高学生分析问题、解决问题的能力使数学思维得到进一步的提升. 如图所示在下列网格中小正方形的边长均为1点ABO都在格点上则∠AOB的正弦值是 A. B. C. D. 〔解析〕 如图所示作AC⊥OB交OB延长线于点C.则AC=AO==2则sin∠AOB===.故选D.第课时
1.探索直角三角形的锐角确定时它的邻边与斜边的比、对边与邻边的比是固定值从而引出余弦、正切的概念.
2.了解锐角三角函数的概念理解锐角的余弦、正切的概念并能根据余弦、正切的概念进行计算.
1.结合正弦概念探索锐角的余弦、正切概念的形成培养学生类比推理的能力.
2.通过探究锐角的余弦、正切概念的形成体会由特殊到一般的数学思想方法培养学生的归纳推理能力.
3.通过锐角三角函数的学习进一步认识函数体会函数的变化与对应的思想逐步培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力.
1.通过观察、思考、交流、总结等数学活动体验数学学习充满着探索与发现培养学生积极思考勇于探索的精神.
2.通过主动探索合作交流增强学生的合作意识体验成功的快乐增强学习数学的信心.
3.培养学生敢于发表自己的想法勇于质疑养成认真勤奋、独立思考、合作交流等学习习惯形成实事求是的科学态度. 【重点】 理解余弦、正切的概念并会求锐角的余弦值、正切值. 【难点】 类比正弦的概念探索余弦、正切的概念. 【教师准备】 多媒体课件. 【学生准备】 预习教材P64~
65.导入一: 【复习提问】
1.在直角三角形中当一个锐角的大小一定时它的对边与斜边的比有什么规律
2.什么是正弦如何求一个角的正弦
3.探究正弦的概念时我们用了什么方法导入二: 观察两个大小不同的三角板当角是30°45°60°时它们的邻边与斜边、对边与邻边的比有什么规律谈谈你的看法. [过渡语] 类比探究正弦的方法在直角三角形中当锐角的度数一定时它的邻边与斜边、对边与邻边的比也是固定的值这就是我们这节课要学习的内容. [设计意图] 通过复习提问回忆上节课的探究方法用类比的方法探究本节课的内容为本节课的学习做好铺垫.计算直角三角板中特殊角的邻边与斜边、对边与邻边的比归纳规律很自然地引出本节课要学习的概念同时培养学生计算、观察、猜想的能力.
一、新知探究 思路一 【思考】 在不同的直角三角形中当锐角A的度数相同时它们的邻边与斜边的比、对边与邻边的比是同一个固定值吗 【师生活动】 教师提示类比上节课的证明思路学生独立完成证明过程学生代表板书教师规范证明过程. 已知:如图所示在Rt△ABC和Rt△ABC中∠C=∠C=90°∠A=∠A=α. 求证:==. 【师生活动】 学生独立思考后小组合作交流共同得出结论教师对学生的展示进行点评. 【板书】 证明:由于∠C=∠C=90°∠A=∠A=α所以Rt△ABC∽Rt△ABC 因此=即=. 同理可得=即=. 【思考】 大家能不能得出锐角B的度数一定时∠B的邻边与斜边、∠B的对边与邻边的比是不是一个固定值呢 学生思考回答教师点评. 【课件展示】
1.在直角三角形中当锐角的度数一定时无论这个直角三角形的大小如何这个角的邻边与斜边的比都是一个固定值.
2.在直角三角形中当锐角的度数一定时无论这个直角三角形的大小如何这个角的对边与邻边的比都是一个固定值. 思路二 如图所示在Rt△AB1C1和Rt△AB2C2中∠AC1B1=∠AC2B2=90°. 【思考】 1Rt△AB1C1与Rt△AB2C2之间有什么关系Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2 2与与之间各有什么关系== 3在射线AB1上任取一点B3过B3作B3C3⊥AC1垂足为C3则与与之间有什么关系== 4根据以上思考你得到什么结论直角三角形中∠A的邻边与斜边、对边与邻边的比是固定不变的 5如果改变∠A的大小上边的比值是否变化归纳你的结论. 【师生活动】 教师提出问题学生思考后小组合作交流共同归纳结论教师巡视过程中帮助有困难的学生对学生的回答作出点评. 【课件展示】
1.在直角三角形中当锐角的度数一定时无论这个直角三角形的大小如何这个角的邻边与斜边的比都是一个固定值.
2.在直角三角形中当锐角的度数一定时无论这个直角三角形的大小如何这个角的对边与邻边的比都是一个固定值. [设计意图] 在教师提出的问题的引导下学生通过小组合作交流类比上节课探究问题的方法经过观察、讨论、验证等数学活动归纳出结论为归纳理解三角函数定义做好铺垫同时培养学生的归纳总结能力.
二、形成概念 [过渡语] 在直角三角形中锐角的度数一定时角的邻边与斜边、对边与邻边的比是固定值我们把这两个固定值分别定义为余弦和正切. 【课件展示】 如图所示在Rt△ABC中∠C=90°我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦记作cosA即cosA==. 同样把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切记作tanA即tanA==. 【思考】 当∠A的大小变化时sinAcosAtanA是否变化对于锐角A的每一个确定的值sinAcosA和tanA是否有唯一的值和它对应 【师生活动】 学生思考回答教师引导点评. 归纳:sinAcosAtanA都是∠A的函数. 【课件】 锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数. [设计意图] 教师根据上边的总结验证类比正弦的概念形成引导学生认识理解余弦、正切的概念教师可以强调概念中需注意的事项加深学生对锐角三角函数概念的理解和掌握.
三、例题讲解 教材例2如图所示在Rt△ABC中∠C=90°AB=10BC=6求sinAcosAtanA的值. 【思考】 1根据余弦、正切的定义要求cosAtanA的值必须求出哪条边的长 2怎样求出AC的长 【师生活动】 学生思考后回答问题然后书写解题过程小组交流结果小组代表板书过程. 【课件展示】 解:由勾股定理得AC===8 所以sinA=== cosA=== tanA===. 补充拓展如图所示在Rt△ABC中∠C=90°BC=6sinA=求cosAtanB的值. 【解析】 1已知sinA和BC的值根据正弦定义可以求出三角形的哪条边长 2你能不能求出三角形的第三条边长 3根据余弦、正切定义你能求出cosAtanB的值吗 【师生活动】 学生独立思考完成小组内交流答案教师帮助有困难的学生对学生的答案进行点评. 解:∵sinA=∴AB==6×=
10. 又∵AC===8 ∴cosA==tanB==. [设计意图] 在教师提出的问题的引导下学生独立思考完成教师对学生的结果进行点评让学生根据概念求出各三角函数值加深学生对概念的理解和掌握同时让学生综合运用勾股定理、三角函数概念进行有关计算培养学生综合运用数学知识解决问题的能力. [知识拓展] 1余弦和正切都是一个比值没有单位. 2余弦值和正切值只与角的大小有关而与三角形的大小无关. 3cosAtanA都是一个整体符号不能写成cos·Atan·A. 4当用三个字母表示角时角的符号“∠”不能省略如tan∠ABC. 5在Rt△ABC中∠C=90°由于sinA==cosA==sinB==cosB==tanA==tanB==因此sinA=cosBcosA=sinBtanA·tanB=
1. 6在Rt△ABC中∠C=90°∴a2+b2=c2∵sinA=cosA=tanA=∴sin2A+cos2A=1tanA=.
1.在直角三角形中当锐角A的度数一定时无论这个直角三角形的大小如何∠A的邻边与斜边的比、对边与邻边的比都是一个固定值.
2.余弦、正切的定义:在Rt△ABC中∠C=90°我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦记作cosA即cosA==.把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切记作tanA即tanA==.
3.三角函数定义:锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数.
1.已知Rt△ABC中∠C=90°AB=4AC=1则cosA的值是 A. B. C. D.4 解析:根据余弦定义可得cosA==.故选B.
2.在Rt△ABC中∠C=90°AB=13AC=12则下列选项正确的是 A.sinA= B.cosA= C.tanA= D.以上都不对 解析:由勾股定理可得BC==5∴sinA==cosA==tanA==.故选B.
3.如图所示ABC三点在正方形网格线的交点处网格中小正方形的边长均为1若将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△ACB则tanB的值为 . 解析:由旋转可得∠B=∠B所以tanB=tanB=.故填.
4.如图所示在△ABC中∠C=90°cosA=AB=12求△ABC的面积. 解:∵cosA==AB=12∴AC=
4. 由勾股定理可得BC===4 ∴S△ABC=AC·BC=×4×4=
24. 第2课时
1.新知探究
2.形成概念 在Rt△ABC中∠C=90°则cosA==tanA==.
3.例题讲解 例1 例2
一、教材作业【必做题】 教材第68页习题
28.1第124题.【选做题】 教材第70页习题
28.1第10题.
二、课后作业【基础巩固】
1.已知Rt△ABC中∠C=90°AB=5BC=3则tanB的值是 A. B. C. D.
2.已知Rt△ABC中∠C=90°BC=1AC=2则tanA的值是 A.2 B. C. D.
3.已知Rt△ABC中∠C=90°tanA=BC=8则AC等于 A.6 B. C.10 D.
124.如图所示若cosα=则sinα的值为 A. B.C. D.
5.连云港中考小明在学习“锐角三角函数”中发现将如图1-13所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠使点A在BC上的点E处还原后再沿过点E的直线折叠使点A落在BC上的点F处这样就可以求出
67.5°的角的正切值是 A.+1 B.+1 C.
2.5 D.
6.xx·巴中中考如图所示将∠AOB放在边长为1的小正方形组成的网格中则tan∠AOB= .
7.如图所示AB是☉O的直径AB=15AC=9连接BC则tan∠ADC= .
8.在Rt△ABC中∠C=90°tanA=AB=
26.求cosB及AC的长.【能力提升】
9.如图所示ABC三点在正方形网格线的交点处每个小正方形的边长均为
1.若将△ACB绕着点A逆时针旋转到如图所示的位置得到△ACB使ACB三点共线则tan∠BCB的值为 .
10.如图所示AB是☉O的直径且AB=5CD是☉O的弦AD与BC相交于点E若CD=2则cos∠BED= .
11.如图所示在Rt△ABC中∠C=90°AM是BC边上的中线sin∠CAM=则tanB的值是 .
12.如图所示在△ABC中AD是BC边上的高tanB=cos∠DAC.1求证AC=BD;2若sinC=BC=12求AD的长.【拓展探究】
13.如图所示在Rt△ABC中∠C=90°D是BC边上一点AC=2CD=1设∠CAD=α.1求sinαcosαtanα的值;2若∠B=∠CAD求BD的长.【答案与解析】
1.D解析:在Rt△ABC中由勾股定理可得AC==4∴tanB==.故选D.
2.B解析:在Rt△ABC中∵∠C=90°AC=2BC=1∴tanA==.故选B.
3.A解析:∵tanA==BC=8∴AC==BC=
6.故选A.
4.D解析:∵cosα==∴设α的邻边长为k斜边长为10k由勾股定理可得α的对边长为=3k∴sinα===.故选D.
5.B解析:注意折叠前后对应点关于对称轴对称也就是说△ABE和△AEF都是等腰三角形进而得到
67.5°的角为∠FAB.设AB=x则BE=x在直角三角形ABE中利用勾股定理求得AE=EF=x于是BF=+1x.在直角三角形ABF中tan∠FAB===+1=tan
67.5°.故选B.
6.解析:过点A作AD⊥OB垂足为D如图所示在Rt△AOD中AD=1OD=2则tan∠AOB==.故填.
7.解析:∵AB为☉O的直径∴∠ACB=90°.∵AB=15AC=9∴根据勾股定理得BC=
12.∵∠ADC和∠ABC是同弧所对的圆周角∴∠ADC=∠ABC.∴tan∠ADC=tan∠ABC===.
8.解:在Rt△ABC中∠C=90°∴tanA==∴设BC=2kAC=3k由勾股定理可得AB=k∴k=26∴k=2∴BC=2k=4AC=3k=6∴cosB===.∴AC的长为6cosB=.
9.2解析:如图所示连接BD由正方形网格利用勾股定理得BC=CD=BD=2则CD2+BD2=BC2所以CD⊥BD则tan∠BCB==
2.
10.解析:如图所示连接BD则∠ADB=90°易知∠CDA=∠ABC∠C=∠A∴△CED∽△AEB∴==在Rt△BED中∠EDB=90°∴cos∠BED==.故填.
11.解析:在Rt△AMC中sin∠CAM==设MC=3xAM=5x则AC==4x.由题意知M是BC的中点∴BC=2MC=6x.在Rt△ABC中tanB===.
12.1证明:∵AD是BC边上的高∴AD⊥BC∴∠ADB=90°∠ADC=90°.在Rt△ABD和Rt△ADC中tanB=cos∠DAC=又∵tanB=cos∠DAC∴=∴AC=BD.2解:在Rt△ADC中sinC==故可设AD=12kAC=13k∴CD==5k∵BC=BD+CD又AC=BD∴BC=13k+5k=18k∵BC=12∴18k=12∴k=∴AD=12k=12×=
8.
13.解:在Rt△ACD中∵AC=2DC=1∴AD==.1sinα===cosα===tanα==. 2在Rt△ABC中tanB=即tanα==∴BC=4∴BD=BC-CD=4-1=
3. 本节课的主要内容是在上节课的基础上用类比的方法探究余弦和正切定义在教学设计中通过复习上节课探究正弦的方法和技巧为本节课学生的自主学习打下基础.在探究活动中教师引导学生仿照研究锐角的正弦的思路和方法自己完成锐角的余弦、正切的探索过程从而得到余弦和正切的概念.例题的分析和解答以学生为主体通过小组合作交流完成教师及时点拨加深学生对概念的理解和掌握的同时提高了学生的解题能力并规范了教学过程. 本节课学习的主要内容是三个锐角三角函数在教学设计时只注重了学生的活动的设计考虑到学生基础较差对函数的理解较难所以没有将函数与定义过多的联系三角函数定义是高中知识的基础所以仅仅让学生停留在会应用定义进行简单的计算还远远不够在以后的教学中应让学生加深对三角函数定义的理解和掌握. 本节课的重点是通过探究得到直角三角形中当锐角的度数一定时这个锐角的邻边与斜边、对边与邻边的比都是一个固定值从而得到锐角的余弦和正切的定义并根据定义能进行有关运算在教学中以复习锐角的正弦定义及探究方法、生活实例导入新课为本节课的学习做铺垫激发学生学习的兴趣然后把课堂大胆交给学生类比上节课的探究方法通过自主探究、小组合作等数学活动让学生探究出结论归纳三角函数定义让学生体验成功的快乐人人学有价值的数学. 练习教材第65页
1.解:1BC==5sinA=sinB=cosA=cosB=tanA=tanB=. 2AB==sinA==sinB==cosA==cosB=tanA=tanB=.
2.解:当直角三角形的各边长都扩大为原来的2倍时锐角A的正弦值、余弦值、正切值都不变.因为锐角三角函数值只与角的大小有关. 本节课的教学设计中重点是探究余弦、正切两个三角函数的定义通过复习上节课正弦的概念及探究方法让学生类比“直角三角形中当锐角的度数一定时这个锐角的对边与斜边的比是一个固定值”的证明方法独立完成猜想“直角三角形中当锐角的度数一定时这个锐角的邻边与斜边、对边与邻边的比都是固定值”然后通过小组交流顺利完成证明过程从而归纳余弦、正切的定义.在例题的设计中学生在解答教师提出的一系列问题的引导下独立思考有困难的学生通过小组合作交流加深对概念的理解和掌握.总之在教学设计中以学生活动为主在设计的各个活动中学生掌握了知识提高了学习能力. 如图所示沿AE折叠矩形纸片ABCD使点D落在BC边的点F处.已知AB=8BC=10则tan∠EFC的值为 A. B. C. D. 〔解析〕 根据题意可知在Rt△ABF中有AB=8AF=AD=10则BF=6易知∠EFC=∠BAF故tan∠EFC=tan∠BAF==.故选A.第课时
1.能推导并熟记30°45°60°角的三角函数值并能根据这些值说出对应的锐角度数.
2.能熟练计算含有30°45°60°角的三角函数的代数式.
1.通过探索特殊角的三角函数值的过程培养学生观察、分析、发现的能力.
2.通过推导特殊角的三角函数值了解知识间的联系提升综合运用数学知识解决问题的能力.
3.经历特殊角的三角函数值的学习培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.
1.在探索特殊角的三角函数值中学生积极参与数学活动培养学生独立思考问题的能力.
2.让学生经历观察、操作等过程探索特殊三角函数值让学生获得成功的体验锻炼克服困难的意志建立自信心. 【重点】 熟记30°45°60°角的三角函数值能熟练计算含有30°45°60°角的三角函数的代数式. 【难点】 30°45°60°角的三角函数值的推导过程. 【教师准备】 多媒体课件. 【学生准备】 复习锐角三角函数的定义.导入一: 如图所示这是一块三角形草皮∠A=60°AB=2米AC=
1.8米那么这块三角形的草皮面积为多少呢 如图所示这是一块三角形草皮∠A=60°AB=2米AC=
1.8米那么这块三角形的草皮面积为多少呢 【师生活动】 学生思考后小组合作交流回答解决方法教师点评导出新课. 结合学生回答教师分析:过C点作AB的垂线CD垂足为D∵sinA=∴CD=ACsin60°. [过渡语] AC是已知的假如sin60°能够知道CD就可求那么这个问题就得到解决.本节课我们就一同来探讨30°45°60°角的三角函数值.导入二: 【复习提问】
1.什么是锐角的正弦、余弦、正切
2.含30°45°角的直角三角形有哪些性质
3.你还记得我们探究锐角的正弦概念时所得的30°45°角的正弦吗
4.你还能推导出30°45°60°角的其他三角函数值吗 [设计意图] 通过生活实际问题导入新课激发学生的求知欲望感受生活中处处有数学复习直角三角形的性质和三角函数的概念为本节课特殊角的三角函数值的推导打下基础做好铺垫让学生从已有的知识体系中很自然地构建出新知识. [过渡语] 探究30°45°60°角的三角函数值就是我们本节课要学的内容.
