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文本内容:
2019-2020年九年级数学下册第二十六章反比例函数教案(新版)新人教版
1.结合具体情景体会反比例函数的意义理解并掌握反比例函数的概念.
2.能用待定系数法求反比例函数的解析式.
3.会用描点法画反比例函数图象.
4.掌握反比例函数的图象和性质并能运用相关性质解决有关问题.
5.理解反比例函数中比例系数k的几何意义.
6.能根据实际问题确定变量之间是反比例关系并确定反比例函数解析式能灵活运用反比例函数的意义和性质解决相关的实际问题.
1.从实际问题情景中经历探索两个变量之间关系的过程使学生体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系发展学生的观察能力、探究能力及归纳总结能力.
2.通过函数图象探究函数性质进一步体会数形结合思想在数学中的应用经历知识的形成过程体会由特殊到一般的数学方法.
3.通过探究反比例函数解决实际问题体会数学知识的现实意义提高分析问题、解决问题的能力培养数学应用意识.
4.经历探索具体问题中数量关系和变化规律的过程体会建立函数模型的思想.
1.通过探索具体问题中数量关系和变化规律的过程体验数学来源于生活又应用于生活提高学生应用数学的意识体验数学活动中的探索性和创造性.
2.让学生经历观察、比较、归纳、应用以及猜想、验证的学习过程使学生掌握类比、转化等学习数学的方法养成既能自主探索又能合作探究的良好学习习惯.
3.通过分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的反比例函数关系获得用数学方法解决实际问题的经验感受数学模型思想在实际问题中的应用价值. 函数知识是初中代数的核心内容反比例函数也是新课标明确要求的初中学生必需体会和掌握的三种函数基本形式之一.本节课的内容是在学生已经学习了函数及其图象的初步知识以及系统地研究了一次函数的概念、图象、性质、简单应用是在学生已经初步掌握研究函数的基本方法的基础上进行研究的.反比例函数是一种简单而又重要的函数作为重要的数学模型在解决日常生活、物理化学学科学习等实际问题中发挥了重要作用.通过学习可以培养和提高学生用函数模型解决实际问题逐步提高分析问题、解决问题的能力. 本章内容从实际问题情景入手引出基本概念引导学生进一步体会函数的模型思想重点内容是对反比例函数的图象和性质的理解与掌握通过画特殊的反比例函数的图象归纳出一般反比例函数的图象特征和性质体会由特殊到一般的数学学习方法提高学生观察、分析、归纳总结的能力.对于某些解决实际问题的安排力图加强反比例函数与实际问题的联系让学生体会数学与生活息息相关提高学生应用数学的意识.数形结合思想贯穿本章内容函数图象是研究函数性质的直观载体从图象上直观观察函数的变化规律整体把握函数的性质而解析式是对函数性质的无限“解读”但抽象不直观所以将两者结合起来共同研究函数的性质. 本章重点是反比例函数的概念、图象、性质及应用难点是反比例函数图象的生成过程以及函数图象的间断及渐近性特点.根据学生特点以前面学过的函数为基础用类比的方法探究本章内容重视反比例函数与一次函数、二次函数的联系、差异和综合运用. 【重点】
1.通过对实际问题情景的分析确定反比例函数的解析式.
2.会用描点法画反比例函数图象并能从图象中认识反比例函数的性质.
3.能用反比例函数性质解决简单的实际问题. 【难点】
1.能根据反比例函数图象特征及其性质解决有关问题.
2.应用反比例函数解决实际问题能解决与其他函数结合的问题. 初中阶段从量变的角度研究函数把函数定义为当一个量变化时另一个量随这个量的变化而变化.根据学生的知识基础一方面要以前面所学的函数概念及相关知识为基础另一方面要进一步深化对函数内涵的理解和掌握. 反比例函数是初中阶段学习的最后一类函数因此教学中要处理好新旧知识的联系通过复习相关内容类比前边所学函数的内容结构和思路为全章的学习做好铺垫尽量减少学生接受新知识的困难. 在教学中要重视反比例函数与已学函数特别是与正比例函数的对比教学时应引导从以下方面对比思考:函数解析式与函数图象的异同、常数k对函数图象的分布、增减性、变化趋势等性质的影响、自变量x的取值范围的异同.同时要重视反比例函数与一次函数、二次函数的联系、差异和综合运用. 渗透数学重要思想与方法成为本章的主要线索类比思想、从特殊到一般、数形结合思想、方程思想及待定系数法等数学思想和方法贯穿整章的教学教学过程中每课时都要注重数学思想的培养.
26.1反比例函数
26.
1.1反比例函数1课时
26.
1.2反比例函数的图象和性质2课时3课时
26.2实际问题与反比例函数2课时单元概括整合1课时
26.1 反比例函数
1.了解反比例函数概念能从实际问题中抽象出反比例关系的函数解析式.
2.会画反比例函数图象并结合图象分析总结出反比例函数的性质.
3.初步运用待定系数法确定反比例函数的解析式.
4.能灵活运用反比例函数的意义和性质解决相关的问题.
1.从实际问题情景中经历探索两个变量之间关系的过程使学生体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系发展学生的观察能力、探究能力及交流总结能力.
2.通过函数图象探究函数性质进一步体会数形结合思想在数学中的应用.
3.经历观察、分析实际问题中变量之间的关系建立反比例函数模型进一步体会数学建模思想.
1.通过探索具体问题中数量关系和变化规律的过程体验数学来源于生活又应用于生活提高学生应用数学的意识体验数学活动中的探索性和创造性.
2.让学生经历观察、比较、归纳、应用的学习过程使学生掌握类比、转化等学习数学的方法养成既能自主探索又能合作探究的良好学习习惯.
3.体会数学与现实生活的紧密联系增强学生应用数学解决实际问题的意识. 【重点】
1.理解反比例函数的概念.
2.画反比例函数图象理解反比例函数的性质.
3.利用反比例函数的性质解决有关问题. 【难点】
1.理解反比例函数的意义.
2.通过图象分析、总结反比例函数图象的特征和性质.
3.灵活运用反比例函数的图象和性质解决综合问题.
26.
1.1 反比例函数
1.理解并掌握反比例函数定义.
2.能判断一个给定的函数是否为反比例函数.
3.能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式及自变量的取值范围.
1.让学生从实际问题情景中经历探索、分析和建立两个变量之间的反比例函数关系的过程.
2.用类比的思想方法从实际问题中抽象出反比例函数概念发展学生的观察能力、探究能力及交流总结能力.
3.经历探索具体问题中数量关系和变化规律的过程体会建立函数模型的思想.
1.通过对一些实际问题的探究发展学生合理的猜想、推理能力增强他们学习数学的兴趣.
2.通过探索具体问题中数量关系和变化规律的过程体验数学来源于生活又应用于生活提高学生应用数学的意识. 【重点】
1.理解并掌握反比例函数的定义掌握反比例函数的一般形式.
2.能根据已知条件确定反比例函数的解析式. 【难点】 经历探索和表示反比例函数关系的过程体验用反比例函数表示变量之间的关系. 【教师准备】 多媒体课件1~
7. 【学生准备】 预习教材P1~
3.导入一: 【课件1】 同一条铁路线上由于不同车次列车运行时间有长有短所以它们的平均速度有快有慢. 1如果速度v一定那么路程s与时间t是什么关系 s=vt是正比例函数 2如果时间t一定那么路程s与速度v又是什么关系呢 s=vt是正比例函数 3如果路程s一定那么速度v和时间t又是什么关系呢 【思考】 以上关系是函数吗这个函数是不是我们前边学过的函数 【导入语】 问题12中的函数是一次函数正比例函数3中的函数不是前边学过的函数这类函数就是本章要研究的反比例函数. [设计意图] 通过生活中的情景问题引导学生发现不同于以往学过的新的函数关系唤起学生对本课时的学习欲望使学生带着问题进入新课的学习.导入二: 【课件2】 我们知道导体中的电流I与导体的电阻R、导体两端的电压U之间满足关系式U=IR当U=220V时: 1你能用含有R的代数式表示I吗 2利用写出的关系式完成下表:R/Ω20406080100I/A 当R越来越大时I怎样变化当R越来越小呢 3变量I是R的函数吗为什么 [设计意图] 从学生身边的生活和已有知识出发创设情景目的是让学生感受到生活当中处处有数学激发学生学习数学的兴趣和愿望同时也为抽象出反比例函数概念做铺垫.同时这个事例的引入也有助于学生从学科综合的角度进行学习.导入三: 【复习提问】 1什么是函数什么是一次函数、二次函数 2一次函数、二次函数的学习过程是怎样的 【课件3】 出示以往研究函数的基本思路: 【师生活动】 学生思考回答教师点拨. [设计意图] 通过复习一次函数、二次函数的概念让学生从已有的知识体系中自然地构建出新知识.回忆学习一次函数、二次函数的研究思路引导学生用类比的方法学习本章的反比例函数初步了解本章的基本内容和研究思路为后续学习做好铺垫. [过渡语] 函数是初中数学中重要的数学模型我们学习一次函数、二次函数时在理解定义的基础上研究它们的图象和性质并用之解决实际问题本章将用类似的方法研究一种新的函数——反比例函数. 思路一
1.感知反比例函数 【出示课件4】 1京沪线铁路全程为1463km某次列车的平均速度v单位:km/h随此次列车的全程运行时间t单位:h的变化而变化; 2某住宅小区要种植一块面积为1000m2的矩形草坪草坪的长y单位:m随宽x单位:m的变化而变化; 3已知北京市的总面积为
1.68×104km2人均占有面积S单位:km2/人随全市总人口n单位:人的变化而变化. 教师引导学生针对上面三个事例思考: 1每个事例中的两个变量是什么 2当一个量变化时另一个量随着怎样变化 3有几个值与变化的量相对应这种变化说明变量之间是什么关系 4题目中的等量关系是什么如果是函数关系其解析式是什么 5所列出的函数关系式有什么特点 [设计意图] 通过问题组的形式引导学生发现这些变量之间的关系是一种函数关系并且这种函数的解析式不同于以往的一次函数和二次函数为进一步研究反比例函数做知识准备同时激发学生学习的欲望实现了让学生感知反比例函数的目的. 【学生活动】 独立思考后小组合作交流确定三个问题中的变量关系都是函数关系并列出具体的函数解析式. 【参考答案】 1v= 2y= 3S=.
2.反比例函数的概念 [过渡语] 刚才同学们总结的函数关系式既不是一次函数也不是二次函数接下来让我们一起研究这类函数的特征吧. 观察前面的三个函数关系式思考: 1这三个函数是一次函数或二次函数吗 2这三个函数与前边学过的函数有什么不同你能说出它们的共同特征吗 3通过观察你能归纳出这种函数的一般形式吗 4你能给这类函数下一个定义吗 【师生活动】 学生思考后逐一回答所提问题教师适时启发共同归纳结论. 教师引导学生从两个方面思考:与一次函数和二次函数的解析式对比;给出的三个函数关系式等号右面是整式还是分式;三个函数关系式中的k值有什么特点. 【总结出示课件5】 一般地形如y=k为常数k≠0的函数叫做反比例函数其中x是自变量y是函数.自变量x的取值范围是不等于0的一切实数. 思考:1你身边哪些量之间存在着反比例函数关系 2在反比例函数y=中kxy可以取任意实数吗 3反比例函数y=中自变量x的指数是1吗为什么 4反比例函数除了这种分式的形式外还有其他表示方法吗 【师生活动】 学生独立思考后小组交流学生回答时教师及时点评和引导师生共同归纳反比例函数概念的有关特点: 反比例函数y=等号右边是分式形式. 反比例函数中比例系数k≠0自变量x≠0函数值y≠
0. 反比例函数的三种表示形式:y=xy=ky=kx-
1. [设计意图] 通过学生观察讨论依据老师设计的问题串类比已学函数抽象出函数的本质特征归纳出反比例函数的特征学生经历概念的形成过程从而达到真正理解定义的目的同时培养学生归纳总结能力. 思路二
1.认识新的函数——反比例函数 【出示课件6】 下列五个事例: 1某住宅小区要种植一块面积为1000m2的矩形草坪草坪的长y单位:m与宽x单位:m有何关系 2物理学中电流I、电阻R、电压U之间满足关系式U=IR.当U=220V时R与I有何关系当R=10Ω时I与U有何关系 3京沪线铁路全程为1463km某次列车的平均速度v单位:km/h与此次列车的全程运行时间t单位:h有何关系 4用10m长的篱笆围成矩形的小花园.
①如果花园的长为ym宽为xm那么y与x有何关系
②如果花园的长为xm面积为ym2那么y与x又有何关系 5已知北京市的总面积为
1.68×104km2人均占有面积S单位:km2/人与全市总人口n单位:人有何关系 教师引导学生针对上面五个事例思考: 1每个事例中的两个变量是什么 2当一个量变化时另一个量随着怎样变化这种变化说明变量之间是什么关系 3题目中的等量关系是什么如果是函数关系其解析式是什么 4所列出的函数关系式有什么特点 [设计意图] 问题情景既有教材“思考”栏目的问题又有新增设的跨学科的物理问题这些事例都要求学生从实际问题中找到两个变量确定函数解析式.使已学函数和要研究的新函数都呈现在学生面前引发学生的认识冲突为形成反比例函数概念、辨析反比例函数做好准备. 【总结】 经过学生交流研讨确认五个问题中的变量关系都是函数关系并列出具体的函数解析式. 1y=. 2R=;I=. 3v=. 4
①y=5-x.
②y=5x-x
2. 5S=.
2.反比例函数的概念 [过渡语] 刚才同学们列出了相关的7个函数关系式接下来我们开始研究这些函数解析式的特征吧. 1反比例函数的一般形式 【出示课件7】 思考下列问题: 【问题1】 哪些是正比例函数、一次函数、二次函数 【问题2】 哪些函数与问题1中的函数不同能给这类函数下定义吗 【问题3】 你能尝试写出类似问题1中这种函数的一般形式吗 【问题4】 上述函数中的常数k分别是多少 【问题提示】 上述情景中给出七个函数其中第
一、
二、
三、四个及第七个函数不是以往学习过的函数.通常情况下我们用y表示函数用k表示常量用x表示自变量.这几个特殊的函数学生可以初步总结为y=. 2理解反比例函数概念 【问题1】 反比例函数的一般式y=的等号右边是什么式子 提示:分式其他的函数都是单项式或多项式 【问题2】 反比例函数y=的比例系数k、自变量x取值有什么要求 提示:都是不能为0的实数 【问题3】 反比例函数解析式还可以写成其他形式吗 提示:两个变量的乘积为定值;自变量x的指数为-1 [设计意图] 通过前面的三个问题观察学生是否能理解反比例函数的意义是否能用数学语言表达反比例函数的解析式是否理解自变量的取值范围实际问题中自变量取值有所不同是否掌握判断反比例函数的标准和方法.通过学生的观察、思考、合作、交流反比例函数概念及模型的建立也就会水到渠成.
3.例题讲解 [过渡语] 我们通过实例归纳总结了反比例函数的概念试试能不能解决下列问题. 下列函数:1y=;2y=;3y=;4y=;5xy=2;6y=.其中是反比例函数的是 填序号它们的比例系数分别是 . 〔解析〕 根据反比例函数概念进行判断易得1245是反比例函数其中k分别为
50.
42. 〔答案〕 1245
50.42 若y=a-2x|a|-3是反比例函数则a的值为 . 【师生活动】 学生独立思考后小组交流答案教师对学生的答案进行点评并强调易错点. 〔解析〕 根据反比例函数概念可得反比例函数满足两个条件:1常数k≠0;2自变量x的指数为-
1.由题意可得|a|-3=-1且a-2≠0解得a=-
2.故填-
2. [设计意图] 通过练习让学生进一步理解和掌握反比例函数的一般形式及特点特别是忽略考虑k≠0这一易错点. 教材例1已知y是x的反比例函数并且当x=2时y=
6. 1写出y关于x的函数解析式; 2当x=4时求y的值. 【师生活动】 师生共同复习待定系数法求函数解析式然后学生独立完成并板书过程学生之间互相纠正错误答案教师点评并归纳待定系数法求函数解析式的一般步骤. 〔解析〕 类比一次函数、二次函数求解析式的方法——待定系数法设出函数解析式将一对xy的值代入求出待定系数k. 解:1设所求函数解析式为y=. 因为当x=2时y=6所以有6=. 解得k=
12.因此所求函数解析式为y=. 2把x=4代入y=得: y==
3. [设计意图] 通过复习待定系数法再次用这一方法求反比例函数解析式并让学生体会反比例函数解析式中只有一个待定系数所以代入一组值即可求出函数解析式.同时让学生体会建模思想在数学中的应用提高学生的归纳能力. [知识拓展] 1反比例函数y=k≠0等号右边分式的分母不能是多项式只能是x的一次单项式如y=y=等都是反比例函数但y=中y就不是x的反比例函数. 2反比例函数可以理解为两个变量的乘积是一个不为0的常数因此可以写成xy=kk≠0y=kx-1k≠0的形式.
1.反比例函数定义:形如y=k为常数且k≠0的函数叫做反比例函数.
2.反比例函数满足的条件: 1函数右边是分式形式; 2自变量的指数是-1; 3比例系数不为
0.
3.反比例函数的三种表示形式:y=k≠0;xy=kk≠0;y=kx-1k≠
0.
4.反比例函数自变量的取值范围:x≠
0.
1.下列函数中是反比例函数的是 A.y=2x+1 B.y=
0.75x C.y= D.xy=1 解析:A中函数是一次函数;B中函数是正比例函数;C中函数右边分母不是x的单项式所以ABC都不是反比例函数只有D符合反比例函数定义.故选D.