一、实践探究 思路一 动手操作:画出含有30°45°角的直角三角形分别求出30°45°60°角的所有三角函数值. 【师生活动】 学生画图根据直角三角形的知识和三角函数定义独立推导各三角函数值然后小组成员交流推导结果教师提示可以用字母表示三角形的一条边长然后计算各三角函数值对学生推导的结果教师作出点评共同完成下列表格. 【课件展示】 锐角A锐角 三角函数 30°45°60°sinAcosAtanA1 【思考】 观察表格中特殊角的三角函数值你能发现什么结论 【师生活动】 学生进行小组讨论教师巡视中帮助有困难的学生并对学生的回答作出点评只要学生说得有理就要给予肯定和鼓励. 【结论】 1正弦、正切值随着角度的增大而增大余弦值随着角度的增大而减小. 2sin30°=cos60°sin60°=cos30°sin45°=cos45°故sinα=cos90°-αcosα=sin90°-α其中α为锐角. 30sinA10cosA
1. 思路二 【思考】 1在直角三角形中30°角所对的直角边和斜边之间有什么关系 2设30°角的对边为k你能用k表示三角形的各边长吗 3利用三角函数定义分别求出30°60°角的各三角函数值. 4含有45°角的直角三角形有什么特点 5设等腰直角三角形的腰长为k你能用k表示直角三角形的斜边吗 6利用三角函数定义求出45°角各三角函数值. 【师生活动】 学生逐步回答教师提出的问题通过计算得出30°45°60°角的各三角函数值.师生共同完成下表: 【课件展示】 锐角A锐角 三角函数 30°45°60°sinAcosAtanA1 【思考】 1观察表格中数据当锐角α增大时它的正弦、余弦、正切怎样变化 2表格中哪些角的三角函数值是相等的 3根据2猜想正确结论. 4观察表格中数据锐角α的正弦、余弦值与1之间的大小有何关系 【师生活动】 学生进行小组讨论教师巡视中帮助有困难的学生并对学生的回答作出点评只要学生说得有理就要给予肯定和鼓励. 【结论】 1正弦、正切值随着角度的增大而增大余弦值随着角度的增大而减小. 2sin30°=cos60°sin60°=cos30°sin45°=cos45°故sinα=cos90°-αcosα=sin90°-α其中α为锐角. 30sinA10cosA
1. [设计意图] 学生在教师提出的问题的引导下完成特殊角的三角函数值的推导并通过观察得到锐角三角函数的一些性质.学生通过动手画图、计算验证得出结论让学生经历知识的形成过程加深对知识的理解和掌握同时学生之间的讨论、交流增强了学生之间的合作能力.
二、例题讲解 教材例3求下列各式的值. 1cos260°+sin260°; 2-tan45°. 教师引导思考: 1你知道cos260°与sin260°表示的意义吗 cos260°表示cos60°2sin260°表示sin60°2 2cos60°sin60°cos45°sin45°tan45°各等于什么值 3将各三角函数值代入计算各代数式的值. 【师生活动】 教师边提问边解答该题同时板书解题过程教师强调易错点. 解:1cos260°+sin260°=+=
1. 2-tan45°=÷-1=
0. 教材例41如图1所示在Rt△ABC中∠C=90°AB=BC=求∠A的度数; 2如图2所示AO是圆锥的高OB是底面半径AO=OB求α的度数. 【思考】 1图1中在Rt△ABC中边长ABBC与∠A有什么关系sinA=== 2哪个锐角的正弦值等于sin45°= 3图2中在Rt△AOB中OBAO与α有什么关系tanα== 4哪个锐角的正切值等于tan60°= 【师生活动】 学生独立思考后小组合作交流完成解答过程小组代表板书解题过程教师点评师生共同归纳解题方法. 解:1∵sinA===∴∠A=45°. 2∵tanα===∴α=60°. 【归纳】 要求一个直角三角形中一个锐角的度数可以先求它的某一个三角函数的值如果这个值是一个特殊值那么我们就可以求出这个角的度数. [设计意图] 在教师的引导下完成例题的分析和解答正确认识特殊角的三角函数值熟练掌握由特殊角求三角函数值由特殊三角函数值求出对应角的度数通过探索解题过程提高学生分析问题、解决问题的能力通过对题型方法技巧的总结培养学生归纳总结能力. [知识拓展] 1结合图形如图所示及其中的数据和三角函数定义来计算特殊角的三角函数值从而记住结果. 2对于其他相关角的三角函数值往往用定义求解15°
22.5°75°角等. 3等边三角形、等腰直角三角形及与30°45°60°角相关联的其他三角形问题常常要用特殊角的三角函数值解答.
1.特殊角的三角函数值: 锐角A锐角 三角函数 30°45°60°sinAcosAtanA1
2.求含有特殊角的三角函数的代数式.
3.已知特殊的三角函数值求特殊角.
1.计算3tan30°的值等于 A. B.3 C. D. 解析:3tan30°=3×=.故选A.
2.在△ABC中∠A∠B都是锐角若sinA=且∠B=90°-∠A则sinB等于 A. B. C. D.1 解析:∵sinA=∴∠A=30°又∠B=90°-∠A∴∠B=60°∴sinB=sin60°=.故选C.
3.在△ABC中∠A∠B都是锐角sinA=cosB=则△ABC的形状为 三角形. 解析:∵sinA=cosB=∴∠A=30°∠B=45°又∠A+∠B+∠C=180°∴∠C=105°∴△ABC为钝角三角形.故填钝角.
4.计算. 12sin30°-cos45°; 2tan30°-sin60°·sin30°;
3. 解:12sin30°-cos45°=2×-×=1-1=
0. 2tan30°-sin60°·sin30°=-×=-=. 3===-
1. 第3课时
1.实践探究 特殊角的三角函数值
2.例题讲解 例1 例2
一、教材作业【必做题】 教材第69页习题
28.1第3题.【选做题】 教材第84页复习题28第3题.
二、课后作业【基础巩固】
1.cos60°的值等于 A. B. C. D.
2.计算sin45°的结果等于 A. B.1 C. D.
3.在△ABC中∠A∠B都是锐角且sinA=cosB=则△ABC是 A.直角三角形 B.锐角三角形C.钝角三角形 D.不能确定
4.点M-sin60°cos60°关于x轴对称的点的坐标是 A. B.C. D.
5.若α为锐角且3tan90°-α=则α为 A.30° B.45° C.60° D.75°
6.若sinα=则锐角α= .若2cosα=1则锐角α= .
7.计算sin30°cos30°-tan30°= .
8.在△ABC中若锐角AB满足+sinB-2=0则∠C= .
9.计算.1xx·巴中中考|2-|-xx-π0+2sin60°+;2xx·扬州中考+|1-|-tan30°.
10.如图所示在△ABC中∠B=45°∠C=60°AB=
6.求BC的长.结果保留根号【能力提升】
11.如图所示以O为圆心任意长为半径画弧与射线OM交于点A再以A为圆心AO长为半径画弧两弧交于点B画射线OB则cos∠AOB的值等于 .
12.菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示∠AOC=45°OC=则点B的坐标为 .
13.如图所示在△ABC中AD⊥BC垂足为D∠B=60°∠C=45°BC=2求AC的长.【拓展探究】
14.阅读下面的材料先完成阅读填空再按要求答题.sin30°=cos30°=则sin230°+cos230°= ;
① sin45°=cos45°=则sin245°+cos245°= ;
② sin60°=cos60°=则sin260°+cos260°= .
③ ……观察上述等式猜想:对任意锐角A都有sin2A+cos2A= .
④ 1如图所示在锐角三角形ABC中利用三角函数的定义及勾股定理对∠A证明你的猜想;2已知∠A为锐角cosA0且sinA=求cosA.【答案与解析】
1.A解析:cos60°=.故选A.
2.B解析:sin45°=×=
1.故选B.
3.C解析:由sinA=cosB=得∠A=30°∠B=30°∵∠A+∠B+∠C=180°∴∠C=120°∴△ABC是钝角三角形.故选C.
4.B解析:∵sin60°=cos60°=∴点M的坐标为∴点M关于x轴对称的点的坐标是.故选B.
5.C解析:∵3tan90°-α=∴tan90°-α=∴90°-α=30°∴α=60°.故选C.
6.45° 60°解析:由sinα=得α=45°由2cosα=1得cosα=∴α=60°.
7.-解析:sin30°cos30°-tan30°=×-=-.
8.75°解析:由+=0得cosA-=0sinB-=0∴cosA=sinB=∴∠A=60°∠B=45°又∠A+∠B+∠C=180°∴∠C=75°.故填75°.
9.解:1原式=2--1+2×+3=1+3=
4. 2原式=4+-1-3×=4+-1-3=.
10.解:如图所示过点A作AD⊥BC于点D在Rt△ABD中∠B=45°∴AD=BD.设AD=x∵AB=6∴x2+x2=62解得x=3即AD=BD=
3.在Rt△ACD中∠ACD=60°∴∠CAD=30°tan30°=即=∴CD=.∴BC=BD+DC=3+.
11.解析:连接AB由画图可知OA=OBAO=AB∴OA=AB=OB即三角形OAB为等边三角形∴∠AOB=60°∴cos∠AOB=cos60°=.故填.
12.+11解析:如图所示作CD⊥OA于D.由题意可得OA=OC=BC=∠AOC=45°∴CD=OCsin45°=1OD=OCcos45°=1则点C的坐标为11则点B的坐标为+
11.故填+
11.
13.解:在Rt△ACD中cosC=∴CD=ACcosC∵∠C=45°∴CD=AC∴AD=CD=AC∵∠B=60°∴tanB==∴BD==AC∵BC=BD+DC=2∴AC+AC=2解得AC=3-.
14.解:1 1 1 1 1过点B作BD⊥AC于D在Rt△ADB中sinA=cosA=由勾股定理得BD2+AD2=AB2∴+=1∴sin2A+cos2A=
1. 2∵∠A为锐角cosA0sinA=sin2A+cos2A=1∴cosA==. 本节课通过复习三角函数定义为特殊角的三角函数值的推导打下基础同时以生活实际问题导入新课让学生体会数学与生活联系紧密激发学生的学习兴趣.通过特殊角所在直角三角形边之间的关系及勾股定理和三角函数定义推导出特殊角的三角函数值内容比较简单学生独立完成后小组交流答案通过教师引导填写表格加深学生对特殊角的三角函数值的记忆学生动手、动脑提高了分析问题的能力.例题中求代数式的值学生独立完成教师点评再次加深对特殊角的三角函数值的记忆整节课课堂气氛活跃人人学到有价值的数学. 本节课的重点是探究特殊角的各三角函数值并能计算和特殊角的三角函数值有关的代数式学生能够通过自主学习完成本节课的学习大多数学生在课堂上表现积极活跃但在推导出特殊角的三角函数值后没有给学生足够的时间去记忆应该同桌之间或组内成员之间互相出题重点考查特殊角的三角函数值的记忆为后边的学习做好铺垫. 特殊角的三角函数值是需要记忆的知识但教学设计不能让学生单纯的记忆而是要让学生经历知识的形成过程真正理解和掌握数学知识.以情景导入新课引起学生的思考让学生尝试求特殊角的三角函数值通过学生动手推导认识角的度数与三角函数值之间的相互转化发现锐角的三角函数值之间的规律并归纳总结提高学生观察、思考、归纳的能力.例题的讲解以学生活动为主教师对出现的错误作出点评加深对特殊角的三角函数值的记忆并规范书写过程培养严谨精神. 练习教材第67页
1.解:1原式=1-2××=. 2原式=3×-1+2×=-1+=2-
1. 3原式=×=×=.
2.解:∵tanB===∴∠B=60°∴∠A=30°. xx·天津中考cos45°的值等于 A. B. C. D. 〔解析〕 cos45°=.故选B. xx·成都中考计算-xx-π0-4cos45°+-
32. 解:原式=2-1-2+9=
8. xx·乐山中考计算+-4cos45°+-1xx. 解:原式=+2-4×+-1 =+2-2-1=-. xx·浙江中考计算+2-1-4cos30°+. 解:原式=2+-4×+=
1.第课时
1.让学生熟识计算器一些功能键的使用.
2.会熟练运用计算器求锐角的三角函数值和由三角函数值来求角.
1.自己熟悉计算器在教师的指导下求一般锐角三角函数值体会数学知识与实际生活息息相关.
2.认识使用计算器可以解决部分复杂问题通过求值探讨三角函数问题的某些规律提高学生分析问题的能力.
1.通过计算器的使用了解科学在人们日常生活中的重要作用激励学生热爱科学、学好文化知识.
2.让学生通过独立思考、自主探究和合作交流进一步体会函数的数学内涵获得知识体验成功享受学习乐趣. 【重点】 运用计算器处理三角函数中的值或角的问题. 【难点】 运用计算器处理三角函数中的值或角的问题. 【教师准备】 多媒体课件. 【学生准备】 预习教材P67~
68.导入一: 如图所示工件上有一V形槽AC=BC.测得它的上口宽AB为20mm深CD为
19.2mm求V形角∠ACB的大小. 根据题意可得∠ACB=2∠ACD 在Rt△ACD中tan∠ACD==≈
0.
5208. [过渡语] ∠ACD的正切值不是特殊值我们能不能求这个角呢这就是我们这节课要学习的内容.导入二: 【复习提问】
1.列表写出30°45°60°角的三个三角函数值.
2.通过上节课的学习我们知道当锐角A是30°45°60°时可以求出它的三个三角函数值如果锐角A不是这些特殊角怎样得到它的三角函数值呢 [设计意图] 通过生活实际问题导入新课让学生体会数学与实际生活紧密相关激发学生的学习兴趣通过复习特殊角的三角函数值引导学生思考不是特殊角的三角函数值如何求解自然地引出本节课的内容让学生明确本节课的学习目标. [过渡语] 我们可以用计算器求任意锐角的三角函数值已知角的三角函数值也可以用计算器求出这个锐角让我们一起用计算器解决这些问题吧!
一、共同探究:用计算器求任意锐角的三角函数值 求出下列各角的三角函数值. 1sin18°; 2cos21°2830″; 3tan30°
36. 思路一 通过自主学习完成求值. 【师生活动】 独立阅读计算器的使用说明然后小组合作交流按照使用说明共同完成教师巡视过程中帮助有困难的学生对学生的答案作出点评. 解:1sin18°≈
0.
309016994. 2cos21°2830″≈
0.
930577395. 3tan30°36≈
0.
591398351. 【学生活动】 组长出四个求锐角的三角函数值的题小组成员用计算器完成后小组内交流答案. 思路二 教师结合计算器使用说明讲述用计算器求锐角三角函数值的方法. 〔解析〕 1利用计算器的sin键并输入角度值18得到结果sin18°≈
0.
309016994. 2方法1:利用计算器的cos键并输入角的度、分、秒值可以使用°″键得到结果cos21°2830″≈
0.
930577395. 方法2:因为21°2830″=
21.475°所以可以利用计算器的cos键输入角度值
21.475得到结果cos21°2830″≈
0.
930577395. 3方法1:利用计算器的tan键并输入角的度、分值可以使用°″键得到结果tan30°36≈
0.
591398351. 方法2:因为30°36=
30.6°所以可以利用计算器的tan键输入角度值
30.6得到结果tan30°36≈
0.
591398351. 【学生活动】 组长出四个求锐角的三角函数值的题小组成员用计算器完成后小组内交流答案. [设计意图] 学生自主学习计算器使用说明后通过小组讨论交流学会用计算器求锐角的三角函数值培养学生的自学能力及操作能力.
二、共同探究:已知锐角的三角函数值求角度 已知下列锐角三角函数值求出其对应的锐角的度数. 1sinA=
0.5018; 2cosA=
0.707; 3tanA=
1.
280. 【师生活动】 独立阅读计算器的使用说明然后小组合作交流按照使用说明共同完成教师巡视过程中帮助有困难的学生对学生的答案作出点评. 解:1约为
30.12°或30°79″. 2约为
45.01°或45°031″. 3约为52°. 【师生活动】 归纳操作方法教师点评. [设计意图] 学生阅读计算器使用说明书后小组合作交流操作方法归纳操作步骤培养学生自主学习能力和合作交流能力同时培养学生归纳总结能力.
三、例题讲解 用计算器求出下列各角的三角函数值说明你的发现并尝试验证. 1sin62°2530″; 2sin80°; 3sin12°25; 4cos27°3430″; 5cos10°; 6cos77°
35. 【师生活动】 学生独自分别求出各三角函数值然后观察寻找规律小组内合作交流答案教师巡视过程中帮助有困难的学生对学生的答案作出点评共同归纳出正确结论. 【结论】 1锐角α的正弦值随着α的增大而增大; 2sinα=cos90°-α其中α为锐角. [设计意图] 通过例题的操作计算加深用计算器求角的三角函数值的操作过程观察各锐角的三角函数值探究归纳规律让学生明白许多数学规律可以运用先进的计算手段去发现、验证同时培养学生的观察、归纳能力. [知识拓展] 1用计算器可以求出锐角的正弦值、余弦值、正切值由于计算器的类型不同因此使用方法也不同所以要根据计算器的使用说明书来选择按键顺序. 2使用计算器求出的值多数是近似值具体计算中必须按要求确定近似值. 3由于不同计算器的操作步骤不同计算锐角的度数时若需要将单位表示为“度”“分”“秒”最后需要按键°″或组合键2ndF °″.
1.用计算器求任意锐角的三角函数值.
2.已知锐角的三角函数值用计算器求角度.
1.用计算器求sin62°20的值正确的是 A.
0.8857 B.
0.8856 C.
0.8852 D.
0.8851 解析:按计算器使用说明依次按键得sin62°20≈
0.
8857.故选A.
2.已知tanA=
0.3249则∠A约为 A.17° B.18° C.19° D.20° 解析:按计算器使说明依次按键得∠A≈18°.故选B.
3.用计算器求三角函数值精确到
0.
001. 1sin23°≈ ; 2tan54°5340″≈ . 解析:用计算器求得sin23°≈
0.391tan54°5340″≈
1.
423. 答案:
10.391
21.423
4.已知sinα=
0.2cosβ=
0.8则α+β≈ .精确到1 解析:用计算器分别求出α和β的值然后相加可得48°
24.故填48°
24.
5.用计算器求锐角α精确到1″. 1若cosα=
0.6536则α≈ ; 2若tan2α+10°317″=
1.7515则锐角α≈ . 解析:1用计算器直接求得α≈49°1111″; 2用计算器求出2α+10°317″的值约为60°1635″然后解方程2α+10°317″≈60°1635″得α≈24°5244″. 答案:149°1111″ 224°5244″ 第4课时
1.共同探究一:用计算器求任意锐角的三角函数值
2.共同探究二:已知锐角的三角函数值求角度
3.例题讲解 例题
一、教材作业【必做题】 教材第69页习题
28.1第578题.【选做题】 教材第70页习题
28.1第9题.
二、课后作业【基础巩固】
1.利用计算器求sin30°时依次按键:sin 3 0 =则计算器上显示的结果是 A.
0.5 B.
0.707 C.
0.866 D.
12.已知cosθ=
0.7415926则θ约为 A.40° B.41° C.42° D.43°
3.如图所示若∠A=60°AC=20m则BC大约是结果精确到
0.1m A.
34.64m B.
34.6mC.
28.3m D.
17.3m
4.在Rt△ABC中∠C=90°∠A所对的边为a∠B所对的边为ba∶b=3∶4运用计算器计算∠A的度数约为 A.36° B.37° C.38° D.39°
5.用计算器计算+3tan56°≈ 精确到
0.
01.
6.已知∠A为锐角且tanA=
37.50则∠A≈ .精确到
0.1°
7.cos37°+tan42°≈ 精确到
0.
001.
8.用计算器求下列锐角的三角函数值.精确到
0.00011tan63°27;2cos18°5927″;3sin67°3824″;4tan24°1948″.
9.根据下列条件求锐角A的度数精确到1″.1cosA=
0.6753;2tanA=
87.54;3sinA=
0.4553;4sinA=
0.
6725.【能力提升】
10.在Rt△ABC中∠C=90°∠A=37°BC=6那么AB≈ .用计算器计算结果精确到
0.1
11.比较大小:8cos31° 填“”“=”或“”.
12.用计算器计算:sin15°32≈ 精确到
0.001;已知tanα=
0.8816则锐角α≈ 精确到
1. 【拓展探究】
13.1用计算器求sin20°sin40°sin60°sin80°的值并用“”连接起来.由此你得到什么规律2用计算器求cos20°cos40°cos60°cos80°的值并用“”连接起来.由此你得到什么规律3用计算器求tan10°tan20°tan40°tan70°的值并用“”连接起来.由此你得到什么规律【答案与解析】
1.A解析:依次按键可得sin30°=
0.
5.故选A.
2.C解析:用计算器依次按键可得θ≈42°.故选C.
3.B解析:∵tanA=∴BC=AC·tanA=AC·tan60°用计算器求出tan60°的值代入求得BC≈
34.6m.故选B.
4.B解析:由题意得tanA==用计算器求出∠A≈37°.故选B.
5.
10.02解析:用计算器分别求出和tan56°的值然后计算可得结果约为
10.
02.故填
10.
02.
6.
88.5°解析:用计算器依次按键可得∠A≈
88.5°.故填
88.5°.
7.
1.699解析:用计算器依次求出cos37°tan42°的值然后相加可得结果约为
1.
699.故填
1.
699.
8.解:1tan63°27≈
2.
0013. 2cos18°5927″≈
0.
9456. 3sin67°3824″≈
0.
9248. 4tan24°1948″≈
0.
4521.
9.解:1∵cosA=
0.6753∴∠A≈47°3121″. 2∵tanA=
87.54∴∠A≈89°2044″. 3∵sinA=
0.4553∴∠A≈27°53″. 4∵sinA=
0.6725∴∠A≈42°1537″.
10.
10.0解析:∵sinA=∴AB==用计算器求出sin37°的值代入可得AB≈
10.
0.故填
10.
0.
11.解析:用计算器分别求出8cos31°和的值比较可得8cos31°故填.
12.
0.268 41°24解析:分别用计算器依次按键可得sin15°32≈
0.268α≈41°
24.
13.解:1利用计算器可求出:sin20°≈
0.3420sin40°≈
0.6428sin60°≈
0.8660sin80°≈
0.9848∴sin20°sin40°sin60°sin80°.规律:当角在0°到90°之间变化时正弦值随角度的增大而增大. 2利用计算器可求出:cos20°≈
0.9397cos40°≈
0.7660cos60°=
0.5cos80°≈
0.1736∴cos80°cos60°cos40°cos20°.规律:当角在0°到90°之间变化时余弦值随角度的增大而减小. 3利用计算器可求出:tan20°≈
0.3640tan40°≈
0.8391tan60°≈
1.7321tan80°≈
5.6713∴tan20°tan40°tan60°tan80°.规律:当角在0°到90°之间变化时正切值随角度的增大而增大. 本节课的重点是应用计算器求角的三角函数值及已知角的三角函数值求角的度数以生活实例导入新课激发学生学习兴趣.本节课的探究活动以自主学习为主学生阅读计算器使用说明书后小组合作交流动手操作完成求角的三角函数值及已知三角函数值求角的度数然后学生之间互相出题熟练使用计算器计算角的三角函数值的步骤.课堂气氛活跃大多数学生能熟练应用计算器进行计算提高了学生动手操作能力感受到数学与生活实际息息相关增强学生学习数学的自信心. 本节课主要是一节自学活动课通过学生仔细阅读计算器使用说明书然后小组交流按键过程求出锐角的三角函数值及已知三角函数值求角的度数学生在课堂上非常活跃好像对本节课内容掌握较好实际离开说明书后仍然不会操作在以后的教学中不仅仅要注重课堂形式还要注重学生经历知识形成后数学能力的提高. 计算器是日常生活中常用的工具本节课的重点是应用计算器求角的三角函数值及已知角的三角函数值求角的度数以生活实例导入新课激发学生学习本节课的好奇心感受生活与数学密切相关.在教学设计中注重培养学生自主学习的能力学生自学使用说明书后小组合作交流按键过程通过练习熟练掌握和记忆按键顺序提高学生动手操作能力.在教学设计中要对计算器的正确使用进行归纳总结培养学生的语言归纳总结能力. 练习教材第68页
1.解:1sin20°≈
0.3420cos70°≈
0.3420sin35°≈
0.5736cos55°≈
0.5736sin15°32≈
0.2678cos74°28≈
0.
2678.猜想:一个锐角的正弦值等于它的余角的余弦值. 2tan3°8≈
0.0547tan80°2543″≈
5.
9304.
2.解:1∠A≈
38.86591697°∠B≈
3.135644155°. 2∠A≈
51.30313157°∠B≈
80.45047872°. 3∠A≈
78.3321511°∠B≈
41.39940061°.习题
28.1教材第68页
1.解:1∵∠C=90°BC=2AB=6∴AC====4∴sinA===cosA===tanA===sinB===cosB===tanB===
2. 2∵∠C=90°AC=6BC=2∴AB===2∴sinA===cosA===tanA===sinB===cosB===tanB===
3. 3∵∠C=90°AC=BC=∴AB===2∴sinA===cosA===tanA===sinB===cosB===tanB===.
2.解:当∠A的大小确定时它的正弦值、余弦值、正切值也随之确定.因为∠A的大小确定各边的比确定所以三角函数值也就确定.
3.解:1原式=+=. 2原式=×-=-. 3原式=+×=
2. 4原式=+=+=-
1.
4.解:1∵∠C=90°BC=
1.7AC=
2.4∴AB===≈
2.94∴sinA=≈≈
0.5782cosA=≈≈
0.8163tanA==≈
0.
7083. 2∵∠C=90°AC=2BC=
1.5∴AB===
2.5∴sinA===
0.6cosA===
0.8tanA===
0.
75. 3∵∠C=90°AB=
2.6BC=
2.2∴AC===≈
1.4∴sinA==≈
0.8462cosA=≈≈
0.5385tanA=≈≈
1.
5714.
5.解:1∠A≈
44.4°∠B≈
0.6°. 2∠A≈
81.4°∠B≈
36.9°. 3∠A≈
67.4°∠B≈
26.6°.
6.D
7.解:由题意可知CA=CBAD=DBCD⊥AB在Rt△ACD中∠ADC=90°∠A=32°CD=
3.
5.∵sinA=∴AC==≈≈
6.605∴CB≈
6.
605.又∵cosA=∴AD=AC·cosA≈
6.605·cos32°≈
6.605×
0.8480≈
5.601∴BD=AD≈
5.
601.∴所需钢材为CA+CB+AD+DB+CD=2CA+2AD+CD≈2×
6.605+2×
5.601+
3.5≈
27.91m.答:需要约
27.91m长的钢材.
8.解:如图所示过点A作AB⊥CD于B在Rt△ABC中sinC=AB=AC·sinC=
35.24×sin35°40≈
35.24×
0.583≈
20.545cm.∴面积约为
62.31×
20.545=
1280.15895≈
1280.16cm
2.
9.解:如下表所示.锐角A…15°18°20°22°…80°82°84°…sinA…
0.
25880.
30900.
34200.3746…
0.
98480.
99030.9945cosA…
0.
96590.
95110.
93970.9272…
0.
17360.
13920.1045tanA…
0.
26790.
32490.
36400.4040…
5.
67137.
11549.5144随着锐角A的度数不断增大sinA逐渐增大cosA逐渐减小tanA逐渐增大.
10.解:设Rt△ABC中∠A∠B∠C的对边分别为abc其中c为斜边∴sinA=cosA=∴sin2A+cos2A=+=.又∵a2+b2=c2∴sin2A+cos2A==
1. 计算器是一种现代计算工具体积小运算快操作简便在各行各业广泛使用所以学习计算器的使用显得很有必要虽然用计算器求三角函数值并不熟悉但是大多数学生对计算器并不陌生所以在教学设计上根据学生特点以自主学习、自主探究为主由学生阅读计算器使用说明书自主探索如何用计算器解决有关角的三角函数问题然后小组合作交流解决疑惑让学生在互动中对已有的这方面的知识得到进一步梳理和完善.在使用计算器解决锐角的三角函数问题时以学生自练为主小组成员之间通过互相出题的方式熟练掌握用计算器求角的三角函数值及已知三角函数值求角的度数. 数学来源于生活又应用于生活教学设计中通过练习探究三角函数的规律感受使用计算器的实际意义培养学生用计算器解决实际问题的能力在课堂上学生通过数学活动积极参与到各种数学活动中培养学生学习数学的兴趣提高学生的学习能力. 为倡导“低碳生活”常选择以自行车作为代步工具如图1所示的是一辆自行车的实物图.车架档AC与CD的长分别为45cm60cm且它们互相垂直座杆CE的长为20cm点ACE在同一条直线上且∠CAB=75°如图2所示. 1求车架档AD的长; 2求车座点E到车架档AB的距离.结果精确到1cm 解:1AD==75cm ∴车架档AD的长是75cm. 2过点E作EF⊥AB垂足为点FEF=AEsin75°≈45+20×
0.966=
62.79≈63cm ∴车座点E到车架档AB的距离约是63cm.
28.2 解直角三角形及其应用
1.理解直角三角形中五个元素之间的关系及什么是解直角三角形.
2.会利用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形.
3.了解仰角、俯角、方位角、坡度、坡角等有关概念知道坡度与坡角之间的关系.
4.经历对实际问题的探究会利用解直角三角形的知识解决实际问题.
5.在具体情景中从数学的角度发现问题和提出问题并综合运用数学知识解决简单实际问题.
1.综合运用所学知识解直角三角形逐步培养学生分析问题、解决问题的能力.培养学生思维能力的灵活性.
2.通过学习发展分析、归纳、抽象、概括的能力培养学生从已有的知识、特殊图形中去感知、迁移.
3.通过画示意图将实际问题转化为数学问题发展学生的抽象概括能力提高应用数学知识解决实际问题的能力.
4.经历从实际问题中建立数学模型的过程增强应用意识体会数形结合思想的应用.
1.在探索解直角三角形的过程中渗透数形结合思想培养学生综合运用知识的能力和良好的学习习惯.
2.在探究活动中培养学生的合作交流意识让学生在学习中感受成功的喜悦增强学习数学的信心.
3.通过根据实际问题画示意图的过程培养学生的动手能力激发学生对数学的好奇心和求知欲.
4.通过将实际问题转化为数学问题培养建模思想提高分析问题、解决问题的能力.
5.调动学生学习数学的积极性和主动性培养学生认真思考等学习习惯形成实事求是的科学态度. 【重点】
1.理解解直角三角形的概念掌握解直角三角形的方法.
2.用三角函数有关知识解决仰角、俯角、方位角、坡度、坡角等有关问题.
3.能根据题意画出示意图将实际问题的数量关系转化为直角三角形元素之间的关系. 【难点】 理解并掌握解直角三角形的方法;正确理解题意将实际问题转化为数学模型.
28.
2.1 解直角三角形
1.理解直角三角形中五个元素之间的关系及什么是解直角三角形.
2.会利用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形.
1.综合运用所学知识解直角三角形逐步培养学生分析问题、解决问题的能力.
2.通过学习发展分析、归纳、抽象、概括的能力培养学生从已有的知识、特殊图形中去感知、迁移.
1.在探索解直角三角形的过程中渗透数形结合思想培养学生综合运用知识的能力和良好的学习习惯.
2.在探究活动中培养学生的合作交流意识让学生在学习中感受成功的喜悦增强学习数学的信心. 【重点】 理解解直角三角形的概念掌握解直角三角形的方法. 【难点】 理解并掌握解直角三角形的方法. 【教师准备】 多媒体课件. 【学生准备】 复习、记忆特殊三角函数值.导入一: 【复习提问】
1.在Rt△ABC中∠C=90°∠A∠B∠C所对的边分别为abc则abc∠A∠B这五个元素之间有哪些等量关系呢 【学生活动】 学生独立思考后小组合作交流小组代表回答问题教师点拨并归纳五个元素之间的关系. 【课件展示】 1三边之间关系:a2+b2=c2勾股定理; 2两锐角之间关系:∠A+∠B=90°; 3边角之间关系:sinA=cosA=tanA=.
2.回忆30°45°60°角的正弦、余弦、正切值.导入二: 在本章引言中我们曾经描述过比萨斜塔倾斜程度的问题把1972年的情形抽象为数学问题为:设塔顶中心点为B塔身中心线与垂直中心线的夹角为∠A过点B向垂直中心线引垂线垂足为C如图所示.在Rt△ABC中∠C=90°BC=
5.2mAB=
54.5m求∠A的度数. 【师生活动】 学生独立思考后回答教师点评. sinA==≈
0.
0954. 利用计算器可得∠A≈5°
28. 【追问】 在Rt△ABC中你还能求出其他的边和角吗 【师生活动】 学生思考后回答解题思路教师把问题一般化引出本节课课题. [过渡语] 一般地在直角三角形中除直角外共有五个元素即三条边和两个锐角.在直角三角形中已知三角形的一些边角元素我们可以求解直角三角形中的其他元素什么情况能求解、如何求解就是我们这节课要学习的主要内容. [设计意图] 通过回顾直角三角形中边与角、边与边、角与角之间的数量关系为本节课的学习做好铺垫以实际问题导入新课体会数学来源于生活激发学生学习兴趣同时通过已知直角三角形的一些元素求出直角三角形的其他元素很自然地过渡到本节课的课题.
一、共同探究 思路一 探究: 1在Rt△ABC中∠A=60°AB=30你能求出这个直角三角形的其他元素吗 2在上图中若AC=BC=你能求出这个直角三角形的其他元素吗 3在上图中若∠A=60°∠B=30°你能求出这个直角三角形的其他元素吗 4在直角三角形中知道几个元素就可以求出其他元素 【师生活动】 小组合作交流解题思路注意在解题过程中方法的多样性教师根据学生的回答进行汇总归纳. 【课件展示】 1在直角三角形的六个元素中除直角外的五个元素只要知道两个元素其中至少有一条边就可以求出其余的三个未知元素. 2定义:由直角三角形中的已知元素求出其余未知元素的过程叫做解直角三角形. 3解直角三角形只有两种:
①已知两条边;
②已知一条边和一个锐角. 思路二 【思考】 如图所示在Rt△ABC中∠C=90°已知直角三角形的几个元素可以求出其他元素 1已知直角三角形中的一个元素能求其他元素吗 2已知直角三角形中的两个元素有几种可能的情况 一边和一角、两边、两角 3举例说明已知直角三角形的两个元素怎样求其他元素 4你能归纳解直角三角形有几种基本类型吗具体解法步骤是什么 【师生活动】 学生在教师提出的问题的引导下小组合作交流回答解题思路教师根据学生的回答进行汇总归纳学生回答问题过程中注意解题方法的多样性. 【课件展示】 1在直角三角形的六个元素中除直角外的五个元素只要知道两个元素其中至少有一条边就可以求出其余的三个未知元素. 2定义:由直角三角形中的已知元素求出其余未知元素的过程叫做解直角三角形. 3解直角三角形只有两种:
①已知两条边;
②已知一条边和一个锐角. 4解直角三角形的步骤:图形已知类型已知条件解法步骤两边斜边一直角边如ca1b=2由sinA=求∠A3∠B=90°-∠A两直角边ab1c=2由tanA=求∠A3∠B=90°-∠A一边一角斜边一锐角如c∠A1∠B=90°-∠A2由sinA=得a=c·sinA3由cosA=得b=c·cosA一直角边一锐角如a∠A1∠B=90°-∠A2由tanA=得b=3由sinA=得c= [设计意图] 学生在教师问题的引导下思考分析合作交流并归纳结论学生经历概念的形成过程理解掌握解直角三角形的概念提高学生分析问题的能力培养学生的发散思维能力.