2.反比例函数y=m+1x-1中m的取值范围是 A.m≠1 B.m≠-1 C.m≠±1 D.全体实数 解析:在反比例函数y=kx-1中比例系数k≠0所以m+1≠0所以m≠-
1.故选B.
3.若函数y=x2m-1为反比例函数则m的值是 . 解析:根据反比例函数定义可得2m-1=-1解得m=
0.故填
0.
4.某蓄水池的排水管每小时排水8m36h可将满池水全部排空. 1蓄水池的容积为 ; 2若每小时排水用Qm3表示则排水时间th与Qm3的函数解析式为 . 解析:由题意可得等量关系为:单位时间内的排水量×排水时间=总排水量所以蓄水池的容积为8×6=48m3故Qt=48即t=. 答案:148m3 2t=
5.已知y与3x成反比例且当x=1时y=. 1写出y与x的函数解析式; 2当x=时求y的值; 3当y=时求x的值. 解:1设y与x的函数解析式为y= 把x=1y=代入 得=所以k=2 所以y与x的函数解析式为y=. 2当x=时y=
2. 3当y=时= 解得x=.
26.
1.1 反比例函数 思路一
1.感知反比例函数
2.反比例函数的概念思路二
1.认识新的函数——反比例函数
2.反比例函数的概念
3.例题讲解 例1 例2 例3
一、教材作业【必做题】 教材第3页练习第12题.【选做题】 教材第3页练习第3题.
二、课后作业【基础巩固】
1.下列函数中不是反比例函数的是 A.y=- B.y=C.y= D.3xy=
22.下列反比例函数中当x=2时y的值为-3的是 A.y= B.y=-C.y=- D.y=-
3.若y=a+1是反比例函数则a的值为 A.1 B.-1 C.±1 D.任意实数
4.若一个矩形的面积为10则这个矩形的长与宽之间的函数关系是 A.正比例函数关系 B.反比例函数关系C.一次函数关系 D.不能确定
5.下列函数:
①y=2x-1;
②y=-;
③y=x2+8x-2;
④y=;
⑤y=;
⑥y=.其中y是x的反比例函数的有 填序号.
6.若反比例函数y=当x=-1时y=2则k的值是 .
7.已知y是x的反比例函数且当x=3时y=8那么当x=4时y= .
8.若梯形的下底长为x上底长为下底长的高为y面积为60则y与x的函数解析式是 不考虑x的取值范围.
9.分别写出下列函数的解析式指出是哪种函数并确定其自变量的取值范围.1在路程为60km的运动中速度v单位:km/h关于运动时间t单位:h的函数关系式;2某校要在校园中开辟出一块面积为84m2的矩形土地做花圃这个花圃的长y单位:m关于宽x单位:m的函数关系式;3市政府计划建设一项水利工程工程需要运送的土石总量为106米3某运输公司承办了该项工程运送土石的任务运输公司的平均工作量V单位:米3/天与完成运送任务所需要的时间t单位:天之间的函数关系式.
10.已知y与x的反比例函数解析式为y=.1请完成下表:x-3-113y2求当x=-10时函数y的值;3求当y=6时自变量x的值.【能力提升】
11.将x=代入反比例函数y=-中所得函数值记为y1又将x=y1+1代入原反比例函数中所得函数值记为y2再将x=y2+1代入原反比例函数中所得函数值记为y3…如此继续下去则yxx= .
12.已知一个长方体的体积是100cm3它的长是ycm宽是5cm高是xcm.1写出用高表示长的解析式;不用写出自变量取值范围2当x=3时求y的值.【拓展探究】
13.已知y=y1+y2y1与x2成正比例y2与x成反比例且当x=1时y=3;当x=-1时y=
1.求当x=时y的值.【答案与解析】
1.C解析:ABD符合反比例函数定义C函数中的分母不是关于x的单项式所以不是反比例函数.故选C.
2.B解析:把x=2分别代入各选项求出y的值只有B中y的值为-
3.故选B.
3.A解析:根据反比例函数的定义得a2-2=-1且a+1≠0解得a2=1a≠-1∴a=
1.故选A.
4.B解析:题目中的等量关系为:长×宽=矩形面积所以长×宽=10即长等于10除以宽所以长与宽是反比例函数关系.故选B.
5.
②⑤解析:
①是一次函数不是反比例函数;
③y=x2+8x-2是二次函数不是反比例函数;
④的分母中x的指数是3不是反比例函数;
⑥y=中a≠0时是反比例函数没有此条件则不一定是反比例函数.只有
②⑤符合反比例函数定义.故填
②⑤.
6.-2解析:把x=-1y=2代入可得k=-1×2=-
2.故填-
2.
7.6解析:设y=把x=3y=8代入得k=24所以y与x之间的函数解析式为y=把x=4代入得y=
6.故填
6.
8.y=解析:根据梯形的面积公式可得y=60化简得y=.故填y=.
9.解:1v=是反比例函数t
0. 2y=是反比例函数x
0. 3V=是反比例函数t
0.
10.解:1-1 -3 3 1 2当x=-10时y=-. 3当y=6时6=解得x=.
11.-解析:把x=代入得y1=-则x2=-+1=-所以y2=2则x3=2+1=3所以y3=-则x4=-+1=所以y4=-.….观察y1=y4所以三组一循环出现xx除3余1所以yxx=y1=-.
12.解:1y=. 2当x=3时y=.
13.解:设y1=k1x2y2=则y=y1+y2=k1x2+.把x=1y=3;x=-1y=1代入得解得所以y=2x2+.当x=时y=2×+2=. 本课时精心设计了课程导入环节顺利地把学生带入课时学习的情景之中为学好本课时的内容做了很好的铺垫. 在教学设计思路上不是把概念直接交给学生而是让学生通过比较反比例函数与其他函数区别的基础上得出结论这样既巩固了先前的知识又很好地做到了知识的迁移和延伸. 依托教材的素材对教材进行了开发依据教材的情景设计了对学生具有启发性和引导性的问题精心设置了教材例题之外的例题更好地为实现本节课的教学目标服务. 在复习一次函数和二次函数等函数知识的时候给学生的时间较少部分同学还没有很好地回忆和总结先前的知识这在一定程度上造成了学生理解知识存在衔接的困难.在讨论问题组的时候让学生自我学习和交流做得不够深入老师过早地把问题结论提示给学生对学生的思维活动没有做到很好的引导.在习题处理环节上第一个例题可以让学生通过交流合作去完成. 因为本课时的学习内容需要联系以往的函数知识教师应该在课前让学生进行有针对性的复习.降低补充的两个例题的综合程度把处理的重点放在巩固基础知识上而不是强调对知识的综合练习.在明确了反比例函数的定义之后建议学生利用函数解析式把不同的函数特点进行对比这样更有利于学生对知识的掌握. 练习教材第3页
1.1t= 2h= 3p=
2.解:y=-xy=123中的y是x的反比例函数.
3.解:1设函数解析式为y=k≠0所以4=k=36所以函数解析式为y=. 2y==
16. 3当y=6时6=解得x=±. 反比例函数与正比例函数的异同.函数名称正比例函数反比例函数一般形式y=kxk≠0y=k≠0自变量x的取值范围任意实数x≠0函数y的取值范围任意实数y≠0自变量x的次数1-1函数y与自变量x的数量关系商为定值kk≠0积为定值kk≠0 1本节课要学习的内容是反比例函数的概念通过具体实例中的变量关系的特征感受反比例函数的特征和意义从而形成反比例函数的初步认识本节课的重点是在实际问题中建立数学模型及用待定系数法求函数解析式.教师引导学生分析实际问题并用解析式表示实际问题中的等量关系从而引出反比例函数的概念让学生获得用反比例函数表示变量关系的体验学生在教师的引导下通过自主探索与合作交流理解并掌握本节课的重点同时学生通过主动探究获取了知识丰富了数学活动的经验逐步达到学会学习. 2对于九年级的学生来说之前已经学习过一次函数和正比例函数、二次函数对于函数是刻画变量之间关系的数学模型思想也有了一定的认识可以在此基础上用类比的方法继续深入学习反比例函数所以在学习本节课内容时要重视新旧知识之间的联系如适时复习函数、自变量、函数值、正比例函数、一次函数及二次函数等有关概念为学习反比例函数概念做好铺垫. 已知关于x的函数y=5m-3x2-n+m+n. 1当mn为何值时该函数为一次函数 2当mn为何值时该函数为正比例函数 3当mn为何值时该函数为反比例函数 解:1由题意可得 解得n=1m≠ 所以当n=1m≠时该函数为一次函数. 2由题意可得 解得n=1m=-
1. 所以当n=1m=-1时该函数为正比例函数. 3由题意可得 解得n=3m=-3m≠ 所以当n=3m=-3时该函数为反比例函数.
26.
1.2 反比例函数的图象和性质
1.能用描点法画出反比例函数y=的图象.
2.能根据图象理解和掌握反比例函数y=的性质并能灵活运用解决函数问题.
3.理解反比例函数中比例系数kk≠0的几何意义.
4.初步建立反比例函数解析式与图象之间的关系.
1.经历探索和发现反比例函数的图象的特点和性质的过程获得研究函数性质的经验.
2.通过函数图象探究函数性质进一步体会运用数形结合思想研究函数的性质.
3.经历知识的形成过程了解从特殊到一般的认识过程培养学生观察、探究、归纳及动手能力.
1.经历观察、推理、交流等过程获得研究问题和合作交流的方法与经验体验数学活动中的探索性和创造性.
2.在数学学习过程中进一步理解变量和常量间的辨证关系培养严谨的科学态度感受数学美并发现学习的乐趣. 【重点】 用描点法画反比例函数的图象;探索反比例函数的图象特点和性质. 【难点】 探究反比例函数的图象特点和性质的过程及比例系数的几何意义.第课时
1.能用描点法画出反比例函数y=的图象.
2.能根据图象理解和掌握反比例函数y=的性质.
3.能运用反比例函数的性质解决有关问题.
1.经历探索和发现反比例函数的图象的特点和性质的过程获得研究函数性质的经验.
2.通过函数图象探究函数性质进一步体会运用数形结合思想研究函数的性质.
3.经历知识的形成过程了解从特殊到一般的认识过程培养学生观察、探究、归纳及动手能力.
1.经历画图、观察、猜想、思考、交流等活动获得研究问题和合作交流的方法与经验体验数学活动中的探索性和创造性.
2.在数学学习过程中体验与领悟数学发现的成功感感受数学美发现学习的乐趣. 【重点】 用描点法画反比例函数的图象;探索反比例函数的图象特点和性质. 【难点】 探究反比例函数的图象特点和性质的过程. 【教师准备】 多媒体课件1~
4. 【学生准备】 在练习本上画两个平面直角坐标系.导入一: 【课件1展示】 校园内有一块矩形草坪面积为200m2它的长y单位:m与宽x单位:m之间满足的函数关系是什么当它的长y单位:m增加时它的宽x单位:m将怎样变化 【师生活动】 学生思考回答并观察该反比例函数中y随x的增大而减小教师引出课题. [设计意图] 由生活实际情景导入新课让学生体会生活中处处有数学激发学生学习兴趣同时通过观察思考问题中长y与宽x之间的关系很自然地由实际问题抽象出本课时学习重点之一的反比例函数图象的增减性.导入二: 【复习提问】 1以前学习一次函数、二次函数时是用什么思路和方法研究的 先根据函数解析式画出函数的图象然后观察、分析、归纳得到函数的性质 2一次函数、二次函数的图象分别是什么 直线、抛物线 3请你说出一次函数、二次函数的性质是什么. 一次函数增减性、图象所经过象限;二次函数图象开口方向、对称轴、增减性等 4画函数图象的基本步骤是什么 列表、描点、连线 【导入语】 我们可以类比研究一次函数、二次函数性质的方法来研究反比例函数的性质如果可以应先研究什么 [设计意图] 通过复习画函数图象的基本步骤为本节课的学习做好铺垫复习通过画函数图象来研究一次函数、二次函数性质的方法让学生用类比的方法自然地构建出新知识降低本节课的学习难度. [过渡语] 这节课我们通过画反比例函数的图象来研究它的一般性质.
一、描点法画反比例函数图象 画函数y=与y=的图象. 思路一 教师引导师生共同完成同时展示画图象的过程. 1自变量x的取值范围是什么函数值y的取值范围是什么 2画函数图象时取哪些x的值列表使函数图象完整、准确 师生共同完成列表 3在平面直角坐标系中描点. 4如何用平滑的曲线连接各点 5从左到右连线时图象与x轴、y轴有没有交点为什么 教师强调连线时从左到右依次用平滑曲线连接由自变量x、函数值的取值范围可得函数图象与两坐标轴没有交点故画反比例函数图象时与画一次函数、二次函数图象时不同坐标轴把图象分成两部分. [设计意图] 通过师生合作经历用描点法画函数图象的过程培养学生动手操作能力理解描点法画函数图象的本质经历知识的形成进一步体会数形结合思想通过课件展示画图的过程直观形象学生既感兴趣又记忆深刻. 思路二 【任务】 同桌合作每人在课前准备的平面直角坐标系中画一个函数图象. 【师生活动】 学生独立完成列表、描点、连线画图后小组合作交流发现组内成员的画图错误并帮助改正教师在巡视过程中及时发现常见典型错误进行汇总在展示完整画图过程后展示典型画图错误. 【课件2展示】 1列表:在x的取值范围内列出函数对应值表: 教师强调:列表时取值不能太少也不能只取正值x…-6-4-3-2-112346…y=…-1-
1.5-2-3-
66321.51…y=…-2-3-4-6-12126432… 2描点.教师强调:描点时横、纵坐标易混淆 3连线.教师强调:连线时用平滑曲线不能画成折线因为自变量x不等于0所以画函数图象时不能将左右两个图象连接起来 [设计意图] 通过动手操作让学生自己经历画反比例函数图象的过程进一步了解用描点法的方法画图象的基本步骤培养学生动手操作能力经历知识的形成过程.通过小组合作交流培养学生合作精神在讨论画图结果时互相纠错的过程中加深了学生对画函数图象的理解和认识.
二、反比例函数y=k0的性质 [过渡语] 通过函数图象可以得到函数的有关性质让我们一起观察所画的函数图象有哪些性质吧! 思路一 观察教材图
26.1-2的函数图象学生在教师的引导下思考回答: 1你能描述反比例函数图象的形状吗 教师给出双曲线定义 2反比例函数图象无限延伸后与x轴、y轴有公共点吗与函数解析式之间有什么关系 因为自变量x、函数值y不能等于0所以函数图象与x轴、y轴没有交点 3函数图象在哪个象限内该图象关于原点O对称吗 在第
一、第三象限关于原点O对称 4观察函数图象当x0时随着x的增大y如何变化当x0时呢你能根据函数解析式说明理由吗 当x0时随着x的增大y减小;当x0时随着x的增大y也减小 5对于反比例函数y=m0以上结论还成立吗 【师生活动】 学生在教师设计的问题下边思考边回答教师提示学生可以通过表格和图象两个方面思考解决问题对回答有困难的问题教师要给学生足够的时间思考、交流. [设计意图] 将探究函数的性质设计成问题的形式使学生在探究过程中有方向和目的降低学习新知识的难度同时进一步体会数形结合思想及由特殊到一般的研究方法. 【共同总结课件3展示】 1反比例函数y=k0的图象是双曲线; 2双曲线的两支分别位于第
一、第三象限; 3在每个象限内y随着x的增大而减小; 4两支双曲线向两边无限延伸与坐标轴没有交点; 5两支双曲线关于坐标原点成中心对称. 思路二 类比以前研究的一次函数、二次函数的性质的方法根据所列表格、函数解析式、所画函数图象你能得到哪些结论看看哪个小组得到的正确结论最多. 【师生活动】 学生观察函数图象后先独立思考再小组合作交流然后学生展示教师在巡视过程中及时帮助有困难的学生发现学生思考片面时可以及时提醒学生从图象形状、增减性、对称性等多个角度观察思考学生展示后教师点评师生共同归纳函数的性质. 【共同总结】 板书 1反比例函数y=k0的图象是双曲线; 2双曲线的两支分别位于第
一、第三象限; 3在每个象限内y随着x的增大而减小; 4双曲线两支向两边无限延伸与坐标轴没有交点; 5双曲线两支关于坐标原点成中心对称. [设计意图] 通过小组合作交流归纳反比例函数的性质学生之间的合作交流培养了学生合作精神同时提高分析问题的能力.类比以前学过的函数的方法和性质归纳总结让学生体会数学中重要的学习方法——类比法同时进一步体会数形结合思想是学习数学最常用的思想方法之一.
三、反比例函数y=k0的图象与性质 【导入语】 回顾以上探究过程你能用同样的方法探究函数y=k0的图象与性质吗 【师生活动】 学生在刚才的平面直角坐标系中画函数y=-与y=-的图象.观察函数图象小组合作交流归纳反比例函数y=k0的性质.教师巡视过程中帮助学习有困难的学生引导学生归纳反比例函数的性质. 【共同归纳】 1反比例函数y=k0的图象是双曲线; 2双曲线的两支分别位于第
二、第四象限; 3在每个象限内y随着x的增大而增大; 4双曲线两支向两边无限延伸与坐标轴没有交点; 5双曲线两支关于坐标原点成中心对称.
四、归纳反比例函数y=k≠0的图象与性质 【课件4展示】 一般地反比例函数y=k≠0的图象是双曲线它具有以下性质: 1当k0时双曲线的两支分别位于第
一、第三象限在每个象限内y随x的增大而减小; 2当k0时双曲线的两支分别位于第
二、第四象限在每个象限内y随x的增大而增大; 3反比例函数图象向两边无限延伸与两坐标轴没有交点两支双曲线关于原点成中心对称. 【追加思考】 1反比例函数图象的位置及函数的增减性是由谁决定的 2反比例函数的性质“在每个象限内y随x的增大而减小”中可不可以去掉“在每个象限内”为什么 [设计意图] 通过归纳反比例函数的性质培养学生的归纳总结能力追加问题的思考强化学生对性质的理解和掌握并强化应用性质时的易错点.