二、例题讲解 教材例1如图所示在Rt△ABC中∠C=90°AC=BC=解这个直角三角形. 教师引导分析: 1已知线段ACBC是∠A的邻边和对边用哪个三角函数可以表示它们之间的等量关系 2已知∠A的三角函数值可以求∠A的度数吗 3已知∠A的度数怎样求∠B的度数 4你有几种方法可以求斜边AB的长 【学生活动】 思考后独立完成小组内交流答案小组代表板书过程. 【课件展示】 解:∵tanA=== ∴∠A=60°∠B=90°-∠A=90°-60°=30° AB=2AC=
2. 教材例2如图所示在Rt△ABC中∠C=90°∠B=35°b=20解这个直角三角形结果保留小数点后一位. 教师引导分析:由∠B=35°可得∠A= = °;由∠B=35°及它的对边b=20根据 可得a= = ;由∠B=35°及它的对边b=20根据 可得c= = . 【追问】 你还有其他方法求c的值吗 【学生活动】 在教师提出的问题的引导下独立完成解答过程小组内交流答案组长指出组内成员的错误并帮助改正.教师对学生的板书进行点评强调规范性并鼓励学生用多种方法求解. 【课件展示】 解:∠A=90°-∠B=90°-35°=55°. ∵tanB=∴a==≈
28.
6. ∵sinB=∴c==≈
34.
9. [设计意图] 通过例题理解和掌握解直角三角形的思路和方法进一步训练学生学会灵活运用直角三角形的有关知识解直角三角形并体会从计算简便的角度选用适当的关系式求解同时提高学生分析问题和解决问题的能力通过规范书写过程培养学生严谨的学习态度. [知识拓展] 1直角三角形中一共有六个元素即三条边和三个角除直角外另外的五个元素中只要已知一条边和一个角或两条边就可以求出其余的所有未知元素. 2运用关系式解直角三角形时常用到下列变形:
①锐角之间的关系:∠A=90°-∠B∠B=90°-∠A.
②三边之间的常用变形:a=b=c=. 3边角之间的常用变形:a=c·sinAb=c·cosAa=b·tanAa=c·cosBb=c·sinBb=a·tanB. 4虽然求未知元素时可选择的关系式有很多种但为了计算方便最好遵循“先求角后求边”和“宁乘不除”的原则. 5选择关系式时要尽量利用原始数据以防“累积误差”. 6遇到不是直角三角形的图形时要适当添加辅助线将其转化为直角三角形求解.
1.解直角三角形的概念
2.直角三角形中五个元素之间的关系: 1三边之间关系:a2+b2=c2勾股定理; 2两锐角之间关系:∠A+∠B=90°; 3边角之间关系:sinA=cosA=tanA=.
3.解直角三角形的基本类型及解法步骤:参考前面表格
1.由直角三角形中已知的元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形.已知一个直角三角形中:1两条边的长度;2两个锐角的度数;3一个锐角的度数和一条边的长度.利用上述条件中的一个能解这个直角三角形的是 A.12 B.13 C.23 D.123 解析:能解的直角三角形有两种:已知两边;已知一边和一锐角.故选B.
2.在△ABC中abc分别是∠A∠B∠C的对边如果a2+b2=c2那么下列结论正确的是 A.csinA=a B.bcosB=c C.atanA=b D.ctanB=b 解析:由a2+b2=c2得∠C=90°∴sinA=cosB=tanA=tanB=∴csinA=accosB=abtanA=aatanB=b.故选A.
3.在Rt△ABC中∠C=90°∠B=30°BC=6则AB的长为 . 解析:∵cosB==BC=6∴AB==
4.故填
4.
4.根据下列条件解直角三角形. 1在Rt△ABC中∠C=90°b=4c=8; 2在Rt△ABC中∠C=90°∠A=60°a=
12. 解:1∵∠C=90°b=4c=8 ∴a===4 ∵cosB==∴∠B=30° ∴∠A=180°-90°-30°=60°. 2∵∠C=90°∠A=60° ∴∠B=180°-90°-60°=30°. ∵tanA=tan60°==a=12 ∴b=4∴c=2b=
8.
28.
2.1 解直角三角形
1.共同探究
3.例题讲解 例1 例2
一、教材作业【必做题】 教材第77页习题
28.2第1题.【选做题】 教材第78页习题
28.2第6题.
二、课后作业【基础巩固】
1.在Rt△ABC中∠C=90°sinA=则∠B等于 A.30° B.45° C.60° D.90°
2.在Rt△ABC中∠C=90°∠B=35°AB=7则BC的长为 A.7sin35° B.C.7cos35° D.7tan35°
3.在Rt△ABC中∠C=90°AC=1BC=2则下列结论正确的是 A.sinB= B.cosB=C.tanB=2 D.AB=
4.在Rt△ACB中∠C=90°AB=10sinA=则BC的长为 A.6 B.
7.5 C.8 D.
12.
55.如果等腰三角形的底角为30°腰长为6cm那么这个三角形的面积为 A.
4.5cm2 B.9cm2C.18cm2 D.36cm
26.在Rt△ABC中∠C=90°b=10∠A=30°则a= .
7.在Rt△ABC中∠C=90°AC=5AB=5则∠A= BC= .
8.如图所示在Rt△ABC中斜边BC上的高AD=4cosB=则AC= .
9.根据下列条件解直角三角形.1在Rt△ABC中∠C=90°AB=10BC=
5.2在Rt△ABC中∠C=90°∠A=60°BC=.
10.如图所示已知在△ABC中AD是BC边上的高E为边AC的中点BC=14AD=12sinB=.求:1线段DC的长;2tan∠EDC的值.【能力提升】
11.如图所示Rt△ABC中∠ACB=90°若AB=4sinA=则斜边AB上的高CD为 .
12.如图所示在△ABC中AB=2AC=以点A为圆心1为半径的圆与边BC相切于点D则∠BAC的度数是 .
13.如图所示在△ABC中∠A=30°∠B=45°AC=2则AB的长为 .
14.如图所示在菱形ABCD中DE⊥AB于点EcosA=BE=4求tan∠DBE的值.【拓展探究】
15.如图所示已知Rt△ABC中∠ACB=90°CD是斜边AB上的中线过点A作AE⊥CDAE分别与CDCB相交于点HEAH=2CH.1求sinB的值;2如果CD=求BE的长.【答案与解析】
1.C解析:由sinA=得∠A=30°则∠B=90°-∠A=60°.故选C.
2.C解析:∵cosB==∴BC=7cosB=7cos35°.故选C.
3.A解析:∵在Rt△ABC中∠C=90°AC=1BC=2∴AB=sinB=cosB=tanB=.故选A.
4.A解析:∵∠C=90°AB=10∴sinA==∴BC=×10=
6.故选A.
5.B解析:如图所示作底边上的高AD.∠B=30°AB=6cm则AD=ABsinB=6×=3cmBD=ABcosB=6×=3cm.∴BC=2BD=6cm∴=AD·BC=×3×6=9cm
2.故选B.
6.解析:∵cosA==b=10∴c=∴a=c=.
7.45° 5解析:∵cosA==∴∠A=45°∵∠C=90°∴∠B=∠A=45°∴BC=AC=
5.
8.5解析:∵在Rt△ABC中cosB=∴sinB=tanB==.在Rt△ABD中AD=4∴AB===.在Rt△ABC中∵tanB=∴AC=×=
5.故填
5.
9.解:1根据勾股定理可得AC==5又sinA==∴∠A=30°∴∠B=90°-∠A=60°. 2在Rt△ABC中∠C=90°∴∠B=90°-∠A=30°.又sinA==∴AB=2由勾股定理可得AC==
1.
10.解:1∵AD是BC边上的高∴△ABD和△ACD是直角三角形在Rt△ABD中∵sinB=∴=又AD=12∴AB=15∴BD==9又∵BC=14∴CD=
5. 2在Rt△ACD中∵E为斜边AC的中点∴ED=EC=AC∴∠C=∠EDC∴tan∠EDC=tanC==.
11.解析:在Rt△ABC中AB=4sinA=∴BC=ABsinA=.根据勾股定理得AC==.∵=AC·BC=AB·CD∴CD===.故填.
12.105°解析:如图所示连接AD则AD⊥BC在Rt△ABD中AB=2AD=1则sinB==∴∠B=30°∴∠BAD=60°同理在Rt△ACD中得到∠CAD=45°因而∠BAC的度数是105°.故填105°.
13.3+解析:如图所示过C作CD⊥AB于D∴∠ADC=∠BDC=90°∵∠B=45°∴∠BCD=∠B=45°∴CD=BD∵∠A=30°AC=2∴CD=∴BD=CD=由勾股定理得AD==3∴AB=AD+BD=3+.故填3+.
14.解:∵四边形ABCD是菱形∴AD=AB∵cosA=BE=4DE⊥AB∴设AD=AB=5xAE=3x则5x-3x=4∴x=2即AD=10AE=6在Rt△ADE中由勾股定理得DE==8在Rt△BDE中tan∠DBE===
2.
15.解:1∵AE⊥CD∠ACB=90°∴∠AHC=∠ACB=90°∵CD是AB上的中线∴CD=AD=BD=AB∴∠DAC=∠DCA∠B=∠DCB∴∠B=∠CAH∵AH=2CH∴CH∶AH∶AC=1∶2∶∴sinB=sin∠CAH==. 2由1可知AC∶BC∶AB=1∶2∶CE∶AC∶AE=1∶2∶∵CD=∴AB=2∴AC=2BC=4CE=1∴BE=BC-CE=4-1=
3. 在教学设计中通过回顾复习直角三角形中边与边、角与角、边与角之间的关系为下一步解直角三角形打下基础再通过解决比萨斜塔问题引入解直角三角形知识的必要性激发学生学习本节课的学习兴趣同时解决章前导入问题做到首尾呼应.通过解含有特殊角的直角三角形的探究活动归纳出解直角三角形的概念及基本形式和方法步骤由浅入深地引导探究学生更易于掌握本节课的重点和难点同时培养了学生的归纳总结能力.通过例题学会灵活运用直角三角形知识解决问题加深对解直角三角形的认识培养学生分析问题、解决问题的能力及严谨地求学精神. 本节课的重点是解直角三角形教学设计中追求新理念在课堂中的应用重视学生参与课堂所以教学设计中以问题为引领小组合作交流为主要教学活动形式预期学生课堂气氛活跃人人参与课堂让每个学生体验成功的快乐但在授课过程中过于追求形式课堂中的讨论交流只是流于形式所以在以后的教学活动中多关注学生小组交流时的效率. 复习直角三角形三边之间的关系、角之间的关系及边角之间的关系为本节课的学习打下基础同时以生活实际问题导入新课激发学生学习兴趣调动学生学习的积极性.通过探究已知直角三角形的两个元素求其他元素的过程很自然地引出解直角三角形的概念学生经历概念的形成过程更利于理解与掌握.例题的分析讲解让学生体会解直角三角形的方法提高学生学习能力培养良好的思维习惯. 练习教材第74页解:1在Rt△ABC中∠C=90°c=30b=20∴a==10∴cosA==∴∠A≈48°∴∠B≈90°-48°=42°. 2在Rt△ABC中∠A=90°-72°=18°∵sin72°=∴b=14·sin72°≈14×
0.951≈
13.
31.∵cos72°=∴a=14·cos72°≈14×
0.309≈
4.
33. 3在Rt△ABC中∠A=90°-30°=60°tan30°=∴b=·=∴c=2b=2×=. 更新教学理念提高课堂效率 1新课程改革要求:让学生通过交流、合作、讨论的方式积极探索改进学习方法提高学习质量逐步形成正确地数学价值观.以这一理念为前提在教学设计中以解决章前比萨斜塔问题导入新课让学生体会数学与生活之间的联系激发学生的学习兴趣.在各个环节的教学设计中始终以学生活动为主教师只是课堂的引导者通过动手操作、动脑思考、小组合作、共同归纳等数学活动让学生参与课堂活动注重学生对待学习的态度是否积极主动注重以问题形式引导学生从数学的角度去思考问题同时利用尝试教学让学生暴露思维过程通过学生之间的质疑解决问题.在课堂上留给学生足够的空间思考和展示自己让学生在充满情感的、和谐的课堂氛围中体验成功的快乐从而提高了学生在课堂上的学习效率. 2本节课是《解直角三角形》的第一课时在本章内容中起着承上启下的作用通过前边学过的三角函数知识结合勾股定理和直角三角形中的有关性质求出直角三角形中的未知元素是本节课的重点它是下节课解决实际问题的基础要注重培养学生数学能力和数学思维的提高. 如图所示在Rt△ABC中∠C=90°点O在AB上以O为圆心OA长为半径的圆与ACAB分别交于点DE且∠CBD=∠A若AD∶AO=8∶5BC=2求BD的长. 解:连接DE. ∵AE是☉O的直径 ∴∠ADE=90°. ∵AD∶AO=8∶5 ∴cosA==. ∵∠C=90°∠CBD=∠A ∴cos∠CBD==. ∵BC=2∴BD=. xx·重庆中考如图所示AC是矩形ABCD的对角线AB=2BC=2点EF分别是线段ABAD上的点连接CECF当∠BCE=∠ACF且CE=CF时AE+AF= . 〔解析〕 如图所示作FG⊥AC于G易证△BCE≌△GCF∴BE=GFBC=CG在Rt△ABC中tan∠ACB===∴∠ACB=30°AC=2AB=4∠DAC=∠ACB=30°∵FG⊥AC∴AF=2GF∴AE+AF=AE+2BE=AB+BE设BE=x在Rt△AFG中AG=GF=x∴AC=AG+CG=x+2=4解得x=-2∴AE+AF=AB+BE=2+-2=.故填.
28.
2.2 应用举例
1.了解仰角、俯角、方位角、坡度、坡角等有关概念知道坡度与坡角之间的关系.
2.经历对实际问题的探究会利用解直角三角形的知识解决实际问题.
3.在具体情景中从数学的角度发现问题和提出问题并综合运用数学知识解决简单实际问题.
1.通过画示意图将实际问题转化为数学问题发展学生的抽象概括能力提高应用数学知识解决实际问题的能力.
2.经历从实际问题中建立数学模型的过程增强应用意识体会数形结合思想的应用.
3.通过探究将实际问题转化为数学问题的过程培养学生分析问题和解决问题的能力培养学生思维能力的灵活性.
1.通过根据实际问题画示意图的过程培养学生的动手能力激发学生对数学的好奇心和求知欲.
2.通过自主学习、合作交流体验成功的快乐增强学习数学的自信心培养学生勇于探索的创新精神.
3.调动学生学习数学的积极性和主动性培养学生认真思考等学习习惯形成实事求是的科学态度. 【重点】
1.用三角函数有关知识解决仰角、俯角、方位角、坡度、坡角等有关问题.
2.能根据题意画出示意图将实际问题的数量关系转化为直角三角形元素之间的关系. 【难点】 正确理解题意将实际问题转化为数学问题.第课时
1.了解仰角、俯角等有关概念经历对实际问题的探究会利用解直角三角形的知识解决实际问题.
2.通过在具体情景中从数学的角度发现问题和提出问题并综合运用数学知识解决简单实际问题.
1.经历将实际问题转化为数学问题的探究过程提高应用数学知识解决实际问题的能力.
2.通过探索用解直角三角形知识解决仰角、俯角等有关问题让学生体会数学知识的发生、发展、应用过程并发展学生的动手能力.
3.经历从实际问题构建数学模型的过程体会数学来源于生活又应用于生活.
1.学生积极参与探索活动并在探索过程中发表自己的见解体会三角函数是解决实际问题的有效工具.
2.通过探索三角函数在实际问题中的应用感受数学来源于生活又应用于生活以及勇于探索的创新精神.
3.让学生在自主探索、合作交流中获得成功的体验建立自信心让学生在解决问题的过程中体会学数学、用数学的乐趣. 【重点】 能根据题意画出示意图将实际问题的数量关系转化为直角三角形元素之间的关系. 【难点】 正确理解题意将实际问题转化为数学模型的建模过程. 【教师准备】 多媒体课件. 【学生准备】 预习教材P74~
75.导入一: 【复习提问】
1.如图所示在Rt△ABC中∠C=90°∠A∠B∠C的对边分别为abc. 1三边abc有什么关系 2∠A∠B有怎样的关系 3边与角之间有怎样的关系
2.解直角三角形应具备怎样的条件 【师生活动】 学生回答问题教师点评归纳.导入二: 如图所示要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子AB的顶端梯子与地面所成的角α一般要满足50°≤α≤75°.现有一架长6m的梯子. 1使用这架梯子最高可以安全攀上多高的墙 2当梯子底端距离墙面
2.4m时α等于多少度此时人能否安全使用这架梯子 【师生活动】 学生小组内讨论解题思路小组代表回答解题思路教师巡视中帮助有困难的学生对学生的回答作出点评然后导出新课. [设计意图] 通过复习解直角三角形的有关知识为本节课的用解直角三角形解决实际问题做好铺垫以旧引新帮助学生建立新旧知识间的联系以解决生活实际问题引出新课激发学生的好奇心和求知欲感受数学应用的意义. [过渡语] 刚才的导入中用解直角三角形的知识解决了实际生活问题在生活实际中还有许多问题可以用解直角三角形的知识解决让我们一起去探究吧!
一、活动一 教材例3xx年6月18日“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接.“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343km的圆形轨道上运行如图所示当组合体运行到地球表面P点的正上方时从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置最远点与P点的距离是多少地球半径约为6400kmπ取
3.142结果取整数 思路一 师生合作探究: 1从组合体上最远能直接看到的地球上的点应该是视线与地球相切时的切点. 2根据题意画出平面图形. 3所要求的距离是图形中的哪条线段的长度 4已知中有哪些条件求弧长需要知道哪些条件 5弧所对的圆心角在哪个三角形中你能求出这个角的度数吗 如图
②所示☉O表示地球点F是组合体的位置FQ是☉O的切线切点Q是从组合体中观测地球时的最远点.弧PQ的长就是地面上PQ两点间的距离.为计算弧PQ的长需先求出∠POQ即α的度数 【师生活动】 教师通过提出的问题引导学生分析思考指导学生画出平面图形分析已知条件和所求的结论师生共同分析题意及解题思路后学生独立完成并板书解题过程. 【课件展示】 解:设∠POQ=α在图
②中FQ是☉O的切线△FOQ是直角三角形. ∵cosα==≈
0.9491 ∴α≈
18.36°. ∴弧PQ的长为×6400≈×6400≈2051km. 由此可知当组合体在P点正上方时从中观测地球表面时的最远点距离P点约2051km. 思路二 教师引导思考: 1要解决实际问题首先要做什么将实际问题抽象成数学问题 2如何根据题意画出平面图形地球平面图形是圆组合体近似看作点 3从组合体中看到的地球表面最远的点在什么位置过点作圆的切线切点即为所求 学生操作:画出平面示意图. 4最远点与P点的距离在示意图中指的是什么的长 5如何求这段距离和圆有什么关系 6如何将所需数据转化为解直角三角形的知识 【师生活动】 学生尝试根据图形写出解题思路教师巡视过程中及时帮助有困难的学生课件展示解题过程规范解题格式. 【课件展示】 解答同思路一. [设计意图] 引导学生画出示意图把实际问题转化为数学问题分析实际问题中的数量关系利用解直角三角形的知识解决实际问题让学生经历作图、分析过程体会数形结合思想在数学中的应用提高学生分析问题、解决问题的能力.
二、活动二 【思考】 平时我们观察物体时我们的视线相对于水平线来说可有几种情况 【归纳】 视线与水平线所成的角中视线在水平线上方的角是仰角视线在水平线下方的角是俯角. 教材例4热气球的探测器显示从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°看这栋楼底部的俯角为60°热气球与楼的水平距离为120m这栋楼有多高结果取整数 教师引导分析: 1如何根据题意画出符合题意的几何图形画出示意图如图所示 2分析题意已知条件有哪些 3你能直接求出AB的长吗 4如何求出BC的长线段BD与线段CD的和 5在Rt△ABD中能否求线段BD的长 6在Rt△ACD中能否求线段CD的长 【师生活动】 教师引导学生思考问题然后独立完成解题过程教师巡视过程中及时发现问题并帮助有困难的学生解决问题然后课件展示解题过程规范解题格式. 【课件展示】 解:如图所示α=30°β=60°AD=
120. ∵tanα=tanβ= ∴BD=AD·tanα=120×tan30° =120×=40 CD=AD·tanβ=120×tan60° =120×=
120. ∴BC=BD+CD=40+120 =160≈277m. 因此这栋楼高约为277m. [设计意图] 学生在教师设计的问题串的引导下思考独立完成解题过程进一步让学生体会将实际问题转化为数学问题的建模过程培养学生建模思想灵活应用解直角三角形知识解决有关线段的长的计算问题提高学生的数学思维及解题能力.
三、活动三: 【思考】 你能总结利用解直角三角形的有关知识解决实际问题的一般过程吗 【师生活动】 学生思考后小组合作交流共同归纳解题过程教师对学生的回答以鼓励为主将学生的回答补充完整. 【归纳】 1将实际问题抽象成数学问题画出示意图将其转化为解直角三角形的问题; 2根据问题中的条件适当选用锐角三角函数解直角三角形; 3得到数学问题的答案; 4得到实际问题的答案. [设计意图] 通过例题的探究归纳解决实际问题的一般步骤培养学生归纳总结能力和建模思想. [知识拓展] 仰角与俯角都是视线与水平线的夹角. 用解直角三角形的有关知识解决实际问题的一般过程: 1将实际问题抽象成数学问题画出示意图将其转化为解直角三角形的问题; 2根据问题中的条件适当选用锐角三角函数等解直角三角形; 3得到数学问题的答案; 4得到实际问题的答案.
1.如图所示由D点测塔顶A点和塔基B点的仰角分别为60°和30°.已知塔基高出地平面20米即BC长为20米塔身AB的高为 A.60米 B.40米 C.40米 D.20米 解析:∵∠ADC=60°∠BDC=30°∴∠ADB=30°∠A=30°∴AB=BD.在Rt△BCD中BC=20BD==40∴AB=40米所以塔身的高为40米.故选C.
2.如图所示一飞机从一地平面指挥台C正上方xx米D处经过沿水平方向飞行稍后到达B点这时从地平面指挥台看飞机的仰角为45°1分钟后飞机到达A点这时从地平面指挥台看飞机的仰角为30°则飞机从B到A的速度精确到1米是 A.1461米/分 B.1462米/分 C.1463米/分 D.1464米/分 解析:由题意知在Rt△ADC中AD=xx米在Rt△BDC中BD=CD=xx米则AB=xx米由此求得飞机的速度约为1464米/分.故选D.
3.如图所示从山顶A处看地面C点的俯角为45°看地面D点的俯角为30°测得CD=100米求山AB的高度.结果保留根号 解:设山AB的高度为x米 在Rt△ABD中∠ADB=30° ∴BD==x 在Rt△ABC中∠ACB=45° ∴BC=x ∴CD=DB-BC=x-x=100 ∴x=50+
50. 答:山AB的高度为50+50米. 第1课时
1.活动一
2.活动二
3.活动
三一、教材作业【必做题】 教材第78页习题
28.2第234题.【选做题】 教材第79页习题
28.2第8题.
二、课后作业【基础巩固】
1.课外活动小组测量学校旗杆的高度.如图所示当太阳光线与地面成30°角时测得旗杆AB在地面上的影长BC为24米那么旗杆AB的高度是 A.12米 B.8米 C.24米 D.24米
2.xx·长沙中考如图所示为测量一棵与地面垂直的树OA的高度在距离树的底端30米的B处测得树顶A的仰角∠ABO为α则树OA的高度为 A.米 B.30sinα米C.30tanα米 D.30cosα米
3.如图所示小颖利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度已知她与树之间的水平距离BE为5mAB为
1.5m即小颖的眼睛到地面的距离那么这棵树高是 A.m B.mC.m D.4m
4.一棵树因雪灾于A处折断如图所示测得树梢触地点B到树根C处的距离为4米∠ABC约45°树干AC垂直于地面那么此树在未折断之前的高度约为 米答案保留根号.
5.如图所示两建筑物的水平距离BC为18m从A点测得D点的俯角α为30°测得C点的俯角β为60°则建筑物CD的高度为 m.
6.如图所示张华同学在学校某建筑物的C点处测得旗杆顶部A点的仰角为30°旗杆底部B点的俯角为45°.若旗杆底部B点到建筑物的水平距离BE=9米旗杆台阶高1米求旗杆顶点A离地面的高度.结果保留根号【能力提升】
7.如图所示小阳发现垂直于地面的电线杆AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上量得CD=8米BC=20米CD与地面成30°角且此时测得垂直于地面的1米杆的影长为2米则电线杆的高度为 A.9米 B.28米C.7+米 D.14+2米
8.如图所示在建筑平台CD的顶部C处测得大树AB的顶部A的仰角为45°测得大树AB的底部B的俯角为30°已知平台CD的高度为5m则大树的高度为 m结果保留根号.
9.如图所示为了知道空中一静止的广告气球A的高度小宇在B处测得气球A的仰角为18°他向前走了20m到达C处后再次测得气球A的仰角为45°已知小宇的眼睛距地面
1.6m则此时气球A距地面的高度约为 结果精确到1m.
10.某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼该居民楼的一楼是高5米的小区超市超市以上是居民住房.在该楼的前面15米处要盖一栋高20米的新楼.当冬季正午的阳光与水平线的夹角为32°时.1超市以上的居民住房采光是否受影响为什么2若要使超市以上的居民住房采光不受影响两楼至少应相距多少米结果保留整数参考数据:sin32°≈cos32°≈tan32°≈【拓展探究】
11.如图所示在电线杆上的C处引拉线CECF固定电线杆拉线CE和地面成60°角在离电线杆6米的B处安置测角仪在A处测得电线杆上C处的仰角为30°已知测角仪AB高为
1.5米求拉线CE的长结果保留根号.【答案与解析】
1.B解析:在Rt△ABC中BC=24米tan∠ACB=∴AB=BC·tan30°=24×=8米.故选B.
2.C解析:由题意得OB=30米tanα=∴OA=OBtanα=30tanα米.故选C.
3.A解析:在Rt△ACD中∠CAD=30°AD=BE=5m∴CD=ADtan30°=5×=m∴CE=CD+DE=CD+AB=m.故选A.
4.4+4解析:在△ACB中∠C=90°∵∠ABC=45°∴∠A=45°∴∠ABC=∠A∴AC=BC∵BC=4∴AC=4由AC2+BC2=AB2得AB==4所以此树在未折断之前的高度为4+4米.故填4+
4.
5.12解析:如图所示过点D作DE⊥AB于点E则四边形BCDE是矩形根据题意得∠ACB=β=60°∠ADE=α=30°BC=18m∴DE=BC=18mCD=BE在Rt△ABC中AB=BC·tan∠ACB=18×tan60°=18m在Rt△ADE中AE=DE·tan∠ADE=18×tan30°=6m∴DC=BE=AB-AE=18-6=12m.故填
12.
6.解:如图所示作CH⊥AB于H在Rt△ACH中∵∠ACH=30°tan30°=∴AH=CH·tan30°=9×=3米在Rt△CHB中∵∠HCB=45°tan45°=∴BH=CH·tan45°=9米所以旗杆顶点A离地面的高度为AH+BH+1=10+3米.
7.D解析:如图所示延长AD交BC的延长线于F点作DE⊥CF于E点.DE=8sin30°=4CE=8cos30°=
4.∵测得1米杆的影长为2米.∴EF=2DE=8∴BF=BC+CE+EF=20+4+8=28+4∴电线杆AB的高度是28+4=14+2米.故选D.
8.5+5解析:作CE⊥AB于点E在Rt△BCE中BE=CD=5mCE==5m在Rt△ACE中AE=CE·tan45°=5m∴AB=BE+AE=5+5m.故填5+
5.
9.11m解析:如图所示过点A作AD⊥BC于点D交FG于点E.∵∠AGE=45°∴AE=GE.在Rt△AFE中设AE长是xm则tan∠AFE=即tan18°=解得x≈
9.
6.由题意知ED=FB=
1.6∴AD≈
9.6+
1.6=
11.2≈11m.故填11m.
10.解:1受影响.理由如下:如图所示延长光线交CD于F作FE⊥AB于E在Rt△AEF中tan∠AFE=tan32°==≈解得AE≈=9故可得FC=EB=20-9=105即超市以上的居民住房采光要受影响. 2要使采光不受影响则EB=5米AE=15米tan32°=≈解得EF≈24米即要使超市以上的居民住房采光不受影响两楼应至少相距24米.
11.解:如图所示过点A作AH⊥CD垂足为H由题意可知四边形ABDH为矩形∠CAH=30°∴DH=AB=
1.5AH=BD=6在Rt△ACH中tan∠CAH=∴CH=AH·tan∠CAH∴CH=6tan30°=6×=2∵DH=
1.5∴CD=2+
1.5在Rt△CDE中∵∠CED=60°sin∠CED=∴CE===4+米.答:拉线CE的长为4+米. 本节课的内容是应用解直角三角形的知识解决实际问题.教学的重、难点是建立数学模型把实际问题转化为数学问题通过对知识点的梳理、分析例题的解题思路、例题变式练习及巩固练习等教学设计学生在教师的引导下通过独立思考、自主学习、合作探究等数学活动充分调动学生参与课堂的积极性让学生敢于提出问题、分析问题使不同层次的学生在数学课堂上都得到发展提高了解决问题的能力课堂上绝大部分学生能很好地掌握了如何构建模型的解决方法很好地达到了本节课的教学目的. 本节课是锐角三角函数的应用举例学生对教材例1画出示意图建立数学模型的理解较难给学生思考、交流时间较少造成学生认为本节课的学习较难失去了学习兴趣在以后对例1的教学中教师多设计几个问题引导学生思考给学生较长时间交流、计算把理解的难度通过问题降低.另外对基础较差的学生对该数学的应用不是那么得心应手不会合理找出边角关系所以在以后教学中不宜多讲多给学生时间思考与交流. 本节课是解直角三角形的应用难点是建立数学模型把实际问题转化为数学问题在教学设计中应该把注意力集中在学生的思维上提高学生的思维品质在课堂上学生在教师提出的问题的引导下通过独立思考、自主学习、合作探究等数学活动画出示意图构建出数学模型然后独立完成解答最后归纳解题思路和步骤让课堂真正成为学生活动的场所成为展示自我的舞台达到提高学生分析问题、解决问题的能力、提高学生数学思维的目的. 练习教材第76页
1.解:在Rt△ACD中∵tan50°=∴AC=40·tan50°≈40×
1.1918≈
47.67m.又∵BC=DC=40m∴旗杆高AB=AC-BC≈
47.67-40=
7.67≈
7.7m.
2.解:∵∠ABD=140°∠D=50°∴∠E=90°.在Rt△BDE中∵cos50°=∴DE=520×cos50°≈520×
0.6428≈
334.3m∴点E到点D的距离约为
334.3m时正好使ACE三点在一直线上. 培养数学建模思想 1解直角三角形的应用是在学生熟练掌握了直角三角形的解法的基础上进行教学它是把一些实际问题转化为解直角三角形的数学问题对学生的分析问题能力要求较高是学生学习本章内容的难点.解决实际问题的过程是先把实际问题抽象出数学问题通过解决数学问题得到实际问题的答案.通过体验数学模型思想和数学建模过程培养学生应用意识发展数学抽象能力以及分析问题、解决问题的能力.同时这种处理方式符合学生的认知规律有利于调动学生学习的积极性多种多样的实际问题能够激发学生学习数学的兴趣. 2课堂是学生活动的场所是他们展示自我的舞台在教学设计中精心设计学生的数学活动让学生在教师的引导下通过独立思考、自主学习、合作探究、归纳总结等数学活动调动学生参与课堂的积极性提高学生分析问题、解决问题的能力提高学生的数学思维使不同层次的学生在数学课堂上都得到发展. xx·青岛中考如图所示小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC并测得BC两点的俯角分别为45°和35°已知大桥BC与地面在同一水平面上其长度为100m.请求出热气球离地面的高度.结果保留整数参考数据:sin35°≈cos35°≈tan35°≈ 解:如图所示作AD⊥CB延长线于点D. 由题意知∠ACD=35°∠ABD=45° 在Rt△ACD中∠ACD=35° tan35°=≈所以CD≈AD 在Rt△ABD中∠ABD=45° tan45°==1所以BD=AD 由题意可得BC=CD-DB=100 所以AD-AD≈100 解得AD≈
233. 答:热气球到地面的距离约为233米. xx·淮安中考如图所示为了对一棵倾斜的古杉树AB进行保护需测量其长度.在地面上选取一点C测得∠ACB=45°AC=24m∠BAC=
66.5°求这棵古杉树AB的长度.结果取整数参考数据:≈
1.41sin
66.5°≈
0.92cos
66.5°≈
0.40tan
66.5°≈
2.30 〔解析〕 过B点作BD⊥AC于D分别在Rt△ADB和Rt△CDB中用BD表示出AD和CD再根据AC=AD+CD=24列出方程求解即可. 解:如图所示过B点作BD⊥AC于D. ∵∠ACB=45°∠BAC=
66.5° ∴在Rt△ADB中AD= 在Rt△CDB中CD=BD ∵AC=AD+CD=24 ∴+BD=24解得BD≈
16.
73. ∴AB=≈18m. 故这棵古杉树AB的长度大约为18m.第课时
1.了解方位角等有关概念能准确把握所指的方位角是指哪一个角.
2.了解坡度、坡角的有关概念知道坡度与坡角之间的关系.
3.经历对实际问题的探究会利用解直角三角形的知识解决有关方位角、坡度、坡角的实际问题.
1.通过探究从实际问题中建立数学模型的过程发展学生的抽象概括能力提高应用数学知识解决实际问题的能力.
2.通过将实际问题中的数量关系转化为直角三角形中元素之间的关系增强应用意识体会数形结合思想的应用.
3.体验用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题的策略和方法培养学生分析问题和解决问题的能力提高学生思维能力的灵活性.
1.通过根据实际问题画示意图的过程培养学生的动手能力激发学生对数学的好奇心和求知欲.