五、例题讲解 反比例函数y=的图象大致是 〔解析〕 1反比例函数解析式y=k≠0中哪个量决定函数图象的位置比例系数k决定函数图象的位置2已知函数y=中用哪个代数式表示比例系数kk2+1表示比例系数k决定函数图象的位置3你能判断k2+1的正负吗因为k2≥0所以k2+104你能确定函数图象的位置吗由k2+10得函数图象在第
一、三象限5自变量x的取值范围是什么自变量x的取值范围是x≠0故选D. 若点-2y1-1y21y3在反比例函数y=的图象上则下列结论中正确的是 A.y1y2y3 B.y2y1y3 C.y3y1y2 D.y3y2y1 〔解析〕 1已知三点的横、纵坐标分别是什么2函数值y1y2y3与已知点的横坐标有什么关系点的横坐标和纵坐标满足函数解析式3已知函数解析式和自变量的值怎样求出对应的函数值把点的横坐标代入函数解析式求出对应的函数值4你能分别求出y1y2y3的值吗三者的大小关系是什么把x1=-2x2=-1x3=1分别代入函数解析式求出y1y2y35反比例函数y=的图象及增减性是怎样的反比例函数的图象在第
一、三象限在每个象限内y随x的增大而减小6你能根据函数增减性判断y1y2y3的大小关系吗第三象限图象上的点的纵坐标小于0且y随x的增大而减小;第一象限图象上的点的纵坐标大于0 【师生活动】 学生独立思考并回答问题教师及时点评然后归纳两种比较函数值大小的方法. 解法1:把三个点的横坐标分别代入y= 得y1=-y2=-1y3=1∴y3y1y
2.故选C. 解法2:可以看出点-2y1-1y2在同一象限 ∵k=10∴在每个象限内y随x的增大而减小 ∵-2-10∴y2y10 又∵10∴y30∴y3y1y
2.故选C. [设计意图] 通过例题加深学生对反比例函数的图象和性质的理解与掌握体会运用数形结合思想解决函数问题的方法和技巧提高学生分析问题、解决问题的能力.例2中用不同思路解决问题培养学生多角度思考问题的能力. [知识拓展] 1反比例函数的图象是双曲线它有两支它的两个分支是断开的. 2当k0时双曲线的两支分别位于第
一、第三象限;当k0时双曲线的两支分别位于第
二、第四象限. 3反比例函数y=k≠0的图象的两个分支关于原点成中心对称. 4反比例函数的图象与x轴、y轴都没有交点双曲线的两个分支无限接近坐标轴但永远不与坐标轴相交这是因为x≠0y≠
0. 5反比例函数图象的位置和函数的增减性都是由比例系数k的符号决定的反过来由双曲线的位置或函数的增减性可以判断k的符号. 6反比例函数的增减性必须强调“在每一个象限内”当k0时在每一个象限内y随着x的增大而减小但不能笼统地说:当k0时y随着x的增大而减小.同样当k0时在每一个象限内y随着x的增大而增大也不能笼统地说:当k0时y随着x的增大而增大. 正比例函数与反比例函数的区别与联系.函数正比例函数反比例函数关系式y=kxk≠0y=k≠0图象过原点的直线与坐标轴没有交点的双曲线自变量的取值范围全体实数x≠0的全体实数图象位置当k0时图象经过第
一、第三象限当k0时图象经过第
二、第四象限当k0时图象位于第
一、第三象限当k0时图象位于第
二、第四象限性质当k0时y随x的增大而增大当k0时y随x的增大而减小当k0时在每一象限内y随x的增大而减小当k0时在每一象限内y随x的增大而增大
1.当x0时函数y=-的图象在 A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限 解析:∵反比例函数y=-中k=-50∴此函数的图象位于第
二、四象限当x0时函数的图象位于第四象限.故选A.
2.对于反比例函数y=下列说法正确的是 A.图象经过点1-3 B.图象在第
二、四象限 C.x0时y随x的增大而增大 D.x0时y随x的增大而减小 解析:∵反比例函数y=∴xy=3故图象经过点13故A错误;∵k0∴图象在第
一、三象限故B错误;∵k0∴x0时y随x的增大而减小故C错误;∵k0∴x0时y随x的增大而减小故D正确.故选D.
3.反比例函数y=的图象如图所示以下结论:
①常数m-1;
②在每个象限内y随x的增大而增大;
③若A-1hB2k在图象上则hk;
④若Pxy在图象上则P-x-y也在图象上. 其中正确的是 A.
①② B.
②③ C.
③④ D.
①④ 解析:由图象在第
一、三象限可得m0所以
①错误;观察图象可得在每个象限内y随x的增大而减小所以
②错误;当x=-1时y=h0当x=2时y=k0所以hk所以
③正确;反比例函数图象关于原点成中心对称所以点Pxy关于原点的对称点为P-x-y所以
④正确.故选C.
4.设有反比例函数y=x1y1x2y2为其图象上两点若x10x2y1y2则k的取值范围是 . 解析:因为x10x2时y1y2所以双曲线在第
二、四象限则k+20解得k-
2.故填k-
2.
5.已知反比例函数y=m-
2. 1求m的值; 2它的图象位于哪些象限 3当≤x≤2时求函数值y的取值范围. 解:1依题意可得m2-5=-1且m-2≠0 解得m=-
2. ∴当m=-2时函数y=m-2是反比例函数. 2当m=-2时代入函数解析式可得y=-. ∵k=-40∴它的图象位于第
二、第四象限. 3∵反比例函数图象在每个象限内y随x的增大而增大且≤x≤2 ∴-8≤y≤-
2. 第1课时
1.描点法画反比例函数图象
2.反比例函数y=k0的性质
3.反比例函数y=k0的图象与性质
4.归纳反比例函数y=k≠0的图象与性质
5.例题讲解 例1 例2
一、教材作业【必做题】 教材第8页习题
26.1第36题.【选做题】 教材第9页习题
26.1第8题.
二、课后作业【基础巩固】
1.下列四个点中在反比例函数y=-的图象上的是 A.3-2 B.32C.23 D.-2-
32.xx·台州中考若反比例函数y=的图象经过点2-1则该反比例函数的图象在 A.第
一、二象限 B.第
一、三象限C.第
二、三象限 D.第
二、四象限
3.已知反比例函数y=下列结论不正确的是 A.图象必经过点12B.y随x的增大而减小C.图象在第
一、三象限D.若x1则0y
24.如图所示的是反比例函数y=k为常数k≠0的图象则一次函数y=kx-k的图象大致是
5.xx·淮安中考若点P-12在反比例函数y=的图象上则k= .
6.已知反比例函数y=k是常数k≠0在其图象所在的每一个象限内y的值随着x的值的增大而增大那么这个反比例函数的解析式是 .只需写一个
7.已知y=m+1是反比例函数若其图象位于第
二、四象限则m的值是 .
8.若反比例函数y=k0的图象过点P2mQ1n则m与n的大小关系是:m n.填“”“=”或“”
9.已知一次函数y=x+1的图象与反比例函数y=k≠0的图象都经过点Aa
2.1求a的值及反比例函数的表达式;2判断点B是否在该反比例函数的图象上请说明理由.【能力提升】
10.已知一次函数y=x+1的图象与反比例函数y=的图象相交其中有一个交点横坐标是2则k的值是 .
11.如图所示菱形OABC的顶点C的坐标为34顶点A在x轴的正半轴上反比例函数y=x0的图象经过顶点B则k的值为 .
12.已知反比例函数y=m为常数的图象在第
一、三象限.1求m的取值范围;2如图所示若该反比例函数的图象经过▱ABOD的顶点D点AB的坐标分别为03-20求出函数解析式;3若点Ex1y1Fx2y2都在该反比例函数的图象上且x1x20则y1和y2有怎样的大小关系【拓展探究】
13.如图所示在直角坐标系中矩形OABC的顶点O与坐标原点重合顶点AC分别在坐标轴上顶点B的坐标为
42.过点D03和E60的直线分别与ABBC交于点MN.1求直线DE的解析式和点M的坐标;2若反比例函数y=x0的图象经过点M求该反比例函数的解析式并通过计算判断点N是否在该函数的图象上;3若反比例函数y=x0的图象与△MNB有公共点请直接写出m的取值范围.【答案与解析】
1.A解析:根据点在图象上点的坐标满足函数解析式将各点坐标代入验算满足y=-的点即为所求易得点3-2满足y=-.故选A.
2.D解析:把2-1代入y=得k=2×-1=-2∵k=-20∴反比例函数的图象在第
二、四象限.故选D.
3.B解析:把12代入得:左边=右边故A正确;当k=20时图象在第
一、三象限在每个象限内y随x的增大而减小故B错误C正确;k=20当x1时0y2故D正确.故选B.
4.B解析:根据图象知反比例函数y=k为常数k≠0的图象位于第
一、三象限∴k0∴一次函数y=kx-k的图象与y轴的交点在y轴的负半轴且该一次函数值y随x的增大而增大∴一次函数y=kx-k的图象经过第
一、
三、四象限.故选B.
5.-2解析:把-12代入反比例函数解析式得k=-1×2=-
2.故填-
2.
6.y=-解析:答案不唯一因为该图象在每一个象限内y的值随着x的值的增大而增大所以k0故答案中反比例函数解析式里只需k0即可.
7.-2解析:由题意得m2-5=-1解得m=±2∵它的图象在第
二、四象限∴m+10解得m-1∴m=-
2.故填-
2.
8.解析:∵k0∴函数图象在每个象限内y随x的增大而增大∵210∴mn.
9.解:1将Aa2代入y=x+1中得2=a+1解得a=1即A12将A12代入反比例函数解析式中得k=2则反比例函数的解析式为y=. 2将x=2代入反比例函数解析式得y==∴点B在反比例函数的图象上.
10.6解析:把x=2代入y=x+1得y=2+1=3所以该交点坐标为23把23代入反比例函数解析式中得k=2×3=
6.故填
6.
11.32解析:过C点作CD⊥x轴垂足为D∵点C的坐标为34∴OD=3CD=4由勾股定理可得OC=5∴OC=BC=5∴点B坐标为84∵反比例函数y=x0的图象经过顶点B∴k=
32.故填
32.
12.解:1根据题意得1-2m0解得m. 2∵四边形ABOD为平行四边形∴AD∥OBAD=OB=2∵A点坐标为03∴D点坐标为23∴1-2m=2×3=6∴反比例函数解析式为y=. 3∵x1x20∴EF两点都在第一象限即y随x的增大而减小∴y1y
2.
13.解:1设直线DE的解析式为y=kx+bk≠0∵点DE的坐标分别为0360∴解得∴y=-x+3∵点M在AB边上B42而四边形OABC是矩形∴点M的纵坐标为
2.又∵点M在直线y=-x+3上∴2=-x+
3.∴x=
2.∴M
22. 2∵y=x0的图象经过点M22∴m=
4.∴y=.又∵点N在BC边上B42∴点N的横坐标为
4.∵点N在直线y=-x+3上∴y=
1.∴N
41.∵在y=中当x=4时y=1∴点N在函数y=的图象上. 34≤m≤
8. 本节课主要是在学生的动手操作、合作交流、共同归纳的过程中完成的.首先复习用描点法画函数图象的方法既激发了学生学习的兴趣又为学习新知做好铺垫.然后让学生自己经历画函数图象并让学生从“形”直观观察性质.通过所画的几个函数图象最终归纳y=k≠0的图象和性质.学生亲身经历由特殊到一般的知识的形成过程体会了数形结合思想在数学中的应用既提高了学生分析问题、解决问题的能力又让学生体验到学习中的快乐.实现学生自己动手、主动探索、合作交流学习方式的转变. 本节课的重点是学生经历画函数图象的过程归纳总结函数y=k≠0的性质.观察函数图象讨论性质时应尽可能多地运用小组活动的形式通过学生之间的合作与交流建立图象和表达式之间的联系以达到学生对反比例函数性质的真正理解.这一部分内容的学习给学生思考讨论的时间较少还是没有大胆放手让学生更加自主地学习. 本节课通过学生动手操作在坐标系中画同一类函数图象然后根据所画的函数图象通过小组合作交流共同探究归纳出反比例函数的性质再用类比思想归纳k0时的图象与性质培养了学生动手操作、观察、归纳总结能力.让学生经历从特殊到一般的过程体验知识产生、形成过程逐步达到培养学生抽象概括能力和激发求知欲望同时体会类比、数形结合及分类讨论的思想. 练习教材第6页
1.1C 2C
2.1
一、三 2 增大 1本节课的重点是进一步让学生熟悉描点法画函数图象的过程然后借助函数图象分析函数性质体会数形结合思想.在设计上使学生经历从特殊到一般的过程体验知识的形成过程逐步达到培养学生抽象概括能力和激发求知欲望让学生在轻松愉悦中突破难点强化重点.在教学设计上要注重学生动手、动脑让学生自己尝试画出函数图象在经历中逐步完善描点法画函数图象的步骤为探究反比例函数的图象做好铺垫然后引导学生观察图象通过小组合作交流共同探究出函数性质提高学生在活动过程中的参与及合作交流的意识. 2本节课的教学设计注重培养学生数学思想和数学方法在数学中的应用涵盖了类比、由特殊到一般、数形结合等重要数学思想和方法类比一次函数、二次函数的研究方法即“描点作图——观察图象——分析图象特征——确定变量间的变化规律——归纳函数性质”探究反比例函数的性质在整个探究过程中数形结合思想贯穿始终由解析式画出函数图象由函数图象归纳性质再回归到函数解析式解释函数性质体现了由“数”到“形”再由“形”到“数”的结合数形结合思想的教学有助于本节课教学难点的突破. 3数学教学的过程是师生共同活动、共同成长与发展的过程.真正的知识不全是由教材和教师讲授的途径获取的其实学生也是课程资源的开发者教师要还学生课堂学习的主体地位把激发学生学习热情和获得学习能力放在教学首位为学生提供展示自己聪明才智的机会使课堂真正成为学生展示自我的舞台.充分利用合作交流的形式能使教师发现学生分析问题、解决问题的独到见解以及思维的误区以便指导今后的教学. xx·苏州中考若点Aab在反比例函数y=的图象上则代数式ab-4的值为 A.0 B.-2 C.2 D.-6 〔解析〕 把ab代入y=得ab=2∴ab-4=2-4=-
2.故选B. xx·武汉中考在反比例函数y=的图象上有两点Ax1y1Bx2y2x10x2y1y2则m的取值范围是 A.m B.m C.m≥ D.m≤ 〔解析〕 x10x2时y1y2说明反比例函数图象位于第
一、三象限故1-3m0所以m.故选B. xx·广州中考已知反比例函数y=的图象的一支位于第一象限. 1判断该函数图象的另一支所在的象限并求m的取值范围; 2如图所示O为坐标原点点A在该反比例函数位于第一象限的图象上点B与点A关于x轴对称若△OAB的面积为6求m的值. 解:1根据反比例函数的图象关于原点对称知该函数图象的另一支在第三象限且m-70则m
7. 2设AB与x轴交于点C如图所示 ∵点B与点A关于x轴对称且△OAB的面积为6∴△OAC的面积为
3. 设A则x·=3 解得m=
13.第课时
1.进一步理解和掌握反比例函数的图象与性质.
2.能用待定系数法求反比例函数解析式.
3.理解并掌握反比例函数y=k≠0中比例系数k的几何意义.
4.能运用反比例函数的图象和性质解决与其他函数或几何知识综合的问题.
1.通过探究反比例函数性质的应用感受反比例函数解析式与图象之间的联系体会数形结合思想的魅力.
2.经历观察、思考、分析、交流等学习过程提高学生数学学习能力及合作精神逐步提高学生分析问题、解决问题的能力.
1.通过分析、解决与反比例函数的图象和性质有关的问题及探究比例系数k的几何意义的过程获得研究问题和合作交流的方法与经验体验数学活动中的探索性和创造性.
2.通过解决与一次函数、二次函数有关的综合题增强学生的自信心培养学生学习的兴趣提高学生综合运用知识解决问题的能力. 【重点】 灵活运用反比例函数图象与性质解决综合问题;比例系数k的几何意义. 【难点】 灵活运用反比例函数图象与性质解决综合问题. 【教师准备】 多媒体课件. 【学生准备】 预习教材P7~
8.导入一: 【复习提问】
1.反比例函数有几种表示形式
2.反比例函数的图象和性质是什么
3.用待定系数法求函数解析式的一般步骤是什么 【师生活动】 学生回答教师点评补充.导入二: 思考并回答下列问题.
1.判断点12是否在正比例函数y=2x的图象上你是如何判定的 点在函数y=2x的图象上将点的坐标代入函数解析式满足函数解析式
2.判断点3223是否在反比例函数y=的图象上点-2-3-3-2呢如何判定 【教师归纳】 判断点是否在函数图象上将点的坐标代入函数解析式判断是否满足函数解析式即可.导入三: 思考并回答下列问题.
1.反比例函数y=-的图象位于哪几个象限y随x的变化趋势是什么
2.反比例函数y=的图象位于哪几个象限y随x的变化趋势是什么 【师生活动】 学生独立完成后同桌之间交流答案教师确定正确答案. [设计意图] 通过对不同类型旧知识的复习回顾并且复习了数与形的对应关系及反比例函数的图象和性质对本节课的学习起到承上启下的作用降低了学生学习本节课的难度. [过渡语] 这节课我们继续研究反比例函数的图象与性质应用反比例函数的图象和性质能解决哪些问题呢让我们一起去探究吧!