2.在运用三角函数知识解决问题的过程中认识数学具有抽象、严谨和应用广泛的特点体会数学的应用价值.
3.通过将实际问题转化为数学问题培养建模思想体会数形结合思想在数学中的应用培养学生良好的学习习惯.
4.在合作交流的学习过程中提高学生的合作意识及团队精神. 【重点】 用三角函数有关知识解决方位角、坡度、坡角等有关问题. 【难点】 准确分析问题并将实际问题转化成数学模型. 【教师准备】 多媒体课件. 【学生准备】 预习教材P76~
77.导入一: 【复习提问】
1.在练习本上画出方向图表示东南西北四个方向的.
2.依次画出表示东南方向、西北方向、北偏东65度、南偏东34度方向的射线. 【师生活动】 学生动手画图小组内交流答案教师巡视过程中发现学生易犯错误作出点评.导入二: 如果你是修建三峡大坝的工程师现在有这样一个问题请你解决:如图所示水库大坝的横断面是梯形坝顶宽6m坝高23m斜坡AB的坡度i=1∶3斜坡CD的坡度i=1∶
2.5求斜坡AB的坡角α坝底宽AD和斜坡AB的长. 【师生活动】 教师课件展示实际问题学生审题面对学生对没学过的概念的疑惑教师导出本节课课题. [过渡语] 在这个实际问题中什么是坡度、坡角如何解决这个实际问题这就是我们这节课要学习的内容. [设计意图] 通过复习有关方位角的概念为本节课探究例题做好铺垫.以有关斜坡问题的生活实例导入新课让学生体会数学在生活中无处不在同时激发学生的好奇心和求知欲.
一、探究一 教材例5如图所示一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向距离灯塔80nmile的A处它沿正南方向航行一段时间后到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处.这时B处距离灯塔P有多远结果取整数 思路一 教师引导分析: 1要求BP的长常作的辅助线是什么构造直角三角形 2在Rt△BPC中要求BP的长已知什么需要求什么 3题目中的已知条件是什么在哪个直角三角形中 4在Rt△APC中根据已知条件可以求出什么 5结合2只要求出哪条线段的长即可线段PC的长 6根据以上分析你能写出解答过程吗 【师生活动】 学生根据教师提出的问题思考后独立完成解答过程教师巡视过程中及时辅导鼓励学生用不同角度思考问题最后展示学生的解答过程学生点评与总结. 解:在Rt△APC中 PC=PA·cos90°-65° =80·cos25°≈
72.
505. 在Rt△BPC中∠B=34° ∵sinB= ∴PB=≈≈≈130nmile. 因此当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处时它距离灯塔P大约130nmile. 思路二 【学生活动】 1根据题意自己画出示意图. 2分析题意写出解答过程. 3小组内成员交流答案. 【教师活动】 1巡视过程中及时辅导帮助有困难的学生引导学生从不同角度思考问题. 2展示学生的成果让学生进行点评. 3规范解题格式强调解决实际问题的关键. 【课件展示】 同思路一 [设计意图] 通过教师引导或自主学习方式解决有关方位角的实际问题让学生进一步体会数形结合思想和建模思想在数学中的应用提高学生分析问题、解决问题的能力体会将实际问题转化为解直角三角形问题的一般思路和方法.
二、探究二 活动一: 认识有关概念: 【课件展示】 坡度:坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度或叫做坡比一般用i表示.即i=常写成i=1∶m的形式. 坡角:把坡面与水平面的夹角α叫做坡角. 【思考】 坡度i与坡角α之间具有什么关系 i==tanα 【师生活动】 学生小组合作交流归纳结论教师点评. 活动二: 解决课前导入问题: 如图所示水库大坝的横断面是梯形坝顶宽6m坝高23m斜坡AB的坡度i=1∶3斜坡CD的坡度i=1∶
2.5求斜坡AB的坡角α精确到1坝底宽AD和斜坡AB的长精确到
0.1m. 〔解析〕 1进行和坡度有关的计算常作辅助线构造直角三角形根据解直角三角形的知识求坡角. 2根据坡度概念及梯形的高可以求出AEDF的长. 3由矩形性质可得EF与BC的数量关系求出EF的值从而求出AD的长. 4在Rt△ABE中由勾股定理或三角函数定义可得AB的长. 【师生活动】 教师引导学生分析问题然后学生独立完成解答过程小组内交流答案小组代表板书过程教师进行点评. 【课件展示】 解:在Rt△ABE和Rt△CDF中== ∴AE=3BE=3×23=69m FD=
2.5CF=
2.5×23=
57.5m. ∴AD=AE+EF+FD=69+6+
57.5=
132.5m. ∵斜坡AB的坡度i=tanα=≈
0.3333 ∴α≈18°
26. 在Rt△ABE中AB= =≈
72.7m. 答:斜坡AB的坡角α约为18°26坝底宽AD为
132.5m斜坡AB的长约为
72.7m. [设计意图] 通过利用解直角三角形的知识解决有关坡度问题培养学生逻辑思维能力及良好的学习习惯.坡度问题计算过程很繁琐通过严格要求学生选择最简练、准确的方法计算培养学生运算能力.
三、共同归纳 [过渡语] 通过两节课的学习你能归纳出利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是什么吗 【师生活动】 学生小组讨论教师对学生的回答给予鼓励师生共同归纳解题过程: 【课件展示】 1将实际问题抽象为数学问题画出平面图形转化为解直角三角形的问题; 2根据问题中的条件适当选用锐角三角函数等解直角三角形; 3得到数学问题的答案; 4得到实际问题的答案. [设计意图] 通过归纳总结用解直角三角形知识解决实际问题的一般过程培养学生归纳总结能力提高学生的数学思维. [知识拓展] 1解决实际问题时可利用正南、正北、正西、正东方向线构造直角三角形求解. 2坡度也叫坡比即i=一般写成i=1∶m的形式比的前项是1后项可以是整数也可以是小数或根式. 3坡度i与坡角α之间的关系为i=tanα. 4坡角越大坡度越大坡面越陡. 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程: 1将实际问题抽象为数学问题画出平面图形转化为解直角三角形的问题; 2根据问题中的条件适当选用锐角三角函数等解直角三角形; 3得到数学问题的答案; 4得到实际问题的答案.
1.测得某坡面垂直高度为2m水平宽度为4m则坡度为 A.1∶ B.1∶ C.2∶1 D.1∶2 解析:由坡度等于坡面垂直高度与水平宽度的比得坡度为2∶4=1∶
2.故选D.
2.某人上坡沿直线走了50m他升高了25m则此坡的坡度为 A.30° B.45° C.1∶1 D.1∶ 解析:如图所示AC==25m由坡度公式得i===1∶
1.故选C.
3.某时刻海上点P处有一客轮测得灯塔A位于客轮P的北偏东30°方向且相距20海里.客轮以60海里/小时的速度沿北偏西60°方向航行小时到达B处那么tan∠ABP为 . 解析:∵灯塔A位于客轮P的北偏东30°方向且相距20海里∴PA=20海里∵客轮以60海里/小时的速度沿北偏西60°方向航行小时到达B处∴∠APB=90°BP=60×=40海里∴tan∠ABP===.故填.
4.如图所示市政府准备修建一座高AB=6m的过街天桥已知天桥的坡面AC与地面BC的夹角∠ACB的余弦值为则坡面AC的长度为 m. 解析:在Rt△ABC中cos∠ACB==设BC=4xAC=5x则AB=3x则sin∠ACB==又∵AB=6m∴AC=10m.故填
10.
5.如图所示甲船在港口P的北偏西60°方向距港口80海里的A处沿AP方向以12海里/时的速度驶向港口P.乙船从港口P出发沿北偏东45°方向匀速驶离港口P现两船同时出发2小时后乙船在甲船的正东方向.求乙船的航行速度.精确到
0.1海里/时参考数据:≈
1.41 解:如图所示设乙船的速度为x海里/时2小时后甲船在点B处乙船在点C处作PQ⊥BC于Q则BP=80-2×12=56PC=2x. 在Rt△PQB中∠BPQ=60° ∴PQ=BPcos60°=56×=
28. 在Rt△PQC中∠QPC=45° ∴PQ=PC·cos45°=x ∴x=28∴x=14≈
19.
7. 答:乙船的航行速度约为
19.7海里/时. 第2课时
1.探究一
2.探究二
3.共同归纳
一、教材作业【必做题】 教材第78页习题
28.2第57题.【选做题】 教材第79页习题
28.2第910题.
二、课后作业【基础巩固】
1.如图所示某商场自动扶梯的长l为10米该自动扶梯到达的高度h为6米自动扶梯与地面所成的角为θ则tanθ等于 A. B. C. D.
2.如图所示小雅家图中点O处门前有一条东西走向的公路经测得有一水塔图中点A处在她家北偏东60度方向500m处那么水塔所在的位置到公路的距离AB是 A.250m B.250m C.m D.250m
3.一段公路的坡度为1∶3某人沿这段公路路面前进100米那么他上升的最大高度是 A.30米 B.10米 C.30米 D.10米
4.一只船向正东方向航行上午7时在灯塔A的正北方向的C处上午9时到达灯塔A的北偏东60°方向的B处已知船的速度为每小时20千米那么AB的长是 A.千米 B.千米C.千米 D.千米
5.已知传送带与水平面所成斜坡的坡度i=1∶
2.4如果它把物体送到离地面10米高的地方那么物体所经过的路程为 米.
6.一只船向正东方向航行上午9点到达一座灯塔的西南方向68海里处上午11点到达这座灯塔的正南方向这只船航行的速度是 海里/时.答案可带根号
7.如图所示沿江堤坝的横断面是梯形ABCD坝顶AD=4m坝高AE=6m斜坡AB的坡比i=1∶2∠C=60°求斜坡ABCD的长.
8.如图所示一船在A处测得北偏东45°方向有一灯塔B船向正东方向以每小时20海里的速度航行
1.5小时到达C处时又观测到灯塔B在北偏东15°方向上求此时船与灯塔相距多少海里.【能力提升】
9.如图所示一游人由山脚A沿坡角为30°的山坡行走600m到达一个景点B再由B沿山坡BC行走200m到达山顶C若在山顶C处观测到景点B的俯角为45°则山高CD等于 结果用根号表示.
10.xx·铜仁中考如图所示一艘轮船航行到B处时测得小岛A在船的北偏东60°的方向轮船从B处继续向正东方向航行200海里到达C处时测得小岛A在船的北偏东30°的方向.已知在小岛周围170海里内有暗礁若轮船不改变航向继续向前行驶轮船有无触礁的危险≈
1.
73211.xx·海南中考如图所示某渔船在小岛O南偏东75°方向的B处遇险在小岛O南偏西45°方向A处巡航的中国渔政船接到求救信号后立刻前往救援此时中国渔政船与小岛O相距8海里渔船在中国渔政船的正东方向上.1求∠BAO与∠ABO的度数直接写出答案;2若中国渔政船以每小时28海里的速度沿AB方向赶往B处救援能否在1小时内赶到请说明理由.参考数据:tan75°≈
3.73tan15°≈
0.27≈
1.41≈
2.45【拓展探究】
12.如图所示某气象台测得“苹果1号”台风的中心在A地A地在B城的正西方向300km处台风中心正以50km/h的速度沿北偏东60°的方向移动.距台风中心250km范围内的区域都会受到台风的影响.1B城是否会受到台风的影响请说明理由;2如果B城会受到台风的影响那么受到影响的时间有多长【答案与解析】
1.A解析:由勾股定理可得另一直角边的长为=8所以tanθ==.故选A.
2.A解析:由已知得∠AOB=30°OA=500m则AB=OA=250m.故选A.
3.D解析:如图所示Rt△ABC中tanA=AB=100米.设BC=x米则AC=3x米根据勾股定理得x2+3x2=1002解得x=±10负值舍去.故选D.
4.D解析:如图所示由题意得BC=20×2=40千米∠A=60°∴sinA=sin60°=∴=解得AB=千米.故选D.
5.26解析:如图所示由题意得斜坡AB的坡度为i=1∶
2.4AE=10米AE⊥BD∵i==∴BE=24米在Rt△ABE中AB==26米.故填
26.
6.17解析:如图所示由题意知∠M=45°PM=68则在Rt△PNM中cosM=即=∴MN=34∴这只船航行的速度为==17海里/时.
7.解:∵斜坡AB的坡比i=1∶2∴AE∶BE=1∶
2.又AE=6m∴BE=12m∴AB==6m作DF⊥BC于F如图所示则得矩形AEFD有DF=AE=6m∵∠C=60°∴CD==4m.答:斜坡ABCD的长分别是6m4m.
8.解:如图所示过C作CD⊥AB垂足为D过C作CE⊥AC交AB于E.在Rt△ACD中∠DAC=45°AC=20×
1.5=30∴CD=ACsin45°=30×=15在Rt△BCD中∠BCD=∠BCE+∠ECD=45°+15°=60°∴BC==30海里.答:此时船与灯塔相距30海里.
9.100+300m解析:过B作BF⊥AD于FBE⊥CD于E如图所示∵在山顶C处观测到景点B的俯角为45°∴△BEC为等腰直角三角形而BC=200m∴CE=BC=100m∵∠A=30°AB=600m∴BF=AB=300m∴CD=CE+ED=100+300m.
10.解:该轮船不改变航向继续前行无触礁的危险.理由如下:如图所示作AD⊥BC于D则有∠ABD=30°∠ACD=60°∴∠CAB=∠ABD∴AC=BC=200海里.在Rt△ACD中设CD=x海里则AC=2xAD===x在Rt△ABD中AB=2AD=2xBD===3x.又∵BD=BC+CD∴3x=200+x∴x=
100.∴AD=x=100≈
173.2∵
173.2海里170海里∴轮船不改变航向继续向前行驶轮船无触礁的危险.
11.解:1∠BAO=45°∠ABO=15°. 2能.过点O作OC⊥AB于点C如图所示则△AOC与△BOC都是直角三角形由1得∠BAO=45°∠ABO=15°∴△AOC是等腰直角三角形∴AC=OC.在Rt△AOC中AC=OAcos45°=8×=4≈
5.64∴OC=AC≈
5.64在Rt△BOC中BC=≈≈
20.
89.∴AB=AC+BC≈
5.64+
20.89=
26.53海里.∵中国渔政船的速度是每小时28海里∴中国渔政船能在1小时内赶到.
12.解:1如图所示过点B作BD⊥AC于点D∵台风中心正以50km/h的速度沿北偏东60°的方向移动∴∠CAB=30°.∵AB=300km∴BD=AB=×300=150km150km250km∴B城会受到台风的影响. 2过点B作BE=BF=250km∵BD⊥AC∴DE=DF=EF在Rt△DEB中∵BE=250kmBD=150km∴DE===200km∴EF=2DE=400km∵台风中心正以50km/h的速度沿北偏东60°的方向移动∴经过EF的时间t==8h.答:受到影响的时间是8小时. 以和本节课有关的坡度、坡角的实际问题导入新课激发学生的好奇心和求知欲探究一是解决和方位角有关的实际问题因为学生对方位角比较熟悉所以探究活动以学生为主独立完成后小组合作交流展示成果让学生体会成功的快乐;探究二是解决导入中的生活实例做到首尾呼应教师引导学生熟悉坡度、坡角的概念后学生在教师提出的问题的引导下自主学习建立数学模型将实际问题转化为数学问题解决学生通过小组合作交流、共同探究等数学活动明确解题思路学生在展示成果后教师归纳总结引导学生熟悉用解直角三角形知识解决实际问题的方法和思路从而让学生的数学思维能力得到提升. 本节课的重点是建立数学模型用解直角三角形知识解决实际问题教学设计的主要特点是突出学生活动让学生真正成为课堂的主人通过自主学习、合作交流、共同归纳解决与方位角、坡角有关的实际问题.教学中忽略了知识之间的联系没有把一些零散的练习和例题用主线串联起来其实这些应用就是在直角三角形中解决边角之间的关系设计时可以将添加辅助线构造直角三角形的练习加在例题后边让学生对这类习题有整体认识. 本节课以复习上节课知识——建立数学模型应用解直角三角形知识解决实际问题导入新课了解本节课是上节课的延续再以和坡度、坡角有关的实际问题导入新课激发学生学习兴趣.在教学设计中以学生自主学习为主突出学生在课堂上的主体意识独立认真审题画出符合题意的图形分析已知和所求利用三角形边角关系解决实际问题学生独立完成后小组合作交流答案教师作出点评最后共同归纳解题步骤学生在课堂上积极发散思维体验成功的快乐. 练习教材第77页
1.解:设点A到BD的距离为xnmile则tan30°=即=解得x≈
10.
392.∵
10.3928∴没有触礁的危险.
2.解:1由已知得tanα==tanβ=∴α≈
33.69°β≈
18.43°. 2在Rt△ABF中∵sinα=∴AB=≈≈
10.9m.习题
28.2教材第77页
1.解:1在Rt△ABC中∠C=90°∠A=30°∴∠B=60°∴a=c=4b==
4. 2∵∠A=15°∴∠B=90°-15°=75°∴a=b·tan15°≈7×
0.268≈
1.9c=≈≈
7.
2. 3∵a=5b=12∴c==13∴sinA=∴∠A≈23°∴∠B≈67°.
2.解:在Rt△ABD中BD=5∵tan36°=∴AD=5tan36°≈5×
0.727≈
3.6m.∵cos36°=∴AB=≈≈
6.2m.
3.解:由题意可知∠B=16°31∠C=90°AC=1200m.在Rt△ABC中sinB=∴AB==≈≈4221m.答:飞机A到指挥台B的距离约为4221m.
4.解:如图所示由题意可知PA=55m∠B=21°∠A=90°.在Rt△PAB中sinB=∴PB==≈≈153m.答:帆船距灯塔约153m.