一、共同探究一 教材例3已知反比例函数的图象经过点A
26. 1这个函数的图象位于哪些象限y随x的增大如何变化 2点B34CD25是否在这个函数的图象上 思路一 【师生活动】 学生独立思考后完成解题过程然后小组合作交流纠正解题思路和解题过程中的错误学生板书展示结果教师在学生交流过程中帮助学习有困难的学生最后教师点评. 解:1∵点A26在第一象限 ∴这个函数的图象位于第
一、第三象限在每个象限内y随x的增大而减小. 2设这个反比例函数的解析式为y= ∵点A26在其图象上 ∴点A的坐标满足y=即6= 解得k=
12. ∴这个反比例函数的解析式为y=. ∵点BC的坐标满足y=而点D的坐标不满足y= ∴点BC在函数y=的图象上点D不在这个函数图象上. 【思考总结】 1待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤是什么 2待定系数法求反比例函数解析式只需要代入几个点的坐标 3如何判断点是否在反比例函数图象上 判断自变量x与函数值y的乘积是否等于常数k即可 思路二 师生共同分析教师引导并提出下列问题. 1点A26在反比例函数图象上的含义是什么 2图象的位置由哪个量确定如何求出这个量 3反比例函数中函数值y随自变量x的变化情况与哪个量有关y随x的变化有没有限制条件 4某点不在函数图象上的含义是什么 5待定系数法求反比例函数解析式需要几个点的坐标 6你能归纳待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤吗 【师生活动】 学生在教师问题的引导下思考回答教师对学生的回答点评归纳后学生独立完成解答过程教师展示课件纠正书写过程中常见错误. [设计意图] 学生从已有的知识出发在正确理解反比例函数图象上的点与函数图象的关系的基础上运用待定系数法求反比例函数解析式并判断点是否在函数图象上感悟由“数”到“形”又由“形”到“数”的过程体会数形结合思想在数学中的应用.
二、共同探究二 [过渡语] 在反比例函数y=中已知函数解析式可以判断函数图象所在象限及增减性反之已知函数图象可以判断比例系数k的范围我们一起探究下边的例题. 教材例4如图所示它是反比例函数y=图象的一支.根据图象回答下列问题. 1图象的另一支位于哪个象限常数m的取值范围是什么 2在这个函数图象的某一支上任取点Ax1y1和点Bx2y
2.如果x1x2那么y1和y2有怎样的大小关系 教师引导提出下列问题. 1反比例函数图象的两支有什么对称性 反比例函数图象的两支关于原点成中心对称 2函数图象的一支位于哪个象限 函数图象的一支在第一象限 3函数图象所在象限和解析式中的哪个量有关 函数图象所在象限和解析式中的比例系数有关 4函数解析式中的比例系数用哪个式子表示 比例系数k用式子m-5表示 5在比例系数范围确定的情况下在图象的另一支上y随x的变化如何变化 在图象的另一支上y随x的增大而减小 【师生活动】 学生独立思考后小组合作交流共同探究教师在巡视过程中帮助有困难的学生学生板书解题过程教师点评. 解:1反比例函数的图象只有两种可能:位于第
一、第三象限或者位于第
二、第四象限因为这个函数图象的一支位于第一象限所以另一支必位于第三象限. ∵这个函数图象位于第
一、第三象限 ∴m-50解得m
5. 2∵m-50∴在这个函数图象的任一支上y都随x的增大而减小 ∴当x1x2时y1y
2. 【追加思考】 1点Ax1y1和点Bx2y2一定在同一象限吗有几种可能 2能否分情况画出示意图并确定y1与y2的大小关系 [设计意图] 通过观察图象确定反比例函数图象的另一支的位置并根据图象的变化趋势分析y与x之间的变化情况培养学生的读图能力和分析问题的能力再次体会数形结合思想的重要应用;追加提问是对教材知识的拓展提升让学生积累解题经验并体会数学中的分类讨论思想.
三、共同探究三:探究比例系数k的几何意义 如图所示点A在反比例函数y=x0的图象上AB⊥x轴于BAC⊥y轴于C你能求出矩形OBAC的面积吗 教师引导并提出下列问题. 1如何求图中矩形的面积 2矩形的两个邻边长与点A的坐标之间有什么关系 3点A在反比例函数图象上它的横、纵坐标与比例系数3之间是否有等量关系 4你能求出矩形OBAC的面积吗 5求出的矩形面积与比例系数3之间有什么关系 【师生活动】 学生独立思考后小组交流教师帮助学习有困难的学生并对学生的展示作出评价. 【拓展思考】 1若点A在反比例函数y=x0的图象上矩形的面积又是多少它与比例系数之间有什么关系 2如图所示若点A是反比例函数y=k≠0图象上任意一点呢 3若连接OA则△AOB与△AOC的面积又是多少 【结论】 反比例函数y=k≠0中比例系数k的几何意义:S矩形ABOC=|x||y|=|k|S△ABO=S△ACO=|k|. [设计意图] 通过探究比例系数k的几何意义进一步运用反比例函数的图象和性质解决问题培养学生分析图象从图象中获取信息的能力挖掘出反比例函数解析式中比例系数与面积之间的数量关系培养学生分析问题、解决问题的能力通过不同象限内点的讨论感受数学学习的严谨性. [知识拓展] 1反比例函数图象的位置和函数的增减性都是由比例系数k的符号决定的反过来由双曲线的位置或函数的增减性可以判断k的符号. 2过双曲线y=k≠0上的任意一点Pxy作x轴、y轴的垂线这一点与两个垂足、原点所构成的矩形的面积为S矩形=|k|;这一点与其中一垂足、原点所构成的三角形的面积为S△=|k|.
1.k的符号、函数图象所在象限、函数增减性三者之间的互推关系.
2.反比例函数y=k≠0中比例系数k的几何意义.
1.如图所示点B在反比例函数y=x0的图象上横坐标为1过点B分别向x轴、y轴作垂线垂足分别为AC则矩形OABC的面积为 A.1 B.2 C.3 D.4 解析:由反比例函数y=k≠0中比例系数k的几何意义可得矩形OABC的面积为|k|=
2.故选B.
2.如图所示正比例函数y1=k1x的图象与反比例函数y2=的图象相交于点E-12若y1y20则x的取值范围在数轴上表示正确的是 解析:∵正比例函数y1=k1x的图象与反比例函数y2=的图象相交于点E-12∴根据图象可知当y1y20时x的取值范围是x-
1.故选A.
3.已知反比例函数y=若它的图象在每个象限内y随自变量x的增大而减小则实数k的取值范围是 若图象经过点-23则k= . 解析:∵函数图象在每个象限内y随自变量x的增大而减小∴1-2k0解得k.∵图象经过点-23∴1-2k=-2×3解得k=. 答案:k
4.xx·河南中考如图所示直线y=kx与双曲线y=x0交于点A1a则k= . 解析:把点A坐标1a代入y=得a==2∴点A的坐标为12再把点A12代入y=kx中得k=
2.故填
2.
5.如图所示函数y1=-x+4的图象与函数y2=x0的图象交于Aa1B1b两点. 1求函数y2=的表达式; 2观察图象比较当x0时y1与y2的大小. 解:1把点A坐标代入y1=-x+4得a=3 即点A的坐标为31∴k2=3∴y2=. 2把点B的坐标代入y2=得b=3 ∴点B的坐标为13 ∴由图象可知当0x1或x3时y1y2; 当x=1或x=3时y1=y2; 当1x3时y1y
2. 第2课时
1.共同探究一 例1
2.共同探究二 例2
3.共同探究三:探究比例系数k的几何意义
一、教材作业【必做题】 教材第9页习题
26.1第5题.【选做题】 教材第9页习题
26.1第9题.
二、课后作业【基础巩固】
1.正比例函数y=6x的图象与反比例函数y=的图象的交点位于 A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第
一、三象限
2.关于x的函数y=kx+1和y=k≠0在同一坐标系中的图象大致是
3.若反比例函数y=的图象经过点A-1-2则当x1时函数值y的取值范围是 A.y1 B.0y1C.y2 D.0y
24.如图所示在直角坐标系中点A是x轴正半轴上的一个定点点B是双曲线y=x0上的一个动点当点B的横坐标逐渐增大时△OAB的面积将会 A.逐渐增大 B.不变C.逐渐减小 D.先增大后减小
5.已知抛物线y=x2-2x+m+1与x轴有两个不同的交点则函数y=的大致图象是
6.如图所示M为反比例函数y=x0的图象上的一点MA垂直于y轴垂足为A△MAO的面积为2则k的值为 .
7.xx·扬州中考已知一个正比例函数的图象与一个反比例函数的图象的一个交点坐标为13则另一个交点坐标是 .
8.如图所示四边形OABC是矩形ADEF是正方形点AD在x轴的正半轴上点C在y轴的正半轴上点F在AB上点BE在反比例函数y=x0的图象上OA=1OC=6则正方形ADEF的边长为 .
9.直线y=ax+ba0与双曲线y=相交于Ax1y1Bx2y2两点则x1y1+x2y2的值为 .
10.xx·襄阳中考如图所示已知反比例函数y=的图象与一次函数y=ax+b的图象相交于点A14和点Bn-
2.1求反比例函数和一次函数的解析式;2当一次函数的值小于反比例函数的值时直接写出x的取值范围.【能力提升】
11.如果一个正比例函数的图象与反比例函数y=的图象交于Ax1y1Bx2y2两点那么x2-x1y2-y1的值为 .
12.如图所示在直角坐标系中正方形的中心在原点O且正方形的一组对边与x轴平行点P3aa是反比例函数y=k0的图象与正方形的一个交点.若图中阴影部分的面积和等于9则这个反比例函数的解析式为 .
13.xx·珠海中考如图所示在平面直角坐标系中矩形OABC的顶点AC分别在x轴、y轴上函数y=的图象过点P43和矩形的顶点Bmn0m
4.1求k的值;2连接PAPB若△ABP的面积为6求直线BP的解析式.【拓展探究】
14.如图所示点B33在双曲线y=x0上点D在双曲线y=-x0上点A和点C分别在x轴、y轴的正半轴上且点ABCD构成的四边形为正方形.1求k的值;2求点A的坐标.【答案与解析】
1.D解析:方法1:解方程组得或所以两交点坐标为16和-1-6所以两函数图象的交点位于第
一、三象限.方法2:在同一坐标系中画出两个函数的图象函数y=6x的图象经过第
一、三象限函数y=的图象位于第
一、三象限所以交点在第
一、三象限.故选D.
2.D解析:当k0时一次函数的图象与y轴交于正半轴上过第
一、
二、三象限反比例函数的图象在第
一、三象限;当k0时一次函数的图象与y轴交于负半轴上过第
二、
三、四象限反比例函数的图象在第
二、四象限只有D符合.故选D.
3.D解析:把点A坐标-1-2代入反比例函数解析式得k=-1×-2=2所以当x=1时y=2又函数图象在第一象限内y随x的增大而减小所以当x1时0y
2.故选D.
4.C解析:∵当点B的横坐标逐渐增大时纵坐标减小∴△OAB的面积将会逐渐减小.故选C.
5.A解析:抛物线y=x2-2x+m+1与x轴有两个不同的交点∴Δ=-22-4m+10解得m0∴函数y=的图象位于第
二、四象限.故选A.
6.4解析:根据题意可知S△MAO=|k|=2所以k=±
4.又因为函数图象在第一象限所以k0所以k=
4.故填
4.
7.-1-3解析:正比例函数与反比例函数的图象的交点关于原点对称所以另一个交点为-1-
3.
8.2解析:由OA=1OC=6可得矩形OABC的面积为6再根据反比例函数中比例系数k的几何意义可知k=6∴反比例函数的解析式为y=.设正方形ADEF的边长为a则点E的坐标为a+1a∵点E在反比例函数的图象上∴a=整理得a2+a-6=0解得a=2或a=-3舍去故正方形ADEF的边长是
2.故填
2.
9.6解析:将点A与B的坐标代入反比例函数解析式求出x1y1与x2y2的值即可求出所求式子的值.将Ax1y1Bx2y2两点分别代入y=中得x1y1=x2y2=3则x1y1+x2y2=
6.故填
6.
10.解:1把点A14代入y=得m=1×4=4∴反比例函数解析式为y=把点Bn-2代入y=得-2n=4∴n=-2∴点B坐标为-2-2把14-2-2代入y=ax+b得解得∴所求一次函数解析式为y=2x+
2. 2x-2或0x
1.
11.24解析:∵正比例函数的图象与反比例函数y=的图象交于Ax1y1Bx2y2两点∴x1=-x2y1=-y2∴x2-x1y2-y1=x2y2-x2y1-x1y2+x1y1=x2y2+x2y2+x1y1+x1y1=6×4=
24.故填
24.
12.y=解析:∵反比例函数的图象关于原点对称∴阴影部分的面积和恰好为正方形面积的设正方形的边长为b则b2=4×9解得b=6∵正方形的中心在原点O∴直线AB的解析式为x=3∵点P3aa在直线AB上∴3a=3解得a=1∴P31∵点P在反比例函数y=k0的图象上∴k=3∴此反比例函数的解析式为y=.
13.解:1∵函数y=的图象过点P43∴k=4×3=
12. 2∵函数y=的图象过点Bmn∴mn=
12.∵△ABP的面积为6P430m4∴n4-m=6∴4n-12=12解得n=6∴m=2∴点B
26.设直线BP的解析式为y=ax+ba≠0∵B26P43∴解得∴直线BP的解析式为y=-x+
9.
14.解:1∵点B33在双曲线y=上∴k=3×3=
9. 2如图所示过D作DM⊥x轴于M过B作BN⊥x轴于N则∠DMA=∠ANB=90°∵B33∴BN=ON=3设MD=aOM=b∵D在双曲线y=-x0上∴-ab=-4即ab=4∵四边形ABCD是正方形∴∠DAB=90°AD=AB∴∠DAM+∠BAN=90°又易知∠MDA+∠DAM=90°∴∠ADM=∠BAN∴△ADM≌△BANAAS∴BN=AM=3MD=AN=a∴OA=3-a即AM=b+3-a=3∴a=b∵ab=4∴a=b=2∴OA=3-2=1即点A的坐标为
10. 本节课通过复习导入新课学生在复习旧知识的同时为本节课新知识的构建做了铺垫然后以例题的形式进一步引导学生探究反比例函数图象与性质的综合运用.通过学生自主学习探究教材例题让学生活跃在课堂上真正成为课堂的主人在教师的引导下积极思维大胆发言培养学习数学的信心及分析问题、解决问题的能力.探究三是课本之外知识的补充是中考中常出现的题型拓展了学生思维培养了学习能力.在教学设计中注重了培养学生数形结合思想、类比思想等数学思想在整节课中学生发挥着主体作用教师只是引导者的角色学生思维活跃参与意识强课堂效果较好. 本节课课堂容量稍有点偏大学生没有时间独立完成作业虽然对每个问题的设计都有讨论、展示、点评但是个别学生数形结合思想意识浅薄利用图象解决问题有困难课堂上没有很好地巩固技巧.在探究比例系数k的几何意义时部分学生对符号的理解有困难虽然适当多用了些时间但是对该知识点掌握需要练习巩固而教学设计中缺少这样的练习题. 本节课的重点是反比例函数图象与性质的综合运用及比例系数k的几何意义通过复习上节课的知识为本节课的学习做了铺垫.例题的探究给学生更广阔的思维空间大胆放手让学生通过小组合作共同交流的形式完成本节课的学习学生在课堂上通过自主探究、合作交流体会数学思想和方法提高学生分析问题和解决问题的能力及数学思维培养学生学数学的兴趣. 练习教材第8页
1.解:1设反比例函数的解析式为y=k≠0将A3-4代入得-4=解得k=-12∴反比例函数的解析式为y=-.图象位于第
二、四象限在图象的每一支上y随x的增大而增大. 2将B-34代入y=-中左边=4右边=-=4∴B-34在这个函数的图象上.同理将C-26D34代入y=-中可知C-26在这个函数的图象上D34不在这个函数的图象上.
2.解:y1y
2.理由如下:y=的图象位于第
一、三象限在每一象限内y随x的增大而减小.∵x1x2且x1x2同号∴y1y
2.习题
26.1教材第8页
1.解:1S=S是h的反比例函数. 2y=y是x的反比例函数.
2.B[提示:由反比例函数的定义可知y=-是反比例函数k=-.A选项是正比例函数C选项是二次函数D选项中函数图象可以由反比例函数y=的图象沿x轴向左平移1个单位长度得到但它不是x的反比例函数.]
3.1 减小 2 增大 33 减小
4.解:y是x的反比例函数设y=k≠0则x=故x也是y的反比例函数.
5.解:1当y=2时x=
2.把x=2y=2代入y=中得2=所以k=
4.所以反比例函数解析式是y=.当x=-3时y==-. 2当x=-1时y==-
4.所以当-3x-1时-4y-.
6.解:设y=k1≠0z=k2≠0所以y=k1·z-1=k1·=x因为k1≠0k2≠0所以≠0所以y是x的正比例函数.
7.解:设y=k1≠0z=k2xk2≠0则y=k1·z-1=k1·=.因为k1≠0k2≠0所以≠
0.所以y是x的反比例函数.