5.解:如图所示∠B=24°BC=
5.5m∠C=90°.在Rt△ABC中cosB=∴AB==≈≈
6.0m.答:斜坡上相邻两树间的坡面距离约为
6.0m.
6.解:在Rt△ABC中∠C=90°.1∠B=90°-∠Ab=c·cosAa=c·sinA. 2∠B=90°-∠Ab=c=. 3b=.由sinA=sinB=可求出∠A∠B的度数.
7.解;如图所示BC=130×=65m∠B=65°∠C=90°.∵tanB=∴AC=BC·tanB=65×tan65°≈65×
2.1445≈139m.答:这座金字塔原来的高约为139m.
8.解:由题意可知AR=6km∠LRA=43°∠LRB=
45.54°∠BLR=90°∴BR=AR·cos43°÷cos
45.54°≈
6.27km.在Rt△ALR中sin∠LRA=∴AL=AR·sin∠LRA.在Rt△BLR中sin∠LRB=∴BL=BR·sin∠LRB.又∵AB=LB-LA∴AB=BR·sin∠LRB-AR·sin∠ARL≈
6.27×sin
45.54°-6×sin43°≈
6.27×
0.7137-6×
0.6820≈
0.38km∴火箭的平均速度约为
0.38÷1=
0.38km/s.答:这枚火箭从A到B的平均速度约为
0.38km/s.
9.解:设斜坡的长度为l则l==≈9m.答:斜坡的长度约为9m.
10.解:根据题意画图如图所示过点P作PB⊥AB垂足为B点易知AP=32nmile∠PAB=30°∴在Rt△APB中PB=AP=
16.又∵1616∴轮船继续向正东方向航行有触礁危险.为使轮船安全通过以点P为圆心16为半径画圆AC应恰好是圆的切线设切点为H连接PH则PH⊥ACPH=
16.在Rt△PHA中sin∠PAH===∴∠PAH=45°∴∠BAC=15°∴∠DAC=90°-15°=75°.即轮船自A处开始沿南偏东不大于75°的方向航行才能安全通过这一海域.
11.解:如图所示过点A作AE⊥BEAF⊥CF则点EAF共线.在Rt△ABE中∵cos62°=.sin62°=∴BE=1700cos62°≈
798.1AE=1700sin62°≈
1501.0∴S△ABE≈×
798.1×
1501.0=
598974.
05.在Rt△ACF中∵cos54°=sin54°=∴CF=2720cos54°≈
1598.8AF=2720sin54°≈
2200.5∴S△ACF≈×
1598.8×
2200.5=
1759079.
7.又∵S梯形BEFC=BE+CF×EF≈
798.1+
1598.8×
1501.0+
2200.5=×
2396.9×
3701.5=
4436062.
675.∴百慕大三角的面积为S梯形BEFC-S△ABE-S△ACF≈
4436062.675-
598974.05-
1759079.7=
2078008.925≈2078009km
2.复习题28教材第84页
1.解:在Rt△ABC中∠C=90°a=2c=6sinA===.∵a2+b2=c2∴b===4∴cosA===tanA===.
2.解:在Rt△ABC中∠C=90°cosA=AC=4∵cosA=∴AB===8由勾股定理得BC===
4.
3.解:1cos45°-tan45°=×-1=1-1=
0. 2sin60°+tan60°-2cos230°=×+-2×=+-2×=+-=.
4.解:1cos76°39+sin17°52≈
0.2309+
0.3068=
0.
5377. 2sin57°18-tan22°30≈
0.8415-
0.4142=
0.
4273. 3tan83°6-cos4°59≈
8.2636-
0.9962=
7.
2674. 4tan12°30-sin15°≈
0.2217-
0.2588=-
0.
0371.
5.解:1∠A≈40°
5. 2∠A≈69°
7. 3∠A≈88°
23. 4∠A≈35°
16.
6.解:如图所示过顶点A作底边BC的垂线垂足为D当∠B=30°AB=2时cos30°=∴BD=AB·cos30°=2×=3∴周长l=2AB+2BD=4+
6.
7.解:如图所示AC=42m∠C=90°∠B=33°∵tanB=∴BC==≈≈65m.答:船离海岸约65m.
8.解:如图所示过点D作DE⊥AB垂足为E则四边形EBCD是矩形且∠ADE=α=35°12∠ACB=β=43°24BC=
32.6m.在Rt△ABC中tan∠ACB=∴AB=BC·tan∠ACB=
32.6×tan43°24≈
32.6×
0.9457≈
30.8m.在Rt△ADE中tan∠ADE=DE=BC∴AE=DE·tan∠ADE=BC·tan∠ADE=
32.6×tan35°12≈
32.6×
0.7054≈
23.0m∴CD=EB=AB-AE≈
30.8-
23.0=
7.8m.答:这两个建筑物的高度分别为
30.8m和
7.8m.
9.解:如图所示过点B作DE的平行线交CD的延长线于点P交CA的延长线于点F.在Rt△CDE中∠CDE=90°∠CED=45°∴DE=DC=
3.40m.又∵∠P=90°∠F=∠CED=45°∴CP=PF.在Rt△PBD中∠DBP=30°=tan30°=cos∠DBP∴PD=PB·tan30°=
5.00×≈
2.89mBD==≈
5.77m∴PF=PC=CD+DP≈
3.40+
2.89=
6.29m∴AB=BF=PF-PB≈
6.29-
5.00=
1.29mCF=≈≈
8.90mAF=≈≈
1.82m∴AC=CF-AF≈
8.90-
1.82=
7.08m即AC≈
7.08mBD≈
5.77mAB≈
1.29m.
10.解:16sin75°≈
5.8m. 2cosα==
0.4α≈66°人能安全使用这架梯子.
11.解:1△AFB∽△FEC. 2设CE=3xCF=4xx0则FE=5x∴DE=5xAB=CD=8x.在Rt△ABF中AB2+BF2=AF2∴8x2+AD-4x2=AF2又AD=AF∴AD=10x.在Rt△AEF中AF2+EF2=AE2∴10x2+5x2=100x2+25x2=125解得x1=1x2=-1舍去则周长是210x+8x=2×18=36cm.
12.解:能.如图所示过点A作AE⊥BC垂足为E.在Rt△ABE中sinB=∴AE=AB·sinB∵S▱ABCD=BC·AE∴S▱ABCD=BC·AB·sinB=BC·AB·sinB即S=AB·BC·sinB.
13.解:1周长l=2nR·sin面积S=nR2·sin·cos. 26R
6.21R
6.27R R2 3R2
3.1R2 结论是圆的内接正n边形的边数越大其周长面积就越接近圆的周长面积.
14.解:如图所示作AD⊥BC于DCE⊥AB于E在Rt△ACE中sin∠BAC==∴CE=bsin∠BAC.在Rt△BCE中sin∠ABC==∴CE=asin∠ABC.∴bsin∠BAC=asin∠ABC∴=.同理=∴==. xx·泸州中考如图所示海中一小岛上有一个观测点A某天上午9:00观测到某渔船在观测点A的西南方向上的B处跟踪鱼群由南向北匀速航行.当天上午9:30观测到该渔船在观测点A的北偏西60°方向上的C处.若该渔船的速度为每小时30海里在此航行过程中则该渔船从B处开始航行多少小时离观测点A的距离最近计算结果用根号表示不取近似值. 解:过点A作AD⊥BC于点D则点D就是渔船离观测点A的距离最近的点. ∵渔船从B到C用时
0.5小时渔船的速度为每小时30海里 ∴BC=30×
0.5=15海里. 根据题意知△ADB是等腰直角三角形 ∴设AD=BD=x则CD=15-x. 在Rt△ADC中∵∠CAD=30° ∴tan∠CAD=即tan30°= ∴=解得x=.÷30=. ∴该渔船从B处开始航行小时离观测点A的距离最近. xx·重庆中考某水库大坝的横截面是如图所示的四边形ABCD其中AB∥CD.大坝顶上有瞭望台PCPC正前方水面上有两艘渔船MN观察员在瞭望台顶端P处观测渔船M的俯角α=31°观测渔船N的俯角β=45°已知MN所在直线与PC所在直线垂直垂足为E且PE长为30米. 1求两渔船MN之间的距离结果精确到1米; 2已知坝高24米坝长100米背水坡AD的坡度为i=1∶
0.
25.为提高大坝防洪能力请施工队将大坝的背水坡通过填筑土石方进行加固加固后 坝顶加宽3米背水坡FH的坡度为i=1∶
1.5施工12天后为尽快完成加固任务施工队增加了机械设备工作效率提高到原来的
1.5倍结果比原计划提前20天完成加固任务施工队原计划平均每天填筑土石方多少立方米 参考数据:tan31°≈
0.60sin31°≈
0.52 解:1在Rt△PEN中EN=PE=
30. 在Rt△PEM中ME=≈
50. ∴MN=EM-EN≈20米. 答:两渔船MN之间的距离约为20米. 2如图所示过点D作DG⊥AH于点G过点F作FI⊥AH于I过F作FQ∥DA交AH于Q则四边形DFQA为平行四边形. 由题意得tan∠DAB=4tanH=. 在Rt△DAG中AG===
6. 在Rt△FHI中HI===36 故AH=HI+IG-AG=36+3-6=
33. S梯形DAHF=3+33×24=432平方米. 故需要填筑的土石方为V=S×L=432×100=43200立方米. 设原计划平均每天填筑x立方米则原计划天完成增加机械设备后现在平均每天填筑
1.5x立方米 则12x+×
1.5x=
43200. 解得x=
600. 经检验x=600是原分式方程的解且满足实际意义. 答:该施工队原计划平均每天填筑600立方米的土石方.
1.准确掌握锐角三角函数定义能应用锐角三角函数定义进行有关边、角的计算.
2.熟记特殊角的三角函数值能进行与特殊角的三角函数值有关的代数式的计算.
3.会解直角三角形能通过添加辅助线构造直角三角形来解非直角三角形.
4.运用解直角三角形的知识灵活恰当地选择关系式解决实际问题.
1.经过三角函数概念的发现与学习养成勤于思考善于发现的良好习惯.
2.通过锐角三角函数的学习进一步认识函数体会函数的变化与对应的思想逐步培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力.
3.综合运用所学知识解直角三角形逐步培养学生分析问题、解决问题的能力.培养学生思维能力的灵活性.
4.通过画示意图将实际问题转化为数学问题发展学生的抽象概括能力提高应用数学知识解决实际问题的能力.
5.经历从实际问题中建立数学模型的过程增强应用意识体会数形结合思想的应用.
1.进一步培养学生综合运用知识的能力及运用学过的知识解决问题的能力.
2.通过将实际问题转化为数学问题培养建模思想提高学生分析问题、解决问题的能力.
3.在探索解直角三角形的过程中渗透数形结合思想培养学生综合运用知识的能力和良好的学习习惯.
4.调动学生学习数学的积极性和主动性培养学生认真思考等学习习惯形成实事求是的科学态度.
5.在探究活动中培养学生的合作交流意识让学生在学习中感受成功的喜悦增强学习数学的信心. 【重点】 锐角三角函数的有关计算;解直角三角形及其应用. 【难点】 建立数学模型将实际问题转化为数学问题.直角三角形中的边角关系锐角三角函数解直角三角形实际问题
一、锐角三角函数定义
1.当锐角大小确定后它所在的直角三角形每两边所构成的比都是唯一确定的值.
2.在Rt△ABC中∠C=90°∠A∠B∠C的对边分别为abc如图所示. 我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦记作sinA即sinA=; 我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦记作cosA即cosA=; 我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切记作tanA即tanA=.
3.锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数.三角函数的实质是一些比这些比只与角的大小有关当角的大小确定时它的三角函数值就确定了也就是说三角函数值随角度的变化而变化.
二、特殊角的三角函数值 锐角A锐角 三角函数 30°45°60°sinAcosAtanA1
三、解直角三角形
1.一般地直角三角形中除直角外共有五个元素即三条边和两个锐角由直角三角形中的已知元素求出其余元素的过程叫做解直角三角形.
2.直角三角形中的边角关系: 1三边之间关系:a2+b2=c2勾股定理; 2两锐角之间关系:∠A+∠B=90°; 3边角之间关系:sinA=cosA=tanA=.
3.解直角三角形的类型及步骤:图形已知类型已知条件解法步骤两边斜边一直角边如ca1b=2由sinA=求∠A3∠B=90°-∠A两直角边ab1c=2由tanA=求∠A3∠B=90°-∠A一边一角斜边一锐角如c∠A1∠B=90°-∠A2由sinA=得a=c·sinA3由cosA=得b=c·cosA一直角边一锐角如a∠A1∠B=90°-∠A2由tanA=得b=3由sinA=得c=
四、解直角三角形的应用举例 解决步骤:
1.将实际问题抽象成数学问题画出示意图将其转化为解直角三角形的问题;
2.根据问题中的条件适当选用锐角三角函数解直角三角形;
3.得到数学问题的答案;
4.得到实际问题的答案.专题一 锐角三角函数的有关计算 【专题分析】 锐角三角函数的有关计算包括求三角函数值、线段的长和角的度数等解决此类问题一般要借助于直角三角形若所求的量不在直角三角形中要会根据条件适当地构造直角三角形. 如图所示点E是矩形ABCD的边CD上一点把△ADE沿AE对折点D的对称点F恰好落在BC上已知折痕AE=10cm且tan∠EFC=那么该矩形的周长为 A.72cm B.36cm C.20cm D.16cm 〔解析〕 在矩形ABCD中AB=CDAD=BC∠B=∠D=90°∵△ADE沿AE对折点D的对称点F恰好落在BC上∴∠AFE=∠D=90°AD=AF∵∠EFC+∠AFB=180°-90°=90°∠BAF+∠AFB=90°∴∠BAF=∠EFC∵tan∠EFC=∴tan∠BAF==∴设BF=3xAB=4x在Rt△ABF中AF===5x∴AD=BC=5x∴CF=BC-BF=5x-3x=2x∵tan∠EFC=∴CE=CF·tan∠EFC=2x·=x∴DE=CD-CE=4x-x=x在Rt△ADE中AD2+DE2=AE2即5x2+=102整理得x2=16解得x=4∴AB=4×4=16cmAD=5×4=20cm∴矩形的周长=216+20=72cm.故选A. [规律方法] 在折叠问题中常根据图形的对称性得到线段相等或角相等然后设未知数列方程求有关线段的长.解决本题的关键是根据三角函数值设出未知数并用其表示图形中的线段用勾股定理列方程求解. 【针对训练1】 △ABC中∠C=90°AB=8cosA=则BC的长为 . 〔解析〕 首先利用余弦函数的定义求得AC的长然后利用勾股定理即可求得BC的长.∵cosA=∴AC=AB·cosA=8×=6∴BC===
2.故填
2. [解题策略] 根据锐角三角函数的定义得到三角形之间的边角关系代入已知三角函数值和边长可求三角形的其余边长. 如图所示在△ABC中D是AB的中点DC⊥AC且tan∠BCD=求sinAcosAtanA的值. 〔解析〕 过点D作ED∥AC交BC于E则∠CDE=∠ACD=90°所以tan∠BCD==设DE=x则CD=3x根据平行线的性质得到△DEB∽△ACB则==求得AC=2DE=2x由AC=2xCD=3x进而求出∠A的三角函数值. 解:如图所示过点D作ED∥AC交BC于E. ∴∠CDE=∠ACD=90° 在Rt△CDE中tan∠BCD== 设DE=x则CD=3x ∵ED∥AC∴△DEB∽△ACB ∴= ∵AD=BD=AB ∴DE=AC.∴AC=2DE=2x. 在Rt△ACD中AC=2xCD=3x ∴AD===x ∴sinA=cosA=tanA=. [规律方法] 在非直角三角形中求角的三角函数值常通过作垂直构造直角三角形利用直角三角形中的边角关系解决. 【针对训练2】 如图所示在△ABC中AB=6BC=8∠B=60°.求: 1△ABC的面积; 2∠C的余弦值. 〔解析〕 1过点A作AH⊥BC垂足为点H.在Rt△ABH中由AB=6∠B=60°求出三角形的高AH然后根据三角形的面积公式求解;2在Rt△ABH中求出BH的长从而可得CH的长在Rt△ACH中根据三角函数定义求出∠C的余弦值. 解:1作AH⊥BC垂足为点H. 在Rt△ABH中 ∵∠AHB=90°∠B=60°AB=6 ∴AH=AB·sinB=3 ∴=×8×3=
12. 2由题意得BH=AB=3 ∵BC=8BH=3∴CH=
5. 在Rt△ACH中∵AH=3CH=5 ∴AC=2 ∴cosC===. [解题策略] 解决一般三角形的边角关系及求三角函数值问题解决的关键是作辅助线构造直角三角形利用勾股定理或锐角三角函数求解.专题二 特殊角的三角函数值 【专题分析】 一般情况下求含有特殊角的三角函数的代数式的值要先将各角的三角函数值代入再根据运算法则和运算律进行计算最后结果要化简这类题常与零指数幂、负指数幂、乘方、开方等运算综合在一起进行考查. 计算-. 解:原式=-=-=2--=1-
2. [解题策略] 准确地代入特殊角的三角函数值再根据二次根式的性质进行化简计算. 【针对训练3】 计算2cos30°-tan45°-. 解:原式=2×-1-=-1--1=-1-+1=
0. [易错提示] 二次根式中当a0时=a;当a0时=-a.∵1-0∴=-
1.专题三 解直角三角形的相关知识 【专题分析】 解直角三角形是综合考查锐角三角函数、直角三角形边角关系的运用是解决实际问题的基础正确、熟练地解直角三角形的关键在于理解直角三角形中的边角关系熟记特殊角的三角函数值求解某些元素时方法可能不是唯一的选取简便的解法尽可能不用中间量避免计算复杂.对于非直角三角形的问题要转化为直角三角形问题再求解. 如图所示已知在Rt△ABC中∠C=90°AC=点D为BC边上的一点且BD=2AD∠ADC=60°求△ABC的周长. 〔解析〕 根据Rt△ADC中∠ADC的三角函数值可以求得AD和CD的长度再根据已知条件求得BD的长度继而求得BC的长度再运用勾股定理可求得AB的长从而求得△ABC的周长. 解:在Rt△ADC中∵sin∠ADC= ∴AD===
2. ∴BD=2AD=4 ∵tan∠ADC= ∴DC===1 ∴BC=BD+DC=
5. 在Rt△ABC中AB==2 ∴△ABC的周长=AB+BC+AC=2+5+. [规律方法] 在直角三角形中已知角的三角函数值可以求出边之间的关系已知边之间的关系可以求角的三角函数值. 【针对训练4】 xx·连云港中考如图所示在△ABC中∠ABC=90°BC=3D为AC延长线上一点AC=3CD过点D作DH∥AB交BC的延长线于点H. 1求BD·cos∠HBD的值; 2若∠CBD=∠A求AB的长. 〔解析〕 1首先根据DH∥AB判断出△ABC∽△DHC即可得出==3然后求出BH的长是多少再根据在Rt△BHD中cos∠HBD=从而求出BD·cos∠HBD的值.2首先判断出△ABC∽△BHD推得=然后根据△ABC∽△DHC推得==3所以AB=3DH最后根据=求出DH的长是多少进而求出AB的长. 解:1∵DH∥AB ∴∠BHD=∠ABC=90° △ABC∽△DHC∴==3 ∵BC=3∴CH=1∴BH=BC+CH=4 在Rt△BHD中cos∠HBD= ∴BD·cos∠HBD=BH=
4. 2∵∠CBD=∠A∠ABC=∠BHD ∴△ABC∽△BHD∴= ∵△ABC∽△DHC∴==3 ∴AB=3DH∴= ∴DH=2∴AB=3DH=3×2=6 即AB的长是
6.专题四 解直角三角形的应用 【专题分析】 测量、航行、工程技术等生活生产的实际问题许多可转化为解直角三角形问题解题的关键是在理解有关名词的意义的基础上准确把实际问题抽象为几何图形进而转化为解直角三角形问题. 如图
①所示一艘渔船位于小岛M的北偏东45°方向、距离小岛180海里的A处渔船从A处沿正南方向航行一段距离后到达位于小岛南偏东60°方向的B处. 1求渔船从A到B的航行过程中与小岛M之间的最短距离结果用根号表示; 2若渔船以20海里/小时的速度从B沿BM方向行驶求渔船从B到达小岛M的航行时间结果精确到
0.1小时参考数据:≈
1.41≈
1.73≈
2.