8.C
9.解:1由题意可知图象的另一支位于第三象限此时w-0即w. 2因为w-0当点Ax1y1和Bx2y2位于同一个象限内时y随x的增大而减小所以当y1y2时x1x2;当点Ax1y1和Bx2y2位于不同象限内时y1y2则x1x
2. 1反比例函数的图象与性质是本章的重点在教材中起着承上启下的作用进一步理解和掌握反比例函数的图象和性质特点是以例题为主所以教学设计中大胆放手让学生在探究活动中去经历、体验、内化知识通过充分地探究过程真正理解和掌握知识能够灵活运用反比例函数的性质解决有关问题易于突破难点.待定系数法是求函数解析式常用的方法待定系数法作为解决数学实际问题的基本方法和重要手段在其他学科中也有着广泛的应用所以本节课的学习为后边学习实际问题与反比例函数打下基础. 2在探究比例系数k的几何意义时可以利用几何画板的动态功能让学生直观形象地理解k的几何意义即“面积不变性”然后辅以板书进行推理证明把“形”与“数”完美结合让学生感受数形结合的魅力. 3与反比例函数有关的问题几乎在历届中考中都可以找到有基础题、中档题还有综合题从题型来看有选择题、填空题还有解答题主要考查反比例函数的定义、图象及其性质也常与正比例函数、一次函数、二次函数和其他几何知识组成综合性试题进行考查.所以本节课的设计以“启发探究式”开展教学活动比较合适以学生动手动脑探究为主充分调动学生学习的积极性和主动性突出学生主体地位突显富有生命力的课堂让学生真正掌握与反比例函数的图象和性质有关的综合性题目. xx·温州中考如图所示矩形ABCD的顶点A在第一象限AB∥x轴AD∥y轴且对角线的交点与原点O重合.在边AB从小于AD到大于AD的变化过程中若矩形ABCD的周长始终保持不变则经过动点A的反比例函数y=k≠0图象中k的值的变化情况是 A.一直增大 B.一直减小 C.先增大后减小 D.先减小后增大 〔解析〕 设矩形ABCD中AB=2aAD=2b.∵矩形ABCD的周长始终保持不变∴22a+2b=4a+b为定值∴a+b为定值.∵矩形对角线的交点与原点O重合∴k=AB·AD=ab又∵a+b为定值当a=b时ab最大∴在边AB从小于AD到大于AD的变化过程中k的值先增大后减小.故选C. xx·黔东南中考如图所示正比例函数y=x与反比例函数y=的图象相交于AB两点BC⊥x轴于点C则△ABC的面积为 A.1 B.2 C.3 D.4 〔解析〕 ∵正比例函数y=x与反比例函数y=的图象相交于AB两点∴点A与点B关于原点对称且B-1-1∴S△AOC=S△BOC∵BC⊥x轴∴△ABC的面积=2S△BOC=2××|1|=
1.故选A. xx·巴中中考如图所示在平面直角坐标系xOy中一次函数y1=ax+bab为常数且a≠0与反比例函数y2=m为常数且m≠0的图象交于点A-21B1n. 1求反比例函数和一次函数的解析式; 2连接OAOB求△AOB的面积; 3直接写出当y1y20时自变量x的取值范围. 解:1∵A-21 ∴将点A坐标代入反比例函数解析式y2=中 得m=-2 ∴反比例函数解析式为y2=-. 将点B坐标代入y2=-得n=-2 ∴点B坐标为1-2 将点A与B坐标代入一次函数解析式中得: 解得a=-1b=-1 ∴一次函数解析式为y1=-x-
1. 2设直线AB与y轴交于点C 令x=0得y=-1 ∴点C坐标为0-1 ∴S△AOB=S△AOC+S△COB=×1×2+×1×1=. 3由图象可得当y1y20时自变量x的取值范围是x
1.
26.2 实际问题与反比例函数
1.能够根据具体实际问题情景确定变量之间的反比例关系并求出反比例函数解析式.
2.能灵活运用反比例函数的意义和性质解决相关的实际问题.
3.能综合运用几何、方程、不等式、反比例函数知识以及物理等跨学科知识解决相关的实际问题.
1.经历利用反比例函数解决实际问题的过程学会用数学的思想方法去观察、研究和解决日常生活中所遇到的问题体验数学建模的思想.
2.体会数学与实际生活紧密联系经历将实际问题抽象为数学问题的过程体会数学中转化和数形结合的思想.
3.经历“实际问题——建立模型——求解模型——拓展应用”的过程增强学生发现和提出问题、分析和解决问题的能力.
1.通过将反比例函数的有关知识灵活应用于实际让学生体会到学习数学的价值从而提高学生学习数学的兴趣并获得成功感.
2.通过小组合作交流学习共同探究反比例函数在实际中的应用提高合作意识培养创新精神. 【重点】 从实际问题中建立反比例函数模型运用反比例函数的意义和性质解决生活实际问题和跨学科问题. 【难点】 根据实际问题情景建立反比例函数的数学模型.第课时
1.能够根据实际问题情景建立反比例函数的模型.
2.能灵活运用反比例函数的意义和性质解决生活实际问题.
1.通过探究生活中的实际问题让学生体会数学建模思想的构建.
2.通过探究反比例函数解决实际问题体会数学知识的现实意义提高分析问题、解决问题的能力培养数学应用意识.
1.通过将反比例函数性质灵活应用于实际让学生体会学习数学的价值从而提高学生学习数学的兴趣.
2.通过小组合作交流提高合作意识培养创新精神.
3.让学生体会数学知识与现实世界的联系. 【重点】 从实际问题中建立反比例函数模型运用反比例函数的意义和性质解决实际问题. 【难点】 根据具体实际问题情景建立反比例函数的模型. 【教师准备】 多媒体课件1~
3. 【学生准备】 预习教材P12~
13.导入一: 【复习提问】
1.我们学习了反比例函数的哪些内容 完成下列填空: 1反比例函数的定义是 . 2反比例函数的图象是 当k0时 ;当k0时 . 3待定系数法求反比例函数解析式的步骤: .
2.前面学习了一次函数、二次函数类比前面的学习过程我们将继续探究什么基本方法有哪些
3.在实际问题中建立函数模型求解函数解析式的关键是什么 【师生活动】 学生独立回答教师观察学生对本节课的学习内容及基本方法是否了解.导入二: 【课件1展示】 你吃过拉面吗知道在做拉面的过程中渗透着数学知识吗 1将体积为20cm3的面团做成拉面面条的长度y与面条的粗细横截面面积S有怎样的函数关系 2某家面馆的师傅手艺精湛她拉的面条粗1mm2面条总长是多少 【师生活动】 学生独立完成后小组交流答案学生展示结果教师及时提醒学生注意单位换算并对结果进行点评.导入三: 【课件2展示】 市煤气公司要在地下修建一个容积为104m3的圆柱形煤气储存室. 1储存室的底面积S单位:m2与其深度d单位:m有怎样的函数关系 2公司决定把储存室的底面积S定为500m2施工队施工时应该向地下掘进多深 3当施工队按2中的计划掘进到地下15m时公司临时改变计划把储存室的深度改为15m相应地储存室的底面积应该改为多少结果保留小数点后两位 [设计意图] 通过复习反比例函数的概念、图象和性质及实际问题中找等量关系列函数解析式为本节课的学习做铺垫由学生熟悉的拉面问题及煤气储存室问题导入新课让学生体会数学与实际问题之间的关系很自然地构建出新知识激发学生的学习兴趣和求知欲望.
一、共同探究一 [过渡语] 许多现实生活中存在着反比例函数关系导入三实际问题中有怎样的反比例关系让我们一起探讨吧! 思路一 教师提出下列问题学生思考回答逐步解决. 1圆柱的体积公式是什么 2问题中有哪些量哪些量是常量哪些量是变量 3常量和变量之间存在着什么等量关系 4当圆柱体的体积不变时底面积和高有怎样的函数关系 5已知函数S的值怎样求自变量d的值 6已知自变量d的值如何求函数S的值 【师生活动】 先让学生认真审题独立思考再通过设置的小问题教师引导学生逐步思考最后建立函数模型解决问题学生完成解题过程教师展示课件纠正学生解题过程中的错误.详细解题过程见思路二 思路二 【师生活动】 学生认真审题独立思考类比前边学过的一次函数、二次函数解决实际问题的方法完成该题的解答然后小组合作交流讨论疑惑及解题思路和方法教师巡视中解决学生的质疑并帮助有困难的学生解决该题最后小组代表板书解题方法. 解:1根据圆柱的体积公式得Sd=104 ∴S关于d的函数解析式为S=. 2把S=500代入S=得500= 解得d=20 ∴把储存室的底面积定为500m2施工队施工时应该向地下掘进20m深. 3根据题意把d=15代入S=得S= 解得S≈
666.67m2 ∴当储存室的深度改为15m时底面积应约改为
666.67m
2. 【追问】 1在实际问题中求函数解析式的关键是什么 2已知自变量的值求函数值已知函数值求自变量的值的基本思想是什么代入函数解析式用方程思想求解 [设计意图] 通过教师引导学生动手操作给学生提供解决此类问题的思路让学生在问题解决的过程中体会反比例函数与实际问题的联系.解决实际问题首先建立函数模型然后利用函数意义或性质解决问题培养学生应用反比例函数解决实际问题的能力.
二、共同探究二 【课件3展示】 码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物装载完毕恰好用了8天时间. 1轮船到达目的地后开始卸货平均卸货速度v单位:吨/天与卸货天数t之间有怎样的函数关系 2由于遇到紧急情况要求船上的货物不超过5天卸载完毕那么平均每天至少要卸载多少吨 教师引导学生思考下列问题. 1题中的等量关系是什么 货物的总量= × . 平均卸货速度= ÷ . 2如果要求货物5天卸载完毕那么平均每天要卸载多少吨 3如果要求货物卸载的天数不超过5天的含义是什么 4自变量t越小对应的函数值v怎样变化你有几种解决这个问题的方法 【师生活动】 教师提出问题学生自主探究后小组合作交流共同完成该题的解题过程教师引导学生写出函数解析式提示学生用函数图象、函数解析式、方程等多种方法解决问题. 解:1设轮船上的货物总量为k吨则根据已知条件有k=30×8=240 所以v与t的函数解析式为v=. 解法1:2把t=5代入v=得v==
48. 若全部货物恰好用5天卸载完那么平均每天卸载48吨. 对于函数v= 当t0时t越小v越大.这样若货物不超过5天卸载完则平均每天至少要卸载48吨. 解法2:2由v=得t= 因为t≤5所以≤5又v0 所以240≤5v解得v≥
48. 解法3:2画出函数v=t0的图象当t=5时v=
48. 根据反比例函数图象的性质在第一象限内v随t的增大而减小 所以当0t≤5时v≥
48. [设计意图] 通过探究实际运输中存在着的反比例函数关系进一步培养学生建立反比例函数模型的能力鼓励学生从函数图象、不等式、方程等多角度思考问题进而把函数、方程、不等式联系起来培养学生从不同角度看问题体会数学知识之间的联系提高用不同方法解决问题的能力.
三、共同归纳 用反比例函数解决实际问题认真分析题意通过等量关系建立反比例函数模型写出函数解析式由函数图象和性质解决实际问题. [知识拓展] 1在利用反比例函数解决实际问题时要根据题目的实际意义找到基本的函数关系再根据需要进行变形或计算. 2本节知识用到了转化思想和数学建模思想如将实际问题中的数量关系转化为数学问题中的函数关系. 3数形结合思想在本节中得到了广泛的应用.
1.从实际问题中获取信息转化为数学问题建立反比例函数模型利用反比例函数知识解决问题.
2.在解决实际问题中根据题意写出函数解析式是解题的关键.
3.综合运用函数、方程、不等式及数形结合思想解复杂的实际问题.
1.某村的粮食总产量为aa为常数吨设该村的人均粮食产量为y吨人口数为x则y与x之间的函数关系的大致图象应为 解析:题中等量关系为:人均粮食产量y×人口数x=粮食总产量a所以y与x之间的函数关系式为y=x0所以该函数的图象为双曲线在第一象限内的一支.故选C.
2.一张正方形的纸片剪去两个一样的小矩形得到一个“E”图案如图所示设小矩形的长、宽分别为xy剪去部分的面积为20若2≤x≤10记y=fx则y=fx的图象是 解析:由题意知2xy=20所以y=2≤x≤10反比例函数图象在第一象限内并且y随x的增大而减小当x=2时y有最大值为5当x=10时y有最小值为
1.故选A.
3.矩形的面积是2cm2设长为ycm宽为xcm则y与x之间的函数解析式为 . 解析:根据等量关系:长×宽=矩形面积得xy=2所以y与x之间的函数解析式为y=根据x的实际意义知x应大于
0.故填y=x
0.
4.一辆汽车匀速通过某段公路所需时间th与行驶速度vkm/h满足函数关系式:t=其图象为如图所示的一段曲线且端点为A401和Bm
0.
5. 1求k和m的值; 2若行驶速度不得超过60km/h则汽车通过该路段最少需要多长时间 解:1将401代入t=得1= 解得k=40 所以函数解析式为t= 当t=
0.5时
0.5= 解得m=80 所以k=40m=
80. 2令v=60得t== 结合函数图象可知汽车通过该路段最少需要h. 第1课时
1.共同探究一
2.共同探究二
3.共同归纳
一、教材作业【必做题】 教材第16页习题
26.2第1257题.【选做题】 教材第17页习题
26.2第9题.
二、课后作业【基础巩固】
1.下列各问题中两个变量之间的关系不是反比例关系的是 A.小明完成100m赛跑时时间ts与他跑步的平均速度vm/s之间的关系B.菱形的面积为48cm2时它的两条对角线的长ycm与xcm之间的关系C.一个玻璃容器的容积为30L时所盛液体的质量m与所盛液体的密度ρ之间的关系D.压力为600N时压强p与受力面积S之间的关系
2.为了更好保护水资源造福人类某工厂计划建一个容积Vm3一定的污水处理池池的底面积Sm2与其深度hm满足关系式:V=ShV≠0则S关于h的函数图象大致是
3.某厂现有300吨煤这些煤能烧的天数y与平均每天烧的吨数x之间的函数解析式为 A.y=x0 B.y=x≥0C.y=300xx0 D.y=300xx≥
04.已知矩形的面积为36cm2相邻的两条边长为xcm和ycm则y与x之间的函数图象大致是
5.长方体的体积为103m3底面积为S高度为d则S与d之间的函数关系式为 ;当S=500时d= .
6.某一蓄水池的排水速度vm3/h与排完水池中的水所用的时间th之间的函数关系图象是一支双曲线图象过点412则此函数的解析式为 .
7.现有一批赈灾物资从A市运往B市如果两市之间的路程为500km车的速度是xkm/h从A市运往B市所用的时间是yh那么y与x之间的函数解析式是 且y是x的 .
8.将油箱注满k升油后轿车行驶的总路程s单位:千米与平均耗油量a单位:升/千米之间是反比例函数关系s=k是常数k≠
0.已知某轿车油箱注满油后以平均耗油量为每千米耗油
0.1升的速度行驶可行驶700千米.1求该轿车可行驶的总路程s与平均耗油量a之间的函数解析式;2当平均耗油量为
0.08升/千米时该轿车可以行驶多少千米【能力提升】
9.一个容积为180升的太阳能热水器工作时间是y分钟每分钟的排水量为x升则y与x之间的函数解析式为 若热水器持续工作最长时间为1小时则自变量x的取值范围是 .
10.一块长方体大理石板的ABC三个面上的边长如图所示单位:米如果大理石板的A面向下放在地上时地面所受压强为m帕则把大理石板B面向下放在地上地面所受压强是 m帕.
11.某商场出售一批进价为2元的贺卡在市场营销中发现此商品的日销售单价x单位:元与日销售量y单位:个之间有如下关系:日销售单价x/元3456日销售量y/个201512101根据表中数据试确定y与x之间的函数关系式并画出图象;2设经营此贺卡的销售利润为W元求出W与x之间的函数关系式.若物价局规定此贺卡的单价最高不能超过10元请你求出当日销售单价x定为多少元时才能获得最大日销售利润.【拓展探究】
12.“保护生态环境建设绿色社会”已经从理念变为人们的行动.某化工厂xx年1月的利润为200万元.设xx年1月为第1个月第x个月的利润为y万元.由于排污超标该厂决定从xx年1月底起适当限产并投入资金进行治污改造导致月利润明显下降从1月到5月y与x成反比例.到5月底治污改造工程顺利完工从这时起该厂每月的利润比前一个月增加20万元如图所示.1分别求该化工厂治污期间及治污改造工程完工后y与x之间对应的函数表达式;不用写出自变量取值范围2治污改造工程完工后经过几个月该厂月利润才能达到xx年1月的水平3当月利润少于100万元时为该厂资金紧张期则该厂资金紧张期共有几个月
13.xx·衡阳中考某药品研究所开发一种抗菌新药经多年动物实验首次用于临床人体实验.测得成人服药后血液中药物浓度y微克/毫升与服药时间x时之间的函数关系如图所示当4≤x≤10时y与x成反比.1根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y与x之间的函数关系式;2血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为多少小时【答案与解析】
1.C解析:根据各小题中两个变量之间的关系列出函数关系式解析式符合y=k≠0的形式即为反比例函数.函数关系式为t=是反比例函数A正确;函数关系式为xy=48y=是反比例函数故B正确;函数关系式为m=30ρ是正比例函数C错误;函数关系式为p=是反比例函数D正确.故选C.
2.C解析:由题意可得S=且h0所以S关于h的函数图象是在第一象限内的反比例函数图象.故选C.
3.A解析:根据题意得xy=300所以y=且x
0.故选A.
4.A解析:根据题意得xy=36即y=x0是一个反比例函数.故选A.
5.S= 2解析:因为体积V=Sd所以S==把S=500代入函数解析式得d=
2.故填S=
2.
6.v=t0解析:设函数解析式为v=把412代入函数解析式得k=4×12=48所以所求的函数解析式为v=.故填v=t
0.
7.y=x0 反比例函数解析:根据路程=速度×时间得xy=500所以y=x0y是x的反比例函数.
8.解:1由题意得a=
0.1s=700代入反比例函数关系式中解得k=sa=70∴函数关系式为s=. 2将a=
0.08代入s=得s===875故该轿车可以行驶875千米.