45. 〔解析〕 1如图
②所示过点M作MD⊥AB于点D由∠AME的度数得∠AMD=∠MAD=45°根据AM的值和特殊角的三角函数值可得DM的值即为所求;2在Rt△DMB中由∠BMF=60°得∠DMB=30°进而求出MB的值最后根据路程÷速度=时间即可得出答案. 解:1如图
②所示过点M作MD⊥AB于点D ∵∠AME=45°∴∠AMD=∠MAD=45° ∵AM=180海里 ∴MD=AM·cos45°=90海里. 答:渔船从A到B的航行过程中与小岛M之间的最短距离是90海里. 2在Rt△DMB中 ∵∠BMF=60°∴∠DMB=30° ∵MD=90海里∴MB=60海里 ∴60÷20=3≈3×
2.45=
7.35≈
7.4小时. 答:渔船从B到达小岛M的航行时间约为
7.4小时. [规律方法] 实际问题中的许多问题可以用直角三角形的边角关系解决解决这类问题的关键是将实际问题转化为解直角三角形问题选择恰当的边角关系即三角函数求解. 【针对训练5】 如图
①所示某大楼的顶部竖有一块广告牌CD小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°.沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°已知山坡AB的坡度i=1∶AB=10米AE=15米.i=1∶是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH的比 1求点B距水平面AE的高度BH; 2求广告牌CD的高度.测角器的高度忽略不计结果精确到
0.1米.参考数据:≈
1.414≈
1.732 〔解析〕 1在Rt△ABH中通过解直角三角形即可求出BH;2过B作DE的垂线设垂足为G根据BG=EH=AH+AE求出BG的长在Rt△CBG中∠CBG=45°则CG=BG由此可求出CG的长在△ADE中解直角三角形求出DE的长然后根据CD=CG+GE-DE即可求出广告牌的高度. 解:1在Rt△ABH中i=tan∠BAH== ∴∠BAH=30°∴BH=AB=5米. 2如图
②所示过B作BG⊥DE于G 由1得BH=5AH=5 ∴BG=AH+AE=5+15 在Rt△BGC中∠CBG=45° ∴CG=BG=5+
15. 在Rt△ADE中∠DAE=60°AE=15 ∴DE=AE=
15. ∴CD=CG+GE-DE=5+15+5-15 =20-10≈
2.7米. 答:广告牌CD高约
2.7米. [解题策略] 构造直角三角形利用边角之间的关系求出线段的长根据实际意义利用数形结合思想求出实际问题中的宽度或高度建立数学模型把实际问题转化为数学问题是解题的关键.专题五 数学思想 【专题分析】 在处理有关直角三角形的问题及利用直角三角形的边角关系解决实际问题时可依据题意设适当的未知数通过已知和所求寻找等量关系列出方程或方程组求解;利用解直角三角形知识解决问题时常通过作辅助线构造直角三角形利用数形结合思想求解;通过建立数学模型将实际问题转化为数学问题求解. 某地震救援队探测出某建筑物废墟下方点C处有生命迹象已知废墟一侧地面上两探测点AB相距3米探测线与地面的夹角分别是30°和60°如下图所示试确定生命所在点C的深度.结果精确到
0.1米参考数据:≈
1.41≈
1.73 〔解析〕 过点C作CD⊥AB交AB于点D在Rt△BDC中根据60°角的正切定义用CD表示BD在Rt△ADC中根据30°角的正切定义用CD表示AD根据AD-BD=3列出关于CD的方程从而求出点C的深度. 解:如图所示过点C作CD⊥AB交AB于点D ∵探测线与地面的夹角分别是30°和60° ∴∠CAD=30°∠CBD=60° 在Rt△BDC中tan60°= ∴BD== 在Rt△ADC中tan30°= ∴AD== ∵AB=AD-BD=3∴-=3 ∴CD=≈≈
2.6米. ∴生命所在点C的深度约为
2.6米. [解题策略] 本题考查解直角三角形的应用解决的关键是构造直角三角形根据三角函数定义利用方程思想和数形结合思想求解. 【针对训练6】 xx·河南中考如图所示某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是30°朝大树方向下坡走6米到达坡底A处在A处测得大树顶端B的仰角是48°.若坡角∠FAE=30°求大树的高度.结果保留整数参考数据:sin48°≈
0.74cos48°≈
0.67tan48°≈
1.11≈
1.73 〔解析〕 通过观察图形要求大树的高度需要构造直角三角形将所求线段联系起来.结合题目中的信息即要延长BD交AE于点G并过点D作DH⊥AE于点H分别在Rt△GBC和Rt△ABC中表示出CG和AC的长即可求解. 解:延长BD交AE于点G过点D作DH⊥AE于点H. 由题意知∠DAE=∠BGA=30°DA=6 ∴GD=DA=
6. ∴GH=AH=DA·cos30°=6×=
3. ∴GA=
6. 设BC的长为x米.在Rt△GBC中GC===x. 在Rt△ABC中AC==. ∵GC-AC=GA∴x-=
6. ∴x≈
12.即大树的高度约为12米.本章质量评估时间:90分钟 满分:120分
一、选择题每小题3分共30分
1.xx·浙江中考如图所示在△ABC中∠C=90°AB=5BC=3则cosA的值是 A. B.C. D.
2.Rt△ABC中∠C=90°cosA=AC=6cm那么BC等于 A.8cm B.cm C.cm D.cm
3.xx·汕尾中考在Rt△ABC中∠C=90°若sinA=则cosB的值是 A. B. C. D.
4.xx·湖州中考如图所示已知Rt△ABC中∠C=90°AC=4tanA=则BC的长是 A.2 B.8 C.2 D.
45.xx·金华中考如图所示点At3在第一象限OA与x轴所夹的锐角为αtanα=则t的值是 A.1 B.
1.5 C.2 D.
36.如图所示网格中小正方形的边长均为1△ABC的顶点是正方形网格的格点则sinA的值为 A. B. C. D.
7.如图所示△ABC中∠ACB=90°CD⊥AB于点D若BD∶AD=1∶4则tan∠BCD的值是 A. B. C. D.
28.xx·毕节中考如图所示的是以△ABC的边AB为直径的半圆O点C恰好在半圆上过C作CD⊥AB交AB于D.已知cos∠ACD=BC=4则AC的长为 A.1 B. C.3 D.
9.xx·南充中考如图所示一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向距离灯塔2海里的点A处.如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东位置那么海轮航行的距离AB的长是 A.2海里 B.2sin55°海里C.2cos55°海里 D.2tan55°海里
10.如图所示在塔AB前的平地上选择一点C测出看塔顶的仰角为30°从C点向塔底B走100米到达D点测出看塔顶的仰角为45°则塔AB的高为 A.50米 B.100米C.米 D.米
二、填空题每小题4分共24分
11.如图所示在△ABC中∠C=90°AC=2BC=1则tanB的值是 .
12.xx·来宾中考如图所示Rt△ABC中∠C=90°∠B=30°BC=6则AB的长为 .
13.xx·攀枝花中考在△ABC中如果∠A∠B满足|tanA-1|+=0那么∠C= .
14.xx·玉林中考如图所示直线MN与☉O相切于点MME=EF且EF∥MN则cosE= .
15.xx·贺州中考网格中的每个小正方形的边长都是1△ABC的每个顶点都在网格的交点处则sinA= .
16.xx·南宁中考如图所示一渔船由西往东航行在A点测得海岛C位于北偏东60°的方向前进20海里到达B点此时测得海岛C位于北偏东30°的方向则海岛C到航线AB的距离CD等于 海里.
三、解答题共66分
17.6分计算.1xx·成都中考-xx-π0-4cos45°+-32;2xx·福建中考-1xx+sin30°+2-2+.
18.6分xx·宁夏中考如图所示在△ABC中AD是BC边上的高∠C=45°sinB=AD=
1.求BC的长.
19.6分如图所示在Rt△ABC中∠BAC=90°点D在BC边上且△ABD是等边三角形.若AB=2求△ABC的周长.结果保留根号
20.6分如图所示某河堤的横断面是梯形ABCDBC∥AD迎水坡AB长13米且tan∠BAE=求河堤的高BE是多少.
21.10分xx·福建中考如图所示在Rt△ABC中∠C=90°AC=tanB=半径为2的☉C分别交ACBC于点DE得到弧DE.1求证AB是☉C的切线;2求图中阴影部分的面积.
22.10分xx·南京中考如图所示梯子斜靠在与地面垂直垂足为O的墙上当梯子位于AB位置时它与地面所成的角∠ABO=60°当梯子底端向右滑动1m即BD=1m到达CD位置时它与地面所成的角∠CDO=51°18求梯子的长.参考数据:sin51°18≈
0.780cos51°18≈
0.625tan51°18≈
1.
24823.10分xx·邵阳中考如图所示一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故立即发出了求救信号一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号测得事故船在它的北偏东37°方向马上以40海里每小时的速度前往救援求海警船到达事故船C处所需的大约时间.温馨提示:sin53°≈
0.8cos53°≈
0.
624.12分如图所示☉O的直径AB垂直于弦CD过点C的切线与直径AB的延长线相交于点P连接PD.1求证PD是☉O的切线.2求证PD2=PB·PA.3若PD=4tan∠CDB=求直径AB的长.【答案与解析】
1.D解析:根据勾股定理可得AC=4∴cosA==.故选D.
2.A解析:cosA==则AB=10cm根据勾股定理可得BC=8cm.故选A.
3.B解析:在Rt△ABC中∠C=90°∠A+∠B=90°则cosB=sinA=.故选B.
4.A解析:∵tanA==AC=4∴=∴BC=
2.故选A.
5.C解析:如图所示∵点At3在第一象限∴AB=3OB=t又∵tanα==∴t=
2.故选C.
6.B解析:如图所示连接CE根据图形知AC==BE=CE=∠EBC=∠ECB=45°∴CE⊥AB∴sinA===.故选B.
7.C解析:∵∠ACB=90°CD⊥AB于D∴∠BCD=∠CAD=90°-∠B∠BDC=∠CDA=90°∴△BCD∽△CAD.∴=即CD2=BD×AD.∵BD∶AD=1∶4∴设BD为x则AD为4x.∴CD=2x.在△BCD中∠BDC=90°∴tan∠BCD==.故选C.
8.D解析:∵AB为直径∴∠ACB=90°.∴∠ACD+∠BCD=90°.∵CD⊥AB∴∠BCD+∠B=90°.∴∠B=∠ACD.∵cos∠ACD=∴cosB==在Rt△BCD中易得tanB=.∵BC=4∴tanB===.∴AC=.故选D.
9.C解析:在Rt△APB中∠PAB=55°∴cos55°=∴AB=APcos55°=2cos55°海里.故选C.
10.D解析:在Rt△ABD中∵∠ADB=45°∴BD=AB.在Rt△ABC中∵∠ACB=30°∴=tan30°=∴BC=AB.设AB=x米∵CD=100米∴BC=x+
100.∴x+100=x∴x=.故选D.
11.2解析:在Rt△ABC中∵∠C=90°AC=2BC=1∴tanB==
2.故填
2.
12.4解析:∵cosB=即cos30°=∴AB===
4.故填
4.
13.75°解析:∵|tanA-1|+=0∴tanA=1cosB=∴∠A=45°∠B=60°.∴∠C=75°.故填75°.
14.解析:连接OMMFOM的反向延长线交EF于C如图所示∵直线MN与☉O相切于点M∴OM⊥MN∵EF∥MN∴MC⊥EF∴CE=CF∴ME=MF而ME=EF∴ME=EF=MF∴△MEF为等边三角形∴∠E=60°∴cosE=cos60°=.
15.解析:如图所示作AD⊥BC于DCE⊥AB于E由勾股定理得AB=AC=2BC=2AD=3由BC·AD=AB·CE得CE==所以sin∠CAB===.故填.
16.10解析:根据题意可知∠CAD=30°∠CBD=60°∵∠CBD=∠CAD+∠ACB∴∠CAD=∠ACB=30°∴BC=AB=20海里在Rt△CBD中∠BDC=90°∠DBC=60°sin∠DBC=∴sin60°=∴CD=20×sin60°=20×=10海里.故填
10.
17.解:1原式=2-1-2+9=
8. 2原式=-1++1=.
18.解:在Rt△ABD中∵sinB==又∵AD=1∴AB=3∵BD2=AB2-AD2∴BD==
2.在Rt△ADC中∵∠C=45°∴CD=AD=
1.∴BC=BD+DC=2+
1.
19.解:∵△ABD是等边三角形∴∠B=60°∵∠BAC=90°∴∠C=180°-90°-60°=30°∵AB=2∴BC=2AB=4在Rt△ABC中由勾股定理得AC===2∴△ABC的周长是AC+BC+AB=2+4+2=6+
2.
20.解:因为tan∠BAE=所以设BE=12x则AE=5x.在Rt△ABE中由勾股定理知AB2=BE2+AE2即132=12x2+5x2所以169=169x2解得x=1负值舍去.所以BE=12x=12米.即河堤的高BE是12米.
21.1证明:过点C作CF⊥AB垂足为F.在Rt△ABC中tanB==∴BC=2AC=2∴AB===5∴CF===2∴AB是☉C的切线. 2解:S阴影=S△ABC-S扇形CDE=AC·BC-=××2-=5-π.
22.解:设梯子的长为xm.在Rt△ABO中cos∠ABO=∴OB=AB·cos∠ABO=x·cos60°=x.在Rt△CDO中cos∠CDO=∴OD=CD·cos∠CDO=x·cos51°18≈
0.625x.∵BD=OD-OB∴
0.625x-x=1解得x=
8.故梯子的长是8米.
23.解:如图所示过点C作CD⊥AB于D.在Rt△ACD中∵∠ADC=90°∠CAD=30°AC=80海里∴CD=AC=40海里.在Rt△CBD中∵∠CDB=90°∠CBD=90°-37°=53°∴BC=≈=50海里∴海警船到达事故船C处所需的时间大约为50÷40=小时.
24.1证明:如图所示连接ODOC∵PC是☉O的切线∴∠PCO=90°∵AB⊥CDAB是直径∴=∴∠DOP=∠COP又∵DO=COOP=OP∴△DOP≌△COPSAS∴∠ODP=∠PCO=90°∵D在☉O上∴PD是☉O的切线. 2证明:∵AB是☉O的直径∴∠ADB=90°∵∠PDO=90°∴∠ADO=∠PDB=90°-∠BDO∵OA=OD∴∠A=∠ADO∴∠A=∠PDB又∵∠DPB=∠APD∴△PDB∽△PAD∴=∴PD2=PA·PB. 3解:∵DC⊥AB∴∠ADB=∠DMB=90°∴∠A+∠DBM=90°∠BDC+∠DBM=90°∴∠A=∠BDC∵tan∠BDC=∴tanA==∵△PDB∽△PAD∴===∵PD=4∴PB=2PA=8∴AB=8-2=
6.。