9.y= x≥3解析:工作时间y分×每分钟的排水量x升=总容量所以可得出y与x的解析式为y=热水器可连续工作的最长时间为1小时即0y≤60∴x≥
3.
10.3解析:设大理石板重力为F由图可知A面的面积=3×6=18平方米则F=p·S=18m因为B面的面积=1×6=6平方米所以此时的压强p===3m.故填
3.
11.解:1y=x0图象略. 2W=x-2y=-+60因为0x≤10所以当x=10时获得最大日销售利润48元.
12.解:1设反比例函数为y=则=200解得k=200∴反比例函数的解析式为y=.当x=5时y=
40.设改造工程完工后函数解析式为y=20x+b则20×5+b=40解得b=-60∴改造工程完工后函数解析式为y=20x-
60.2当y=200时20x-60=200解得x=
13.13-5=8∴经过8个月该厂利润才能达到200万元. 3当y=100时=100解得x=220x-60=100解得x=8∴资金紧张期共有8-2-1=5个月.
13.解:1由图象可知当0≤x≤4时y与x成正比例关系设y=kxk≠
0.由图象可知当x=4时y=8∴4k=8解得k=2∴y=2x0≤x≤
4.又由题意可知当4≤x≤10时y与x成反比例关系设y=m≠
0.由图象可知当x=4时y=8∴m=4×8=
32.∴y=4≤x≤
10.即血液中药物浓度上升时y=2x0≤x≤4;血液中药物浓度下降时y=4≤x≤
10.2血液中药物浓度不低于4微克/毫升即y≥4∴2x≥4且≥4解得x≥2且x≤8∴2≤x≤8即持续时间为6小时. 本节课是用反比例函数性质解决实际问题课堂上学生可以体会到数学应用于生活中多个领域教学过程中教师不把现成的结论和方法直接告诉学生而是设计了一系列问题通过学生合作交流解决问题激发学生的探索精神和求知欲望同时营造一种宽松、和谐、积极民主的学习氛围使每位学生都成为问题的探索者、研究中的发现者教师不仅仅充当知识传授者的角色更重要的是培养学生的自学能力和学习习惯教会他们怎样学习怎样思考从而使教学工作收到事半功倍的效果. 本节课的重点是建立函数模型应用反比例函数求实际问题中的最值进一步培养数学应用意识在课堂上虽然有意识让学生主动探索、讨论寻求问题解决的途径但是在实施过程中教师对问题的解决还是急于求成尤其是学生探索过程中出现困难时教师急于引导解决在以后的课堂上应注意给学生更为广阔的思维空间. 本节课在探索过程中教学活动——设计以学生熟悉的实际问题为主线以“学生思考——小组讨论——学生展示——同学质疑——教师点评”的螺旋上升的进程力争充分体现学生的主体地位发挥教师的主导作用.同时从生活实例出发进一步渗透建模思想培养学生用数学的眼光去观察和分析实际问题提高对学习数学的兴趣增强学好数学的信心. 练习教材第15页
1.解:1S=. 2100cm2=1dm21=d=
3.答:漏斗的深为3dm.
2.解:1由题意知路程为80×6=480km.v=. 2v==
120.答:返程时的平均速度不能小于120km/h.
3.解:1n=. 2n==
625000.灰砖:625000×=250000块.白砖:625000×=250000块.蓝砖:625000×=125000块. 1现实世界到处都有变化的量而函数是刻画现实世界中数量之间变化规律的一种常见的数学模型.“函数”是初中数学的核心内容之一本节课的主要内容是应用反比例函数的概念、图象和性质等知识通过建立数学模型解决有关实际问题.教学设计中设置的两个问题都是从熟悉的生活场景中抽取的其本质体现的都是反比例函数的关系通过学习让学生进一步加深对反比例函数的运用和理解更深层次体会建模的数学思想在前面已经学习了反比例函数的概念、图象和性质的基础上经历“建立函数模型运用函数模型解决实际问题”的过程体现反比例函数是解决实际问题的有效数学工具. 2本节课的难点是把实际问题利用反比例函数转化为数学问题加以解决通过思考教师设计的小问题小组活动讨论交流共同探究的学习方式逐层分散难点同时培养了学生与他人合作的能力活跃了课堂提高了用数学解决问题的能力.本节课的学习架起了抽象的数学与精彩的生活之间的桥梁让学生深刻体会数学来源于生活又应用于生活中去. 为了预防疾病某单位对办公室采用药熏消毒法进行消毒已知药物燃烧时室内每立方米空气中的含药量y毫克与时间x分钟成正比例药物燃烧后y与x成反比例如图所示现测得药物8分钟燃毕此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克请根据题中提供的信息解答下列问题. 1药物燃烧时y关于x的函数关系式为 自变量x的取值范围是 ;药物燃烧后y关于x的函数关系式为 ; 2研究表明当空气中每立方米的含药量低于
1.6毫克时学生方可进教室那么从消毒开始至少需要经过 分钟后学生才能回到教室; 3研究表明当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时才能有效杀灭空气中的病毒那么此次消毒有效吗为什么 解:1设药物燃烧时y关于x的函数关系式为y=k1xk10将86代入得6=8k1 ∴k1=. 设药物燃烧后y关于x的函数关系式为y=k20将86代入得6= ∴k2=48 ∴药物燃烧时y关于x的函数关系式为y=x0≤x≤8药物燃烧后y关于x的函数关系式为y=x
8. 2结合实际令y=中y=
1.6得x=30 即从消毒开始至少经过30分钟后学生才能进入教室. 3把y=3代入y=x得x=4 把y=3代入y=得x=
16. ∵16-4=1210∴这次消毒是有效的.第课时
1.能根据与其他学科联系的公式确定反比例关系并求出反比例函数解析式.
2.能够根据实际问题情景建立反比例函数的模型解决与其他学科知识相联系的问题.
1.通过探究与其他学科相联系的实际问题让学生体会数学建模思想的构建.
2.通过探究反比例函数解决实际问题体会数学知识的现实意义提高分析问题、解决问题的能力培养数学应用意识.
1.通过将反比例函数知识灵活应用于其他学科让学生体会学习数学的价值从而提高学生学习数学的兴趣.
2.通过小组合作交流提高合作意识培养创新精神同时感受数学模型思想在实际问题中的应用价值. 【重点】 利用反比例函数的知识解决跨学科问题. 【难点】 根据实际问题情景建立反比例函数的数学模型. 【教师准备】 多媒体课件. 【学生准备】 预习教材P14~
15.导入一: 【复习提问】 1反比例函数y=的图象形状、位置、增减性是怎样的当x=3时y= ;当y=3时x= . 2结合一个反比例函数实例说说反比例函数两个变量之间的关系. 【师生活动】 教师出示问题后学生独立思考回答教师点评.导入二: 有一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的二氧化碳当改变容器的体积时气体的密度也会随之改变密度ρ单位:kg/m3是体积V单位:m3的反比例函数它的图象如图所示当V=2m3时气体的密度是多少千克/米3 【导入语】 数学与物理、化学学科紧密相连如何用数学知识解决这样的物理、化学问题通过今天的学习我们可以轻松解决.导入三: “给我一个支点我可以撬动地球”是古希腊科学家阿基米德说的一句话他发现若杠杆上的两物体与支点的距离和其重量成反比则杠杆平衡.后来人们把它归纳为“杠杆原理”.通俗地说杠杆原理为:阻力×阻力臂=动力×动力臂. 当阻力和阻力臂不变动力与动力臂有怎样的函数关系 [设计意图] 通过复习反比例函数的图象和性质理解反比例函数两个变量之间的关系为本节课的例题学习做好准备.以物理学科中密度问题导入新课让学生体会数学与物理学科密切相关由科学家阿基米德著名的杠杆原理导入新课为本节课的例题提供理论依据同时激发学生学习的兴趣. [过渡语] 应用杠杆原理可以解决与杠杆有关的实际问题让我们一起探究下边和杠杆有关的实际问题吧!
一、共同探究一 【课件展示】 教材例3小伟欲用撬棍撬动一块大石头已知阻力和阻力臂分别为1200N和
0.5m. 1动力F与动力臂l有怎样的函数关系当动力臂为
1.5m时撬动石头至少需要多大的力 2若想使动力F不超过题1中所用力的一半则动力臂l至少要加长多少 思路一 教师引导学生思考回答下列问题. 1杠杆原理中的等量关系是什么 2阻力和阻力臂一定时其乘积是常数动力F与动力臂l有怎样的函数关系 3如何求动力F与动力臂l之间的函数解析式 4当自变量l=
1.5时你能否求出对应的函数值F 5在动力F与动力臂l的函数关系中函数值随自变量的增大怎样变化 6“动力F不超过题1中所用力的一半”的含义是什么意思 7你能结合函数图象用方程思想求解2吗 8你还能用不等式等其他方法求解2吗 【师生活动】 学生在教师提出的问题引导下思考并回答问题教师点评答案及时纠正学生回答中的错误然后学生完成解题过程教师通过课件展示解题过程. 思路二 独立完成下列填空后尝试解答该题. “杠杆原理”是 即Fl= 故F与l之间的函数解析式为 所以当l=
1.5m时F= . “动力F不超过题1中所用力的一半”即F 因为函数F随自变量l增大而 所以动力臂至少为 m即动力臂至少要加长 m. 【师生活动】 学生独立思考后尝试完成该题的解答然后小组内成员对解答过程和解题思路进行讨论交流教师在巡视过程中对学生的困难给予帮助及时发现小组中不同的解题方法并示意板书解题过程对学生的板书点评指导. 解:1根据“杠杆原理”得Fl=1200×
0.5 所以F关于l的函数解析式为F=. 当l=
1.5m时F==400N. 对于函数F=当l=
1.5m时F=400N此时杠杆平衡.因此撬动石头至少需要400N的力. 2对于函数F=F随l的增大而减小.因此只要求出F=200N时对应的l的值就能确定动力臂l至少应加长的量. 当F=400×=200时由200=得: l==33-
1.5=
1.5m. 对于函数F=当l0时l越大F越小.因此若想用力不超过400N的一半则动力臂至少要加长
1.5m. 另解:由F=得l=因为F≤200所以l≥3 3-
1.5=
1.5m所以若想用力不超过400N的一半则动力臂至少要加长
1.5m. 【追加思考】 此题利用反比例函数知识解释:为什么使用撬棍时动力臂越长越省力 【师生活动】 学生思考后小组讨论交流教师点评得出结论: 对于函数F=当l0时F随l的增大而减小所以使用撬棍时动力臂越长越省力. [设计意图] 本例利用数学知识解决物理问题让学生感受数学知识在物理中的应用促使学生主动尝试从数学的角度运用所学知识寻求解决问题的方法策略培养学生建模思想的构建提高学生解决问题的能力和应用意识.
二、共同探究二 【课件展示】 教材例4一个用电器的电阻是可调节的其范围为110~220Ω已知电压为220V这个用电器的电路图如图所示. 1功率P与电阻R有怎样的函数关系 2这个用电器的功率的范围是多少 思路一 教师引导学生分析: 1电学知识中用电器的功率PW、电阻RΩ、两端的电压UV之间的等量关系式是PR= 也可以写成P= 或R= . 2由1得功率P与电阻R之间的关系为 . 3由反比例函数性质可得功率P随着电阻R的增大而 . 4当电阻最小R=110Ω时功率有最 值P= 当电阻最大R=220Ω时功率有最 值P= 所以用电器功率的范围是 . 【师生活动】 学生在教师的问题的引导下思考回答问题然后完成解题过程小组代表板书教师对学生的回答给予评价和指导并对学生的板书过程进行点评. 解:1根据电学知识当U=220时得P=. 2根据反比例函数性质可知电阻越大功率越小. 把电阻的最小值R=110代入P=得到功率的最大值P==440W; 把电阻的最大值R=220代入P=得到功率的最小值P==220W. 因此用电器功率的范围为220~440W. 思路二 【思考】 1电学知识中用电器的功率PW、电阻RΩ、两端的电压UV之间的等量关系是什么 2你能根据上边的等量关系写出功率P与电阻R之间的函数解析式吗 3根据反比例函数性质功率P随电阻R的增大怎样变化 4当电阻R取最小值时对应的函数值P有最小值还是最大值当电阻R最大时呢 5自变量R的取值范围是什么对应的函数值P的取值范围是什么 【师生活动】 学生独立思考后小组合作交流共同探究解题过程教师在巡视过程中帮助有困难的学生对学生的展示进行点评. 【追问】 为什么收音机的音量、某些台灯的亮度以及电风扇的转速可以调节 【师生活动】 学生小组讨论后大家积极发表自己的见解教师及时点评. 【结论】 收音机的音量、某些台灯的亮度以及电风扇的转速都由这些电器的输出功率决定在电压一定的情况下用电器的输出功率是用电器电路中电阻的反比例函数. [设计意图] 通过物理学科中已学过的电学公式建立公式与反比例函数之间的联系用反比例函数知识解决跨学科问题感受数学在现实生活中的应用激发学生学习数学的兴趣提高学生应用数学解决问题的能力. [知识拓展] 1在利用反比例函数解决跨学科问题时要根据物理、化学等学科中的公式建立函数关系式再根据需要进行变形或计算. 2本节知识用到了转化思想及数学建模思想如将实际问题中的数量关系转化为数学问题中的函数关系.
1.建立反比例函数模型解决跨学科问题一般步骤: 1审题:弄清题意分析问题中等量关系; 2建模:根据等量关系将跨学科问题转化为数学问题利用反比例函数知识建立数学模型. 3解模:根据反比例函数的性质解决问题.
2.本节课用到的思想和方法.
1.一定质量的干松木当它的体积V=2m3时它的密度ρ=
0.5×103kg/m3则ρ与V的函数关系式是 A.ρ=1000V B.ρ=V+1000 C.ρ= D.ρ= 解析:根据物理知识得ρ=∵体积V=2m3时它的密度ρ=
0.5×103kg/m3∴m=2×
0.5×103=1000∴ρ=.故选D.
2.如果变阻器两端电压不变那么通过变阻器的电流yA与电阻xΩ之间的函数关系图象大致是 解析:依题意得电压U=电阻x×电流y当U一定时可得y=x0y0∴函数图象为双曲线在第一象限的部分.故选B.
3.二氧化碳的密度ρkg/m3关于其体积Vm3的函数关系如图所示那么函数关系式是 . 解析:由题意得ρ与V成反比例函数的关系设ρ=根据图象信息可得当ρ=
0.5时V=
19.8∴k=ρV=
19.8×
0.5=
9.9即可得ρ=.故填ρ=.
4.在压力不变的情况下某物体承受的压强pPa是它的受力面积Sm2的反比例函数其图象如图所示. 1求p与S之间的函数关系式; 2求当S=
0.5m2时物体承受的压强p; 3若要获得2500Pa的压强受力面积应为多少 解:1设p= ∵点
0.251000在这个函数的图象上 ∴1000= ∴k=250 ∴p与S的函数关系式为p=S
0. 2当S=
0.5m2时p==500Pa. 3令p=2500S==
0.1m
2. 第2课时
1.共同探究一 例1
2.共同探究二 例2
一、教材作业【必做题】 教材第16页习题
26.2第46题.【选做题】 教材第17页习题
26.2第8题.
二、课后作业【基础巩固】
1.一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的某种气体密度ρ单位:kg/m3与体积V单位:m3满足函数关系式ρ=k为常数k≠0其图象如图所示则k的值为 A.9 B.-9 C.4 D.-
42.用电器的输出功率P与通过的电流I、用电器的电阻R之间的关系是P=I2R下面说法正确的是 A.当P为定值时I与R成反比例B.当P为定值时I2与R成反比例C.当P为定值时I与R成正比例D.当P为定值时I2与R成正比例
3.某同学做物理实验他使用的蓄电池电压为定值电流IA与电阻RΩ的关系如图所示若该电路内的用电器限制电流不得超过8A则此用电器的可变电阻RΩ的范围应为 A.R5 B.R5 C.R≤5 D.R≥
54.某气球内充满了一定质量的气体当温度不变时气球内气体的气压p单位:kPa是气体体积V单位:m3的反比例函数其图象如图所示.当气球内的气压大于120kPa时气球将爆炸.为了安全起见气球的体积应 A.不大于m3 B.大于m3C.不小于m3 D.小于m
35.近视眼镜的度数y度与镜片焦距xm成反比例已知200度近视眼镜的镜片焦距为
0.5m则y与x之间的函数关系式是 .
6.将50N的压力作用在1cm2的面积上所产生的压强是 Pa如果保持压力不变要产生5×103Pa的压强应使受力面积变为 cm
2.
7.实验表明当导线的长度一定时导线的电阻与它的横截面面积成反比例一条长为100km的铝导线的电阻RΩ与它的横截面面积Scm2的函数关系如图所示那么当S=5cm2时R= Ω.
8.在某一电路中保持电压不变电流IA与电阻RΩ将如何变化若已知当电阻R=5Ω时电流I=2A.1求I与R之间的关系式;2电阻是8Ω时电流是多少3如果要求电流的最大值为10A那么电阻R的最小值是多少【能力提升】
9.在对物体做功一定的条件下力F牛与此物体在力的方向上移动的距离s米成反比例关系其图象如图所示P51在此函数图象上则当力达到10牛时物体在力的方向上移动的距离是米.
10.我市某蔬菜生产基地在气温较低时用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18℃的条件下生长最快的新品种.如图所示的是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后大棚内温度y℃随时间x时变化的函数图象其中BC段是双曲线y=的一部分.请根据图中信息解答下列问题.1恒温系统在这天保持大棚内温度18℃的时间有多少小时2求k的值;3当x=16时大棚内的温度约为多少【拓展探究】
11.蓄电池电压为定值使用此电源时电流IA与电阻RΩ之间关系的图象如图所示若点A在图象上解答下列问题.1电流I随着电阻R的增加是如何变化的2电流I可以看成电阻R的什么函数求出这个函数的表达式;3如果以此蓄电池为电源的用电器能正常工作那么限制电流不得低于8A且不得超过16A则用电器的可变电阻应控制在什么范围内【答案与解析】
1.A解析:把点A
61.5代入函数关系式得k=6×
1.5=
9.故选A.
2.B解析:根据P=I2R可以得到:当P为定值时I2与R的乘积是定值所以I2与R成反比例.故选B.
3.D解析:由物理知识可知I=图象过点104故U=40当I≤8时R≥
5.故选D.
4.C解析:设球内气体的气压pkPa和气体体积Vm3的关系式为p=∵图象过点
1.660∴k=96即p=在第一象限内p随V的增大而减小∴当p≤120时V=≥.故选C.
5.y=解析:由题意设y=由于点
0.5200适合这个函数解析式则k=
0.5×200=100∴y=所以眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数关系式为y=.故填y=.
6.5×105 100解析:50N的压力作用在1cm2的面积上产生的压强为p1===5×105Pa.保持压力不变要产生5×103Pa的压强则受力面积由p=可得S2===10-2m2=100cm
2.
7.解析:根据图象可得该图象经过点129所以R=当S=5时R=.故填.
8.解:1由物理知识知U=IR∵R=5I=2∴U=5×2=10∴I与R之间的关系式为I=R
0. 2当R=8时I==
1.25A.3当I=10A时R==1Ω∴电阻的最小值为1Ω.
9.
0.5解析:设反比例函数关系式是F=∵图象过点P51∴k=1×5=5∴反比例函数关系式是F=当F=10时10=解得s=
0.
5.故填
0.
5.
10.解:1恒温系统在这天保持大棚温度18℃的时间为10小时. 2∵点B1218在双曲线y=上∴18=解得k=
216. 3当x=16时y==
13.5∴当x=16时大棚内的温度约为
13.5℃.
11.解:1电流I随着电阻R的增加而减小. 2电流I是电阻R的反比例函数.设I=U≠0∵图象经过点A84∴U=IR=8×4=32∴I=R
0. 3当I=8时R==4当I=16时R==
2.∵I随R的增大而减小∴当8≤I≤16时2≤R≤
4.∴用电器的可变电阻应控制在2~4Ω范围内. 本节课探究一以问题串的形式引导学生层层深入思考然后小组合作交流共同探究建立函数模型解决与反比例函数有关的跨学科问题最后归纳总结解决这类实际问题的一般步骤学生亲身经历知识的形成过程提高了分析问题、解决问题的能力提升了数学思维同时体会了数学在其他学科问题中的应用.探究课本例题让学生在问题的引导下自主探究放手让学生从其他学科的公式中确定反比例函数解析式解决生活中熟悉的实际问题激发了学生的学习兴趣使课堂气氛活跃. 本节课的重点是通过建立反比例函数模型解决跨学科的实际问题设计时为了突出让学生经历知识的形成过程设计的小问题多造成课容量较大在课堂中前松后紧进行探究二有些着急教师引导不到位学生思考时间短.再有涉及的物理知识是学生熟知的可以考虑不依赖教材放手让学生思考、探究、交流、归纳教师只要做到引导者的角色即可. 建立反比例函数模型解决实际问题是本章学习的一个难点所以本节课的设计是教师在课堂中引导学生判断、分析、归纳突出学生为主体教师引导学生经历分析、观察、建模、发现新知、解决新知、归纳总结的过程让学生在思考、交流活动中共同解决实际问题提高学生解决问题的能力和数学应用意识同时培养学生合作意识. 习题
26.2教材第16页
2.解:1由矩形的面积公式有x·y=2×
106.所以y=.所以y与x之间的函数关系式是y=是反比例函数. 2当y∶x=2∶1即y=2x时把y=2x代入y=中得2x=.所以2x2=2×106x2=106所以x=±
103.因为x是矩形的宽所以x0所以x=-103不符合题意舍去.所以x=103y=2x=2×
103.所以试验田的长为2×103m宽为103m.
3.解:由题意可知mn=1000所以m=.所以m是n的反比例函数函数关系式为m=.当n=4时m==
250.所以如果每天用电4kW·h这些电可以用250天.
4.提示:设I=.由表格可知当I=5时R=
20.所以5=所以k=
100.所以I与R之间的函数关系式为I=由I与R之间的函数关系式可完成表格.
5.C
6.解:1设ρ=.由图象可知点A
51.98在函数ρ=的图象上所以
1.98=所以m=
9.
9.所以密度ρ与体积V之间的函数关系式是ρ=. 2当V=9时ρ==
1.
1.即当V=9m3时二氧化碳的密度是
1.1kg/m
3.
7.解:1由题意可知vd=1200所以d=.所以时间d与入库速度v成反比例函数关系其函数关系式是d=. 2当v=300时d==
4.所以60名职工每天入库300t玉米预计最快可在4天内完成. 3300×2=600t1200-600=600t600÷300÷60=600÷5=120名120-60=60名所以至少需要增加60名职工.
8.1I= 236V 3表格从左到右依次填
12964. 4R≥
3.
69.解:1由题意可知s·b=
70.所以s=.所以s与b成反比例函数关系其函数关系式为s=.
20.1×300=30L70-30=40L40÷
0.1×2=200km因为200300所以油箱中的油不够回到县城.300×
0.2=60L60-40=20L.所以小王至少需再加油20L才能回到县城.复习题26教材第21页
1.1a= 2h=
2. 一 二
3.1
一、三 减小 2
二、四 增大
4.B
5.解:由反比例函数的性质可知k-10所以k
1.
6.解:由题意可设ABC三个面的面积分别为4S2SS.由压强=得a=.所以F=2aS.所以当砖A面向下放在地上时地面所受的压强为==aPa.同理当砖C面向下放在地上时地面所受的压强为2aPa.
7.解:1由题意可知dt=2×104所以d=.所以d与t成反比例函数关系其关系式是d=. 2当t=10时d==xxxx÷365≈5年.所以如果平均每天工作10h那么这种显示器大约可使用5年.
8.解:1y=的图象是B. 2y=的图象是A. 3y=-的图象是C. 4y=-的图象是D.
9.解:两个不同的反比例函数的图象不会相交.理由如下:设这两个反比例函数分别为y=k1≠0y=k2≠0且k2≠k
1.令=所以k2-k1x=0因为k1≠k2所以k1-k2≠0所以x=
0.因为当x=0时反比例函数无意义所以两个不同的反比例函数的图象不会相交.
10.解:函数y=k1x与y=的图象没有交点有两种情况:当k10时y=k1x的图象经过第
一、三象限则k20y=的图象位于第
二、四象限.当k10时y=k1x的图象经过第
二、四象限则k20y=的图象位于第
一、三象限.综上所述k1k
20.即当k1k20时正比例函数y=k1x与反比例函数y=的图象无交点.
11.解:1vt=106所以v=. 2t===
100. 3106-40×104=600000m3=120辆120-100=20辆.答:公司至少需要再增加20辆卡车才能按时完成任务. 1反比例函数是描述现实世界变量之间关系的重要模型运用二次函数可以解决许多实际问题本节课的重点是解决跨学科实际问题难点是用反比例函数表示变量之间的关系建立函数模型课堂上教师以问题串的形式引导学生深入地分析题意根据其他学科中的公式列出关于两个变量之间的函数解析式在学生合作交流后归纳总结可以较为简单地掌握重点突破难点所以对实际问题的分析有助于学生顺利解决实际问题. 2在解决跨学科实际问题中涉及数量之间的不等关系可以引导学生从不等式、函数图象、方程等多个角度思考问题渗透数形结合思想进一步理解跨学科问题与数学中多方面知识之间的联系.教师适当分析引导后给学生充分的探究空间学生通过自主学习、小组合作交流从不同角度解决问题教师多关注学生建模思想的培养从而提高学生分析问题、解决问题的能力和应用数学的意识. 某气球内充满了一定质量的气体当温度不变时气球内气体的压强pkPa是气球的体积Vm3的反比例函数其图象如图所示. 1写出这一函数的解析式; 2当气球的体积为
0.8m3时气压是多少 3当气球内的气压大于144kPa时气球将爆炸.为安全起见气球的体积应不小于多少立方米 〔解析〕 1设p与V的函数的解析式为p=利用待定系数法求函数解析式即可.2把V=
0.8代入p=可得p=
120.3当p=144时V=可知当气球内的气压144kPa时气球将爆炸为了安全起见气球的体积应不小于m
3. 解:1设p与V的函数的解析式为p=把点A
1.564代入得64= 解得k=96 ∴这个函数的解析式为p=. 2把V=
0.8代入p=得p=120 ∴当气球的体积为
0.8m3时气球内的气压是120kPa. 3当p=144时V= ∴p≤144时V≥ 当气球内的气压大于144kPa时气球将爆炸为了安全起见气球的体积应不小于m
3.
1.理解反比例函数的概念.
2.掌握反比例函数y=的图象与性质并能根据图象和性质解决一些简单问题.
3.理解反比例函数y=中比例系数k的几何意义.
4.会用待定系数法求反比例函数解析式能解决反比例函数与一次函数等其他函数的综合运用.
5.能够根据实际问题情景建立反比例函数的数学模型并能与其他学科结合解决有关双曲线型实际问题.
1.通过学习进一步体会数形结合思想在数学中的应用.
2.通过探究反比例函数解决实际问题体会建模思想和数学知识的现实意义提高分析问题、解决问题的能力培养数学应用意识.
1.通过实际问题中数量关系和变化规律的过程体验数学来源于生活又应用于生活提高应用数学的意识.
2.通过分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的反比例函数关系获得用数学方法解决实际问题的经验感受数学模型在实际问题中的应用价值. 【重点】 反比例函数的图象与性质待定系数法求函数解析式反比例函数与一次函数等函数的综合运用利用反比例函数解决实际问题. 【难点】 反比例函数与一次函数等函数的综合运用;建立用反比例函数解决实际问题的数学模型.
一、反比例函数的定义 一般地形如y=k是常数k≠0的函数叫做反比例函数其中x是自变量y是函数.自变量x的取值范围是不等于0的全体实数y的取值范围也是不等于0的全体实数k叫做比例系数反比例函数还可以写成y=kx-1k≠0或xy=kk≠0的形式.
二、待定系数法确定反比例函数解析式 反比例函数y=k≠0中只有一个待定系数因此只要有一对对应的xy值或已知反比例函数图象上一点坐标即可确定反比例函数解析式. 其一般步骤为: 1设反比例函数解析式为y=k≠0; 2把已知条件自变量和函数的对应值或函数图象上一点的坐标代入解析式得到关于k的方程; 3解方程求出待定系数k的值; 4将待定系数k的值代回所设的函数解析式中即得所求的函数解析式.
三、反比例函数y=k≠0的图象和性质 反比例函数y=的图象是双曲线. 当k0时双曲线的两支分别位于第
一、三象限在每个象限内y随x的增大而减小;当k0时双曲线的两支分别位于第
二、四象限在每个象限内y随x的增大而增大. 反比例函数图象在每个象限内无限延伸但与两个坐标轴没有交点.
四、反比例函数y=k≠0中比例系数k的几何意义 过双曲线上任意一点向x轴、y轴作垂线则这一点与两垂足、两坐标轴围成的矩形的面积S=|k|; 过双曲线上任意一点向x轴或y轴作垂线则这一点与垂足、坐标原点的连线围成的三角形的面积S△=|k|.
五、反比例函数在实际问题中的应用 反比例函数在实际生活中有着广泛的应用应用反比例函数解决实际问题的关键是建立数学模型把实际问题转化为数学问题中的反比例函数.生活中常见的实际问题里蕴含的反比例函数: 1路程一定时速度和时间的关系. 2工作量一定时工作效率与工作时间之间的关系. 3柱体体积一定时底面积与高的关系. 4电学中电压一定时电流和电阻的关系. 5杠杆原理中阻力和阻力臂、动力和动力臂的关系. 6压力一定时压强和受力面积的关系.专题一 反比例函数y=k≠0的概念 【专题分析】 反比例函数y=k≠0等号右边是分式形式分母是x的单项式反比例函数一共有三种形式:y=k≠0xy=kk≠0y=kx-1k≠0根据反比例函数的三种形式可以判断一个函数是不是反比例函数或求反比例函数解析式中字母的值. 若函数y=m+1是反比例函数则m的值是 . 〔解析〕 根据反比例函数概念y=kx-1k≠0可得解得即m=1则m的值是
1.故填
1. [规律方法] 判断一个函数是不是反比例函数首先观察是否符合y=或xy=kk为常数k≠0的形式.若待定系数出现在y=或xy=k中则满足k≠0且x的指数是1;若待定系数出现在y=kx-1中则满足k≠0且x的指数是-
1. 【针对训练1】 下面的函数是反比例函数的是 A.y=3x+1 B.y=x2+2x C.y= D.y= 〔解析〕 A是一次函数;B是二次函数;C是正比例函数;D符合反比例函数定义.故选D. 【针对训练2】 若函数y=m-2x|m|-3是反比例函数则m的值是 . 〔解析〕 根据题意可得解得所以m=-2则m的值是-
2.故填-
2. [易错提示] 反比例函数概念中易忽略考虑比例系数k≠
0.专题二 反比例函数y=k≠0图象与性质 【专题分析】 反比例函数图象和性质是本章的重点也是中考考查的重要知识点之一反比例函数图象的位置及增减性由比例系数k的符号决定反过来由反比例函数图象的位置及增减性也可以判断k的符号. 已知点-1y12y23y3在反比例函数y=的图象上试确定y1y2y3的大小关系. 〔解析〕 因为y=是反比例函数且无论k为何值时-k2-10所以图象在第
二、四象限且在每个象限内y随x的增大而增大并且第二象限的y值大于第四象限的y值.因为点-1y1在第二象限点2y23y3在第四象限所以y1最大y2最小. 解:∵-k2-10∴图象在第
二、四象限且在每个象限内y随x的增大而增大 ∵点-1y1在第二象限 ∴y10∵点2y23y3在第四象限 且23∴y2y30 ∴y2y3y
1. [解题策略] 利用数形结合思想解决反比例函数图象和性质有关问题根据反比例函数解析式中k的符号确定函数图象所在象限及函数的增减性根据图象确定函数值的大小. 【针对训练3】 设Ax1y1Bx2y2是反比例函数y=-图象上的任意两点且y1y2则x1x2可能满足的关系是 A.x1x20 B.x10x2 C.x20x1 D.x2x10 〔解析〕 画出函数y=-的图象然后在图象上找出两点x1y1x2y2使其满足y1y2比较x1x2的大小满足y1y2的图象有三种可能:当AB两点都在第二象限时x1x20;当BA两点分别在第
二、四象限时x20x1;当AB两点都在第四象限时0x1x
2.故选C. 【针对训练4】 已知反比例函数y=的图象如图所示点A-1b1B-2b2是该图象上的两点. 1求m的取值范围; 2比较b1与b2的大小. 〔解析〕 1观察函数图象在第
一、三象限内则2m-10解得m的值;2观察图象根据函数的增减性可得b1与b2的大小. 解:1∵反比例函数的图象在第
一、三象限 ∴2m-10即m. 2反比例函数的图象在第
一、三象限且在每一象限内y随x的增大而减小 ∵-2-10∴b2b
1.专题三 反比例函数中比例系数k的几何意义 【专题分析】 反比例函数中比例系数k的几何意义是各地区中考考查的重要知识点之一和反比例函数有关的面积计算题目常常与比例系数k的几何意义紧密联系直接求解或用割补法通过转化为和比例系数有关的图形面积求解. 如图所示函数y=-x与函数y=-的图象相交于AB两点过AB两点分别作y轴的垂线垂足分别为CD.则四边形ACBD的面积为 A.2 B.4 C.6 D.8 〔解析〕 根据比例系数k的几何意义得S△AOC=S△ODB=|k|=2再根据反比例函数的对称性可知:OC=ODAC=BD∴S△AOC=S△ODA=S△ODB=S△OBC=2∴四边形ACBD的面积为S△AOC+S△ODA+S△ODB+S△OBC=4×2=
8.故选D. [规律方法] 掌握反比例函数中比例系数k的几何意义即在反比例函数y=k≠0的图象中任取一点过这一个点向x轴和y轴分别作垂线与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|.连接原点和这个点所得的两个直角三角形的面积分别为|k|. 【针对训练5】 函数y=和y=-的图象分别是l1和l
2.设点P在l1上且点P在第一象限PC⊥x轴垂足为C交l2于点APD⊥y轴垂足为D交l2于点B则三角形PAB的面积为 . 〔解析〕 ∵点P在y=上∴|xp|×|yp|=|k|=1∴设点P的坐标是a为正数∵PA⊥x轴∴A的横坐标是a∵点A在y=-的图象上∴A的坐标是∵PB⊥y轴∴点B的纵坐标是∵点B在y=-的图象上∴代入得=-解得x=-3a∴点B的坐标是∴PA==PB=|a--3a|=4a∵PA⊥x轴PB⊥y轴x轴⊥y轴∴PA⊥PB∴△PAB的面积是PA×PB=××4a=
8.故填
8.专题四 反比例函数与一次函数的综合运用 【专题分析】 主要考查反比例函数与一次函数的概念、图象、性质及待定系数法求函数解析式根据函数图象确定比例系数或变量的取值范围. 如图所示直线y=mx与双曲线y=相交于AB两点A点的坐标为
12. 1求反比例函数的表达式; 2根据图象直接写出当mx时x的取值范围; 3计算线段AB的长. 〔解析〕 1把点A的坐标代入反比例函数的解析式即可求出答案;2求出直线的解析式解组成的方程组求出B的坐标根据点AB的坐标结合图象即可得出答案;3根据点AB的坐标利用勾股定理分别求出OAOB即可得出答案. 解:1把A12代入y=得k=2即反比例函数的表达式是y=. 2把A12代入y=mx得m=2即直线的解析式是y=2x 解方程组 得出B点的坐标是-1-2 ∴当mx时x的取值范围是-1x0或x
1. 3过点A作AC⊥x轴于C ∵A12∴AC=2OC=1 由勾股定理得AO== ∴AB=2OA=
2. [解题策略] 先用待定系数法求函数解析式然后联立反比例函数与一次函数解析式组成方程组方程组的解就是两个函数图象的交点坐标.数形结合思想是解决函数图象问题常用的方法. 【针对训练6】 xx·上海中考如图所示在平面直角坐标系xOy中正比例函数y=x的图象经过点A点A的纵坐标为4反比例函数y=的图象的一支经过点A第一象限内的点B在这个反比例函数的图象的一支上过点B作BC∥x轴交y轴于点C且AC=AB. 1求这个反比例函数的解析式; 2求直线AB的表达式. 〔解析〕 1将点A的纵坐标代入正比例函数解析式可得点A的横坐标把点A的坐标代入反比例函数解析式可得m的值从而可得反比例函数解析式;2设点B的横坐标为a则点B的纵坐标为由BC∥x轴得点C的坐标又AC=AB列方程可得a的值将点AB的坐标代入y=kx+b可得AB的解析式. 解:1∵y=x的图象经过点A点A的纵坐标为4∴点A
34. ∵y=的图象的一支也经过点A∴m=12 ∴反比例函数的解析式为y=. 2设点B坐标为 ∵BC∥x轴∴点C的坐标为 ∵AC=AB∴3=a-3解得a=6 ∴点B的坐标为62 设直线AB的表达式为y=kx+b 把点3462代入y=kx+b 得解得 ∴直线AB的解析式为y=-x+
6. 【针对训练7】 如图所示Rt△ABO的顶点A是双曲线y=与直线y=-x+k+1在第四象限内的交点AB⊥x轴于点B且S△ABO=. 1分别求这两个函数解析式; 2求直线与双曲线的两个交点AC的坐标和△AOC的面积; 3根据图象直接写出-x+k+1-0时x的取值范围. 〔解析〕 1根据反比例函数中比例系数k的几何意义可得S△ABO=|k|=由函数图象在第
二、四象限可得k=-
3.2联立反比例函数和一次函数解析式组成方程组可解得交点AC的坐标设直线与x轴的交点为D求出点D坐标用割补法求出△AOC的面积.3观察函数图象直线在双曲线下方部分对应的x的值即为所求的x的取值范围. 解:1∵S△ABO=∴|k|=2×=3 由于反比例函数的图象位于第
二、四象限 ∴k=-3 ∴反比例函数解析式为y=- 一次函数解析式为y=-x-3+1即y=-x-
2. 2将反比例函数解析式y=-和一次函数解析式y=-x-2组成方程组得:解得 所以直线和双曲线的交点坐标为A1-3C-
31. 如图所示令y=0则有-x-2=0 解得x=-2故D点坐标为-
20. S△AOC=S△DOC+S△AOD=×2×1+×2×3=1+3=
4. 3由图象可得-3x0或x
1. [解题策略] 此类题先利用图象确定k的符号由k的几何意义求出k的值再利用图象相交联立方程得方程组求出两函数图象交点坐标在求面积时常利用割补法求解.最后用数形结合思想求出和函数解析式有关的不等式的解集.专题五 反比例函数的实际应用 【专题分析】 生产或生活中许多问题与反比例函数有关根据题意建立函数模型转化为数学问题由实际问题中的数量关系建立反比例函数关系式再用反比例函数的性质来解决该问题. 工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个工序即需要将材料烧到800℃然后停止煅烧进行锻造操作经过8min时材料温度降为600℃.煅烧时温度y℃与时间xmin成一次函数关系;锻造时温度y℃与时间xmin成反比例函数关系如图所示.已知该材料初始温度是32℃. 1分别求出材料煅烧和锻造时y与x的函数关系式并且写出自变量x的取值范围; 2根据工艺要求当材料温度低于480℃时需停止操作那么锻造的操作时间有多长 〔解析〕 1首先根据题意材料煅烧时温度y与时间x成一次函数关系;停止加热进行锻造操作时温度y与时间x成反比例函数关系.将题中数据代入用待定系数法可得两个函数的关系式;2把y=480代入反比例函数关系式中进一步求解可得答案. 解:1停止加热时设y=k≠0 由题意得600=解得k=4800 当y=800时=800解得x=6 ∴点B的坐标为
6800. 材料煅烧时设y=ax+32a≠0 由题意得800=6a+32解得a=128 ∴材料煅烧时y与x的函数关系式为y=128x+320≤x≤
6. ∴停止加热进行锻造操作时y与x的函数关系式为y=x
6. 2把y=480代入y=得x=10 故从开始加热到停止操作共经历了10min ∵10-6=4min ∴锻造的操作时间为4min. [解题策略] 利用函数图象研究数量之间的关系是数形结合思想的具体运用在解决有关函数问题时起着重要的作用. 【针对训练8】 如图所示奥运圣火抵达某市奥林匹克广场后沿图中直角坐标系中的一段反比例函数图象传递.动点Tmn表示火炬位置火炬从离中山路10米处的点M开始传递到离中山路1000米的N点时传递活动结束.迎圣火临时指挥部设在坐标原点O中山路与胜利路的十字路口OATB为少先队员鲜花方阵方阵始终保持矩形形状且面积恒为10000平方米路线宽度均不计. 1求图中反比例函数的解析式不需写出自变量的取值范围; 2当鲜花方阵的周长为500米时确定此时火炬的位置用坐标表示; 3设t=m-n用含t的代数式表示火炬到指挥部的距离;当火炬离指挥部最近时确定此时火炬的位置用坐标表示. 〔解析〕 1根据反比例函数中比例系数的几何意义可得比例系数k=S鲜花方阵=10000;2由题意知鲜花方阵的长为m米则宽为250-m米由题意得m250-m=10000进而求出m的值从而可得火炬的坐标;3连接TO根据勾股定理求出TO的长则t=0即m=n时距离最小根据mn=10000可得mn的值. 解:1设反比例函数为y=k0 则k=xy=mn=S矩形OATB=10000 ∴所求的反比例函数解析式为y=. 2由题意知鲜花方阵的长为m米则宽为250-m米 由题意得m250-m=10000 即m2-250m+10000=0 解得m=50或m=200均满足题意 ∴此时火炬的坐标为50200或
20050. 3连接TO∵mn=10000∴在Rt△TAO中TO==== ∴当t=0时TO最小 ∵t=m-n ∴此时m=n 又mn=10000m0n0 ∴m=n=100且101001000 ∴T
100100.本章质量评估时间:90分钟 满分:120分
一、选择题每小题3分共30分
1.下列函数中y是x的反比例函数的是 A.y= B.y=C.xy=8 D.y=+
52.已知反比例函数y=k≠0的图象经过点25若点1n在反比例函数的图象上则n等于 A.10 B.5C.2 D.
3.当x0时四个函数y=-xy=2x+1y=-y=其中y随x的增大而增大的有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.关于反比例函数y=的图象下列说法正确的是 A.必经过点11B.两个分支分布在第
二、四象限C.两个分支关于x轴成轴对称D.两个分支关于原点成中心对称
5.xx·天津中考已知反比例函数y=当1x2时y的取值范围是 A.0y5 B.1y2C.5y10 D.y
106.xx·聊城中考如图所示一次函数y1=k1x+b的图象和反比例函数y2=的图象交于A12B-2-1两点若y1y2则x的取值范围是 A.x1 B.x-2C.-2x0或x1 D.x-2或0x
17.已知三角形的面积一定则它的底边a上的高h与底边a之间的函数关系的图象大致是如图所示
8.已知反比例函数y=a≠0的图象在每一象限内y的值随x值的增大而减小则一次函数y=-ax+a的图象不经过 A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限
9.xx·泉州中考在同一平面直角坐标系中函数y=mx+m与y=m≠0的图象可能是如图所示
10.xx·湘潭中考如图所示AB两点在双曲线y=上分别经过AB两点向轴作垂线段已知S阴影=1则S1+S2等于 A.3 B.4C.5 D.6
二、填空题每小题4分共24分
11.反比例函数y=m-2x2m+1的函数值为时自变量x的值是 .
12.xx·黄石中考反比例函数y=的图象有一支位于第一象限则常数a的取值范围是 .
13.对于反比例函数y=请写出三条与其相关的正确结论: ; ; .
14.反比例函数y=的图象与一次函数y=2x+1的图象的一个交点是1k则反比例函数的解析式是 .
15.xx·新疆中考若点A1y1和点B2y2在反比例函数y=的图象上则y1与y2的大小关系是:y1 y
2.填“”“”或“=”
16.xx·滨州中考如图所示菱形OABC的顶点O是原点顶点B在y轴上菱形的两条对角线的长分别是6和4反比例函数y=x0的图象经过点C则k的值为 .
三、解答题共66分
17.6分已知y=y1-y2y1与x成反比例y2与x-2成正比例当x=3时y=5;x=1时y=-
1.求y与x之间的函数解析式.
18.7分已知反比例函数y=k为常数k≠0的图象经过点A
23.1求这个函数的解析式;2判断点B-16C32是否在这个函数的图象上并说明理由;3当-3x-1时求y的取值范围.
19.8分xx·北京中考在平面直角坐标系xOy中直线y=kx+bk≠0与双曲线y=的一个交点为P2m与x轴、y轴分别交于点AB.1求m的值;2若PA=2AB求k的值.
20.8分蓄电池的电压为定值使用此电源时电流IA是电阻RΩ的反比例函数其图象如图所示.1求这个反比例函数的表达式;2当R=10Ω时电流能是4A吗为什么
21.8分如图所示点Am6Bn1在反比例函数图象上AD⊥x轴于点DBC⊥x轴于点CDC=
5.1求mn的值并写出反比例函数的表达式;2连接AB在线段DC上是否存在一点E使△ABE的面积等于5若存在求出点E的坐标;若不存在请说明理由.
22.8分xx·自贡中考如图所示一次函数y=kx+b与反比例函数y=x0的图象交于Am6B3n两点.1求一次函数的解析式;2根据图象直接写出kx+b-0的x的取值范围;3求△AOB的面积.
23.9分某厂从2011年起开始投入技术改进资金经技术改进后其产品的生产成本不断降低具体数据如下表:年份2011xxxxxx投入技改资金x/万元
2.
5344.5产品成本/万元/件
7.
264.541请你认真分析表中数据从你所学习过的一次函数、二次函数和反比例函数中确定哪种函数能表示其变化规律说明确定是这种函数而不是其他函数的理由并求出它的解析式;2按照这种变化规律若xx年已投入技改资金5万元.
①预计生产成本每件比xx年降低多少万元;
②如果打算在xx年把每件产品成本降低到
3.2万元那么还需投入技改资金多少万元结果精确到
0.01万元
24.12分如图1所示△OAB中A02B40将△AOB向右平移m个单位得到△OAB.1当m=4时如图2所示若反比例函数y=的图象经过点A一次函数y=ax+b的图象经过AB两点求反比例函数及一次函数的表达式;2若反比例函数y=的图象经过点A及AB的中点M求m的值.【答案与解析】
1.C解析:A中变量x在分母中且指数是2;B中分母不是x的单项式;D中函数等号右边两项;只有C符合反比例函数定义.故选C.
2.A解析:把25代入y=得k=10所以该函数解析式为y=当x=1时n=
10.故选A.
3.B解析:正比例函数y=-x中y随x的增大而减小;一次函数y=2x+1中y随x的增大而增大;反比例函数y=-中k0x0时y随x的增大而增大;反比例函数y=中k0x0时y随x的增大而减小.所以符合题意的有2个.故选B.
4.D解析:当x=1时y=4故A错误;因为k=40所以双曲线在第
一、三象限故B错误;双曲线两支关于原点对称故C错误D正确.故选D.
5.C解析:∵反比例函数y=中当x=1时y=10当x=2时y=5∴当1x2时y的取值范围是5y
10.故选C.
6.D解析:一次函数图象位于反比例函数图象的下方时y1y2观察图象得此时x-2或0x
1.故选D.
7.D解析:设三角形的面积为S由S=ah得h=且a
0.故选D.
8.C解析:因为在每一象限内y的值随x值的增大而减小所以a0所以-a0所以该一次函数的图象不经过第三象限.故选C.
9.A解析:A.由函数y=mx+m的图象可知m0由函数y=的图象可知m0故本选项正确;B.由函数y=mx+m的图象可知m0由函数y=的图象可知m0相矛盾故本选项错误;C.由函数y=mx+m的图象y随x的增大而减小得m0而该直线与y轴交于正半轴则m0相矛盾故本选项错误;D.由函数y=mx+m的图象y随x的增大而增大得m0而该直线与y轴交于负半轴则m0相矛盾故本选项错误.故选A.
10.D解析:∵点AB是双曲线y=上的点分别经过AB两点向x轴、y轴作垂线段则根据k的几何意义得两个矩形的面积都等于|k|=4∴S1+S2=4+4-1×2=
6.故选D.
11.-9解析:∵y=m-2x2m+1是反比例函数∴2m+1=-1解得m=-1因而函数解析式是y=-当函数值为时即-=解得x=-
9.故自变量x的值是-
9.
12.a解析:∵函数图象有一支位于第一象限∴2a-10∴a.故填a.
13.函数图象在第
一、三象限 在每个象限内y随x的增大而减小 图象关于原点对称答案不唯一
14.y=解析:将1k代入一次函数y=2x+1得k=2+1=3则反比例函数解析式为y=.故填y=.
15.解析:∵点A1y1和点B2y2在反比例函数y=的图象上∴y1=1y2=∵1∴y1y
2.故填.
16.-6解析:由题意知点C的横纵坐标之积为-6∵点C在反比例函数y=x0的图象上∴k=xy=-
6.故填-
6.
17.解:因为y1与x成反比例y2与x-2成正比例所以可设y1=k1≠0y2=k2x-2k2≠0因为y=y1-y2所以y=-k2x-2把x=3y=5;x=1y=-1分别代入得解得将其代入y=-k2x-2得y=+4x-
8.
18.解:1∵反比例函数y=k为常数k≠0的图象经过点A23∴把点A的坐标代入解析式得3=解得k=6∴这个函数的解析式为y=. 2∵反比例函数解析式为y=∴6=xy分别把点BC的坐标代入得-1×6=-6≠6则点B不在该函数图象上;3×2=6则点C在该函数图象上. 3∵k0∴当x0时y随x的增大而减小.∵当x=-3时y=-2当x=-1时y=-6∴当-3x-1时-6y-
2.
19.解:1把2m代入y=得2m=8解得m=
4. 2当点A在x轴的负半轴上时∵PA=2AB∴B是AP的中点∴A-20B02∴解得k=
1.当点A在x轴的正半轴上时AB0-2∴解得k=
3.
20.解:1∵电流IA是电阻RΩ的反比例函数∴设I=k≠
0.把49代入得k=4×9=36∴这个反比例函数的表达式为I=R
0. 2∵当R=10Ω时I=
3.6≠4∴电流不可能是4A.
21.解:1由题意得解得∴A16B61设反比例函数解析式为y=将A16代入得k=6则反比例函数解析式为y=x
0. 2存在设Ex0如图所示则DE=x-1CE=6-x∵AD⊥x轴BC⊥x轴∴∠ADE=∠BCE=90°连接AEBE则S△ABE=S四边形ABCD-S△ADE-S△BCE=BC+AD·DC-DE·AD-CE·BC=×1+6×5-x-1×6-6-x×1=-x=5解得x=5则E
50.
22.解:1把Am6B3n分别代入y=x0得6m=63n=6解得m=1n=2所以A点坐标为16B点坐标为32分别把A16B32代入y=kx+b得解得所以一次函数解析式为y=-2x+
8.2当0x1或x3时kx+b-
0. 3如图所示当x=0时y=-2x+8=8则C点坐标为08当y=0时-2x+8=0解得x=4则D点坐标为40所以S△AOB=S△COD-S△COA-S△BOD=×4×8-×8×1-×4×2=
8.
23.解:1设其为一次函数解析式为y=kx+bk≠0当x=
2.5时y=
7.2;当x=3时y=6分别代入得解得k=-
2.4b=
13.
2.∴一次函数解析式为y=-
2.4x+
13.
2.把x=4y=
4.5代入此函数解析式左边≠右边∴其不是一次函数.同理其也不是二次函数.设其为反比例函数解析式为y=k≠
0.当x=
2.5时y=
7.2可得
7.2=解得k=18∴反比例函数的解析式是y=.验证:当x=3时y==6符合反比例函数.同理可验证x=4时y=
4.5x=
4.5时y=4成立.故可用反比例函数y=表示其变化规律. 2
①当x=5万元时y=
3.64-
3.6=
0.4万元∴生产成本每件比xx年降低
0.4万元.
②当y=
3.2时
3.2=∴x=
5.
6255.625-5≈
0.63万元∴还需投入约
0.63万元.
24.解:1由图2及题意知:A点的坐标为42B点的坐标为80∴k=4×2=8∴y=把4280分别代入y=ax+b得解得∴经过AB两点的一次函数表达式为y=-x+
4. 2当△AOB向右平移m个单位时A点的坐标为m2B点的坐标为m+40则AB的中点M的坐标为m+4-21∴2m=m+2解得m=2∴当m=2时反比例函数y=的图象经过点A及AB的中点M.。